Geometrie
Aplikace
Teoretick´ eˇ reˇ sen´ı stˇ rech Zastˇ reˇ sen´ı dan´ eho p˚ udorysu s praktickou u ´ pravou – kaval´ırn´ı perspektiva
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad: V kaval´ırn´ı perspektivˇe (koso´ uhl´e prom´ıt´an´ı do n´arysny ν, ω = 135◦ , q = 1) zobrazte praktickou u ´pravu u ´hlov´e stˇrechy nad dan´ ym p˚ udorysem s vyznaˇcen´ ymi z´akazy; stˇreˇsn´ı roviny maj´ı sp´ad 1 : 1, okap leˇz´ı ve v´ yˇsi v = 2, k´oty jsou uvedeny v metrech, uˇzijte mˇeˇr´ıtko M 1 : 100. (Poˇc´atek O zvolte 8 cm zleva a 19 cm zdola; pomocn´ y p˚ udorys vysuˇ nte o 7 cm dol˚ u.) n´aˇcrt:
3
6
3 x
O
2 4
5 6 3 y
6 Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
6 1
Geometrie
Aplikace
z
O
x
135◦
A1
O1
B1
x1
1
yk C1
D1 2
J1
I1 5
3
E1
F1
H1 y1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
4
G1
2
Geometrie
Aplikace
• zad´an´ı: v kaval´ırn´ı perspektivˇe se zachov´a prav´ yu ´hel mezi osami x a z, osa y se prom´ıtne k do pˇr´ımky y , jej´ıˇz kladn´ y smˇer sv´ır´a s kladn´ ym smˇerem osy x zadan´ yu ´hel ω = 135◦ ; prot´ahnˇeme osu z do z´aporn´eho smˇeru, vhodnˇe na n´ı zvolme vysunut´ y p˚ udorys O1 poˇc´atku O a ved’me j´ım osy x1 , y1 , kde x1 k x a y1 ⊥ x1 ; do takto vysunut´eho p˚ udorysu zakresleme podle rozmˇer˚ u v n´aˇcrtu a v zadan´em mˇeˇr´ıtku skuteˇcn´ y p˚ udorys dan´eho objektu, jednotliv´e vrcholy oznaˇcme podle obr´azku a oˇc´ıslujme vˇsechny voln´e okapy; pro praktick´e zjednoduˇsen´ı ˇreˇsen´ı stˇrechy vyuˇzijeme skuteˇcnosti, ˇze z´akazy jsou pouze na z´apadn´ıch a v´ ychodn´ıch okapech, a voln´e m´ame jen ty severn´ı a jiˇzn´ı; rozdˇelme proto dan´ y p˚ udorys na ˇctyˇri obd´eln´ıky protaˇzen´ım u ´seˇcek A1 J1 , G1 F1 a B1 C1 aˇz k p˚ udorysu protˇejˇs´ıho okapu
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
3
Geometrie
Aplikace
z
O
x
135◦
A1(2)
O1
B1(2)
x1
1
yk D1(2)
C1(2) 2
P1 (5,5) 1 Q1 (5,5) 3
(2)J1
(2) I1 5
M1 (7)
K1 (5)
(2) H1 y1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5 4
1 4
2 R1 (4,5) 3 S1 (4,5)
N1 (7)
3
E1(2)
F1(2)
L1 (5)
4
G1(2)
4
Geometrie
Aplikace
• nad kaˇzd´ y obd´eln´ık p˚ udorysu rozdˇelen´eho v pˇredchoz´ım kroku nyn´ı posad´ıme obyˇcejnou sedlovou stˇrechu; konkr´etnˇe postupujme zleva – v polovinˇe mezi okapy ˇc´ıslo 4 a 5 dostaneme p˚ udorys K1 L1 hˇrebene KL, mezi okapy 1 a 4 oznaˇcme hˇreben M N , d´ale bude hˇreben P Q v polovinˇe mezi okapy ˇc´ıslo 1 a 3 a koneˇcnˇe doplˇ nme p˚ udorys R1 S1 hˇrebene mezi okapy ˇc´ıslo 2 a 3; uzavˇreme jednotliv´e stˇreˇsn´ı roviny – roviny ˇc´ıslo 2 a 5 maj´ı tvar obd´eln´ıka, ostatn´ı roviny 1, 3, 4 maj´ı tvar p´ısmene L“; urˇceme v´ yˇsky jednotliv´ ych ” hˇreben˚ u a pˇripiˇsme jako k´oty do obl´ ych z´avorek – pˇri dan´e v´ yˇsce v = 2 okapu a dan´em sp´adu 1 : 1 bude hˇreben KL ve v´ yˇsce zK = zL = v + |I1 K1 | = 2 + 3 = 5, podobnˇe pro hˇreben M N je zM = zN = v + |A1 M1 | = 2 + 5 = 7, analogicky urˇc´ıme zP = zQ = v + |F1 P1 | = 2 + 3,5 = 5,5 pro hˇreben P Q a koneˇcnˇe posledn´ı hˇreben RS leˇz´ı ve v´ yˇsce zR = zS = v + |C1 R1 | = 2 + 2,5 = 4,5; d´ıky pouˇzit´e u ´pravˇe pˇri ˇreˇsen´ı stˇrechy jsme dan´e z´akazy nejen dodrˇzeli, ale pˇr´ısluˇsn´e ˇst´ıty jsem jeˇstˇe prot´ahli nad sousedn´ı stˇreˇsn´ı roviny; ve vysunut´em p˚ udoryse je tato skuteˇcnost naznaˇcena pˇr´ısluˇsn´ ym prodlouˇzen´ım zadan´ ych z´akazov´ ych ˇcar
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5
Geometrie
Aplikace
z
Ak1
O
B1k
x
135◦ C1k P1k
I1k
Qk1
J1k
M1k
R1k
N1k K1k
D1k
S1k
Lk1 F1k
H1k yk
Gk1
E1k
A1(2)
O1
B1(2)
x1
1
D1(2)
C1(2) 2
P1 (5,5) 1 Q1 (5,5) 3
(2)J1
(2) I1 5
M1 (7)
K1 (5)
(2) H1 y1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5 4
1 4
2 R1 (4,5) 3 S1 (4,5)
N1 (7)
3
E1(2)
F1(2)
L1 (5)
4
G1(2)
6
Geometrie
Aplikace
• vysunut´ y p˚ udorys pˇrenesme do koso´ uhl´eho pr˚ umˇetu – pˇritom se budeme orientovat pˇredevˇs´ım pomoc´ı souˇradnic jednotliv´ ych bod˚ u, zat´ım n´am staˇc´ı jen x-ov´e a y-ov´e; vysunut´e p˚ udorysy A1 , B1 bod˚ u A, B leˇz´ı na pˇr´ımce x1 , jejich koso´ uhl´e pr˚ umˇety Ak1 , B1k budou tedy na ose x a jejich x-ov´e souˇradnice xA = 3 a xB = 9 se pˇri tom zachovaj´ı; u ´seˇcka B1 C1 je rovnobˇeˇzn´a s osou y1 , proto bude v koso´ uhl´em pr˚ umˇetu B1k C1k k y k , a d´ale se y-ov´a souˇradnice d´ıky zadan´emu kvocientu q = 1 zachov´a, takˇze bude platit |B1k C1k | = yC = 2; analogicky dopln´ıme koso´ uhl´e p˚ udorysy vˇsech ostatn´ıch bod˚ u na okapu i hˇrebenov´ ych vrchol˚ u – konstrukce je snad dost jasnˇe patrn´a z obr´azku; pro jistotu a kontrolu uved’me u ´pln´ y seznam p˚ udorys˚ u vˇsech bod˚ u vˇcetnˇe jejich x-ov´ ych a y-ov´ ych souˇradnic: A1 [3; 0], B1 [9; 0], C1 [9; 2], D1 [12; 2], E1 [12; 7], F1 [6; 7], G1 [6; 10], H1 [0; 10], I1 [0; 4], J1 [3; 4], K1 [0; 7], L1 [3; 7], M1 [3; 5], N1 [6; 5], P1 [6; 3,5], Q1 [9; 3,5], R1 [9; 4,5] a S1 [12; 4,5]
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
7
Geometrie
Aplikace
Mk
z
Nk Qk
Pk
Bk
Ak
S
Rk Lk
Kk
Ck
Ak1
O
k
Dk
B1k
x
135◦ Jk Ik
C1k P1k
I1k
J1k
M1k
Qk1
Fk
R1k
N1k K1k
D1k
Ek
S1k
Lk1 F1k
Gk
Hk
H1k yk
Gk1
E1k
A1(2)
O1
B1(2)
x1
1
D1(2)
C1(2) 2
P1 (5,5) 1 Q1 (5,5) 3
(2)J1
(2) I1 5
M1 (7)
K1 (5)
(2) H1 y1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5 4
1 4
2 R1 (4,5) 3 S1 (4,5)
N1 (7)
3
E1(2)
F1(2)
L1 (5)
4
G1(2)
8
Geometrie
Aplikace
• na z´avˇer uˇz jen staˇc´ı nad sestrojen´e koso´ uhl´e p˚ udorysy zvednout rovnobˇeˇznˇe s osou z pˇr´ısluˇsn´e v´ yˇsky, kter´e m´ame ok´otov´any ve vysunut´em p˚ udoryse; t´ım z´ısk´ame koso´ uhl´e k k k k pr˚ umˇety A , B ,. . . , R , S vˇsech okapov´ ych i stˇreˇsn´ıch vrchol˚ u; ted’ uˇz staˇc´ı jen spr´avnˇe urˇcit viditelnost a vyt´ahnout v´ ysledek, kter´ ym je relativnˇe n´azorn´ y a pomˇernˇe jednoduˇse sestrojen´ y koso´ uhl´ y obraz objektu s vyˇreˇsenou prakticky upravenou stˇrechou 2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
9
