Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie
Počítání s přechodem přes desítku: chybování při výpočtu rozkladem
Kravcová Jana Psychologie – speciální pedagogika 3. ročník – 2004/2005
OBSAH:
1.
VYMEZENÍ OBLASTI PROBLÉMU……………………………………………. 3
2.
PASPORT VZORKU, HISTORIE VÝZKUMU…………………………………. 4
3.
ZÁKLADNÍ OTÁZKY VÝZKUMU……………………………………………... 4
3. 1
Jaké typy příkladů se objevují?.................................................................................. 4
3. 1
Jaké pomocné systémy jsou používány?................................................................... 5
3. 3
Jaké chyby se vyskytují?........................................................................................... 6
4.
ROZBOR DĚTSKÝCHVÝPOČTŮ………………………………………………. 9
4. 1
Kristián……………………………………………………………………………. 9
4. 2
Max……………………………………………………………………… ………. 10
4. 3
Viktor………………………………………………………………… ………….. 11
4. 5
Lenka……………………………………………………………………………... 13
5.
ZÁVĚR…………………………………………………………………………… 16
6.
LITERATURA…………………………………………………………………… 17
2
1. VYMEZENÍ OBLASTI PROBLÉMU Převážnou náplní učiva matematiky ve druhém pololetí druhé třídy je sčítání a posléze odčítání čísel s přechodem přes desítku. Tím se rozumí sčítání a odčítání od nuly do sta s tím, že dítě již neřeší pouze změnu čísla v rozsahu jedné desítky, ale musí pochopit systém přecházení z desítky do desítky. Rozdíl mezi těmito dvěma úkony a úsilím vynaloženým k dopočítání výsledku je značný. Dítě již nemá za úkol zjistit jen kolik je 3 + 3 anebo výsledek příkladu, který sice vypadá složitěji, ale počítá se na úplně stejném principu 53 + 3. Najednou je před dítě postaven příklad se zcela odlišným způsobem řešení. Ve třídě, kterou jsem navštěvovala učila paní učitelka děti systému rozkladu. Teoreticky řečeno - rozklad zahrnuje rozložení jednociferného sčítance na dvě čísla tak, aby první rozkladové číslo doplňovalo dvojciferný sčítanec do nejbližší celé desítky a druhé rozkladové číslo bylo rozdílem jednociferného sčítance a prvního rozkladového čísla. Poté sečteme dvouciferný sčítanec plus první rozkladové číslo, což nám dá celou desítku a nakonec přičteme druhé rozkladové číslo a dostaneme výsledek. Prakticky řečeno - 65 + 9 - šedesát pět a kolik je sedmdesát? a pět. Devět minus pět je čtyři. Devět tedy rozložíme na pět a čtyři. Šedesát pět plus pět je sedmdesát plus čtyři je sedmdesát čtyři. Teoreticky popsaný postup zní velmi složitě a zamotaně, myslím že i pro dospělého člověka. Prakticky popsaný postup rozkladu by už na pochopení nebyl pro dospělého nic složitého, ale myslím, že dítěti zní stejně jako teoretický výklad dospělému - velmi složitě a nepochopitelně. Dítě se musí naučit desítky po sobě jdoucí, vykonat několik různých operací rychle za sebou, musí pochopit proč dopočítáváme kolik chybí do následující desítky a pak toto číslo hned odečítáme od jednociferného sčítance, proč, jaký je mezi těmito čísly vztah? Myslím, že otazníků je v této problematice hned několik. Hlavní je, aby si učitel v tomto okamžiku uvědomil, jak důležité je věnovat vysvětlení rozkladu velkou pozornost, aby dítě pochopilo jeho podstatu a uvědomilo si jak, kdy a proč ho používat. Nejde o to, aby dítě pochopilo jen systém rozkladu, ono musí pochopit jeho podstatu. O tomto píše Milan Hejný ve spojitosti s tzv. chorobou formalizmu. „Formalizmus vzniká tehdy, když se poznání dostává do vědomí člověka přímo, ne přes separované a univerzální modely. Slovo „přímo” zde znamená, že člověk přebírá hotové poznání a ukládá si ho do paměti” (Hejný 2001, s.235). Etapy separovaných a unikátních modelů spadají do procesu poznávacích mechanizmů. Hejný je teoreticky popisuje jen stručně a podrobněji je vysvětluje na praktických příkladech. „Etapa separovaných modelů - postupné získávání zkušeností s konkrétními případy budoucí znalosti.Čím víc takovýchto různorodých modelů a překvapivých modelů i „ne-modelů” dítě pozná, tím pevnější bude jeho výsledné poznání. Etapa univerzálních modelů - začíná poznáním, že některé separované modely jsou stejné. Pokračuje poznáním, že tyto modely se mohou navzájem zastupovat. Končí volbou univerzálního modelu či modelů. To jsou ty, které jsou vhodné na zastupování jiných modelů. Univerzálním modelem pro počítání jsou především prsty a počitadlo” (Hejný 2001, s.236). V kapitole o formalizmu se Hejný v podstatě snaží varovat před učením se matematiky nazpaměť. Hejného myšlenka formalismu je zajímavá, a bezesporu na ní „něco je“. Musím ale na základě svých pozorování říct, že neplatí zcela doslovně. Ba naopak je někdy v matematice nutná potřeba formalismu a jeho nedostatek může být na škodu. Mám na mysli například učení se tomu, jak jdou desítky po sobě (viz kapitolu 3.2.- desítková tabule). Dítě, aby zvládlo porozumět počítání s přechodem přes desítku a aby si mohlo tento proces zautomatizovat, musí se naučit nazpaměť to, jak jdou desítky po sobě, ať už rozumí tomu proč, nebo ne.
3
Štech ve článku Škola nebo domácí vzdělávání? píše také o formalismu. Nepíše o něm přímo ve vztahu k výuce matematiky, ale myslím, že se v jeho názoru dobře odráží má myšlenka. Mluví o tom, že v pokročilejším učivu nelze žákům stále vše předvádět prakticky a učit je vše na příkladech ze života. „Vyšší matematiku nebo sofistikované literární žánry se neučíme proto, abychom je použili k řešení praktických problémů života. Učíme se je pro „gymnastiku“ myšlení, pro estetický zážitek (je např. známo, že bez formalizovaného „instruování“ člověk neumí ocenit kvality výtvarného díla nebo zažít hudební prožitek) a pro povědomí o společné kultuře“ (Štech, 2003, s. 423).
2. PASPORT VZORKU, HISTORIE VÝZKUMU Během výzkumu jsem docházela do jedné z běžných základní škol v Berouně. Mým jediným požadavkem před nástupem na tuto školu bylo navštěvovat první nebo druhou třídu. Pan ředitel mi vybral třídu 2.A. Do této třídy chodí celkem 19 dětí, především z Berouna, zbytek z nejbližších vesnic. V průběhu března probíhalo mé pozorování během všech předmětů, posléze už jen při hodinách matematiky. Paní učitelka byla velmi příjemná, vstřícná a nakloněná novým nápadům. Během hodin se snažila využívat mnoho různých technik, přiblížit žákům učivo z několika stran, aby ho správně pochopili. Dbala také na časté procvičování a opakování. Vysvětlila jsem jí, že v její třídě nebudu zastávat funkci žádné inspekce, ani že nemám v plánu hledat chyby na jejím vyučování. Mým cílem bylo splynout se třídou tak, aby mě brala jako svého člena a chovala se i v mé přítomnosti naprosto přirozeně. Paní učitelka mě přijala naprosto bez výhrad. Upozornila mě, že vyučovat bude tedy tak jak je zvyklá, protože i kdyby se snažila jakkoliv přetvařovat či předělávat výuku, poznaly by to nejen děti, ale i já a ji samotnou by to velmi vyčerpávalo. Při prvních hodinách pozorování mne zaujal problém počítání v matematice s přechodem přes desítku. Bylo to učivo, které se právě začínalo probírat, což pro mě bylo velmi výhodné. Mohla jsem problematiku podchytit hned od začátku. Začala jsem si pořizovat podrobné zápisy z hodin matematiky a s postupem času začaly vyvstávat různé otázky. Pochopily děti podstatu rozkladu ? Používají jej i v duchu nebo jen když musí příklad napsat s rozkladem? Pomáhá jim? Které pomocné systémy děti používají? Jaké typy příkladů se objevují? Většinu zápisků jsem získala z dialogu dítěte s učitelkou před tabulí. Po dohodě s paní učitelkou jsem během hodin matematiky procházela mezi lavicemi, když jsem viděla, že dítě spočítalo příklad chybně, ptala jsem se ho, jak počítalo, odtud pochází mé další zapsané rozhovory. Dalším materiálem, který jsem analyzovala jsou písemky dětí, které psaly s odstupem jednoho měsíce. S těmito sebranými daty bych chtěla ve své práci dále pracovat, analyzovat je a roztřídit tak, abych výsledné závěry mohla použít pro svůj další výzkum.
4
3. ZÁKLADNÍ OTÁZKY VÝZKUMU 3.1 Jaké typy příkladů se objevují? 48 + 4 = 48 + . = 52 4 + 48 = (48 + 4) - 20 = Všechny typy těchto příkladů můžeme zařadit do binárních operací , kam spadá sčítání, odčítání, násobení, dělení. Binární operace je pravidlo, které každé dvojici čísel přiřadí nějaké číslo. Při těchto operacích jde ve vyučování o tři věci: „ - porozumění jejímu smyslu - schopnost uskutečnit ji - při menších číslech z hlavy, při větších písemně - porozumění algoritmu - proč se akce vykonává právě tak, jak jsme se to učili Přitom nejdůležitější je porozumění smyslu operace a nejméně důležité je porozumění algoritmu.” (Hejný 2001, s. 333) Zbylé dva typy standardních akcí, které se vyskytují v matematice na 1.stupni ZŠ jsou: - unární operace - zaokrouhlování, absolutní hodnota - binární relace - porovnávání, dělitelnost čísly 2, 3, 4, 5, 6, 9 a 10.
3.2 Jaké pomocné systémy jsou používány? desítková tabule – pomůcka, která dětem permanentně visí ve třídě. Děti ji při počítání nevyužívají, protože mají pořadí desítek již naučené (někteří zažité). Desítkovou tabuli se všichni musely naučit nazpaměť jako „říkanku“. Pokud si při počítání příkladu nemůže dítě najednou vzpomenout, učitelka mu nezakazuje se na desítkovou tabuli podívat, naopak ho k tomu sama vybídne. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 9 10 18 19 20 28 29 30 38 39 40 48 49 50 58 59 60 68 69 70 78 79 80 88 89 90 98 99 100
„buřtíky” - metoda, kterou při vysvětlování rozkladu učitelka používá. Při prvních příkladech je děti musely zakreslovat povinně, aby si uvědomily souvislost mezi čísly v příkladu. Později, i když ještě počítaly s rozkladem, už je nemusely zakreslovat. Když si ale dítě nevědělo s příkladem rady a učitelka ho vybídla, ať si nakreslí buřtík, došly mu většinou souvislosti a najednou věděl, co sečíst a jak příklad dopočítat;
5
48 + 4 = 2
2
počitadlo – počitadlo používala učitelka jen ze začátku, kdy dětem názorně ukazovala dopočítávání do celé desítky. Děti ho používaly tehdy, byly-li vyvolány před tabuli a nevěděli si rady s rozkladem.Tehdy je učitelka vybídla, aby si vzaly počitadlo a ukázaly si to na něm. Samostatně v lavicích jej nepoužívaly; prsty – většina dětí již prsty nevyužívá. Ti, kteří je používají s nimi nijak výrazně nemanipulují, nechávají ležet ruce na lavici, jen nenápadně pohybují prsty a sledují je; kostičky - metoda, kterou paní učitelka zkoušela nabídnout jen Viktorovi. Viktor má s rozkladem velké problémy, nechápe proč se dopočítává do desítky, od kterého čísla pak tento rozdíl odečíst a proč. Vůbec nepoužívá prsty, ani když ho učitelka vybídne, ať si jimi pomůže. Proto mu na lavici položila 10 obyčejných kostek, ať si manipuluje s nimi. Ani kostky nepoužíval. Proto mu učitelka jako poslední pomůcku dala pomocný trojúhelník; pomocný trojúhelník – systém všech možných rozkladů čísel od 1 do 10 1
2= 3= 1+1 1+2 2+1 2+2 3+1
4= 1+3 2+3 3+2 4+1
5= 6= 1+4 1+5 2+4 2+5 3+3 3+4 4+2 4+3 5+1 5+2 6+1
7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1+6 1+7 1+8 1+9 2+9 2+6 2+7 2+8 3+8 4+8 3+5 3+6 3+7 4+7 5+7 4+4 4+5 4+6 5+6 6+6 5+3 5+4 5+5 6+5 7+5 6+2 6+3 6+4 7+4 8+4 7+1 7+2 7+3 8+3 9+3 8+1 8+2 9+2 9+1
12 = 13 = 3+9 4+9 5+8 6+8 6+7 7+7 7+6 8+6 8+5 9+5 9+4
14 = 5+9 7+8 8+7 9+6
15 = 16 = 17 = 18 = 6+9 7+9 8+9 9+9 8+8 9+8 9+7
číselná osa - tato pomůcka nebyla v hodinách používána často. Děti s ní pracovaly pouze tehdy, bylo-li v zadání slovní úlohy v učebnici, ať v průběhu řešení používají číselnou osu. Zdálo se mi, že děti zcela nepochopily její smysl. Místo toho, aby jim grafické znázornění příkladu výpočet usnadnilo, měly problémy s tím co a jak na ose vyznačit, vybarvit. Zda vybarvovat políčka doleva (při odčítaní) či doprava (při sčítání).
3.3 Jaké chyby se vyskytují? Automatický rozklad – největší, nejčastější a nejnápadnější chybou, která se při počítání s přechodem přes desítku u dětí dala vypozorovat, je používání automatického rozkladu. Je možné, že se tato problematika může dotýkat problému formalismu, o které píše Hejný a Kuřina (2001), kdy dítě nepochopí systém, podstatu ani účel rozkladu, ale ví, že se po něm něco takového chce. Problematiku automatického rozkladu v rámci formalismu vidím v tom, že dítě nechápe podstatu rozkladu. Neví, z jakého důvodu rozkládáme číslo tak, aby doplňovalo 6
první číslo do celé desítky. Kdyby tento princip chápalo, rozložilo by v příkladě 69 + 5 číslo 5 na 1 a 4. Protože mu to ale jasné není, rozloží 5 na 3 a 2 a dál už si s příkladem neví rady. To, že použije rozklad na 3 a 2, je zcela logické. Za prvé je to rozklad, se kterým se dosud setkávalo nejčastěji. Myslím, že druhým důvodem proč dítě, které nerozumí systému použije tento rozklad je, že se vždy snaží použít rozklad co nejjednodušší. Tzn. že pokud po dítěti chcete libovolný rozklad nějakého čísla od 1 do 10, v podstatě vždy řekne dvě čísla poloviční (8 je 4 a 4, 6 je 3 a 3,…). Pokud není číslo dělitelné dvěma, hledá dítě čísla navzájem si co nejbližší (3 je 2 a 1, 7 je 3 a 4, 9 je 5 a 4). Jiné vysvětlení vzniku automatického rozkladu by nám mohly nabídnout triády. Triáda – je trojice symbolů, které patří k sobě. Každé číslo je možným skladem dvou jiných čísel a krom toho se všechna tato čísla stávají, v příkladech na odčítání, účastníky rozkladů. „V logice příkladu jako „skladu a rozkladu“ pak dvě menší čísla-počty skládají třetí, vcházejí do něj, tvoří jeho součást jako výsledku (pokud sčítáme) nebo lze toto číslo rozložit, jedno z něj ubrat – výsledkem je zbývající číslo struktury. Tak se v dalším vývoji postupně význam každého čísla vnitřně strukturuje jako průsečík všech možných triadických struktur skladů a rozkladů, jichž je potenciálním účastníkem“ (Rendl 1998 a). Zjednodušeně a stručně řečeno: vztah dvou čísel vyjádřený třetím konstituuje triádu – jsou to tři čísla, která nějak patří dohromady. Tento předpoklad může vést k dalšímu druhu chyb. Může dojít k tomu, že dítě sčítání a odčítání týchž dvou čísel zamění za shodné příklady. Je-li shodné pořadí, jsou shodné i příklady. Tak může být příklad 4 - 2 doplněn výsledkem 6 na základě podobnosti s příkladem 4 + 2. Stejně se tomu může dít i naopak – příklad 4 + 2 = 2, protože 4 – 2 = 2. Triáda by měla být tušení či vědomí souvislosti mezi jednotlivými čísly. Dítě, které to ale nepochopí do důsledku si zautomatizuje vztahy mezi některými čísly a ty pak používá obecně. V tom může být další kámen úrazu při počítání s přechodem přes desítku. Tyto děti pak používají triády při rozkladu přičítaného čísla, bez ohledu na to, jak je číslo nutné rozložit. Např. když vidí číslo 7, hned se mu vybaví čísla 4 a 3, bez ohledu na znaménko mezi nimi => je napsán příklad 55 + 7. Je třeba, aby dítě rozložilo 7 na 5 a 2. Dítě ale 7 rozloží automaticky na 4 a 3 a pak už si s příkladem málokdy poradí. Dopočítávání – jak jsem psala v kapitole Které pomocné systémy jsou používány? Děti již prsty téměř nepoužívají. Proto nedochází k výraznému dopočítávání na prstech, ale myslím, že některé z nich využívají dopočítávání v duchu. Při tomto postupu dochází často k chybám. Většinou nejde o velké chyby. Dítě se ve výsledku mýlí o jedno nebo dvě čísla. Vysvětlení se v tomto případě logicky nabízí. Například dítě v příkladu 38 + 7 nezačíná počítat až od čísla 39, ale vždy počítá od čísla, které je v příkladu první napsáno (38, 39, 40, 41, 42, 43, 44). Z toho vyplývá, že mu výsledek nemůže vyjít správě, ale o jednu nižší → 44. Dopočítává-li dítě v duchu, musí zvládat myslet na mnoho věcí najednou a umět se koncentrovat. Musí si pamatovat číslo, u kterého právě je, zda už nepřekročilo tolik kolik má přičíst nebo zda už přičetlo dost. V tomto případě je velmi jednoduché nějaké číslo přeskočit a hned se mu dostává jiného výsledku. Dítě může být něčím najednou vyrušeno a tak ihned zapomene, ve které fázi počítání právě bylo a musí začít dopočítávat znova. Z tohoto důvodu mohou být děti, které používají dopočítávání pomalejší. Další negativum tohoto způsobu je, že až děti začnou přičítat čísla vyšší než je 10, zjistí, že skutečně nejde přičítat 36 po jednotkách a budou si muset najít nový systém. Další případ, kdy děti používají dopočítávání je při rozkladu. V příkladu
7
46 + 8 je nutno zjistit, kolik od 46 chybí do 50 a pak podle toho rozložit 8. V prvním správném případě si dítě řekne 46 a kolik je 50? Bez dopočítávání ví, že a 4. Dítě, které takto automaticky počítat neumí dopočítává a zde dochází k chybám. Dítě počítá – 46, 47, 48, 49, 50 a dochází k výsledku 5. Pak rozloží 8 na 5 a 3 a najednou mu to do sebe nezapadá, tak jak jim to ukazovala pani učitelka. Buď tedy příklad nedopočítá, nebo jej spočítá špatně. Rozklad – 47 + 8 = 7 a kolik je 10? …… a 3 8 minus 3 je 5 → 8 rozložíme na 3 a 5 47 plus 3 je 50 plus 5 je 55 Přesně takto by mělo každé dítě, podle toho jak tomu bylo učeno, postupovat při sčítání s přechodem přes desítku. Když jsem si rozklad takto rozepsala, zjistila jsem možná další „kámen úrazu“. Kroků v rozkladu je hodně a měly by na sebe logicky navazovat. Když jsem se na to pokusila podívat dětskýma očima, nesedělo mi tam číslo 10. Proč najednou deset, když se bavíme o 47? Kde se tam ta desítka vzala? Proč se ptám 7 a kolik je deset, když je tam 47? Myslím, že pochopení tohoto systému by dětem usnadnilo, kdyby nedopočítávaly do desítky ale do nejbližšího vyššího násobku deseti. To znamená, že v tomto konkrétním příkladu by si říkaly 47 a kolik je 50? , což je logické, protože po 47 je nejblíže 50 a ne 10. Je možné, že to, že je učitelka učí dopočítávat do 10, má konkrétní smysl. Například se možná snaží předjímat systém sčítání pod sebou, kde se s desítkou operuje. Tím si ale nejsem jistá. Použití špatného rozkladu – v druhé třídě je probíráno nejprve sčítání, poté teprve odečítání s přechodem přes desítku. Rozklad při sčítání je těžší než rozklad při odečítání. Některé děti rozklad u sčítání nepochopily a poté, co začal být probírán rozklad při odečítáním který pochopily, začaly jej aplikovat i na sčítání. Rozklad při odečítání: 45 - 7 = Nemusíme se jako při sčítání ptát kolik chybí do nejbližšího čísla, abychom zjistili, na co máme rozložit jednociferné číslo, které přičítáme. Zde jednoduše opíšeme druhé číslo z dvojciferného čísla (5) a tak hned dostaneme první číslo v rozkladu sedmičky. Pak už jen dopočtem 5 a kolik je 7?, nebo 7 minus 5 a vyjde nám, že 7 musíme rozložit na 5 a 2. Rozklad u odčítání je jednodušší o větu „… a kolik je 10?“, o níž jsem se zmiňovala výš jako o možnosti, proč děti nerozumí nebo proč chybují v rozkladu. Dětské výpočty při sčítání, na něž dítě aplikuje systém rozkladu při odčítání, poté vypadají takto: 78 + 9 = 8
1
- dítě opíše 8 a 9 rozdělí na 1 a 8
78 + 4 = 8 ?
- dítě opíše 8 a pak mu není jasné, jak to že je nahoře 4, když 4 nelze rozložit na 8 a něco. Proto příklad nevypočítá.
8
4. ROZBOR DĚTSKÝCH VÝPOČTŮ V této části práce se soustředím na rozbor dětských prací, či na rozhovory s dětmi při počítání příkladů v lavici nebo před tabulí. Záměrně jsem si vybrala čtyři žáky, které jsem si vytipovala během svého pozorování a kteří mě zaujali něčím zvláštním. Nejprve Kristián, který vůbec nepoužíval rozklad a počítal způsobem, který byl pro mě těžko odhalitelný. Max mě zaujal způsobem zápisu, při kterém, jak píši níž buď výborně chápe postavení desítky jako zvláštního čísla, nebo naopak se naučil automatický postup při zápisu a desítku ignoruje. Viktor měl s matematikou velké potíže, přesto že v ostatních předmětech byl průměrným žákem. I přes pomoc psycholožky se mu čísla motala. A na závěr Lenka, u které jako u jediné jsem nevycházela z rozhovorů, ale z rozboru její písemky z 16.3.2004.
4.1 Kristián Kristián je chlapec z vedlejší třídy II.A. Přišla jsem s ním do kontaktu jen při dvou spojených hodinách, kdy mě zaujal svým způsobem výpočtů. Pokaždé jsem ale seděla vedle něj, proto jsem s ním mohla pracovat. Děti měly zadané příklady a měly je samostatně počítat i s rozkladem. Kristián je velmi roztěkaný a neudrží pozornost, proto sám příklady počítat nezačal. Upozornila jsem ho tedy, že má počítat a hned se ho zeptala, jak bude vypadat rozklad u prvního příkladu 41 - 7. 7 rozdělil na 3 a 4, nechala jsem ho v omylu (ve špatném rozkladu), ale výsledek řekl správně. Na otázku, proč rozdělil 7 na 3 a 4 řekl "to tak je". Tak to víceméně pokračovalo i dál. 93 - 6 = 6 rozložil správně na 3 a 3 a výsledek dopočetl také správně 48 + 7 = 7 opět rozdělil na 4 a 3, tentokrát dopočítal špatný výsledek já: „Proč jsi ji rozdělil na 3 a 4? Jak by se měla správně rozložit?“ Kristián: „Na 6 a 1.“ Řeknu, že ne, ale Kristián už si počítá jiný příklad. Myslím, že zde je vidět, že Kristián chápe systém kroků při rozkladu, nebo minimálně ví, které číslo má rozložit, aby mohl dopočíst výsledek – vždy totiž, ač špatně, rozkládal 7, ale nezajímá ho to. On totiž k dopočtení výsledku rozklad nepotřebuje, ba naopak se mi zdá, že ho ruší. Jak ale při výpočtech postupuje se mi nepodařilo zjistit, protože jak píši, Kristián je velmi živý a spolupráce se mnou, nebo nějaké vysvětlování ho nebaví.
47 + 7 = 7 rozdělil na 5 a 2, ale výsledek spočítal správně 9
Kristián má zažité některé rozklady
35 – 8 = 8 rozdělil na 4 a 4, ale výsledek spočítal správně
čísel od 1 do 10 a používá je bez ohledu na to, jaký je to příklad. Předpokládám, že je používá jen proto, že po něm učitelka rozklad vyžaduje.
Kristián si počítá v duchu. Vždy se zamyslí, pak řekne výsledek. Výpočet mu netrvá déle než dětem, které počítají se psaným rozkladem. Když musí použít rozklad, napíše častěji špatný výsledek příkladu, než když ho použít nemusí. 28 + 5 = 33 73 - 9 = 64 75 + 7 = 82 82 - 6 = 76
Kristián je počítal bez rozkladu a spočítal všechny správně.
4.2 Max Pochopení rozkladu dělalo Maxovi větší problém než nejchytřejším žákům ze třídy, ale nebyl zdaleka nejhorší. Když už se naučil rozklad v podstatě ovládat a hlavně, když už ho po dětech učitelka nevyžadovala, vyskytl se u Maxe docela zvláštní druh zápisu a výpočtu příkladů. Nikdo jiný takto ve třídě nepostupoval. Děti si mají opsat příklady na doplňování do sešitu a poté je dopočítat. Maxovi příklady nejdou, asi ho to nebaví (leží na lavici, okusuje tužku). Nejprve si všechny příklady opisuje do sešitu. Nejprve napíše pod sebe všechny desítky prvních čísel, pak jednotky prvních čísel, pak plusy, poté tečky, rovná se, desítky výsledků a nakonec jednotky výsledků. Opisuje tudíž jen jednotlivá čísla, která mu nic neřeknou. Na druhou stranu by se v tomto zápisu (pokud ho Max neprovádí jen jako pouhý opis) mohlo hledat i pozitivum. Zápis je v podstatě systematický. Má v sobě nějaký řád a k tomu, aby ho Max zvládnul, musí vědět, kam patří desítky, kam jednotky a že nemůže čísla opisovat jen tak libovolně. Vývoj Maxova zápisu: 3 → 35 → 35 + → 35 + . → 35 + . = → 35 + . = 4 → 35 + . = 42 5 → 57 → 57 + → 57 + . → 57 + . = → 57 + . = 6 → 57 + . = 66 6 → 69 → 69 + → 69 + . → 69 + . = → 69 + . = 7 → 69 + . = 73 Pí.uč. během vyučování: " ...a teď se vrátíme zpátky, otočíme papír, stránka 29, zkusíme rozkládat první sloupeček. Jenom první, Maxi, slyšíš mě?" Max je během hodin roztěkaný, sebemenší podnět z okolí odláká jeho pozornost od učiva. Těžko se soustředí. Pozornost udrží jen krátce. Sedí v první lavici, učitelka ho tak může lépe kontrolovat, navazovat s ním kontakt a hlavně vzbuzovat jeho pozornost. Výše uvedený příklad se týká zápisu zadání. Při samostatném výpočtu příkladů pak Max postupuje takto: do výsledků příkladů nejprve píše první číslo (desítku), vždy o jedna
10
vyšší než je v zadání příkladu. Zřejmě si dobře pamatuje, jak jdou desítky za sebou a ví, že nyní procvičují příklady, jejichž výsledek je vždy o jednu desítku vyšší, než číslo v zadání. Je otázkou, zda Max chápe to, že číslo ve výsledku je o jedna vyšší proto, že jsme ve výpočtu překročili desítku. Nebo, jestli vypozoroval, že první číslo ve výsledku se vždy zvětšuje o jedna, a tak to dělá bez toho, aniž by si desítkový systém uvědomoval. Myslím ale, že z důvodu toho, že v té době už měl víceméně bezchybně zvládnutý rozklad, desítkový systém a přechod přes desítku si uvědomoval. Pak teprve dopočítává druhé číslo. Tímto postupem si výpočet možná usnadňuje, možná má dobrý pocit z toho, že vypočte alespoň jakoby půlku každého příkladu, souvisí to také s tím, že tento první krok nevyžaduje velké úsilí ani pozornost, protože ho má dobře nacvičený, zřejmě zautomatizovaný, kdyžto druhý krok je pro Maxe náročnější a proto samozřejmě hůř zvladatelný. Ve výsledcích se mnohokrát nemýlí, ale příkladů vypočte málo. Maxův styl výpočtů při samostatné práci: Zadání příkladů: 45 + 6 = → Max nejprve napíše: 45 + 6 = 5 Pak, u kterých příkladů 39 + 4 = → 39 + 4 = 4 stihne, dopočte 76 + 5 = → 76 + 5 = 8 jednotky. 63 + 8 = → 63 + 8 = 7 U všech příkladů napsal jako první desítky. Je to jasně vidět z toho, že desítky jsou i u příkladů, které už pak nestihl dopočítat.
4.3 Viktor Viktor má ve sčítání velký zmatek. Velmi špatně mu jde rozklad, zřídka kdy, spíš mizivě, se mu podaří ho udělat bez pomoci učitelky. Bohužel se u něj ale nejedná o případ jako je Kristián. Ani bez rozkladu, zpaměti příklad nevypočítá. Vždy, když je mu příklad zadán, kouká dlouze před sebe, nic si nezapisuje a vypadá, že intenzivně přemýšlí. Připadá mi ale, že doopravdy v době, kdy Viktor přemýšlí, hledá nějakou spojitost mezi čísly. Jako by hledal logiku, ke které má kousek, a ne a ne to sepnout. Bohužel na výsledek sám nepřijde. Sám od sebe nepoužívá na pomoc ani znázorňování na prstech, ani počitadlo, ani kostky volně ložené na lavici, které mu učitelka nabídla, ani číselný trojúhelník, který dostal u psycholožky. Poslední zmíněná pomůcka se mi ve Viktorově případě zdála nejnešťastněji zvolená, protože orientace v ní, jak je vidět na straně 6, není zcela jednoduchá. Správný postup rozkladu a správný výsledek se Viktorovi podaří zapsat a vypočítat v podstatě jen tehdy, pomáhá-li mu učitelka. Musí mu postup výpočtu ukazovat na prstech nebo na kostičkách. Nejdřív mu učitelka musela předřikávat i strukturu výpočtu např.58 + 6 Pí.uč: „8 a kolik je 10 a“ V.: „a 2“ Pí.uč.: „2 a kolik je 6?“ …… Postupem času si to Viktor tento postup, alespoň částečně, osvojoval sám.
11
28 + 3 = Já: "Na kolik rozložíme 3?" Viktor: "Na 6 a 6." → Já: "Ne, vždyť to nejde." Ukazujeme si to na prstech
Já: "8 a kolik je 10?" Viktor: "a 2." Já: "Výborně, takže 3 rozložíme na." Viktor: " 9 a." →
Viktor to vyhrkl zbrkle, ale nemůžeme říct, že se úplně mýlil, protože šestka v podstatě s trojkou souvisí. Viktor může mít představu triády 3, 3, 6.
Opět – devět souvisí s trojkou, i s předcházející šestkou. 3+3+3=9, nebo 6+3=9, 9-3=6.
Já: "Ne." Viktor: "Na 2. (přemýšlí) 2 a 1." Já: "Takže 28 plus 2 rovná se." Viktor: "92" → Zde mohl být zmatený buď tím, že se stále ptám osm a kolik je deset, proto poté ve výsledku řekl. devadesát, protož věděl, že desítku musí o jedna zvětšit. Když jsem se ho ale zeptala, co následuje po 20, řekl 90, ale pak desítky přeřikal správně. Proto si myslím, že spíš už byl celkově zmatený a unavený z dlouhého výpočtu příkladu. Já: "Ne. Co následuje po 20?." Viktor: "90" Já: "Ne, přeříkej mi desítky." (Bez problémů přeříká) Já: "Takže 28 plus 2 je." Viktor: "30." Já: "výborně, plus 1 je." Viktor: "31." Ví, že 8 a 2 je 10, když si přeříká desítky ví, že po 20 je 30, ale nemá pojem o souvislostech mezi kroky rozkladu a dopočtu příkladu.. 35 + 7 = Viktor: "7 rozložíme na 5 a 7."
Pí.uč.: "Ne, 7 tam je." Viktor: "Na 5 a 2." Pí.uč.: "Ano, takže to bude?" Viktor: "52" pí.uč že ne
→
→
Zde se zcela jasně nabízí vysvětlení – příklad počítal v době, kdy se už učili odčítání a Viktor začal aplikovat jednodušší, odčítací rozklad. Sedmičku pak řekl proto, že je tam napsaná.
Složil dohromady dvě rozkladová čísla.
Viktor: "31" pí.uč. že ne → Tady už Viktor pravděpodobně hádal. Viktor: "20" Pí.uč.: " Podívej se na desítkovou tabuli, co je po třicítce?" 12
Viktor: "42" 26 + 5 = Viktor: „Rozložíme na 2“ → Pravděpodobně se mu nabídla dvojka ze zadání. Je možné, že se to týká problematiky zápisu. Viktor nechápe 26 jako dvě desítky a šest jednotek ale jako 2 + 6. Dvě jednotky a šest jednotek vedle sebe. Pak je mu jedno, zda opíše dvojku nebo šestku. pí.uč.: „Proč na 2, tady je 6, kolik ti chybí do celé desítky?“ Viktor: „4“ → To, že doplnil 2, 6, 4 vypovídá o tom, že triády ovládá a správně. Pí.uč mu ukáže 5 kostiček „Tak si to ukaž.“ Viktor: „5“ → Je možné, že Viktor chtěl jen říct, že je to pět kostiček celkem a učitelka mu do toho hned skočila. Pí.uč.: „Ne na 4 a.“ Viktor: „1“ Pak dopočetl správně. Odčítání s přechodem přes desítku jde Viktorovi lépe, i přesto, že bylo probíráno až později. Ve sčítání dělá mnohem více chyb. Důvodem je pravděpodobně to, že dopočítávání do desítky u sčítání nechápe (je to moc složitý systém, jak jsem zmiňovala v kapitole 3.3. Které chyby se vyskytují). Protože ale pochopil postup u odčítání, je možné, že ho začal aplikovat i na sčítání. Poté, co se začali učit odčítání se ve Viktorových výpočtech na sčítání objevuje to, že do rozkladu opisuje druhé číslo z dvouciferného čísla jako se to dělá při odčítání. Př. 46 + 5 = Příklad Viktor nedopočítal, protože si ho špatně rozložil. 6 ?
4.4 Lenka V případě Lenky mě nezaujala její práce v lavici nebo před tabulí, ale jedna její písemka z doby, kdy se děti začínaly počítání s přechodem přes desítku učit. Přepsala jsem, jak se vyvíjela cesta, jak škrtala, než se dostala ke správnému výsledku. Všechny příklady mají jedno společné. První rozkladové číslo určila vždy správně. Pak se ale začala ztrácet. Zajímavé také je, že vždy když napsala špatné druhé rozkladové číslo, dopočetla sice špatný výsledek příkladu, ale správný vůči svému špatnému rozkladu. Lenka tuší, co k čemu patří, zná začátek rozkladu – otázka … a kolik je 10? a pak ví, jak se příklad dopočte. Největší zádrhel je uprostřed těchto dvou kroků – v určování druhého rozkladového čísla. Nejprve jsem si myslela, že Lenčiny myšlenkové pochody při počítání probíhají takto: popíši to konkrétně na prvním příkladu 76 + 8. Lenka ví, že 6 a 4 je deset, proto správně napíše 4 do rozkladu. Pak ale nastává kámen úrazu, kdy neví, zda má 4 odečíst nebo dopočíst do 6 (v čísle 76), nebo, zda se 4 vztahuje k přičítané osmičce a čtyřka se má nějakým způsobem vztahovat (přičítat nebo odčítat) k ní. Pak už je zas vše v pořádku, protože i když do rozkladu napíše 4 a 2, doplní jakoby „správný“ výsledek 82, stejně tak už doopravdy správně se 4 a 84. Poté jsem ale zjistila, že problém je u Lenky jiný. Lenka si dělá jakoby dva buřtíky. 13
7 6 + 8 = 8 2 4 84
→ První buřtík je správný. Spojuje 6 a 4. Lenka si správně
4 2 4 řekne „6 a kolik je 10? a 4“, pak napíše správně čtyřku. Dál už ale neříká „4 a kolik je 8?“, ale utváří nový buřtík mezi 8 a druhým rozkladovým číslem. Říká si tedy znova „8 a kolik je 10? a 2“. Proto jí druhé rozkladové číslo vyjde 2. Až když ji učitelka napomene, „Lenko, 4 a kolik je 8?“, opraví Lenka 2 na 4. Stejně tak to probíhá u všech dalších příkladů. Lenka doplňuje přičítané číslo na 10 nebo na 11. 37 + 5 = 4 5 2 3
5 2
88 + 7 = 95 2
→ „7 a kolik je 10? A 3.“ „5 a kolik je 10? A 5.“ → „8 a kolik je 10? A 2.“ „3 a kolik je 10? A 3“
3 5
87 + 9 = 9 6 2 6
→ rozklad (3, 6) i výsledek (96) nejprve napsala správně. Je možné, že jí došlo, co po ní učitelka opakovaným 3 6296 napomínáním chce. Pak se ale zarazila, že jí součet 6 a 9 nedává 10 nebo 11 podle jejího algoritmu. Proto rozklad opravila na 3 a 2, protože 9 + 2 = 11. K tomu opět přiřadila správný výsledek (92). Pak do rozkladu sepsala 9, pravděpodobně ze zadání příkladu. K tomuto rozkladu nebyl přiřazen žádný výsledek.Nakonec se vrátila k původnímu správnému řešení. 76 + 9 = 8 5 2 8 5 5225
4
17 + 9 = 2 2 6 3
→ Lenka pravděpodobně ještě nechápala podstatu správného rozkladu, protože se stále vracela ke svému algoritmu, ale už tušila, jaký postup po ní učitelka chce. Je to vidět na tom, že první rozklad (4, 5) i výsledek (85) byly správně. Pak se ale opět zarazila, že 9 a 5 jí nevychází 11 (ani 10) a vrátila se ke svému „dvoubuřtíkovému“ rozkladu (9 + 2 = 11). Nakonec rozklad i příklad spočetla správně. → „7 a kolik je 10? A 3.“ „9 a kolik je 11? A 2.“
26
Z toho opět pramení původní špatný rozklad.
To, že Lenka došla vždy ke správnému výsledku příkladu bylo tím, že učitelka při písemce procházela mezi lavicemi a pokaždé Lenku na chybu upozornila, občas jí navedla na správný směr výpočtu. Zajímavé je, že v písemce, kterou děti psaly o 14 dnů později, už Lenka neměla jedinou chybu. Stačilo jí jen 14 dní intenzivního školního i domácího procvičování k tomu, aby pochopila celý systém počítání.
14
5. ZÁVĚR V počátku výzkumu, kdy jsem začínala sbírat data, jsem měla stanovené téma práce - počítání s přechodem přes desítku: chybování při výpočtu rozkladem, ale neoperovala jsem s žádnou konkrétní myšlenkou, kterou bych si chtěla výzkumem potvrdit nebo vyvrátit. V podstatě bych mohla říct, že jsem čekala, „co se časem ukáže“. Postupem času, se mi nashromažďovala data – rozhovory s dětmi a jejich písemné práce. Jak jsem je třídila, dávala dohromady, snažila se najít spojitosti a doplňovala o odpovědi na vzniklé otázky, začala se mi krásně profilovat osnova výzkumné práce. Podařily se mi vytipovat typy příkladů, chyby a pomocné systémy, které se u dětí při počítání vyskytují. Poté jsem si vybrala čtyři děti, jejichž počítání mě něčím zvláštním zaujalo. Jejich výpočty jsem se pokusila analyzovat. Především jsem hledala jaké chyby dělají, snažila se najít odpověď na to, proč je dělají, jestli stále dělají jen jeden typ chyb, nebo zda jsou chyby nahodilé. Každé z těchto dětí si vytvářelo vlastní strategie pro postup a výpočet příkladu. Kristiánovy strategie byly sice jiné než vyžadovala učitelka, ale i přesto dospíval ke správným výsledkům. Viktor pravděpodobně žádné strategie, představu o desítkovém systému ani zápisu nemá. To zase nemůžeme říct o Maxovi z jehož zápisu bylo pochopení desítkového systému jasné. Lenčiny strategie byly milné, protože chtěla postupovat podle toho, jak jim říká učitelka, ale pamatovala si jen půlku postupu při rozkladu. Při dokončování rozkladu už chybovala. Výsledky této výzkumné práce nelze zobecňovat, protože jsou založeny na pozorování pouze jedné druhé třídy o devatenácti dětech a ve finále jsou v práci popsány jen čtyři. Myslím ale, že jsou zde témata která mohou vést k hlubšímu zamyšlení nebo třeba inspirovat k dalšímu výzkumu.
15
6. LITERATURA 1. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. Dítě škola a matematika. Praha: Portál, 2001. 192 s. ISBN 80-7178-581-4. 2. HEJNÝ, M. Otevírání a vytváření matematického světa. In KOLLÁRIKOVÁ, Z.; PUPALA, B. (et al.). Předškolní a primární pedagogika. Praha: Portál, 2001. s. 235 - 236. ISBN 80-7178-585-7. 3. RENDL, M. Vývoj počítání v první třídě. In Pražská skupina školní etnografie. První třída. Praha : Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, 1998a. str. 169-227. 4. RENDL, M. Sčítání a odčítání dvouciferných čísel. In Pražská skupina školní etnografie. Třetí třída. Praha : Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta, 1998b. s. 1- 44. (Nepublikovaná výzkumná zpráva) 5. ŠTECH, S. Škola nebo domácí vzdělávání? Teoretická komplikace jedné praktické otázky. Pedagogika: časopis pro vědy o vzdělávání a výchově. 2003, roč. LIII, č.4, s. 418-436. ISSN 0031-3815
16
