Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy
Michael Šebek Automatické řízení 2016 29-2-16
Schurův doplněk - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
(n + l )×(n + l )
Obecně
takže
( n + l ) × ( n + m)
( n + m) × ( n + m)
In −1 C sI − A ( )
0 sI − A B I n D 0 I l −C 0 sI − A = −1 C ( sI − A ) B + D 0
−1 − ( sI − A ) B = Im
0 sI − A sI − A B det −1 = det C D − C ( sI − A ) B + D 0
(
= det ( sI − A ) det C ( sI − A ) B + D
Speciálně pro
−1
m = 1,= l 1
(
= det ( sI − A ) C ( sI − A ) B + D Michael Šebek
)
Pr-ARI-03-2016
−1
) 2
Nuly přenosu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro přenos G ( s ) = ( s + 1) ( s + 2) s pólem s = −2 a nulou z = −1 porovnejme odezvy • Systém v klidu a vstupní signál u (t ) =× 2 1(t ) → u ( s ) = 2 s s +1 2 1 1 = + y= (t ) e −2t + 1(t ) s+2 s s+2 s odezva má obvyklou přirozenou a nucenou složku Systém v klidu a vstupní signál u (t ) =e − zt =e − t → u ( s ) =1 ( s + 1) y= (s)
•
1 s +1 1 = y(s) = s + 2 s +1 s + 2
y (t ) = e −2t
nucená složka chybí a tedy vstupní frekvence je blokována • Stejný vstupní signál a ještě u (0− ) = 0, y (0− ) = −1 = y(s)
s +1 1 s +1 1 1 u (s) + = y (0−) = − 0 s+2 s+2 s + 2 s +1 s + 2
výstup je nulový při nenulovém vstupu Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
3
Příklad: Blokování vstupu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Blokování sinusovky
Nepřesné krácení
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
4
Systém 1. řádu: časová konstanta a doba náběhu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
a 1 Klasické specifikace G = ( s) = Časová konstanta (time constant) = převrácená s + a 1 + Ts hodnota záporně vzatého reálného pólu • systém se ustálí se za 3-4 T 1 e −3T T =− 1 e −3 = 0.9502 h(T ) =− − 4T T −4 =− 1 e 1 e = 0.9817 h(T ) =− • za T dosáhne cca 63% h(T ) =− 1 e −T T =− 1 1e= 0.6321 • Vzorec
T=
2%
1 0.9
1 a
63% 0.5
T = 2.2T T = 4T Doba náběhu (rise time) = čas mezi y = 0.1 a y = 0.9 0.1 0 • délka přechodového jevu, 3T 0 4T T 2T Tr= t2 − t1 • čas, za který se dostane „do blízkosti“ t t −2 −2 ustálené hodnoty T T =− e → e = −T ln 0.1 ≈ 2.31T 0.9 1 0.1 → t2 = • Vzorec: t t r
Tr ≈ 2.2T
Michael Šebek
0.1 =− 1 e
−
1
T
→e
Pr-ARI-03-2015
−
1
T
s
= −T ln 0.9 ≈ 0.11T 0.9 → t1 =
5
5T
Systém 1. řádu - doba ustálení (regulace) Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro přenos
−a
a 1 G = (s) = s + a 1 + Ts
je odezva na jednotkový skok
= −1 T
Im
Re −4 −3 −2 −1
1 − e − at
a
Doba ustálení (regulace) : je čas, za který se odezva přiblíží ustálené hodnotě na vzdálenost p , tedy 1 − e − aT = 1− p
Im
Re
s
Z toho
e − aTs = p
Ts =
−aTs = ln p
A čitatel je >> >> >> >>
p=0.01; p=0.02; p=0.03; p=0.05;
Michael Šebek
k k k k
= = = =
-log(p)= -log(p)= -log(p)= -log(p)=
4.6052 3.9120 3.5066 2.9957 Pr-ARI-03-2015
T= s
− ln p a
4 = 4T a 6
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu pro 1. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro systém 1. řádu vyjádříme požadavky na časovou odezvu polohou pólu: • Požadovaná doba náběhu
Tr < τ r ⇔ s1 = −a < −
2.2
τr s1 = −a < −
Im
• Požadovaná doba ustálení
Ts < τ s ⇔ s1 = −a < −
2.2
τr
Re
k%
τs
s1 = −a < −
k%
τs
Re
• Požadovaná doba náběhu a ustálení současně
Im
2.2 k% ,− Ts < τ s ∧ Tr < τ r ⇔ s1 < min − τs τr Michael Šebek
Im
Pr-ARI-03-2015
2.2 k% s1 < min − ,− τs τr
Re
7
Příklad - 2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
0
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
8
2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Vliv tlumení na časový průběh ζ =0
ζ =0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0
Vliv tlumení a přirozené frekvence netlumeného systému na polohu pólů ωn = 1, ζ ∈ [ 0, ∞ )
ζ = 0.5
ζ = 0.2
ζ = 0.1 ζ = 0
ζ =0 ζ = 0.8
ζ =1 ∞ ←ζ
ζ =1
ζ →∞ ωn = 10
ζ =0
Michael Šebek
ωn = 0
Pr-ARI-03-2015
9
2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• častým požadavkem zákazníka je maximální překmit. Ten si obvykle převádíme na požadované tlumení a to pomocí vzorečku − ln(%OS 100) ζ = • z obrázku nebo z grafu 2 2 ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ
0
=0 = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.4 = 0.5 = 0.6 = 0.7 = 0.8 = 0.9 = 1.0
π + ln (%OS 100)
%OS = 100 × e −ζπ
Pozor: funkce je klesající Tedy překmit max. x x=0:.01:1 znamená plot(x,100*exp(-pi.*x./sqrt(1-x.^2))) tlumení min. f(x)
%OS
>> >>
5%
• Vzorec platí pro podtlumený systém. • Blízko meze aperiodicity a na ní přestává platit Michael Šebek
1−ζ 2
Pr-ARI-03-2015
ζ 0.7
10
2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Podtlumený systém 2. řádu má póly s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ
0
2
Tr ≈ ζ ∈ ( 0,1)
1.8
ωn cos θ = ζ
k% k% = k1% 4.6, = k2% 4, • Doba ustálení je = Ts = ζωn σ = k3% 3.5, = k5% 3 takže stejnou dobu ustálení mají systémy, se stejnými reálnými částmi pólů π π • Okamžik prvého maxima je= Tp = 2 ωd 1 ω ζ − n takže ho mají stejný systémy se stejnými imaginárními částmi pólů
• Stejné tlumení a tedy stejný překmit mají systémy s póly ležícími na přímkách θ = arccos ζ procházejících počátkem pod úhlem cos θ = ζ Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
ζ2
ζ1
Tp2 < Tp1 Ts2 < Ts1 %OS1 < %OS 2
ζ1 > ζ 2
11
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika
s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
Pro systém 2. řádu vyjádříme požadavky na časovou odezvu polohou pólů: • Požadovaná doba náběhu: Velmi přibližně
s1,2= ωn >
Tr < τ r ⇔ s1,2 = ωn >
1.8
τr
1.8
Im
τr Re
Im
• Požadovaná doba ustálení
Ts < τ s ⇔ Re s1,2 = −σ < −
Re s1,2 = −σ
k%
<−
τs
k%
τs
Re
Im
• Okamžik prvního maxima
Tp < τ p ⇔ Im s1,2
Michael Šebek
π = ωd > τp
Pr-ARI-03-2015
Im s1,2 = ωd >
π τp
Re
12
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro systém 2. řádu vyjádříme požadavky na časovou odezvu polohou pólů: • Požadovaný maximální překmit %OS < pmax ⇔ ζ > ζ min =
s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
− ln ( pmax 100 )
π 2 + ln 2 ( pmax 100 )
Im θ < arccos ζ min
Re s1,2 σ ⇔ > ζ min ⇔ θ < arccos ζ min s1,2 ωn
Typické jsou kombinované požadavky, např. • Požadovaný maximální překmit a současně • maximální doba ustálení
(Ts < τ s ) ∧ ( %OS < pmax ) ⇔
Im θ < arccos ζθmin −
k% Re s1,2 < − ∧ (θ < arccos ζ min ) τs Michael Šebek
Re
Pr-ARI-03-2015
k%
τs
> Re s1,2
Re
13
2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
roste frekvence, ale obálka zůstává stejná
5
klesá obálka, ale frekvence zůstává stejná
Im
4 3 2 1 −σ
Re
1
0
Im ωd
2
5 4 3 2 1
3
Re
4 5
roste frekvence, ale překývnutí je stejné
4 3
= ζ 1 1 + ωd2 σ 2 = konst. Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
Im 2 1
Re
14
Podtlumený systém 2. řádu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Skoková odezva podtlumeného systému 2. řádu
ζ <1
( s + ζωn ) +
ζ
ωn 1 − ζ 2
1− ζ 2 k 2 s + k3 ωn2 1 k1 1 = + = − h( s ) = 2 s 2 + 2ζωn s + ωn2 s s s 2 + 2ζωn s + ωn2 s ( s + ζωn ) + ωn2 (1 − ζ 2 ) s + ζωn ) ωn 1 − ζ 2 ( 1 ζ = − − 2 2 s ( s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 ) 1 − ζ 2 ( s + ζωn ) + ωn (1 − ζ 2 )
1− h(t ) =
1 1− ζ
2
(
e −ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + ϕ
)
ζ ϕ arccos ζ , φ arctg = = 2 ζ − 1
ζ 2 sin ωn 1 − ζ 2 t = 1 − e −ζωnt cos ωn 1 − ζ t + 1− ζ 2 1− =
Michael Šebek
ζ 1− ζ
2
(
e −ζωnt cos ωn 1 − ζ 2 t − φ
)
Pr-ARI-03-2013
15
Doba prvního maxima - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Najdeme čas, kdy je poprvé derivace skokové odezvy = 0 • Derivaci výhodně vypočteme v L-transformaci ωn 1− ζ 2 ω n 2 2 1 ζ − ω n (t )} sh (s) = = L − {h= 2 s + 2ζωn s + ωn2 ( s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 ) = h(t )
ωn 1− ζ 2
ζ <1
0 ⇒ ωn 1 − ζ 2 t nπ e −ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t ≈=
n= 0→t = 0 1 → ωn 1 − ζ 2 t = n= π
Tp =
Michael Šebek
π ωn 1 − ζ 2
Pr-ARI-03-2015
16
Překmit - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Z definice je • Přitom
ζ <1
hmax − h(∞) = %OS × 100 h (∞ ) −ζπ
−ζπ
ζ 1−ζ 2 sin π = + 1 − e 1−ζ cos π + 1 hmax = h(Tp ) = h(t ) = e 1− ζ 2 h (∞) = 1 2
• Takže po dosazení −ζπ
% = OS e
1−ζ 2
× 100
• a z toho opačně ζ =
Michael Šebek
− ln ( %OS 100 )
π 2 + ln 2 ( %OS 100 )
Pr-ARI-03-2015
17
Doba ustálení pro 2. řád - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Musíme najít čas, kdy skoková odezva dosáhne pás ±2% kolem ustálené hodnoty a zůstane v něm • Amplituda (obálka) tlumené sinusovky dosáhne 0.02, když ζ 1− ζ 2
e
−ζωn t
= 0.02
Ts =
(
− ln 0.02 1 − ζ 2
ζ <1
)
ζωn
• To je velmi konzervativní odhad, neboť předpokládá, že v čase t (okamžiku dosažení pásma ustálení) bude právě cos (ωn 1 − ζ 2 t − φ ) = 1 • Výpočtem zjistíme, že se při změně
(
)
ζ ∈ [ 0, 0.9] ⇒ − ln 0.02 1 − ζ 2 ∈ [3.91, 4.74]
• Dohodněme se na odhadu nezávislém na tlumení Ts = Michael Šebek
4
ζωn Pr-ARI-03-2015
18
Doba náběhu pro 2. řád Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vztah mezi dobou náběhu a tlumením nelze najít analyticky • Postupným dosazováním různých hodnot do
ζ <1
ζ 2 sin ωn 1 − ζ 2 t h(t ) = 1 − e −ζωnt cos ωn 1 − ζ t + 1− ζ 2
a „měřením“ Tr dostaneme graf • Polynomiální aproximací (fce polyfit v Matlabu) lze dostat třeba vztahy (Nise) Tr =
1.76ζ 3 − 0.417ζ 2 + 1.039ζ + 1
ωn
ζ = 0.115 (ωnTr ) − 0.883 (ωnTr ) + 2.504 (ωnTr ) − 1.738 3
2
• Někteří (Franklin) požívají velmi přibližný vzorec 1.8 T ≈ r získaný pro „průměrnou hodnotu“ ζ = 0.5 ωn (ospravedlněný jen názorem, že se t v závislosti na ζ „moc nemění“) • Dokonce i definice se liší. Někdo používá dobu 0%-100% pro podtlumené, 5%-95% pro kriticky tlumené and 10%-90% pro přetlumené systémy 2. řádu Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
19
Vliv dalších pólů – Dominantní póly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
bc A Bs + C D y(s) = = + + 2 s ( s 2 + as + b ) ( s + c ) s s + as + b s + c −c 2 − ca −c 2 a + ca 2 − bc −b = = A 1,= B 2 ,= C , D c + b − ca c 2 + b − ca c 2 + b − ca lim A = 1,
− c →−∞
lim B = −1, lim C = − a,
− c →−∞
− c →−∞
lim D = 0
c↑
− c →−∞
y(s) =
y(s) =
Michael Šebek
1 1 s2 + s + 1 s
Pr-ARI-03-2015
c 1 ( s 2 + s + 1) ( s + c ) s
20
Příklad – dominantní póly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Můžeme zanedbat reálný pól v těchto přenosech ? T1 =
245.42 ( s 2 + 4s + 24.542 ) ( s + 10 ) T2 =
T=
24.542 s 2 + 4 s + 24.542
73.626 ( s 2 + 4s + 24.542 ) ( s + 3)
T=24.542/(s^2+4*s+24.542) T1=245.42/(s+10)/(s^2+4*s+24.542) T2=73.626/(s+3)/(s^2+4*s+24.542) Tstep=partial(T/s) [omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]... =secorder(Tstep(2)) T1step=partial(T1/s) [omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]... =secorder(T1step(3)) T2step=partial(T2/s) [omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]... =secorder(T2step(3))
y (t ) = 1 − 1.09e −2t cos(4.53t − 23.81 ) y1 (t ) = 1 − 1.19e −2t cos(4.53t − 53.34 ) − 0.29e −10t y2 (t ) = 1 − 0.71e −2t cos(4.53t + 86.63 ) − 1.1e −3t
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
dominantní póly 21
Příklad: Vliv přidané nuly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
2 ( s + 1)( s + 2)
je aperiodický
3s + 2 ( s + 1)( s + 2)
• a tedy odezva na skok nemá překmit 2 ( s + 1)( s + 2)
2 1 2 1 1 = − + + ystep ( s ) = ( s + 1)( s + 2) s s +1 s + 2 s −2e − t + e −2t + 1 ystep (t ) =
• Přidáme-li nulu
3s + 2 ( s + 1)( s + 2)
pak odezva na skok překmit má
ystep ( s ) =
3s + 2 1 1 2 1 = − + ( s + 1)( s + 2) s s + 1 s + 2 s
ystep (t ) = e − t − 2e −2t + 1
Obecně • I odezva „aperiodického přenosu“ (tj. s reálnými póly) může mít vlivem nul konečný počet kmitů! • Nemůže ale kmitat do nekonečna, k tomu je třeba „periodický přenos“, tj. dvojice komplexně sdružených pólů. Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
22
