3 - Póly, nuly a odezvy
Michael Šebek Automatické řízení 2015 23-2-15
Póly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Póly přenosu • jsou kořeny jmenovatele • pro g ( s ) = b( s ) a( s ) jsou to komplexní čísla si : a ( si ) = 0 • pokud přenos nemá stejnou nulu (na rozdíl od matematiky): g ( si ) = ∞ • Odpovídají módům přirozené odezvy • Patří mezi póly systému
Póly přenosu ⊆ Póly systému
Póly systému • kořeny charakteristického polynomu (společného jmenovatele všech přenosů) det ( sI − A ) • vlastní čísla matice systému ve stavovém popisu λi ( A ) • charakterizují vnitřní dynamiku systému, jeho vnitřní rezonance • jsou rovny komplexním frekvencím, které je systém schopen sám generovat (módy odezvy na jeho počáteční stav) • nezávisí na vstupní matici B ani na výstupní matici C , tedy nezávisí na umístění aktuátorů a senzorů (v otevřené smyčce) Michael Šebek
ARI-03-2015
2
Nuly přenosu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nuly přenosu (přenosové nuly) jsou • kořeny jeho čitatele • pro
g (s) =
b( s ) a( s)
jsou to komplexní čísla si : b( si ) = 0
Význam pro řízení • nuly přenosu jsou komplexní frekvence, pro které je přenos mezi vstupem a výstupem blokován • mění odezvu a tím komplikují návrh řízení (viz dále)
Michael Šebek
ARI-03-2015
3
Nuly systému Automatické řízení - Kybernetika a robotika
a ( s ) det( sI − A) • jsou nuly přenosu b( s ) a( s ) „před vykrácením“ tj. když = • přesněji jsou to kořeny polynomu Schurův doplněk C adj( sI − A)B + det( sI − A)D = sI − A B −1 = det( sI − A) C( sI − A ) B + D = det D −C • oproti nulám přenosovým jsou tu navíc • vstupní nuly (rovné pólům neřiditelné části), tj.
zi :rank [ zi I − A B ] < n
zi I − A zi :rank
• výstupní nuly (rovné pólům nepozorovatelné části), tj.
Význam pro řízení • nuly systému charakterizují, jak je systém spojen s okolím • závisí na B, C, D, tedy na poloze senzorů a aktuátorů • nestabilní nuly ztěžují řízení, někdy je dokonce nutno soustavu „předělat“ Michael Šebek
ARI-03-2015
4
Póly a nuly v nekonečnu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pól v nekonečnu má neryzí racionální funkce (přenos) • Tedy, když je stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele • Např. s
G ( s )= s=
1
lim G ( s ) = ∞ s →∞
• Takový systém nemůže samostatně existovat, jen zapojení s jinými - zesiloval by i nekonečné frekvence Nula v nekonečnu má striktně ryzí racionální funkce (přenos) • Tedy, pokud je stupeň čitatele ostře menší než stupeň jmenovatele • Např.
1 G (s) = s
lim G ( s ) = 0 s →∞
• takové jsou všechny fyzikální systémy, blokují nekonečné frekvence • Počítáme-li s násobnostmi a nekonečnými nulami a póly, tak má každý přenos stejný počet nul a pólů Michael Šebek
ARI-03-2015
5
Systém 1. řádu bez nul
( s) G =
a 1 = s + a 1 + Ts
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Impulzní odezva (impulzní charakteristika) 1 − Tt − at g (t ) ae e = = T
Skoková odezva (přechodová charakteristika)
1− e h(t ) =
g (0+) =−a =−1 T
1− e =
Doba náběhu Tr ≅
0.37a
2.2T
0
T =1 a
Michael Šebek
t T
Im
Re
2%
1 0.9
2
0.63
0
−
h(0+) = a = 1 T
a 2
− at
−a
Doba ustálení
Ts = 4T
0.1 0
2T
3T
4T
5T
0
ARI-03-2015
T
2T
3T
4T
5T 6
Systém 2. řádu bez nul (stabilní)
G (s) =
b s 2 + as + b
a≥0 b>0
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ωn2 ωn2 ωn2 ωn2 G (s) = = = 2 2 s + 2ζωn s + ωn ( s + σ − jωd )( s + σ + jωd ) ( s + ζωn ) 2 + ωn2 (1 − ζ 2 ) ( s + σ ) 2 + ωd2
Tradičně označujeme • přirozenou frekvenci (natural frequency) oscilací netlumeného systému ωn = b • frekvenci exponenciálního útlumu (exponential decay frequency) σ = a 2 obálka 1 ± e−σ t • poměrný útlum, tlumení (damping ratio) ζ =
σ 1 Tn a 2 = = = cos θ ωn 2π Tσ ωn
• frekvenci tlumených oscilací (damped frequency) ωd = ωn 1 − ζ 2 =
Michael Šebek
b 1 − (a (2 b )) 2 ARI-03-2015
7
Systém 2. řádu bez nul - zajímavé případy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
σ 0,= ωn ω= 0 Netlumený systém = d ,ζ
ωn 2
ωn2 G ( s) = 2 s + ωn2 g (t ) = ωn sin ωn t h(t ) = 1 − cos ωn t
Podtlumený systém
Im
ωd = ωn
0
Re
−ωd
ζ < 1, σ = ζωn , ωd = ωn 1 − ζ 2
ωn2 G (s) = 2 s + 2ζωn s + ωn2
Im = ωd ωn 1 − ζ 2
ωn2 = ( s + σ − jωd )( s + σ + jωd )
−σ =−ζωn
−ωd
1
Re 0
g (t ) = (ωn2 ωd )e −σ t sin ωd t
h(t ) = 1 − e −σ t [ cos ωd t + (σ ωd ) sin ωd t ] Michael Šebek
ARI-03-2015
8
Systém 2. řádu bez nul - zajímavé případy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ζ 1,= σ 1,2 ωn= , ωd 0 Kriticky tlumený systém =
ωn2 G (s) = ( s + ωn ) 2
1
Im
−σ 1,2 = −ωn
g (t ) = ωn2te−ωnt
Re
1 − e−ωnt − ωnte−ωnt h(t ) = 0
Přetlumený systém
ζ ≥ 1: σ1 = ζωn + ωn ζ 2 − 1
ωn2 G (s) = 2 s + 2ζωn s + ωn2 = g (t ) =
1
σ2 = ζωn − ωn ζ 2 − 1
ωn2
( s + σ 1 )( s + σ 2 ) ωn 2 ζ −1 2
Im
( e −σ t − e −σ t ) 2
1
−σ 1
−σ 2
σ 1 − σ 2 + σ 2 e −σ t − σ 1e −σ t h(t ) = σ1 − σ 2 1
Michael Šebek
2
Re 0
ARI-03-2015
9
Systém 2. řádu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Všechny případy v jednom obrázku
Avšak pozor: Je to přesně tak jen když systém nemá nuly! Michael Šebek
ARI-03-2015
10
Systém 2. řádu: vzorce pro podtlumený případ Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Doba ustálení (settling time) Ts =
4
ζωn
Doba 1. maxima (peek time) π Tp = ωn 1 − ζ 2 Překmit, překývnutí (overshoot) −(ζπ 1−ζ ) %OS = 100e 2
ζ =
− ln ( %OS 100 )
π 2 + ln 2 ( %OS 100 )
Doba náběhu Tr : rozumný vzorec není, jen graf ze simulací. Přesto někteří užívají „velmi přibližný“ odhad Michael Šebek
Tr ≈
ARI-03-2015
1.8
ωn
11
Vliv dalších pólů – Dominantní póly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Někdy můžeme systém s více póly aproximovat systémem s dvojicí dominantních pólů • A pak můžeme vzorečky pro 2. řád aplikovat na tu dvojici 2 − + ca c • Např. pro systém s dvojicí komplexních pólů a ještě = A 1,= B c 2 + b − ca třetím reálným pólem je odezva na skok −b bc A Bs + C D D= 2 = + 2 + y(s) = c + b − ca 2 s s + as + b ( s + c ) s s + as + b s + c −c 2 a + ca 2 − bc C= • Je-li -c blízko dvojice, zanedbat ho nemůžeme! c 2 + b − ca • Je-li hodně daleko nalevo, má vliv zanedbatelný − c → −∞ : A → 1, B → −1, C → − a, D → 0 • „Pravidlo 5“: Třetí pól zanedbáme, je-li aspoň 5× víc nalevo od imaginární osy než reálná část dominantní dvojice • Někdo používá „Pravidlo 10“ • Raději to vždy ještě ověříme simulací
(
Michael Šebek
)
ARI-03-2015
12
Vliv nuly Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme k systému s přenosem g ( s ) a odezvou y ( s ) nulu v −a , což změní přenos na (1 + s a) g ( s ) a odezvu na (1 + s a ) y ( s ) • Odezva nového systému bude složená z původní a násobku její derivace y (s) = (1 + s a ) y ( s ) = y(s) + ( s a ) y(s) • Je-li nula „hodně“ stabilní (tj. a je velké kladné), má člen s derivací ( s a ) y ( s) zanedbatelný vliv a odezva se skoro nezmění • Je-li to nula stabilní „méně“ (tj. a menší kladné), je vliv derivace významný! y= (1 + s ) y • Skoková odezva má typicky na počátku 1 y= derivaci kladnou, tedy člen s derivací ( s + 2) 2 + 9 se přičte a způsobí větší první překmit • Bude-li nula nestabilní (záporné a ), má derivace opačné znaménko sy a odezva je zpočátku dokonce obrácená • Nuly neovlivňují typ módů, ale jejich relativní vliv, neboť v rozkladu na parciální zlomky ovlivňují jen čitatele (rezidua) Michael Šebek
ARI-03-2015
13
