Pojistná matematika Podstata pojišťovny: se vzrůstajícím počtem klientů, klesá pojistně technické riziko. Příklad: - Pravděpodobnost, ţe nastane pojistná událost, je 0,01 za jeden rok. Škoda, která můţe nastat při této pojistné události je 1 000 000 Kč. o Řešení z pohledu jednoho člověka, který není pojištěn. – pojistně technické riziko o Řešení z pohledu pojišťovny (kmen s N pojištěných a pojišťovna přebírá za ně jejich ztráty)
– pojistně technické rezervy (málo lidí) => optimální řešení
Základní pojmy -
Čisté riziko – je událost, která se můţe opravdu přihodit (poţár, úraz,…) Objektivní riziko – je dané nějakými faktory (věk, pohlaví, …) Morální riziko – riziko, kdy pojištěný nedělá vše pro to, aby předešel pojistné události (např. poţární hlásič nefunguje a pojištěný nezajistí jeho opravu před vznikem události)
Klasifikace pojištění -
-
Klasifikace tradiční o 1. dělení Soukromé pojištění – osob, majetek, odpovědnost za škodu, úraz, zdravotní pojištění, nemocenské pojištění Sociální pojištění – nemocenské a důchodové pojištění (státní důchodové pojištění a penzijní fondy) Zdravotní pojištění – státní, liší se od soukromého zdravotního pojištění o 2. dělení Dobrovolné pojištění Povinné smluvní pojištění – povinné ručení Zákonné pojištění Klasifikace z pohledu pojistné matematiky o Ţivotní pojištění Pojištění na smrt, doţití nebo na oboje zároveň (smíšené pojištění), důchodové pojištění – zde je garantovaný výnos Kapitálové a investiční ţivotní pojištění – zde není garantovaný výnos a finance jsou oddělené Pojistné: Jednorázové – zaplatím na začátku a dál uţ nic neplatím Běţné – pravidelné splátky (měsíční nebo ročně) Ryzí – takové, jeţ v průměru pokryje pojistné plnění, ale nepokryje provoz pojišťovny Hrubé – to, které platíme a pojišťovna pokryje provoz, výnos, rezervu (variabilitu) => v případě nadměrných pojistných událostí. Valorizované – je navýšeno o inflaci Proč je ţivotní z pohledu pojistné matematiky? Ţivotní pojištění plyne s ţivotem a je to dlouhodobá věc. Pojištění je rezervotvorné. Pro pojišťovnu je náročnější.
o Neţivotní pojištění Majetkové Domácnost, budovy, havarijní pojištění, průmyslová rizika, zemědělská rizika, Odpovědnost za škodu Smluvní (dobrovolné) – v běţném ţivotě (na blbost), vlastníka nemovitosti, podnikatele za výrobek, … Smluvní (povinné) – povinné ručení automobilů, letadel a myslivosti Zákonné – Odpovědnost organizace za škodu při pracovním úrazu a nemoci z povolání Úrazové pojištění Smrt úrazem, trvalé následky, náklady na léčení Soukromé zdravotní pojištění Cestovní pojištění a nadstandartní pojištění, pojištění denní dávky při pracovní neschopnosti, pojištění denního pobytu v nemocnici Příklad: - Pojistná událost nastane s pravděpodobností 0,001819. Výplata bude 1 000 000 Kč. Cena pojištění je 3 000 Kč, o a) máme 100 pojištěnců, o b) máme 10 000 pojištěnců, - a chceme spočítat střední zisk na jednu pojistnou smlouvu a pojistně technické riziko.
Pojmy k neživotnímu pojištění
Intenzita pojistné ochrany (0
I
1)
o
Pojistná hodnota (H) o Cena v době pojištění Nová cena (N) o Cena nové věci Časová cena (Č) o Bude zohledňovat amortizaci Pojistná částka (S) o Výše pojištění Škoda (Š)
Příklad podpojištění: - Cena v době pojištění 450 000 Kč, pojistná částka je 200 000 Kč, škoda na dané věci je 180 000 Kč a chceme vědět, kolik bude pojistného plnění. - Řešení: o o Pojistné plnění, které pojištěný dostane je 80 000 Kč.
Neživotní pojištění -
Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv (např. povinné ručení: typ vozidla, síla motoru, způsob pouţití, region)
-
Příklad o N = počet smluv v tarifní skupině o x = výše škody o q = pravděpodobnost škody (za rok) o X = počet škod; X ~ Bi (N; q)
o o o o = střední výše škody o Princip ekvivalence pro výpočet netto pojistného => střední výdaje = středním příjmům o Celkové netto pojistné (ryzí) = o o Míra kolísání (k) – volativita: o Řešení: N k při q = 0,001 k při q = 0,01 10 9,99 3,15 100 3,16 0,99 1 000 1,00 0,31 10 000 0,31 0,10
-
Příklad: o Spočtěte míru kolísání, jestliţe pravděpodobnosti úmrtí muţe v 22 letech q = 0,000641 a pravděpodobnost úmrtí muţe v 60 letech q = 0,014. Pojišťovna má pojistný kmen o 50 000 lidech.
Základní pojmy -
-
-
Průměrné pojistné plnění (PPP) Průměrná pojistná částka (PPČ) Průměrná škoda (PŠ) o o n – počet pojistných událostí o N – počet pojistných smluv Škodní frekvence (q1) o Škodní stupeň (ŠST) (q2) o => čím větší q2, tím větší škoda o Odhad q2 se zpřesňuje vyuţitím empirických charakteristik, kterým říkáme relativní četnosti. Netto pojistné (P) o předpoklady pro výpočet: pojistná částka S = PPČ pro kaţdou s N smluv n pojistných událostí, je rovnoměrně rozděleno během roku=> to pojistné, které je vybráno na začátku roku, tak vynáší technickou úrokovou míru (i = 1,9 %) přibliţně polovinu roku. o Princip ekvivalence
– diskontní faktor
-
– Netto pojistné – jednotkové nettopojistné Technická úroková míra – garantované zhodnocení ze zákona
-
Příklad:
o Stanovte jednotkové netto pojistné p pro pojištění rekreačních staveb s technickou úrokovou mírou 1,9 % a se škodní frekvencí 51 ‰ a škodním stupněm 9,8 %. o Řešení:
Škodní tabulka -
Tabulka 1 a 2 (škodní tabulka) o z – intervalový škodní stupeň. Kdyţ je z = 0,3 tak to odpovídá intervalu – výsledky škodního stupně o Tz – počet škod v daném škodném intervalu na n = 100 000 škod (absolutní četnost) o tz – relativní četnost - – pravděpodobnost škodního stupně o – váţený škodný stupeň o bz – kumulativní relativní četnost o Gz – kumulativní váţený škodní stupeň o – přes všechny z - střední škodní stupeň
-
Příklad: o Stanovte jednotkové netto pojistné, znáte-li technická úroková míra je 1,9 %, q1 je 3 % a pouţijte škodní tabulku 2.
-
Tabulka 3 a 4 (výlukový řád ze škodného stavu) o například u zdravotního, úrazového pojištění, kde chceme zjistit střední dobu výluky v pracovní neschopnosti o z – výsledek náhodné veličiny (počet dnů nebo týdnů) ve výluce o Vz – počet výluk trvající nejméně z o Uz – počet výluk trvající právě z o uz – relativní četnost (pravděpodobnost) z Uz => o uz*z – váţená doba ve výluce o d – střední doba výluky => o V tomto případě se nettopojistné počítá: o => S – je pojistné plnění za den (týden) výluky (škodného stavu)
-
Příklad:
o Stanovte netto pojistné v úrazovém pojištění, které je dáno škodní tabulkou 4 s technickou úrokovou mírou 1,9 % a škodní frekvencí 25 ‰ na 100 Kč pojistného plnění.
Formy pojištění 1.
S – pojistná částka H – pojistná hodnota I – intenzita pojistné ochrany Y – pojistné plnění X – škoda M – maximální moţná škoda Pojištění na pojistnou částku o pojistné plnění mi bude záviset pouze na vzniku pojistné události a nezávisí na škodě (např. smrt úrazem) – invalidní pojištění, pojištění na smrt o Výši škody nemá smysl zjišťovat o vzorec: Y=S
Příklad: o Máme 30-ti letého muţe, který si sjednal pojištění na smrt na 1 rok. Vypočtěte netto pojistné a pojistná částka je 1 000 000 Kč. To samé vypočtěte pro ţenu. Pouţijte 2. Škodové pojištění o pojistné plnění závisí na výši škody. o jedná se v zásadě o majetkové pojištění, odpovědnostní pojištění a. Ryzí zájmové pojištění
-
S=H I=1 výše pojistného plnění se rovná výši pojistné škody (Y = X) graf:
vzorec: neexistuje pojistná částka, ta je nahrazena pojistnou hodnotou b. Pojištění na plnou hodnotu I = s => S = s * H vzorec: Příklad o Chceme pojistit dům s hodnotou 2 000 000 proti ţivelným pohromám s q1 = 2 ‰ a q2 37 % a I = 90 %. Kolik peněz dostaneme při vytopení se škodou 200 00 Kč. 3. Pojištění na první riziko o ryzí zájmové pojištění omezené shora pojistnou částkou S o o o pouţívá se typicky u malých častých škod a u velkých, které jsou ojedinělé (pojištění domácností) o nebo chci záměrně pojistit část majetku (pojištění skladu) o vzorec:
-
Gs * H = střední výše pojistného plnění pro škody do škodního stupně s (1 – bs) * S – Střední výše pojistného plnění pro škody nad s
Příklad: o Pojištění domácností, jeţ se týká tabulka 2. Pojistná částka je 100 000 Kč, ale pojistná hodnota domácnosti je 500 000 Kč s q1 = 5 %. Spočítejte netto pojistné. 4. Kvótové pojištění o kombinace pojištění na první riziko a plnou hodnotu o Pouţívá se v případě, ţe chceme spoluúčast implicitně zohlednit v pojištění. o S – pojistná částka o t – 0 < t < 1 (faktor spoluúčasti – kvóta) o U = S/t – udaná hodnota (pojistná částka pro pojištění na plnou hodnotu) o o o vzorec:
-
-
Příklad: o Pojištění domácností, tedy tabulka 2. Bude nás zajímat kvótové netto pojištění, kdy faktor spoluúčasti je 0,5 a pojistná částka je 100 000 Kč.
-
Příklad: o Stanovte roční nettopojistné při technické úrokové míře 2,4 %, q1 = 2%, pojistná hodnota je 300 000 Kč. Vyuţijte škodní tabulku 1. Pro ryzí pojištění, pro pojištění na plnou hodnotu s pojistnou částkou 200 000 Kč, pojištění na první riziko s pojistnou částkou 180 000 Kč kvótové pojištění s pojistnou částkou 100 000 Kč a kvótou 0,05.
Spoluúčast 1. Podílová spoluúčast o p – procento spoluúčasti o 2. Odčetná spoluúčast (Excedentní spoluúčast) o pojištění nese spoluúčast v hodnotě F0 o Pozor F0 se vztahuje k velikosti škody, velikost pojistného plnění můţe být jiná. o př. pojištění na první riziko 3. Integrální spoluúčast o pojištění s výhradou drobných škod o pojištěný kryje škodné částky do Fi, ale na vyšších se nijak nepodílí o Př. pojištění na plnou hodnotu -
Příklad: o Technická úroková míra je 2,4 %, q1 = 0,02; H = 300 000 Kč, škodová tabulka 1. Ryzí zájmové pojištění s podílovou spoluúčastí 10 % Odčetná spoluúčast pro pojištění na plnou hodnotu S = 200 000 Kč, F0 = 30 000 Kč.
Integrální spoluúčast pro pojištění na první riziko, H = 300 000, S = 210 000, Fi = 30 000 Kč
Pojištění na první riziko s odčetnou spoluúčastí 30 000 Kč, pojistnou částkou 180 000 Kč.
Integrální spoluúčast 30 000 Kč pro kvótové pojištění na pojistnou částku 120 000 Kč s kvótou 0,7.
Podstata výpočtu
-
tz – pravděpodobnost, ţe nastane škoda ve výši z PPz – pojistné plnění při škodě z
Víceleté pojištění 1. Předplacené pojištění o P – roční nettopojistné o i – technická úroková míra o υ– diskontní faktor o Πn – nettopojistné na dobu n let o Při stornu vrací pojišťovna o jednorázové pojistné v případě, ţe se storno nevrací -
q1 - škodní frekvence (pravděpodobnost storna po škodní události) a – pravděpodobnost přirozeného storna např. z důvodu zániku z pojistného nebezpečí
Příklad: o Spočtěte nettopojistné jednorázové s P = 50 000 Kč, i = 2,4 %, a=2%, n=5 a q1 = 30 ‰.
Bruttopojistné Bezpečnostní přirážka RP – rizikové pojistné -
-
N – počet smluv v jednom roce S – pojistná částka smluv (stejná pro všechny smlouvy) p – roční nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku zi, i = 1,…N – škodní stupeň i-té smlouvy, při čemţ většina smluv má zi = 0 => nedošlo k pojistné události pro i-tou smlovu. vyuţíváme princip ekvivalence o o s – směrodatná odchylka pojistného plnění zi*S na jednu pojistnou smlouvu protoţe p je malé a N je velké, tak
o o -
Směrodatná odchylka celkového pojistného plnění R, tedy směrodatná odchylka na – směrodatná odchylka celkového pojistného plnění
o -
Předpokládáme, ţe celkové pojistné plnění má normální rozd.: o
Tedy volíme-li , protoţe pravděpodobnost, ţe ztratím peníze je veliká (0,16) – ztráta jednou za 6 let
-
Příklad: o Rizikové pojištění = ? o škodní tabulka č. 1; i = 2,4 %; k = 4; q1 = 20 ‰; H = 300 000 Kč a 890 pojistných událostí za rok. o Řešení Ryzí zájmové pojištění
– počet smluv u kterých nedošlo k pojistné události – pojistné události do škodního stupně 0,1
pojištění na první riziko s t=0,6
=> riziko 361,43
kvótové pojištění: t = 0,5; S = 100 000; U = 200 000 pojištění na plnou hodnotu s = 0,8 a integrální spoluúčast = 0,1
Technické rezervy v neživotním pojištění Rezerva na pojistné plnění -
podstatné jsou rezervy na pojistné plnění, v případě, ţe dochází ke zpoţdění plateb od pojistné události Rok vzniku 2000 2001 2002 2003 2004 2005
-
Rok 0 9 13 14 16 12 11
Vý 1 21 28 29 24 26
Vo 2 31 36 44 42
Je 3 4 5 42 50 50 46 60 60
Rok 0 9 13 14 16
Vý 1 21 28 29 24
Vo 2 31 36 44 42
Je 3 42 46 60 56
rok vzniku – rok, kdy vzniká pojistná událost rok vývoje – kolik let uběhlo od vzniku pojistné události čísla – pojistná plnění do daného roku (kumulativní) Chceme odhadovat budoucí pojistné plnění
Metoda Chain – Ladder -
vývojové koeficienty pro rok vývoje: o o o o o Rok vzniku 2000 2001 2002 2003
4 50 60 75 70
5 50 60 75 70
2004 2005
-
12 11
26 22
39 33
52 65 65 44 55 55
o – co všechno se musí vyplatit za pojištění vzniklá od roku 2000 do roku 2005 o – co jiţ je zaplaceno (diagonála) o rozdíl – co zbývá zaplatit => rezerva =126 technická rezerva jiţ vzniklé pojistné události
Vyrovnávací rezerva -
na pokrytí výkyvů pojistných plnění (vztahuje se k rizikovému pojistnému) v Německu se počítá ze zaslouţeného pojistného v roce t → Pt a ze směrodatné odchylky spočtené z kt-1, …, kt-15 o o o
- To je hodně
Matematické modelování v neživotním pojištění – teorie rizika -
model o můţe nahradit data, kdyţ je jich málo o popisuje chování rizika o mohu provádět statistické testování
Modely počtu pojistných nároků o X – náhodná veličina – počet pojistných nároků na rok a) K – počet smluv p - pravděpodobnost pojistné události – střední počet pojistných nároků
b) c)
počet nezdarů před α-tým zdarem α = 1 => geometrické rozdělení
d)
smíšené Poissonovo rozdělení, kdy stední hodnota je řízena hustotou
-
Příklad: o při pojištění poţáru je různé λ za různého počasí o Počasí suché: λ = 150 => normální: λ = 80 => vlhko: λ = 40 =>
-
Příklad: o Povinné ručení: Xi – počet událostí na jednu smlouvu za rok o Protoţe je průměr a rozptyl velmi podobný, můţeme zvolit Poissonův model o Nebo protoţe < VarXi, můţeme zvolit: o Model na počet všech pojistných nároků
-
-
Příklad: o q1 = 6 ‰, počet smluv K = 100, Zvolíme Poissonův model, počet pojistných událostí = X a) Pravděpodobnost ţádná pojistná událost b) pravděpodobonost, ţe počet pojistných událostí je více neţ 3 o Řešení:
a)
b)
Příklad: o q1 = 0,114; K=2178, o Řešení:
, Spočtěte pravděpodobnost, ţe nastane 300 nebo méně pojistných událostí.
a)
b) Intervalový odhad o spolehlivost 95 % pro střední počet pojistných událostí chci spočítat
=> kritické hodnoty:
=>
=> r = 31 =>
Intervalový odhad (2178 * 0,114 - 31;2178 * 0,114 + 31)
-
Příklad: o q1 = 15‰, K = 1000, pouţijeme Poissonův model, chceme počítat pravděpodobnost X = 0, X = 1, X > 1, X >10 – podle CLV a intervalový odhad 95% a 99%
-
Příklad: o α = 3,5; p = 0,996; Xi ~ NB(α;p) pro jednu smlouvu; K = 10 000 smluv, X ~ NB(K*α;p) přes všechny smlouvy. chceme počítat pravděpodobnost X = 1, X > 1, X >1500 – podle CLV a intervalový odhad 99% o
-
Příklad: o V roce 1993 bylo v ČR registrováno 6 025 000 aut a odcizeno 26 830. Pojišťujeme-li 10 000 aut spočtěte pravděpodobnost, ţe bude za rok 1994 odcizeno více jak 50 aut, s modelem Poisson CLV.
Modely výše škod 1. o o o 2. o o o 3. o o 4. o o o těţký chvost – mohou nastat extrémní výše škod (pro modelování odlehlých událostí) – např. většinou jsou chřipky a extrémní výše škod je rakovina
Složené pojistné modely -
náhodná veličina – celková výše škody (S) počet škod (X) => nevíme jak dlouhý je ten součet.
-
předpokládáme, ţe Y1, …, YX; X jsou nezávislé o o
-
Příklad: o Výše celkové škody S = ?; EY=10 000 a var Y = 2 000 000, q1 = 5‰; K=100 000 smluv; Pouţijeme pravděpodobnost ţe S > 10 000 000. o Řešení:
a)
000
b) intervalový 99% odhad
Interval: (500000-
, 500000+
)
. Chceme
Úmrtnostní tabulky Modelování úmrtnosti -
T0 – délka ţivota F0(t) = – distribuční funkce délky ţivota S0(t) = – funkce přeţití Tx – délka ţivota ve věku doţitých x
-
Fx(t) =
-
Např. F50(1) = pravděpodobnost, ţe 50 letý muţ se nedoţije 51 roku ţivota. – pravděpodobnost úmrtí ve věku x – pravděpodobnost doţití ve věku x – pravděpodobnost úmrtí před doţitím x + t – pravděpodobnost doţití x + t ve věku x - pravděpodobnost úmrtí ve věku x + s při dosaţených x - pravděpodobnost úmrtí do věku x + s + t při doţití x + s při doţitých x
-
Intenzita úmrtnosti – důleţitý pojem
)
– střední délka ţivota, při doţitých x Hustota úmrtnosti: o o o Po úpravách dostaneme aproximaci:
- přesné vyjádření intenzity
o o
– relativní pravděpodobnost umírání ve věku x – hustota
Modely intenzity úmrtnosti 1. Gompertzův model o 2. Makehamův model o 3. Weibůllův zákon úmrtnosti – ţivotnost technických zařízení v teorii spolehlivosti a.
Celočíselná délka života -
– celá část délky ţivota
=
Úmrtnostní tabulky na 100 000 lidí
-
x – věk lx – počet přeţivších (počet doţívajících se věku x) qx – pravděpodobnost úmrtí ve věku x: dx – počet zemřelých ve věku x Dx – počet zemřelých ve věku x ze sledovaných jedinců, kterých Px, odtud se přepočítávají hodnoty na 100000 obyvatel.
-
-
Lx – počet let proţitých dohromady jedinci ve věku x o o u kojenců Tx – počet zbylých let ţivota jedinců ve věku x (všech dohromady) o ; ω = 105 – střední délka ţivota Vztahy o o o
l0 je počet narozených
o o o o o -
Modelově: o X – počet jedinců doţivších se x )
-
Příklad: o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, bude naţivu ještě v 60 letech a to i pro ţeny.
-
Příklad: o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, zemře mezi 60. a 65. rokem.
-
Příklad. o Jaký je střední počet zbývajících let dvacetiletého muţe nebo ţeny?
-
Příklad o Pojišťovna pojišťuje 100 muţů ve věku 65 let a dává jim měsíční důchod 5000 Kč. Kolik musí pro ně vyhradit peněz ve střední hodnotě?
-
Příklad: o Panu Volkovi je 28 let a panu Biskupovi je 27 let. Jaká je pravděpodobnost, ţe pouze jeden z nich bude na ţivu ve svých 70ti letech?
Problémy úmrtnostních tabulek 1) Vývoj tabulek v čase o řešení pomocí generačních úmrtnostních tabulek o pro kaţdý rok narození mám speciální tabulku o vytvoření tabulky věkových posunů viz učebnice o pouţití tabulky věkových posunů: tabulka je vztaţena na qx ročníků 1955 (v učebnici) chceme spočítat pravděpodobnost úmrtí člověka v 50 letech, který se narodil v roce 1975 2) Muţi vs ţeny o řešení: všechny ţeny jsou povaţované za muţe => platí více v rizikovém pojištění (Pro důchodové pojištění, naopak) 3) Selekce vs antiselekce o selekce – pojišťovny vyţadují např. zdravotní prohlídku, podle které zařadí lidi do určité skupiny před vstupem do smluvního vztahu (lidé uzavírající základní smlouvy jsou tudíţ zdravější neţ průměr) o antiselekce – týká se důchodového pojištění; uzavírají ho lidé, kteří předpokládají, ţe se doţijí vysokého věku. Pojišťovny musejí v takovém případě pouţívat redukční koeficient místo qx. – fx*qx. 4) Bezpečnostní přiráţka o projevuje se implicitně v úmrtnostních tabulkách o jestliţe mám pojištění rizikové, tak potom musím qx zvednout, abychom vybrali dostatečné mnoţství pojistného o v případě důchodového pojištění musím qx sníţit a budu předpokládat, ţe lidi budou ţít déle
Odhad pravděpodobnosti úmrtí qx -
sledujeme období 1. 1. 2004 aţ 31. 12. 2005 a chceme odhadnout q50 o kmen: Narození 2004 2005 si (měsíc) ti (měsíc) ti – si 1. 4. 1953 V kmenu † 8. 5. 2005 9 12 3 11. 6. 1953 V kmenu V kmenu 7 12 5 5. 7. 1954 Vstup 1. 8. 2004 † 3. 5. 2005 1 10 9 30. 10. 1954 V kmenu Výstup 21. 8. 2005 0 10 10 1. 12.1954 V kmenu Výstup 18. 12. 2004 0 1 1 22. 5. 1955 Vstup 28. 9. 2005 V kmenu 4 7 3 1. 8. 1955 V kmenu V kmenu 0 5 5
si – kolik mu bylo měsíců při začátku pozorování (nebo kdyţ doţije 50) ti – měsíců na konci pozorování (např. smrt, nebo kdyţ se doţije 51)
o o Dx – počet úrmtí v kmenu ve věku 50 = 1 o o I – mnoţina zemřelých v pozorovacím období o o o o Pro malé kmeny je odhad značně nepřesný a proto je vhodné pouţít vyrovnávání tabulek pomocí klouzavých průměrů či funkcí.
Intervaly spolehlivosti:
potřebuje zohlednit nepřesnost a variabilitu Jednostranné intervalové odhady plní funkci bezpečnostní přiráţky pro důchodové pojištění zmenšujeme qx pro rizikové pojištění zvětšujeme qx Intervalový odhad pro důchodové pojištění
o D= – celkový počet zemřelých v kmeni o – počet ţijících ve věku x v pojistném kmeni o - hledaná bezpečnostní přiráţka o spolehlivosti 1 – α o o o o o Pouţití CLV -
– kvantli N(0,1) Odhad po elementárních úpravách – pro důchodové pojištění (pro rizikové by bylo –u…)
Příklad: o n = 1000 lidí; neuvaţujeme příchody a odchody z kmene; x = 40 a budeme odhadovat qx; D40 = 2; t1 = 7; t2 = 2 – dva lidi zemřeli v červenci a v únoru a počítáme na kmeni 40 – 44 let. Spočtěte intervaly spolehlivosti pro α = 0,05, je-li , , . o Intenzita úmrtnosti ve věku 50 let
,
Životní pojištění princip ekvivalence: příjmy se rovnají výdajům. - problémy: o vývoj peněz v čase (inflace) o náhodný charakter finančních toků - řešení: o příjmy budeme počítat jako očekávanou (střední hodnota) počáteční hodnotu (čas 0) pojistného = očekávané počáteční hodnotě pojistného plnění (Příjmy = Výdaje) o Vzhledem k linearitě stačí počítat jednotkové pojistné (pojistné na jednu korunu) - pojistně technické riziko = σ (směrodatná odchylka) – riziko pojištění - i = technická úroková míra – TÚM -
Příklad: o Máme 40. letého muţe, který si zakládá rizikové pojištění na dobu 5 let na pojistnou částku 1 000 000 Kč. Vypočítejte jednorázové nettopojistné. o Řešení: o Riziko pojištění
náhodná veličina udávající jednotkové pojistné plnění
riziko pojištění na 1 Kč. Na jednoho člověka mám riziko hrozně moc oproti vybranému pojistnému. o Kmen 100 lidí => o Kmen 10 000 => je optimální mnoţství lidí.
na sto lidí a na 1 000 000 Kč pojistné částky
Netto pojistné Komutační čísla: o nultého řádu: o prvního řádu: o druhého řádu: -
– diskontovaný počet doţívajících se věku x – diskontované mrtvolky
Příklad: o Pokračování příkladu výše:
----- S vyuţitím dvojitého diskontního faktoru
1) Pojištění pro případ doţití o pojišťuje se člověk ve věku x na n let a pokud se doţije n let, dostane cílovou částku o o o o o o -
je EZ počítáno s dvojitým diskontním faktorem
Příklad o 40 letý muţ si zakládá pojištění na doţití 60 let na 1 000 000 Kč. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko. o Řešení
2) Pojištění pro případ smrti Pojistná částka je vyplacena v případě smrti (pojištění nákladů na pohřeb) o o o -
Příklad o Jaké je jednorázové nettopojistné při pojištění 60 letého muţe pro případ smrti na pojistnou částku 1000 Kč. o Řešení:
3) Dočasné pojištění pro případ smrti o viz úvodní příklad k ţivotnímu pojištění o ţivotní úvěrové pojištění – dokáţe značně prodraţit hypotéky o o 4) Smíšené pojištění o kombinace pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ doţití. o Kapitálové ţivotní pojištění o o o -
Příklad: o x = 40, n = 20, pojistná částka v případě smrti 1 000 000 Kč a pojistná částka pro případ doţití je 2 000 000 Kč. o Řešení:
Jednorázové netto pojistné je 1 308 793,595 Kč s rizikem 186 018,9 Kč.
5) Pojištění s pevnou dobou výplaty o druh stipendijního pojištění o nezávisí na době smrti ani na x o o σ(Z) = 0
-
Příklad o Spočtěte jednorázové netto pojistné a riziko pro dočasné pojištění pro případ smrti. x = 20, n = 20, pojistná částka je 2 000 000 Kč, TÚM = 1,9 %.
-
Příklad o Kapitálové ţivotní pojištění x = 20, n = 40, pojistná částka na případ smrti 2 000 000 a pojistná částka pro případ doţití je 10 000 000.
Důchodové pojištění 1) Pojištění doţivotního důchodu ve věku x o uvaţujeme vţdy předlhůtní model o budeme počítat jednotkový důchod => výplata na začátku období bude 1 Kč o o o
-
o
– pojistné pro případ smrti
o
υ
Příklad: o V roce 60 svého věku chci 100 000 roční důchod. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.
2) Pojištění odloţeného doţivotního důchodu o o
=>
o polhůtní varianty 3) Pojištění dočasného důchodu ve věku x na n let o o o o Polhůtní model:
-
Příklad: o Pojištění dočasného důchodu ve věku 40 let na 20 let. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.
4) Področní důchody (důchody vyplácení např. měsíčně) o o o o o o -
příklad: o 1000 kč měsíčně doţivotní důchod pro 60 letého muţe
-
Příklad: o 1000 Kč měsíčně dočasné po dobu 40 let ve věku 20 let
Kalkulace běžného pojistného v životním pojištění -
vyuţití principu ekvivalence: o
-
Příklad: o pojištění na doţití ve věku x + n muţe ve věku x o P = běţné pojistné o Řešení:
jinak:
o Jaké je roční netto pojistné pro smíšené pojištění 40 letého muţe na 20 let na 1000 Kč pojistné částky? o Řešení: -
Příklad: o Jaké je měsíční netto pojistné z minulého příkladu?
-
Příklad: o Jaké je měsíční netto pojistné na 100 Kč měsíčního doţivotního důchodu odloţeného k věku 60 let, jestliţe se pojistné platí během doby odkladu důchodu. (x = 40, TÚM = 1,9 %
-
Příklad: o Spočtěte roční nettopojistné odloţeného důchodu ve věku x = 20 let a odloţen je k věku 60 let jestliţe se pojistné platí během doby odkladu na 100 Kč vyplácených měsíčně.
-
Příklad: o Spočítejte měsíční nettopojistné pro pojištění smrti na 5 let ve věku 20 let na pojistnou částku 1000 000 Kč.
Brutto pojistné 1)
2)
3)
4) 5) -
je to netto pojistné a správní náklady bezpečnostní přiráţka se implicitně zohledňuje v úmrtnostních tabulkách rizikové pojištění = netto pojistné + bezpečnostní přiráţka musíme zohlednit správní náklady Počáteční jednorázové náklady - α o provize za zprostředkování pojistné smlouvy o částka je obvykle v procentech např. α = 5 % za zprostředkování z cílové částky Běţné správní náklady - β o platí se kaţdý rok a jsou to náklady za administraci o např. β = 0,6 % Inkasní náklady - γ o náklady spojené s inkasování od klienta o např. γ = 5 % z jednorázového brutto pojistného Náklady při výplatě důchodu - δ Jednotná správní přiráţka – ε o Slučuje dohromady předchozí náklady Příklad: o Smíšené pojištění
-
Příklad: o Pojistné doţivotního odloţeného důchodu
Zdravotní aspekty životního pojištění 1) Lékařský underwriting – tj. lékařská prohlídka před uzavřením smlouvy. Při zjištění nedostatků dochází ke zvýšení bruttopojistného. Lékařská prohlídka je hrazena ze vstupních poplatků. Při zjištění rizikových faktorů u pojištěnce je pojistné násobeno koeficientem neúmrtnosti mm. Kouření 40 cigaret: mm=50% Vysoký krevní tlak: mm=100% Nadváha: mm=25% 2) Pojištění váţných onemocnění 3) Úrazové a invalidní pojištění (neţivotní pojištění) 4) Soukromé zdravotní pojištění (neţivotní pojištění)
Rezerva pojistného životního pojištění -
počítáme technické rezervy pojistitele, které jsou náklady na pokrytí pojistných závazků pojištěných
-
Příklad:
t 1 10 20
-
Pojištění pro případ smrti x = 40, n = 20 Očekávané Očekávané příjmy výdaje 6,51 2,9 6,3 7,12 5,7 15,96
Smíšené pojištění x = 40, n = 20, S = 1 000 Kč Očekávané Očekávané příjmy výdaje 41,20 2,9 39,88 7,12 36,10 851,96
v ţivotním pojištění je nutné ukládat rezervy na pokrytí budoucích výdajů Hodnota pojistné smlouvy v čase => prospektivní výpočet rezervy
-
=> retrospektivní výpočet rezervy
Zobecnění pojistného plnění pro různé typy pojištění -
x – věk n – doba pojištění t = 1,2,…,n – roky – pojistné plnění při doţití t-tého roku – pojistné plnění při úmrtí během t-tého roku
-
Příklad: o Smíšené pojištění na 1 000 KČ, x = 40, n = 20, at = 0, pokud t = 1,…,19, at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20
-
Příklad: o Trvalý důchod n = ω – x, x = 60, at = 1000, pokud t = 1,…,n; bt = 0, pokud t = 1,…,n
-
pro výpočet nettopojistné o o
o o -
Příklad: o Smíšené pojištění na 1 000 Kč, x = 40; n = 20; at = 0, pokud t = 1,…,19; at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20 o Řešení: Retrospektivní
-
Příklad: o Nettorezerva pro roky t = 1, 2, 19 dočasného pojištění pro případ smrti na 1 000 Kč, kdy x = 40, n = 20.
-
Příklad: o nettorezerva pro 2 roky na odloţený doţivotní důchod na 1 000 Kč, x = 40, n = 20. (t = 21, 22.)
Moderní postupy v životním pojištění 1) Kapitálové ţivotní pojištění (Flexibilní produkty ţivotního pojištění) o můţe se měnit: výše a způsob placení pojistného, pojistná částka zvyšování pojistného dle míry inflace (valorizace) o flexibilita je umoţněna oddělením rizikové sloţky a spořící sloţky o v případě smrti se vyplácí riziková tak i spořící sloţka o dva modely: konstantní pojistné plnění konstantní dočasné pojistné pro případ smrti o zhodnocení je dáno technickou úrokovou mírou a někdy podíly na zisku 2) Investiční ţivotní pojištění o odlišné investování neţ v 1) o investiční riziko nese klient volbou investičního fondu
Vzorová písemka 1) Muţ ve věku 36 let chce uzavřít smíšené ţivotní pojištění na dobu 24 let na částku 400 000 Kč v případě smrti a 800 000 Kč v případě doţití. Jaké bude roční nettopojistné? 2) Spočtěte netto rezervu pro první dva roky výše uvedeného pojistného. 3) Vypočtěte nettopojistné na pojištění RD na 3 000 000 Kč na ryzí zájmové pojištění s odečtenou spoluúčastí 1 000 Kč (q1 = 0,01 ; G1.0 = 0,3; G0,0003 = 0; b0,0003 = 0). 4) Modelujeme počet pojistných události poissonovým rozdělením. q1 = 0,01. Počet smluv K = 10000. Spočtěte pravděpodobnost, ţe počet pojistných událostí bbude menší neţ 125.