PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők)

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők).

 F1 

Belső erők: Newton III.: erő-ellenerő párok

F12

 F13

 F21

 F2

 F23

 F31

 F3

  F12  F21

Külső erők:

  F23  F32

  F13  F31

A pontrendszeren kívüli testekkel való kölcsönhatásból adódnak

 F1

 F32

 F2

 F3

Megmaradási tételek pontrendszerekre A pontrendszer mozgását a tömegpontnál megismert megmaradási tételek segítségével írjuk le: 1. Impulzus tétel

Fontos fogalom: tömegközéppont

2. Impulzus momentum tétel 3. Munkatétel

1

1.IMPULZUS TÉTEL, TÖMEGKÖZÉPPONT TÉTEL Két tömegpont esetén írjuk fel az egyes tömegpontokra az impulzustételt, figyelembe véve a belső erőket is:  d I1   •A belső erők egyenlő nagyságúak, de ellentétes  F1  F12 irányúak: (N.III.tv: erő-ellenerő) dt

 d I2    F2  F21 dt  d I1 dI 2     F1  F2 dt dt   d   I1  I2  F1  F2 dt



  F12  F21  0

•Összeadva a két vektor egyenletet, a belső erők kiesnek



•A deriváltak összege egyenlő az összegek deriváltjával Impulzustétel pontrendszerre:

A pontrendszer összes impulzusa

   Ie  I1  I2

Külső erők összege 2

 Fküls ő,i i 1

 2 d Ie d   I1  I2    Fküls ő,i dt dt i 1





a pontrendszer összes impulzusát csak a külső erők változtathatják meg.

 n d Ie   Fküls ő ,i dt i 1

Általánosítva n darab tömegpontra

Vektor egyenlet: Az eredő impulzusváltozás és az eredő erő párhuzamos vektorok

2

1

Impulzus megmaradás törvénye Ha a pontrendszerre nem hat külső erő, vagy a külső erők vektori eredője zérus, akkor az impulzus változás nulla, a rendszer összes impulzusa állandó. n

F i 1

küls ő ,i

 d Ie 0 dt

0

    Ie  I1  I2  ....In  0

Az egyes tagok impulzusa változhat, de úgy, hogy közben az összegük állandó marad.

•Zárt rendszer: csak belső erők hatnak, azaz a külső erők eredője zérus Zárt rendszer összes impulzusa állandó. Pontrendszer tömegközéppontja A tömegközéppont helyvektorának definíciója adott O pontra vonatkoztatva tömegpont esetén:

   m r  m 2 r2 rtkp  1 1 m1  m 2

m1

tömegközéppont

mtkp

 rtkp

 r1

 r2

Általánosítva n tömegpontra:

    m r  m 2 r2  .....m n rn rtkp  1 1 m1  m 2  ....m n

m2

O 3

A tömegközéppont helyvektorát idő szerint deriválva rendre megkapjuk a tömegközéppont sebességét és gyorsulását:     m v  m 2 v 2  ....mn v n  •A tömegközéppont sebessége: v tkp  1 1 drtkp  m1  m 2  .....m n  v tkp dt •A tömegközéppont gyorsulása:

 dv tkp dt

  a tkp

    m a  m 2a 2  ......mn a n a tkp  1 a m1  m 2  .....m n

Tömegközéppont tétel: impulzustétel a tömegközéppontra •A tömegközéppont sebességének definícióját felhasználva az összes impulzus:

      v tkp (m1  m2  ...mn )  m1v1  m2 v2  mn vn •Az impulzus megváltozása:(impulzus tétel)

m

 dv tkp dt

n

  Fik i 1

n

m   mi i 1

Tömegközéppont tétel: A tömegközéppont mozgásállapotát csak külső erők változtathatják meg.

Impulzus megmaradás törvénye: ha a külső erők összege zérus (zárt rendszer):

m

 dv tkp dt

n

0

Zárt rendszer tömegközéppontja nyugalomban van, vagy egyenletesen mozog.

F i 1

k i

0 4

2

A tömegközéppont helyének meghatározása

   r1  rtkp  r1'  m1    r2  rtkp  r2'  m 2

tkp

 r1

   r1  rtkp  r1'

' r2

 rtkp

 r2

A két egyenletet a szorzás után összeadva:

O

  0  m1r1'  m2 r2'

     m1 r1  m2 r2  (m1  m2 ) rtkp  m1 r1'  m2 r2' 



 (m1  m2 ) rtkp

zérus

Általánosítva:

' r2

A „vesszős” helyvektorok a tömegközépponttól indulnak.

 0   mi ri

Pontrendszer tömegközéppontjára igaz:

Homogén testek esetén a tömegközéppont: a testek geometriai középpontja és egyben a súlypont is. Súlypont: Az a pont, amelyre nézve a nehézségi erők forgatónyomatékai egymással egyensúlyt tartanak.

5

PÉLDÁK 1.Súlyzómodell tömegközéppontja Hol kell alátámasztani vagy felfüggeszteni a súlyzót, hogy ne billenjen le egyik oldalra sem? A súlyzó hossza 3 méter, m1=2kg, m2=3kg.

m1l1  m 2 l 2 m1l1  m 2 (l  l1 )

m1

(m1  m 2 )l1  m 2 l l1 

m2 l m1  m 2

l2 

l1

l  l1  l 2

m1 l m1  m 2

3 9 l1   3m  m  1,8m 5 5

l2

m2

A tömegközéppont a szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja.

l 2  (3  1,2)m  1,2m

A súlypont a nehezebb tömeghez van közelebb.

6

3

2. Csónak Mennyivel csúszik hátra a parthoz álló csónak, ha a végén álló ember végigmegy rajta, hogy kiszálljon a partra? A csónak és az ember pontrendszernek tekinthető. Amíg az ember megy rajta, addig a súrlódási erő hat köztük, ami belső erő. Mindkét testre hat, erő-ellenerő pár. A mozgás során külső erő nem lép fel vízszintes irányba, így a tömegközéppont helyben marad.

A homogénnek tekintett csónak S

A kettő távolsága az s szakasz.

s

2s

tömegközéppontja a csónak közepén van, a rendszer (ember+csónak) közös középpontja pedig az S pontban.

s

A mozgás során az ember átmegy a csónak másik végére, a közös súlypont viszont helyben marad, így a csónaknak is el kell mozdulnia.

A csónak tömegközéppontja átkerült a közös tömegközéppont másik oldalára.

A csónak teljes elmozdulása így: 2s

7

3. Felrobbanó gránát Egy ferdén elhajított gránát a pályája tetőpontján két egyenlő részre robban szét. A robbanás után a egyik rész visszajut a kiindulópontba. Hol ér talajt a másik rész? A robbanáskor belső erők működnek: az összes impulzus megmarad, a tömegközéppont pedig folytatja a mozgását, a parabola pályán halad tovább.

8

4

2. IMPULZUS MOMENTUM (NYOMATÉK) TÉTEL (Perdület-tétel)

m1

    N  r  I  r  mv  r1

Írjuk fel először az impulzus tételt az egyes tömegpontokra:

 d I1    F1  F12 dt

 d I2    F2  F21 dt

Balról szorozzuk meg vektoriálisan és adjuk össze:

F1 F12 F21

  r1  r2

m2

 r2

F2

 dI1     dI    r1   r1  (F1  F12 ) r2  2  r2  (F2  F21 ) dt dt

  dN1 dN2           r1  F1  r2  F2  r1  F12  r2  F21   dt dt      ( r  r )  F 1 2 12 r 1F12  r2  (F12 )  0            r 1F12  r2  (F12 )  r1  F12  r2  F12  ( r1  r2 )  F12  0 

Párhuzamos vektorok vektori szorzata zérus 9

A belső erők így kiesnek!

.

    dN1 dN2       r1  F1  r2  F2  M1  M2 dt dt    d  ( N1  N 2 )  M1  M 2 dt    Felhasználva, hogy: ( N1  N 2 )  Ne

És általánosítva n darab tömegpontra:

 n  dN e   M küls ő,i dt i 1

n   M1  M 2   M küls ő,i i 1

Impulzusmomentum tétel n darab tömegpont esetén

A pontrendszer összes impulzusmomentumának idő szerinti deriváltja egyenlő a külső erők ugyanarra a pontra számított eredő forgatónyomatékával. Impulzus momentum megmaradásának tétele Ha a külső erők eredő forgatónyomatéka zérus: az impulzusmomentum állandó. (zárt rendszer) n

M i 1

küls ő ,i

0

   Ne  N1  N 2  állandó

Az egyes tömegpontok impulzusmomentuma külön-külön változhat, de az összegük állandó marad.

10

5

 n  dN e   M küls ő,i dt i 1 Vektoregyenlet: az impulzus momentum megváltozása és az eredő forgatónyomaték egyirányú vektorok Felírható derékszögű komponensekkel is:

 dN x   Mx dt

 dN y dt

  My

 dN z   Mz dt

11

3. MUNKATÉTEL Pontrendszerre és merev testre: (bizonyítás nélkül) k b E kin  Wössz  Wössz

A pontrendszer és a merev test kinetikus energiáját a külső és belső erők munkájának összege adja meg. A belső erők is megváltoztatják a kinetikus energiát. A munka nem vektormennyiség, ezért a belső erők munkája az összegzésnél nem esik ki. Példa: felrobbanó lövedék

12

6