zpracování signálů
FIR & IIR
Tomáš Novák
filtry FIR 1) Maximální překývnutí amplitudové frekvenční charakteristiky dolní propusti FIR řádu 100 je podle obr. 1 na frekvenci f=50Hz o velikosti 0,15 tedy 1,1dB; přechodové pásmo je v rozsahu frekvencí 56–64.5Hz, tedy šířka přechodového pásma je 8,5Hz. 2) Stejný filtr upravený oknem Hann výrazně potlačuje překmit, nyní je na frekvenci 40Hz o velikosti 0,05dB. Přechodové pásmo je 51–69Hz, jeho šířka je 18Hz. Použití okna Hann tedy výrazně potlačilo překmit, ale naopak rozšířilo přechodovou frekvenci.
Obr. 1 - signál zpracovaný: a) FIR s obd. oknem
b)FIR s oknem Hann
3) Okno Bartlett ještě zvětšuje šířku přechodového pásma na 20Hz, nicméně nedochází k vůbec žádnému překmitu. Přenos filtru začne klesat na mnohem nižších frekvencích než je přechodová.
Obr. 2 – amplitudová charakteristika FIR s oknem Bartlett 4) Filtry podle bodů 1) a 2) aplikované na sinusový signál se stejnosměrnou složkou mají odezvy podle obrázků obr. 3 a 4. Okno Hann způsobuje menší kmitání, rychleji se ustálí a náběh výstupu na hodnotu ss složky(sinusovku filtrujeme) je méně strmý. Nicméně zpoždění reakce výstupu filtru je v obou případech přibližně 0,05s.
-1-
13.3.2007
zpracování signálů
FIR & IIR
Tomáš Novák
Obr. 3 - odezva při použití obdélníkového okna
Obr. 4 – odezva při použití okna Hann
5) Je-li frekvence rušivého signálu 50Hz, je perioda 0,02s. Vzorkování 1kHz má periodu Tvz=0,001. Potom potřebujeme délku okna pro klouzavý průměr dle následující tabulky: Pokrytí periody 0,5 N 10
1 20
1,5 2 30 40
Z průběhů pozorujeme, že pro odfiltrování známé frekvence je potřeba použít délku okna klouzavého průměru rovnou počtu vzorků, odpovídajících celistvému násobku periody rušivého signálu. Nejrychlejšího ustálení dosáhneme při délce okna rovné jedné periodě signálu. Okna o větší délce filtrují i nižší frekvence (subharmonické) a ustálení výstupu se tím prodlužuje. Není-li délka okna násobkem periody signálu, je zesílení na dané frekvenci nenulové, signál je utlumen, ale nedojde k jeho úplnému odstranění.
-2-
13.3.2007
zpracování signálů
FIR & IIR
Tomáš Novák
100%
pokrytí periody: 50%
200% 150% Obr. 5 – potlačení signálu pomocí klouzavého průměru
-3-
13.3.2007
zpracování signálů
FIR & IIR
Tomáš Novák
filtry IIR 1) Butterworthův filtr 3. řádu, fvz=1000 Hz, f1.zlom=60 Hz má přechodové pásmo v rozmezí 48–125Hz, tedy je široké 77Hz. Butterworthův filtr je charakteristický tím, že má maximálně plochou amplitudovou charakteristiku a proto je její překmit nulový. 2) Zvýšením řádu filtru na 10 dostáváme přechodové pásmo široké pouze 19Hz, a jak ukazuje obr. 6, dochází k výraznějšímu potlačení filtrované frekvence. Na impulsní odezvě naopak vidíme vliv zvýšení řádu – zpoždění reakce výstupu filtru.
Obr. 6 – Butterworthův filtr řádu 3
řádu 10
3) filtr Čebyšev1 má přechodové pásmo široké 48Hz, Čebyšev2 pak 23Hz. Filtr Čebyšev2 při stejném nastavení zlomové frekvence filtruje nižší frekvence než Čebyšev1; na charakteristice v dB je vidět, že minimum přenosu nastává při 69Hz. Filtr Č1 má zvlnění v propustné oblasti 1dB. Č2 kolísá v nepropustném pásmu o více než 30dB. Poslední z filtrů, Elliptic, kolísá v obou oblastech. V propustném pásu o 1dB, špička minima přenosu na 155Hz pak klesá téměř o 50dB oproti hodnotě na vyšších frekvencích (přenos na frekvencích blížících se k fvz/2 opět klesá – je to diskrétní systém).
-4-
13.3.2007
zpracování signálů
Čebyšev1
FIR & IIR
Tomáš Novák
Čebyšev2
4) Filtr typu dolní propust zachovává ss složku, filtruje signály s kmitočtem nad zlomovou frekvencí. Naopak HP odstraňuje nízké frekvence, tedy i ss složku. Náš sinusový signál je již v propustném pásmu a proto se dostane na výstup. PP propouští frekvence mezi oběma zlomovými kmitočty, potlačuje tedy ss složku a vysoké frekvence(šum). Naopak poslední, pásmová zádrž, odstraňuje ze signálu frekvence o určitém kmitočtu a zachovává jak nižší (i ss), tak vyšší frekvence.
horní propust
dolní propust
-5-
13.3.2007
zpracování signálů
FIR & IIR
pásmová zádrž
Tomáš Novák
pásmová propust
Závěr Všechny typy filtrů IIR i FIR které jsme testovali, jsou stabilní – jejich impulsní odezva exponenciálně odeznívá. U filtrů FIR, jak již samotný název napovídá, impulsní odezva pro časy vzorky n>N nabývá hodnoty 0, IIR mají odezvu nekonečnou. Budeme-li se ještě zajímat o impulsní odezvu, vidíme, že filtry FIR mají vlivem vysokého řádu (stovky) velké zpoždění výstupu za vstupem. Narozdíl od IIR mají však lineární fázi. Použitím různých oken u filtrů FIR můžeme docílit větší linearity amplitudové charakteristiky, ovšem za cenu širšího přechodového pásma filtru. Prakticky to s sebou přináší menší zkreslení signálu v propustném pásu, ale méně „ostrý“ přechod mezi propustným a nepropustným pásmem, tedy je přenášeno více (nežádoucích) frekvencí v okolí zlomové frekvence. Při filtraci klouzavým průměrem je pro odfiltrování známé frekvence potřeba použít délku okna klouzavého průměru rovnou počtu vzorků, odpovídajících celistvému násobku periody rušivého signálu. Nejrychlejšího ustálení dosáhneme při délce okna rovné jedné periodě signálu. Jak již bylo zmíněno, mají filtry IIR menší časové zpoždění výstupního signálu za vstupním. Přechodové pásmo je vlivem menšího řádu širší. Zvlnění amplitudové charakteristiky závisí na parametrech návrhu. Jedná se o filtry odpovídající analogovým verzím, tedy například filtr typu Butterworth má maximálně plochou amplitudovou charakteristiku. Vlastnosti filtrů DP, HP, PZ, PP byly shrnuty v bodě 4) zadání IIR a dle očekávání se shodují s funkcí odpovídajících analogových filtrů, aplikovaných na spojitý signál.
-6-
13.3.2007
