Geometrie
Aplikace
Teoretick´ eˇ reˇ sen´ı stˇ rech Zastˇ reˇ sen´ı dan´ eho p˚ udorysu rovinami r˚ uzn´ eho sp´ adu – v´ azan´ a ptaˇ c´ı perspektiva
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad: V ptaˇc´ı perspektivˇe v´azan´e na Mongeovo prom´ıt´an´ı zobrazte ˇreˇsen´ı stˇrechy nad dan´ ym p˚ udorysem; stˇreˇsn´ı roviny maj´ı r˚ uzn´ y sp´ad, nejm´enˇe vˇsak 1 : 1, jeden roh je v bodˇe A[−3; 0; 3], p˚ udorys okapu AB sv´ır´a s kladn´ ym smˇerem osy x u ´hel velikosti 60◦ ; perspektiva je urˇcena pr˚ umˇetnou ρ(6; ∞; 5) a okem S[4; 5; 7]; k´oty a souˇradnice jsou uvedeny v metrech, pro zobrazen´ı uˇzijte mˇeˇr´ıtko M 1 : 100. (Poˇc´atek O Mongeova prom´ıt´an´ı zvolte 20 cm zdola; pomocn´ y bod H 0 perspektivn´ıho obr´azku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.) n´aˇcrt:
6 A
4 B
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
1
Geometrie
Aplikace H′
h
• v pˇridruˇzen´em Mongeovˇe prom´ıt´an´ı (obr´azek na dalˇs´ı str´ance) sestrojme podle zad´an´ı p˚ udorys okapov´eho obd´eln´ıka ABCD a nad nˇej postavme obyˇcejnou stanovou stˇrechu s jedin´ ym stˇreˇsn´ım vrcholem v bodˇe X; p˚ udorysy n´aroˇz´ı tak leˇz´ı v u ´hlopˇr´ıˇck´ach obd´eln´ıka A1 B1 C1 D1 a jejich pr˚ useˇc´ık X1 je p˚ udorysem vrcholu X; bod X m´a jistou v´ yˇsku a stˇreˇsn´ı roviny, jeˇz se skl´anˇej´ı ke vzd´alenˇejˇs´ım okapov´ ym hran´am AB, CD, mus´ı klesat s menˇs´ım sp´adem, kter´ y je dle zad´an´ı 1 : 1; odtud odvod´ıme v´ yˇsku bodu X: |AD| 6 ych k´ot dopln´ıme n´arys objektu i zX =zA + 2 =3 + 2 =6; pomoc´ı ordin´al a oznaˇcen´ s vyˇreˇsenou stˇrechou a urˇc´ıme viditelnost; podle zad´an´ı pˇripojme stopy perspektivn´ı pr˚ umˇetny ρ ⊥ ν, pro niˇz je nρ2 =ρ2 a pρ1 ⊥ x1,2 , a sdruˇzen´e pr˚ umˇety S1 , S2 oka S; 0 obzorov´a rovina π k π veden´a okem S prot´ın´a perspektivn´ı pr˚ umˇetnu ρ v horizontu h, jeho n´arysem je bod h2 =ρ2 ∩π20 a p˚ udorys h1 spl´ yv´a s pˇr´ısluˇsnou ordin´alou; na horizontu 0 h doplˇ nme jeˇstˇe pomocn´ y bod H , pro kter´ y plat´ı SH 0 ⊥ h, coˇz se v p˚ udoryse zachov´a, 0 0 0 tj. H1 ∈ h1 , S1 H1 ⊥ h1 a v n´aryse je H2 =h2 ; a koneˇcnˇe zaˇcnˇeme kreslit i perspektivn´ı obr´azek (nad t´ımto textem), kter´ y n´am vznik´a v rovinˇe ρ – zat´ım sestrojme pouze vodorovnˇe horizont h, na nˇem zvolme pomocn´ y bod H 0 a j´ım svisle ˇc´arkovanˇe naznaˇcme pomocnou kolmici k horizontu
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
2
Geometrie
Aplikace
nρ2 =ρ2 h2 = H2′
S2 π2′
X2
D2
C2
B2
A2
x1,2
A1 (3) O1,2
D1 (3)
B1 (3)
X1 (6)
H1′
C1 (3)
S1
h1 pρ1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
3
Geometrie
Up
Aplikace H′
h
Vp
Wp
• nejprve si opatˇreme u ´bˇeˇzn´ıky U p , V p , W p hlavn´ıch smˇer˚ u zobrazovan´eho objektu; okapov´e strany AD, BC ukazuj´ı do nevlastn´ıho bodu U ∞ , jehoˇz perspektivn´ı pr˚ umˇet U p dostaneme jako pr˚ useˇc´ık roviny ρ s pˇr´ımkou vedenou okem S rovnobˇeˇznˇe s u ´seˇckami AD, BC; protoˇze se jedn´a o hlavn´ı vodorovn´ y smˇer, leˇz´ı pˇr´ısluˇsn´ y u ´bˇeˇzn´ık na horip p p zontu h, tj. v p˚ udorysu je U1 ∈ h1 a U1 S1 k B1 C1 , v n´arysu plat´ı U2 =h2 ; vzd´alenost p u ´bˇeˇzn´ıku U od pomocn´eho bodu H 0 se jev´ı v p˚ udorysu ve skuteˇcn´e velikosti a tuto p 0 d´elku |U1 H1 | tedy pˇreneseme z pˇridruˇzen´eho Mongeova prom´ıt´an´ı vpravo do perspektivn´ıho obr´azku dole; zcela analogicky postupujeme pˇri konstrukci u ´beˇzn´ıku V p druh´eho hlavn´ıho vodorovn´eho smˇeru V ∞ , s n´ımˇz jsou rovnobˇeˇzn´e okapov´e strany AB, CD; pro sdruˇzen´e pr˚ umˇety u ´bˇeˇzn´ıku W p hlavn´ıho svisl´eho smˇeru W ∞ plat´ı: W1p =S1 a W2p ∈ ρ2 , W2p S2 ⊥ x1,2 ; u ´seˇcka W p H 0 je rovnobˇeˇzn´a s n´arysnou a jej´ı skuteˇcnou velikost tak najdeme v n´arysu jako d´elku |W2p H20 |; tuto opˇet pˇreneseme do perspektivn´ıho obr´azku od bodu H 0 svisle dol˚ u
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
4
Geometrie
Aplikace
nρ2 =ρ2 h2 = H2′ =U2p =V2p
S2 π2′
X2
V1p
W2∞
D2
C2
B2
A2
W2p
x1,2
A1 (3) O1,2 V1∞
D1 (3)
B1 (3)
X1 (6)
S1=W1p
H1′
C1 (3)
h1
U1∞ pρ1
U1p
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5
Geometrie
Aplikace
Up
H′
h
Vp
vB
mB Bp ′ vB
B1p
Wp
• nyn´ı sestrojme perspektivn´ı pr˚ umˇet B p rohu B pomoc´ı tzv. pr˚ useˇ cn´ e metody; v pˇridruˇzen´em Mongeovˇe prom´ıt´an´ı prom´ıtnˇeme bod B z oka S do perspektivn´ı pr˚ umˇetny ρ: p p je B2 =S2 B2 ∩ρ2 a p˚ udorys B1 odvod´ıme po ordin´ale na pˇr´ımce S1 B1 ; v n´arysu odmˇeˇr´ıme p 0 v´ yˇsku vB =B2 H2 bodu B p pod horizontem h a tuto d´elku naneseme do perspektivn´ıho obr´azku od bodu H 0 svisle dol˚ u; v p˚ udorysu najdeme skuteˇcnou vzd´alenost mB bodu p 0 p B od pˇr´ımky H W a tuto opˇet pˇreneseme do perspektivn´ıho obrazu; z n´arysu jeˇstˇe dopln´ıme, jak se zkr´at´ı zadan´a v´ yˇska okapu – do perspektivy pˇreneseme pomocnou d´elku p vB0 a perspektivn´ı pr˚ umˇet B1 p˚ udorysu B1 z´ısk´ame d´ıky u ´bˇeˇzn´ıku W p svisl´eho smˇeru, tj. na pˇr´ımce B p W p
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
6
Geometrie
Aplikace nρ2 =ρ2 h2 = H2′ =U2p =V2p
S2 π2′
X2
V1p
vB B2p ′ vB
D2
C2
W2∞
B2
A2
W2p
x1,2
A1 (3) O1,2 V1∞
D1 (3)
B1 (3)
X1 (6)
B1p mB S1=W1p
H1′
C1 (3)
h1
U1∞ pρ1
U1p
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
7
Geometrie
Aplikace
Up
H′
vB Cp
h
Vp
Dp D1p
C1p
Ap
mB Bp
′ vB
Ap1 B1p
Wp
• pˇri konstrukci perspektivn´ıho pr˚ umˇetu Ap rohu A pouˇzijeme prvn´ı ˇc´ast pr˚ useˇcn´e metody p 0 p a z n´arysu pˇreneseme pˇr´ısluˇsnou v´ yˇsku |A2 H2 |, kde A2 =S2 A2 ∩ ρ2 , pod horizontem; okapov´a strana AB je rovnobˇeˇzn´a se smˇerem V ∞ , a bod Ap mus´ı tud´ıˇz leˇzet tak´e na pˇr´ımce B p V p ; perspektivn´ı pr˚ umˇet Ap1 p˚ udorysu A1 dopln´ıme jiˇz jen pomoc´ı u ´bˇeˇzn´ık˚ u: p p A1 =Ap W p ∩ B1 V p ; podobnˇe z´ısk´ame kombinac´ı uˇzit´ı prvn´ı ˇc´asti pr˚ useˇcn´e metody a p p p p u ´bˇeˇzn´ık˚ u U , W perspektivn´ı pr˚ umˇety C , C1 rohu C i jeho p˚ udorysu C1 ; koneˇcnˇe p p pro perspektivy D , D1 rohu D a jeho p˚ udorysu D1 n´am jiˇz staˇc´ı pouˇz´ıt jen u ´bˇeˇzn´ıky p p p hlavn´ıch smˇer˚ u, tj. Dp =Ap U p ∩ C p V p , D1 =A1 U p ∩ C1 V p a souˇcasnˇe by mˇel bod D1p leˇzet na pˇr´ımce Dp W p – snad se to povede i pˇri ruˇcn´ım r´ ysov´an´ı. . .
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
8
Geometrie
Aplikace nρ2 =ρ2 h2 = H2′ =U2p =V2p
S2 π2′
X2
V1p
vB Ap2
C2p
B2p ′ vB
D2
C2
W2∞
B2
A2
W2p
x1,2
A1 (3) O1,2 V1∞
D1 (3)
B1 (3)
X1 (6)
B1p mB S1=W1p
H1′
C1 (3)
h1
U1∞ pρ1
U1p
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
9
Geometrie
Aplikace
Up
H′
h
Vp
Xp
vB Cp
Dp D1p
C1p ′ vB
Ap
mB X1p
Bp Ap1 B1p
Wp
• zb´ yv´a dokonˇcit perspektivn´ı pr˚ umˇet X p jedin´eho stˇreˇsn´ıho vrcholu X; snadno sestroj´ıme perspektivu X1p jeho p˚ udorysu X1 – ten je stˇredem obd´eln´ıka A1 B1 C1 D1 a pˇr´ımo v perspektivn´ım obr´azku je tedy X1p =Ap1 C1p ∩ B1p D1p ; bod X p pak mus´ı leˇzet na pˇr´ımce W p X1p a jeho v´ yˇsku pod horizontem urˇc´ıme opˇet pomoc´ı prvn´ı ˇc´asti pr˚ useˇcn´e metody p 0 p z n´arysu jako d´elku u ´seˇcky X2 H2 , kde X2 =S2 X2 ∩ ρ2 ; t´ım je u ´loha vyˇreˇsena, staˇc´ı jiˇz jen vyt´ahnout v´ ysledek s ohledem na viditelnost. . . 2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
10
Geometrie
Aplikace nρ2 =ρ2 h2 = H2′ =U2p =V2p
S2 π2′
X2
V1p
X2p
vB Ap2
C2p
B2p ′ vB
D2
C2
W2∞
B2
A2
W2p
x1,2
A1 (3) O1,2 V1∞
D1 (3)
B1 (3)
X1 (6)
B1p mB S1=W1p
H1′
C1 (3)
h1
U1∞ pρ1
U1p
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
11
