Fuat. Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga)

Fuat

Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga)

2014 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI PASURUAN

menurut struktur logis (yang disebut sistem aksioma). Sedangkan dalam sistem aksioma tersebut, yang terpenting adalah suatu urutan pernyataan logis dari sebelumnya dan mengarah dari pernyataan yang diketahui benar ke pernyataan yang harus dibuktikan. Itulah yang menjadikan tujuan utama dalam pembelajaran geometri, yaitu membangun kemampuan membuktikan. Kemampuan membuktikan sendiri terdiri dari dua hal, yaitu dapat mengkonstruksi bukti dan dapat memvalidasi bukti. Mengkonstruksi bukti meliputi kemampuan dalam menggunakan metode pembuktian dan sistem aksioma serta model bukti yang digunakan untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan (biasanya adalah suatu teorema). Sedangkan memvalidasi bukti merupakan kemampuan untuk mengkritisi bukti yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering muncul. Hal itu selaras dengan kurikulum di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan. Tetapi sangatlah sulit untuk memenuhi tujuan tersebut, ketambahan lagi di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan menggolongkan Geometri tersebut dalam MKK Wajib dimana terdistribusi di semester I. Karena kondisi di sekolah hampir bertentangan pembelajarannya dengan tujuan dari Geometri tersebut. Kesulitan juga akan semakin lengkap jika dilihat dari langkanya buku-buku Geometri yang beredar di Indonesia, apalagi buku Geometri yang sesuai dengan tujuan tersebut (yaitu membangun kemampuan membuktikan) hampir tidak pernah dijumpai di Indonesia, sehingga bahan referensi mahasiswa juga sulit untuk dicari.

KATA PENGANTAR

Geometri dibangun menurut penalaran deduktif, dan tersusun

Berdasar hal tersebut itulah penyusun berusaha untuk menyajikan buku ini sesuai dengan tujuan utama dari Geometri, yaitu membangun kemampuan membuktikan. Untuk itulah buku ini disebut buku GMKM (Geometri yang Membangun Kemampuan Membuktikan). Dimana buku ini adalah hasil dari tesis yang sedang dilakukan oleh penyusun. Yang masih terbatas pada materi kongruensi segitiga. Pada buku ajar GMKM ini tersaji beberapa gambar dengan tujuan agar dapat mencuri perhatian pembaca sekalian. Begitu banyaknya gambar yang disajikan pada buku ini sehingga tidak penyusun tulis sumber satu persatu dari gambar itu, dengan maksud hanya untuk memenuhi unsur keindahan dari sajian buku saja. Banyak gambar penyusun dapatkan dengan menggunakan mesin pencari Google, mulai dari cover buku ajar ini sampai dengan isinya kami susun sedemikian rupa, sedangkan aplikasi penyusun dalam membuat buku ajar ini hanya dengan menggunakan Microsoft Word. Dapat penyusun uraikan sumber selain dari Google dan Ms. Word adalah dari berbagai sumber yang telah disebutkan penyusun dalam daftar pustaka buku ajar ini. Penyusun berterima kasih sebesar-besarnya kepada Prof. Toto Nusantara, M.Si. dan Dr. I Nengah Parta, M.Si yang telah membantu penyusun selama proses penyusunan buku ajar GMKM ini. Serta Dr. Hery Susanto, M.Pd. yang telah memvalidasi buku ajar GMKM ini. Dengan segala keterbatasannya, penyusun tetap berharap buku ajar GMKM ini dapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar GMKM ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan diskusi, sehingga lebih melengkapi modul ini berikutnya. Kritik dan saran dapat disampaikan ke [email protected]

Penyusun,

i

Daftar Isi .................................................................................................

iii

Tata Cara Penggunaan Buku Ajar GMKM ..............................................

iv

Daftar Simbol ..........................................................................................

viii

Kompetensi ............................................................................................

ix

1. Definisi dan Sifat Kongruensi Segitiga ........................................

2

2. Kekongruenan Segitiga ...............................................................

10

3. Teorema Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi ..................

20

4. Jarak, Proyeksi, Bisektor Tegaklurus, dan Ketunggalan .............

26

5. Hubungan antar Sudut pada Segitiga ........................................

35

6. Ketidaksamaan pada Segitiga ....................................................

42

Daftar Soal Pendalaman dan Pengayaan ...............................................

48

Daftar Pustaka ........................................................................................

55

Glosarium ...............................................................................................

57

Indeks .....................................................................................................

59

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .......................................................................................

TATA CARA PENGGUNAAN

Buku ajar GMKM ini dapat membangun kemampuan membuktikan maka pembaca harus mengikuti tugas-tugas yang terdapat pada buku ini, yaitu 1.

mengkonstruk definisi berdasar informasi yang telah diberikan,

2.

memahami aksioma,

3.

memvalidasi bukti (terkait tentang keruntutan bukti sesuai dengan prinsip logika, keefektifan bukti, kebenaran pernyataan dan alasan bukti, serta membuat atau melengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti atau menulis bukti), dan

4.

mengkonstruk bukti.

Hal tersebut terlihat dalam bagian-bagian dari buku ajar GMKM ini adalah sebagai berikut:

Awal bab, berisi keterkaitan materi bab dalam kehidupan nyata

Tugas mahasiswa dalam membangun kemampuan membuktikan

Memahami aksioma

Informasi atau penjelasan lebih lanjut

Mengembangkan kerangka bukti

Menulis bukti, dengan model bukti paragraf. Selain itu ada model bukti dua kolom dan bukti alir

Melukis obyek geometri menggunakan penggaris dan jangka (RisKa)

Latihan Bab, terdapat di akhir Bab

Penutup dari buku ini, daftar soal pendalaman dan pengayaan

DAFTAR SIMBOL

⃖ ⃗

∙

Titik A

⃗

Garis AB

∠

.∠

Tegak lurus

≅

Segitiga ABC

→

Kongruen

Jika …, maka…

>

…jika dan hanya jika…

Lebih dari atau sama dengan

∆

Bisektor Segmen AB

↔

≥

Ukuran sudut A

.

Bisektor Sudut A

⏊

∠

Sudut A

Ukuran Segmen AB

Segmen AB

Sinar AB

<

Lebih dari

≤

Kurang dari atau sama dengan

Kurang dari

=

Sama dengan

≠

Tidak sama dengan

Kompetensi

Kongruensi Segitiga Standar Kompetensi: Memahami konsep-konsep geometri serta dapat mengkonstruk dan memvalidasi bukti terkait konsep-konsep geometri tersebut. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti bab ini mahasiswa dapat mengkonstruk dan memvalidasi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga. Indikator: Setelah diberikan pembelajaran mengenai kongruensi segitiga, mahasiswa dapat:

1.

Mengkonstruksi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga.

2.

Memvalidasi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga.

Buku Ajar GMKM_

1

Definisi & Sifat Kongruensi Segitiga

Apa ini??? Masjid Faisal terletak di sebelah paling utara Islamabad, ibukota Pakistan. Namanya diambil dari nama pendirinya, Raja Faisal Bin Abdul Aziz dan ditetapkan sebagai Masjid Nasional Pakistan. Tidak seperti masjid di Asia pada umumnya, Masjid Faisal tidak memiliki kubah maupun arca. Bentuknya yang tidak biasa, terinspirasi dari tenda yang didirikan salah satu suku Arab, Bedouin. Terdapat empat pintu masuk dengan bentuk segitiga besar yang keempatnya kongruen.

Pada definisi korespondensi satu-satu dua poligon di bab sebelumnya, setiap dua poligon dapat dikaitkan atau dipasangkan satu-satu secara berurutan diantara sudut-sudut dan sisi-sisi dari dua poligon tersebut. Apabila ditinjau dengan kongruensi segmen dan kongruensi sudut pada masing-masing sudut dan sisi yang telah dikorespondensikan tersebut, maka anda dapat mempelajari tentang definisi kongruensi segitiga.

Bentuk segitiga disini berbeda dengan jenis segitiga, berikut jenisnya sama tapi bentuknya berbeda

Perhatikan beberapa bentuk bangun di atas. Kemudian korespondensikan satu-satu ∆

dengan segitiga yang lain pada gambar

tersebut, dan kemudian cari kekongruenan dari masing-masing korespondingnya. Jika ∆

dikorespondensikan satu-satu dengan ∆

, maka ada

tiga kemungkinan korespondensi sudutnya dan sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut dan sisinya diuraikan sebagai berikut: Kemungkinan korespondensi sudut ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠

2 _Buku Ajar GMKM

Kemungkinan korespondensi sisi ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔

Jika masing-masing kemungkinan koresponding tersebut kita gunakan definisi kongruensi sudut dan kongruensi segmen, maka dari semua kemungkinan koresponding tersebut baik korespondensi sudut dan sisinya, ada beberapa yang tidak kongruen. Apabila yang dikorespondensikan satu-satu adalah ∆

dan ∆

, maka ada tiga kemungkinan korespondensi sudutnya dan

sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut dan sisinya diuraikan sebagai berikut: Kemungkinan korespondensi sudut ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠

Kemungkinan korespondensi sisi ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔

Dari ketiga kemungkinan korespondensi sudut tersebut hanya koresponding ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ yang semuanya kongruen. Sedangkan

semua kemungkinan koresponding sisi tersebut tidak ada yang kongruen. Dan jika pada ∆

dan ∆

dikorespondensikan satu-satu, maka juga ada tiga

kemungkinan korespondensi pada masing-masing sudut dan sisinya. Dari semua kemungkinan koresponding sudut dan sisinya, menurut anda bagaimana kongruensi pada masing-masing korespondingnya tersebut? Kondisi yang seperti inilah yang disebut kongruensi segitiga.

Konstruk Definisi Kongruensi Segitiga berdasar informasi di samping!

Berdasarkan uraian terakhir tentang definisi kongruensi segitiga tersebut, terdapat hubungan antara korespondensi segmen garis dan korespondensi sudut. Pada korespondensi segmen garis dan korespondensi sudut, terdapat sifat-sifat pada masing-masing korespondensi tersebut. Sifat tersebut antara lain refleksif, simetri dan transitif. Untuk itu pembahasan berikut akan membahas ketiga sifat tersebut berlaku pada kongruensi segitiga atau tidak. Yaitu sebagai berikut: Teorema 5.1.1 (Teorema Refleksif Segitiga): Setiap segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri [8]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis

: segitiga dengan segitiga itu sendiri

Konklusi

: segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri Buku Ajar GMKM_

3

Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri

Ditunjukkan semua sisi dan sudut segitiga tersebut reflektif

Hal ini benar dengan menggunakan teorema refleksif segmen garis dan sudut

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

:∆

Definisi segitiga

Teorema ∠ ≅ ∠ Refleksif Sudut

≅∆

Poligon yang mempunyai 3 sisi

Teorema ∠ ≅∠ Refleksif Sudut Definisi Kongruensi ∆ Segitiga

Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti dua kolom!

Teorema Refleksif Segmen

≅

Definisi segitiga


≅∆ ≅

Poligon yang mempunyai 3 sisi

Diketahui

∆

Teorema ∠ ≅∠ Refleksif Sudut (Terbukti)


∆

≅

Diketahui

Teorema 5.1.2 (Teorema Simetri Segitiga): Jika segitiga pertama kongruen dengan segitiga kedua, maka segitiga kedua kongruen dengan segitiga pertama. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi 4 _Buku Ajar GMKM

Hipotesis

: segitiga pertama kongruen segitiga kedua

Konklusi

: segitiga kedua kongruen segitiga pertama

Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kedua kongruen segitiga pertama

Ditunjukkan semua sisi segitiga kedua dan segitiga pertama serta sudutnya simetri

Hal ini benar dengan menggunakan, definisi kongruensi segitiga, teorema simetri segmen garis dan sudut

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

No

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

∆ ∆

∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆

:∆

≅

≅∆

≅∆ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∆

≅∆

≅∆

Pernyataan

Alasan

Diketahui Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segitiga Teorema refleksif segmen garis Teorema transitif segmen, no 2 & 4 Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga (Terbukti)

Validasi bukti di samping, dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan dan alasan yang disajikan & Tulis kembali dengan model bukti paragraf!

Teorema 5.1.3 (Teorema Transitif Segitiga): Jika segitiga pertama kongruen segitiga kedua dan segitiga kedua kongruen dengan segitiga ketiga, maka segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga.

Buku Ajar GMKM_

5

Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis

: segitiga pertama kongruen segitiga kedua dan segitiga kedua kongruen segitiga ketiga

Konklusi

: segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga

Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga pertama kongruen segitiga ketiga

Ditunjukkan semua sisi dan sudutnya transitif

Hal ini benar dengan menggunakan teorema transitif segmen garis dan sudut

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti model paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui TRANSITIF

Buktikan

:∆

Bukti

:

:∆

Diketahui ∆ didapat

, dengan menggunakan definisi kongruensi segitiga ≅

,

, ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ .

≅

≅∆

segitiga. Perhatikan

≅

≅

≅

6 _Buku Ajar GMKM

,

≅∆

Selain itu diketahui juga bahwa ∆ ,∠

Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti alir!

≅∆

≅∆

≅

dan ∆

≅∆

dan ∠

,

≅

,

≅

,

≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ dikarenakan definisi kongruensi dan ,

≅

≅

≅

dan

,

dan

≅

≅

≅

, serta

, maka dengan teorema transitif segmen garis diperoleh

, dan

≅

. Sedangkan jika dari pernyataan ∠ ≅ ∠

≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠ , serta ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠

menggunakan teorema transitif sudut, maka ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ . Telah didapat bahwa

≅

,

≅

,

≅

,∠ ≅ ∠ ,∠ ≅ ∠ ,

dan ∠ ≅ ∠ , hal ini memenuhi definisi kongruensi segitiga, maka dapat diperoleh bahwa ∆

≅∆

. (Terbukti).

1.

Susunan bola biliar membentuk segitiga seperti terlihat pada gambar di samping, dengan ∆ jika

≅∆

= 2 + 7 serta

=

Penyelesaian: ∆

≅∆

∆

∆

≅∆

∆

≅∆

∆

≅∆

,∆

≅∆

∆

∆

≅

=

=

2 +7=

=

+5

=

+5

. Dan

D

E

.

C B

F A

≅∆

≅∆

≅

2 +7=

≅∆

+ 5, maka tentukan

≅∆

=2 +7

,∆

Contoh!

=

+5

− + (2 + 7) + (−7) = − + ( + 5) + (−7) (− + 2 ) + 7 + (−7) = (− + ) + 5 + (−7)

= 2(−2) + 7

(− + 2 ) + 0 = 0 + 5 + (−7)

= −4 + 7

− + 2 = 5 + (−7)

=3

= −2

=3

Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping!

Buku Ajar GMKM_

7

Latihan Bab 1 1. Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga ∆

. Identifikasi setiap pasang sudut dan

≅∆

sisi korespondingnya!

Untuk soal no. 2-7, Pada gambar di bawah ini, ∆

≅∆

titik berikut! 2. 3.

∠ =⋯

4. ∆ 5. 6.

270

≅⋯

∠ =⋯

7. ∆ Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b

V

C

=⋯

. Lengkapi titik-

T 3

1230

A

≅⋯

B

≅⋯

U

Untuk soal no. 8, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 8. Jika ∆

≅∆

adalah siku-siku.

,∆

≅∆

, dan ∠ = 90 , maka ∆

Bukti a. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

8 _Buku Ajar GMKM

∆ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆

Pernyataan ≅∆ ≅∠ = ∠ = ∠ = 90 = 90 ≅∆ ≅∠ = ∠ = ∠ = 90 siku-siku

Alasan Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segitiga Sifat simetri bilangan real Diketahui Teorema refleksif sudut Diketahui Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segmen Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 10 & 6 Definisi segitiga siku-siku (Terbukti)

Bukti b. Diketahui ∆

≅∆

diperoleh bahwa ∆

dan ∆

≅∆

≅∆

. Dari dua pernyataan tersebut dapat

, teorema transitif segitiga. Diketahui pula bahwa

∠ = 90 , dan ∠ siku-siku dengan definisi sudut siku-siku. Karena ∠ siku-siku,

maka dapat diperoleh bahwa ∠ Dapat disimpulkan bahwa ∆

siku-siku dikarenakan definisi kongruensi segitiga.

siku-siku, dengan definisi segitiga siku-siku. (Terbukti).

Untuk soal no. 9, Konstruk bukti permasalahan 8 dengan pembuktian yang berbeda. Untuk soal no. 10 & 11, Konstruk bukti 10. Jika ∆

, maka buktikan bahwa

≅∆

11. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika tengah ∆

, ≅∆

≅ !

,

⊥

adalah titik tengah di titik ,

dan

adalah titik

⃗ bisektor ∠ , serta ∠ ≅ ∠ . Buktikan bahwa

Buku Ajar GMKM_

9

Kekongruenan Segitiga Apa ini??? Fixed Gear bicycle atau Fixed Wheel bicycle, kemudian di kenal di USA dengan istilah Fixie. Sebuah alat transportasi sepeda tanpa menggunakan Free Wheel. Sproket (gear belakang) tanpa free wheel langsung menancap pada fixed Hub. Ketika roda belakang berputar maka pedal akan berputar searah dengan putaran roda belakang.

Pada subbab sebelumnya, untuk menyatakan dua segitiga itu kongruen maka terlebih dahulu nyatakan bahwa semua sisi dan sudut yang berkorespondensi antara dua segitiga tersebut adalah kongruen, berarti harus mencari enam bagian dari segitiga pertama kongruen dengan enam bagian segitiga kedua. Berdasar hal tersebut maka begitu banyaknya langkah untuk membuktikan dua segitiga itu kongruen.

Dua titik sudut dari titik pangkal dari sisi disebut titik sudut berturutan. Contoh, dan adalah titik sudut berturutan.

Jika

Semua sisinya kongruen

&

Semua sudutnya Maka kongruen

Dua segitiga tersebut kongruen

Aksioma-aksioma berikut menyederhanakan langkah untuk membuktikan dua segitiga kongruen, dalam hal ini berarti bahwa dengan menggunakan aksioma ini tidak perlu mencari semua sisi dan sudutnya kongruen atau tidak perlu lagi mencari enam pasang bagian kongruen. Tetapi hanya perlu mencari tiga pasang bagian yang berkorespondensi adalah kongruen. Aksioma-aksioma itu adalah sebagai berikut:

10 _Buku Ajar GMKM

Aksioma 5.2.1 (Aksioma S-Sd-S): Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sisi dan sudut apit dari dua sisi tersebut dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [19]. Pada aksioma di atas, dua ∆ sebagai ∆

dan ∆

A

C

disebut kongruen, dinotasikan

P

, jika ada korespondensi satu-satu antara dua segitiga

≅∆

R

tersebut (misal korespondingnya adalah ∆

↔∆

B

), dan memenuhi

Q

salah satu dari tiga kondisi kekongruenan berikut ini: a.

≅

b. 2.

≅

,∠ ≅ ∠ ,

≅

,∠ ≅ ∠ ,

c.

≅

≅

,∠ ≅ ∠ ,

Tiang listrik pada gambar di samping, diketahui bahwa ,

≅

,∠

, serta ∠

≅∠

≅

dan ∠

, ∠

masing-masing adalah 1000, 300, dan 650. Tentukan ∠

≅ ,

dan ∠

Penyelesaian:

Contoh!

≅ !

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui

:

∠

Buktikan

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

,

≅

,

= 100 , ∠

: Tentukan ∠

Bukti No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

≅

:

dan ∠

Pernyataan ∠ ∆ ∠ ∠

≅ ≅

≅∠

≅∆ ≅∠ ≅∠

≅ = −

=

−

≅ = − = − ( )+ − = ( )+ − )= + (− + (− ) + +0= +0 =

≅

+

,∠

≅∠

= 30 dan ∠

, = 65

Alasan Diketahui Diketahui Diketahui Aksioma S-Sd-S (No 1, 2, & 3) Definisi kongruensi segitiga, no 4 Definisi sudut Definisi kongruensi segitiga, no 4 Definisi kongruensi segmen garis Definisi pengurangan ukuran dua segmen garis Diketahui Definisi kongruensi segmen garis Substitusi no 11 ke 9 Aksioma penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real

Ketika sudah menulis pernyataan bahwa ∆ ≅∆ , kemudian nyatakan bagian yang kongruen, tetapi yang akan dibutuhkan dalam langkah selanjutnya.

Buku Ajar GMKM_

11

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Definisi kongruensi segmen garis Aksioma S-Sd-S (No 1, 6, & 17) Definisi kongruensi segitiga, no 18 Definisi kongruensi segitiga, no 18 Definisi sudut Definisi kongruensi sudut Diketahui Definisi sudut Sifat transitif bilangan real, no 22 & 24 Aksioma S-Sd-S (No 10, 21, & 19) Definisi kongruensi segitiga, no 26 Definisi kongruensi sudut Sifat simetri bilangan real Gambar Definisi suplemen Diketahui Subtitusi no 32 ke 31 Sifat penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real Penjumlahan bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 29 dan 38 (Terbukti)

≅∆

≅ ∠ ≅∠ ∠ ≅∠ ∠ = ∠ ∠ = 65 ∠ = 65 ∠ = 65 ∆ ≅∆ ∠ ≅∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ dan ∠ bersuplemen ∠ + ∠ = 180 ∠ = 100 100 + ∠ = 180 )= −100 + (100 + ∠ −100 + 180 (−100 + 100 ) + ∠ = −100 + 180 0 + ∠ = −100 + 180

35. 36.

Baca bukti di samping & Tulis Langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya!

≅

∆

37.

∠

38. 39.

∠ ∠

= −100 + 180

= 80 = 80

Lukis Segitiga R P

Q

Lukis Segmen. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan

Lukis Sudut. Gunakan

sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan ∠ (Lihat lukis sudut)

Lukis Segmen ke-2.

Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan

Aksioma 5.2.2 (Aksioma Sd-S-Sd): Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sudut dan sisi yang memuat sudut tersebut pada segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [18]. B

A C

Q

P R

Pada aksioma Sd-S-Sd hampir sama dengan aksioma S-Sd-S, yaitu dua ∆ dan ∆

disebut kongruen, dinotasikan sebagai ∆

, jika ada

≅∆

korespondensi satu-satu antara dua segitiga tersebut (misal korespondingnya adalah ∆ a.

↔∆

∠ ≅∠ ,

b. ∠ ≅ ∠ ,

12 _Buku Ajar GMKM

), dan memenuhi salah satu dari kondisi berikut ini: ≅

≅

,∠ ≅ ∠

,∠ ≅ ∠

c.

∠ ≅∠ ,

≅

,∠ ≅ ∠

3.

Menara pengintai pada gambar di samping diketahui bahwa ∠QPS ≅

Contoh!

∠PQR dan ∠1 ≅ ∠2. Buktikan bahwa ∆PQT adalah segitiga sama kaki. Menulis Bukti

Memilih model bukti. Bukti paragraf misalnya. Menulis langkah-langkah bukti

Buktikan

:∠

Bukti

:

Diketahui

adalah segitiga sama kaki

:∆

Diketahui ∠

dan ∠1 ≅ ∠2

≅∠

dan ∠1 ≅ ∠2, serta dengan menggunakan teorema

≅∠

refleksif segmen didapat bahwa ∠ ∆

,

≅

. Kemudian pernyataan ∠

dan ∠1 ≅ ∠2 memenuhi aksioma Sd-S-Sd, maka ∆

≅

. Dari pernyataan ∠

diperoleh ∠

= ∠

∠1 = ∠

dan ∠1 = ∠2 melalui definisi kongruensi sudut.

+ ∠1 = ∠

= ∠

+ ∠2. Subtitusi ∠1 = ∠2 ke ∠

+ ∠2, diperoleh ∠

∠2) + (− ∠2) = ( ∠

≅

dan ∠1 ≅ ∠2 yang diketahui tersebut,

≅∠

Dengan definisi penjumlahan ukuran dua sudut, maka ∠ menjadi ∠

≅

+ ∠2 = ∠

+

+ ∠2. ( ∠

+

+ ∠2) + (− ∠2), aksioma penambahan operasi

penjumlahan. Dengan sifat assosiatif penjumlahan, maka pernyataan tersebut menjadi ∠ ∠

+

∠2 + (− ∠2) = ∠

+

∠2 + (− ∠2) . ∠

=

, berturut-turut karena unsur invers penjumlahan bilangan real dan

unsur identitas penjumlahan bilangan real. Dikarenakan definisi kongruensi sudut, maka didapat ∠ bahwa ∆

≅∆

≅∠

. Perhatikan bahwa sebelumnya didapat

, menurut definisi kongruensi segitiga maka

dan ∠3 ≅ ∠4. Dikarenakan ∠

≅∠

memenuhi aksioma Sd-S-Sd sehingga ∆

,

≅∆

≅

dan ∠3 ≅ ∠4,

. Kemudian

≅

≅

, ,

karena definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan definisi segitiga sama kaki, diperoleh bahwa ∆

Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom!

adalah segitiga sama kaki. (Terbukti).

Lukis Segitiga X V

Lukis Segmen.


Lukis Sudut.

Gunakan sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan ∠

Lukis Sudut ke-2.

Lukis Titik Potong.

Gunakan sebagai Perpanjang sinar dari pusat untuk ∠ dan ∠ sehingga membuat sudut berpotongan, di titik dengan ukuran sama dengan ∠

Buku Ajar GMKM_

13

W

Aksioma 5.2.3 (Aksioma S-S-S): Jika ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah CR

A

P

kongruen terhadap sisi-sisi yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen [8]. Tidak seperti pada aksioma sebelumnya yang terdapat tiga kondisi untuk

Q

B

memenuhi aksioma tersebut, tetapi dua ∆ dinotasikan sebagai ∆

dan ∆

disebut kongruen,

, jika ada korespondensi satu-satu antara

≅∆

dua segitiga tersebut (misal korespondensinya adalah ∆ memenuhi kondisi berikut Contoh!

4.

≅

V

≅

,

≅

.

Rumah anjing pada gambar di samping diketahui bahwa ∆ adalah segitiga sama kaki,

U

,

, serta ∠

≅

,∠

adalah sudut siku-siku. Buktikan bahwa ∆

dan ∆

dan ∠

,∠

.

≅∆

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir.

), dan

↔∆

Menulis langkah-langkah bukti dan ∆

∆ ≅

adalah segitiga sama kaki

∆

≅∆

∠

≅∠

= 90

∠

= 90

90 = ∠ ∠

≅∠ ∆

∠

= ∠

≅∆

≅

≅

∠

≅∠

∠

≅∠

=

+

=

=

Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panah sebagai urutan bukti! 14 _Buku Ajar GMKM

siku-siku

,∠ ∠

≅

≅

∠

+

=

+ (

+ +

∆

≅∆

≅

+ ) + (−

)=(

+ (−

) = =

+ +

) + (− + (− +0=

) ) +0

Lukis Segitiga C

Lukis Segmen.

Lukis Segmen ke-2.

Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan . Diperoleh


Lukis Segmen ke-3.

Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan . Diperoleh

A

Hubungkan Semua Titik. Buat segmen

B

yang menghubungkan tiap titik yang telah diperoleh sebelumnya

Selain ketiga aksioma di atas yang berfungsi untuk menyederhanakan langkah dalam menentukan kongruensi dua segitiga, berikut ada beberapa teorema turunan dari ketiga aksioma di atas yang fungsinya sama dengan ketiga aksioma di atas. Teorema tersebut adalah sebagai berikut, Teorema 5.2.1 (Teorema K-K): Dua segitiga siku-siku kongruen, jika kedua kaki siku-siku pada segitiga pertama kongruen dengan kedua kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [5]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom.

D

C

E

Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Bukti

:

No

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

:∆

≅

dan ∆

dan

Pernyataan ∠ ∠ ∠ ∠ ∆ 90 ∠ ∠ ∆

≅ siku-siku = 90 siku-siku = 90 dan ∆ = ∠ = ∠ ≅∠ ≅ ≅∆

siku-siku

siku-siku ≅

A

B

F

Alasan

Diketahui Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Diketahui Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 3 & 7 Definisi kongruensi sudut Diketahui Aksioma S-Sd-S, (No. 1, 9 & 10)

(Terbukti)

Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti dan Validasi bukti di samping!

Buku Ajar GMKM_

15

F *

Teorema 5.2.2 (Teorema M-K): Dua segitiga siku-siku kongruen, jika sisi miring dan satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring dan satu kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [30].

E

D P 4 2

A

X *

3

Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi

C

Hipotesis :

sisi miring dan satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring dan satu kaki siku-siku dari

1

segitiga yang kedua

B

Konklusi

:

Dua segitiga siku-siku kongruen

Menyusun rencana Saya akan membuktikan dua segitiga siku-siku kongruen

Dibuat segitiga pada segitiga kedua yg kongruen segitiga pertama, lalu dicari segitiga yang dibuat tadi kongruen segitiga kedua.

Menggunakan teorema transitif segitiga

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Aksioma konstruksi sudut sampai dengan memperpanjang sehingga kongruen dengan segitiga sebelumnya, merupakan proses melukis ∆ pada dengan cara aksioma S-Sd-S

Buktikan Bukti

:∆

siku-siku di ≅

:∆ :

,

≅∆

≅

Dengan aksioma konstruksi sudut, diperpanjang sehingga ∠

≅

≅ ∠ serta diketahui

dan ∆

pada

siku-siku di .

≅ ∠ . Kemudian ⃖ ⃗

ada ∠

, karena aksioma garis. Dari , didapat bahwa ∆

≅

≅∆

dikarenakan aksioma S-Sd-S. Definisi kongruensi segitiga dari ∆ diperoleh

segmen garis

≅

. Diketahui bahwa

≅

. Dari

transitif segmen garis diperoleh

≅

≅

dan ≅

dan

≅

≅∆

, dan dengan teorema simetri

≅

. Lihat ∆

dikenakan teorema , dengan teorema

segitiga sama kaki (Lihat teorema 5.3.1, pada subbab setelah ini) maka

16 _Buku Ajar GMKM

diperoleh ∠4 ≅ ∠3. Kemudian diketahui bahwa ∆

siku-siku di

dan ∆

siku-siku di , karena definisi segitiga siku-siku diperoleh ∠ siku-siku dan ∠

siku-siku dan dengan definisi sudut siku-siku diperoleh bahwa ∠ = 90 dan ∠ = 90 . Kembali pada ∆

, dengan definisi kongruensi segitiga

≅∆

didapat ∠ ≅ ∠ berarti dengan definisi kongruensi segmen garis bahwa

∠ = ∠ . Karena ∠ = ∠ dan ∠ = 90 , maka ∠ = 90 dengan

aksioma transitif bilangan real dan 90 = ∠ dengan aksioma simetri bilangan real. ∠ = 90 dan 90 = ∠ didapat ∠ = ∠ , dikarenakan aksioma

transitif bilangan real. Serta ∠ = ∠ dengan menggunakan aksioma simetri bilangan real, dan definisi penjumlahan ukuran dua segmen didapat ∠4 +

S-Sd-S, Sd-S-Sd, S-S-S, KK, M-K dan Sd-Sd-S menggunakan bagian yang berkorespondensi untuk membuktikan dua segitiga kongruen. Sedangkan definisi kongruensi segitiga untuk membuktikan kongruensi bagian yang berkorespondensi

∠2 = ∠3 + ∠1. Lihat kembali bahwa ∠4 ≅ ∠3, dengan definisi kongruensi

sudut maka ∠4 = ∠3. Disubtitusi ∠4 = ∠3 ke ∠4 + ∠2 = ∠3 + ∠1, maka menjadi ∠3 + ∠2 = ∠3 + ∠1. (− ∠3) + ( ∠3 + ∠2) =

(− ∠3) + ( ∠3 + ∠1) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan, serta (− ∠3) + ∠3 + ∠2 = (− ∠3) + ∠3 + ∠1 karena aksioma assosiatif penjumlahan bilangan real. Kemudian dengan berturut-turut

menggunakan unsur invers penjumlahan bilangan real dan unsur identitas penjumlahan bilangan real maka didapat ∠2 = ∠1. Dengan definisi

kongruensi sudut ∠2 ≅ ∠1, dan dengan convers teorema segitiga sama kaki (Lihat teorema 5.3.2, pada subbab setelah ini)

. Dari

≅

∠ = ∠ dengan definisi kongruensi sudut ∠ ≅ ∠ , serta

diperoleh bahwa ∆ simetri segitiga ∆ bahwa ∆

≅∆

≅

, dan dapat

≅

karena aksioma S-Sd-S. Dengan teorema

≅∆

, dan ∆

≅∆

≅∆

maka dapat disimpulkan

dikarenakan teorema transitif segitiga. (Terbukti)

Konstruk pembuktian yang beda dengan bukti di samping!

Tidak seperti dua teorema di atas yang dikhususkan hanya untuk segitiga siku-siku, teorema berikut (seperti tiga aksioma sebelumnya) dapat digunakan pada semua jenis segitiga, yaitu sebagai berikut: Teorema 5.2.3 (Teorema Sd-Sd-S): Jika dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara dua sudut dari segitiga pertama adalah kongruen ke koresponding dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara dua sudut segitiga yang lain, maka segitiga tersebut kongruen [31]. B

A C

E

D F

Kesulitan apa yang dihadapi ketika mengKonstruk pembuktian teorema di samping!

Buku Ajar GMKM_

17

Latihan Bab 2 1.

Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga ∆

≅∆

. Identifikasi tiga pasang

korespondingnya sehingga memenuhi aksioma dan pernyataan pada bab 2 di atas!

Untuk soal no. 2 -4, Pada gambar di bawah ini, tentukan koresponding ketiga yang kongruen sehingga akan membuktikan bahwa dua segitiga di bawah adalah kongruen! Dan tentukan menggunakan aksioma atau teorema apa? 2.

3.

4.

Untuk soal no. 5, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 5.

Diketahui ∆ dan

18 _Buku Ajar GMKM

≅

siku-siku di , ∆

. Buktikan bahwa ∆

siku-siku di , ∠ ≅∆

!

≅∠

,

Bukti a. ∆

siku-siku di

Diketahui

∆

siku-siku di

∠

siku-siku

Definisi segitiga

∠

siku-siku

∠

= 90

Definisi sudut siku-siku

∠

= ∠

Teorema transitif sudut

∠

≅∠

∠

≅∠

∠

= 90

Diketahui

Definisi segitiga

Definisi sudut siku-siku

Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b

Definisi kongruensi sudut

Diketahui

∆

≅∆

Teorema Sd-Sd-S

(Terbukti) Diketahui

≅

Bukti b.

No 1. 2. 3. 4. 5. 6.

∆ ∆ ∠ ∆

Pernyataan siku-siku di siku-siku di ≅ ≅

Alasan Diketahui Diketahui Diketahui Teorema refleksif segitiga Diketahui Teorema K-K (Terbukti)

≅∠ ≅∆

Untuk soal no. 6-8, Konstruk bukti berikut! 6.

Jika pada gambar di samping diketahui bahwa ∠1 ≅ ∠2 dan ∠3 ≅ ∠4,

7.

maka buktikan ∆

8.

Dari soal no 6 di atas, buktikan

≅∆

12

!

Dari soal no 6 di atas, buktikan ∆

≅∆

!

adalah bisektor tegaklurus

! 34

Buku Ajar GMKM_

19

Teorema Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi

Apa ini??? The Three Pagodas adalah suatu rangkaian menara pagoda yang diatur letaknya sehingga jika tiga menara tersebut sebagai titik sudutnya maka akan membentuk segitiga sama sisi, dekat kota Dali, propinsi Yunnan, Cina, berasal dari zaman Kerajaan Nanzhao dan Kerajaan Dali

Pada sub bab berikut akan dibahas tentang beberapa teorema yang berlaku pada segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi. Tetapi untuk memulai membahas hal tersebut diperlukan definisi interior segitiga dan aksioma Pasch yang akan diuraikan sebagai berikut. P A

Himpunan titik sedemikian sehingga jika suatu sinar yang

C S

R

Q

berpangkal di titik sudut dan melalui sebarang titik dari himpunan tersebut B maka sinar-sinar itu berada diantara kaki-kaki sudut disebut sebagai interior sudut. Jika interior ∠ dan ∠ diinterpretasikan seperti pada gambar di

samping, dimana salah satu sinar (kaki sudutnya) dari masing-masing sudut tersebut segaris tapi bukan dua sinar yang berlawanan serta sinar yang lain dari dua sinar tersebut berpotongan. Maka dari dua sudut tersebut terbentuk sebuah segitiga. Apabila diletakkan titik , ,

dan

seperti pada gambar di

samping, maka keempat titik tersebut berbeda ditinjau dari ∠ dan ∠ . Perbedaan keempat titik tersebut diuraikan pada tabel berikut: Titik

Konstruk Definisi Interior Segitiga!

Ditinjau dari ∠ Eksterior Interior … …

Dilihat dari tabel di atas, titik

Ditinjau dari ∠ Interior Eksterior … …

salah satu contoh titik dari himpunan titik yang

terletak di interior segitiga tersebut. Sedangkan titik contoh titik di eksterior segitiga, dan titik segitiga.

20 _Buku Ajar GMKM

dan

merupakan

merupakan contoh titik pada

Selain definisi interior segitiga di atas. agar dapat menguraikan teorema segitiga sama kaki, maka dibutuhkan aksioma Pasch. Aksioma ini membahas suatu garis pada segitiga, secara jelas sebagai berikut: Aksioma 5.3.1 (Aksioma Pasch): Suatu garis berinteraksi dengan memotong salah satu sisi segitiga dan masuk pada daerah interiornya, pasti berinteraksi dengan memotong sisi yang lain dari segitiga tersebut [19]. ⃡

Perhatikan gambar di samping bawah ini, yang memenuhi aksioma Pasch tersebut adalah seperti pada ⃡ dan ⃡. Sedangkan ⃡ dan ⃡ tidak memenuhi

aksioma Pasch dikarenakan pada ⃡ memotong salah sisi segitiga tetapi tidak

⃡

masuk pada daerah interior segitiganya dan pada ⃡ tidak memotong salah

satu sisi segitiga. Jadi suatu garis dapat menggunakan aksioma Pasch apabila

⃡

memotong salah satu sisi segitiga dan masuk pada interior segitiganya. Dari definisi interior segitiga dan aksioma Pasch di atas, dapat digunakan dalam membuktikan teorema berikut, Teorema 5.3.1 (Teorema Segitiga Sama Kaki): Jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen, maka sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen [18]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

dua sisi segitiga kongruen

Konklusi

sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen

:

Menyusun rencana Saya akan membuktikan sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen

Ditunjukkan pada segitiga tersebut menjadi dua segitiga yang kongruen

Membuat garis dengan aksioma bisektor sudut dan aksioma Pasch

C

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti,

≅

Diketahui

:

Buktikan

:∠ ≅∠

X A Buku Ajar GMKM_

D 21

⃡

B

Bukti

: ⃗ memotong

⃗ bisektor ∠

Aksioma bisektor sudut

Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model Bukti paragraf!

∠

= ∠

∠

≅∠

≅

di titik D

Teorema refleksif Segmen

Aksioma Pasch ∠

≅∠

∆ ≅∆ Aksioma S-Sd-S

Definisi sudut

Definisi bisektor sudut

∠ ≅∠

≅


Diketahui

Definisi kongruensi segitiga (Terbukti)

Bentuk suatu teorema adalah berupa implikasi, sedangkan → . Convers dari teorema merupakan bentuk → .

∠ ≅∠ Teorema simetri sudut

Teorema 5.3.2 (Convers Teorema Segitiga Sama Kaki): Jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut kongruen [16]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom.

C

Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

: ∠ ≅∠

Bukti

:

No

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Tentukan langkah Pengembangan Buktinya!

:

≅

Pernyataan

∠ ≅∠ ⃗ bisektor ∠ ⃗ memotong ∠ = ∠ ∠ ≅∠ ≅ ∆ ≅∆ ≅ ≅

di

X A

D

B

Alasan

Diketahui Aksioma bisektor sudut Aksioma Pasch Definisi bisektor sudut Definisi kongruensi sudut Teorema refleksif segmen Teorema Sd-Sd-S, (No 1, 5 & 6) Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis (Terbukti)

Teorema berikut merupakan akibat dari teorema segitiga sama kaki dan convers teorema segitiga sama kaki. Suatu teorema yang diakibatkan dari teorema lain biasanya disebut sebagai “Corolarry”. Teorema tersebut adalah,

22 _Buku Ajar GMKM

Teorema 5.3.3 (Teorema Segitiga Sama Sisi): Jika suatu segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut [20]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

segitiga sama sisi

Konklusi

segitiga sama sudut

:

Menyusun rencana Akan dibuktikan segitiga sama sudut

Ditunjukkan sudut dihadapan sisi yang kongruen adalah kongruen

Menggunakan teorema segitiga sama kaki

Menulis Bukti C

Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

sama sisi

:∆

A

sama sudut

Menurut definisi segitiga sama sisi, bahwa

≅

. Kemudian dengan

teorema segitiga sama kaki didapat ∠ ≅ ∠ . Definisi segitiga sama sisi juga dapat diperoleh

≅

, serta dengan teorema segitiga sama kaki didapat

juga bahwa ∠ ≅ ∠ . Dari ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠ , digunakan teorema

transitif sudut dapat diperoleh ∠ ≅ ∠ dan dapat disimpulkan bahwa ∠ ≅ ∠ ≅ ∠ . Dengan definisi segitiga sama sudut dapat dinyatakan bahwa ∆ sama sudut. (Terbukti).

B

Validasi bukti di samping, dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan dan alasan yang disajikan!

Buku Ajar GMKM_

23

Teorema 5.3.4 (Teorema Segitiga Sama Sudut): Jika sebuah segitiga adalah sama sudut, maka segitiga tersebut sama sisi [28]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

:∆

sama sudut sama sisi

sama sudut

∆

∠ ≅∠ ≅∠ ∠ ≅∠

Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panahnya!

24 _Buku Ajar GMKM

∠ ≅∠

≅

≅

≅

∆

≅

sama sisi

Latihan Bab 3

Untuk soal no. 1 -4, Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut dan berikan alasan menggunakan teorema apa!

1.

Jika

2.

Jika

3.

Jika ∠ ≅ ∠

4.

, maka ⋯ ≅ ⋯

≅

≅

Jika ∠

, maka ⋯ ≅ ⋯

≅∠

, maka ⋯ ≅ ⋯

, maka ⋯ ≅ ⋯

Untuk soal no. 5 -10, pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kadang, selalu, atau tak pernah benar. Dukung jawaban anda dengan sketsa gambar! 5.

Segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki

6.

Sudut puncak dari segitiga sama kaki kongruen dengan sudut kakinya

7.

Segitiga sama kaki adalah segitiga siku-siku

8.

Segitiga sama sisi dan segitiga tumpul kongruen

9.

Sudut kaki segitiga sama kaki adalah sudut tumpul

10. Segitiga sama kaki adalah segitiga lancip

Untuk soal no. 11 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 11. Jika ∆

Bukti a. No

1. 2. 3. 4. 5. 6.

, maka ∆

≅∆

Pernyataan ∆ ≅∆ ∆ ≅∆ ∠ ≅∠ ≅ = ∆ sama kaki

sama kaki Alasan

Diketahui Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Convers teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi segmen Definisi segitiga sama kaki (Terbukti) Buku Ajar GMKM_

25

Bukti b. Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b

∆

Diketahui

≅∆

Definisi kongruensi segitiga

≅


≅


≅

∆

sama kaki

Definisi segitiga sama kaki

Untuk soal no. 12. Konstruk bukti no 11 di atas dengan pembuktian yang beda Untuk soal no. 13 - 14 Konstruk buktinya 13. Jika pada ∆ 14. Jika ∆

miring

26 _Buku Ajar GMKM

,

titik tengah

dan

⊥

, maka ∆

adalah segitiga siku-siku sama kaki dan

, maka ∆

≅∆

sama kaki

titik tengah sisi

Jarak, Proyeksi, Bisektor, dan Tegaklurus

Apa ini??? Bercermin merupakan penggambaran nyata tentang proyeksi. Pada geometri disini yang dimaksud adalah proyeksi ortogonal. Sedangkan jenis lain dari proyeksi adalah proyeksi sentral, contohnya adalah seperti pada LCD, OHP, dll.

Seperti halnya pada subbab teorema segitiga sama kaki dan sama sisi, subbab ini juga termasuk penerapan dari kongruensi segitiga. Artinya dengan menggunakan kongruensi segitiga dapat membuktikan beberapa teorema yang terkait tentang proyeksi, bisektor tegaklurus dan ketunggalan. Tetapi sebelum mempelajari tentang teorema-teorema tersebut terlebih dahulu akan didefinisikan jarak dan proyeksi. C

G P R

F

Q

B

D

A

E

Dari dua obyek geometri tersebut (

dan

) dapat dibuat

segmen garis yang menghubungkan dua obyek geometri tersebut. Sedangkan segmen garis hubung tersebut terdapat banyak kemungkinan segmen garis yang berbeda, misalnya

,

,

,

,

, dan lain sebagainya. Dari

beberapa segmen garis hubung tersebut, obyek

dan

disebut sebagai jarak antara

Konstruk Definisi jarak antara dua obyek!

.

Sedangkan definisi dari proyeksi tergambarkan seperti gambar di atas. Gambar di atas ada

dimana letaknya di luar ⃡. Proyeksi

pada ⃡ pada gambar di atas adalah Sedangkan pada ⃡.

,

,

, serta

.

bukan proyeksi

⃖⃗ Buku Ajar GMKM_

Konstruk Definisi proyeksi titik di luar garis!

27

Berikut disajikan teorema pertama dalam subbab ini, yaitu teorema proyeksi. Secara lengkap teorema tersebut adalah sebagai berikut: Teorema 5.4.1 (Teorema Proyeksi): Jika dua titik dan proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama, maka kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain [3]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

dua titik dan proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama

Konklusi

:

kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain

Menyusun rencana Saya akan membuktikan …

Tunjukkan …

Lengkapi langkah Mengembangkan Kerangka Bukti di samping!

Dengan menggunakan …

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom misalkan dipakai pada pembuktian teorema ini. Menulis langkah-langkah bukti ′

Diketahui ′

⃖⃗

28 _Buku Ajar GMKM

:

′ proyeksi

′ proyeksi

Buktikan

:

di ⃡

di ⃡

dan ′ serta dan

dan ′ berjarak sama

serta ′ dan ′ berjarak sama

Bukti No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

: Pernyataan ʹ proyeksi di ⃡ ′ ⊥⃡ ∠ ʹ ʹ siku-siku ʹ proyeksi di ⃡ ʹ ⊥⃡ ∠ ʹ ʹ siku-siku ∠ ′ ′≅∠ ′ ′

′, ′, ′, dan ′ ′ dan ∆ ′ ′ siku-siku dan ′ serta dan ′ berjarak sama ′= ′ ′≅ ′ ′ ′≅ ′ ′ ∆ ′ ′≅∆ ′ ′ ′≅ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ≅∠ ′ ′ dan ′ berpotongan di ∠ ′ ≅∠ ′ ∠ ′ ≅∠ ′ ∆ ′ ≅∆ ′ ≅ ′ ≅ ′ ∠ ≅∠ ′ ′ ∆ ≅∆ ′ ′ ≅ ′ ′ = ′ ′ dan serta ʹ dan ʹ berjarak sama ∆

′,

Alasan Diketahui Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Diketahui Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Teorema kongruensi sudut sikusiku Aksioma titik-garis Definisi segitiga siku-siku Diketahui Definisi jarak Definisi kongruensi segmen garis Teorema refleksif segmen garis Teorema K-K, no 12 & 13 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Teorema simetri sudut Teorema sudut berkomplemen Teorema perpotongan dua garis Definisi sudut Definisi sudut Aksioma Sd-S-Sd, no 21, 12, & 22 Definisi kongruensi segitiga, no 23 Definisi kongruensi segitiga, no 23 Teorema sudut bertolak belakang Aksioma S-Sd-S, no 24, 26, & 25 Definisi kongruensi segitiga, no 27 Definisi kongruensi segmen Definisi jarak (Terbukti)

Tulis kembali dengan model Bukti alir!

Tiga teorema berikut berkaitan dengan bisektor segmen garis, bisektor sudut dan tegaklurus. Teorema berikut adalah sebagai berikut: Teorema 5.4.2 (Teorema Dua Titik Berjarak Sama): Jika dua titik masingmasing berjarak sama dari titik ujung-titik ujung suatu segmen garis, maka perpotongan garis persekutuannya merupakan bisektor tegaklurus segmen garis tadi [7]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Buku Ajar GMKM_

29

Diketahui

Untuk membuktikan bisector tegaklurus, maka buktikan bahwa garis tersebut merupakan bisektor segmen dan tegaklurus segmen tersebut

:

ke

dan

ke

berjarak sama

ke

dan

ke

berjarak sama

: ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus

Buktikan Bukti

:

Diketahui bahwa

ke

dan

ke

berjarak sama serta

berjarak sama. Menurut definisi jarak berarti bahwa

ke

dan

. Berdasar

garis

≅

Dan ∠

dan

≅

,∠

.

≅∠

.

≅∆

dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Sedangkan

≅∠

didapatkan ∆ ∠

≅

, maka dengan aksioma S-S-S diperoleh bahwa ∆

hal ini maka dengan definisi sudut ∠ ≅∠

dan

=

serta teorema refleksif segmen

≅

menurut teorema perpotongan dua garis, ∠

juga

dan

=

, dan berdasar definisi kongruensi segmen garis didapat ≅

ke

dan

berpotongan di . Dari , dapat dituliskan bahwa

≅∠

, karena teorema refleksif segmen garis. Dari

≅

dan

dapat dikenakan aksioma S-Sd-S, sehingga

≅

. Dari ∆

≅∆

≅

didapat bahwa

≅∆

≅

dan

, dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan

≅∠

definisi segmen garis dari

≅

, diperoleh bahwa

=

. Jika

berturut-turut menggunakan definisi titik tengah dan definisi bisektor segmen garis, maka dapat disimpulkan bahwa

bisektor

dikarenakan aksioma garis. Dari ∠ bahwa ∠

dan ∠

⊥

bisektor

,

dan pada gambar terlihat

≅∠

bersisihan, maka dengan menggunakan teorema

ketegaklurusan diperoleh bahwa

Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom!

. Dan

⊥

. Sudah diperoleh bahwa

. Dan dengan aksioma garis, maka

bisektor

disimpulkan bahwa ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus

dan

. (Terbukti).

⊥

, maka dapat

Teorema 5.4.3 (Teorema Bisektor Tegaklurus): Jika suatu titik terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis, maka titik tersebut berjarak sama dari titik ujung-titik ujung segmen garis [20]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

30 _Buku Ajar GMKM

: ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus :

terletak pada ⃖ ⃗ ke

dan

ke

berjarak sama

Bukti

: ⃖ ⃗⊥ diketahui

∠ siku-siku Definisi tegaklurus

… Teorema berpotongan siku-siku

terletak pada ⃖ ⃗

diketahui

∠ …

siku-siku

∠ siku-siku Definisi sudut

dan Aksioma titik-garis

∆ dan ∆ siku-siku Definisi segitiga siku-siku

⃖ ⃗ bis. diketahui

… Definisi bisector segmen

= Definisi titik tengah

… Teorema refleksif segmen garis

≅ Definisi kongruensi segmen garis

∆ …

= Definisi kongruensi segmen garis

ke dan ke Definisi jarak

≅∆

Validasi bukti di samping, dengan melengkapi pernyataan dan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya!

≅ Definisi kongruensi segitiga

berjarak sama (Terbukti)

Buku Ajar GMKM_

31

Teorema ini dengan rencana pengembangannya dapat disebut dengan “Teorema Garis Bagi pada Segitiga Sama Kaki: Garis bagi yang melalui titik sudut dua sisi kongruen pada segitiga sama kaki dapat disebut garis berat dan garis tinggi”

Teorema 5.4.4 (Convers Teorema Bisektor Tegaklurus): Jika sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis, maka titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis tersebut [21]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis

Konklusi

:

titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis

Menyusun rencana Saya akan membuktikan …

Tunjukkan …

Lengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti di samping!

Dengan menggunakan …

Menulis Bukti C

Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti

X A

D

B

Diketahui

:

Buktikan

: ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus

Bukti No

1.

Validasi serta lanjutkan pembuktian di samping, sehingga menjadi bukti dua kolom yang benar!

32 _Buku Ajar GMKM

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

dan

serta

dan

berjarak sama

:

Pernyataan

dan serta dan sama = … ⃗ bisektor ∠ … ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ ≅∠ ⋮

berjarak

Diketahui

Alasan

… Definisi kongruensi segmen garis … Aksioma Pasch … … … ⋮ (Terbukti)

Latihan Bab 4

Untuk soal no. 1 - 3, Perhatikan gambar di bawah ini! Isilah titik-titik berikut dan menggunakan teorema apa? 1.

Jika

adalah bisektor tegaklurus

, maka

berjarak sama dari … dan

… 2.

Jika

dan

serta dan

3.

Jika

berjarak sama dari

berjarak sama, maka dan , maka

⋯

berada pada …

Untuk soal no. 4 - 5, Pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kadang, selalu, atau tak pernah benar dan dukung jawaban anda dengan sketsa gambarnya! 4.

Garis tinggi segitiga sama sisi adalah garis bisektor tegaklurus terhadap sisinya

5.

Sinar bisektor tegaklurus terhadap sisi alas segitiga adalah sinar bisektor sudut puncaknya

Untuk soal no. 6 - 7, Konstruk buktinya! 6.

Diantara nomor 4 dan 5 di atas, jawaban yang kondisinya selalu benar.

7.

Titik potong antar bisektor tegaklurus dari segitiga berjarak sama dari titik sudut segitiga tersebut

Buku Ajar GMKM_

33

Hubungan antar Sudut pada Segitiga Apa ini??? Kapal berukuran 58,5 meter dan lebar 9,5 meter dari kelas Barquentine ini dibangun di H.C. Stulchen & Sohn Hamburg, Jerman Barat, pertama diluncurkan pada tanggal 24 Januari 1953, dan pada bulan Juli nya dilayarkan ke Indonesia oleh taruna AL dan kadet ALRI. Setelah itu KRI Dewaruci yang berpangkalan di Surabaya, ditugaskan sebagai kapal latih yang melayari kepulauan Indonesia dan juga ke luar negeri.

Pada buku geometri yang lain pembuktian teorema ini dilakukan dengan menggunakan cara kesejajaran (dua garis yang sejajar)

Teorema 5.5.1 (Teorema Jumlah Ukuran Sudut Segitiga): Jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 1800 [17]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

ukuran sudut-sudut segitiga

Konklusi

jumlahnya sama dengan 1800

:

Menyusun rencana Akan dibuktikan jumlah ukuran sudut-sudutnya sama dengan 1800

Dapat ditunjukkan bahwa dapat dilukis dua sudut pada sudut yang lain sehingga ketiganya besuplemen

Hal ini benar dengan menggunakan melukis cara aksioma S-Sd-S dan definisi suplemen

Tulis langkah Menulis Buktinya!

Bukti teorema 5.5.1 (Teorema jumlah ukuran sudut segitiga) di atas, secara sederhana dapat diilustrasikan dengan gambar di samping ini. Yaitu memotong setiap sudutnya dan menggabungkannya sehingga ketiga sudutnya bersuplemen. Sehingga untuk dapat menjelaskan kebenaran dari teorema jumlah ukuran sudut segitiga pada siswa tingkat dasar dapat lebih mudah. 34 _Buku Ajar GMKM

Teorema jumlah ukuran sudut segitiga tersebut sebagai dasar dalam menentukan kebenaran beberapa teorema berikut ini. Teorema 5.5.2 (Teorema Kongruensi Sudut Segitiga): Jika dua sudut pada suatu segitiga adalah kongruen terhadap dua sudut segitiga yang kedua, maka sudut yang ketiganya kongruen [14].

C A

B

Menulis Bukti

R P

Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan Bukti

:∆

dan ∆

∠ ≅∠ ;∠ ≅∠

: ∠ ≅∠ :

∆ diketahui

∠ + ∠ + ∠ = 180 Teorema jumlah ukuran sudut segitiga

∆ diketahui

∠ + ∠ + ∠ = 180 Teorema jumlah ukuran sudut segitiga

… Aksioma simetri bilangan real

∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ … ∠ ≅∠ diketahui

∠ ≅∠ diketahui

∠ = ∠ Definisi kongruensi sudut

∠ = ∠ Definisi kongruensi sudut ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ Subtitusi

… Aksioma penambahan operasi penjumlahan (Terbukti)

∠ ≅∠ Definisi kongruensi sudut

…

∠ = ∠

0+ ∠ =0+ ∠ Unsur invers

Validasi bukti di samping, dengan melengkapi pernyataan dan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya!

Buku Ajar GMKM_

35

Q

D

Wiper atau pembersih kaca mobil di samping sering kita lihat. Dari C

wiper tersebut dapat anda bayangkan pergerakannya pada saat membersihkan air pada kaca mobil tersebut. Dari pergerakan wiper tersebut A

B

dapat terlihat bahwa ada hubungan antara ∠

dengan ∠

dan ∠

.

Hubungan antara sudut eksterior dengan dua sudut interior yang tidak bersisihan. Hubungan tersebut dinyatakan oleh teorema berikut,

Teorema 5.5.3 (Teorema Ukuran Sudut Eksterior Segitiga): Ukuran sudut eksterior suatu segitiga adalah sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan [16]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

ukuran sudut eksterior suatu segitiga

Konklusi

ukuran sudut tersebut sama dengan jumlah ukuran sudut

:

interiornya yang tidak bersisihan Menyusun rencana Saya akan membuktikan ukuran sudut eksterior sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan

Akan ditunjukkan sudut eksterior dengan sudut interior yg bersisihan bersuplemen, kemudian ditransitif dng jumlah ukuran sudut segitiga

Dengan menggunakan definisi bersuplemen, teorema jumlah ukuran sudut segitiga dan aksioma transitif

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan Bukti No 1. 2.

36 _Buku Ajar GMKM

:∆

∠4 sudut eksterior

: ∠4 = ∠1 + ∠2 :

Pernyataan ∆ ∠4 sudut eksterior

Diketahui Diketahui

Alasan

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180

180 = ∠1 + ∠2 + ∠3 ∠3 bersuplemen dengan ∠4 ∠3 + ∠4 = 180 ∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + ∠3 ( ∠3 + ∠4) − ∠3 = ( ∠1 + ∠2 + ∠3) − ∠3 ( ∠4 + ∠3) − ∠3 = ( ∠1 + ∠2 + ∠3) − ∠3 ∠4 + ( ∠3 − ∠3) = ( ∠1 + ∠2) + ( ∠3 − ∠3) ∠4 + 0 = ( ∠1 + ∠2) + ( ∠3 − ∠3) ∠4 + 0 = ( ∠1 + ∠2) + 0 ∠4 = ∠1 + ∠2

Teorema jumlah ukuran sudut segitiga Aksioma simetri bilangan real Gambar Definisi sudut-sudut bersuplemen Subtitusi no 4 ke no 6 Aksioma penambahan operasi pengurangan Aksioma komutatif bilangan real Aksioma assosiatif bilangan real

Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real (Terbukti)

Validasi bukti di samping & Konstruk bukti yang lebih sederhana!

Bukti teorema 5.5.3 (Teorema ukuran sudut eksterior segitiga) tersebut secara sederhana dapat diilustrasikan pada gambar di samping. Ilustrasi pada gambar tersebut dengan memotong sudut yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior yang akan dicari tersebut, kemudian meletakkan potongan dua sudut tersebut ke sudut eksteriornya. Dapat terlihat bahwa ukuran sudut eksterior adalah sama dengan jumlah dua ukuran sudut interior segitiga yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior tersebut. Teorema berikut ini membahas lebih lanjut tentang ciri khas dari segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi. Teorema tersebut adalah sebagai berikut, Teorema 5.5. 4 (Teorema Sudut Lancip Segitiga Siku-siku): Sudut-sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah berkomplemen [31]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

siku-siku di

: ∠ berkomplemen dengan ∠

Diketahui ∠ siku-siku, dengan definisi sudut siku-siku berarti ∠ = 90 . Diketahui juga bahwa ∆

, berarti ∠ + ∠ + ∠ = 180 karena

teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Pernyataan ∠ = 90 disubtitusi

Buku Ajar GMKM_

37

pada ∠ + ∠ + ∠ = 180 , maka ∠ + 90 + ∠ = 180 dan

dengan aksioma komutatif ∠ + ∠ + 90 = 180 . Aksioma penambahan operasi penjumlahan, dapat diperoleh ( ∠ + ∠ + 90 ) + (−90 ) = 180 + (−90 ). Digunakan aksioma assosiatif, ( ∠ + ∠ ) + 90 +

Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya & Konstruk bukti yang lebih efektif!

(−90 ) = 180 + (−90 ). Kemudian jika berturut-turut unsur invers, unsur

identitas penjumlahan bilangan real serta penjumlahan bilangan real maka akan diperoleh bahwa ∠ + ∠ = 90 . Hal ini berarti bahwa ∠ berkomplemen dengan ∠ , dikarenakan definisi sudut berkomplemen. (Terbukti).

Teorema 5.5.5 (Teorema Ukuran Sudut Segitiga Sama Sisi): Ukuran sudut segitiga sama sisi adalah 600 [8]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir.

C

Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui

A

B

Buktikan

:∆

Bukti

:

sama sisi

: ∠ = ∠ = ∠ = 60 ∆

∠ + ∠ + ∠ = 180 ∠ = ∠

sama sisi diketahui

Teorema jumlah ukuran sudut segitiga ∠ ≅ ∠ ≅ ∠ ∠ = ∠ = ∠

∠ = ∠


∠ + ∠ + ∠ = 180

Definisi segitiga sama sisi

Substitusi

3 ∠ = 180 Penjumlahan biangan real 3 ∠ 180 Aksioma penambahan operasi pembagian = 3 3 1× ∠ =

Validasi bukti di samping!

∠ =

180 3

∠ = 60

38 _Buku Ajar GMKM

180 3

Unsur invers perkalian bilangan real

Unsur identitas perkalian bilangan real

Pembagian bilangan real

∠ = ∠ = ∠ = 60 (Terbukti)

Latihan Bab 5

Untuk soal no. 1 -6, Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut dan menggunakan teorema apa anda! 1. 2. 3. 4. 5. 6.

∠1 = ⋯ ∠2 = ⋯ ∠3 = ⋯ ∠4 = ⋯ ∠5 = ⋯ ∠6 = ⋯

40

1 20

2 4 3

6

5

Untuk soal no. 7 - 11, Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu, kadang, atau tak pernah! 7.

Segitiga sama kaki adalah … segitiga sama sisi

8.

Segitiga tumpul adalah … segitiga sama kaki

9.

Suatu sudut interior dari segitiga dan satu dari sudut yang bersisihan dengan sudut eksterior adalah … bersuplemen

10. Sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah … berkomplemen 11. Segitiga … memiliki sudut siku-siku dan sudut tumpul

Untuk soal no. 12 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 12. Jika ukuran sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah 4 kali ukuran sudut lancip yang lain, maka ukuran sudut lancip terkecil adalah 18 0 Bukti a. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Pernyataan ∆ siku-siku di ∠ =4 ∠ … …

∠ + 4 ∠ = 90 5 ∠ = 90 5 ∠ 90 = 5 5

Alasan … … Teorema sudut lancip segitiga siku-siku Definisi dua sudut berkomplemen Substitusi no.2 ke no.4 … … Buku Ajar GMKM_

39


8. 9. 10.

1× ∠ = … …

…

90 5

… …

(Terbukti)

Bukti b. Diketahui ∆

siku-siku di , dan ∠ = 90 karena definisi sudut siku-siku.

Diketahui pula bahwa ∠ = 4 ∠ . Dengan teorema ukuran sudut eksterior segitiga,

didapat ∠ + ∠ + ∠ = 180 . Dari ∠ = 90 dan ∠ = 4 ∠ disubtitusi ke ∠ + ∠ + ∠ = 180 , diperoleh 4 ∠ + 90 + ∠ = 180 .

(4 ∠ + ∠ ) + 90 = 180 dikarenakan aksioma simetri bilangan real. Dengan penjumlahan bilangan real diperoleh 5 ∠ + 90 = 180 . Secara berturut-turut

aksioma penambahan operasi pengurangan, aksioma assosiatif bilangan real, unsur invers dan unsur identitas penjumlahan maka diperoleh bahwa 5 ∠ = 90 .

Kemudian dikenakan aksioma penambahan operasi pembagian, unsur invers perkalian, unsur identitas serta pembagian bilangan real dapat disimpulkan ∠ = 18 . (Terbukti).

Untuk soal no. 13 & 14 berikut konstruksi buktinya! 13. Perhatikan gambar di bawah!. Jika ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ∠ 37,5 . Maka ∠

= 142,5

14. Tentukan ∠ dari gambar di bawah ini! (6 − 5)

(11 + 1)

40 _Buku Ajar GMKM

=

Ketidaksamaan pada Segitiga

Apa ini??? Stadion Nasional Beijing, secara resmi Stadion Nasional, juga dikenal sebagai Sarang Burung adalah stadion di Beijing, Cina. Stadion ini dirancang untuk digunakan di seluruh Olimpiade Musim Panas 2008 dan Paralimpiade. Terletak di Olympic Green, stadion biaya US $ 423 juta. Desain diberikan kepada pengajuan dari Swiss arsitektur perusahaan Herzog & de Meuron.

Lukislah segitiga tumpul sebarang serta beri nama pada segitiga tersebut! Kemudian dari segitiga tersebut tentukan sudut terbesar dan sisi terpanjangnya, kemudian tentukan pula sudut terkecil dan sisi terpendek dari segitiga tersebut!

C A B

Sudut terbesar ...

Sisi terpanjang ...

Sudut terkecil ...

Sisi terpendek ...

Dari kegiatan tersebut dapat diketahui bahwa pada suatu segitiga sebarang terdapat hubungan antara sudut terbesar atau terkecilnya dengan sisi terpanjang atau terpendeknya. Hubungan tersebut disajikan pada dua teorema berikut, Teorema 5.6.1 (Teorema Dua Sisi Segitiga Tidak Kongruen): Jika dua sisi segitiga tidak kongruen, maka sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar [11].

Hati-hati pada penulisan tanda kurang dari dengan sudut, ∠ ≠<

Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :

dua sisi segitiga tidak kongruen Buku Ajar GMKM_

41

Konklusi

:

sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar

Menyusun rencana

Saya akan membuktikan

Akan ditunjukkan

Lengkapi Mengembangkan Kerangka Buktinya!

Dengan menggunakan

Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui 2

3

1

4

Buktikan

:∆

Bukti

:

No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Validasi bukti di samping!

42 _Buku Ajar GMKM

8. 9. 10. 11. 12. 13.

dengan

: ∠1 > ∠2 Pernyataan

> ⃗ diperpanjang ke ≅ ⃖ ⃗ ∠1 = ∠3 + ∠

sehingga

∠1 > ∠ ∆ ∠ + ∠2 + ∠1 = 180 ∠ ≅∠ ∠ = ∠1 > ∠ = ∠ > ∠1 >

∠ ∠ ∠2 + ∠3 ∠2 ∠2

>

Diketahui Aksioma garis

Alasan

Aksioma titik garis Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no. 4 diketahui Teorema jumlah ukuran sudut pada segitiga Teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi sudut Subtitusi no. 7 ke 5 Definisi penjumlahan ukuran dua sudut Dari no. 9 Dari no. 8 dan 10 (Terbukti)

Teorema 5.6.2 (Teorema Dua Sudut Segitiga Tidak Kongruen): Jika dua sudut suatu segitiga tidak kongruen, maka sisi-sisi dihadapan dari sudut-sudut tersebut tidak kongruen dan sisi dihadapan sudut yang lebih besar adalah lebih panjang [2]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

:

dengan ∠1 > ∠2

>

⃗ diperpanjang ke

Diketahui ∠1 > ∠2.

sehingga

≅

2

dikarenakan

1

aksioma garis dan ⃖ ⃗ karena aksioma garis-titik. Dengan menggunakan definisi kongruensi segmen, maka

=

simetri bilangan real. Dikarenakan

serta

≅

=

karena aksioma

maka ∠ ≅ ∠ teorema segitiga

sama kaki. Kemudian dengan definisi penjumlahan ukuran dua segmen diperoleh bahwa disimpulkan bahwa

=

>

+

, dari pernyataan tersebut dapat . (Terbukti).

Validasi bukti di samping dan Tulis kembali dengan model Bukti alir!

Jika disajikan 3 segmen garis, maka dengan menggunakan aksioma S-S-S dapat dilukis suatu segitiga. Tetapi tidak semua 3 segmen garis yang disajikan tersebut dapat dilukis menjadi suatu segitiga. Misal disajikan 3 ukuran segmen garis sebagai berikut: (a) 5 cm, 4 cm, dan 2 cm, (b) 5 cm, 2 cm, dan 2 cm, (c) 5 cm, 3 cm, dan 2 cm. Dengan aksioma S-S-S dilukis sebagai berikut,

(a)

(b)

(c)

Lukisan tersebut dimulai dari sisi terpanjang dan diikuti dua segmen garis berikutnya sampai bertemu pada satu titik, dari gambar terlihat bahwa dua segmen garis yang lain tidak cukup panjang untuk membentuk suatu segitiga. Hal tersebut yang menjadi dasar teorema berikut,

Buku Ajar GMKM_

43

Teorema 5.6.3 (Teorema Jumlah Dua Sisi Segitiga): Untuk sebarang segitiga, jumlah panjang sebarang dua sisinya adalah lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga [1]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan

:∆

Bukti

:

Perpanjang

⃗ sehingga

=

:

+

> ≅

⃖ ⃗

∆

+

sama kaki

∠

≅∠

∠

= ∠

∠

= ∠

∠

∠

Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti & Validasi bukti di samping! 44 _Buku Ajar GMKM

> ∠

>

+

>

= ∠

∠

+ ∠

> ∠

Pada gambar berikut ditunjukkan sebuah pintu yang terbuka, terlihat bahwa terbentuk beberapa segitiga dengan dua sisi yang kongruen. Dan juga terlihat pula bahwa

yang berubah-ubah sesuai dengan ∠ ,

dan sebaliknya.

Teorema 5.6.4 (Teorema Ketaksamaan Sudut Apit): Jika dua sisi suatu segitiga masing-masing kongruen terhadap dua sisi suatu segitiga yang lain dan sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi dihadapan sudut apit segitiga pertama lebih panjang daripada sisi dihadapan sudut apit segitiga kedua [28]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis : Konklusi

:

∆

∠

Menyusun rencana

dan ∆

dengan

≅

;

≅

; ∠ >

>

Saya akan membuktikan

>

Akan dilukis ∆ pada ∆ dengan ambil maka tunjukkan ∆ ≅∆ , ambil pada dan ⃗ bisektor ∠ dan tunjukkan ∆ ≅∆ .

Dengan menggunakan Aksioma S-S-S dan S-Sd-S, serta teorema jumlah dua sisi segitiga.

Konstruk bukti di samping!

Buku Ajar GMKM_

45

Teorema 5.6.5 (Teorema Ukuran Sudut Dihadapan Sisi): Jika terdapat dua segitiga dengan hanya dua pasang sisi-sisinya yang berkorespondensi Konstruk bukti Teorema ini!

kongruen, maka ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang, memiliki ukuran yang lebih besar [24]. Untuk membuktikan teorema tersebut gunakan suatu kontradiksi, maka kontradiksi dari ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang, memiliki ukuran yang lebih besar adalah ukurannya tidak lebih besar. Berarti ada 2 kasus nantinya dalam mengkonstruk bukti kontradiksinya, yaitu untuk yang sama dengan dan lebih kecil.

Latihan Bab 6

Untuk soal no. 1 - 6, Daftar sisinya dan sudutnya berurutan dari terkecil ke terbesar! 1.

4.

62

67

2.

28 51

5. 32

112

25

13

127

29

36

3.

6.

10 6

33

9

Untuk soal no. 7 - 9, Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu, kadang,

2

3

atau tidak pernah 1

7.

Ukuran sudut eksterior segitiga … lebih besar dari sudut interior yang tidak bersisihan

8.

Sisi miring segitiga siku-siku … lebih kecil dari sisi yang lain

46 _Buku Ajar GMKM

9.

Ukuran sudut lancip yang satu dengan yang lain pada suatu segitiga adalah … sama

Untuk soal no. 10, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 10. Ukuran sudut eksterior segitiga lebih besar dari ukuran sudut interior yang tidak bersisihan Bukti a. Diketahui ∠1 adalah sudut eksterior serta ∠2 dan ∠3 adalah sudut interior yang tidak

bersisihan dengan ∠1. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 dikarenakan teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Dengan menggunakan teorema sudut lancip segitiga siku-siku, dapat

diperoleh ∠1 = ∠2 + ∠3. Dari pernyataan ∠1 = ∠2 + ∠3, dapat disimpulkan bahwa ∠1 > ∠2 dan ∠1 > ∠3. (Terbukti).

Bukti b. No 1. 2. 3.

Pernyataan ∠1 = ∠2 + ∠3 ∠1 > ∠2 ∠1 > ∠3

Alasan Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no.1 Dari no.1 (Terbukti)

Untuk soal no. 11 & 12, Konstruksi bukti 11. Jika 12. Pada ∆ Maka

adalah median dari ∆

dan

>

, maka ∠

tumpul

, bisektor ∠ berpotongan dengan bisektor ∠ pada titik .

lebih besar

atau

Buku Ajar GMKM_

47

Daftar Soal Pendalaman & Pengayaan Untuk soal no. 1-4, Tentukan apakah benar atau salah masing-masing pernyataan berikut, jika ∆ABC ≅ ∆DEF 1. 2. 3. 4.

∠

≅

≅

≅∠

Dan dua sisi ∆

kongruen dengan sisi ∆

maka ∆

≅∆

Untuk soal no. 5-8, Dalam membuktikan dua segitiga sebarang itu kongruen dapat menggunakan Aksioma S-Sd-S, Aksioma Sd-S-Sd, Aksioma S-S-S, dan Teorema Sd-Sd-S. Tentukan dari empat cara tersebut mana yang dapat digunakan dalam membuktikan ∆ABC ≅ ∆PQR, jika diketahui sbb: 5.

≅

6.

≅

,∠

,∠

≅∠

≅∠

, dan ∠

≅∠

, dan ∠ ≅ ∠

7.

Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya

8.

Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya ∠ ≅

9.

≅

∠

Dengan perintah yang sama seperti di atas, bagaimana membuktikan ∆

∆

jika diketahui sbb,

a. ∠ ≅ ∠ ,

≅

dan ∠

≅∠

b. ∠ ≅ ∠ ,

≅

dan

adalah titik tengah

dan

d. ∠ ≅ ∠ ,

≅

dan

⃗ bisektor ∠

c. ∠ ≅ ∠ ,

≅

≅

Untuk soal no. 10-12, Tentukan nilai x, jika diketahui kondisi sbb, 11.

10.

12.

2 −2 45

48 _Buku Ajar GMKM

≅

(3 − 2)

3 60

Untuk soal no. 13-18, Tentukan titik berikut dengan <, >, atau =, Jelaskan! 13. 36

⋯

14.

B

32 M

D

A 16.

⋯

K

15.

17.

∠1 ⋯ ∠2

Q L N

P

C

22

J

123

114

∠1 ⋯ ∠2 39

1 2

13 14

24

S

U

1

1

T R

18.

∠1 ⋯ ∠2

⋯

42

2

2

Untuk soal no. 19-20, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 19. Diketahui : ∠1 ≅ ∠2

C

∠3 ≅ ∠4 ≅

Buktikan :

1 A

≅

Bukti a.

F

3

B

4 D

2 E

Diketahui ∠1 ≅ ∠2 dan ∠3 ≅ ∠4. Dengan menggunakan definisi kongruensi sudut,

dapat diperoleh ∠1 = ∠2 dan ∠3 = ∠4. ∠ + ∠3 = ∠ + ∠4 dikarenakan teorema ukuran sudut eksterior segitiga. ∠3 = ∠4 disubsitusi ke ∠ + ∠3 = ∠ + ∠4, sehingga ∠ + ∠4 = ∠ + ∠4. ( ∠ + ∠4) + (− ∠4) =

( ∠ + ∠4) + (− ∠4) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif, unsur identitas, dan unsur invers

penjumlahan bilangan real, maka dapat diperoleh ∠ = ∠ . Dan ∠ ≅ ∠ karena definisi kongruensi sudut. Diketahui . Lalu segmen. Dan (

+

+

=

+

) + (−

≅

, dan definisi kongruensi segmen

=

, karena definisi penjumlahan ukuran dua )=(

+

) karena aksioma

) + (−


penambahan operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif, unsur invers, dan unsur identitas penjumlahan bilangan real, maka dapat diperoleh

=

. Dan

∠ ≅ ∠ , ∠1 ≅ ∠2 dan

≅

≅

dikarenakan definisi kongruensi segmen. Dari dengan teorema Sd-Sd-S, maka ∆

Dengan definisi kongruensi segitiga dapat disimpulkan bahwa

≅

≅∆

.

. (Terbukti) Buku Ajar GMKM_

49

Bukti b. Diketahui ∠1 ≅ ∠2, dan pada gambar jelas bahwa ∠

bersuplemen dengan ∠2. Maka dengan menggunakan teorema sudut

∠

bersuplemen dapat dikatakan bahwa ∠ kongruensi segmen

≅∠

. Lalu

=

=

. Diketahui

+

karena definisi penjumlahan ukuran dua segmen dan (

bersuplemen dengan ∠1 dan

) + (−

+

)=(

+

) + (−

≅

dan +

=

=

, dan definisi

+

+

, . Dan

) karena aksioma penambahan

operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif, unsur invers, dan unsur identitas penjumlahan bilangan real, maka dapat diperoleh ∠

. Dan

=

dan

≅

didapat bahwa ∆ bahwa

≅

dikarenakan definisi kongruensi segmen. Dari ∠

≅

≅

, serta diketahui ∠3 ≅ ∠4 maka dapat digunakan aksioma Sd-S-Sd ≅∆

. Dengan definisi kongruensi segitiga dapat disimpulkan

. (Terbukti)

20. Alas ∆ABC yaitu BC diperpanjang sampai di D. Bisektor ∠B dan ∠ACD 1 2 3

berpotongan di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa u∠E = u∠A. Bukti a.

4 5

No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

50 _Buku Ajar GMKM

Pernyataan bisektor ∠ ∠4 = ∠5 bisektor ∠ ∠1 = ∠2 … ∠ = ∠ + ∠ ( ∠1 + ∠2) = ∠ + ( ∠4 + ∠5) ( ∠1 + ∠1) = ∠ + ( ∠5 + ∠5) 2 ∠1 = ∠ + 2 ∠5 1 1 (2 ∠1) = ( ∠ + 2 ∠5) 2 2 … 1 ∠1 = ( 2 1 ∠1 = ( 2 ∠1 = ∠ ∠1 = ∠ …

∠ + 2 ∠5) ∠ + 2 ∠5) + ∠5 + ∠5

∠ + ∠5 =

∠ + ∠5 =

1 1 ∠ + (2 ∠5) 2 2 ∠ + ×2 ∠5

1 ∠ + 1× ∠5 2 1 ∠ + ∠5 = ∠ + ∠5 2 ( ∠ + ∠5) + (− ∠5) = ∠ + ∠5 + (− ∠5) ∠ + ∠5 =

Alasan Diketahui Definisi bisektor sudut Diketahui Definisi bisektor sudut Teorema simetri sudut Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Definisi penjumlahan ukuran dua sudut Subtitusi no. 2 dan 5 ke 7 Penjumlahan bilangan real Aksioma penambahan operasi pembagian Aksioma assosiatif perkalian bilangan real Unsur invers perkalian Unsur identitas perkalian … Aksioma simetri Aksioma transitif no 13 dan 15 Mengapa? Sifat assosiatif perkalian Unsur invers perkalian Unsur identitas perkalian Aksioma penambahan operasi pengurangan

22.

∠5 + (− ∠5) = (− ∠5 + ∠5) 1 ∠ +0= ∠ +0 2 1 ∠ = ∠ 2 ∠ +

23. 24.

∠ +

Sifat assosiatif penjumlahan Unsur invers penjumlahan Unsur identitas penjumlahan (Terbukti)

Bukti b. bisektor ∠

bisektor ∠

∠4 = ∠5

∠1 = ∠2

∠

= ∠ + ∠

( ∠1 + ∠2) = ∠ + ( ∠4 + ∠5)

∠2 = ∠1

( ∠1 + ∠1) = ∠ + ( ∠5 + ∠5) 2 ∠1 = ∠ + 2 ∠5 2( ∠ + ∠5) = ∠ + 2 ∠5 2 ∠ + 2 ∠5 = ∠ + 2 ∠5 (2 ∠ + 2 ∠5) − 2 ∠5 = ( ∠ + 2 ∠5) − 2 ∠5 2 ∠ + (2 ∠5 − 2 ∠5) = ∠ + (2 ∠5 − 2 ∠5) 1 1 (2 ∠ ) = ( ∠ ) 2 2 1 ×2 2

∠ =

1× ∠ =

1 ∠ 2

1 ∠ 2

2 ∠ +0 = ∠ +0 2 ∠ = ∠

∠ =

1 ∠ 2

Buku Ajar GMKM_

51

Untuk soal no. 21-22, Konstruk bukti permasalahan 19 & 20 dengan pembuktian yang berbeda. Untuk soal no. 23-45, Konstruksi bukti 23. Buktikan dua segitiga siku-siku kongruen, jika salah satu kaki tegak dan salah Soal no 23 sd 26 di samping biasanya berturut-turut dikenal sebagai Teorema K-Sd, Teorema M-Sd, Teorema Bisektor Sudut dan Convers Teorema Bisektor Sudut

satu sudut lancip pada segitiga pertama kongruen dengan salah satu kaki tegak dan sudut lancip pada segitiga kedua.

24. Buktikan dua segitiga siku-siku kongruen, jika sisi miring dan salah satu sudut lancip pada segitiga pertama kongruen dengan sisi miring dan salah satu sudut lancip pada segitiga kedua.

25. Buktikan bahwa jika suatu titik pada bisektor sudut, maka titik tersebut berjarak sama ke kaki dari sudut tersebut.

26. Buktikan bahwa jika suatu titik interior sudut dan titik tersebut berjarak sama dari kaki sudutnya, maka titik tersebut terletak pada bisektor sudut.

27. Diketahui : 1 2

Buktikan :

⊥

⊥

∠

≅∠

28. Dari gambar no. 27 di atas, diketahui ∆

dan

.

≅

≅

dan ∠1 ≅ ∠2. Buktikan ∆

≅

29. Diketahui : ⃖ ⃗ ⊥ ⃖ ⃗

⃖ ⃗⊥⃖ ⃗

1

⃖ ⃗ bisektor ⃖ ⃗

2

Buktikan :

30. Diketahui : Buktikan :

31. Diketahui :

∠1 ≅ ∠2 ∠ ≅∠ ≅

≅

≅

≅

,

, ∠1 ≅ ∠2

,

titik tengah Buktikan :

52 _Buku Ajar GMKM

titik tengah

≅

2 1

32. Diketahui : Buktikan : ∠

33. Diketahui : Buktikan : ∠ 34. Diketahui : Buktikan :

≅

≅

≅

≅

≅

,

≅

,

≅

≅∠

C

≅

35. Diketahui : ∠1 ≅ ∠3, ∠2 ≅ ∠4

C

⃗ bisektor ∠

D 4

D

B

C

E A

C

E

F

⃗ bisektor ∠

Buktikan :

B

A

≅∠ ,

E

D

F

1

3

B 2

B

A

36. Diberikan sebuah segitiga sama kaki dengan bisektor dari masing-masing sudut alasnya. Buktikan bahwa garis yang digambar dari titik puncak

segitiga itu dan melewati titi potong bisektor tersebut akan tegak lurus pada alas segitiga tersebut. 37. Diberikan dua garis tinggi pada dua sisi segitiga sama sisi. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik sudut ketiga dengan titik potong dua garis tinggi itu merupakan bisektor tegak lurus dari sisi ketiga itu. 38. Pada gambar di samping ini diketahui ∠

= 70 dan ∠

dan

adalah garis tinggi,

= 40 . Berapakah ∠

D

. B

Buku Ajar GMKM_

53

A C

39. Pada gambar di samping ini, ∆ 2

≅

. Buktikan bahwa ∠

sama kaki dengan siku-siku

≅

dan

1

40. Pada gambar di samping ini,

A

D

B

C

A

B

E

C D

∠

. Buktikan bahwa ∠

= 90 −

42. Diketahui ∆ ke

B

D

∠ .

= 180 − ( ∠ + ∠ ).

44. Diketahui :

F

dan

⃗ bisektor ∠

.

dan

> ∠

∠

> ∠

> ∠

45. Diketahui : segi empat Buktikan :

U R

∠ dan ∠ T

pada segitiga lancip ∆

= ∠ + ∠

∠ ∠

Buktikan :

54 _Buku Ajar GMKM

dan

jika diperpanjang berpotongan di titik . Dapatkah ditunjukkan

titik . Buktikan ∠

E

∠ .

dengan ∠ adalah sudut tumpul. Garis tinggi ke

43. Garis tinggi ke sisi C

dan

F

bahwa ∠

A

= 90 +

⃗ adalah bisektor ∠

⃗ bisektor ∠

41. Pada gambar berikut ini, Apakah ∠

⃗ dan

dengan diagonal adalah sudut siku-siku

>

S

berpotongan di

Daftar Pustaka [1].

Altshiller, N., & Court. 2007. College Geometry. New York: Dover Publications, Inc.

[2].

Brumfiel, C. F., Eicholz, R. E., & Shanks, M. E. 1960. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

[3].

Cifarelli, V., Gloag, A., Greenberg, D., Sconyers, J., & Zahner, B. 2009. Geometry. CK-12 Foundation.

[4].

Cirillo, M. & Herbst, P. G. 2012. Moving toward more authentic proof practice in geometry. Journal The Mathematics Educator, Vol. 21, No. 2: 11-33.

[5].

Coxford, A. F. and Usiskin, Z. P. 1971. Geometry A Transformation Approach. Illinois: Laidlaw Brothers Publishers.

[6].

Fuat. 2011. Modul Geometri 1. Pasuruan: STKIP PGRI Pasuruan.

[7].

Gantert, A. X. 2008. Geometry. New York: AMSCO School Publication, Inc.

[8].

Geometry. 2001. McDougal Littell. Dari Nexuslearning, (Online), (http:// http://www.nexuslearning.net/books/ml-geometry/), diakses tanggal 12 Juni 2013.

[9].

Gibilisco, S. 2003. Geometry Demystified. McGraw-Hill Companies.

[10].

Greenberg, M. J. 1980. Euclidean and Non-Euclidean Geometries Development and History. New York: W. H. Freeman and Company.

[11].

Herzog, D. A.. 2004. Geometry. New Jersey: Wiley Publishing, Inc.

[12].

Jurgensen, R. C., Brown, R. G., & Jurgensen, J. W. 2000. Geometry Students Edition. McDougal Littell.

[13].

Kohn, Ed. 2001. Geometry. New York: Hungry Minds, Inc.

[14].

Koberlein, G. M., & Alexander, D. C. 2011. Elementary Geometry for College Students. Canada: Brooks/Cole, Cengage Learning.

[15].

Kusno. 2004. Geometri. Jember: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember.

[16].

Larson, R., Boswell, L., Kanold, T. D., & Stiff, L. 2007. Geometry. Evanston: McDougal Littell A Division of Houghton Mifflin Company.

[17].

Leff, L. S. 2009. Barrons Regents Exams and Answer Geometry. New York: Barron’s Educational Series, Inc. Buku Ajar GMKM_

55

[18].

Lewis, H.. 1968. Geometry A Contemporary Course. Canada: D. Van Nostrand Company, Inc.

[19].

Mulyati, S. Geometri Euclid. Malang: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang.

[20].

Musser, G. L., Trimpe, L. E., & Maurer, V. R. 2008. College Geometry A Problem-Solving Approach with Application. New Jersey: Pearson Education, Inc.

[21].

Prenowitz, W., & Jordan, M. 1965. Basics Concept of Geometry. London: Blaisdell Publishing Company.

[22].

Purwanto. 2012. Argumen Valid. Yogyakarta: Aditya Media Publisihing.

[23].

Rich, B. 2005. Geometri (Wibi Hardani, Ed.). Jakarta: Penerbit Erlangga.

[24].

Serra, M. 2008. Discovering Geometry An Investigate Approach. Key Curriculum Press.

[25].

Soewardi. 1984. Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: Penerbit PT Gramedia.

[26].

Staff of Research & Education Association. 2008. Problem Solvers Geometry Plane-Solid-Analytic. New Jersey: Research & Education Association, Inc.

[27].

Sova, D. B. 1999. How to Solve Word Problems in Geometry. New York: McGraw-Hill.

[28].

Wallace, E. C., & West, S. F. 1992. Roads to Geometry. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

[29].

Wentworth, G., & Smith, D. E. 1888. Plane Geometry. Boston: Ginn and Company.

[30].

Wheater, C. 2010. Geometry. McGraw-Hill Companies.

[31].

http://dragonometry.net/geometry/geometry_holt_pages.php

56 _Buku Ajar GMKM

Glosarium Aksioma pernyataan-pernyataan atau hukum-hukum dasar yang secara umum kebenarannya dapat diterima tanpa perlu dibuktikan.

Garis Berat segmen garis yang ditarik dari sembarang titik sudutnya ke titik tengah sisi dihadapan sudut tadi.

Bidang termasuk undefined dan digambarkan dengan segiempat.

Garis Tinggi segmen garis yang ditarik dari sembarang titik sudutnya, tegak lurus terhadap sisi dihadapannya.

Bisektor Segmen Garis garis yang memotong segmen garis pada titik tengahnya.

Hipotesis bagian teorema yang mendasari dalam membuktikan teorema tersebut.

Bisektor Sudut sinar sedemikian sehingga titik pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama ukurannya dengan kaki sudut semula.

Interior himpunan titik yang terletak di daerah dalam suatu bangun.

Convers implikasi

→

menjadi

→

Corolarry teorema yang diakibatkan teorema lain

Daerah Segitiga gabungan himpunan titik-titik yang termuat pada segitiga dan interiornya. Disjungsi penghubung proposisi yang nilainya salah apabila kedua proposisi keduanya salah, jika tidak proposisi tersebut bernilai benar. Deduktif membuat bentuk khusus dari bentuk umum (general) Definisi istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Eksterior himpunan titik-titik yang tidak terletak pada sisi bangun dan interiornya. Eksistensi Ketunggalan terdapat satu dan hanya satu. Garis termasuk undefined dan digambarkan dengan sebuah coretan yang lurus. Garis Bagi lihat bisektor segmen garis.

Implikasi penghubung proposisi yang nilainya salah apabila nilai masingmasing proposisi benar dan salah, jika tidak proposisi tersebut bernilai benar. Jarak ukuran segmen garis hubung terpendek diantara dua bangun. Konjungsi penghubung proposisi yang nilainya benar apabila kedua proposisi keduanya benar, jika tidak proposisi tersebut bernilai salah. Kongruen ukurannya sama. Kongruensi lihat kongruen. Konklusi bagian teorema yang akan dibuktikan. Konstruk membangun sendiri Kontradiksi pernyataan majemuk yang nilainya selalu salah bagaimanapun nilai komponen-komponennya. Korespondensi pemasangan anggotaanggota dari dua himpunan yang berbeda. Negasi proposisi yang nilai kebenarannya kebalikan dari nilai kebenaran dari proposisi yang lain. Pembuktian mencari kebenaran dari pernyataan dengan membangun silogisme dengan pernyataanpernyataan yang lain yang bernilai benar. Postulat lihat aksioma. Buku Ajar GMKM_

57

Proyeksi penarikan garis tegak lurus titik-titik suatu bangun terhadap suatu bidang. Refleksif dibanding dengan dirinya sendiri. Ruas Garis himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik paling ujung dan semua titik diantara titik ujung tersebut. Segitiga poligon yang mempunyai tiga sisi. Segitiga Sama Sisi segitiga yang ketiga sisinya kongruen.

Sudut Berkomplemen beberapa sudut yang jumlah ukurannya 90. Sudut Bersuplemen beberapa sudut yang jumlah ukurannya 180. Sudut Bertolakbelakang dua sudut sedemikian sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar-sinar berlawanan dengan kaki-kaki sudut kedua. Sudut Bersisihan dua sudut yang mempunyai satu kaki sudut yang berserikat. Sudut Lurus sudut yang berukuran 180.

Segitiga Sama Kaki segitiga dimana dua sisinya kongruen.

Sudut Lancip sudut yang ukurannya lebih dari 0 dan kurang dari 90.

Segitiga Sama Sudut segitiga yang ketiga sudutnya kongruen.

Sudut Siku-siku sudut yang berukuran 90.

Segitiga Siku-siku segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.

Sudut Tumpul sudut yang ukurannya lebih dari 90 dan kurang dari 180.

Segitiga Lancip segitiga yang ketiga sudutnya lancip.

Tangent lihat garis singgung.

Segmen Garis lihat ruas garis. Sinar himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya. Sinar berlawanan dua sinar berlainan pada garis yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama. Simetri posisi kesamaan atau kongruensi dua obyek yang dapat dipertukarkan Sudut himpunan titik dari gabungan dua sinar yang kedua titik pangkalnya berserikat, tapi tidak terletak pada garis yang sama.

58 _Buku Ajar GMKM

Tegak Lurus membentuk sudut siku-siku. Teorema pernyataan yang belum jelas nilai kebenarannya. Titik termasuk undefined dan digambarkan dengan noktah/noda. Titik Tengah suatu titik pada segmen garis sedemikian sehingga ukuran dua segmen garis yang dibentuk oleh titik tersebut ke titik ujung segmen garis semula adalah sama. Transitif salah satu sifat dari penarikan kesimpulan pada operasi, misal “ = ; = maka = .

Indeks B Bisektor, Tegak lurus, 23, 25 E Eksistensi, Garis tegak lurus, 26 Ketunggalan, 26 I Interior, Segitiga, 16 J Jarak, 20 Jumlah, Dua sisi Segitiga, 34 Ukuran Sudut Segitiga, 27 K Ketaksamaaan, Sudut Apit, 35 Kongruensi, Segitiga, 2, 7 Segitiga siku-siku, 13,14 Sudut Segitiga, 28 K-K, 13 L Lukis, Segitiga, 9, 11, 13 M M-K, 14 P Pasch, 16 Proyeksi, 21 R Refleksif, Segmen, 4 Segitiga, 3 Sudut, 4

S S-S-S, 12 S-Sd-S, 8 Sd-S-Sd, 10 Sd-Sd-S, 15 Segitiga, Kongruen, 2, 7 Tidak Kongruen, 32, 33 Sama Kaki, 17 Sama Sisi, 18 Sama Sudut, 19 Siku-siku, 30 Simetri, Segmen, 5 Segitiga, 4 Sudut, 5 Sisi, Kongruen, 7 Segitiga Tidak Kongruen, 32 Sudut, Apit, 35 Dihadapan Sisi, 35 Eksterior Segitiga, 29 Kongruen, 7 Lancip Segitiga Siku-siku, 30 Segitiga, 27 Sama Sisi, 31 Tidak Kongruen, 33 T Tegaklurus, 43 Titik, Berjarak Sama, 23 Diluar Garis, 26 Pada Garis, 26 Transitif, Segmen, 6 Segitiga, 4 Sudut, 6 U Ukuran, Sudut dihadapan Sisi, 35 Sudut Segitiga, 27 Sudut Segitiga Sama Sisi, 31 Sudut Eksterior Segitiga, 29

Buku Ajar GMKM_

59

Fuat. Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga)

Recommend Documents