Příklady k analytické geometrii – kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y – 18 = 0 a jejich poloměr r = 5. Př. 2: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí body A = *-2; 1+, B = *1; 4+ a mají střed na přímce p: x – y – 2 = 0. Př. 3: Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, kde A = *2; 3+; B = *-4; 9]. Př. 4: Úpravou rovnice na středový tvar určete, zda se jedná o kružnici a určete její charakteristiky: 4x2 + 4y2 – 24x – 32y + 51 = 0 Př. 5: Je dána kružnice l: (x – 4)2 + y2 = 5 a její bod A*3; -2+. Určete na kružnici l bod B tak, aby směrnice přímky AB byla k = -3. Př. 6: Určete rovnici kružnice, která má střed na přímce 2x + y – 10 = 0 a dotýká se přímek 4x – 3y + 10 =0 a 4x – 3y – 30 = 0. Př. 7 Napište obecnou rovnici tečny kružnice, která má střed S *2; -5+, jestliže bod dotyku T*5; -1]. Př. 8 Napište rovnice tečen kružnice x2 + y2 = 5, jestliže body dotyku jsou průsečíky této kružnice s přímkou x – 3y + 5 = 0. Určete odchylku tečen. Př. 9 Určete rovnici kružnice, na které leží body A*-2; -1], B [-2; 5+ a která se dotýká přímky x + 6,5 = 0. Př. 10 Vypočítejte vzdálenost středů dvou kružnic k1: x2 + y2 + 6x – 10y + 9 = 0 → S1 [-3; 5] k2: x2 + y2 + 18x + 4y + 21 = 0 →S2 [-9; -2] Př. 11 Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem kružnice k: x2 + y2 -6x + 10y + 30 = 0 a je kolmá na vektor (2; r), kde r je poloměr kružnice. Př. 12 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x2 + y2 + 4x + y2 – 8y = 0 s přímkou SP, kde S je střed kružnice k a bod P je počátek soustavy souřadnic. Př. 13 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 s přímkou SP, kde S je střed kružnice k a bod P je počátek soustavy souřadnic. Př. 14 Napište rovnici kružnice, která prochází body A*5; 3+, B*6; 2+ a její střed leží na přímce p: 3x – 4y – 3 = 0. Př. 15: Napište rovnici kružnice k s poloměrem r = 1 a středem S ve III. kvadrantu, jestliže se kružnice k dotýká přímek p a q:
Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y – 18 = 0 a jejich poloměr r = 5. Řešení: Vyjdeme ze středové rovnice kružnice: k: (x – m)2 + (y – n)2 = r2, kde souřadnice m a n jsou souřadnicemi středu kružnice a r je poloměr kružnice. Víme, že střed kružnice leží na přímce p. Potom rovnici přímky upravíme: m + 3n – 18 = 0. Máme tedy: m = 18 – 3n a dosadíme do rovnice kružnice: k p: (x – 18 + 3n)2 + (y – n)2 = r2 Dosadíme bod A a poloměr r: (6 – 18 + 3n)2 + (9 – n)2 = 25 144 – 2 . 12 . 3n + 9n2 + 81 – 18n + n2 = 25 225 – 72n – 18 n + 10n2 = 25 10n2 – 90n + 200 = 0 n2 – 9n + 20 = 0 a na základě rozkladu trojčlenu dostaneme: (n – 4)(n – 5) = 0 Dostáváme dva středy kružnice: a) n = 4 → m = 6 b) n = 5 →m = 3 Takové kružnice existují dvě: k1: (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 k2: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 Př. 2: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí body A = *-2; 1], B = [1; 4] a mají střed na přímce p: x – y – 2 = 0. Řešení: Opět vyjdeme ze středové rovnice kružnice: k: (x – m)2 + (y – n)2 = r2, kde souřadnice m a n jsou souřadnicemi středu kružnice a r je poloměr kružnice. Víme, že střed kružnice leží na přímce p. Potom rovnici přímky upravíme: m = n + 2 a dosadíme di středové rovnice kružnice: (x – n – 2)2 + (y – n) = r2 Dosadíme postupně oba body : A: (-2 – n – 2)2 + (1 – n)2 = r2 B: (1 – n – 2)2 + (4 – n)2 = r2 Dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: (1) ( - 4 – n)2 + (1 – n)2 = r2 (2) (-1 – n)2 + (4 – n)2 = r2 (-1 – n)2 + (4 – n)2 – ( - 4 – n)2 – (1 – n)2 = 0 ….vyloučili jsme r 1 + 2n + n2 + 16 – 8n + n2 – 16 – 8n – n2 – 1 + 2n – n2 = 0 -12n + 0 = 0 →n = 0 Střed kružnice k: S *2; 0+ Rovnice kružnice k: (x – 2)2 + y2 = r2 +Vezmeme jeden bod ze dvou zadaných a dosadíme do rovnice kružnice k a tím určíme druhou mocninu poloměru hledané kružnice.
A: (-2 – 2)2 + 1 = r2 r2 = 17 rovnice kružnice k: (x – 2)2 + y2 = 17 Pozn.: je také možné vyjít z toho, že body S a A tvoří vzdálenost těchto dvou bodů a lze z nich určit poloměr kružnice: SA = (-4; 1), potom SA = r = r2 = 17 Př. 3: Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka AB, kde A = *2; 3+; B = *-4; 9]. Řešení: Střed úsečky AB je středem kružnice AB: S =
tj. S [-1; 6]
Dále poloměr kružnice r = . Velikost průměru AB je:
=6 2
Poloměr: r = 3 , tedy r = 18 Rovnice kružnice k: (x + 1)2 + (y -6)2 = 18 Př. 4: Úpravou rovnice na středový tvar určete, zda se jedná o kružnici a určete její charakteristiky: 4x2 + 4y2 – 24x – 32y + 51 = 0 Řešení: Upravíme tak, abychom mohli dostat středový tvar kružnice: 4x2 – 24x + 4y2 – 32y = - 51 4(x2 – 6x) + 4(y2 – 8y) = -51 Doplníme „na čtverec“: 4(x2 – 6x + 9) + 4 (y2 – 8y + 16) = - 51 + 36 + 64 4(x – 3)2 + 4(y – 4)2 = 49 /. (x – 3)2+ (y – 4)2 = S[3; 4]; r = Jedná se o kružnici. Př. 5: Je dána kružnice l: (x – 4)2 + y2 = 5 a její bod A*3; -2+. Určete na kružnici l bod B tak, aby směrnice přímky AB byla k = -3. Řešení: Směrnicový tvar přímky AB: y= -3x + q Touto přímkou prochází bod A: -2 = -3 . 3 + q → q = 7 Přímka AB má tvar: y = - 3x + 7 Tato přímka je tětivou kružnice l. Jestliže tato přímka je tětivou kružnice l, pak musí existovat dva body: l AB: (x – 4)2 + (-3x + 7)2 = 5 x2 – 8x + 16 + 9x2 – 42x + 49 = 5 10x2 – 50x + 60 = 0
x2 – 5x + 6 = 0 (x – 2)(x – 3) = 0 → x1 = 2, y1 = 1 → x2 = 3, y2 = -2 … souřadnice bodu A Bod B má souřadnice *2; 1+ Př. 6: Určete rovnici kružnice, která má střed na přímce 2x + y – 10 = 0 a dotýká se přímek 4x – 3y + 10 =0 a 4x – 3y – 30 = 0. Řešení: Přímky 4x – 3y + 10 =0 a 4x – 3y – 30 = 0 jsou navzájem rovnoběžné, potom střed hledané kružnice leží na ose pásu tvořené těmito přímkami. Hledejme tedy body A, B, které leží na ose x a určeme bod SAB, kterým prochází osa pásu: y1 = 0, potom: 4x + 10 = 0, tj. x1 = -2,5 y2 = 0, potom: 4x + 30 = 0, tj. x2 = 7,5 A[-2,5; 0] a B[7,5; 0] SAB =
→SAB = [2,5; 0]
Tímto bodem prochází osa pásu: 4x – 3y + c = 0 tj. c = - 10 Střed hledané kružnice leží na průsečíku přímek 4x -3y – 10 = 0 a 2x + y – 10 = 0 4x -3y – 10 = 0 2x + y – 10 = 0 /3 10x – 40 = 0 x = 4, y = 10 – 2x tj. y = 2 Střed kružnice S *4; 2+, poloměr kružnice je dán jako vzdálenost bodu S od přímky např. 4x – 3y + 10 =0 r=
→r =
Rovnice hledané kružnice má tvar: (x – 4)2 + (y – 2)2 = 16 Př. 7 Napište obecnou rovnici tečny kružnice, která má střed S *2; -5+, jestliže bod dotyku T*5; -1]. Řešení: Přímka procházející středem kružnice a bodem dotyku tečny je kolmá na tečnu. Proto stačí určit směrový vektor přímky ST , který je současně normálovým vektorem tečny. ST = T – S = (3; 4) Rovnice tečny: 3x + 4y + c = 0, kde c určíme dosazením bodu T: c = -11 t: 3x + 4y – 11 = 0 … obecná rovnice tečny Př. 8 Napište rovnice tečen kružnice x2 + y2 = 5, jestliže body dotyku jsou průsečíky této kružnice s přímkou x – 3y + 5 = 0. Určete odchylku tečen. Řešení: Určíme průnik přímky s kružnicí: x – 3y + 5 = 0 →x = 3y – 5 x2 + y 2 = 5
(3y – 5)2 + y2 = 5 9y2 – 30y + 25 + y2 = 5 10y2 – 30y + 20 = 0 y2 – 3y + 2 = 0 (y – 2)(y – 1 ) = 0 T1 = [1; 2] T2 = [-2; 1] S = [0; 0] ST1 = (1; 2) ST2 = (-2;1) Skalární součin těchto vektorů: 1. (-2) + 2 . 1 = 0, tudíž tečny procházející body T1 a T2 jsou navzájem kolmé. Odchylka těchto tečen je 90°. Př. 9 Určete rovnici kružnice, na které leží body A*-2; -1], B [-2; 5+ a která se dotýká přímky x + 6,5 = 0. Řešení: Střed úsečky AB: SAB = V tomto případě body AB jsou nad sebou a přímka jimi procházející je rovnoběžná s osou y a jejich osa prochází SAB SAB = [-2; 2] Střed kružnice leží na y = 2 tj. S*x; 2+ 3. bod C leží na průsečíku přímek: y = 2 a x = - 6,5 C [ -6,5; 2 ] A: 4 + 1 – 2a – b + c = 0 →5 – 2a – b + c = 0 B: 4 + 25 – 2a + 5b + c = 0 →29 – 2a + 5b + c = 0 C: 42,25 + 4 – 6,5a + 2b + c = 0 →46,25 – 6,5a + 2b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic dostaneme: 24 + 6b = 0 tj. b = - 4 41,25 – 4,5a + 3b = 0 tj. a = 6,5 c = -5 + 2.6,5 – 4 c=4 Obecná rovnice kružnice: x2 + y2 + (x +
)2 + (y – 2)2 = - 4 +
(x +
)2 + (y – 2)2 =
- 4y + 4 = 0
+4
… středová rovnice kružnice
Př. 10 Vypočítejte vzdálenost středů dvou kružnic k1: x2 + y2 + 6x – 10y + 9 = 0 → S1 [-3; 5] k2: x2 + y2 + 18x + 4y + 21 = 0 →S2 [-9; -2] vzdálenost těchto středů: d =
Př. 11
Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem kružnice k: x2 + y2 -6x + 10y + 30 = 0 a je kolmá na vektor (2; r), kde r je poloměr kružnice. Řešení: Určíme středovou rovnici kružnice: (x – 3)2 + (y + 5)2 = - 30 + 9 + 25 (x – 3)2 + (y + 5)2 = 4 → r = 2 Vektor: (2; 2) a na tu je kolmá hledaná přímka procházející bodem S*3; -5+. Daný vektor je normálový vektor hledané přímky. 2x + 2y + c = 0 6 – 10 + c = 0 →c = 4 Hledaná rovnice přímky: x + y + 2 = 0 Př. 12 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x2 + y2 + 4x + y2 – 8y = 0 s přímkou SP, kde S je střed kružnice k a bod P je počátek soustavy souřadnic. Řešení: S[-2; 4] P[0; 0] SP = (2; - 4)… směrový vektor hledané přímky: -4x – 2y + c = 0 P: c = 0 tj. 4x + 2y = 0 a úpravou dostaneme: 2x + y = 0 Dosadíme do rovnice kružnice za y = - 2x: x2 + 4x2 + 4x + 16x = 0 5x2 + 20x = 0 x2 + 4x = 0 tj. x1 = 0 a x2 = -4 A[0; 0]; B [-4; 8] jsou hledané body průsečíku přímky a kružnice. Př. 13 Vypočítejte souřadnice průsečíků kružnice k: x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 s přímkou SP, kde S je střed kružnice k a bod P je počátek soustavy souřadnic. Řešení: S[2; -1] P[0; 0] PS =(2; -1) …. Přímka p: -x – 2y + c = 0 Položíme – li za souřadnice za P: c = 0 P: x + 2y = 0 →x = - 2y Za x dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme: 4y2 + y2 + 8y + 2y – 15 = 0 5y2 + 10y – 15 = 0 y2 + 2y – 3 = 0 (y + 3)(y – 1) = 0 A[6; -3]; B[-2; 1+….hledané průsečíky přímky s kružnicí Př. 14 Napište rovnici kružnice, která prochází body A*5; 3+, B*6; 2+ a její střed leží na přímce p: 3x – 4y – 3 = 0. Středem tětivy AB prochází přímka, která je kolmá na tětivu a musí procházet středem kružnice.
SAB = SAB = AB = (1; -1) …. Normálový vektor procházející bodem SAB q: x – y + c = 0 →c = -3 q: x – y – 3 = 0 a nyní hledáme průsečík s přímkou p, na které leží střed kružnice k: 3x – 4y – 3 = 0 x – y – 3 = 0 /(-3) - y + 6 = 0 … y = 6 ….S *9; 6+ r= =5 (x – 9)2 + (y – 6)2 = 25…. Hledaná kružnice k Př. 15 Napište rovnici kružnice k s poloměrem r = 1 a středem S ve III. kvadrantu, jestliže se kružnice k dotýká přímek p a q: p: y –
x–(1+
)=0
q: y + x – (1 – S [m; n]
)=0
1=
→2=
1=
→2=
Typy řešení: +; + -; +; -
2n – 2 = 4 tj. n = 3 ….nevyhovuje 4 = - 2n + 2 tj. n = - 1 …. Vyhovuje …. m = -1 0 = -2m .
-; + 0 = 2m . střed kružnice S*-1; -1 ] (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1
-2
tj. m = -1
+2
tj. m = -1
