Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor
dan
a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized) : u dan v saling ortonormal :
dan
Ilustrasi 1 Saling ortogonal karena
dan
dan
Saling ortonormal karena
dimana Saling ortogonal dan saling ortonormal karena
dan
Matriks ortogonal Matriks
dikatakan ortogonal jika or
Ini berarti setiap kolom (baris) dari Q saling ortonormal , yakni dan
, untuk
adalah matriks ortogonal (periksa)
Eigenvalues and Eigenvectors dan vector Pasangan
disebut pasanganpasanagan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian jika setiap
memenuhi persamaan
Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikan prsamaan (determinan) Jika A simetri, maka semua nilai eigen bernilai riil Jika A definit positif maka semua nilai eigen bernilai positif Secara umum
dapat bernilai kompleks
Pada umumnya dalam statistik multivariat kita bekerja pada vektor-vektor eigen yang normnya 1 (normalized)
Jika
vektor-vektor eigen ortonormal maka
kita punya persamaan matriks (lihat teks)
atau
Hasil ini memegang peranan dalam dekomposisi spektral
atau
ortogonal
diagonal
Dekomposisi spektral dari matrik simeri Definit positif
simetri Dekomposisi spektral
nilai-nilai eigen dari A Vektor-vektor eigen (normalized) yang bersesuaian dengan (ortonormal)
Sifat-sifat matriks simetri simetri Mempunyai k pasangan nilai eigen dan vektor eigen
Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilainilai eigen, semuanya ortonormal Semua nilai eigen bernilai riil Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, berimplikasi A singular Jika A nonsingular , maka terdapat invers
Contoh
Lanjutan
Mudah diperiksa bahwa P ortogonal
Matriks Definit positif & Form Kuadratik Misalkan
matriks simetri dan vector
A disebut definit positif jika x’ A x disebut bentuk kuadratik Matriks simetri
definit positif jika dan hanya jika
semua nilai eigennya positif Definit positif dari bentuk kuadratik dapat di interpretasikan sebagai kuadrat jarak
Rangkuman Misal
matriks simetri berukuran
.
Maka
mempunyai k pasang
nilai eigen dan vektor eigen Vektor-vektor eigen dapat dipilih sehingga memenuhi dan saling mutually perpendicular Matrik simetri
mempunyai dekomposisi spektral
dimana adalah nilai-nilai eigen dari A dan adalah vektor-vektor eigen (yang dinormalisasi/uniter) yang bersesuaian dengan dan
Matrik
defenit positif dengan dekomposisi spektral matriks yang kolom-kolomnya merupakan
Misalkan
vektor-vrktor eigen yang dinormalisir, maka
dimana dan
matriks diagonal
CC: Dalam hal ini A harus definit positif, dimana semua nilai-nilai eigennnya juga positif
A matriks definit positif
dengan dekomposisi spektral
dan inversnya
maka
disebut matriks akar kuadrat atau matriks standar deviasi dimana dan
Ilustrasi 1 matriks simetri Nilai-nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
Untuk Untuk
, vektor eigennya ,
, dinormalisasi menjadi
vektor eigennya
,
dinormalisasi menjadi
Dekomposisi spektral dari A adalah
CC : disini ada nilai eigen bernilai negatif ( definit positif. Akibatnya , tidak berlaku ??
), jadi A bukan matriks
Ilustrasi 2 (A definit positif)
Nilai-nilai eigen Vektor2 eigen
dinormalisasi dinormalisasi
dinormalisasi Dekomposisi spektral
Karena A definit positif (semua nilai eigen positif), maka
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Nilai Singulir dan Dekomposisi Singulir
Maka dekomposisi singulir adalah dimana r buah vektor unit ortog berukuran mx1 r buah vektor unit ortog berukuran kx1
dengan entri (i,i) adalah pasanagn nilai eigen dan vektor eigen
Ilustrasi Tentukan dekomposisi nilai singulir dari matriks Solusi 3 1 11 1 3 1 11 1 1
3 1 1 A 1 3 1
nilai-nilai eigen
3 1 1 1 3 1 1
nilai-nilai eigen
Jadi
Matriks-matriks khusus
•
Perkalian Kronecker Definisi 2.1 Misalkan A dan B dua buah matriks masing-masing berukuran maka perkalian Kronecker (Kronecker product) dari A dan B dan dinotasikan sebagai
yaitu suatu matriks berukuran
didefinisikan sebagai,
Misal dan
=
maka
•Operator Operator yang mentransformasikan matriks kedalam bentuk vektor disebut “operator vec” disingkat “ .
Jika A adalah matriks berukuran maka
dengan kolom ke-i adalah
adalah sebuah vektor berukuran
dan dinyatakan sebagai
Misal maka
•Matriks Komutasi (Commutation matriks) Suatu matriks bujur sangkar P disebut matriks komutasi jika setiap baris dan setiap kolom dari matrik P hanya mengandung sebuah elemen 1, dan yang
lainnya adalah nol. Matriks Identitas termasuk salah satu matrik komutasi.
Definisi adalah matriks berukuran Misalkan yakni baris ke-i dan kolom-j. dengan elemen tidak nol, yaitu 1 pada posisi Maka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengan dan didefenisikan sebagai
Contoh membentuk matriks Komutasi Misalakan diberikan dua matriks identitas dan kolom pertama dari dan kolom pertama dari maka
sehingga
adalah adalah
Selanjutnya, kolom pertama dari dan kolom kedua dari
adalah adalah
maka
sehingga Selanjutnya, kolom pertama dari dan kolom ketiga dari maka sehingga
adalah adalah
Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom pertama dari
adalah adalah
maka sehingga Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom kedua dari maka sehingga
adalah adalah
Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom ketiga dari
adalah adalah
maka
sehingga Diperoleh Matriks komutasinya adalah
Dapat ditunjukkan bahwa
(sifat)
Perhatikan bahwa untuk memperoleh matriks komutasi , setiap kolom pada matriks identitas pertama dikalikan dengan setiap kolom pada matriks identitas yang kedua. Matriks
diperoleh dari perkalian kolom ke-i pada matriks identitas pertama dengan kolom ke-j pada matriks identitas yang kedua
•Perkalian Hadamart (The Hadamard Product) Operator dari perkalian Hadamard dinotasikan dengan
yakni suatu operator yang mengalikan dua matriks berukuran sama dengan elemen-elemen yang indeksnya bersesuaian Misalkan A dan B dua matriks berukuran sama yakni maka perkalian Hadamard dari matriks A dan B didefenisikan sebagai
