Návrh FIR filtrů
•
Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: –
– –
volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř. tzv. toleranční schema stanovení délky (řádu) filtru M; nejčastěji odhadem (první krok) a v dalších krocích se iterativním postupem se zpřesňuje zavedení kriteria kvality posouzení skutečné frekvenční charakteristiky. Jako kritérium pro hodnocení aproximace frekvenční charakteristiky lze použít: a) Průměr kvadratické chyby (kritérium nejmenších čtverců), kterým minimalizujeme chybu E N −1
E = ∑ H ( jω ) − H d ( jω )
2
k =0
b) Maximální chybu frekvenční charakteristiky ve specifikované oblasti (propustné, popř. nepropustné) - tzv. Čebyševova aproximace c) Kritérium založené na aproximaci Taylorovým rozvojem požadované frekvenční charakteristiky – tzv. Butterworthova aproximace
–
volba metody stanovení koeficientů filtru
Metody návrhu koeficientů filtru • metoda Fourierových řad s využitím funkce okna • metoda frekvenčního vzorkování • Remezův algoritmus optimalizovaného návrhu používající Čebyševovu aproximaci chyby
Metoda Fourierových řad
Postup 1 •
Princip metody vychází z toho, že frekvenční charakteristika filtru je periodická a je ji možné reprezentovat jako Fourierovu řadu, tj. frekvenční odezva se rozvine do Fourierovy řady a tento rozvoj se omezí na konečný počet koeficientů. Výsledná odezva aproximuje originální požadovanou charakteristiku. Algoritmus : 1. Specifikace požadavků na frekvenční charakteristiku filtru Hd(jω) 2. Stanovení délky filtru 3. Výpočet koeficientů filtru h[n], pro hodnoty n=0,1,…,M s použitím vztahu
hd [n] =
1 2π
∫π H 2
d
( jω ) cos(mω ) + j sin( mω )
kde m=n-M/2 4. 5.
Výsledné koeficienty vynásobíme vhodným oknem abychom omezili zákmity ve frekvenční charakteristice (Gibbsův jev) Pro výsledné koeficienty vypočteme skutečnou odezvu filtru, pokud nevyhovuje, zvolíme jiné N a postup opakujeme.
Příklad 1: Návrh dolní propusti
Navrhněte FIR filtr, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru s dolní mezní frekvencí fd=2kHz při vzorkovací frekvenci fv=8kHz
frekvenční charakteristika dolní propusti Řešení: Mezní frekvence ωc normovaná k vzorkovacímu kmitočtu fv bude ωd=2πfd/fv. Aplikujeme rovnici: 1 hd [n ] = 2π
∫π 2
1 H d ( jω ) cos(mω ) + j sin(mω ) = 2π
sin( mω ) hd = 2πm
ωd
1 cos( m ω ) d ω + j ∫ 2π −ω d
π /2
= −π / 2
sin(πm / 2) πm
ωd −
∫ω sin(mω )dω d
kde m=n-10
Pro výpočet vzorku hd[n] pro m=0 a n=10 se použije l´Hositalovo pravidlo (derivujeme čitatel podle m a dosadíme m=0) hd =
(π / 2) cos(πm / 2) d [sin(mω )] / dm = π d [2πm] / dm m =0
= 0.5 m =0
koeficienty dolní propusti
Příklad 2: Návrh horní propusti Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu horní propust s normovanou horní mezní frekvencí ωh= 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika filtru je dána vztahem
1−
ωh π
pro m = 0
h[n]
− sin( mωh ) mπ
pro m ≠ 0
koeficienty horní propusti
frekvenční charakteristika horní propusti
Příklad 3: Návrh pásmové propusti Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ωh= 2π/5, horní mez propustného pásmaí ωh= 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem
ωh − ωd π
pro m = 0
sin( mωh ) − sin( mωd ) mπ
pro m ≠ 0
h[n]
koeficienty pásmové propusti
frekvenční charakteristika pásmové propusti
Příklad 4: Návrh pásmové zádrže Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Mezní kmitočty nepropustného pásma jsou 1.6kHz a 2.4kHz. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ωd= 2π/5, horní mez propustného pásmaí ωh= 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem
1−
ωh − ωd π
pro m = 0
h[n]
sin( mωd ) − sin( mωh ) mπ
pro m ≠ 0
Koeficienty impulsní odezvy
frekvenční charakteristika pásmové zádrže
Příklad 4: Návrh diferenciátoru Ideální diferenciátor může být aproximován filtrem FIR s lineární fází. Frekvenční odezva diferenciátoru je H(jω)=jω. Navrhujeme-li diferenciátor se symetrií typu 3, bude mít lichý počet vzorků. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem
h d [n ] = −
1 2π
π
∫π ω sin( mω ) d ω
−
Frekvenční charakteristika
0
pro m = 0
cos(πn) n
pro m ≠ 0
=
Koeficienty impulsní odezvy
Okna používaná k omezení zákmitů frekvenční charakteristiky V uvedených příkladech bylo využito pravoúhlé okno. K většímu omezení zákmitů se však častěji používá některé z následujících oken:
Průběhy oken v časové oblasti a jejich frekvenční charakteristiky
Speciální typy oken u kterých lze změnou parametrů měnit vlastnosti: • Čebyševovo okno n cos M cos −1 α cos π M wCH (n) = cosh[ M cos −1 (α )]
( )
1 cosh −1 10γ N
α = cosh
n=0,1,…,M
• Kaiserovo okno
I 0 [ β (1 − [ (n − α ) / α ] 2 ) 1 / 2 ] w K (n) = I0 (β )
0≤n≤M
Postup 2 • Stejný princip jako v předchozím případě, ale umožňuje určit řád filtru a vhodné okno na základě pararametrů As a Ap použitých v tolerančním schématu
Parametry filtru (toleranční schéma)
Postup návrhu FIR filtru • normalizace analogové frekvence vzorkovací frekvencí (převod na digitální frekvenci F ∈<0,1> • stanovení Fp a Fs dolní propusti • určení frekvemce Fc (cut-off frequency) Fc=0.5(Fp+Fs) • Volba okna (z následující tabulky), které splňuje podmínku Aws≥As a Awp≤Ap • stanovení délky okna N z hodnoty FT=Fs-Fp=Fws=C/N (hodnota C z tabulky) • výpočet impulsové odezvy filtru h(n)=2Fcsinc(2nFc) , |n|≤0.5(N-1) • vynásobení odezvy zvoleným oknem hlp(n)=w(n)h(n) • provedení spektrální transformace na (pokud je to nutné) • Ověření frekvenční charasteristiky a případné doladění N a Fc tak, aby odpovídaly specifikaci
Tabulky parametrů a vlastnosti používaných oken
Metoda frekvenčního vzorkování
Princip : – –
Vycházíme z amplitudové frekvenční charakteristiky, kterou navzorkujeme a určíme pro ní impulsovou odezvu. Výhodné, pokud máme složitejší tvar frekvenční charakteristiky
Postup: 1. 2.
3. 4. 5.
Vybereme M ekvidistantních hodnot (vzorků) požadované amplitudové frekvenční odezvy Pro amplitudové hodnoty určíme hodnoty fázové charakteristiky ze vztahu Ф(k)= (πk(N-1))/N pro k=0,1,…, 0.5(N-1), zbývající vzorky doplníme tak aby byly komplexně sdružené pro daný typ symetrie filtru. Podle typu symetrie zvolíme vzorky H(0) a H(N) (u horní a pásmové propusti musí být H(0) popř. H(N), pro N sudé, vždy rovno 0) Na takto získanou poskoupnost aplikujeme IDFT (IFFT) Ze získaných koeficientů určíme frekvenční charakteristiku, porovnáme s požadovanou a popř. upravíme amplitudy koeficientů frekv. Charakteristiky a pokračujeme krokem 3. Výslednou impulsovou odezvu násobíme vhodným oknem
