• Seznámit čtenáře s pokročilými druhy her, jež se v základních vysokoškolských kurzech běžně nevyskytují • Ukázat význam konceptu Nashovy rovnováhy, jenž provází teorii her skrz všechny kapitoly • Naučit pohlížet na situace kolem nás v pojmech teorie her a přemýšlet o jejich řešení • Pomoci pochopit matematickou složitost modelů teorie her • Definovat hry skrz čtyři základní pojmy: hra, hráči, strategie a výplata
Řekli o knize: „Kniha je napsána čtivě a nápaditě. Zavedení dvou simultánních výkladů látky, jeden matematicky korektní a druhý popularizující, je zajímavým nápadem. Podle mého názoru se jedná o titul, který na českém trhu chybí. Domnívám se, že si kniha najde své čtenáře jak z odborné, tak i laické veřejnosti.“
Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. MFF UK v Praze, katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail:
[email protected] www.grada.cz
Martin Chvoj
ve světě kolem nás
Kniha si klade tyto cíle:
POKROČILÁ TEORIE HER
Na trhu ojedinělá kniha seznamuje čtenáře s evolučními hrami, diferenciálními hrami, statistickými hrami a metahrami, vysvětluje základní myšlenkové toky a koncepty, a ilustruje je na mnoha, většinou původních příkladech. Všechny tyto hry jsou v české literatuře velmi špatně dohledatelné a neexistuje u nás publikace, která by je rozumně shrnovala. Autor nejprve stručně představuje základní teorii her, která pak slouží jako odrazový můstek k zajímavějším druhům her, a v závěru knihy vede polemiku o použitelnosti teorie her v běžném životě. Publikace je určena zejména studentům vysokých škol, kteří prošli základním kurzem teorie her a chtějí se o této disciplíně dozvědět více. Kniha klade na čtenáře nároky zběžné znalosti základů teorie her, logiky, teorie pravděpodobnosti a matematické analýzy. Každá kapitola obsahuje dvě části: matematickou a nematematickou. Matematická část tvoří zhruba dvě třetiny kapitoly a je v ní vyložena látka s matematickou korektností doplněná příklady. Nematematická část shrnuje matematickou část řečí, která nepoužívá matematické výrazy, a měla by sloužit čtenářům, jež nemají hlubší matematické znalosti, aby se v látce zorientovali a pochopili hlavní myšlenky.
Martin
Chvoj
Martin
Chvoj
Grada Publishing
Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno.
RNDr. Martin Chvoj, MBA
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás TIRÁŽ TIŠTĚNÉ PUBLIKACE: Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 5095. publikaci Odborný recenzent: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Odpovědný redaktor Petr Somogyi Sazba RNDr. Martin Chvoj, MBA Počet stran 232 První vydání, Praha 2013 Vytiska Tiskárna PROTISK, s.r.o., České Budějovice © Grada Publishing, a.s., 2013 Kresba na obálce © Bc. Eliška Sedláčková Cover Design © Grada Publishing, a.s., 2013 ISBN 978-80-247-4620-3 ELEKTRONICKÉ PUBLIKACE: ISBN 978-80-247-8393-2 (ve formátu PDF)
Název kapitoly
1
Obsah
5
Obsah OBSAH .................................................................................................................................5 PODĚKOVÁNÍ .......................................................................................................................7 O AUTOROVI ........................................................................................................................9 PŘEDMLUVA ......................................................................................................................11 ÚVOD DO TEORIE HER .......................................................................................................15 1.1 KLASICKÁ TEORIE HER ......................................................................................................... 15 1.2 UŽITEK A RACIONÁLNÍ CHOVÁNÍ ............................................................................................ 23 1.2.1 Užitek………………………………………………………………………………………………………………. 23 1.2.2 Racionální chování…………………………………………………………………………………………… 25 1.3 KOOPERATIVNÍ HRY ............................................................................................................ 28 1.4 VĚZŇOVO DILEMA.............................................................................................................. 32 1.5 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ .................................................................................................. 34 EVOLUČNÍ HRY ...................................................................................................................41 2.1 MOTIVACE EVOLUČNÍCH HER ............................................................................................... 41 2.2 STATICKÁ ANALÝZA ............................................................................................................ 42 2.3 DYNAMICKÁ ANALÝZA ........................................................................................................ 48 2.4 ASYMETRICKÉ HRY ............................................................................................................. 55 2.4.1 Asymetrické hry využívající behaviorální strategie……………………………………………. 56 2.4.2 Alternativní přístup k asymetrickým hrám……………………………………………………….. 60 2.5 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ .................................................................................................. 65 PROBLÉM REGULACE .........................................................................................................75 3.1 PROBLÉM OPTIMÁLNÍ REGULACE ........................................................................................... 75 3.1.1 Formalizace problému regulace……………………………………………………………………….. 76 3.1.2 Typy regulací……………………………………………………………………………………………………. 81 3.2 VARIAČNÍ POČET................................................................................................................ 82 3.2.1 Nutné podmínky………………………………………………………………………………………………. 84 3.3 PRINCIP MAXIMA ............................................................................................................... 88 3.3.1 Věta o principu maxima…………………………………………………………………………………... 89 3.4 HAMILTON-JACOBI-BELLMANOVA ROVNICE ............................................................................ 93 3.5 METODY ŘEŠENÍ, PŘÍKLAD A MOŽNÉ TVARY VÝSLEDKU ............................................................... 96 3.5.1 Poznámka k metodám řešení optimalizačních úloh………………………………………….. 96 3.5.2 Možné tvary výsledku………………………………………………………………………………………. 99 3.6 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ ................................................................................................ 100
6
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
DIFERENCIÁLNÍ HRY ......................................................................................................... 104 4.1 ÚVOD DO DIFERENCIÁLNÍCH HER ......................................................................................... 104 4.2 ROVNOVÁHY V DIFERENCIÁLNÍCH HRÁCH .............................................................................. 106 4.3 TYPY DIFERENCIÁLNÍCH HER ............................................................................................... 109 4.3.1 Hry o pronásledování……………………………………………………………………………………… 109 4.3.2 Stochastické diferenciální hry…………………………………………………………………………. 114 4.3.3 Nemarkovovy hry…………………………………………………………………………………………… 116 4.4 ILUSTRAČNÍ PŘÍKLAD DIFERENCIÁLNÍCH HER ........................................................................... 120 4.5 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ ................................................................................................ 126 STATISTICKÉ HRY ............................................................................................................. 136 5.1 DEFINICE A MOTIVACE STATISTICKÝCH HER ............................................................................ 136 5.2 BAYESOVSKÉ HRY ............................................................................................................. 143 5.3 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ ................................................................................................ 154 METAHRY ........................................................................................................................ 161 6.1 VYMEZENÍ POJMU „METAHRA“ .......................................................................................... 161 6.2 DEFINICE A ZNAČENÍ METAHER ........................................................................................... 162 6.3 METARACIONÁLNÍ STRATEGIE, METAROVNOVÁHA .................................................................. 165 6.4 CHARAKTERIZACE METARACIONÁLNÍCH STRATEGIÍ .................................................................. 172 6.5 POLEMIKA NA OBHAJOBU METAHER .................................................................................... 174 6.6 NEMATEMATICKÉ SHRNUTÍ ................................................................................................ 179 SUN-C' A TI DRUZÍ ............................................................................................................ 190 7.1 TEORIE HER JAKO VĚDA ..................................................................................................... 190 7.2 TEORIE HER JAKO POMŮCKA............................................................................................... 191 7.2.1 Hry o pronásledování……………………………………………………………………………………… 192 7.2.2 Rozděl a panuj.……………………………………………………………………………………………….. 195 7.2.3 Omezená informace……………………………………………………………………………………….. 196 7.2.4 Využití omezené informace v politice……………………………………………………………… 200 7.3 TEORIE HER JAKO ZÁTĚŽ .................................................................................................... 202 APENDIX .......................................................................................................................... 204 A.1 TEORIE MÍRY .................................................................................................................. 204 A.2 TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI ............................................................................................. 210 A.3 JINÉ POUŽITÉ POJMY ........................................................................................................ 222 LITERATURA ..................................................................................................................... 225 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ ....................................................................................... 227
7
Poděkování Rád bych na tomto místě poděkoval svému otci, teoretickému fyzikovi doc. RNDr. Zdeňku Chvojovi, DrSc., jenž mě ve studiu matematiky již od útlého věku vytrvale podporoval a tato publikace, ke které mi dal mnoho užitečných rad, nechť je pro něj jistou zárukou, že jeho snaha nebyla marná. Zvláštní poděkování patří mému učiteli z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy doc. RNDr. Petru Lachoutovi, CSc., bez jehož odborných připomínek a kontroly zejména matematické korektnosti by tato kniha nemohla vzniknout. Teorie her je matematickou disciplínou, což běžně nepatří k nejlákavější četbě, proto bych rád poděkoval své blízké kamarádce Andree Fuxové za stylistickou korekturu a její příspěvky k čitelnosti často strohého technického textu. Tato kniha je určená především studentům aplikované matematiky. Za poznámky, jež vedly k přístupnosti knihy cílové skupině, vděčím své kamarádce a bývalé kolegyni Ing. Márii Bolcárové. Také bych rád poděkoval Bc. Elišce Sedláčkové, jejíž pevná ruka ozdobila každou kapitolu krásnou a výstižnou ilustrací. Knihu věnuji své matce JUDr. Blance Chvojové za její podporu a stále usměvavou povahu.
8
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
9
O autorovi
RNDr. Martin Chvoj, MBA
Absolvent Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, obor finanční a pojistná matematika (RNDr. 2012) a Central European Management Institute (MBA 2013). Pracoval tři roky jako auditor ve velké čtyřce poradenských firem. Mimo profesní život byl aktivním členem akademického senátu, věnoval se organizování neziskových akcí pro mladé dospělé. Teorie her ho zaujala během studia a napsal na toto téma všechny studijně významné práce. Materiál, který v průběhu šesti let nasbíral, předává dále prostřednictvím této knihy.
10
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
Předmluva
11
Předmluva V běžném životě často čelíme problémům, pro jejichž řešení potřebujeme nástroj, jenž nám pomůže učinit správná rozhodnutí. Jedním z takových nástrojů může být matematika a matematické modely. Pro mnoho lidí je však čistá matematika velmi nesrozumitelná a komplikovaná. Tudíž je potřeba ji nějak vhodně vyložit. Teorie her, jakožto samostatná matematická větev, získala svou oblíbenost právě díky tomu, že dokáže interpretovat matematické výsledky způsobem, kterému lidé rozumějí. Dobrým příkladem je třeba slavná Nashova věta, za kterou dostal John Nash v roce 1978 John Von Neumann Theory Prize. Tato věta nepřináší do matematické teorie mnoho nového. Jedná se vlastně pouze o Browerovu větu o pevném bodu aplikovanou v prostředí teorie her. Nicméně její skutečný význam spočívá v interpretaci. John Nash vyřkl závěr, který může být srozumitelný téměř každému, a tím nezpochybnitelně přispěl k přitažlivosti matematiky. Od té doby bylo vymyšleno mnoho základních modelových her, které se vyučují v řadě oborů, jako je biologie, psychologie, vojenská strategie apod. Tyto hry bývají demonstrovány na skutečných oborových situacích, a tím je matematika předávána dále lidem, kteří by třeba o ni jinak zájem neměli. Toto je pravděpodobně způsobeno pojmem „hra“, který je lidem běžně známý a vzbuzuje představu, že nejde o náročné problémy. Nicméně teorie her pouze pohlíží na matematické problémy z jiného úhlu, formuluje běžné úlohy svou vlastní řečí, ale výpočty na pozadí si zachovávají veškerou matematickou náročnost. A právě proto může teorie her obsahovat i velmi složité a pokročilé úvahy. „Klasická teorie her“, jak ji zde představíme, popisuje především jednokolové hry a rozděluje konflikty do několika jednoduchých kategorií. My se jí budeme zabývat pouze z důvodu, že jde o neoddělitelné základy, které je potřeba popsat. V první kapitole je, mimo úvodu do teorie her, definovaný pojem Nashovy rovnováhy, což je stěžejní koncept rovnováhy pro většinu druhů her. Kniha se nicméně orientuje na jiné typy her, které jsou v české literatuře podstatně méně popsané. Čtenář by se do jejich studia měl pustit poté, co pochopí fungování a konstrukci Nashovy rovnováhy v základních hrách. Pro tyto účely doporučuji uznávanou literaturu profesora Maňase (Maňas, 1991) nebo o něco starší (Maňas, 1974). Podotkněme, že se v této knize často budeme zabývat hledáním nějaké kombinace strategií, kterou nazveme rovnovážnou. V takové situaci hráči nemají důvod své strategie měnit. Každá kapitola se věnuje jinému typu her, tudíž budeme definovat lehce odlišné koncepty rovnováhy. Jak však při bližším zkoumání uvidíme, ačkoliv se mohou tyto rovnováhy zdát v definici odlišné, v zásadě se všechny odráží od jedné a té samé myšlenky. Jde právě o již zmíněný koncept Nashovy rovnováhy, jenž říká, že v rovnovážném stavu nemá žádný jedinec lepší možnost než hrát rovnovážnou strategii. Mohli bychom se však ptát, proč vůbec takovou rovnováhu hledat. Co nám o hráčích řekne? V odpovědi na tuto otázku nesmí chybět zmínka o tom, že popisování a hledání rovnovážných bodů je nedílnou součástí jakékoliv literatury zabývající se teorií her, proto by byl hřích zde tyto úvahy nevyložit. Z pragmatického hlediska však důvod pro hledání rovnováhy existovat nemusí. Empirické průzkumy nám opakovaně dokazují, že například lidští hráči se podle rovnovážných strategií nechovají. Nicméně i když asi nebudeme schopni přímo určit, jak se hráč bude ve hře chovat jen čistě na základě naleze-
12
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
ní rovnovážné strategie, tak jsme schopni lépe odhadovat pravděpodobné chování hráče. Rovnovážná strategie tak bývá dobrým nástrojem k analýze chování racionálních hráčů. Druhá a čtvrtá kapitola se soustředí na vícekolové hry, kdy hrají hráči tutéž hru opakovaně a mohou své strategie v dalších kolech měnit. Jednu z větví těchto vícekolových her představují tzv. evoluční hry, což jsou v zásadě vícekolové hry, do nichž je zapracován mechanizmus inspirovaný Darwinovou evoluční teorií. Nejprve zde popisujeme evoluční hry ze statického pohledu a definujeme koncept evolučně stabilní rovnováhy. Tím, že se hry opakují a hrají vícekrát za sebou, je užitečné dívat se na evoluční hry také z dynamického hlediska. Zejména nás zajímá, zda lze zavést nějaký dynamický koncept (alespoň lokální) rovnováhy. Tu nalézáme pod pojmem asymptoticky stabilní rovnováha. Ve čtvrté kapitole se zabýváme diferenciálními hrami. Ty se od evolučních liší především tím, že zatímco v evolučních hrách hráči hrají konečný počet kol a čas zde vystupuje diskrétně (skokovitě), tak v diferenciálních hrách se vždy hraje nekonečný počet kol a čas zde vystupuje spojitě. Trochu nepřesně by se dalo říci, že evoluční hry jsou diskrétní verzí diferenciálních her. I v diferenciálních hrách lze zavést koncept rovnováhy známý jako Markovova Nashova rovnováha, která je opět jakousi obdobou Nashovy rovnováhy z klasické teorie her. V páté kapitole, jež nese název „statistické hry“, se vracíme k rozšíření přehledu teorie her. Výklad je zúžen na jednokolové hry dvou hráčů: statistika a přírody, přičemž se na problém díváme pouze z pohledu statistika. U přírody očekáváme, že jde o hráče, jehož volbu strategie nemůžeme z dostupných informací spolehlivě determinovat, a proto používáme matematický aparát z teorie pravděpodobnosti. Popisujeme situaci, kdy statistik učiní pokus a na základě jeho výsledku se snaží pomocí Bayesovské metody odhadnout, jakou strategii příroda do hry zvolí. Šestá kapitola je zároveň poslední kapitola, která popisuje matematické partie teorie her. Věnuje se v literatuře málo popisované větvi známé jako metahry. Tento přístup se snaží dívat na hry odlišným způsobem než předchozí hry a jeho motivace vychází z pozorování přemýšlení lidí. Popisujeme zde situace, kdy alespoň jeden z hráčů volí své strategie až poté, co všichni ostatní oznámili ty své. Stejný model se však skrývá i za myšlenkou, že jeden hráč dokáže spolehlivě odhadnout volbu strategií ostatních hráčů a tudíž se chová, jako by volil svou strategii až poslední. Právě pro tuto vlastnost jsou metahry vhodné k modelování situací, kde jsou hráči lidé. V samotném závěru kapitoly je uvedena polemika ospravedlňující tento přístup. Závěrečná sedmá kapitola se vůbec nezabývá matematikou. Klademe si v ní několik pragmatických otázek týkajících se použitelnosti teorie her v běžném životě. Ptáme se, jak lze využít složité modely pro situace, před nimiž denně stojíme. Zda je potřeba se teorií her zabývat a analyzovat je, nebo nám stačí pouze tradiční poučky, jak je psal Sun-c' a jemu podobní. Tato kapitola zároveň slouží jako doslov a shrnutí celé knihy a snaží se ukázat cestu, jak
Předmluva
13
vidět hry v situacích kolem nás. Matematická část je zde z pochopitelných důvodů zcela vypuštěna a jediné, co zbývá, jsou praktické závěry a otázky k zamyšlení. Na samý závěr knihy je umístěn Apendix, v němž jsou uvedeny a stroze okomentovány matematické pojmy a závěry použité v předchozích kapitolách, u nichž nebyl prostor k důslednému výkladu. Plné pochopení zde uvedených definicí a vět předpokládá základní znalosti matematické analýzy a diferenciálního počtu, který je vyučován v prvních ročnících většiny vysokých škol s matematickým zaměřením. Apendix pak doplňuje tuto látku zejména o základy teorie míry a teorie pravděpodobnosti. Pro hlubší pochopení těchto myšlenek je však třeba obrátit se na odbornou literaturu zaměřující se přímo na tyto oblasti matematiky. Definice a věty uvedené v knize jsou převzaty z literatury, jež je k nalezení za apendixem. Uvedená literatura však není míněna jako kompletní seznam všeho, co bylo o zde probíraných částech napsáno. Její kompletní výčet by vystačil na další menší knihu. V dobách internetu není ani takový seznam žádoucí. Pokud budeme brát v potaz i internetové články a elektronické publikace, tak lze říci, že nové texty tohoto výukového a popularizačního typu se ve světě objevují velmi často a jakýkoliv pokus o úplný seznam by velmi rychle zastaral. Čtenář mající zájem dále rozšířit své obzory v oblasti teorie her může pokračovat ve zdrojové literatuře uvedené v závěru, ale stejně tak dobře může zadat do internetového vyhledávače hledaný výraz a v krátkém čase dohledat materiál, jenž ho zajímá. Jedním dechem však dodávám, že česky napsaných textů týkajících se pokročilých partií teorie her je v době vydání této knihy velmi omezené množství a je tak třeba sáhnout po anglicky psané literatuře. Kniha by neměla být chápána jako vědecká práce a nemá ambice vytvářet nové matematické závěry. Měla by sloužit jako průvodce světem vybraných pokročilých partií teorie her. Každá kapitola je rozdělena na dvě části, přičemž první část je primárně matematická a druhá čistě nematematická. Obě části vykládají to samé, ale matematická část je určena pro čtenáře, kterým nedělá problém orientovat se v matematických symbolech a považují tyto zápisy za přehledné a srozumitelné. Také příklady, jež jsou zde uvedené, jsou popsané jako matematické modely, které pak dále řešíme. Naproti tomu nematematická část neobsahuje žádné exaktní definice a věty, vše je zde vyjadřováno slovně. Výsledky jsou interpretovány a ilustrovány na příkladech vybraných za účelem provázání hlavní myšlenky probírané kapitoly s praktickými situacemi z běžného života. Výběr kapitol je proveden podle následující koncepce. V úvodní kapitole jsou představeny hry, jež jsou považovány za absolutní základ. Jde však pouze jen o jeho stručné připomenutí, abychom získali nějaký odrazový můstek pro zajímavější a složitější partie teorie her. Historicky jde také o první modely, které se začaly nazývat hrami. Tyto matematicky jednoduché hry jsou však jen obtížně použitelné, pokud bychom chtěli modelovat běžné situace nějak přesněji. Většinou když v životě volíme svá rozhodnutí, tak přemýšlíme dopředu a zvažujeme následky svých činů. Stejně tak přemýšlí i naši protihráči a všichni tak volí své strategie s vědomím, že touto hrou svět nekončí. Zdá se tedy, že bychom se měli zabývat i vícekolovými hrami, které vnáší do teorie čas. Vývoj her v čase je tak první krok k pokročilým partiím teorie her. Evoluční hry z druhé kapitoly pracují se skokovitým časem a diferenciální hry pak tyto evoluční zobecňují a uvažují modely, kdy čas plyne spojitě. Pomocí aparátu z těchto kapitol jsme již schopni namodelovat téměř jakoukoliv situaci, která nás napadne a o které
14
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
máme plnou informaci. To však není v praxi normální. Běžně se stává, že něco nevíme, nebo neumíme deterministicky modelovat. Nějaké informace nám jsou skryté a my je musíme odhadnout. V takové chvíli má pro nás matematika modely, které pracují s náhodou, tzv. stochastické modely. Úvod do her, které tyto modely používají, lze nalézt v kapitole zabývající se statistickými hrami. Pokud ovládneme i tuto kapitolu, pak jsme již schopni namodelovat téměř libovolnou situaci. Další krok je tedy přirozeně zamyslet se nad tím, zda jsou hry vůbec použitelné tam, kde je použít chceme. Co bychom od her mohli čekat, to je modelování rozhodování živých lidí. Když bychom se po přečtení páté kapitoly ohlédli, mohli bychom zjistit, že dosavadní konstrukce her jde jinou cestou než myšlenky běžného člověka. Nabízí se tedy možnost pokusit se modelovat myšlenkové toky lidí jinak. O to se pokoušejí metahry popsané v šesté kapitole. Od páté kapitoly se také mění pohled na hry. Zatímco v prvních čtyřech kapitolách se celou dobu díváme na hry jako na „nějakým způsobem fungující systém“, tak v posledních kapitolách hry analyzujeme zejména z pohledu jednoho individuálního hráče. Závěrečná sedmá kapitola se pak snaží uvažovat nad skutečnou užitečností matematických modelů a hledí na celou knihu pragmatickým okem. Na závěr úvodu bych se s vámi podělil o jednu vzpomínku z doby, kdy jsem chodil do druhé třídy a o teorii her jsem ještě nic nevěděl. Přesto jde myslím o pěknou ilustraci teorie her z běžného života. Tehdy jsme ve škole v hodinách psaní přecházeli od sestavování písmenek a psaní tužkou k dospělejším metodám. Měli jsme se začít učit psát plnícím perem. Rozdali nám proto taková zelená pera, do nichž se musel nejprve natáhnout inkoust. Bohužel jsem nepatřil k těm nejzručnějším ve třídě, a tak se mi po pár dnech podařilo ten inkoust z pera vypustit do penálu. Abyste pochopili, jaký to byl problém, tak je třeba říci, že mě naše třídní učitelka neměla ráda a často mě před třídou zesměšňovala. Kdyby přišla na to, co jsem udělal, byla by štěstím bez sebe a mohla by být na koni několik týdnů. Potřeboval jsem se nějak vyhnout tomu, abych byl označen za špindíru a sklidil škodolibé posměšky od zbytku třídy. Pamatuji si, že jsem o tom usilovně přemýšlel celou velkou přestávku, až jsem skutečně našel řešení. Dnes bych ho označil za geniální. Byl jsem pro naší třídní učitelku trnem v oku, ale stejně tak ve třídě měla i své oblíbence. Jako byla například věčně vzorná Terezka. Chudák Terezka měla tu smůlu, že se stala příliš velkým mazlíčkem naší třídní učitelky a tudíž i mým vhodným prostředkem, jak se vyhnout cílenému ponížení. Moje strategie spočívala v tom, že jsem z individuálního problému udělal daleko větší problém, k jehož řešení bylo potřeba použít úplně jiné prostředky. V nepozorovaný okamžik jsem Terezce udělal to, co jsem udělal sám sobě, a vypustil jsem její plnící pero do jejího penálu. Jakmile Terezka zjistila, jakou spoušť jí v penálu udělalo nové pero, řekla to učitelce, která okamžitě začala zjišťovat, co se stalo. Přihlásil jsem se, že se mi přihodilo to samé. A kupodivu se přidali ještě další dva spolužáci se stejným problémem, kteří to doposud tajili. Kdybych se přihlásil jenom já, bylo by to trapné, ale tím, že do toho byla zapletena i Terezka, která by nic špatně udělat nemohla, musela být chyba někde jinde. Výsledkem bylo, že nám učitelka dovolila používat propisky.
Úvod do teorie her
+
15
1 Úvod do teorie her 1.1 Klasická teorie her
Teorii her lze chápat jako můstek mezi reálnými každodenními problémy, ve kterých je potřeba učinit nějaké rozhodnutí, a teoretickou matematikou, v níž se často zdá, že se skutečným světem nemá nic společného. Situace, kde jsou nutná rozhodnutí (nazývané někdy též konflikty), mohou být libovolného charakteru, jenž vás při tomto slově napadne. Můžete si pod tím představit spor sourozenců o to, kdo umyje nádobí, cenovou válku dvou konkurenčních firem, boj zvířat o potravu, šachovou partii, rozhodování o strategii politické kampaně… Záleží jen na fantazii a schopnosti vnímat danou situaci jako „konfliktní“ v tom smyslu, že je nutné vybrat strategii, s níž bude jedinec situaci řešit. Teorie her je pak mocným matematickým nástrojem, který může usnadnit výběr takové strategie a dosáhnout lépe kýženého výsledku. K pochopení této knihy je nutné si uvědomit, že ačkoliv využívá každá kapitola jiný matematický aparát a pracuje s jinými pojmy, tak jde vždy jen o jinou definici čtyř základních pojmů: hra, hráči, strategie a výplata. Celá teorie her se o tyto pojmy opírá a různé kategorie her spočívají jen v obměně vymezení, co který pojem reprezentuje. To, že se pak dostaneme k jiným matematickým prostředkům, je již jen důsledek potřeby vzniklý problém řešit. Pojďme si tedy slovně říci, co jednotlivé pojmy znamenají. Hra je jakýsi mechanizmus pravidel, do něhož vstupují různě inteligentní objekty zvaní hráči, hrající hru se strategiemi, jež si zvolili z nějaké množiny strategií. Hra pak posbírá od všech hráčů jejich strategie, vyhodnotí je a jednotlivým hráčům rozdělí výhry neboli výplaty.
16
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
Tím se dostáváme k vysvětlení, jak se stane, že si text v jedné knize o teorii her přečte bez problémů čtenář, na něhož je kladen pouze požadavek středoškolské matematiky, a v jiné, podobné knize se pak ztrácí v pojmech jako funkcionál nebo stochastický integrál. Jedno je však zřejmé – teorie her je především matematická disciplína, proto se bez matematiky a logického uvažování neobejdeme. Tvorba matematického pozadí kolem jednotlivých kategorií teorie her funguje následovně: 1) Určí se, jaký druh reálného konfliktu chceme pomocí her modelovat. 2) V souladu s bodem 1) se vymezí čtveřice základních pojmů: hra, hráči, strategie a výplata. Například hra může být jednokolová nebo vícekolová, hráči mohou být přemýšliví nebo nevypočitatelní, strategie pro všechny hráče stejné nebo má každý individuální možnosti volby, výplata vypočitatelná nebo nejistá apod. 3) Když máme definované čtyři základní pojmy, tak můžeme sestavit optimalizační úlohu, kterou se budeme snažit vyřešit. Tato úloha má tvar a složitost danou právě charakterem jednotlivých detailů, které jsme určili v bodu 2). 4) Jakmile máme formulovanou optimalizační úlohu, tak hledáme vhodný matematický nástroj, kterým se pokusíme, co nejpřesněji úlohu vyřešit. Záměrně zde píši „co nejpřesněji“, protože často jsou optimalizační úlohy tak složité, že buď by bylo přesné vyřešení úlohy příliš časově nákladné, nebo není matematický nástroj vůbec dostupný. 5) Výsledek z bodu 4) interpretujeme do kontextu identifikovaného konfliktu z bodu 1) a posoudíme, zda jsme dostali rozumný závěr, který situaci nějak může řešit, či ji alespoň vhodně a použitelně analyzuje. Jak ale poznáme, zda námi zvolený přístup vhodně řeší zkoumaný problém? Pro drtivou většinu situací reálného života nepotřebujeme znát číselně přesné výsledky. Už jen fakt, že ve výplatě hráčů pracujeme s užitkem, nám dává mnoho „příležitostí“ k nepřesným odhadům tvarů výplatních funkcí. V bodu 4) je také psáno, že se problémy řeší často aproximačními metodami. Dopouštíme se různých zjednodušení, jako třeba že populaci 10 milionů hráčů šikovně nahradíme jedním hráčem, abychom pak neměli 10 milionů rovnic pro výplatu. Diferenciální rovnice, které mohou vzniknout u diferenciálních her (viz kapitola 4), se často řeší numericky, neboť by analytické řešení bylo příliš zdlouhavé a navíc bychom ho byli schopni vypočíst jen u jednoduchých her. A reálné situace se jen zřídkakdy dají vyjádřit pomocí jednoduchých her. Po takovýchto ústupcích od ideálního řešení je pak vždy dobré nezapomenout na bod 5) a své závěry si nějakým způsobem otestovat. Například zda jsou v souladu s historickými daty. Třeba při špatné volbě modelu hry nám může u plánování politické kampaně vyjít závěr, že nejlepší strategií by bylo zavést jednotnou daň z příjmu 90 %. Politik, který by však tuto daň navrhl, by brzy zjistil, že výsledná optimální strategie je politicky neprosaditelná. V takové situaci by bylo potřeba učinit závěr, že buď modelu chyběla nějaká omezení, nebo že se model špatně interpretoval. Z těchto důvodů se výklad teorie her zpravidla omezuje na body 2) až 4) a body 1) a 5) pouze pro inspiraci uvádí na několika příkladech. V naší knize budeme postupovat úplně stejně. Nicméně hlavním cílem knihy je, aby si pak čtenář dokázal kroky 1) a 5) domyslet již sám, aby chápal, jak jsou jednotlivé typy her spolu propojené, aby dokázal přemýšlet o každodenních situacích v řeči teorie her.
Úvod do teorie her
17
Přejděme nyní k matematické formalizaci, bez které se dále v knize neobejdeme. Obecně můžeme hru definovat takto: Definice 1.1: Nechť je dána konečná neprázdná
-prvková množina a dále měřitelných množin a omezených reálných funkcí definovaných na kartézském součinu . Hrou hráčů v normálním tvaru budeme rozumět uspořádanou -tici (1.1) I
Množinu prvek
nazveme množinou hráčů množinu nazveme strategií hráče a funkci
nazveme prostorem strategií hráče , nazveme výplatní funkcí hráče (vše
). Hodnotu výplatní funkce nazveme výplatou hráče . Je-li hodnota výplatní funkce pro daného hráče kladná hovoříme o zisku, je-li záporná hovoříme o ztrátě. se nazývá koalice. Spojenou strategii hráčů z koalice Podmnožina množiny značíme , kde je prostor spojených strategií hráčů z .
pro
Zde je na místě důležitá poznámka k značení. V definici (1.1) jsme označili jako strategie hráčů. Nicméně značení jako strategie se nebudeme v následujících kapitolách striktně držet. Proto je na místě věnovat pozornost značení v úvodu každé kapitoly, aby nedošlo k chybné interpretaci vyložené látky. Uveďme, že chceme-li vypočíst výplatu hráče , tak jakkoliv může být nemateriální, je vhodné modelovat výplatní funkce tak, aby vyjadřovaly užitek, který danému hráči přinese výsledek hry. V hrách, kde se vyskytují peníze, zpravidla používáme totiž předpoklad, že hráčův užitek je přímo úměrný výši jeho peněžního příjmu. Užitku se blíže věnuje následující podkapitola. Když nyní známe obecnou definici hry, pojďme se podívat, jak lze hry kategorizovat pomocí různých vymezení základních pojmů. Celková klasifikace her je však v literatuře nejednotná. Následující výčet není úplný a ani zdaleka jediný. Pokud však čtenář pochopí, že se k jednotlivým bodům dostane skrz obměnu základních pojmů, pak nebude tuto klasifikaci potřebovat a třeba si vytvoří i vlastní. Uvádím zde tento výčet kvůli lepší orientaci v literatuře. Zde je tedy jen několik možných pohledů na hry, jež mohou sloužit jako vodítko k představě, jak hry členit či klasifikovat:
I
V dalším budeme značit
..
,
..
a hra pak bude
18 i)
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás Kooperativní a nekooperativní hry Hry jsou kooperativní, pokud mohou hráči uzavírat vynutitelné dohody, v nekooperativních hrách toto umožněno není.
ii)
Jednokolové a vícekolové hry V jednokolových hrách hráči odehrají jednu hru, rozeberou si výplaty a zkušenosti nabyté ve hře již dále neuplatňují. Důležité je také, že hráči přímo volí své strategie na základě faktu, že další kola hry již nebudou. Ve vícekolových hrách se hraje hra vícekrát za sebou a hráči před každým kolem mohou změnit své strategie. Ve volbě rozumných rozhodnutí vzniká potřeba uvažovat více kol dopředu, neboť je zde například hrozba msty ze strany hráčů, kteří vyjdou z dřívějších kol poškození nebo s horší výplatou. Zvláštní případ vícekolových her, kde hráči kopírují strategie úspěšnějších hráčů, se nazývají evoluční hry (viz kapitola 2). Je třeba zmínit, že pokud hráči vědí, že hrají poslední kolo vícekolové hry, tak se chovají, jakoby hráli jednokolovou hru. Jejich volba strategií se tedy mění na základě počtu kol, která mají před sebou. Dobrý příklad jednokolové hry je konkurzní řízení firmy v likvidaci. Všichni zúčastnění se snaží ze zbankrotované firmy sobecky vytáhnout co nejvíce peněz. Zatímco pokud firma funguje normálně a zdravě, hrají akcionáři vícekolovou hru a jejich cíle můžou být i dlouhodobé, nebudou se tak snažit jen vybrat z firmy v co nejkratším čase co nejvíce peněz.
iii)
Symetrické a asymetrické hry Pod symetrickými hrami se zpravidla rozumí takové hry, kde hráči volí ze shodné množiny strategií. V některých zdrojích se ještě navíc předpokládá, že výplatní funkce jsou pro hráče stejné. V asymetrických hrách nic takového neplatí a hráči se pak logicky ocitají v nerovnocenném postavení.
iv)
Hry s nulovým součtem a hry s nenulovým součtem Hry, ve kterých je součet výplat všech hráčů vždy roven nule, jsou hry s nulovým součtem. Velmi často lze za hry s nulovým součtem označit hry, kde je součet výplat všech hráčů roven jakékoliv dopředu dané konstantě. Hry s nenulovým součtem jsou pak hry, kde nelze dopředu určit, jaká konkrétně bude hodnota součtu výplat všech hráčů.
v)
Hry s úplnou (dokonalou) informací a s částečnou informací Hry s úplnou informací jsou takové hry, kde hráči mohou znát všechny možné průběhy hry. Hry s částečnou informací jsou naproti tomu takové, kde hráči do-
Úvod do teorie her
19
předu neznají některé prvky ve hře, např. množinu strategií protihráče, svoji výplatu, počet hráčů apod. V ekonomických problémech jde téměř vždy o případ hry s nedokonalou informací a získávání dalších informací je nákladné, čímž se snižuje hodnota výplatní funkce hráče, který vynakládá prostředky na získání chybějících informací.
vi)
Nekonečně dlouhé hry Jsou hypotetické hry, které mají nekonečný počet kol. Jejich význam je především teoretický a zkoumání takovýchto her může sloužit například k poznání chování nějakého modelu v limitních podmínkách.
vii)
Konečné, diskrétní a spojité hry V konečných hrách je množina strategií každého hráče konečná. V diskrétních hrách může být tato množina navíc i nekonečná spočetná. Pokud je tato množina nespočetná, pak jde o spojité hry.
viii)
Simultánní hry a metahry (neboli sekvenční hry) Simultánní hry jsou takové, ve kterých všichni hráči postupují současně. Nebo obecněji jde o hry, kdy hráči v momentě volby své strategie nevědí, jak se zachovají či zachovali ostatní hráči. V metahrách (viz kapitola 6) volí hráči své strategie postupně, a tak mohou mít informace o volbách strategií některých svých protihráčů. Metahrám se někdy říká též sekvenční hry.
Inteligentní hráči jsou ti, kteří provádějí logické analýzy a na základě všech dostupných informací zvolí racionální řešení, jež maximalizuje hodnotu jejich modelované výplatní funkce. Takový hráč bere při výběru své strategie v úvahu všechna možná rozhodnutí ostatních hráčů. Hráči, kteří volí strategie zcela náhodně, a tudíž nezávisle na hodnotách jejich modelované výplatní funkce, se nazývají neinteligentní. A hráči, kteří se s pravděpodobností chovají jako hráči inteligentní a s pravděpodobností jako hráči neinteligentní, se nazývají -inteligentní. Lze ukázat, že pokud je ve hře více hráčů neinteligentních, pak můžeme bez újmy na obecnosti všechny vlivy jejich rozhodnutí shrnout do rozhodnutí jediného neinteligentního hráče. Jestliže je v rozhodovací situaci jeden hráč neinteligentní (nebo s ohledem na předchozí větu i více hráčů neinteligentních), nazvěme ho hráč 1, a pouze jeden hráč inteligentní, nazvěme ho hráč 2, pak rozhodování hráče 2 se nazývá rozhodování při riziku tehdy, pokud hráč 2 zná rozdělení pravděpodobnosti výběru strategie hráče 1. Pokud toto rozdělení není hráči 2 známo, hovoříme o rozhodování při nejistotě.
20
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
Mluvíme-li o inteligentním hráči generujícím racionální rozhodnutí (tím se zabývá podkapitola 1.2.2), tak musíme vytvořit nástroje a koncepty, u kterých řekneme, že přemýšlivý hráč s nimi při svých rozhodnutích nějakým způsobem pracuje. Pro popis výběru strategie inteligentního hráče nám může posloužit následující definice: Definice 1.2: -tici strategií
hry v normálním tvaru jestliže platí: (1.2) pro všechna hráče.
a všechna
nazveme rovnovážným bodem příslušné
. Složka
se nazývá rovnovážnou strategií -tého
Rovnovážná strategie -tého hráče je nejlepší strategie i-tého hráče za předpokladu, že ostatní hráči nezmění své strategie. Někdy se též rovnovážnému bodu (tedy kombinaci strategií, kdy všichni hráči volí rovnovážné strategie) říká Nashova rovnováha nebo zkráceně rovnováha. V Nashově rovnováze z definice platí, že kdyby se kterýkoliv hráč samostatně odchýlil od své rovnovážné strategie, tak si svou výplatu pohorší. Rovnováha nám však nic neříká o tom, jak se bude konflikt vyvíjet, pokud se od ní odchýlí více hráčů najednou. K tomuto nedostatku konceptu Nashovy rovnováhy se v knize ještě několikrát vrátíme. Zatím jsme uvažovali, že hráči volí jen jednu strategii ze své množiny strategií. Představme si následující situace: -
-
Máme jednoduchou symetrickou hru dvou hráčů, s množinou strategií . Sledujeme hru jen z pohledu hráče 1. Hráč 2 není příliš inteligentní, nejsme si tudíž jisti, jakou bude volit strategii. Klasicky bychom mohli říci třeba „hráč 2 na 80 % zvolí strategii a na 20 % strategii “. Jiná situace. Hrajeme nekonečnou sekvenční symetrickou hru dvou hráčů s množinou strategií . Hráč 1 volí strategii v průměru jednou za 4 kola a hráč 2 volí strategii každé druhé kolo.
V obou situacích je potřeba vyjádřit volbu strategie nikoliv jako jeden prvek z množiny strategií, ale jako vektor pravděpodobností, s jakou volí hráč 1 korespondující strategie z množiny strategií. Takovému vektoru se říká smíšená strategie. S takovou vágní definicí se spokojíme pro většinu diskrétních her a pro klasickou teorii her. Nicméně v této knize se setkáme i s případy, kdy bude množina strategií nespočetná. Pak již nemůžeme za smíšenou strategii označit vektor, ale obecně pravděpodobnostní míru. Tu bude možné ve speciálním případě konečné množiny strategií vyjádřit pomocí vektoru. Tato drobná nuance mění podobu
Úvod do teorie her
21
definic, které lze nalézt v literatuře zabývající se pouze klasickou teorií her. Na druhou stranu nám dává do rukou značně obecnější a silnější matematickou definici I. Definice 1.3: Nechť
je hra , kde pravděpodobnostní míry na (1.3)II
je hra v normálním tvaru. Smíšeným rozšířením hry G je vektor prostorů , jehož prvky jsou a kde d
Speciálně pokud jsou prostory strategií (1.4)
pro
konečné tak platí:
Prvky z prostoru se nazývají ryzí čisté strategie -tého hráče a prvky prostoru nazývají smíšené strategie -tého hráče III.
se
značí výplatu hráče volícího smíšenou strategii , pokud hráči Pro upřesnění zvolili smíšené strategie . Nyní již máme kompletní aparát k vyjádření jednoho z hlavních a základních poznatků celé teorie her. Jedná se o slavnou Nashovu větu: Věta 1.1 Nashova věta : Ve smíšených strategiích má každá konečná hra IV aspoň jeden
rovnovážný bod.
Díky tomu, že v konečných hrách je zaručena existence smíšené rovnovážné strategie, nazývá se rovnovážná strategie podle definice 1.2 také Nashova (rovnovážná) strategie. Konstrukce Nashovy rovnováhy je pěkně a bohatě popsaná v literatuře (například v (Maňas, 1991)) či snadno dohledatelná na internetu. Jde v zásadě o hledání lokálních extrémů s využitím metod lineárního programování. Jde o absolutní základ teorie her a čtenář by měl
I
Pokud čtenář není seznámen s teorií míry, pak odkazuji na Apendix, kde jsou její základy vysvětleny, aby bylo možné plně pochopit uvedené definice.
II
Poznamenejme, že integrál ve vzorci je chápan jako Lebesgueův.
III
Pro názornost uveďme příklad smíšené strategie: Máme množinu dvou strategií strategie hráče , pak to znamená, že hráč si do hry zvolí s pravděpodobností ností IV
strategii .
Konečná je taková hra, jejíž množiny strategií jsou konečné.
, tak pokud je smíšená strategii a s pravděpodob-
22
Pokročilá teorie her ve světě kolem nás
s těmito nástroji být obeznámen před tím, než se pustí do zkoumání pokročilejších partií popsaných v následujících kapitolách. Nashova věta zaručuje existenci rovnovážných strategií v konečných hrách, což jsou hry, kde je množina strategií konečná. Uveďme pro úplnost větu hovořící o podmínkách, zaručujících existenci rovnovážných strategií v hrách, kde prostory strategií můžou být i nekonečné: Věta . : Nechť má hra
v normálním tvaru tyto vlastnosti: (i) jsou kompaktní konvexní podmnožiny prostorů , . (ii) jsou konkávní funkce v proměnných definované na prostorech a to pro všechna . (iii) Funkce je spojitá v celém svém definičním oboru . (iv) Pro každé jsou funkce spojité vzhledem na množině . k Potom hra má alespoň jednu -tici rovnovážných strategií.
Teď, když inteligentní hráč již ví, že může hledat rovnovážné body a že je ve smíšených strategiích dokonce každá konečná hra má, tak by se mohl zajímat o to, která z nabízených strategií je pro něj nejlepší. K tomu mu pomůže zavedení uspořádání na prostoru všech strategií: Definice 1.4: Nechť
je smíšeným rozšířením hry -tého hráče silně dominuje (je lepší než) strategii neme že strategie -tého hráče pokud platí: (1.5a) (1.5b)
pak řek-
:
Značíme pak . Pokud je splněna pouze podmínka 1.5a pak říkáme že strategie -tého hráče dominuje (je aspoň tak dobrá jako) strategii -tého hráče a značíme . Pokud platí a zároveň pak říkáme že strategie a -tého . hráče jsou ekvivalentní jsou stejně dobré značíme Díky takovémuto uspořádání již můžeme strategie mezi sebou porovnávat. Jak však uvidíme dále v knize (viz kapitola 6), pro složitější hry, zejména takové, kde je nějaká míra nejistoty či rizika, nemusí být toto uspořádání příliš vhodné k racionální analýze konfliktu. V takových situacích je pak lepší zavést jiné uspořádání, které nějakým způsobem operuje s preferencemi či subjektivním pohledem na hru jednotlivých hráčů. Tím je řečeno jen to, že uspořádání zavedené v definici 1.4 je opět pouze inspirativní návod k tomu, jak by mohlo uspořádání na prostoru strategií pro racionálního hráče vypadat. Čtenář, který na racionálně
Úvod do teorie her
23
uvažujícího hráče bude klást jiné požadavky, může stejně tak dobře zavést jiné uspořádání, které bude lépe odpovídat jím řešeným situacím.
1.2 Užitek a racionální chování Píšeme zde o inteligentních hráčích, o racionálním chování a o optimálních výsledcích, ale co to vlastně znamená? Kdy můžeme o někom prohlásit, že se ve hře chová racionálně či inteligentně? Měli bychom mít nějaký standard pro to, co budeme nazývat alespoň v nějakém smyslu racionální. V klasické teorii platí, že inteligentní hráč jednající racionálně vybere z dostupných strategií takovou, která mu v námi modelované hře přinese největší výplatu užitku. Takový koncept však lze aplikovat skutečně jen na velmi jednoduché hry, ale v praxi pak pozorujeme, že tento přístup selhává. Je zde potřeba zmínit, že problematika kolem užitku a racionálního chování je předmětem dlouhodobé vášnivé filozofické diskuze. Tato kniha nemá ambice v tomto směru konkurovat matematicko-ekonomickým velikánům. Neměla by sloužit ani jako shrnutí základních poznatků, ani snad jako rovnocenný názorový konkurent. Smysl, proč jsou zde tyto odstavce zahrnuty, je, aby se studentu teorie her relativizovaly zmíněné pojmy, u kterých by mohl z některých ekonomických učebnic nabýt dojmu, že jsou jednoznačně, jasně a pevně určené.
1.2.1 Užitek Definice užitku je problém. Pokud se budeme jakkoliv snažit vyjádřit, co je to užitek, aniž bychom v jeho definici použili synonymum slova užitek, tak zjistíme, že definice nebude vhodně použitelná na všechny situace, kde ji chceme aplikovat. Například ve slovníku Collins Dictionary of Economics je definice užitku následující:
„Utility: satisfaction or pleasure that an individual derives from the consumption of goods or services“ I Bohužel nám tato definice příliš nenapovídá, jak bychom měli s užitkem pracovat. Nejde o matematickou definici, spíše o lingvistickou. Jiné definice dopadají podobně, a jak trefně uzavírá T. Sedláček, při bližším ohledání nakonec dostaneme definici užitku jako tautologii:
I
Překlad: „Užitek: uspokojení nebo potěšení, které jedinec získá ze spotřeby statku nebo služby“.
