KATA PENGANGAR Buku ini merupakan penyempurnaan materi kuliah Geometri Bidang selama 3 tahun terakhir. Karena adanya perubahan kurikulum di tingkat sekolah menengah, maka materi yang ada di dalam buku ini juga memuat sebahagian dari materi geometri yang ada di tingkat sekolah menengah akan tetapi dengan pola yang berbeda.
Isi secara umum Secara umum isi dari buku ini memuat beberapa pendekatan yang berbeda dengan geometri analitik, karena penekanan dalam buku ini bukanlah bersifat analitik. Pada awal buku diberikan satu bab tentang motivasi, dengan tujuan ingin menunjukkan bahwa sebenarnya sangat menarik bagi kita untuk mempelajari geometri dan juga menunjukkan bahwa banyak persoalan lain yang sebenarnya mudah kita selesaikan dengan menggunakan pendekatan geometri. Selain dari itu dalam banyak pendekatan diberikan bahwa kita dapat dengan mudah membuktikan suatu teorema yang mungkin hanya kita cukup menggunakan konsep luas dan teorema Pythagoras yang sudah dikenal mulai dari sekolah menengah pertama. Dalam banyak teorema diberikan berbagai alternatif pembuktian, mulai dari konsep yang sederhana dan juga sampai ke tinggal analisis dengan pemikiran yang mendalam. Hal ini diberikan dengan tujuan ingin menunjukkan bahwa untuk mencapai sesuatu itu jalannya tidak selalu tunggal tapi kita dapat menggunakan konsep yang lebih sederhana. Jadi secara umum isi buku ini adalah mencoba memberikan pendekatan pembuktian suatu konsep dengan menggunakan konsep yang lebih sederhana. Pada bab 5 dan 6 adalah berupa lingkaran I dan Lingkaran II, akan tetapi isi dari bab tersebut bukanlah tentanng persamaan lingkaran. Karena persamaan lingkaran sudah dibahas denagn sangat lengkap di tingkat sekolah menengah, maka pada bab 5 dan 6 ini isinya lebih kepada hubungan antara lingkaran dan segitiga yang sebahagian kecil juga
Geometri : ___________________________________________________________
vii
termasuk pembahasan hubungan lingkaran dengan segiempat, misalnya pembahasan tentang segiempat siklik (segiempat talibusur).
Untuk Mahasiswa Materi pada bab 1 pada dasarnya hanyalah ingin memotivasi pembaca dan menunjukkan bagaimana mudahnya kita bekerja dengan menggunakan geometri dan yang paling penting adalah mengingatkan bahwa janganlah dalam menyelesaikan persoalan geometri kita selalu mengingat rumusnya dan bagaimana cara menghitungnya, pada bab ini juga diberikan contoh sederhana bagaimana menyelesaikan suatu persoalan tanpa harus menggunakan rumus-lrumus yang sulit. Materi pada bab 2, 3 dan 4 bukanlah menjadi tujuan dari buku ini, akan tetapi materi yang ada pada bab tersebut hanya sebagai mengingatkan kepada mahasiswa bahwa untuk memperajari bagian selanjutnya anda harus memahami konsep yang ada pada bab-bab tersebut, terutama bab 2 dan bab 3, sedangkan bab 4 tentang irisan kerucut hanya bersifat parsial dari materi lain, akan tetapi ada juga baiknya dipahami karena di bagian akhir juga dibahas tentang teorema Butterfly pada parabola dan elips, serta penerapan teorema Pappus pada elips. Untuk mahasiswa strata 1, konten utama untuk mahasiswa adalah pada bab 5, 6 dan 7 dengan pengembangan pada bab 8 dan 9. Sedangkan untuk mahasiswa strata 2 bidang minat pengajaran matematika, bab 2, 3, 4 dan 5 wajib sudah dipahami dan dengan pengulangan pemahaman pada bab 6 dan 7, maka materi pada bab 8, 9 ,10, 11 dan 12 menjadi materi utama bagi anda dengan pengembangan pada bab 11.
Untuk Dosen Perlu dipahami bahwa terdapat beberapa konsep yang muncul pada beberapa bab, akan tetapi hal itu sengaja disusun sedemikian rupa agar, materi dapat menyambung dengan materi selanjutnya. Akan tetapi dalam proses pengajaran diperolehkan memberikan konsep yang ada pada suatu bab tapi disambungkan dengan materi yang sama pada bab lain. Mialnya konsep centroid ada di bab 6, 7 dan 9, kalau Bapak/Ibu dalam proses
Geometri : ___________________________________________________________
viii
pembelajaran menginginkan dalam satu pertemuan konsep centroid selesai untuk ke tiga teorema yang ada, maka pembelajarannya dapat dilakukan mengambil materi yang ada pada masing-masing bab tersebut dan untuk selanjutnya diteruskan sesuai dengan tujuan pembelajaran yang anda susun. Juga perlu diperhatikan bagi dosen untuk memberikan soal latihan kepada mahasiswa/i, karena ternyata setelah draf buku ini disusun tetapi baru disadari bahwa ada soal yang lebih mudah dikerjakan dengan konsep lain akan tetapi soal tersebut muncul pada soal latihan yang lain pula. Akan tetapi hal ini tidak akan merusak konten dari isi buku ini. Sedangkan untuk pengajaran dengan 3 sks dilevel S1 Matematika dilakukan sebagai berikut
Bab 1 pada pertemuan pertama ditambah kontrak kuliah dll
Bab 2,3 dan 4 dalam bentuk remedial maksimal dalam 5 pertemuan
Bab 5 dan 6 dalam 5 pertemuan
Bab 7, 8 dan 9 maksimal dalam 5 pertemuan
Perlu diperhatikan bahwa konsep dan penerapan dengan tingkat kesulitan tinggi pada bab 8 dan 9 untuk level S1 tidak perlu dibahas semua, akan tetapi di level S2 mesti diajarkan dengan sesempurna mungkin.
Teladan dan soal latihan Seperti dalam banyak buku matematika (termasuk geometry) kebanyakan isi dari buku tersebut adalah soal latihan, sehingga pada kebanyakan buku soal latihan dibuat disetiap akhir sub bab. Akan tetapi dalam buku ini soal latihan tidak dibuat dalam setiap sub bab (kecuali pada bab 4), akan tetapi dibuat setelah 2 atau 3 sub bab. Hal ini sengaja dilakukan karena beberapa soal memang diperlukan konsep yang dibahas dalam 2 atau 3 sub bab tersebut, namun demikian sedikitnya jumlah soal latihan tidak akan mengurangi bahan bagi mahasiswa untuk mencari soal latihan. Karena soal yang ada pada umumnya cukup bervariasi dengan tingkat analisis yang berbeda. Soal latihan dibagi dalam 3 bagian, bagian pertama yang tanpa tanda bintang, soal yang tanpa tanda bintang adalah soal dalam tingkat analisis mudah, sedang dan agak
Geometri : ___________________________________________________________
ix
sulit, sehingga diharapkan kepada para mahasiswa untuk dapat minimal mengerjakan soal yang tanpa tanda bintang. Bagian kedua soal dengan tanda (*). Ini sudah merupakan soal dengan tingkat kesulitan agak tinggi, sehingga mungkin hanya mahasiswa yang sangat berminat di bidang geometry yang dapat menyelesaikannya. Bagian ketiga adalah soal dengan tanda (**), ini merupakan soal dengan tingkat kesulitan sangat tinggi. Bagi mahasiswa yang mampu menyelesaikan soal dengan tanda (**) berarti anda punyai kemampuan geometri dan analisis yang cukup/sangat baik. Dalam buku ini contoh soal diistilahkan dengan teladan.
Geometri : ___________________________________________________________
x
DAFTAR ISI Kata Pengantar
vii
Daftar Isi
xi
BAB
I. PENDAHULUAN 1.1.
Motivasi I
2
1.2.
Motivasi II
4
1.3.
Motivasi III
6
1.4.
Motivasi IV
10
Soal Latihan 1
17
BAB II. PERSAMAAN GARIS LURUS 2.1. Persamaan Garis Lurus
19
2.2. Kolinearitas Tiga Buah Titik
27
2.3. Sudut Antara Dua Garis Lurus
31
2.4. Jarak Titik ke Garis
33
2.5. Berkas/Keluarga Garis
36
Soal Latihan 2.
41
2.6. Garis Kuasa dan Titik Kuasa
44
Soal Latihan 3
52
BAB III. KESEBANGUNAN BANUNG DATAR 3.1. Garis dan Sudut
55
3.2. Segitiga
58
3.3. Kongruensi Antara Dua Segitiga
64
Soal Latihan 4
69
3.4. Kesebantunan Antara Dua Segitiga
73
Soal Latihan 5
Geometri : ___________________________________________________________
82
xi
BAB IV. IRISAN KERUCUT 4.1. Pengantar Irisan Kerucut
86
Soal Latihan 6
92
4.2. Parabola
94
4.2.1. Parabola berpuncak di 0(0,0)
94
4.2.2. Parabola Berpuncak di A(α,β)
99
4.2.3. Persamaan Garis Singgung Pada Parabola
104
Soal Latihan 7
114
4.3. Elips
118
4.3.1. Persamaan elips yang berpusat di P(0,0)
118
4.3.2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
123
Soal Latihan 8
126
4.4. Hiperbola
130
4.4.1. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(0,0 )
130
4.4.2. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(α,β)
136
Soal Latihan 9
138
BAB V. LINGKARAN I 5.1. Sifat-Sifat Dasar
143
5.2. Lingkaran Luar Segitiga
159
Soal Latihan 10
168
5.3. Lingkaran Dalam Segitiga
171
5.4. Lingkaran Singgung Suatu Segitiga
175
Soal Latihan 11
180
BAB VI. LINGKARAN II 6.1. Teorema Carno’s
186
6.2. Teorema Centroid dan Teorema Euler
191
Geometri : ___________________________________________________________
xii
Soal Latihan 12
294
6.3. Segi-Empat Siklik
197
6.4. Teorema Ptolemy
220
Soal Latihan 13
243
BAB VII. GARIS-GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA 7.1. Sisi dan Sudut
247
7.2. Beberapa Teorema Khusus
250
7.3. Konjugate Harmonik
258
Soal Latihan 14
259
BAB VIII. KONGKURENSI 8.1 Teoema Ceva
266
8.2. Teoema Brianchon
276
Soal Latihan 15
278
8.3. Teorema Menelaus
283
8.4. Konsekuensi Dari Teorema Ceva dan Menelaus
286
Soal Latihan 16
BAB
291
8.5. Teorema Pappus
294
8.6. Teorema Pascal
297
8.7. Teorema Desargues’s
301
Soal lalihan 17
305
IX. TEOREMA BUTTERFLY 10.1. Teorema Butterfly
312
10.2. Teorema Butterfly Untuk Segi-Empat
326
10.3. Teorema Butterfly Pada Hiperbola dan Elips
332
Soal Latihan 18
Geometri : ___________________________________________________________
339
xiii
BAB X. KETAKSAMAAN ERDOS-MORDELL’S 10.1. Ketaksamaan Erdos-Mordell’s
341
10.2. Ketaksamaan Bertanda Erdos-Mordell’s
352
10.3. Ketaksamaan Barrow’s
363
10.4. Ketaksamaan Erdos-Mordell’s Untuk Segi-Empat
369
Soal Latihan 19
371
BAB XI. PENGEMBANGAN SEGITIGA 11.1. Titik Geogonne Pada Suatu Segitiga
386
11.2. Titik Nagel dan Segitiga Nagel
403
Latihan 20
417
11.3. Luas Segitiga Gergonne
419
11.4. Kontruksi Titik Nagel Melalui Incircle
428
11.5. Semi titik Nagel
434
Latihan 21
438
BAB XII. Beberapa Pengembangan Lainnya 12.1. Perbandingan Luas Antara Segitiga External
442
Dengan Segitiga Asal 12.2. Perbandingan Jari-Jari
451
Latihan 22
454
12.3. Luas Segitiga Titik Diagonal Pada Segiempat Siklik
456
12.4. Luas Segitiga Titik Diagonal Pada Trapesium dan Layang-layang
465
12.5. Beberapa Alternatif Bukti Teorema Simson’s
472
Latihan 23
Geometri : ___________________________________________________________
485
xiv
Daftar Pustaka
479
Daftar Istilah
483
Daftar Simbol
487
Geometri : ___________________________________________________________
xv
