Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Lineární a adaptivní zpracovní dat 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Daniel Schwarz

Investice do rozvoje vzdělávání

Opakování Co je to filtrace? Co je to filtr? A jak ho popisujeme? Jaký je vztah Z transformace a Fourierovy transformace? Jak je definována přenosová funkce diskrétního systému? Jaký je vztah mezi přenosovou funkcí systému a jeho frekvenční charakteristikou? Co jsou to nulové body a póly přenosové funkce a jak je vypočítáme? Popište, co je to stabilita systému Jaká pravidla platí pro impulsní charakteristiku a přenosovou funkci stabilního diskrétního systému?

Bi0440

© Institute of Biostatistics and Analyses

2

Lineární filtrace obecně Filtrace= ...........?............. viz 3. přednáška o LTI systémech a jejich popisu ve frekvenční oblasti

Bi0440


Lineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = ............?............

Bi0440


Lineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = harmonické komponenty ve frekvenční oblasti, jejichž amplitudy a fáze se s filtrací pozmění.

Jak vystihujeme tuto změnu? ......................?......................

Bi0440



Jak vystihujeme tuto změnu? dvěma frekvenčními charakteristikami: •

amplitudovou

•

a fázovou.

Čeho? Bi0440

.........?......... © Institute of Biostatistics and Analyses


Jak vystihujeme tuto změnu? dvěma frekvenčními charakteristikami: •

amplitudovou

•

a fázovou.

Čeho? Bi0440

Filtru. © Institute of Biostatistics and Analyses

Lineární filtrace obecně Filtr= ...........?.............

Bi0440


Lineární filtrace obecně Filtr = systém nebo algoritmus (program), který mění požadovaným způsobem spektrum vstupního signálu. Příklady aplikace: potlačení rušivých vlivů, frekvenční analýza Popis filtru: frekvenční charakteristika H(f), impulsní charakteristika h(n), diferenční rovnice (definice), přenosová funkce H(z).

je ……………?…………………… vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů.

Bi0440



je periodická vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů.

s periodou ..?.. v případě frekvence, …?. v případě normované frekvence, ..?.. v případě kmitočtu a …?. v případě normovaného kmitočtu.

Bi0440



je periodická vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů.

s periodou: 1/Ts v případě frekvence, 1 v případě normované frekvence, 2π/Ts v případě úhlového kmitočtu a 2π v případě normovaného úhlového kmitočtu. Bi0440


Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Mějme LTI systém s přenosovou funkcí ve tvaru racionálně lomené funkce: M

Y (z ) H (z ) = = X (z )

∑b ⋅ z i =0 L

i

∑a ⋅ z i =0

i

M

−i

= A⋅ z −i

L−M

⋅

∏ (z − n ) i

i =1 L

∏ (z − p )

.

i

i =1

kde A = b0/a0, zi jsou ......?....... a pi jsou ........?......... .

Bi0440


12

Popis diskrétní soustavy s Z-transformací

13

Mějme LTI systém s přenosovou funkcí ve tvaru racionálně lomené funkce: M

b ⋅z Y (z ) ∑ H (z ) = = X (z ) ∑a ⋅ z i =0 L

i =0

M

−i

i

= A⋅ z

L−M

−i

i

⋅

∏ (z − n ) i

i =1 L

∏ (z − p )

.

i

i =1

kde A = b0/a0, zi jsou nuly a pi jsou póly racionálně lomené funkce.

ai .z-i

bi .z-i

M

L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i Bi0440

zpětná Z‐transformace, věta o linearitě a posunu, a0=1.


Popis diskrétní soustavy s Z-transformací M

L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i Interpretace rovnice: diskrétní soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupního i výstupního signálu.

Bi0440


14


L

i =0

i =1


?

Bi0440

?


15


L

i =0

i =1


Klouzavý průměr MA

Bi0440

Autoregresní člen AR


16


L

i =0

i =1


Klouzavý průměr MA


Ovlivňuje rychlost odezvy, charakter jejího zanikání, stabilitu soustavy. Bi0440


17


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou:

b0

b1

-aL

Bi0440

b2

-aL-1

bM-1

bM

-a1


18


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i Zpoždění o jeden vzorek

Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou:

b0

b1

-aL

Bi0440

b2

-aL-1

bM-1

bM

-a1


19

Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Další formy realizace filtru / soustavy/ programu:

Kaskádní:

Bi0440


20

Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Další formy realizace filtru / soustavy/ programu:

Paralelní:

Bi0440


21

Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response

M

L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i pouze člen MA (moving average)

Bi0440

nerekurzivní realizace (většinou, ale nemusí vždy)


22

Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR PŘÍKLAD: hranový detektor

h[n] =

{δ [n − 1] − 2δ [n] + δ [n + 1]}

‐1 0 1

n

FIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém

Bi0440


23


bi .z-k

M −1

yn = b0 . xn + b1 . xn −1 + b2 . xn − 2 + ... + bM −1 . xn − M +1 = ∑ bk . xn − k k =0

Bi0440


24

Systémy s konečnou impulsní charakteristikou

25

FIR – finite impulse response

bi .z-k

M −1


Počet pólů přenosové funkce:...............?............, kde? ..................?.................. Počet nulových bodů přenosové funkce:...............?............, kde? ..................?..................

Bi0440



bi .z-k

M −1


Počet pólů přenosové funkce:.M‐1, kde? ..................?.................. Počet nulových bodů přenosové funkce:M‐1, kde? ..................?..................

Bi0440


26


bi .z-k

M −1


Počet pólů přenosové funkce:.M‐1, kde? V bodě z=0 (násobný pól v počátku, který vyjadřuje jen fázový posun – nutno vyjádřit H(z) v kladných mocninách z). Počet nulových bodů přenosové funkce:M‐1, kde? Kdekoli v rovině z.

Bi0440


27


bi .z-k

M −1


Počet pólů přenosové funkce:.M‐1, kde? V bodě z=0 (násobný pól v počátku, který vyjadřuje jen fázový posun – nutno vyjádřit H(z) v kladných mocninách z). Počet nulových bodů přenosové funkce:M‐1, kde? Kdekoli v rovině z.

Bi0440


28

29

Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry mohou mít přesně lineární fázi, a to platí‐li:

‐ osová nebo bodová souměrnost impulsní charakteristiky ‐ tj. impulsní charakteristika je symetrická nebo antisymetrická.

Filtry s lineární fází mají speciální konfiguraci nulových bodů obrazového přenosu: Je‐li H(ni) = 0, je také H(1/ni) = 0. Pokud má systém reálné koeficienty, platí také: H(ni*)=H(1/ni).

Nulové body se vyskytují ve čtveřicích.

Bi0440


30



Bi0440


31



Bi0440


32

Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry – vlastnosti: ‐ jsou vždy stabilní, neboť všechny póly leží v nule (pokud nejsou záměrně realizovány rekurzivním systémem se zpětnou vazbou) ‐ většinou nerekurzivní realizace ‐ možnost lineární fázové charakteristiky ‐ relativně snadná programová (hardwarová) realizace ‐ pro dosažení strmých charakteristik je třeba použít vyšší stupeň filtru než u IIR filtrů ‐ s rostoucím řádem roste zpoždění ‐ návrh FIR filtru: ‐ vzorkování frekvenční charakteristiky ‐ váhování impulsní charakteristiky

Bi0440


33

Filtry s konečnou impulsní charakteristikou Návrh FIR filtru vzorkováním frekvenční charakteristiky

1. 2. 3. 4.

Zadávají se jednotlivé body (vzorky) amplitudové frekvenční charakteristiky. Mimo vzorkovací body se předpokládá chování libovolné (zakmitávání). Impulsní charakteristika se vypočítá pomocí inverzní DFT. Fázová charakteristika se zadává nulová, výsledná impulsní odezva se kauzalizuje pomocí přerovnání vzorků (ifftshift).

Bi0440


Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR – infinite impulse response


M

L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i

vždy rekurzivní realizace Klouzavý průměr MA Bi0440


34

Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém

z-1

H(z) = az/(z‐a). Pro a>1 je filtr nestabilní.

Bi0440


35

Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém

z-1

H(z) = az/(z‐a). Pro a>1 je filtr nestabilní. Tip: co lze získat tzv. dlouhým dělením polynomů ? Bi0440


36

Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR : ‐ vyžadují alespoň jednu zpětnovazební smyčku, jsou vždy rekurzivní ‐ přenosová funkce = podíl polynomů

Bi0440


37

38

Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR filtry – vlastnosti: ‐ s filtry IIR lze dosáhnout velmi strmé přechody mezi propustným a nepropustným pásmem, a to i při malém řádu filtru. ‐ filtr je vždy rekurzivní (se zpětnými vazbami), může být nestabilní (pro amplitudově omezený vstupní signál by generoval signál s neustále rostoucími amplitudami). ‐ Filtr IIR bude stabilní, pokud všechny jeho póly leží uvnitř jednotkové kružnice. ‐ Filtry IIR nemají lineární průběh fázové charakteristiky. ‐ poměrně složitý a méně intuitivní návrh: ‐ rozmisťování nulových bodů a pólů ‐ optimalizační návrhy podle frekvenční charakteristiky (vedou na řešení soustavy nelineárních rovnic) ‐ přístupy založené na podobnosti s analogovými systémy

Bi0440


39

Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR filtry – vlastnosti: ‐ s filtry IIR lze dosáhnout velmi strmé přechody mezi propustným a nepropustným pásmem, a to i při malém řádu filtru. ‐ vždy rekurzivní realizace ‐ poměrně složitý a méně intuitivní návrh ‐ filtr je rekurzivní (se zpětnými vazbami), může být nestabilní (pro amplitudově omezený vstupní signál by generoval signál s neustále rostoucími amplitudami). ‐ Filtr IIR bude stabilní, pokud všechny jeho póly leží uvnitř jednotkové kružnice. ‐ Filtry IIR nemají lineární průběh fázové charakteristiky.

Bi0440


40

Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR filtry – příklad:

Bi0440


Terminologie: IIR, FIR, MA, AR M

L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all‐zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving‐average, autoregresivní (ARMA) filtry

Bi0440


41


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all‐zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving‐average, autoregresivní (ARMA) filtry AR filtry: bi=0, kromě b0 . Výstup závisí pouze na ...............................?...................

Bi0440


42


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all‐zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving‐average, autoregresivní (ARMA) filtry AR filtry: bi=0, kromě b0 . Výstup závisí pouze na aktuální hodnotě na vstupu a na konečném počtu starších vzorků výstupního signálu. Označovány také jako: „all‐pole“, „purely recursive“, „autoregressive“ Bi0440


43


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all‐zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving‐average, autoregresivní (ARMA) filtry ARMA filtry: ai , bi nenulové Označovány také jako: „pole‐zero“, „autoregressive, moving‐average “

Bi0440


44


L

i =0

i =1

yn = ∑ bi .xn −i −∑ ai . yn −i DOPORUČENÍ: • pro filtry a lineární systémy používat označení FIR, IIR • označení AR, MA, ARMA používat pro popis či modely stochastických procesů, které generují data náhodné povahy

Bi0440


45

46

6. cvičení

1. Je dán systém s přenosovou funkcí Nakreslete rozložení nulových bodů a pólů. Odhadněte amplitudovou frekvenční charakteristiku. Zjistěte diferenční rovnici systému. Zjistěte impulsní charakteristiku systému. Na závěr vše ověřte v MATLABu (fvtool, freqz). O jaký filtr jde (FIR, IIR) ? O jaký filtr jde (HP, DP, PP) ?

Bi0440


47

6. cvičení

2. Diskrétní soustava má přenosovou funkci H(z): 1/(1‐0.5z‐1). Určete diferenční rovnici systému.

Bi0440


48

6. cvičení

3. Navrhněte FIR filtr pro odstranění rušivých složek v časové řadě reprezentující sběr údajů o koncentraci toxické látky v říčním toku. Sběr dat probíhá s hodinovou vzorkovací periodou. Změny v koncentracích jsou pozvolné, odehrávají se v týdenním rytmu (provoz chemické fabriky). Rušivé složky, které je potřeba potlačit, souvisejí se stochastickým procesem (počasí, tj. zejména srážky, ale i teplota), který generuje signálové komponenty s nejvyšší periodou okolo 6 h. Zkontrolujte správnost vzorkování v experimentu a pro návrh filtru volte metodu vzorkování frekvenční charakteristiky. Volte filtr s polynomem 19. řádu.

Bi0440


49

6. cvičení

Bi0440


50

6. cvičení

Bi0440


51

6. cvičení

Bi0440


6. cvičení – 3. příklad - fabrika

52

Harmonické komponenty užitečné složky signálu: f_uzitecna_around=1/(7*24*3600) Hz. Harmonické komponenty rušivé složky signálu: f_rusiva_min=1/(6*3600) Hz. Vzorkovací frekvence: fs=1/3600 Hz. Vzorkovací věta je splněna, neboť platí, že fs>=2*f_rusiva 1.4 1.2

|G(f)|

Od 19. vzorku se cha periodicky opakuje (

fMAX

1 0.8 0.6

π/2

0.4 0.2 0

π/3

-0.2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

19 vzorků na frekvenční ose Bi0440


6. cvičení – 3. příklad - fabrika G = zeros(1,19); % vzorky jsou v poradi 0..N-1 F(1:3)=ones(1,3); % MATLAB indexuje od 1 F(18:19)=ones(1,2); % symetrická amplitudová frekv. char-ka h = ifft(F); % inverzní diskrétní fourierova transformace stem([0:18],h); % impulsní charakteristika

stem([-9:9],h); % impulsní charakteristika po přerovnání

Bi0440


53

6. cvičení – 3. příklad - fabrika freqz(h,1)

Nelineární průběh freqz(ifftshift(h),1)

Lineární průběh Bi0440


54

;

ffgf

Otázky ? [email protected]

55 Bi0440


Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Recommend Documents