Příklady k přednášce 13 - Návrh frekvenčními metodami
Michael Šebek Automatické řízení 2015 30-3-15
Nastavení šířky pásma uzavřené smyčky Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Na přechodové frekvenci v otevřené smyčce je (z definice) L( jωc ) = 1 • Hodnota L( jωc ) T ( jωc ) = 1 + L( jωc ) ale ještě závisí na fázi ∠L( jωc ) , tedy na PM • Pro PM = 90° je L( jωc ) = − j a má fázi - 90°, takže T ( jω= c)
−j = 1− j
1 ≅ 0.707 2
• V tomto případě je tedy šířka pásma uzavřené smyčky právě rovna přechodové frekvenci otevřené smyčky!
ωBW = ωc • Pro menší PM hodnota T ( jωc ) roste, vzniká rezonanční špička. Tím se šířka pásma ωBW posouvá doprava, ale obvykle nepřekročí 2ωc • Je tedy obvykle ωc ≤ ωBW ≤ 2ωc • Proto nastavujeme ωc (OL !!!) s cílem zajistit požadované ωBW (CL!!!) Michael Šebek
ARI-13-2013
2
Souvislost ωc a ωBW Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Bodeho graf T ( jω ) s vyznačenou ωc a hodnotami ωBW pro různé PM • Obvykle je ωc ≤ ωBW ≤ 2ωc • Pro druhý řád bez nul je v závislosti na ζ vynesen v grafu poměr
1
1
ωc ωBW
0.95
0.9
0.85
0.8
ωC ωBW
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
1 ∈ ,1 (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2 2
0.75
0.7
0.65
0.6
ζ
0.55
0.5
Michael Šebek
ARI-13-2013
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 2
3
Opakování: ustálené chování z Bodeho grafu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
M = 15dB
>> L=(1+s)/(2+s)/(3+s), v=value(L,0),L=L/v*10^(15/20),K=value(L,0),bode(L) L = 34 + 34s / 6 + 5s + s^2 K = 5.6234 >> KpdB=20*log10(abs(value(L,j*.01))), Kp=10^(15/20) KpdB = 15.0003, Kp = 5.6234 >> einfty = 1/(1+Kp) einfty = 0.1510
• počáteční sklon je 0 a tak systém je typu 0 (bez astat.) • „počáteční hodnota“ asymptoty je 15 dB a tak je = K p 15d = B 1015 20 = 5.623
• ustálená odchyl. na skok je
estep,ss =1 (1 + K p ) = 0.151
• počáteční sklon je 20 dB/dek a tak systém je typu 1 (s astatismem 1. řádu) • protažená „počáteční asymptota“ protíná nulovou přímku pro frekvenci ω = 10 a tak je K = 10
L=(1+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime(s*L),0);L=L/v*10, L = 60 + 60s / 6s + 5s^2 + s^3 Kv=value(coprime(s*L),0),bode(L) Kv = 10
ω = 10
v
• ustálená odchylka na rampu je eramp (∞ = ) 1K = 0.1 v Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
4
Srovnání časového a frekvenčního chování Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
5
Příklad: Nastavení Kp regulátorem P Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava
G ( s) =
5 s+2
+32dB
log 2.5 8dB = K p 2.5, = K p ,dB 20 = = ess
1 = 0.29 1+ K p
• Chceme ess ,2 = 0.01 → K p ,2 =
1 − ess ,2 ess ,2
= 99
K p ,2,dB 20 = = log 99 40dB
•
K p ,2 99 = = 39.6 K Použijeme = 2.5 Kp K dB = K p ,2, − K p ,dB = 40 − 8 = 32dB
(pozor - výsledek je moc rychlý, s velkou špičkou akčního zásahu ) Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
6
Příklad: Nastavení Kv regulátorem P Automatické řízení - Kybernetika a robotika
58390 má s ( s + 36 )( s + 100 )
1 = 0.0617 Kv Chceme-li odchylku na rampu zmenšit 10x, musíme nastavit K v = 162.2
• Soustava
G (s) =
• • A tedy zvětši zesílení 10x, čímž dostaneme • Takže
) K v= 16.22 → eramp (∞=
L( s ) =
583900 s ( s + 36 )( s + 100 )
• ale pozor, výsledek je nestabilní! Tady P regulátor úlohu nevyřeší! Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
7
Příklad: Nastavení zesílení na požadovaný PM Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro systém řízení polohy z obrázku nastavte zesílení předzesilovače tak, aby měl výsledný systém při skoku reference překmit 9.5% • Z požadavku na překmit vypočteme požadované tlumení (dominantních pólů) = ζ
− ln(%OS 100) = 2 2 π + ln (%OS 100)
− ln(0, 095) = 0.5996 ≅ 0, 6 2 2 π + ln (0, 095)
a z toho požadované PM PM= arctan
2ς
= arctan
−2ς 2 + 1 + 4ς 4
2 × 0.6
−2 × (0.6) 2 + 1 + 4 × (0.6) 4
• Přenos otevřené smyčky je s neurčitým K • Abychom mohli nakreslit Bodeho graf a navrhovat graficky, musíme zvolit nějakou hodnotu K. Tak třeba pro K = 3.6 dostaneme Michael Šebek
= 1.0326 ≅ 59.2°
Pr-ARI-13-2013
L( s ) =
100 K s ( s + 36 )( s + 100 )
LK =3.6 ( s ) =
360 s ( s + 36 )( s + 100 ) 8
Pokračování Automatické řízení - Kybernetika a robotika
) 360 ( s ( s + 36 )( s + 100 ) ) • Tedy nakreslíme Bodeho graf LK =3.6 ( s= • a na něm najdeme frekvenci, ∠L( jω ′) = −180° + 59.2° = −120.8° pro kterou je fáze • Z grafu tedy odečteme ω ′ = 14.8 rad s L(ω ′) = M (ω ′) = 0.0062 = −44.2 dB • Pro tuto frekvenci je amplituda a proto musíme zvětšit zesílení o 44,2 dB, tedy cca 162.2 krát • Tím dostaneme hledané −44.2 dB
58390 L( s ) = s ( s + 36 )( s + 100 )
• Nezbytná simulace ověří správnost návrhu • Pro pozdější pokračování příkladu ještě odměříme
−120.8°
ω ′ = 14.8 rad s
= K v 16.22 → eramp (= ∞) 0.0617 Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
9
Příklad: Nastavení PD Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos soustavy (aircraft attitude) • Specifikace
G (s) =
4500 s ( s + 361.2 )
eramp , ss ≤ 0.000443 → K v ≥ 1 eramp , ss = 2257 PM ≥ 80
• Nejprve nastavíme Kp = 181.19, abychom zvýšili Kv,1 = 12.5 na Kv =2258 a tím zajistili požadovanou ustálenou odchylku • Dále budeme hledat složku
×K p 45dB
K v ,1 = 12.5
K v ,2 = 2257
(1 + K D s )
PD regulátoru pro přenos K PG (s) =
Michael Šebek
815350 s ( s + 361.2 )
Pr-ARI-13-2013
10
Pokračování: Nastavení PD Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vykreslíme Bodeho graf přenosu L( s ) = K P (1 + K D s ) G ( s ) 815350 = (1 + K D s ) ( ) s s + 361.2
145° 35°
pro Kd = 0 • Najdeme ωD , na které je PM = požadavek – (fáze regulátoru na ωD ) = 80° - 45° = 35° kde je tedy fáze = -180°+ 35° = -145° • To je ωD = 516 • Vypočteme K= D
1 =
ωD
ωD = 516 Fáze PD regulátoru
45° 0.1K P K D
ωD = K P K D
10 K P K D
1 = 0.0019 516
• Výsledné L má Bodeho graf • Specifikace je splněna: PM = 84.9 ° Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
11
Ještě jeden příklad: Nastavení PD Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy G ( s) =
1.5 ×107 s ( s 2 + 3408.3s + 1204000 )
• Řekněme, že jsme již navrhli KP = 1 a teď nastavme KD v PD regulátoru (1 + K D s ) pro dobré PM • Nakreslíme Bodeho graf pro hodnoty K D = 0, 0.002, 0.005, 0.02 • Nekompenzovaný systém (Kd = 0) má PM = 7.78° • Pokud bychom chtěli dosáhnout PM = 58.5° PM = 80°, musel by regulátor PM = 47.6° přidat 72,22° a to na nové ωc = 25.9° PM • Z grafu vidíme, že se to nepodaří, PM = 7.78° protože vyšší zesílení regulátoru posunuje ωc k vyšším frekvencím, • Kde fáze nekompenzovaného systému klesá rychleji než ji kompenzátor přidá. Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
12
Příklad: Nastavení PI Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy
G (s) =
815350 s ( s + 361.2 )
• Najděte PI regulátor, který zlepší z PM = 22.6° na PMnew = 65° Nakreslíme Bodeho graf L( s ) =
815350K P ( s + K I K P ) s 2 ( s + 361.2 )
• nejprve pro Kp= 1 a KI = 0 • Z požadavku PMnew =65° najdeme ωc,new = 170 rad/s a vypočteme K P 10 =
− G ( jωc ,new ) dB 20
115°
− 21.5 20 0.084 = 10 =
• KI volíme tak, aby byla zlomová frekvence o dekádu menší než ωc,new
PM new= 65°
ωc ,new = 170
K I K P = ωc ,new 10
PM = 22.6°
ωc = 868
K I =K P ωc ,new 10 =0.084 ×170 10 ≈ 1.42 Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
13
Příklad: Nastavení PI Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro toto K I = 1.42 vypočteme přenos a nakreslíme Bodeho graf L( s )
815350K P ( s + K I K P ) 68489 ( s + 16.9 ) = s 2 ( s + 361.2 ) s 2 ( s + 361.2 )
• Naměříme PMnew =59, což specifikaci nesplňuje • Zkusíme tedy ještě vzít ještě menší KI (= posunout zlom, frek. ještě více vlevo), • Např. KI = 0.07 vede na přenos L2 ( s ) =
68489 ( s + 0.833) s 2 ( s + 361.2 )
• s PMnew = 64.3
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
14
Příklad: Nastavení PI Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy •
815265 s ( s + 361.2 ) Najděte PI regulátor, který zlepší z PM=22.6° na PM=65° Nakreslíme Bodeho graf
L( s ) =
G (s) =
815265 K P ( s + K I K P ) s 2 ( s + 361.2 )
• nejprve pro Kp= 1 a KI=0 • Z požadavku PMnew = 65° najdeme ωc,new = 170 rad/s a vypočteme K P 10 =
− G ( jωc ,new ) dB 20
− 21.5 20 0.084 = 10 =
• Dále vykreslíme Bodeho rafpřenos pro toto nové Kp a několik různých KI = 0; 0.008; 0.08;0.8;1.6 Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
PM= 65°
ωc ,new = 170
PM = 22.6°
ωc = 868
15
PID Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Viz doplňkový text
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
16
Příklad: Návrh regulátoru Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Zadání: Pro soustavu
F (s) =
1
s ( s + 2 )( s + 30 )
navrhni Lag regulátor splňující tyto specifikace:
ess ,ramp ≤ 0.05, PM ≥ 45°
Řešení: 1. Najdeme hodnotu zesílení zajišťující požadovanou odchylku: K = L1 ( s ) KF = (s) s ( s + 2 )( s + 30 ) 1 1 1 60 60 ess ,ramp = = = = ≤ 0.05 ⇒ K ≥ = 1200 K 0.05 K v lim sL1 ( s ) K s →0 >> K=1200;F=1/s/(s+2)/(s+30);L1=K*F 2 × 30 L1 = 1200 / 60s + 32s^2 + s^3 Tento OL přenos dává špatné PM a GM
Michael Šebek
ARI-13-2013
>> [GM,PM,om_cp,om_cg]=margin(tf(L1)) GM = 1.6000 PM = 6.6449 om_cp = 7.7460 om_cg = 6.1031 >> GM_dB = 20*log10(GM) GM_dB = 4.0824
17
Příklad: Návrh regulátoru Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nakreslíme Bodeho graf L 1200 L1 ( s ) = s ( s + 2 )( s + 30 )
50
40
System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.31 Magnitude (dB): 22.1
30 Magnitude (dB)
2.
20
∆C ( jωc ,new ) dB = 22.1 dB
Z požadovaného PM vypočteme −180° + 45° + 10° potřebnou fázi = 125° a na ní najdeme nové ωc,new = 1.28 rad/s Na této frekvenci zjistíme potřebné zeslabení 10
•
0
-10 -90
•
System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.28 Phase (deg): -125
Phase (deg)
-135
•
-180
∆C ( jωc ,new ) dB = −22.1 dB
3.
-225 -1 10
0
(
Vypočteme parametr a z naměřených hodnot 1 ∆C ( jωc ,new ) dB 20
a = ∆C ( jωc ,new ) = 10 Michael Šebek
1
10
10
−
22.1 20
= 10
= 0.0785
ARI-13-2013
/ )
nebo z přenosu >> aa=1/abs(value(L1,j*1.28)) aa = 0.0761
18
Příklad: Návrh regulátoru Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
4.
Vypočteme nulu = zc
a pól
ωc ,new
= 0.128 10
= pc az = 0.0785 × 0.128 = 0.0101 c
5.
Výsledný regulátor je = C lag ( s )
6.
as + pc 0.0785s + 0.0101 = s + pc s + 0.0101
Konečně ověříme splnění specifikací
Michael Šebek
ARI-13-2013
19
Příklad: Návrh regulátoru Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika Bode Diagram
6.
100 80
2020rad/s rad/s
60
Magnitude (dB)
40 20 0 -20 -40 -60 -80
Phase (deg)
-100 -90
System: untitled3 Phase Margin (deg): 49 Delay Margin (sec): 0.65 At frequency (rad/s): 1.32 Closed loop stable? Yes
-135
49 -180
-225 -3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
F ( d/ ) >> Kv=value(coprime(s*L2),0), e_ss_ramp=1/Kv Kv = 20.0000 , e_ss_ramp = 0.0500
Michael Šebek
ARI-13-2013
20
Jiný příklad: Kompenzace Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• V systému řízení polohy bylo předchozí metodou nastaveno zesílení tak, že • Výsledný systém má překmit 9.5% a
58390 s ( s + 36 )( s + 100 ) 1 ) K v= 16.22 → eramp (∞= = 0.0617 Kv L( s ) =
• Přidejte Lag kompenzaci tak, aby ustálená odchylka na rampu byla 10x menší a přitom se překmit nezhoršil • Požadavek na ustálený stav vede na K v = 162.2 , takže musíme • zesílení ještě zvětšit 10×, čímž dostaneme 583900 L( s ) = s ( s + 36 )( s + 100 ) • Požadavek překmitu 9.5% vede na ς =0.6 → PM =59.2° • Protože Lag sníží PM málo, ale přece jen (počítáme se zhoršením ∆PM = −5° ↔ −12° ) , = 59.2° + 10 = ° 69.2° uvažujeme raději PM • Najdeme frekvenci ω ′ , pro kterou je fáze ∠L( jω ′) = −180° + 69.2° = −110.8° Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
21
Pokračování: Kompenzace Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Z požadované fáze −110.8° • určíme frekvenci
L( s ) =
24 dB
583900 s ( s + 36 )( s + 100 )
ω ′ = 9.8 rad s • A z ní pak současnou hodnotu
−110.8°
20 log M (ω ′) = 24 dB ω ′ = 9.8 rad s • Protože z definice PM má pro ω ′ být
20 log M (ω ′) = 0 dB
• Musí lag provést na frekvenci ω ′ = 9.8rad s zeslabení −24 dB Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
22
Pokračování: Kompenzace Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nakreslíme asymptotu pro vysoké frekvence ve
20 log M (ω ′) = −24 dB
−20dB dek
1 αT =
−24dB
0.062 rad s
1 T = 0.98rad s
• Horní rohovou frekvenci ω ′ volíme cca dekádu vlevo od ω ′ = 9.8 rad s , tj. asi 1 T = 0.98 rad s • Odtud pokračujeme nahoru se sklonem −20 dB dek až k 0dB, což dosáhneme pro 1 α T = 0.062 rad s s +1 T s + 0.98 • Dosazením do dostaneme
= C (s)
= s + 1 α T s + 0.062
• To má správný tvar, ale ještě ne zesílení, takže nastavíme DC zesílení kompenzátoru 0.063 ( s + 0.98 )
KC = 1 α =→ p z DC (0) = 1= 0 dB
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
= DC ( s ) K= C C (s)
s + 0.062 23
Pokračování: Kompenzace Lag Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výsledek je 583900 × s ( s + 36 )( s + 100 )
Kompenzovaný systém
Zesílený nekompenzovaný systém
0.063( s + 0.98) = Lag Kompenzátor s + 0.062 36787( s + 0.98) s ( s + 36 )( s + 100 )( s + 0.062 )
Step response
Ramp response
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
24
Příklad: Kompenzace Lead Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Opět se vrátíme k průběžnému příkladu řízení polohy a navrhněme regulátor dle specifikací: • OS 20%, Kv = 40, Tp = 0,1s • Nejprve nastavíme zesílení tak, aby K v = 40
L( s ) =
100 K s ( s + 36 )( s + 100 )
K v = lim sL( s ) = 0.0278 K = 40 → K = 1440 s →0
• Dosadíme a dále pracujeme dále s přenosem
L( s ) =
144 000 s ( s + 36 )( s + 100 )
• Ze zadaných specifikací vypočteme PM a ωBW:
ζ
− ln(%OS 100)
π + ln (%OS 100) 2
2
ωBW = Michael Šebek
= ≅ 0.456 → PM arctan
π Tp 1 − ζ 2
2ς −2ς + 1 + 4ς 2
(1 − 2ς ) + 2
≅ 48.1° 4
4ς 4= − 4ς 2 + 2 46.6 rad s
Pr-ARI-13-2013
25
Příklad: Kompenzace Lead Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nakreslíme Bodeho graf pro
144 000 L( s ) = s ( s + 36 )( s + 100 )
• Tento nekompenzovaný systém má PM = 34,1° • Pomocí kompenzace Lead zvýšíme PM na požadovanou hodnotu • Jelikož Lead také zvyšuje ωC , přidáme ještě určitý korekční faktor, • abychom kompenzovali nižší fázi nekompenzovaného systému pro vyšší ωC • Faktor zvolíme 10º • Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
48.1 − 34° + 10 = ° 24.1° 26
Příklad: Kompenzace Lead Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze 48,1° - 34° + 10° = 24,1 ° • Celkem musí mít kompenzovaný systém PM = 48.1 a ωBW = 46.6 rad s • Pokud by nebyl výsledek uspokojivý, musíme zopakovat návrh s jiným korekčním faktorem 24.1° a z toho • Z požadavku na přírůstek fáze máme φ= max
β = • Dále je
1 − sin φmax = 0.42 1 + sin φmax
D(ωmax = )
1 = 3.76 dB
β
• Když vybereme ωC ,new = ωmax , tak na této frekvenci musí být amplituda nekompenzovaného systému -3,76 dB • Podle toho najdeme ωmax Michael Šebek
Pr-ARI-13-2012
27
Příklad: Kompenzace Lead Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Na Bodeho grafu pro L( s ) =
144 000 s ( s + 36 )( s + 100 )
−3.76dB
• naměříme ωmax = 39 rad s . • Pak z ωmax a β = 0.42 vypočteme
ωmax =
1 T β
ωmax = 39 rad s
1 1 = 25.3, = 60.2 T Tβ
• a z toho nakonec dostaneme hledaný regulátor 1 s+ 1 s + 25.3 T = 2.38 D( s) = s + 60.2 β s+ 1 βT Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
28
Příklad: Kompenzace Lead Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výsledek:
Kompenzovaný systém Nekompenzovaný systém Lead kompenzátor
• Simulace:
OS % = 22.6, PM = 45.5°, ωC = 39 rad s = ωBW 68.8= = rad s , Tp 0.075s , K v 40 Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
29