Příklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému
Michael Šebek Automatické řízení 2016 2-3-16
Příklad: Tužka na lavici Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Postavte tužku na lavici bez držení. Proč to nejde? • Model nelineární ϕ − g sin ϕ = 0
ϕ
l
• a lineární
g ϕ− ϕ= 0 l
Fg = mg
l
• Řešení Laplaceovou transformací
r
L − {ϕ(t )} = s 2 F ( s ) − sϕ (0− ) − ϕ (0− ) sϕ (0− ) − ϕ ′(0− ) ϕ ( s) = 2 g s − l sϕ (0− ) − ϕ ′(0− ) g g g = − , p ( s ) = s 2 − = s + s p( s) l l l
• V časové oblasti Michael Šebek
1 ϕ (t ) = e 2
g t l
+e
−
Pr-ARI-04-2015
g t l
1 − ϕ (0 ) − e 2 g l
g t l
−e
−
g t l
ϕ ′(0− ) 2
Příklady Hurwitzovy matice Automatické řízení - Kybernetika a robotika
p1 ( s )= s + a0
H ( p1 ( s)) = [ a0 ]
p2 ( s ) =s 2 + a1s + a0
a 0 H ( p2 ( s )) = 1 1 a 0
p3 ( s) =s 3 + a2 s 2 + a1s + a0
a2 a0 0 H ( p3 ( s)) = 1 a1 0 0 a2 a0
p4 ( s) =s 4 + a3 s 3 + a2 s 2 + a1s + a0
a3 a1 0 0 1 a a 0 2 0 H ( p4 ( s )) = 0 a3 a1 0 0 1 a a 2 0
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
3
Příklad: Vliv nestabilních nul Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Jedna nestabilní nula • systém se zpočátku pohne špatným směrem - operátor musí být trpělivý • možný je i opak: zpočátku správná reakce se později ukáže nesprávnou G (s) =
s −1 ( s + 1) 2
1− s ( s + 1) 2
• Dvě nestabilní nuly vedou na dvojitou změnu směru
( s − 1) 2 G ( s) = ( s + 1)3
• Podobně dvojice komplexně sdružených nestabilních nul • atd. Michael Šebek
G (s) =
Pr-ARI-04-2015
4
Příklad: Nestabilní nula a problémy při couvání Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • • • •
čtyřkolové auto, které neklouže, … y pracovní bod: konstantní rychlost v p , θ p = 0 model bočního pohybu lineární odchylková aproximace v okolí pracovního bodu přenos vstupu (řídicího úhlu ψ ) na souřadnici y středu přední nápravy je s+v L
g (s) = v p
s
v
x
p 2
• Při jízdě dopředu je v p > 0 , tedy přenos má stabilní nulu • Při couvání je v p < 0 a nula je nestabilní • Proto je při couvání boční odezva na skok řídicího úhlu obrácená a na počátku je „podkývnutí“ • Proto je couvání obtížnější, i pro člověka - řidiče • Vymyslete další příklady Michael Šebek
Pr-ARI-04-2016
5
Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
6
Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
7
Boeing 747 - Jumbo Jet Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Zjednodušený přenos výchylky výškovky δ e na letovou výšku h nestabilní nula
h( s ) 30( s − 6) = δ e ( s ) s ( s 2 + 4s + 13)
Odezva na záporný δ-impuls • krátká výchylka výškovky nahoru (minus je konvence) • rotace letadla (ocas ↓, nos ↑) vyvolá počáteční pokles • po rotaci se zvětší úhel náběhu (angle of attack) mezi osou křídla a směrem pohybu • zvětší se vztlak a letadlo stoupá Nestabilní nula • se projeví poklesem kvůli počáteční rotaci letadla • moc to nevadí, ale zpomaluje odezvu Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
8
Systém s minimální fází Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Minimální fáze = systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI
= f (s)
b( s ) a( s) = f ( s ) finv ( s ) 1 , finv ( s ) ,= a( s) b( s )
• Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda a fáze vázány Hilbertovou transformací
1 ∞ g (ω ) H {g (ω )} = ∫ dτ . −∞ π ω −τ
• Tedy a ( s ), b( s ) stabilní a
deg a( s ) = deg b( s )
arg f ( jω ) = −H
{ln
f ( jω ) }
ln= f ( jω ) ln f ( j∞) + H
def
H ( jω ) = eα (ω )+ jφ (ω )
{arg f ( jω )}
φ (ω ) = −H {α (ω )} α (ω ) = α (∞) + H {φ (ω )}
• Obecně mezi nimi žádný vztah není • Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω : 0 → ∞ • Systém s maximální fází = všechny kořeny čitatele nestabilní, maximální přírůstek fáze při ω : 0 → ∞ • Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze Michael Šebek
ARI-04-2015
9
Fáze: minimální - smíšená - maximální Automatické řízení - Kybernetika a robotika
3 systémy se stejnou amplitudovou frekvenční charakteristikou • Minimální fáze • Smíšená fáze • Maximální fáze
( s + 1)( s + 2) ( s + 3)( s + 4) ( s − 1)( s + 2) f 2 (s) = ( s + 3)( s + 4) f1 ( s ) =
f3 ( s) =
fi ( s) 5 ( s + 5) fi (0)
Michael Šebek
( s − 1)( s − 2) ( s + 3)( s + 4)
Fáze na začátku: • klesá • klesá • roste Pr-ARI-04-2015
10
Neminimálně fázový elektronický obvod Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Operační zesilovač má velkou vstupní impedanci, takže rezistory R1 , R2 protéká stejný proud = I ( s ) (Vi ( s ) − V0 ( s ) ) ( R1 + R2 ) V1 ( s ) I ( s ) R1 + V0 ( s ) V0 ( s ) = A (V2 ( s ) − V1 ( s ) ) =
= V1 ( s )
•
1 Cs 1 ( R1V1 ( s) + R2V0 ( s) ) V2 ( s) = Vi ( s) R1 + R2 R3 + 1 Cs
R2 s − A→∞ R − R R Cs R1 R3C A ( R2 − R1 R3Cs ) V0 ( s ) R1 2 1 3 = ⇒ = − ( ) 1 Vi ( s ) ( R3Cs + 1) ( R1 + R2 1 + A ) R3 R2Cs + R2 R2 s + R3C V0 ( s ) ( s − 10 ) Pro = R1 R= 1 10 2 , R3C = − Vi ( s ) ( s + 10 ) je přenos
• odezva na skok
( s − 10 ) − h( s ) = , h(t ) = 1 − 2e −10t ( s + 10 ) s
• a normalizovaná odezva bez nuly
10 h0 ( s ) = − , h0 (t ) = 1 − e −10t ( s + 10 ) s Michael Šebek
Pr-ARI-04-2016
11
Příklad: Neřiditelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Systém se schématy a rovnicemi −1 0 1 x= x + u , y= 0 1 0
x1
y x2
[1 1] x
x2
x2
c( s ) =( s + 1)( s − 1)
s − 1 s −1 0 1 1 − u s x + ( ) (0 ) s + 1 ( s + 1)( s − 1) 0 ( s + 1)( s − 1) 0
x1 (0− ) 1 s + 1 = s + 1 u (s) + − x2 (0 ) 0 s − 1
Michael Šebek
x1
y
• charakteristický polynom • řešení x1 ( s ) x (s) 2
u
x1
u
x1 (0− ) = 0 x2 (0− ) = 0 Pr-ARI-04-2015
x1 (0− ) = 0 x2 (0− ) = 0.1
12
Příklad: Ještě jeden neřiditelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Uvažme kaskádu: (mód je odblokován vstupní nulou)
x1
• přenos je 1. řádu a stabilní = g ( s)
u
v
x1 = 0
y x1 = 1
s −1 1 1 = s +1 s −1 s +1
• ale úplný stavový popis je 2. řádu: pro
x1= y, x2= u − v
x1 1 −1 x1 1 = x 0 −1 x + 2 u 2 2 x y = [1 0] 1 x2
• charakteristický polynom je Michael Šebek
p ( s ) =det( sI − A) =( s + 1)( s − 1) Pr-ARI-04-2015
13
Geostacionární satelit Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• geostacionární satelit řízený tangenciální silou (tahem tečně umístěného tryskového motoru) x x y y
0 3ω 2 0 0
utang
0 0 x 0 2π 2π urad ω = = 0 2ω x 0 požadovaná T 3600 × 24 utang , + poloha 0 1 y 0 0 0 y 1 2ω 0 0 0 je řiditelný 0 2ω 3 0 2 ω − , rank Ctang 4 Ctang = 2 • ale při= řízení radiální silou 0 1 0 −4ω 2 1 0 4 ω 0 − 1 0 0 x 0 x 0 3ω 2 x 1 2 x 0 0 2 ω − 0 1 0 ω + urad , 2 y 0 0 0 1 y 0 − 1 0 ω 0 , rank C = Crad = 3 rad y 0 2 0 0 y 0 ω − −2ω 0 0 0 3 0 2ω 0 −2ω není řiditelný Michael Šebek
1 0 0 −2ω
Pr-ARI-04-2015
14
Dvě kyvadla na vozíku Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vozík se dvěma kyvadly řízený horizontální silou • Pohybové rovnice (standardní předpoklady) Mx(t ) = −mgθ1 (t ) − mgθ 2 (t ) + F (t ) mx(t ) + ml1θ1 (t ) = mgθ1 (t ) mx(t ) + ml2θ2 (t ) = mgθ 2 (t )
• Stavové rovnice x1 = θ1
0 x2 = x1 = θ1 x1 g m x l ( M + 1) x 2 = θ1 2 1 = x3 = θ 2 x3 0 x4 = x 3 = θ2 x4 mg x 4 = θ2 Ml2
0 0 x −1 0 0 1 l M x 2 1 + F (t ) 0 0 1 x3 0 x4 −1 g m 0 ( + 1) 0 l2 M l1M
1
0 mg Ml1
• Pro stejně dlouhá kyvadla je systém neřiditelný, matice řiditelnosti je singulární pro l1 = l2 • Pro různě dlouhá kyvadla je řiditelný • Pro skoro stejně dlouhá kyvadla je řiditelný špatně Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
0 −1 l M M řid = 1 0 −1 l M 2
0 m + 1) mg M − 2 l1 M l1l2 M 2
− g *( 0 −1 l2 M
0 m + 1) mg M − 2 l2 M l1l2 M 2
− g *( 0
m + 1) mg M − l12 M l1l2 M 2 0 m − g *( + 1) mg M − 2 2 l2 M l1l2 M 0 − g *(
−1 l1M
det Cřid
g 2 (l1 − l2 ) 2 = M 4l14l2 4
15
Příklad neřiditelnosti: špatný stavový model Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jednou z možných příčin neřiditelnosti je redundantní stavový model x Ax + Bu a dále z nějakého důvodu • Uvažme systém = • předpokládejme ještě další stavové veličiny úměrné těm z vektoru x , FAx + FBu z Fx = definované vztahem z = Fx , pro které zřejmě = • Pro složený systém s „meta-stavem“ x
•
x = Ax + Bu = A 0 x + B u FA 0 FB a jeho matice řiditelnosti
x= z
B A B AB A B … C x = FB FA B AB A 2 B I 0 B = 2 F I FB FAB FA B 0 2
0 B A 2 0 FB FA 2 AB A 2 B 0 0
0 B 0 FB
je zřejmě singulární.
• Složený systém tedy není řiditelný (neboť jeho stavy nejsou nezávislé) Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
16
Příklad neřiditelnosti: jen vnitřní síly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Neřiditelným je i systém obsahující pouze vnitřní síly a momenty, • protože podle zákona akce a reakce síly uvnitř uzavřeného systému x nemohou změnit polohu těžiště x f • Soustava dvou vozíků s pasivní pružinou, f m na každý působí aktivní řídicí síla stejné k velikosti a opačného směru 2
1
1
m2
k f k f x1 = v1 , x2 = v2 , v1 = − ( x1 − x2 ) − , v2 = − ( x2 − x1 ) − m1 m1 m2 m2 0 1 x1 0 x 0 0 0 2 x= ⇒ A= v1 − k m1 k m1 0 v2 k m2 − k m2 0 0 0 0 1 m m 1 0 0 1 2 U = ⇒ UC 0 0 1 0 m1 m2 0 1 0
0 −1 m1 0 c1 0 0 0 0 1 1 m2 0 c2 , B= ⇒ C= −1 m1 −1 m1 0 0 0 c1 0 c2 0 0 1 m2 1 m2 −1 m1 0 c1 0 0 0 0 0 2 ⇒ rankC = = c1 k m12 + k m1m2 −1 m1 c1 0 0 0 0 0 c2 = −k m22 − k m1m2 0
• Vnitřní síla změní vzdálenost vozíků, ale nikoli nezávisle jejich polohu Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
17
Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• V obvodech s vyváženými můstky či podobných mechanických systémů • Metodou uzlových napětí dostaneme rovnice C1v1 +
• Stavové rovnice
1 1 0 ( v1 − e0 ) + ( v1 − v2 ) = R1 R3
R1 e0
1 1 C2 v2 + ( v2 − e0 ) + ( v2 − v1 ) = 0 R2 R3
v1 C1
R3
R2 v2 C2
1 1 1 1 1 v1 = v2 + e0 − + v1 + C1 R1 R3 C1 R3 C1 R1 1 1 1 1 1 v2 = v1 − + v2 + e0 C2 R3 C2 R2 R3 C2 R2
• Pro rozdílové napětí platí 1 1 1 1 1 C2 R2 − C1 R1 1 1 1 v= v1 − v2 ⇒ v = − + + v + + + v + 1 2 e0 C R R C R C R R C R C C R R 1 2 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 2
• Je-li můstek vyvážený, nezávisí rozdílové napětí na vstupu C1 R1 =C2 R2 ⇒ v =v1 − v2 ⇒ v =−
R1 + R2 + R3 v C1 R1 R3
• Tedy stavy nelze řídit nezávisle → systém není řiditelný Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
18
Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Totéž výpočtem matice řiditelnosti pomocí Symbolického Tbx 1 1 1 1 − + C1 R1 R3 C1 R3 ,B A = 1 1 1 1 − + C2 R3 C2 R2 R3
1 C R 1 1 1 C R 2 2
C1 R1 = C2 R2
>> A=[-1/C1*(1/R1+1/R3),1/C1/R3;1/R3/C2,-1/C2*(1/R2+1/R3)], B=[1/C1/R1; 1/C2/R2] A = [ -(1/R1 + 1/R3)/C1, 1/(C1*R3)] [ 1/(C2*R3), -(1/R2 + 1/R3)/C2] B = 1/(C1*R1) 1/(C2*R2) >> Con=simple(subs([B A*B],R1,R2*C2/C1)) Con = [ 1/(C2*R2), -1/(C2^2*R2^2)] [ 1/(C2*R2), -1/(C2^2*R2^2)] >> rank(Con) ans = 1
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
19
Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Jak neřídit obrácené kyvadlo • Obrácené kyvadlo linearizované v horní poloze řízené momentem má přenos řídicího momentu na úhlovou odchylku třeba P( s) =
1 ( s + 1)( s − 1)
• Je zjevně nestabilní • Někoho by mohlo napadnout použít kaskádní kompenzátor C (s) =
1 s −1 = 1− s s
• Ten vykrátí nestabilní pól nulou, což vede na hezký přenos vhodný pro ZV řízení ( s) P( s) = G ( s ) C=
1 1 s −1 = ( s + 1)( s − 1) s ( s + 1) s
• Ale není to dobrý nápad a vede ke katastrofě: výsledný systém je neřiditelný! Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
20
Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Stavové rovnice složeného systému soustava + kompenzátor
x1 = x2 x2 = x1 − x3 + u x3 = u
0 1 0 A= 1 0 −1 , B= 0 0 0
0 1 1
x2
u
x1
x3
• Matice řiditelnosti → složený systém je neřiditelný 0 1 −1 1 −1 1 , rank C = C= 2 1 0 0
• Charakteristický polynom složeného systému vs. jmenovatel přenosu det ( sI − A ) = s ( s + 1)( s − 1)
a (= s ) s ( s + 1)
tedy neřiditelná (vykrácená) část je nestabilní • Žádným řízením už tento složený systém nejde stabilizovat Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
21
Špatná řiditelnost – něco mezi Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Příklad – stoupání letadla • Náklon xp a tedy stoupání letadla závisí na úhlu δ e výškovek a slabě také na úhlu δ a křidélek (ailerons), normálně jsou tam pro zatáčení x p Fp = x 0 r
ε x p G p + Fr xr 0
0 δ e G r δ a
kde ε je matice se všemi prvky malými • Při řízení křidélky je matice řiditelnosti 0
Cr = G r
εG r Fr G r
ε ()
• Čím jsou prvky ε menší, tím blíž singularitě je tato matice řiditelnosti Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
22
Příklad: Nepozorovatelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Uvažme druhou kaskádu: (mód je odblokován výstupní nulou) • přenos je 1. řádu a stabilní s −1 1 1 = g ( s) = s +1 s −1 s +1
x1
x1
1 s −1 1 s −1 s +1 x1 = u, s −1 s −1 2 2 y= x1 = x1 − x1 = x1 − x2 ⇒ x2 = x1 s +1 s +1 s +1
• ale úplný stavový popis je 2. řádu: pro
x1 , x2= x1 − y
x1 1 0 x1 1 = x 2 −1 x + 0 u 2 2 x y = [1 −1] 1 x2
p ( s ) =det( sI − A) =( s + 1)( s − 1)
• Není pozorovatelný Michael Šebek
C 1 −1 = = rank rank −1 1 1 CA Pr-ARI-04-2015
23
Pozorovatelnost a směrování satelitu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ϕ d = J ϕ FC= d , x = Fc ,u J ω
0 1 0 = x x + u 0 0 1
• Je-li výstupem poloha (úhlová výchylka), je systém pozorovatelný
y= ω= [1 0] x • Je-li výstupem rychlost (úhlová), není pozorovatelný
y= ω=
Michael Šebek
[0 1] x
1 0 O1 = 0 1
0 1 O2 = 0 0
Pr-ARI-04-2015
24
Příklad: Nepozorovatelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Dva subsystémy v sérii, kde druhý není měřen, tvoří nepozorovatelný systém Například zpětnou vazbou „od rychlosti“ nemůžeme řídit polohu • Na těleso o hmotnosti m působíme silou f • Pokud měříme jen rychlost a nikoli polohu, je systém nepozorovatelný f a
v
x
• Neboli: Poloha je z rychlosti nepozorovatelná x = v 0 1 0 A B C 1 ⇒= ,= ,= v = f 0 0 1 m m
0 1 = [0 1] ⇒ O 0 0
• Proto žádný regulátor měřící jen rychlost nedokáže řídit polohu, zpětná vazba od rychlosti k tomu nestačí
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
25
Příklad: Nepozorovatelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nepomůže ani integrace rychlosti
f
v
x
x
x = v 1 ⇒A v = f = m x = v
0 1 0 0 0 0= ,B 0 1 0
0 1 m= ,C 0 0 1 = [ ]⇒O 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0
• Integrace rychlosti je něco jiného, než měření polohy! • Ani sebelepší regulace rychlosti nedokáže řídit polohu, počáteční odchylka polohy zůstane v systému navždy, protože ji nic neměří!
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
26
Příklad: Synchronizace hodin Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Příklad úmyslně nepozorovatelného systému • Dvoje hodiny (dva double integrátory) 0 0 1 1 x x ui , i 1, 2 = ⇔ + = i i 2 s 1 0 0
• Při synchronizaci chceme vynulovat rozdíl jejich výstupů, ale ne výstupy samotné • Musíme (úmyslně) vytvořit nepozorovatelný systém a výstupní ZV stabilizovat jeho pozorovatelnou část 0 1 0 0
0 1 0 x1 0 x1 x x + 0 0 2 2 0 0 x e = y1 − y2 = [ 0 1 0 −1] 1 x2 Michael Šebek
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 [u1 u= 2] O 1 0
C CA = 2 CA 3 CA
1 e(s) = s 2 Pr-ARI-04-2015
−
0 1 0 0
1 0 −1 0 −1 0 , rank O 2 = 0 0 0 0 0 0
1 u s + 2 ( ) s 27
Příklad: Synchronizace hodin Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jeho pozorovatelnou část stabilizujeme výstupní (dynamickou) ZV s 2 p ( s ) + [1 −1] q ( s ) =( s + 1) 0.2 + 1.5s q (s) s + 3 = p ( s ) 0.2 + 1.5s − s + 3
2
1 2 − x1 ( 0− ) = , x 0 = ( ) 2 2 1
e
• Nepozorovatelná část (samotné hodiny) zůstává samozřejmě dál nestabilní • Ale to tady právě chceme („stabilizované“ hodiny by se zastavily)
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
28
Pozorování geostacionární družice Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Rovnice pohybu (Franklin 4ed. s. 632) x radiální perturbace y délková perturbace u síla (tah) motoru ve směru zem. délky y měřený výstup 2π 2π x − 2ω y − 3ω 2 x = 0 = ω = y + 2ω x = u T 3600 × 24
Stavové rovnice x x y y
0 3ω 2 0 0
0 0 x 0 0 2ω x 0 u, + 0 1 y 0 −2ω 0 0 y 1 1 0 0
y = [. . . .][ x
x
y
y ]
T
Ze kterého výstupu je pozorovatelná? Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
u
referenční zeměpisná délka požadovaná poloha
>> syms om >> A= [0 1 0 0;3*om^2 0 0 2*om;… 0 0 0 1;0 -2*om 0 0];B=[0;0;0;1] >> C1=[1 0 0 0];C=C1; >> OBS=[C;C*A;C*A^2;C*A^3],rank(OBS) ans = 3 >> C2=[0 1 0 0];C=C2; >> OBS=[C;C*A;C*A^2;C*A^3]; rank(OBS) ans = 2 >> C3=[0 0 1 0];C=C3 >> OBS=[C;C*A;C*A^2;C*A^3];rank(OBS) ans = 4 >> C4=[0 0 0 1];C=C; >> OBS=[C;C*A;C*A^2;C*A^3],rank(OBS) ans = 3 29
Paralelní spojení Automatické řízení - Kybernetika a robotika
k1 s − p1
u
k2 s − p2
k1 s − p1 k2 s − p2
x1 x2
x1 x2
x1 p1 = x 0 2
0 x1 k1 + u p2 x2 k2
k k1 p1 0= 1 k2 k2 p2 det 0 = k1k2 ( p2 − p1 )
pro p1 = p2 neřiditelné
x1 p1 y =
x 0 2 y = [1 1]
0 x1 + p2 x2
1 1 C= p1 p2 det C = ( p2 − p1 )
pro p1 = p2 nepozorovatelné
Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
30
Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• části fyzicky odpojené od výstupu nejsou pozorovatelné • části fyzicky odpojené od vstupu nejsou řiditelné 1 s +1
řiditelná ale nepozorovatelná
1 s−2
1 s −3
neřiditelná a nepozorovatelná
Michael Šebek
řiditelná a pozorovatelná
neřiditelná ale pozorovatelná
1 s−4
Pr-ARI-04-2015
31
Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika
x1 x 2 x3 x4
−1 0 0 2 0 0 0 0 y = [1 0 1
0 0 x1 1 0 0 x2 1 + u 3 0 x3 0 0 4 x4 0 0]
1 s +1
1 s−2
1 s −3
( s − 2)( s − 3)( s − 4) u (s) ( s + 1)( s − 2)( s − 3)( s − 4) ( s − 2)( s − 3)( s − 4) x10 + 0 x20 ( s + 1)( s − 2)( s − 4) x30 + 0 x40 + + ( s − 2)( s − 3)( s − 4)( s + 1) ( s + 1)( s − 2)( s − 4)( s − 3) y(s) =
1 s−4
• stavy a faktory nepozorovatelných částí vymizí všude: nejsou prostě na výstupu vidět – přenos je vnější popis systému y= (s)
( s − 3) x10 ( s + 1) x30 ( s − 3) + U (s) + ( s + 1)( s − 3) ( s − 3)( s + 1) ( s + 1)( s − 3)
• stav a faktor neřiditelné části vidět je, ale nelze ho vybudit vstupem Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
y (= s)
x x30 1 u ( s ) + 10 + ( s + 1) ( s + 1) ( s − 3) 32
Řiditelnost není vlastností přenosu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
s +1 s +1 = 2 s ( s + 1) s + s + 0
−1 0 1 = x x + 0 u 1 0 y = [1 1] x
• můžeme realizovat kanonickou formou řiditelnosti, která je plně řiditelná, ale není pozorovatelná. • Můžeme ho realizovat i kanonickou formou pozorovatelnosti, tedy jako pozorovatelný ale neřiditelný systém
1 1 + 2 s +1 s +1 s s = = s ( s + 1) s 2 + s + 0 1 + 1 + 0 s s2 Michael Šebek
Pr-ARI-04-2015
−1 1 1 = x x + u 0 0 1 y = [1 0] x 33
