APLIKASI TNTERFACESPTOOLSMATLAB DALAM MENDESAIN IIR DAN FIR DIGITAL FILTER Khoe Yao Tung FakultasTeknikJurusanElektro, UniversitasKristen Krida Wacana TaniungDuren 4 -Jalartz 14770 E-mail : yaotung@satumail-com
.&act
examplesof lowpass,highpassand bandpass rther digital designs Thispaper discusses IIR and FIRfilter. both Matlabfor in byusinga variet offilter designalgorithmare available Wtoiprovides dffirent optionsfor digitalfilter design,which includefunction call tofilter (Signal frontim and a giaphicat user interfacecalledSptoolsInterfacing.InterfaceSptools simpler and tools) has more userfriendly environment,more quicker display Fuzssng 'qtion thin the option of making callsto theJilter algorithms.However,the shortcomingof Wtt is that it only disptaysmagnituderesponseof thefilter, not thephaseresponse. L
Pendahuluan
Aplikasi proses sinyal digital yang teRsenting adalah filter. Filter berkaitan langsung dengan ripulasi spektrum sinyal, Untuk membangunsebuahfilter digital dibutuhkan tiga komponen utama pi1g; adder (penambah), multiplier (pengali) dan delay (penunda). Penambahmempunyai dua input & satu output yang hasilnya menambahkan masukan dari kedua input tersebut. Pengali adalah fuen penguat dan akan mengalikan sinyal input dengan suatu besarankonstanta tertentu. Penunda fu menunda satu cuplikan yang masuk. Pengolahan Jinyal digital menggunakan transformasi diskrit, transformasi yang sering {gunakan adalah transformasi z yang merupakanprosedur deret sinyal masukan x(n) menjadi deret riry"t keluaran y(n). Fllter digital bekerja berdasarkandata masukan diskrit dari cuplikan-cuplikan *ryal kontinu, yang kemudian diubah oleh konverter analog ke digital menjadi data digital biner, data digital inilah yang nanti dapat dimanipulasi kinerja dan spektrum sinyalnya dengan prosesor & Hasil dari dati aigital ini dikembalikan ke dalam bentuk analog bila diinginkan dengan digital to analog. Penerapannyafilter digital pada pengolahansinyal dapat digunakan dalam bnverter -gital. rise reduction, image processing, antialiasing dan menghilangkan pseudoimages pada multirate lrwes sing, matchedfi I t erin g, osil ator digital.
"
D-42
D-43
ilnterface Sptools Matlab dalam Mendesain IIR & FIR Digital Filter
interface
Interface
Gambar 1. Proses oensolahan dalam fi.lter diEital. densan pensubahan
o
. . . r
Beberapakeunggulan dari filter digital setelahmelalui prosespengolahansinyal adalah Pengaturan frekuensi cuplikan sehingga daerah kerja yang dapat dipilih sangat lebar (meliputi frekuensi rendah dan frekuensi tinggi). Termasuk frekuensi sangat rendah sehingga dapat digunakan untuk aplikasi elektronika biomedis. Respon fasa yang benar-benarlinear. Karena menggunakan programmable processor, respon frekuensi dapat dipilih secara langsung secaraotomatis. Beberapasingal masukandapat disimpan untuk keperluan selanjutnya. Berkembangnya teknologi pico memungkinkan penggunaanhardware yang lebih kecil, komsumsi daya yang kecil, menekanbiaya produksi, dansingle chip.
llalam implementasi filtei digital kita dapat menggunakan block diagram atau signal flow graph. Scperti yang nampak dalam gambar di bawah ini
Block Diagramof Filter Elements ADDER
DELAY
MULTTPLIER
Signal Flow Graphof Filter Elements ADDER
'
DELAY
MULTIPLIER
z^-1
a
'iJfz(n)=x(n)+Y(n)
x(n) r-f<
ax(n)
x(n)
'--
Gambar 2. Block Diagram dan Signal FIow Graph dari tiga elemen utamaflter
x(n-l)
digital
DesainIIR dan FIR Terdapat dua jenis filter digital yang disebabkankarena adanya perbedaanpenggunaan feedback dalam mendesainsuatu filter digital. Yang pertamaJenis IIR (Infinite Impulse Response) lrang menggunakanstrul<\srfeedbackyang seringjuga disebut denganrecursivestructure, sedangkan
L6l l'L661'{uedruo3 EurqsllqndSA\d 'qoilon &ulsn Sulssatot4 1ou31g tot8lo 'D ur{of's!I?ord pu! 'y {eurn 'a1Eu1 ,Otg 'd'966t '1q 're,rryradd6 'lleH errluerd 'uolrlpElp€ 'stto11oc11ddV puD 'strqryofutf 'n1dauu4 :Sutsnzot4 lou}tglottStg 'gs!x!ur!O tDreioueiiius 'g uqof Et)t?ord , '2661 'qopt14 Eugqs$qnd 3u1s2 Supinmt4 puB ') '{ueduo3 uqof {zu1n 'q3u1 'spFord €81'd sAd l,u8ts totlate'D .ueupy uelg . StS'd'5661 'puq8uA 'ueqEur1o1l 'Ia;sa,rrruosrpy 'staaulSuantgrrTlyn:iqsary.reul:rg .:arrryradd6 .119.d.966t.1q 'lleH arlluald 'UoFIPEI p,€'sttoprcllddy paD'sluqtlro8ly'saldnuu4 :Sutssacot4IouSlStDr!8!O'Csulttu(lsl)|?louBw puB'g uqof .spFold I
0=l
,-"'Q7= t-N
n-rtt-nQ+""""""' | ,_t,q+ "q = (z)p
elpe[uaurue:ls welsfs uodsal e>leurz rssuuoJsuerl ue>leun8SuetuueEueq 0={
Q- u ) r ' q K= @ ) ,t YN
lrep ,uolpnbaazuaraIrtpDlrlruetuu?)t€uld rrBprellg uBo "'
qdurg ao.J IBuSlsuup UId
Z.Z
(z)y prurow(1odFupuersgso{EunpueEuau V rolcel uep(z)g prruou.{1od Fep ualsgao{SunpueEuaur g roDla1 'x IsuSIslndur Fep(z)y1@)g=(z}H Isquaruelduluu1ru1eleuB,(ulgs EueA(x'y'g)ta71g[ryadesntlgf rsflury ue8uepue>lque8rp]sdsp qBI]sWsloolds rseluerueldurrruulsp 0=r
0-w
(ut- u)t("o!- t* - u)x'q(=
@)t
l {N O=lz
l=
oD
r- r *o+ """""' + t- ztr + I' - "o1
=
(z)v = \z)H 6g
n
ueEuepuarr$rueserdarpledepue{s H lr?prelrg e{s.,, z vepawlt rltqsnrotado"*"*"#;jtrt;*# ue"tuesreduep r,uelsrs lopraq te8eqasuesnuruadgn{Fuaur UeI? rur Je}lg IJ?plursuaJeJJrp uodsaa 'Euueqtuesorez uep elod qelnurlesuaEuapUII rellg runurnlquoq rur u?e1erued Fsp llssrl
( ,-'*t\t I l-=s lv z - r ) 7 , ,uolloauofsuo.tl Jo?uqllq s,u!$nJ ue8uep Fue{1p rsuurroJuel ueEuap
((z)s)U = (s)F/ Suuprq a4 s Sucprq uep ue>pFfunr$ uuuletuad usuuresred ue4gunSSusru uu8uag 'z rdep lsrsueJeJ]rp ,z ulutuopa{ s utetrlopueeleruedtuelepe{uuu4rfe{ueu uup rallg Eopue rsJsus4pEury uuEueprulnrurp rur urEseo 'nauulq svw,rotsuo4 uelqspusd ue:punErp rp>1ssSuues 'uII uFsop ruBlc(l qdurg,r,r.o1gpu8g5 uEp UI.it
1'-z
'arn ?nJrsatlsJnzal-uouueEueplnqesrp fuues EueAqcoqpaatue>pun8tluaurypq Eue{ (asuodsayaqndwJ arluq.il uld sruef unpa>gEuef 697 srqsn8y ZT,- lT,lJH[ef 'euuzpuung sslsJalrun unFolrpnv uat11e1u1 tua1slsuep repdruoy'sEurpaecor4 €OOZtlltgtl6;)
V;-.e
AplikasiInterfaceSptoolsMatlabdalamMendesainIIR & FIR Disital Filter
3.
D-45
DesainLow PassFilter
Desain low pass filter digital didesaindenganmenggunakanberbagai protoqpe tiga jenis filter seperti Butterworth, Chebyshev tipe I dan elliptic. Filter optimum dipilih berdasarkan dari digital implementasi yang diinginkan termasuk tiga kriteria yang terutama: kompleksitas, respon besran dan responfasa. o r r o o
= 1000H2 Frekuensi Cutoff :8000H2 FrekuensiSample :0,5dB Ripple passband Stopbandattenuasi :60dB : 100H2 Band Transisi
Matlab Code (Chebyshev): % Lowpass digital filter with chebyshev-I analogprototype % % Digital Filter specifications: wp:0.125*2*pi; % digitalpassbandfrequencyin Hz (normalized) ws : 0. I 375*Z*p|' Yo digital stopbandfrequencyin Hz (normalized) R s:0 .5; 7o passbandripple in dB As:20; 7o stopband attenuationin dB Yo Analog Prototype Spesifications: Fs:l;T:l/Fs; OmegaP: (2/T)*tan(wpl2); o/oprewaRsprototype passbandfrequency OmegaS: (2/T)*tan(ws/2); o/oprewaRs prototype passbandfrequency To Analog Chebyshev-1 Prototype Filter Calculation: [c,d] : chebyI (OmegaP,OmegaS,Rs,As,'stop' ); % Bilinear Transformation: [b,a] : bilinear(cs,ds,Fs); % fdb,mag,pha,grd,w]: freqz(b,a); plot (w*800l/zlpidb); xlabel( 'frequency(Hz)'); ylabel ('decibels');title ('magnitudein dB.); Mathlab juga menyajikan tampilan orde filter dan koefisien filter. Dalam contoh ini, filter Chebyshevdapat ber-orde sembilan. ellipticfilter memiliki lima orde dan filter butterworth tiga puluh dua orde. Beberapa kesimpulan yang dapat dihasilkan dari desain filter low pass sederhana, pertama pada umumnya dapat dibuat himpunan batas desain. Desain filter cheby2tic akan menghasilkan filter tersederhana tergantung dari tingkat kekompleksitas bentuk (terms of comptexity). Filter Butterworth yang paling umum dan kompleks berada dalam orde ke tigapuluh dua. Dalam bentuk ripple passband, fflter butterworth membenkan respon optimum. Dalam passband,hampir tidak terdapii rtppte hanya sebagaimonotonic. elliptic dan chebyshevkeduanyamempunyai lebih banyak npple aalam passband. yang menjadi pilihan dari filter-filter yang digunakan. Dalam hal'respon besaran dan I"iluh kompleksitas,filter elliptic akan menjadi pilihan yung1.*iu-a, akan tetapi ripple aiiptic mempunyai respon fasa yang leblh non linear dibandingkan frlter Chebystriv Oan gunerworth. Oleh karenanya ketajaman catoff dengan kompleksitas rendah harus jatuh pada filter elliptic. Jika respon fasa yang dibutuhkan linear, maka filter Chebyshev atau Butterworth akan menjadi pilihan. Filter IIR didesain dengan menggunakan rutin yang dibuat oleh MH Akroyd's dalam publikasinya tentang Butterworths digital filter. Filter Butterworth digunakan secaramaksimal dalam
i(.qeqrcep,)1eqe1,{:(,(zg),(cuanba4,)loqelx cg7fqer{cJosuodsaAqp ur aprUrt6utu,)a1tn I (,ra111g
([t zz-oo9€ooog] ) srye
g*,rn)1o1d : (qp' $/Z / OOg ! (e'q)ur-zbeg : [,t'pr8'eqd'8eut'qp] ! (ultl sy'sg'p)g{qsqc : [s'q] pro7,(qeqc : [u,n'p] ! {sy'sg'1d7sitl'1d1d,lr') :OZ : sY gp uI uollenuegepusqdolSo/o lS'0 : sU gp w alddF pueqssedo/o fcuenberye8pa pueqsse4oTo [ldn9'0 Id *?' 0] - s/Y\ ,{cuenbageSpepueqdolgoTo [ld*9t'0 ld,rg' 0] - s^\ pq316 clldlllg ssedpueg o4 -ra11yg
'pueqdols :1rlzfqaqc I€lFp ssedpueqrellg utBsepuarrlul q?n\BqIp qBIqlsIAtr i-:.rirsuerula{ Bnp uup pueqssedrsuerule{ €np ue{qaqedueu pdep Euur(roqal uarualeunp ualedruaur pueqdols rsueru{e{ usp pueqss€drsuenle4 nlp,{ srr,tuep du. ueEuapuopluallp er(uenpa>18ue,{ rellg )Flun 'rs8wg enp ue4eunS8uaurue8uapu?{nrue}p nqgfssod puog ssedpueq rsue6la4
:(lt zz- ooztoosl) slxe
: (qp'ldlZlOOOg *n')1o1d i (u'q)u2ba.g : [m,'pr3'eqd'3uut'qp] I (.q61r{,'u/r\ 'sg '1q)1,{qeqc: [e'q] qerlc: [urn'N] | (sy'sg';dTsrrr'rd7d,*)prol ig 7 : s y o7u i5'g : s11 gp ur elddupueqssed tlld*Z*9L1t'01=tu s/pcrur ,{ruanba{pueqssed v*Elp % y i[ld*Z*971'g]: sirr s7purur ,{cuanbegpuuqdolsl4y?rp aaqstqatlSssodt731t7 n11197o7131q 4 'zq00l I Isuemle.r; rslsuerlpueq ue8ueppueqssed qtpp€ qBIWeyq ururSord epo{ ulesep ueEuaprallg lzlpp ssedqErq,raqs,tqeq3 Iq q€^{sq}C {rqun ')ptonnq uep )ptoTtqaqc uup 07tqat1eueqeunt8uour€lpl c1l7tqaqcFep odrlolord{n}un ')ptoqaqt ueSuepu?{nus}tp ls8uqgue4eun8Euaur 0n17nq!,ruprs8ury'qlron:a$ng edrlotord{nlun uu{" relllJreplo 'uleseplpredepssod t13tt1re{g q?nqas'}1tqaqc lsEurge\ gp g f{a\nc tsuen)leg uelarpafuaururEueg 'ssod puoq a4 ssod *to1 uep alddF pueqssed're11gryqun apro 1u48uerad qelqlentr e4ssodmol rsreAuol{qtm Is?lueuraldrnrs8urguu4etpadueur rsreAuo{uepssodt1314 relllf ssBd q8!H ulEse(I
'v
'.[{o-nc$ueole{ vep %E IsIsuE4Pllllutew uup pueqdolsVepgP 0P a@durunurr$luhtr'pueqdolsru?lspalddt.rueppuuqssuduep lulurq?tu lslJ l{nFuttu n ed11aaqcdqaq3 (t1nadoTlaadupqrldure uuresaqu"p gp nps w{nq Bp n1esqrqal Euem4 Jesoqespuuou Fep IssIAapurnuns:ptu) gp I rssoqasa1dduue8uepru?uo ex relerap lsclustualdtul upe4 'pueqdols eped fiolnt Isuerqeg 1rr.;pt{otnc ctuolouolu 'puoqssod eped aPQt HIIIUreIrt pdtues ue{Isc}uaueldu{lp ledep qseslpuuotus}Islpuo{ 1 ad11neqcsfqaqJ 'tu?ue a1 teferepue8uep g11g trrsl?p quomrenng llolnc uolouour epud efursrpuo:1'pueqsseduelep tfuuerelepal epouad 7967snlsn8yZZ- lZ 'epe>pl'uuuepuungssllsre^lununuollpnv (ZOOZ uel11e1u1 tuolsls ueprapdruoy 'sEulgaacor4 fmlft6;)
9V-A
tplikasi InterfaceSptoolsMatlabdalamMendesainIIR & FIR Digital Filter
D-47
Signal ProcessingTools
5.
Signal processingtool atauSptoolspada Matlab digunakansebagaialat visualisasiuntuk menganalisisfilter digital. Sptool merupakangraphical user interface yang mampu dan fuain xrganalisis dan memanipulasisignal, filter dan spektrumfrekuensi.Desainfilter denganSptools penggunauntuk memilih algoritmadesainfilter yang digunakanketia membuat terbagiuntuk filter FIR dan filter IIR. Untuk filter FIR terbagi -rnperbolehkan Ster. Algoritma desainini diantaranya &lam equiripple, least squares,Kaiser lTindowsdan untuk fiter IIR adalahbutterworth, chebyshev juga diperbolehkanmenspesifikasikan fiter lowpass,bandpass, frc I dan 2, sertaelliptic. Pengguna Egh pass atau bandstop.Desain dari sptools filter akan ditampilkandalam respon besarandan upilan ordefilter. filter yangdidesaindalamkodeprogram Dcrikut ini adalahcontohbesaranrespondari bandpass Dlatlab. Iffter 4 .llppendix Function[b, a] = chbl {Wp, Ws, Rs, As) ; % AnalogLowpassFilter Design: Chebyshev-l o/o
% [b, a] : chbl (Wp, Ws, Rs, As); o/ob = Numerator coefficients of Ha (s) o/ov: Denominator coefficients of Ha (s) %Wp: Passbandedgefrequencyin rad/sec % Ws: Stopbandedge frequency in radlsec o/oRs : Passbandripple in dB 7oAs : stopbandattenuationin dB o/o
i f wp <:0 error('Passband edgemustbe largerthan0 ' ) end if Ws <: Wp error( 'Stopbandedgemustbe largerthanPassband edge' ) end i f ( Rs<- 0) | (es< o) error( 'PB ripple and/orSB attenuation mustbe largerthan0 ' ) end ep : sqrt(10"(Rs/I0)-1); A: l0^ (As/20); OmegaC: Wp; OmegaR: WsAVp; g : sqrt (A*A -1) /ep; N: ceil (log10(g+sqrt(g*g-l) ) /logl0 (OmegaR+sqrt (omegaR*AomegaR-l) )); Fprintf('b*** Chebyshev-lFilterOrder: %2.Of \n',N) ; [b, a] = ap_chbl(N, Rs, OmegaC); function [b, a] = ap-chbl(N, Rs, OmegaC); % Chebyshev-lAnalog LowpassFilter Prototlpe o/o
roDIeA qslep€ ul(\ 'elddF pu?qssud IJ?p IIHs^\eu du ?u?tulp 'rellg edq .raqsfqaqc dolspwq uep ue$gao{ Sunllq8ua4 (,do1s.'u4'da'$1,{qaqc = {r?u rrelrun Lusl"p puuqssed rmp IsBII?uuoIrJelJJolncIsuerule{ Bnp lrsp rsuaq Euu,( rolcel qelBPEul11 u?p elddrr pueqssed .elddFrssedpuequBp uarsgso48un1rqEua11 (u \.'du'N)I,{qaqc: Il!)p^\eu dg ueEuap Issll?ulloluel IsuenlerJ urel?pJJolnc Isuamla{: qslep€ uA\ uep pueqssedelddg tplemau da 're1g 1 adrl lsqs{qaqc ss?dqtrq uep uelsgao>1Suqlq8uery (.q81q.'ur11'da'5f 1,(qeqc=
'IsssllstuJouJel IsueDIe{ a1ddr.r puoqssod quppe ul11 uup tsuarule{ v,n1ep!{olnc 11r4e,,neu da '1 sdrl naqs,tqaq3ra11gssed/dol lrsp uelslleol EunlqEuap
[V'g]
[v'g]
[V'g]
[uz11'd1'N]t,{qaqc=[V'g]
(z)Vt@)A:(z)g rellg ue8uapNeI rapro rellg uelslJeo{ IrPp rselnduol gsflutgueEuap 1,{qaqcIrsp Is?lre^ ueleunE8uerue}!{ 1 adrl aeqs,(qeqclrep ul?sap{nrun 'Ireu uslrun tuslsp pueqdolsruel€p ISBSII€uuouetr €np Sunpuu8uaur Sued Jolcen qBPp? rsuerule,{J JJolnr dolspueq uEp uelsgeo4 8unlrq8uow quo/rue$nq u11 're11g {r€u ue}run luel?p pueqssedusp ls?Ileruouel JJolnc Isuon>Ie{enp u?p rsrreq8ue,( rotcel q€lep€ ui[ 're]lg ssudpuzq FBp ulesgeo>1Surqrq8ueq rs-cll?uuotuelIsuen)le{ tu?l?pJJolnc lsuen{aJJqelBpe ui11 'retlg t{uo^\repnq ssedq8rq usp ualsgoo>1EunlrqEuary 'rs?slFuuouJolIsuen{og ursl€pJJo}n3 'rellg ssed mo1u?p uelsgeol Eun1tq3us61 rsuen{e{ I{slEpc ulA
(.do1s.'u16'1..fregnq:
[v'g]
(u11'5f:egnq:
[V'g]
(.r{Elg.'u \'u)rollnq:
[V'g]
[u16'51]resnq: [V'g] (z)y7(z)g:(z)g
guo^\JannqJatlg rylun re11glzlrErp unstp tselndtueureur{$un qspe6 sloolds eu€111rp 8ue,{ rsEurg-ls8uryqulspu lul qu/ttrsqry gpo^ue$nq lellg }enqureur{rqun qelo uey.€rpasgp
'9
slooldguaurn8rY ig*{ = q : ( (z) ,{1od)Iear: g l{: oq iu1qu1n51u*>1:4 nNe :(t+$E* : ( (d) ,{1od)I?ar - 3 iceSeuro*d: d :(t+N)e*uN? : ( (d) flod) IBer* 3 : {sU'N) delqeqc:14' .d'z} %
cas/rp?J ur ,{cuanbagJJon}= SsEeuo% gp ur elddrapueqssed:sf, 96 rel1g gecrr/qaqc
er&Jo ropr6
: N oZ
sluerogJeocleruroudlodJol?urruouep= E o/o sluercgJeoclururou,{1odJo}eJetueu= \ o/, i (3eEew6 ''ry 'N)Iqqc*du - le'qlr/o
(ZOOZ fptlttg;)
unuollpnv psuno sctlsJeAlurl uefilapl urelslsueprolnduro;'s8utpaecor;
8r-q
.fdikasi InterfaceSptoolsMatlab dalamMendesainIIR & FIR Digital Filter
.
D-49
yang mengandungdua frekuensi cutolf ternormalisasi dalam stopbanddalamurutannaik.
variasidari cheby2denganfungsi komputasi Ilnurk desaindari chebyshevtipe II kita menggunakan dri koefisienfilter orderkeN denganfilter H(z)=B(z)/A(z)
: cheby2[N,Rs,Wn]
Menghitungkoefisiendari low passfilter Chebyshevtipe 2. Rs mewakili stopbandripple dan Wn adalahfrekuensicutoff dalam frekuensiternormalisasi. : cheby2(N,Rs,Wn,'high') Menghitung koefisiendari highpasschebyshevtipe 2 filter. Rs tB^l mewakili ripple stopbanddan Wn adalahfrekuensicutoff dalam frekuensiternormaliasi = cheby2(N,Rs,Wn) Menghitung koefisiendari bandpass denganWs adalahstopband lBAl ripple danWn adalahvectoryangberisi dari dua frekuensicutoff ternormaliasidari passband dalamurutannaik IBAI : cheby2(N,Rs,Wn,'stop') Menghitung koefisien dari bandstop chebyshev tipe filter, dimana Rs mewakili dari stopbandripple. Wn adalah vektor yang mengandungdua frekuensicutof temormalisasidalam stopbanddalamurutannaik. desain dari chebyshev tipe II kita menggunakan variasidari cheby2denganfungsikomputasi Untuk darikoefisienfilter order keN denganfilter H(z)=$(z)/A(z)
tBAl
tB,Al : ellipfN,Rp,Rs,Wn]
Menghitungkoefisiendari low passfilter Chebyshevtipe 2. Rp mewakili ripple passband, Rs mewakili stopbandripple dan Wn adalahfrekuensicunff dalamfrekuensiternormalisasi. [B,A] : ellip(N,Rp,Rs,Wn,'high') Menghitungkoefisiendari highpasschebyshevtipe 2 filter. Rp
[B,A]
: ellip(N,Rp,Rs,Wn)
[B,A]
: ellip(N,Rp,Rs,Wn,'stop')
7.
Daftar Pustaka
tll I2l
t3l t4l
dan wn fr:ffi-*iliji: :il:?i::i# #il*:i;a*iln::ind
Menghitung koefisien dari bandpassdengan Rp mewakili ripple passband dengan Ws adalah stopband ripple dan Wn adalah vector yang berisi dari dua frekuensi cutoff ternormaliasi dari passbanddalam urutan naik Menghitung koefisien dari bandstop chebyshev tipe filter, dimana Rp mewakili ripple passband, Rs mewakili dari spassband ripple. Wn adalah vektor yang mengandung dua frekuensi cutoff ternormalisasi dalam stopband dalam urutan naik.
A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, "Digital Signal Processing", Prentice-Hall, Inc., EnglewoodCliffs, N.J., 1975. Biran Adrian, BreinerMoshe;MATLABfoTengineers,Adison wesley,Wokingham,England, 1 9 95. L.R. Rabiner & R.W. Schafer, "Digital Processing of Speech Signals",Prentice
F{all, 1978,
ISBN0-13-2t3603-1. R. E. Crochiere& L. R. Rabiner,"MultirateDigital SignalProcessing",Prentice-Hall,1983, ISBN013605t626.
'
etu'dsp'^t,Y\^V/:d1trq lZ1[ npe'elslssru'dnrr'v'rmy:dgqIt t] gAn' cs'urur'r'urqdlop 1u1q'u8rsap-rell /f fuq [Ot ] '166y.,{esraf /heN'llBHecrluerd'uoqrpe puores'qlt?I/{ qlul SunlosualqordSuueau€ug'';41se.ro1aq'rellg t0] 'uoglpfl '9661',{ueduro3SutqsrlqnduBIIIurc€W vE'apr?slg puDsnonu!ruo7 :sutalstg pun puSrg 'plsuou 'q '3uruuuJpus ''H ruslllll!\ 'ra1uerl ''g raEpox 'JawatT tg] '1661ryoA /r\eNoul'suogry {auru,uqol',,3u.rssacotd 1ou&ts tztlgtpur astna7y,,,nog1uto4 ltl '966I "IN'to,ttg redd61'l[eg ocr]uer4'uo.rrlpg pr;'suolrDcilddV puo 'swt1tuo81y'sa1d1cutt4:Sutssacot4 7ou31glDtlSle'C sulru(I 'sqe1oue141pus'C utlof 'sDIEord tq] '1661 'fueduro3 'C 3uqsr1qn6 SII\a'qopory 8utrs1 Smssacot4 1nu8rypISlO uqof 's1>pbr; pue '11feur4 'a1Eu1 tS] 7667snlsnEyZT,- lT,'uge1e1'euusp?ungsslrsre^rununrJolrpnv (ZOOZ tualslsuupralndruo;1's8urpeacor4 Uf.fft6;) uatr1alu1
0s-(I
