KETERKAITAN GARIS-GARIS SEJAJAR DENGAN SEGIEMPAT DAN SEGITIGA (Jurnal 4) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Perkuliah geometri pada pertemuan keempat pada tanggal 2 oktober 2013 disampaikan oleh Bapak Dr. Endang Mulyana, M.Pd. Materi yang beliau sampaikan adalah materi dasar pada geometri mengenai keterkaitan garis-garis sejajar pada segiempat dan segitiga. Menyimak perkuliahan yang beliau sampaikan, menurut saya apa yang beliau ajarkan sangat penting karena ternyata masih banyak hal-hal yang belum saya ketahui mengenai segiempat maupun segitiga serta masih banyak terjadi kesalahan-kesalahan konsep mengenai segiempat dan segitiga baik kesalahan yang sebabkan oleh guru maupun buku pelajaran. Tidak terlalu susah memang memahami materi ini, tetapi membutuhkan ketelitian. Disini saya akan menguraikan konsep mengenai garis-garis sejajar pada segiempat dan segitiga berdasarkan uraian yang telah di sampaikan Bapak Dr. Endang Mulyana, M.Pd. Mudah-mudahan dapat membuka pikiran kita tentang kesalahan-kesalahan konsep mengenai garis-garis sejajar pada segiempat dan segitiga yang terjadi selama ini dan dapat segera diperbaiki serta disebarluaskan. Perkuliahan dimulai dari pasangan sudut yang saling berpelurus atau saling suplemen. Pasangan sudut dikatakan saling suplemen juka dan hanya jika ukuran sudutnya 180 o. Perhatikan gambar 1 berikut: A
B
P
C
D Gambar 1
Pasangan sudut yang saling suplemen adalah:
∠APB dengan ∠ BPD
∠APC dengan ∠ CPD
∠CPD dengan ∠ DPB
∠CPA dengan ∠ APB
Perhatikan gambar 2 berikut:
A
C
B
F
E
D
G
Gambar 2 Permasalahan: Apakah ∠ABD dan ∠ BEC pasangan sudut sehadap? Iya, karena jika dua buah garis yang tidak sejajar dipotong garis lain maka sudut-sudutnya sehadap. Berarti pasangan sudut yang sehadap tidak harus sejajar, tapi ukuran sudut-sudut sehadapnya tidak sama besar. Jika dua buah garis sejajar dipotong garis lain maka sudutnya pasti sehadap dan ukuran sudut yang sehadap sama besar.
Segiempat Suatu segiempat harus pada satu bidang, pada segiempat memiliki bagian interior dan eksterior. Segiempat terbagi dua yaitu segiempat cembung dan segiempat tidak cembung. Definisi segiempat cembung: Suatu segiempat dikatakan segiempat cembung jika dan hanya jika setiap mengambil 2 titik di dalam interior maka ruas garis yang dihubungkan semuanya ada di interior. Gambar 3 merupakan contoh segiempat cembung:
A
B
Gambar 3 Definisi segiempat tidak cembung: Suatu segiempat dikatakan segiempat tidak cembung jika dan hanya jika setiap mengambil 2 titik di dalam interior maka ruas garis yang dihubungkan semuanya tidak berada di interior. Gambar 4 merupakan contoh segiempat tidak cembung:
A
B
Gambar 4
Bangun datar yang termasuk segiempat adalah trapesium, jajar genjang, persegi, persegi panjang, belah ketupat dan layang-layang. 1. Trapesium Definisi trapesium: Suatu segiempat dikatakan trapesium jika dan hanya jika memiliki paling sedikit satu pasang ruas garis yang sejajar. Bangun trapesium dapat digambarkan ke dalam beberapa bentuk, perhatikan gambar 5 berikut:
(a)
(d)
(b)
(c)
(e)
(f)
Gambar 5 Berdasarkan definisi trapesium berarti jajar genjang, persegi, persegi panjang dan belah ketupat merupakan bagian dari trapesium. 2. Jajar Genjang Definisi jajar genjang
: Suatu segiempat dikatakan jajar genjang jika dan hanya jika memiliki 2 pasang ruas garis yang sejajar.
Contoh jajar genjang
: Gambar 5b, 5d dan 5f.
Berdasarkan definisi jajar genjang berarti, persegi, persegi panjang dan belah ketupat merupakan bagian dari jajar genjang 3. Persegi panjang Definisi persegi panjang : Persegi panjang adalah jajar genjang yang keempat sudutnya siku-siku
Berdasarkan definisi persegi panjang berarti persegi merupakan bagian dari persegi panjang. Contoh persegi panjang : Gambar 5d dan 5e. 4. Belah ketupat Definisi belah ketupat
: Belah ketupat adalah jajar genjang yang keempat ruas garisnya sama panjang.
Berdasarkan definisi belah ketupat berarti persegi merupakan bagian dari belah ketupat Contoh belah ketupat
: Gambar 5b dan 5d.
5. Persegi Definisi persegi: Persegi adalah persegi panjang yang keempat ruas garisnya sama panjang. Atau Persegi adalah belah ketupat yang keempat ukuran sudutnya sikusiku. Contoh persegi: Gambar 5d
Keterkaitan antara kelima bangun tersebut agar lebih mudah dipahami dan dikelompokkan disajikan dalam diagram venn, sebagai berikut:
Dari kelima bangun segiempat tersebut, manakah posisi layang-layang? Untuk mengetahui posisi layang-layang pada diagram venn, terlebih dahulu kita harus mengetahui definisi layang-layang.
6. Definisi layang-layang: Suatu segiempat dikatakan layang-layang jika dan hanya jika memiliki paling sedikit 2 sisi yang berdekatan sama panjang. Bangun layang-layang dapat digambarkan ke dalam beberapa bentuk, perhatikan gambar 6 berikut:
(a)
(b)
(c)
Gambar 6
Berdasarkan definisi layang-layang berarti yang-layang terditi dari layang-layang tidak cembung, yaitu pada gambar 6a serta layang-layang cembung, yaitu pada gambar 6b dan 6c. Pada pembelajaran segiempat untuk sekolah dasar dan sekolah menengah hanya diajarkan segiempat cembung. Pada gambar 6b dan 6c bisa diambil kesimpulan bahwa belah ketupat merupakan bagian dari layang-layang.
Kedudukan layang-layang pada diagram venn sulit untuk digambarkan, namun agar lebih mudah mengetahui keterkaitan dan pengelompokan layang-layang dengan segiempat lainnya disajikan menggunakan diagram garis, yaitu sebagai berikut:
SEGIEMPAT
TRAPESIUM
LAYANG-LAYANG
JAJAR GENJANG
PERSEGI PANJANG
BELAH KETUPAT
PERSEGI
Segitiga Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang dibentuk oleh tiga titik yang tidak kolinear. Segitiga dipandang dari jenis-jenis sudutnya terbagi menjadi segitiga lancip, segitga siku-siku dan segitiga tumpul. 1. Segitiga lancip Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga ukuran sudutnya < 900. 2. Segitiga siku-siku Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki ukuran sudut sama dengan 900. 3. Segitiga tumpul Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki ukuran sudut sama dengan lebih dari 900 tapi kurang dari 1800. Berikut merupakan gambar dari segitiga berdasarkan jenis-jenis sudutnya. Perhatikan gambar 7 berikut:
Segitiga lancip
Segitiga siku-siku Gambar 7
Segitiga tumpul
Menurut ukuran panjang sisi-sisinya terdiri dari segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi. 1. Segitiga sama kaki Suatu segitiga dikatakan segitiga sama kaki jika dan hanya jika memiliki paling sedikit dua ukuran sisi yang sama panjang. Contoh gambar segitiga sama kali, pada gambar 8 berikut:
(a)
(b) Gambar 8
Berdasarkan definisi segitiga sama kaki berarti segitiga sama sisi merupakan bagian segitiga sama kaki. 2. Segitiga sama sisi Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika memiliki tiga ukuran sisi yang sama panjang. Contoh segitiga sama sisi yaitu pada gambar 8b.
Keterkaitan antara segitiga lancip, segitiga siku-siku, segitiga tumpul, segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi agar lebih mudah dipahami disajikan menggunakan diagram garis, yaitu sebagai berikut: SEGITIGA
SEGITIGA LANCIP
SEGITIGA SIKU-SIKU
SEGITIGA SAMA KALI
SEGITIGA SAMA SISI
SEGITIGA TUMPUL
Luas Daerah Segiempat dan Segitga 1. Setiap luas interior suatu poligon bisa dikaitkan dengan bilangan real. L : Pemetaan P
R
2. Dua buah poligon yang kongruen maka luas daerahnya sama. 3. Jika dua atau lebih poligon tidak beririsan, ada beririsan pada sisi-sisinya maka luas daerah seluruhnya adalah jumlah masing-masing luas daerah poligon. Contohnya: LI
+
atau
L II
LI
L II
LI + LII
Yang tidak boleh dijumlahkan adalah luas poligon yang seperti gambar berikut LI
L II
LI tidak boleh ditambahkan dengan LII karena beririsan.
4. Definisi: Persegi yang ukuran sisinya a, maka luas perseginya a2 . Persegi yang ukuran sisinya 1, maka luas perseginya 1. 5. Teorema: Persegi panjang yang ukuran sisinya a dan b maka luasnya a.b Pembuktian: a. Berdasarkan aksioma persegi, luas daerah persegi dengan sisi (a+b) = (a + b)2 . . . (i) b. Perhatikan gambar persegi berikut:
a
a2
b
b2 a
b
Luas daerah persegi dengan sisi (a+b) = Luas daerah dengan sisi a + Luas daerah dengan sisi b + 2 luas persegi panjang Luas daerah persegi dengan sisi (a+b) = a2 + b2 + 2 luas persegi panjang . . . (ii)
Dari (i) dan (ii) luas daerah persegi dengan sisi (a+b)
= Luas daerah persegi dengan sisi (a+b)
a2 + b2 + 2 luas persegi panjang
= (a + b)2
a2 + b2 + 2 luas persegi panjang
= a2 + b2 + 2 a.b
luas persegi panjang
= a.b
Jadi luas persegi panjang adalah perkalian panjang dengan lebar yang saling berkorespondensi (bersesuaian).
6. Pembuktian rumus luas segitiga Rumus luas segitiga akan dibuktikan melalui pembuktian rumus luas segitiga siku-siku dan luas segitiga sama kaki. Kasus I: Pada pembuktian segitiga siku-siku menggunakan dua buah segitiga siku-siku kongruen yang akan dibentuk menjadi sebuah persegi panjang sehingga kita dapat memanfaatkan rumus dari persegi panjang. Perhatikan gambar berikut:
L II b LI
a L I dan L II merupakan segitiga siku-siku. Menurut teorema persegi panjang yang ukuran sisinya a dan b maka luasnya a.b Luas persegi panjang dengan sisi a dan b
= L I + L II
a.b
= 2 L I ( karena L I = L II)
½ .a.b
=LI=L∆
dengan a = sisi dan b = tinggi yang bersesuaian dengan sisi a Jadi luas segtiga siku-siku = ½ . sisi . tinggi yang saling berkorespondensi (bersesuaian)
Kasus II: Untuk membuktikan rumus luas segitiga sama kaki akan digunakan dua empat segitiga siku-siku kongruen yang akan dibentuk menjadi sebuah persegi panjang sehingga kita dapat memanfaatkan rumus dari persegi panjang
L III
L IV
b
LI
L II
a
a
Luas persegi panjang dengan sisi 2a dan b 2.a.b 2 4 1 2
= L I + L II + L III + L IV = 4 L I (Karena LI = L II = L III + L IV)
.a.t
=LI
.a.t
=LI=L∆
dengan a = sisi dan b = tinggi yang bersesuaian dengan sisi a Jadi luas segtiga sama kaki = ½ . sisi . tinggi yang saling berkorespondensi (bersesuaian)
Kesalahan yang ditemui dalam membuat rumus luas segitiga adalah setengah perkalian alas dengan tinggi, penggunaan rumus segitiga yang seperti ini akan menimbulkan tafsiran ganda oleh siswa, misalnya perhatikan gambar berikut: C
F
A
E
D
B
Tafsiran I:
L ∆ ABC = ½. alas. tinggi L ∆ ABC = ½ (AB + BC + AC) . (CD+AE+BF)
Tarsiran II:
L ∆ ABC = (½ . AB.CD) + (½. BC.AE) + (½. AC. BF)
Banyak tafsiran lainnya jika kita mengajarkan luas segitiga menggunakan rumus setengah perkalian antara sisi alas dengan tinggi. Sebenarnya luas segitiga yang benar adalah setengah perkalian antara sisi dengan tinggi yang saling berkorespondensi (bersesuaian). Misalnya:
Sisi AB bersesuaian dengan tinggi CD, tapi sisi AB tidak bersesuaian dengan tinggi AE dan BF
Sisi BC bersesuaian dengan tinggi AE, tapi sisi BC tidak bersesuaian dengan tinggi BF dan CD.
Sisi AC bersesuaian dengan tinggi BF, tapi sisi AC tidak bersesuaian dengan tinggi AE dan CD.
Jadi yang benar: L ∆ ABC = ½ . sisi . tinggi yang saling berkorespondensi L ∆ ABC = ½ . AB. CD = ½ . BC. AE = ½ . AC. BF
7. Pembuktian rumus luas trapesium. Kasus I: Trapesium yang terdiri dari sebuah persegi panjang dan dua buah segitiga siku-siku yang kongruen. Perhatikan gambar berikut:
b
LI L III
L II c
a
L trapesium
= Luas persegi panjang + 2 Luas segitiga
L trapesium
= L I + 2 L II ( kerena L II = L III)
L trapesium
= (a.b) + 2 (½.b.c)
c
L trapesium
= (a.b) + (b.c)
L trapesium
= (½. 2a.b) + (½.b.c) + (½.b.c)
L trapesium
= ½ .b ( 2a + c + c), karena (2a + c + c) adalah jumlah dua sisi sejajar maka
L trapesium
= ½ . b. Jumlah sisi sejajar b adalah tinggi segitiga siku-siku yang bersesuaian
Kasus II: Trapesium yang terdiri dari sebuah persegi panjang dan dua buah segitiga siku-siku yang tidak kongruen. Perhatikan gambar berikut:
b
LI L III
L II
c
a
d
L trapesium
= Luas persegi panjang + Luas segitiga II + Luas segitiga III
L trapesium
= L I + L II + L III
L trapesium
= (a.b) + (½ .b.c) + (½ .b.d)
L trapesium
= (½. 2a.b) + (½.b.c) + (½.b.d)
L trapesium
= ½ .b ( 2a + c + d), karena ( 2a + c + d) adalah jumlah dua sisi sejajar maka
L trapesium
= ½ . b. Jumlah sisi sejajar b adalah tinggi segitiga siku-siku yang bersesuaian
Kasus III: Trapesium yang terdiri dari sebuah persegi panjang dan sebuah segitiga siku-siku Perhatikan gambar berikut:
b
LI
L II
c
a
L trapesium
= Luas persegi panjang + Luas segitiga
L trapesium
= L I + L II
L trapesium
= (a.b) + (½ .b.c)
L trapesium
= (½. 2a.b) + (½.b.c)
L trapesium
= ½ .b ( 2a + c), karena ( 2a + c) adalah jumlah dua sisi sejajar maka
L trapesium
= ½ . b. Jumlah sisi sejajar b adalah tinggi segitiga siku-siku yang bersesuaian
Jadi dapat disimpulkan rumus luas trapesium adalah setengah perkalian antara jumlah sisi sejajar dengan tinggi yang berkorespondensi (bersesuaian).
8. Pembuktian rumus luas jajar genjang Jajar genjang terdiri dari sebuah persegi panjang dan dua buah segitiga siku-siku yang kongruen. Perhatikan gambar berikut: c
L II
b
LI L III
a L jajar genjang
= Luas persegi + 2 Luas segitiga
L jajar genjang
= L I + 2 L II, ( karena L II = L III)
c
L jajar genjang
= (a.b) + 2(½ .b.c)
L jajar genjang
= (a.b) + (b.c)
L jajar genjang
= ( a + c) b, karena (a+c) sisi alas maka
L jajar genjang
= (sisi alas) . b b adalah tinggi segitiga yang bersesuaian
Jadi dapat disimpulkan rumus luas jajar genjang adalah setengah perkalian antara sisi alas dengan tinggi yang berkorespondensi (bersesuaian).
9. Pembuktian rumus luas belah ketupat Belah ketupat terdiri dari empat buah segitiga siku-siku yang kongruen. Perhatikan gambar berikut:
LI
b
a
L II a
L III
b
L IV
L belah ketupat
= L I + L II + L III + L IV
L belah ketupat
= 4 L I, (karena L I = L II = L III = L IV)
L belah ketupat
= 4 (½.a.b)
L belah ketupat
= ½ (2a.2b)
L belah ketupat
= ½ (a+a)(b+b), karena (a+a) adalah diagonal, misalkan (a+a) = diagonal 1 = D1 dan (b+b) adalah diagonal juga, misalkan (b+b) = diagonal 2 = D2 maka
L belah ketupat
= ½ . D1.D2
Jadi dapat disimpulkan rumus luas belah ketupat adalah setengah perkalian antara diagonal-diagonalnya.
10. Pembuktian rumus luas layang-layang Layang-layang terdiri dari dua pasang segitiga siku-siku yang tidak kongruen. Perhatikan gambar berikut:
LI
L II
L III
L IV
L layang-layang = L I + L II + L III + L IV L layang-layang = 2 L I + 2 L III, (karena L I = L II dan L III = L IV) L layang-layang = 2 (½.a.b) + 2 (½.a.c) L layang-layang = ½ [(2.a.b) + (2.a.c)] L layang-layang = ½ [ (2a) (b+c)], karena 2a adalah diagonal, misalkan 2a = D1 dan (b+c) juga diagonal, misalkan (b+c) = D2 maka L layang-layang = ½ .D1 . D2
Jadi dapat disimpulkan rumus luas layang-layang adalah setengah perkalian antara diagonal-diagonalnya.
