ISSN 2354-6948 KONGRUENSI SEGIEMPAT (Dikaji Berdasarkan Kongruensi Segitiga) Nurul Saila Staf Pengajar Universitas Panca Marga Probolinggo
[email protected] (diterima: 21.12.2014, direvisi: 28.12.2014) Abstrak Kongruensi segiempat masih mengacu pada definisi kongruensi poligon. Segiempat dapat dibentuk dari dua segitiga dengan sebuah sisi sekutu (diagonal). Untuk menunjukkan dua segitiga kongruen, terdapat dua postulat dan satu teorema yang bisa digunakanyaitu (1) postulat sisi-sudutsisi, (2) postulat sudut-sisi-sudut dan (3) Teorema sisi-sisi-sisi. Kajian teori ini bertujuan untuk merumuskan teorema yang dapat digunakan untuk menunjukkan segiempat-segiempat kongruen. Dari kajian ini disimpulkan bahwa dua segiempat kongruen jika terdapat suatu korespondensi diantara titik-titik puncaknya sedemikian sehingga: (1) tiga sisi dan dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua. (2) dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua. (3) dua sisi yang berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dengan sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua.(4) dua sudut yang berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dan terletak pada sisi yang sama dari diagonal segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua.(5) keempat sisi dan satu diagonal segiempat pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua. Kata kunci: Kongruensi, Segitiga, Segiempat. PENDAHULUAN
b.
Kongruensi
ABCDEF
Kongruensi dinotasikan dengan “
“.Definisi
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen. PQRSTU
(1) A ↔P, B↔Q, C↔R, D↔S, E↔T, F↔U;
ruas garis-ruas garis yang kongruen adalah ruas garis-
(2) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
ruas garis yang mempunyai ukuran sama, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅;
̅̅̅̅
(3) ∠
∠
̅̅̅̅
̅̅̅̅ . Sedangkan definisi sudut-sudut
∠ ∠
yang kongruen adalah sudut-sudut yang mempunyai ukuran sama, ∠A
∠B
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠
∠
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠
∠
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠
∠ ∠
∠
Berdasarkan definisi poligon-poligon yang
u∠A = u∠B.
kongruen, maka segitiga-segitiga yang kongruen adalah dua segitiga, dimana ketiga sisi dari segitiga
Kongruensi Segitiga
pertama
Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga
kongruen
dengan
tiga
sisi
yang
sisi. Biasanya segitiga dinotasikan dengan “∆”.
berkorespondensi dari segitiga kedua dan ketiga sudut
Definisi kongruensi segitiga mengacu pada definisi
dari segitiga pertama kongruen dengan ketiga sudut
kongruensi poligon. Definisi poligon-poligon yang
yang berkorespondensi dari segitiga kedua.
kongruen adalah dua poligon dimana terdapat suatu
∆ ABC
∆ DEF
korespondensi satu-satu diantara titik-titik puncaknya
dan ∠A
∠D, ∠B
sedemikian sehingga: a.
̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠E, ∠C
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
∠F.
Terdapat dua postulat dan satu teorema untuk
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
membuktikan segitiga-segitiga kongruen, yaitu:
42
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
ISSN 2354-6948
Postulat Sisi-Sudut-Sisi:“ Dua segitiga kongruen
1.
6 7 7
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠CAR ∠CRA
8 9
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
10
∠BAR ∠BRA
11
∠BAC ∠ ∆ABC
jika terdapat suatu korespondensi diantara titiktitik puncaknya sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari segitiga pertama kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga kedua ”. 2.
Postulat
Dua
Sudut-Sisi-Sudut:“
segitiga
kongruen jika terdapat suatu korespondensi diantara
titik-titik
puncaknya
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
sedemikian
Jika dua sisi suatu segitiga kongruen maka sudut-sudut dihadapan sisi-sisi itu kongruen(teorema) Postulat penjumlahan dalam kongruensi(7, 10) Postulat sisi-sudut-sisi (9, 11, 7) Jika dua segitiga kongruen dengan segitiga yang sama maka ketiganya saling kongruen (12, 5) [Teorema]
sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari segitiga pertama
kongruen secara
bagian-bagian
yang
berurutan dengan
berkorespondensi
pada
12
segitiga kedua ”.
13
Teorema Sisi-Sisi-Sisi:“ Dua segitiga kongruen
3.
Definisi kongruensi segitiga Transitif (4, 6) Jika dua sisi suatu segitiga kongruen maka sudut-sudut dihadapan sisi-sisi itu kongruen(teorema) Diketahui Transitif (8, 2)
∆ABC DEF
jika terdapat suatu korespondensi diantara titiktitik puncaknya sedemikian sehingga tiga sisi dari Segiempat
segitiga pertama kongruen dengan sisi-sisi yang
Segiempat adalah poligon yang mempunyai
berkorespondensi pada segitiga kedua ”.
empat sisi. Berdasarkan definisi poligon, maka
Pembuktian: Diketahui: ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
definisi segiempat adalah adalah himpunan titik-titik
̅̅̅̅
dengan
Buktikan:
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅, Bukti:
ruas
garis-ruas
sedemikian
sehingga
garis jika
sebarang dua ruas garis berpotongan maka titik potongnya akan berupa
dan bukan (tidak
ada) titik yang lain.
No 1
2
3
4 5
Pernyataan Pada titik B, dibuat sudut yang konruen dengan ∠DEF (∠SBC ∠DEF) Perpanjang ⃗⃗⃗⃗⃗ ke R, sedemikian sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . ⃡⃗⃗⃗⃗ adalah garis melalui R dan C ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∆BRC ∆DEF
Alasan Pada sebuah titik dari suatu garis, ada suatu sudut yang titik sudutnya titik itu dan salah satu sisinya garis itu sedemikian sehingga sudut ini kongruen dengan sebarang sudut yang diketahui (Postulat) Sinar dapat diperpanjang menurut arahnya sejauh yang diinginkan (postulat).
P1
P2
P3
P4 Himpunan titik-titik
titik
puncak
segiempat.
disebut titikruas
garis-ruas
garis
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅, disebut sisi-sisi segiempat. Sudut-sudut ∠P1, ∠P2, ∠P3, ∠P4, disebut sudut-sudut segiempat.
Ruas
garis-ruas
garis
yang
menghubungkan titik-titik puncak yang berhadapan, Ada satu dan hanya satu garis melalui dua titik (postulat). Diketahui Postulat sisi-sudut-sisi (2, 1, 4)
disebut̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅,
disebut
diagonal-diagonal
segiempat. Segiempat diberi nama menurut nama titik-titik puncaknya yang diambil searah jarum jam atau
43
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
berlawanan dengan arah jarum jam. Jadi, segiempat
ABCD persegipanjang
diatas dapat diberi nama segiempat
dan ∠A atau ∠B atau ∠C atau ∠D merupakan sudut
atau
atau
atau
(searah jarum
jam) atau segiempat
atau
atau
siku-siku.
atau A
(berlawanan dengan arah
B
jarum jam). E Jenis-jenis Segiempat poligon
D
C Persegipanjang ABCD mempunyai sifat-sifat:
1.
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan
segiempat
jajaran genjang
persegi panjang
trapesium
belah ketupat
⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ )
trapesium samakaki
2. persegi
Gambar 1. Jenis-jenis Segiempat 3. Jajaran Genjang
Sisi-sisi
yang
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ )
berhadapan
(̅̅̅̅
kongruen
Keempat sudutnya siku-siku (u∠A = u∠C = u∠B = u∠D = 90°)
Definisi jajaran genjang adalah suatu
4.
segiempat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar.
sama
panjang
membagi dua sama panjang (̅̅̅̅
Sejajar dinotasikan dengan “ ∥ “. Jadi: ABCD Jajaran genjang
Diagonal-diagonalnya ̅̅̅̅
̅̅̅̅
dan
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ).
⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan ⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ .
A
B
Persegi Definisi persegi adalah suatu persegipanjang
E
dengan dua sisi bersisian kongruen. Jadi: ABCD persegi
D
C Jajaran genjang ABCD mempunyai sifat-sifat:
1.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan
ABCD persegi panjang dan
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
A
B
D
C
atau
⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ ) 2.
3.
Sisi-sisi
yang
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ )
kongruen
(̅̅̅̅
Sudut-sudut yang berhadapan kongruen (∠A ∠C dan ∠B
4.
berhadapan
∠D)
Diagonal-diagonalnya panjang (̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
membagi
dua
Persegi ABCD mempunyai sifat-sifat:
sama
̅̅̅̅)
1.
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan ⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ )
Persegi Panjang Definisi persegi panjang adalah suatu jajaran
2.
Keempat sisinya kongruen (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ )
genjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku. Jadi:
44
̅̅̅̅
̅̅̅̅
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015 3.
4.
ISSN 2354-6948
Keempat sudutnya siku-siku (u∠A = u∠C = u∠B
Sisi-sisi yang sejajar, ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ disebut alas
= u∠D = 90°)
trapesium. ̅̅̅̅ adalah alas atas dan ̅̅̅̅ adalah alas
Diagonal-diagonalnya sama panjang dan
bawah. Sedangkan sisi-sisi yang tidak sejajar, ̅̅̅̅ dan
membagi dua sama panjang (̅̅̅̅
̅̅̅̅ disebut kaki-kaki trapesium. Sudut-sudut ∠D dan
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ).
∠C disebut sudut-sudut alas bawah, sedangkan sudutsudut ∠A dan ∠B disebut sudut-sudut alas atas.
Belah Ketupat Definisi belah ketupat adalah suatu jajaran
Trapesium Samakaki
genjang dengan dua sisi bersisian kongruen. Jadi:
Definisi trapesium samakaki adalah suatu
ABCD belah ketupat
ABCD jajaran genjang dan
trapesium dimana sisi-sisinya yang tidak sejajar
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
kongruen. Jadi:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ atau
ABCD trapesium samakaki
ABCD trapesium dan
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
A E
B
A
B
D
C
D
Belah ketupat ABCD mempunyai sifat-sifat: 1.
Trapesium samakaki ABCD mempunyai sifat-sifat:
Sisi-sisi yang berhadapan sejajar (⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan ⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ )
2.
Keempat sisinya kongruen (̅̅̅̅
̅̅̅̅
Mempunyai sepasang sisi sejajar (⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ ).
2.
Sepasang sisi yang tidak sejajar kongruen (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ).
3.
Sudut-sudut yang berhadapan kongruen (∠A ∠C , ∠B
4.
1.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ) 3.
Sudut-sudut
alas
kongruen (∠D
bawah
dan
alas
atasnya
∠C, ∠A ∠B).
∠D)
Diagonal-diagonalnya berpotongan tegaklurus
Kongruensi Segiempat
dan membagi dua sama panjang (̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
C
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Segiempat dinotasikan dengan “□”. Segiempat
̅̅̅̅ ).
adalah poligon yang mempunyai empat sisi. Sehingga kongruensi segiempat mengacu pada kongruensi
Trapesium
poligon. Definisi poligon-poligon yang kongruen
Definisi trapesium adalah suatu segiempat yang
adalah
dua
poligon
dimana
terdapat
suatu
mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar.
korespondensi satu-satu diantara titik-titik puncaknya
Jadi:
sedemikian sehingga:
ABCD trapesium
⃡⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃡⃗⃗⃗⃗ dan ⃡⃗⃗⃗⃗ A
⃡⃗⃗⃗⃗ .
B
a.
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
b.
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen.
Sehingga segiempat-segiempat yang kongruen adalah dua segiempat dimana terdapat suatu korespondensi D
satu-satu diantara titik-titik puncaknya sedemikian
C
sehingga:
45
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
a.
Semua sisi yang berkorespondensi kongruen, dan
Yaitu □ABCD
b.
Semua sudut yang berkorespondensi kongruen.
Jadi
dengan
□PQRS. menunjukkan
dua
segitiga
yang
membentuk segiempat yang pertama masing-masing Maka,
kongruen dengan dua segitiga yang membentuk □ ABCD ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠A
̅̅̅̅
□ PQRS ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠P, ∠B
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
segiempat kedua maka kedua segiempat kongruen.
̅̅̅̅ dan
∠Q, ∠C
∠R, ∠D
PEMBAHASAN
∠S.
Kongruensi Segiempat Berdasarkan Postulat Sisi-
Suatu Segiempat dapat dibentuk dari dua
Sudut-Sisi.
segitiga dengan sebuah sisi sekutu. A
B Postulat Sisi-Sudut-Sisi: “
Dua
segitiga
korespondensi
kongruen diantara
jika
terdapat
titik-titik
suatu
puncaknya
sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari
D C □ ABCD dibentuk oleh ∆ABD dan ∆BCD dengan sisi
segitiga pertama kongruen secara berurutan dengan
sekutu ̅̅̅̅ .
bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga
P
kedua ”.
Q
Jadi, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
atau S
̅̅̅̅
R
atau □ PQRS dibentuk oleh ∆PQS dan ∆QRS dengan sisi
̅̅̅̅
.
sekutu ̅̅̅̅. Jika ∆ ABD
∆PQS, berdasarkan definisi segitiga-
Kajian 1
segitiga yang kongruen, maka : 1.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2.
∠
∠
Jika ∆BCD
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠
∠
̅̅̅̅, dan ∠
∠
.
∆QRS, berdasarkan definisi segitiga-
segitiga yang kongruen, maka: 1.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2.
∠
∠
∠
Karena ∠ ∠B
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠ ∠
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD ̅̅̅̅, dan
dapat dibentuk dari ∆ABC dan ∆ACD, dan □PQRS
∠
∠
dan ∠
∠
maka
∠
maka
.
dapat dibentuk dari ∆PQR dan ∆PRS. Pada ∆ABC dan ∆PQR, jika ̅̅̅̅
∠Q (postulat penjumlahan sudut).
Karena ∠ ∠D
∠
∠
∆PQR. Sehingga ̅̅̅̅ ∠C
∆PQS dan ∆BCD
∆QRS
̅̅̅̅
∠R maka ∠ACD
∆PRS. Sehingga □ABCD
1.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2.
∠
∠ , ∠B
∠Q, ∠C ∠R, ∠D
̅̅̅̅
∠
∠
Jika
∠PRS. Dan jika ̅̅̅̅
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi, ∆ACD
maka: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
∠
maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi, ∆ABC
∠Q (postulat penjumlahan sudut).
Sehingga jika ∆ ABD
̅̅̅̅ ∠
̅̅̅̅ dan
Pembuktian:
∠S.
46
□PQRS.
̅̅̅̅
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
ISSN 2354-6948 ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ dan ∠C adalah sudut yang diapit oleh
sisi-sisi ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ . Sedangkan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ∠Q dan
∠R adalah bagian-bagian dari □ PQRS yang berkorespondensi satu-satu secara berurutan dengan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠B dan ∠C dari □ ABCD. Jadi:
□ABCD dan □PQRS, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Diketahui:
korespondensi
5.
∠CAB
6.
̅̅̅̅
7.
8. 9.
∠RPQ
̅̅̅̅
∠
∠
∠C ∠R ∠ACD ∠PRS
10. 11.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∆ACD ∆PRS
12.
∠CAD
13.
∠A
∠P
14.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
15.
∠D
∠S
16.
□ABCD □PQRS (TERBUKTI)
∠RPS
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ∠B
adalah sudut
diantara
titik-titik
sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama
kongruen secara
bagian-bagian
ALASAN Diketahui Diketahui Diketahui Postulat sisisudutsisi(1,2,3) Definisi kongruensi ∆ (4) Definisi kongruensi ∆ (4) Definisi kongruensi ∆ (4) Diketahui Postulat pengurangan sudut(7,6) Diketahui Postulat sisisudutsisi(5,8,9) Definisi kongruensi ∆ (11) Postulat penjumlahan sudut (5, 12) Definisi kongruensi ∆ (11) Definisi kongruensi ∆ (11) Definisi kongruensi □ (1,3,10,14; 2,8,13,15)
yang
berurutan dengan
berkorespondensi
dari
segiempat kedua.
Kajian 2
Pada □ABCD dan □PQRS di atas, □ABCD dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan ∆PQS, jika ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ dan ∠ABD
∠PQS dan
̅̅̅̅ maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD
∆PQR. Dan jika ̅̅̅̅
̅̅̅̅ dan ∠DBC
∠SQR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi ∆DBC
∆SQR. Akibatnya: □ABCD
□PQRS.
Pembuktian:
Diketahui: □ABCD dan □PQRS, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠DBC ∠SQR ∠ABD ∠PQS Buktikan: □ABCD □PQRS Bukti: PERNYATAAN ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 1. 2. ∠ABD ∠PQS
̅̅̅̅ adalah tiga sisi dari □ ABCD. yang
satu-satu
puncaknya sedemikian sehingga tiga sisi dan dua
∠B ∠Q ∠C ∠R □ABCD □PQRS
Buktikan: Bukti: PERNYATAAN ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 1. 2. ∠B ∠Q ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3. 4. ∆ABC ∆PQR
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu
diapit oleh sisi- sisi
47
ALASAN Diketahui Diketahui
Kongruensi Segiempat… 3. 4. 5.
6.
7.
8. 9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.
Saila, N.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∆ABD ∆PQS
berurutan
Diketahui Postulat sisisudut-sisi(1,2,3) Definisi ∠A ∠P kongruensi segitiga(4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Definisi kongruensi segitiga(4) Definisi ∠ADB ∠PSQ kongruensi segitiga(4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Diketahui Diketahui ∠DBC ∠SQR Postulat sisi∆DBC ∆SQR sudut-sisi(3,9,8) Definisi ∠BDC ∠QSR kongruensi segitiga(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Definisi kongruensi segitiga(10) Definisi ∠C ∠R kongruensi segitiga(10) Postulat ∠B ∠Q penjumlahan sudut(2,9) Postulat ∠D ∠S penjumlahan sudut(7,11) Definisi □ABCD □PQRS kongruensi □ (TERBUKTI) (1,6,8,12; 5,13,14,15) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ adalah dua sisi yang terletak
Pada □ABCD dan □PQRS di atas, □ABCD dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan ∆PQS, jika ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∆DBC
∆PQR. Dan jika ̅̅̅̅
∆SQR. Akibatnya: □ABCD
∠DBC ∠SQR ∠ABD ∠PQS Buktikan: □ABCD □PQRS Bukti: PERNYATAAN ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 1. 2. ∠ABD ∠PQS ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3. 4. ∆ABD ∆PQS
̅̅̅̅ . ∠DBC
berkorespondensi secara berurutan dengan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ∠DBC dan ∠ABD dari □ ABCD. Jadi: Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu titik-titik
5.
∠A
∠P
6.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
7.
∠ADB
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu
dari
segiempatpertama
kongruen
̅̅̅̅ dan ∠DBC □PQRS.
Pembuktian: Diketahui: □ABCD dan □PQRS, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∠PQS adalah bagian-bagian dari □PQRS yang
diantara
∠PQS dan
∠SQR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi
dan diagonal ̅̅̅̅ . Sedangkan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠SQR dan
satu-satu
̅̅̅̅ dan ∠ABD
̅̅̅̅ maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD
̅̅̅̅ , dan ∠ABD adalah sudut yang diapit oleh sisi ̅̅̅̅
korespondensi
yang
Kajian 2
adalah sudut yang diapit oleh sisi ̅̅̅̅ dan diagonal
bagian-bagian
berkorespondensi dari segiempat kedua.
bersisian dari □ ABCD. ̅̅̅̅ adalah diagonal □ ABCD yang ditarik dari titik potong sisi ̅̅̅̅
dengan
secara
48
∠PSQ
ALASAN Diketahui Diketahui Diketahui Postulat sisisudutsisi(1,2,3) Definisi kongruensi segitiga(4) Definisi kongruensi segitiga(4) Definisi kongruensi segitiga(4)
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015 8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ISSN 2354-6948 Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠DBC ∠SQR ∆DBC ∆SQR
Diketahui Diketahui Postulat sisisudutsisi(3,9,8) Definisi ∠BDC ∠QSR kongruensi segitiga(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Definisi kongruensi segitiga(10) Definisi ∠C ∠R kongruensi segitiga(10) Postulat ∠B ∠Q penjumlahan sudut(2,9) Postulat ∠D ∠S penjumlahan sudut(7,11) Definisi □ABCD □PQRS kongruensi □ (TERBUKTI) (1,6,8,12; 5,13,14,15) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ adalah dua sisi yang terletak
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD dan ∆PQS jika ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
∆PQR. Dan jika ̅̅̅̅
∆DBC
∆QSR. Akibatnya: □ABCD
Pembuktian: Diketahui:
□ABCD dan □PQRS ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan: Bukti: PERNYATAAN 1. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (ss) 2. ∠ABD ∠PQS 3. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 4. ∆ABD ∆PQR
̅̅̅̅ . ∠DBC
dan diagonal ̅̅̅̅ . Sedangkan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠SQR dan ∠PQS adalah bagian-bagian dari □PQRS yang berkorespondensi secara berurutan dengan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ,
5.
∠A ∠P (sd)
̅̅̅̅ , ∠DBC dan ∠ABD dari □ ABCD. Jadi:
6.
̅̅̅̅
7.
∠ADB
8. 9.
∠BDC ∠QSR ∠D ∠S (sd)
10. 11.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (ss) ∆DBC ∆QSR
12.
∠CBD
13.
∠B
∠Q (sd)
14.
∠C
∠R (sd)
15.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ (ss)
16.
□ABCD □PQRS (TERBUKTI)
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong kedua sisi itu, dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen secara berurutan
dengan
bagian-bagian
□PQRS.
∠ABD ∠PQS ∠BDC ∠QSR □ ABCD □ PQRS
̅̅̅̅ , dan ∠ABD adalah sudut yang diapit oleh sisi ̅̅̅̅
korespondensi
̅̅̅̅ dan ∠BDC
∠QSR maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi
adalah sudut yang diapit oleh sisi ̅̅̅̅ dan diagonal
∠PQS dan
̅̅̅̅ maka berdasarkan postulat sisi-sudut-sisi,
∆ABD
bersisian dari □ ABCD. ̅̅̅̅ adalah diagonal □ ABCD yang ditarik dari titik potong sisi ̅̅̅̅
̅̅̅̅ dan ∠ABD
̅̅̅̅ (ss) ∠PSQ
yang
berkorespondensi dari segiempat kedua.
∠RQS
Kajian 3
49
ALASAN Diketahui Diketahui Diketahui Postulat sisi-sudutsisi(1,2,3) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4) Diketahui Postulat penjumlahan sudut(7,8) Diketahui Postulat sisi-sudutsisi(3, 8, 10) Definisi kongruensi ∆(11) Postulat penjumlahan sudut (2,12) Definisi kongruensi ∆(11) Definisi kongruensi ∆(11) Definisi kongruensi □
Kongruensi Segiempat…
Saila, N. Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD
(1,6,10,15; 5,9,13,14)
dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD
̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ adalah dua sisi yang berhadapan
∠PQS, ̅̅̅̅
dan ∆PQS jika ∠ABD
̅̅̅̅ adalah salah satu diagonal □
pada □ ABCD.
̅̅̅̅ dan ∠ADB
∠PSQ maka berdasarkan postulat sudut-sisi-sudut,
ABCD. Dan ∠ABD dan ∠DBC adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal ̅̅̅̅ dengan ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ .
∆ABD
∆PQS. Dan jika ∠B
Sedangkan ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ∠PQS dan ∠SQR adalah
maka ∠ DBC
bagian-bagian dari □PQRS yang secara berurutan
∆ BDC
∠Q dan ∠D
∠SQR dan ∠BDC
∆ QSR. Jadi □ABCD
∠S,
∠QSR. Sehingga □PQRS.
kongruen dengan ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ∠ABD dan ∠DBC. Jadi:
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu korespondensi
satu-satu
diantara
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sisi yang Pembuktian: Diketahui: □ABCD dan □PQRS
berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dengan sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
∠ABD
∠PQS
∠ADB
∠PSQ
segiempat kedua.
Kongruensi
Segiempat
Berdasarkan
Postulat
Sudut-Sisi-Sudut
∠B
∠Q
∠D
∠S
∠̅̅̅̅
̅̅̅̅
Postulat Sudut-Sisi-Sudut: “
Dua
segitiga
korespondensi
kongruen diantara
jika
terdapat
titik-titik
Buktikan:
suatu
puncaknya
segitiga pertama kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga kedua ”. Jadi, ∠P,
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
1. 2. 3. 4.
PERNYATAAN ∠ABD ∠PQS ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∠ADB ∠PSQ ∆ABD ∆PQS
5.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ (ss)
,
6.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ (ss)
7.
∠A ∠P(sd)
8. 9.
∠B ∠Q (sd) ∠DBC ∠SQR
10. 11.
∠D ∠S(sd) ∠BDC ∠QSR
12.
∆ BDC
13.
̅̅̅̅
atau ∠
∠
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
,
atau ∠A ∠P, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∠
∠
□PQRS
Bukti:
sedemikian sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari
∠A
□ABCD
.
50
∆ QSR
̅̅̅̅ (ss)
ALASAN Diketahui Diketahui Diketahui Postulat sudutsisi-sudut(1,2,3) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4) Diketahui Postulat pengurangan sudut(8,1) Diketahui Postulat pengurangan sudut(10,3) Postulat sudutsisi-sudut(9,2,11) Definisi
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
14.
̅̅̅̅
15.
∠C ∠R(sd)
16.
□ABCD
ISSN 2354-6948
kongruensi ∆(12) Definisi kongruensi ∆(12) Definisi kongruensi ∆(12) Definisi kongruensi □ (5,6,13,14; 7,8,10,15)
̅̅̅̅(ss)
□PQRS
Pada □ABCD dan □PQRS di atas,□ABCD dapat dibentuk dari ∆ABD dan ∆DBC, dan □PQRS dapat dibentuk dari ∆PQS dan ∆SQR. Pada ∆ABD
B dan ∠D adalah sudut-sudut yang berhadapan pada □ ABCD.
̅̅̅̅ adalah diagonal □ ABCD yang
dan ∆PQS jika
̅̅̅̅ ̅̅̅̅, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
ditarik dari titik-titik sudut ∠B dan ∠D . Dan ∠ABD
maka berdasarkan teorema sisi-sisi-sisi, ∆ABD
dan ∠ADB adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh
∆PQS. Dan jika
̅̅̅̅ dengan sisi-sisi □ ABCD dan terletak
diagonal
pada sisi yang sama dari diagonal ∠Q , ∠S,
̅̅̅̅
̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅
berdasarkan teorema sisi-sisi-sisi, ∆ BDC Jadi □ABCD
̅̅̅̅. Sedangkan
̅̅̅̅, maka ∆ QSR.
□PQRS.
̅̅̅̅ , ∠PQS dan ∠PSQ adalah bagian-bagian
dari □PQRS yang secara berurutan kongruen ∠B, ∠D,
̅̅̅̅, ∠ABD dan ∠ADB. Jadi,
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu korespondensi
satu-satu
diantara
Pembuktian: Diketahui: □ABCD dan □PQRS
titik-titik
puncaknya sedemikian sehingga dua sudut yang berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dan terletak pada sisi yang sama dari diagonal segiempat pertama kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua. Kongruensi Segiempat Berdasarkan Teorema Sisi-
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
∠B
∠Q
∠C
∠R
Sisi-Sisi Teorema Sisi-Sisi-Sisi: “Dua
segitiga
kongruen
suatukorespondensi diantara
jika
terdapat
Buktikan:
titik-titik puncaknya
□ABCD □PQRS
sedemikian sehingga tiga sisi dari segitiga pertama Bukti: PERNYATAAN 1. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (ss) 2. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
kongruen dengan sisi-sisi yang berkorespondensi pada segitiga kedua ”. Jadi, jika pada ∆ ABC dan ∆ DEF berlaku:
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
51
3. 4.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅(ss)
5.
∠A ∠P(sd)
6.
∠ABD
∠PQS
7.
∠ADB
∠PSQ
∆ABD
∆PQS
ALASAN Diketahui Diketahui Diketahui Teorema sisi-sisisisi(1, 2, 3) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4) Definisi kongruensi ∆(4)
Kongruensi Segiempat…
Saila, N.
8. 9.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (ss) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅(ss)
Diketahui Diketahui
kongruen secara berurutan dengan bagian-bagian
10.
∆ BDC
kedua.(postulat sisi-sudut-sisi)
11.
∠C ∠R(sd)
12.
∠CBD
∠RQS
13.
∠CDB
∠RSQ
14.
∠B
∠Q(sd)
15.
∠D
∠S(sd)
16.
□ABCD
Teorema sisi-sisisisi(8,9,2) Definisi kongruensi ∆(10) Definisi kongruensi ∆(10) Definisi kongruensi ∆(10) Postulat penjumlahan sudut (6, 12) Postulat penjumlahan sudut (7, 13) Definisi kongruensi □(1, 3, 8, 9; 5, 11, 14, 15)
∆ QSR
□PQRS
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
yang
3.
secara berurutan dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari segiempat kedua.(postulat sisi-sudut-sisi) 4.
terletak pada sisi yang sama dari diagonal
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
segiempat kedua.(postulat sudut-sisi-sudut)
̅̅̅̅
5.
diantara
bagian-bagian
lebih lanjut tentang kongruensi bentuk-bentuk poligon
yang
yang lain atau kongruensi poligon secara lebih spesifik.
DAFTAR PUSTAKA
Kesimpulan
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Erlangga.
Berdasarkan konsep kongruensi segitiga, maka
korespondensi
kongruen diantara
jika
terdapat
titik-titik
suatu
puncaknya
Afrizal. 2010. Segitiga-Segitiga yang Sebangun. diunduh melaluihttp://afrizalmr.wordpress.com/category /kesebangunan-segitiga/ pada tanggal 5 Maret 2013.
sedemikian sehingga: 1.
tiga sisi dan dua sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu dari
segiempat
berurutan
pertama
dengan
kongruen
secara
bagian-bagian
yang
Asimtot. 2010. Segitiga Kongruen dan Sebangun. diunduh melaluihttp://asimtot.wordpress.com/2010/06/0 1/segitiga-kongruen-dan-sebangun/ pada tanggal 5 Maret 2013.
berkorespondensi dari segiempat kedua. (postulat sisi-sudut-sisi) 2.
diagonal
berharap ada yang tertarik untuk melakukan kajian
KESIMPULAN DAN SARAN
segiempat
satu
Berdasarkan hasil kajian ini, maka penulis
berkorespondensi dari segiempat kedua.
dua
dan
Saran
titik-titik
satu diagonal segiempat pertama kongruen secara dengan
sisi
segiempat kedua.(teorema sisi-sisi-sisi)
puncaknya sedemikian sehingga keempat sisi dan
berurutan
keempat
dengan bagian-bagian yang berkorespondensi dari
dengan
Dua segiempat kongruen jika terdapat suatu satu-satu
sehingga
segiempat pertama kongruen secara berurutan
̅̅̅̅ . Jadi,
korespondensi
dua sudut yang berhadapan dan diagonal serta sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dan
keempat
kongruen
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
dua sisi yang berhadapan dan diagonal serta
sisi-sisi itu dari segiempat pertama kongruen
adalah bagian-bagian dari □PQRS yang secara berurutan
segiempat
segiempat pertama kongruen secara berurutan
̅̅̅̅
Sedangkan
dari
sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal dengan
sisi dari □ ABCD. ̅̅̅̅ adalah salah satu diagonal □ ABCD.
berkorespondensi
dua sisi yang bersisian dan diagonal yg ditarik dari titik potong kedua sisi itu, dua sudut yang
Lewis,
diapit oleh sisi-sisi itu dari segiempat pertama
52
H. 1968. Geometry A Contemporary course.New York: Van Nostrand Co.
PEDAGOGY Vol. 02 No. 01 Tahun 2015
ISSN 2354-6948
Max Peter & William L.S. 1972. Fundamental Geometry A Simplified Approach. New York: Litton Educational Publishing Inc. Moiss,
EE & Floyd, Geometry.California: Publishing Co.
LD Jr. 1975. Addison Wesley
Raharja, Basuki. 2010. Kesebangunan Segitiga. diunduh melaluihttp://basukiraharja.wordpress.com/201 0/09/04/kesebangunan-segitiga/ pada tanggal 5 Maret 2013. Tustanto, Wihdiasari, D dan Doh, Juliana JM. 2014. Makalah Kongruensi dan Kesebangunan Segiempat. Diunduh melalui http://en.calameo.com/read/0033257636334e85 9f426 pada tanggal 3 April 2014. Widya, Fia. 2014. Makalah Kesebangunan Segitiga dan kongruensi Segitiga.diunduh melalui http://litfiakesebangunan-kongruensisegi3.blogspot.com/2014/03/makalah-kesebangunansegitiga-dan.html pada tanggal 3 April 2014.
53
