Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C

Pertemuan ke 11 Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D

C A

B Empat persegi panjang c

D

d A

C

E

a

b B

AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal Keliling = 2 ( panjang + lebar ) Luas = panjang x lebar

Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

1

Bujur Sangkar

D A

a A

a

D

E

a

a

B

AB = CD dan AB // CD AD = BC dan AD // BC A = B = C = D =90o AC dan BD diagonal AC = BD AE=EC=DE=EB DE AC Keliling = 4a Luas = a2


2

Jajaran Genjang Sifat-sifat jajaran genjang: Dua buah pasang sisinya sejajar Sudut yang berhadapan sama besar.

D

C E

A

B

AC = DC; AD = BC AE = EC ; DE = EB A= C ; B= D Kll = ( AB + BC ).2 Luas = alas x tinggi atau Luas = ½ ( hasil kali diagonal) Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

3

Belah Ketupat Sifat-sifat belah ketupat -. Panjang semua sisi adalah sama -. Sisi yang berhadapan adalah sejajar -. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar. D

C E

A

B

AB = BC = CD = DA AB//CD AD//BC DE AC Luas = ½ ( AC x BD ) Luas = alas x tinggi Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

4

Trapesium Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar

AB//CD + + +

= 3600

Kll = AB + BC + CD + DA Luas

Jumlah sisi sejajar x tinggi 2


5

CONTOH 1 1

Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing 5 mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 600 . Hitunglah: a). Panjang diagonal-diagonalnya b). Luas jajaran genjang c). Jarak antara garis-garis yang sejajar.

Penyelesaian D

C

60O

A

F

B

E

BE = ½ BC BE = ½ x 5 =2,5 AC

AE 2

CE 2

AC

(8 2,5) 2

BD

DF 2

BD

(2,5 3 ) 2

(2,5 3 ) 2

11,36mm

FB 2 (8 2,5) 2

49

7mm

G Jadi BD = 7 mm Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

6

Luas = alas x tinggi L = AB x DF L = 8 x 2,5 3=34,64 mm

DF = 2,5 3 = 4,33 mm BG = ½ AB =½.8 =4

AG

AB 2

AG

82

BG 2 42

48

6,93mm


7

CONTOH 2 Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7,2 mm dan diagonal terpanjang 10,5 mm D 10,5

A

D 7,2

B Penyelesaian Luas belah ketupat adalah jumlah luas 2 buah setiga ABC dengan panjang sisi 7,2, 7,2 dan 10,5 a = 7,2; b = 10,5 dan c = 7,2


8

a b c 2 Luas ABC

7,2 10,5 7,2 12,45 2 s( s a)(s b)(s c)

Luas ABC

12,45(12,45 7,2)(12,45 10,5)(12,45 7,2)

s

25,87mm 2

L = 2 x 25,87 = 51,7 mm2


9

Soal 5 Diketahui segitiga OAB seperti pada gambar B y

3x D

C 2y

x T O

A Titik C pada garis AB dan titik D pada garis OB. Titik T perpotongan OC dan AD sedemikian hingga AC:CB = 2 : 1 dan OD : DB = 1 : 3. Tentukan OT : TC !


10

Penyelesaian Panjang OA tidak ditentuka n maka berlaku untuk semua segitiga. Diambil Segitiga OAB siku-siku di B, panjang OA = 5, BO = 4 dan AB = 3 Perhatikan segitiga ABO

Kesamaan luas segitiga OAB = Luas segitiga ABO

B

1 3 D

O

C 2

T

1 G

1 OA.EB 2

H

F

E

1 AB.BO 2

5.EB = 3 . 4

EB

A

5

12 5

Perhatikan segitiga OBE siku-siku di E OE

( BO ) 2 ( BE ) 2 4

OE

16 5

2

12 5

2

AE = AO – OE

AE

5 9 5

16 5


AE

11

Perhatikan

OBE

ODG

OB OD

BE DG 12 4 5 1 DG 3 DG 5

OB OD

OE OG 16 4 5 1 DG 4 OG 5 Jadi Koordinat Titik D

B

1 3 D 1

O

G

4 3 , 5 5

C 2

T

H

E

F

A

5 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

12

Perhatikan

ABE

ACF

B

AB AC

1 3 D

1

O

G

C 2

T

H

E

F

A

5

BE CF 12 3 5 2 CF 8 CF 5 Dan

AB AC 3 2 CF

Jadi Koordinat Titik C

19 8 , 5 5

OF

AE AF 9 5 AF 6 5 5

6 5

19 5


13

Persamaan grs OC: grs melalui titik O(0,0) dan C( 19/5, 8/5) B Pers. grs OC:

1 3

D

O

2

T

1

x 0 y 0 19 8 0 0 5 5 x y 19 8 5 5

C

G

H

E

F

A

5

y1

Jadi pers. grs OC: Persamaan grs AD: grs melalui titik O(5,0) dan C( 4/5, 3/5)

x 5 4 5 5 x 5 21 5

y 0 3 0 5 y 3 5

Jadi pers. grs AD:

y2

8 x 19 x 5 7


14

8 x 19

y1

Titik T titik tengah perpotongan daris OC dan AD, akibatnya: B 1

y1

3

D 1

O

y2

G

C

2

T

H

E

F

A

5

x 5 7

Jadi OH =

19 15

=

y2

8 x 5 x 19 7 56 x x 5 19 75 x 5 19 19 x 15 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

15

Perhatikan

B

1 3 D 1

O

G

OFC

OT OC

C 2

T

OT OC

H

E

F

5

Akibatnya:

OHT

A

OT OC

OT TC OT TC OT TC

OT OC OT 1 3 1 1 2

OH OF 19 15 19 5 1 3

Jadi OT :TC = 1 : 2


16

Soal 10

Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar 1

Gambar 1 Penyelesaian Luas daerah yang diarsir = Luas ΔABD + Luas ΔABE − 2 ⋅ Luas ΔABC

=½⋅4⋅6+ ½⋅4⋅9 −2⋅½⋅4⋅3 = (12 + 18 − 12) cm2 Jadi luas daerah yg diarsir 18 cm2 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

17

Soal 11 ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar 2). Jika panjang LC = 5, tentukan keliling segitiga ABC.

Gambar 2 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

18

Soal 12 Pada segitiga ABC diketahui panjang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak lurus sisi AB memotong sisi AB di titik D. Tentukan panjang CD.


19

Soal 13 Perhatikan gambar. AB dan CD adalah diameter lingkaran dengan AB = CD = 8 serta AB dan CD saling tegak lurus. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekatan saling bersinggungan. Tentukan luas daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyatakan dalam π. Ingat bahwa π ≠ 22/7 maupun 3,14.)


20

C E

C

E F

A

B A G

H

D Buat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adalah pertengahan sisi-sisinya. Luasarsir =

O

Luaspersegi EFGH − 4 ⋅ Luas1/4 lingkaran

Misal perpotongan garis AB dan CD di titik O

Luasarsir = 8 ⋅ 8 − 4 (¼ π 42) Luasarsir =

64 − 16π

Cara Lain :

Luastembereng AC = Luas1/4 lingkaran − Luas ΔAOC Luas arsir =

= 4π − 8

Luas lingkaran − 8 ⋅ Luas tembereng

Luas arsir = π ⋅ 42 − 8 ⋅ (4π − 8) Ketut Darma Teknik Mesin Luas arsirGeometri = 64 −by16π Politeknik Negeri Bali

21

Alternatif 2 : Misal perpotongan garis AB dan CD di titik O Luastembereng AC = Luas1/4 lingkaran − Luas ΔAOC Luastembereng AC = ¼ ⋅ π ⋅ 42 − ½ ⋅ 4 ⋅ 4 Luastembereng AC = 4π − 8 Luas arsir = Luas lingkaran − 8 ⋅ Luas tembereng Luas arsir = π ⋅ 42 − 8 ⋅ (4π − 8) Luas arsir = 64 − 16π


22

Soal 4 Pada segitiga ABC, titik F membagi sisi AC dalam perbandingan 1: 2. Misalkan, G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG. Tentukan perbandingan, titik E membagi sisi BC


23

Penyelesaian: Teori: Perbandingan seharga dan segitiga sebangun

Karena segita ABC berlaku untu semua segitiga termasuk segitiga siku-siku. Ambil segitiga ABC siku-siku dan siku-siku di A Misalkan AC = 3 dan AB = 4


24

Y

Karena segitiga ABF dan DBG sebangun berlaku: AF DG

C 2

BF BG

Karena G titik tengah BF maka

3 F

E

G

Akibatnya:

1 A

D

H

B

X

4

BF BG

AF DG 1 DG DG

Jika DG = ½ AF maka; AD = ½ AB = ½.4 = 2 1 2

Jadi Koordinat titik G(2,2 )

2 1

BF BG 2 1 1 2

Kemiringan garis AG 1 DG 1 2 tg AD 2 4 1 x 4 Sedangkank an pers, grs BC : 3x 3 y x 3 4 Persamaan grs AG : y

4y

12


25

Kemiringan garis AG 1 DG 2 1 tg AD 2 4 1 x 4 Sedangkank an pers, grs BC : 3x 4y 12 3 y2 x 3 4 Persamaan grs AG :

y1

Titik E berpotongan garis AG dan BC, maka y1 = y2

1 3 x x 3 4 4 maka x 3 Maka, AH

3 dan HB 1 1 Akibatnya : BE BC 3 BE 1 BC 3

Jawaban: B Teknik Mesin Geometri by Ketut Darma Politeknik Negeri Bali

26

Pertemuan ke 12 Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r).

P

r


27

Unsur-Unsur Lingkaran

tali busur

diameter Jari-jari

Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan talibusur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis tengah/diameter


28

Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali busur, membagi dua tali bususr itu Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali busur, tentu tegak lurus talibusur itu Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu

A

M

B

O


29

Keliling, luas , busur, sudut pusat dan juring

busur O

= sudut pusat r

Keliling lingkaran C = 2 .r = .d ; d = diameter lingkaran Luas lingkaran L = r2 = ¼ d2

= 3,14


30

Panjang busur

L busur )

x

L busur )

x

keliling 3600 keliling 2

0

360

2

(2 r )

.2 r

bila

dinyatakan dalam derajat

r

dinyatakan dalam radian

Luas sektor/juring:

Asektor

r O

0

360

( r 2 ),

dalam derajat

Lbusur

Asektor

2

2

( r )

r2 2 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

31

Luas Segmen lingkaran

B

A O

Luas segmen = luas juring – luas

AOB

r

Luas segmen

3600

r2

1 2 r sin 2

Sifat-Sifat Lingkaran Sudut yang terletak dipusat besarnya dua kali sudut yang terletak dikelilinglingkaran dan semua sudut yang terletak di keliling lingkaran dan semua sudut yang terletak dikeliling lingkaran pada busur yang sama adalah sama besar

Sebua sudut yang yang terletak pada segmen yang sama adalah sama besar, sehingga sudut yang terletak di kekeling setengah lingkaran adalah siku-siku. Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

32

C

O A

B

AOB = 2

AOC

CAO = 2

CBO

O

P

R N

M PMR =

RNP =900


33

Bila dua buah tali busur sebuah lingkaran berpotongan, baik di dalam maupun di luar lingkaran tersebut, hasil kali ke dua segmen tali busur yang satu sama dengan hasil kali kedua segmen tali busur yang lain D

D

A

A

A O

O

C C OA x OB = OD x OC (berpotongan di dalam)

B B

C O

D

OA x OB = OC x OD (berpotongan di luar)

OAxOA = OD x OC


34

Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan garis singgung dan garis garis yang ditarik dari titik itu ke pusat lingkaran tersebut adalah sama besar.

A O

C B Bila dua buah lingkaran berpotongan, maka garis antar pusat akan memotong tegak lurus tali busur persekutuannya di tengah-tengah


35

1

Tentukan lebar potongan bila sebuah batang bulat berdiameter 74 mm dipotong sedalam 2 mm. ( lihat gambar). Penyelesaian

C A

O

B

2mm 74 mm

Kedalaman pemotongan CO = 2 mm Lebar pemotongan = x

E OA x OB = CO x OE 1 1 x x 2.72 2 2 1 2 x 144 4 x 24

OA

OB

1 x 2

Jadi lebar pemotongannya adalah 24 mm Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

36

2. Diketahui seperti gambar Jika diameter lingkaran 12 mm, hitunglah MA A B 600

M

Penyelesaian tg 300 AM

OA AM 6 3 3

AM 18 3

6 tg 300

6 3

Jadi MA = 6 3 Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

37

3

Pada gambar berikut adalah segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran dalamnya B E D

A

F

C

a. Hitunglah BC dan CA jika AD = 2 cm dan BE = 3 cm b. Hitunglah diameter lingkaran dalamnya jika AB = 6 cm dan BC = 10 cm


38

Penyelesaian

B E D A

C

F AF = AD = 2 BE = BD = 3 AB = 5 Misalkan CF = x maka CE = CF = x BC 2

AC 2

(3 x) 2

AB 2

(2 x) 2

9 6x x 2 2 x 29 9 x 10

52

4 4x x 2

25

Jadi BC = 13 cm dan CA = 12 cm Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

39

b. Misalkan AD = y cm B

D

E M

y

AC

BC 2

AD 2

AC

100 36

8

D A

F

BE = BD = 6 – y AF = AD = y CE = CF = 8 – y BC = 10 (6 – y ) + (8 – y) = 10 2y = 4 y=2=r Jadi diameter lingkaran d = 4


40

Latihan 1 Jari-jari ketiga lingkaran berikut adalah sama.

t

a. Jika jari-jari ketiga lingkaran itu adalah 12cm hitunglah harga t b. Htunglah jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran itu untuk didalam dan diluar.


41

2

Empat bola timah dengan jari-jari 12 cm akan diikat bersama-sama ke dalam lak band platik seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Berapakah panjang lak band plastik yang diperlukan agar ke empat bola tersebut dapat terikat secara bersama-sama.


42

2

Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut

(a)

(b)


43

4

Pada gambar berikut hitunglah R jika p = 4,25 cm

C

D N

3,75

M

A

B


44

Pertemuan ke 13 Volume dan Luas Permukaan Benda Berdimensi 3


45

Balok

V = a.b.t t

b

Luas permukaan A = 2 (ab + at + bt)

a Kubus

V = x3 Luas permukaan A = 6 x2

x x x


46

Selinder r

Volume V = .r2.t = ¼ .d2t t

d

Luas permukaan A = 2. .r2 + 2 .r.t = 2 .r( r + t )

Volume sebuah pipa dengan diameter luar D dan diameter dalam d dan tinggi h

V h

4

(D 2

d 2 ).h

D Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

47

Kerucut. Volume V = 1/3 .r2.t Luas selimut = .r.i

i t

Luas total permukaan = .r2 + .r.i

i i

garis pelukis (hypothema) r2

t2

r Kerucut Terpancung. Volume V = 1/3 .t (R2 + R.r + r2) Luas selimut = . i ( R + r ) Luas total permukaan = r2 + R2 + . i ( R + r )

r

i

t R


48

Piramid.

t

Volume V = 1/3 A. t. A = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas segitiga.

Prisma. Volume V = A.t A = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas bidang dimensi dua


49

Bola Volume V = 4/3. .r3 Luas permukaan = 4 .r2 r

Tembereng Bola Volume V

r h

atau V R

h2 (R h) 3

h (3r 2 6

h2)

Luas permukaan = luas permukaan lengkung + luas alas

= 2 .R.h + r2.atau = (r2 +h2) + .r2


50

Contoh 1

Gambar berikut menunjukkan paku keling dengan memotong batang berdiameter 5 mm, lalu ditempa kepalanya (ujungnya). Berapa panjang batang yang dibutuhkan Penyelesaian 5

8 18

Kepala (ujungnya) merupakan kerucut terpancung Volume

3

Benda ini ditempa dari selindris berdiameter 5 mm. Misalkan panjang selindris = l

Maka

.5 2.l 32,25 4 32,25 l 5,16 6,25

h 2 (R Rr r 2 ) 3 3 (4 2 4.2,5 2,5 2 ) 3 32,25

Tambahan panjang yang dibutuhkan = 5,16 – 3 = 2,16 Sehingga potongannya = 18 + 2,16 = 20,16

Jadi panjang batang diperlukan adalah 20,16 mm Geometri by Ketut Darma Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

51

2

Sebuah tangki penyimpanan air panas terlihat pada gambar . Jari-jarinya 400 mm dan tingimginya 900 mm. Tentukan luasnya dalam meter persegi yang dibutuhkan untuk memutup seluruh tanggi. r h

Penyelesaian Jari-jari selinder r = 400 mm = 0,4 m Tinggi tangki = 900 mm = 0,9 m Tingginya selinder h = 0,9 m – 0,4 m = 0,5 m

r Luas permukaan total A = luas lingkaran + luas selimut selinder + luas permukaan setngah bola. A A

r

2

r

2

2

r.h

2 r.h 2

r2

4 2 r2

r 2 2 r.h r (3r 2h)

A A

3

A A

3,14.0,4(3.0,4 2.0,5) 2,76

Jadi luas bahan diperlukan 2,76 m2


52

Latihan: 1

2

3

Panjang 250 mm dipotong dari batang empat persegi panjang120 mm dan 40 mm. Balok kemudian dikerjakan mesin menjadi prisma 117 mm x 36 mm x 240 mm. Berapa persen dari batang terbuang oleh pengerjaan mesin. Sebuah terdiri dari batang besi 40 mm x 5 mm yang berpenampangsegi empat dengan panjang 120 mm. Pada permukaan yang besar, 4 lubang dengan diameter 20 mm di bor lurus menenbus pelat (5 mm). Berapa persen metal yang terbuang karena pengboran.

Billet logam yang berdiameter 30 mm dan panjang 80 mm yang diproses menjadi potongan yang berdiameter 10 mm dan tebal 1 mm. Perkiraran tidak ada logan yang terbuang, hitunglah jumlah potongan yang dihasilkan.


53

4

5

Bejana dengan penampang lingkaran berdiameter 50 mm, mengandung air sedalam 60 mm. Bila bola dengan diameter 40 mm, dimasukkan ke dalam air, berapakah penambahan ketinggian air dalam bejana tersebut ? Tutup sebuah cabin berbentuk setengah silinder seperti ditunjukkan pada gambar berikut. a. Berapakah luas permukaan tutup kabin b. Berapa luas total tutup dan bagian luar cabin


54

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C

Recommend Documents