ˇij´ımac´ı zkouˇ ´ studium 2015 Pr ska na navazuj´ıc´ı magisterske Studijn´ı program: Studijn´ı obor:
Matematika Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika Varianta A
ˇ sen´ı pˇr´ıklad˚ Reˇ u peˇclivˇe od˚ uvodnˇete. Pˇ r´ıklad 1 (25 bod˚ u) Spoˇctˇete Z
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy,
M 2
2
2
kde M = {(y, x) ∈ R ; x ≤ 0, x + y ≤ a}. Pˇ r´ıklad 2 (25 bod˚ u) Naleznˇete supremum a infimum funkce f (x, y) = ex+y na mnoˇzinˇe M = {(x, y) ∈ R2 ; x3 + y 3 − 2xy = 0, x + y > 0} a rozhodnˇete, zda funkce f tˇechto hodnot nab´ yv´a. Pˇ r´ıklad 3 (25 bod˚ u) Nechˇt n´ahodn´ y vektor N = (N1 , N2 , N3 ) m´a multinomick´e rozdˇelen´ı s celkov´ ym poˇctem po θ 1 θ 1 1 zorov´an´ı N1 + N2 + N3 = n a s pravdˇepodobnostmi π = 4 + 4 , 4 − 4 , 2 , kde θ ∈ (−1, 1) je nezn´am´ y parametr. (i) Spoˇc´ıtejte maxim´alnˇe vˇerohodn´ y odhad θbn parametru θ. (ii) Urˇcete asymptotick´e rozdˇelen´ı odhadu θbn . (iii) Navrhnˇete nestrann´ y odhad parametru θ zaloˇzen´ y na N1 a spoˇc´ıtejte jeho asymptotick´e rozdˇelen´ı. Zjistˇete, pro jak´a θ je jeho asymptotick´ y rozptyl v´ıce neˇz dvojn´asobkem asymptotick´eho rozptylu maxim´alnˇe vˇerohodn´eho odhadu. (iv) Sestavte testovou statistiku Raova sk´orov´eho testu hypot´ezy H0 : θ = θ0 proti alternativˇe H1 : θ 6= θ0 a urˇcete kritick´ y obor tohoto testu ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe θ0 = 0. Pˇ r´ıklad 4 (25 bod˚ u) Kup´onov´a obligace v nomin´aln´ı hodnotˇe F = 10 s roˇcn´ım kup´onem C = 1 splatn´a pˇresnˇe (vˇsechny za dva roky (tj. zcela jistˇe po datu exkuponu) se prod´av´a za (trˇzn´ı) cenu P = 399 44 hodnoty v tis´ıc´ıch Kˇc). (i) Vyj´adˇrete obecnˇe souˇcasnou hodnotu uveden´e obligace pˇri hodnot´ıc´ı u ´rokov´e m´ıˇre i. (ii) Formulujte vztah pro v´ ynos do splatnosti (YTM). (iii) Vypoˇctˇetˇe v´ ynos do splatnosti s v´ yˇse uveden´ ymi konkr´etn´ımi hodnotami.
ˇij´ımac´ı zkouˇ ´ studium 2015 Pr ska na navazuj´ıc´ı magisterske Studijn´ı program: Studijn´ı obor:
Matematika Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika
Varianta A — ˇ reˇ sen´ı Pˇ r´ıklad 1 (25 bod˚ u)
√
Z
2
2
ln(1 + x + y )dxdy = D
x = r cos ϕ y = r sin ϕ √
Z
3π 2
aZ
= 0
r ln(1 + r2 )dϕdr
π 2
Z π 1+a 2 = ln(t)dt πr ln(1 + r )dr = t = 1 + r = 2 1 0 π π π = [t(ln(t) − 1)] = (1 + a)(ln(1 + a) − 1) + 2 2 2 πa π . = (1 + a) ln(1 + a) − 2 2 Z
a
2
Pˇ r´ıklad 2 (25 bod˚ u) Oznaˇcme g(x, y) = x + y. Protoˇze je exponenci´ala rostouc´ı a spojit´a, staˇc´ı ˇreˇsit pouze supremum a infimum funkce g na M . Oznaˇcme Φ(x, y) = x3 + y 3 − 2xy. a a M = M ∪{(0, 0)}. Pˇrevedeme vztahy Φ(x, y) = 0, x+y > Nyn´ı uk´aˇzeme, ˇze mnoˇzina M je omezen´ sin(2α) π 3π 0 do pol´arn´ıch souˇradnic a dostaneme rovnici r = h(α) = sin3 (α)+cos 3 (α) , kde r > 0 a α ∈ (− 4 , 4 ) = I. Protoˇze funkce h je spojit´ a na intervalu I a z´aporn´a pro α ∈ I \[0, Π2 ], tak existuje R = maxI (h). Pak a. Lze snadno odvodit, ˇze existuje > 0, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ (0, ) je M ⊂ B(0, R) a tedy M je omezen´ 2 3 Φ(x, x ) < 0, Φ(x, x ) > 0. Ze spojitosti Φ tedy plyne, ˇze pro kaˇzd´e δ > 0 je B((0, 0), δ) ∩ M 6= ∅. Tedy (0, 0) ∈ M . Na druhou stranu M ⊂ M ∪ {(x, y) ∈ R2 ; Φ(x, y) = 0, x + y = 0} = M ∪ {(0, 0)}. Tedy M = M ∪ {(0, 0)}. M je omezen´a uzavˇren´ a mnoˇzina, tedy je kompaktn´ı. Z tohoto a ze spojitosti g na M plyne, ˇze g nab´ yv´a maxima a minima na M . Nyn´ı ovˇeˇr´ıme pˇredpoklady vˇety o Lagrangeov´ ych multiplik´atorech. Funkce g a Φ jsou C 1 na R2 a 2 2 ∇Φ(x, y) = (3x − 2y, 3y − 2x) je nulov´ y pouze v bodech (0, 0) ∈ M a ( 32 , 23 ) ∈ / M . Oznaˇc´ıme tedy bod (0, 0) jako podezˇrel´ y a zbytek ˇreˇs´ıme na M \ {(0, 0)} = M . Z vˇety o Lagrangeov´ ych multiplik´ atorech plyne, ˇze body, v nichˇz m˚ uˇze b´ yt extr´em, jsou pouze body (x, y) ∈ M , pro kter´e existuje λ ∈ R, jeˇz ˇreˇs´ı soustavu rovnic ∇(g − λΦ)(x, y) = (0, 0), Φ(x, y) = 0. Toto splˇ nuje pouze bod (1, 1). Nalezli jsme tedy 2 body (0, 0) ∈ M \ M a (1, 1) ∈ M . Z toho plyne, ˇze supremum f na M se nab´ yv´ a v bodˇe (1, 1) a je rovno e2 a infimum f na M se nenab´ yv´a a je rovno 1.
Pˇ r´ıklad 3 (25 bod˚ u) (i) Sdruˇzen´a hustota pozorov´ an´ı N je f (n1 , n2 , n3 ) =
N ! 1 + θ n1 1 − θ n2 1 n3 , n1 !n2 !n3 ! 4 4 2
pokud n1 + n2 + n3 = n.
Vˇerohodnostn´ı funkce pro parametr θ je L(θ) = C
1 + θ N1 1 − θ N2 1 n−N1 −N2 4
4
2
.
a logaritmick´a vˇerohodnost je `(θ) = N1 log
1 + θ 4
+ N2 log
1 − θ 4
+ (n − N1 − N2 ) log
1 2
+ log C.
Vˇerohodnost je aˇz na konstantu stejn´ a, jako kdybychom pozorovali nP nez´avisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych vektor˚ u Ni = (Ni1 , Ni2 , Ni3 ) s rozdˇelen´ım Mult3 (1, π), pˇriˇcemˇz N = ni=1 Ni . Sk´orov´a statistika je U (θ) =
∂`(θ) N1 4 N2 4 1 N1 − N2 − θ(N1 + N2 ) . = · − · = 2 ∂θ 4 1+θ 4 1−θ 1−θ
b = 0 m´ Rovnice U (θ) a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı θb = θ.
N1 −N2 N1 +N2
a to je maxim´alnˇe vˇerohodn´ y odhad parametru
(ii) Sk´orov´a funkce (pro i-t´e z n pozorov´ an´ı) je Ui (θ) = Plat´ı U (θ) = ovˇeˇr´ıme
Pn
i=1 Ui (θ),
1 Ni1 − Ni2 − θ(Ni1 + Ni2 ) . 2 1−θ
coˇz je souˇcet nez´avisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin. Snadno EUi (θ) = ENi1
D´ale
1 1 − ENi2 = 0. 1+θ 1−θ
∂Ui (θ) 2θ 1 = N − N − θ(N + N ) − (Ni1 + Ni2 ), i1 i2 i1 i2 ∂θ (1 − θ2 )2 1 − θ2
kde hranat´a z´avorka m´ a nulovou stˇredn´ı hodnotu. Nyn´ı m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat Fisherovu informaci I(θ) = −E √
∂Ui (θ) 1 1 + θ 1 − θ 1 = + = . 2 ∂θ 1−θ 4 4 2(1 − θ2 ) d
n(θb − θ) −→ N(0, I −1 (θ)), dost´av´ame
√
d
n(θb − θ) −→ N(0, 2(1 − θ2 )). (iii) Jelikoˇz EN1 = n(1 + θ)/4, nestrann´ ym odhadem θ zaloˇzen´ ym na N1 je θe = 4N1 /n − 1. Podle centr´aln´ı limitn´ı vˇety √ N1 1 + θ d 1 + θ 1 + θ n − −→ N 0, 1− , n 4 4 4 √ d a proto n(θe − θ) −→ N(0, σ 2 ), kde Jelikoˇz obecnˇe plat´ı
1 + θ σ 2 = 4(1 + θ) 1 − = 4(1 + θ) − (1 + θ)2 = 3 + 2θ − θ2 . 4 Nerovnost 3 + 2θ − θ2 > 4(1 − θ2 ) lze pˇrepsat ve tvaru 3θ2 + 2θ − 1 > 0, coˇz plat´ı pro θ ∈ (1/3, 1).
(iv) Plat´ı-li nulov´ a hypot´eza H0 : θ = θ0 , m´ame 1 d √ U (θ0 ) −→ N(0, I(θ0 )) n
a proto
1 d p U (θ0 ) −→ N(0, 1) nI(θ0 )
Dosad´ıme-li za U (θ0 ) a I(θ0 ), dostaneme Raovu testovou statistiku s r 2(1 − θ02 ) 1 2 Rn = N1 − N2 − θ0 (N1 + N2 ) = N1 − N2 − θ0 (N1 + N2 ) . 2 2 n 1 − θ0 n(1 − θ0 ) Pro θ0 = 0 budeme zam´ıtat hypot´ezu na hladinˇe α, pokud r 2 |N1 − N2 | > u1−α/2 , n kde u1−α/2 je (1 − α/2)-kvantil normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı.
Pˇ r´ıklad 4 (25 bod˚ u) (i) Souˇcasnou hodnotu oznaˇc´ıme P V . Pro uvedenou situaci plat´ı PV =
C +F C . + 1 + i (1 + i)2
(ii) Je-li obligace na trhu koupena za hodnotu P , je v´ ynos do splatnosti (oznaˇcme Y ) vlastnˇe vnitˇrn´ı m´ıra v´ ynosnosti (vnitˇrn´ı v´ ynosov´e procento) penˇeˇzn´ıho toku (−P, C, C + F ). V´ ynos do splatnosti v tomto pˇr´ıpadˇe je ˇreˇsen´ım rovnice P =
C C +F + 1 + i (1 + i)2
vzhledem k promˇenn´e i. Z toho plynouc´ı kvadratick´ a rovnice m´ a dva koˇreny, z nichˇz pouze ten vˇetˇs´ı m´a ekonomick´ y smysl: √ C − 2P + C 2 + 4CP + 4F P . Y = 2P 1 Alternativnˇe po substituci u ´rokov´ a m´ıra → diskontn´ı faktor, tj. v = 1+i je moˇzn´e z´ıskat ˇreˇsen´ı pro odpov´ıdaj´ıc´ı diskontn´ı faktor v ˇreˇsen´ım rovnice pro nezn´am´ y diskontn´ı faktor v:
P = Cv + (C + F )v 2 . (iii) Postup v´ ypoˇctu pro konkr´etn´ı numerick´e hodnoty: diskriminant = C 2 + 4 CP + 4 F P = 12 + 4 · 1 ·
399 44
+ 4 · 10 ·
odmocnina z diskriminantu je tud´ıˇz 20 a v´ ysledn´a hodnota Y je Y =
1 − 2 · 399 3 44 + 20 = . 399 19 2 · 44
399 44
=
11 + 399 + 3990 = 400, 11
