4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost
Michael Šebek Automatické řízení 2015 25-2-15
Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Stabilita – obecně schopnost zotavit se z perturbací (nenulové pp. nebo krátká porucha) Rozlišuj mezi definicí a větou (testem)
• Nelineární systém: stabilita řešení (ekvilibria), které může být stabilní, nestabilní, neutrální • Lineární systém: jen jedno ekvilibrium, proto „stabilita systému“ Definice: Říkáme, že LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když každý jeho počáteční stav odezní do nuly. • Pokud některý počáteční stav do nuly neodezní (stav zůstane nenulový, osciluje nebo diverguje), pak systém vnitřně stabilní není • U spojitého LTI stavy odeznívají asymptoticky (exponenciálně), proto se tato stabilita nazývá asymptotická • Vnitřní stabilita je vlastnost systému ne přenosu Věta: Spojitý LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když má jeho charakteristický polynom všechny kořeny v levé polorovině. Michael Šebek
ARI-04-2015
2
Proč zrovna v levé polorovině? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Odezva na počáteční podmínky / stav
(an s n −1 + + a1 ) y (0− ) + + an y ( n −1) (0− ) y(s) = a( s) 1 x( s ) adj( sI − A) x(0− ) = a( s)
• Po rozkladu na parciální zlomky každému reálnému kořenu si = ai
e ai t , te ai t , , t k −1e ai t
násobnosti k odpovídají módy
ai ± jbi • a každé komplexní dvojici kořenů s= i násobnosti l odpovídají
eait sin bi t , e ait cos bi t , te ait sin bi t , te ait cos bi t , t l −1eait sin bi t , t l −1e ait cos bi t
mez stability patří do nestabilní oblasti
Im Re
• Všechny tyto průběhy (a každý zvlášť) Re {si }= ai < 0 odezní do nuly
stabilní nestabilní
• Polynom s kořeny „jen vlevo“ se nazývá stabilní v Hurwitzově smyslu Michael Šebek
ARI-04-2015
3
BIBO Stabilita Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jiný pojem je stabilita typu BIBO (Bounded Input Bounded Output) Definice: Přenos je BIBO stabilní právě když odezva na každý omezený vstupní signál je také omezená • Pokud nějaký omezený vstupní signál vyvolá na výstupu neomezenou odezvu, pak přenos BIBO stabilní není • BIBO stabilita je vlastnost přenosu (ze vstupu na výstup), ne systému • Interně stabilní syst. má všechny přenosy BIBO stabilní, opačně to neplatí • Opačně to platí jen když jsou všechny módy systému vidět v přenosu • Příklady – systémy BIBO stabilní, ale vnitřně nestabilní
1 s
nestabilní část není zvenku pozorovatelná Michael Šebek
Přenos je BIBO stabilní, ale některé počáteční podmínky nevymizí ARI-04-2015
1 s
nestabilní část není řiditelná
vstupní signál se do ní nedostane 4
Jak se odhadne stabilita polynomu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nutná podmínka stability polynomu (A. Stodola): Stabilní polynom p( s ) = s n + + a0 má všechny koeficienty kladné • Pro druhý stupeň je to nejen podmínka nutná, ale i postačující: Polynom p( s ) =s 2 + a1s + a0 je stabilní, právě když a1 , a0 > 0 • Vysvětlení (pro stupně 1 a 2 platí oběma směry): p1 ( s )= s + a p2,real ( s ) = ( s + a )( s + b ) = s 2 + (a + b) + ab, (a + b) > 0 & ab > 0 ⇔ a, b > 0 p2,complex ( s ) = ( s + c + jd )( s + c − jd ) = ( s + c) 2 + d 2 = s 2 + 2cs + c 2 + d 2 2c > 0 & ( c 2 + d 2 ) > 0 ⇔ c > 0
• Pro vyšší stupně je to jen nutné: Násobením členů 1. a 2. řádu s kladnými koeficienty už nekladné koeficienty nevzniknou 2 3 2 p ( s ) = s + 1 s + 1 = s + s + s +1 ( ) ( ) 3 • Ale není to postačující, s1,2 = ± j viz protipříklad: Michael Šebek
ARI-04-2015
5
Jak se testuje stabilita polynomu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výpočet kořenů, případně rovnou jejich zobrazení • v minulosti se neumělo (Maxwell), dnes je to nečastější • moderní SW a numerická matematiky to rychle vypočtou • Dost přesné vyjma případu vícenásobných kořenů, což ale pro test stability většinou nevadí • Matlab: roots, v toolboxech často předefinováno, dále • Symbolic Math Tbx: solve (pozor na Abela) • Control Systems Tbx: pzplot • Polynomial Tbx: zpplot • Speciální metody • Hurwitzova metoda (hlavní minory Hurwitzovy matice > 0) • Routh-Hurwitzův test stability - mechanická rutina Dnes se užívá pro jiné účely, k testování stability zřídka Naučte se ji sami z učebnic (např. Franklin 5/e s 132-133) Michael Šebek
ARI-04-2015
6
Hurwitzova matice Automatické řízení - Kybernetika a robotika
p( s ) = s n + an −1s n −1 + + a1s + a0 Pro polynom • je Hurwitzova matice čtvercová n × n matice tvaru an −1 an −3 an −5 1 a an − 4 n−2 0 an −1 an −3 an −5 H ( p) = 1 an − 2 a n − 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0
a0
• Hurwitzův test stability: p( s) je stabilní, právě když H ( p) má všechny hlavní minory kladné – Jasné, ale nepraktické: naučte se variantu Routh-Hurwitzovu – viz Čtení • Orlandovo lemma: H ( p) singulární, právě když má p( s) dva kořeny symetrické podle imaginární osy Michael Šebek
ARI-04-2015
7
Proč je stabilizace obtížná Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Hurwitzův test stability je založen na Hurwitzově matici: Polynom je stabilní právě když jsou všechny hlavní minory kladné • Pro polynom třetího stupně p( s ) =s 3 + a2 s 2 + a1s + a0 to je a2 H ( p ) = 1 0
a0 a1 a2
0 0 a0
a2 > 0 a2 a1 > a0 a0 a1a2 − a02 > 0
a2 , a1 , a0 > 0 a2 a1 > a0
• Podmínky stability jsou „v koeficientech nelineární,“ proto oblast stability „v koeficientech“ není tak jednoduchá jako „v kořenech“ a1
a1 [X Y]=meshgrid(0.01:.001:.1,0.01:.05:3); Z=Y./X; surf(X,Y,Z)
a1
stabilní nestabilní a0
stabilní a2
stabilní a0
a2
a2
nestabilní a0
• Při návrhu regulátorů bohužel častěji pracujeme s koeficienty, proto je vyjma trivialit většina úloh složitá, nekonvexní, nelineární, …. Michael Šebek
ARI-04-2015
8
Pozor na nestabilní soustavy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Odstrašující příklad
≈ e at
• Jaký mód/pól odpovídá průběhu výkonu? Michael Šebek
ARI-04-2015
a=? 9
Vliv nestabilní nuly - Převrácená odezva Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Když k systému y ( s ) = g ( s )u ( s ) přidáme nestabilní nulu v s = 1 , jeho odezva se změní na y ( s) = (1 − s ) y ( s ) = y ( s ) − sy ( s ) (1 − s ) g ( s)u ( s) = • tedy se od původní odezvy odečte její derivace (ta má typicky stejné znaménko jako odezva, a tak jde odečtení proti původnímu průběhu) • Např. ze skokové odezvy
y ( s )= (1 − s ) y ( s )
y(s) =
1 1 ( s + 2) 2 + 9 s
y(s)
• odečtením derivace − sy ( s ) dostaneme 1− s y (s) = (1 − s ) y ( s ) = 2 ( s + 2) + 9
− sy ( s )
odezva na skok je zpočátku „převrácená“
• Systém zpočátku reaguje opačně a později to napraví – nejde tedy o změnu polarity! • Souvisí to s pojmem neminimální fáze, proto se v literatuře místo „nestabilní nula“ někdy říká nula „neminimálně fázová“ Michael Šebek
ARI-04-2015
10
Systém s minimální fází Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Minimální fáze = systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI
= f (s)
b( s ) a( s) = f ( s ) finv ( s ) 1 , finv ( s ) ,= a( s) b( s )
• Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda a fáze vázány Hilbertovou transformací
1 ∞ g (ω ) H {g (ω )} = ∫ dτ . −∞ π ω −τ
• Tedy a ( s ), b( s ) stabilní a
deg a( s ) = deg b( s )
arg f ( jω ) = −H
{ln
f ( jω ) }
ln= f ( jω ) ln f ( j∞) + H
def
H ( jω ) = eα (ω )+ jφ (ω )
{arg f ( jω )}
φ (ω ) = −H {α (ω )} α (ω ) = α (∞) + H {φ (ω )}
• Obecně mezi nimi žádný vztah není • Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω : 0 → ∞ • Systém s maximální fází = všechny kořeny čitatele nestabilní, maximální přírůstek fáze při ω : 0 → ∞ • Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze Michael Šebek
ARI-04-2015
11
Co můžeme vybudit a co se projeví na výstupu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Řiditelnost (controllability) • vstupním signálem můžeme ovlivnit jen tu část systému, která se dá řídit (nějak vybudit vstupním signálem) = řiditelná část systémů • pokud můžeme vstupem vybudit všechny části (módy) systému, říkáme že systém je (plně) řiditelný Pozorovatelnost (observability) • zkoumáme-li výstup systému, vidíme z něj jen to, co se na výstupu může pozorovat (co se tam nějak projeví) = pozorovatelná část systému • pokud se na výstupu mohou projevit všechny části (módy) systému, • říkáme že systém je (plně) pozorovatelný Z toho plyne, že • odezvu na počáteční podmínky a/nebo na vstupní signál ovlivňuje jen pozorovatelná část (módy) systémů • odezvu na vstupní signál ovlivňuje jen ta část (módy) systémů, která je současně pozorovatelná a řiditelná Michael Šebek
ARI-04-2015
12
Možnost dělat se systémem co chci: Řiditelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Definice: matice řiditelnosti = C B
AB … A n−1B řiditelnost není vlastností přenosu, ale stavové realizace
Následující tvrzení jsou ekvivalentní • systému je úplně řiditelný • systém nemá neřiditelnou (divnou) část
• všechny módy systému můžeme vybudit akčním zásahem • každý stav systému lze řídit (třeba do nuly) • stavový popis lze převést do normální formy řiditelnosti • matice řiditelnosti má plnou hodnost (u SISO je nesingulární) • platí
rank [ sI − A, B ] = n ∀s ∈ C
• při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi
adj( sI − A)B ( sI − A) −1 B = det( sI − A)
• stavovou ZV můžeme libovolně posouvat póly systému Michael Šebek
ARI-04-2015
13
Neřiditelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• když předchozí tvrzení neplatí, tak máme problém Důvody • špatný model (např. stavový popis zbytečně vysokého řádu) • systém opravdu nejde dobře řídit a musíme ho „předělat“ (přemístit nebo přidat aktuátor apod.) • sami jsme neřiditelnost způsobili nevhodným spojením podsystémů Neřiditelnost • nemusíme poznat z přenosu (někdo už ho mohl vykrátit) • nemusí být ještě úplný průšvih, pokud je „neřiditelná část“ systému stabilní pak je systém alespoň stabilizovatelný Mezi tím je špatná řiditelnost • matice řiditelnosti je „skoro singulární,“ přenosy „skoro soudělné“ • špatně se řídí, špatná dynamika, velká spotřeba energie Michael Šebek
ARI-04-2015
14
Možnost vidět, co se v systému děje: Pozorovatelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Definice: matice pozorovatelnosti je
C CA O= n -1 CA
Následující tvrzení jsou ekvivalentní • systému je úplně pozorovatelný • každý stav systému lze zpětně pozorovat (vypočítat) • všechny módy systému můžeme v principu pozorovat na výstupu • systém nemá nepozorovatelnou (divnou) část • stavový popis lze převést do normální formy pozorovatelnosti • matice pozorovatelnosti je nesingulární T T T • pro každé komplexní s platí rank ( sI − A ) C =n • při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi pozorovatelnost C adj( sI − A) není vlastností C( sI − A) −1 = přenosu, ale det( sI − A) stavové realizace • můžeme libovolně navrhnout tzv. pozorovatele Michael Šebek
ARI-04-2015
15
