METODE MENENTUKAN PRIORITAS DALAM ANALYTIC HIERARCHY PROCESS MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
PROYEK Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung
Oleh:
SURIPTO NIM : 20107032 Program Studi Pengajaran Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009
METODE MENENTUKAN PRIORITAS DALAM ANALYTIC HIERARCHY PROCESS MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Oleh SURIPTO NIM : 20107032
Program Studi Pengajaran Matematika Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Pembimbing Tanggal : 26 Juni 2009
Pembimbing I
Pembimbing II
(Dr. Pudji Astuti)
(Dr. Hanni Garminia)
NIP.131 572 750
NIP. 132 230 093
ii
Abstrak Metode Menentukan Prioritas dalam Analytic Hierarchy Process Menggunakan Dekomposisi Nilai Singular Oleh Suripto NIM : 20107032
Tulisan ini membahas metode menentukan prioritas dalam Analytic Hierarchy Process (AHP) dengan menggunakan dekomposisi nilai singular. AHP telah diterima sebagai salah satu metode yang dapat digunakan dalam pengambilan keputusan yang melibatkan berbagai kriteria. Dasar metode AHP adalah metode vektor eigen yang diperoleh dari nilai eigen terbesar yang berkaitan dengan vektor eigen matriks positif resiprokal n × n yang disebut matriks perbandingan berpasangan. Elemenelemen matriks perbandingan berpasangan diperoleh dari membandingkan antara dua alternatif yang didasarkan pada skala perbandingan AHP 1-9. Selanjutnya ditentukan vektor bobot yang komponen-komponennya dinormalisasi dan menunjukkan bobot prioritas setiap alternatif yang menjadi dasar pengambilan keputusan. Dalam tulisan ini dekomposisi nilai singular dan hampiran rank rendah pada matriks perbandingan berpasangan digunakan untuk menentukan prioritas tersebut. Misalkan u = (u1 , u2 , · · · , un ) dan v = (v1 , v2 , · · · , vn ) masing-masing vektor singular kiri dan kanan matriks perbandingan berpasangan yang berasosiasi dengan nilai singular terbesar. Selanjutnya ditunjukkan bahwa prioritas ke-i ditentukan sebagai wi =
ui + v1
i 1 j=1 (uj + vj
Pn
)
, dengan i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Urutan prioritas itulah kemudian di-
gunakan sebagai dasar pengambilan keputusan. Kata kunci : AHP, dekomposisi nilai singular, vektor prioritas, matriks perbandingan berpasangan.
iii
Abstract Determine Priority Method in The Analytic Hierarchy Process Using Singular Value Decomposition By Suripto ID : 20107032
This project discuss a method to determine priority in the analytic hierarchy process (AHP) using singular value decomposition. The AHP has been accepted as a method can used in decision making process which involved many criteria. The foundation of AHP is the eigenvector method connected to the largest eigenvalue and its associated eigenvector of an (n × n) positif reciprocal matrix called as pairwise comparison matrix. The elements of pairwise comparison matrix are acquired from comparing two alternative which based on the 1-9 AHP fundamental comparison scale. Further, the weights vector is determined that the components are normalized and indicate the priority of all alternative which become the foundation of the decision . In this project the singular value decomposition and the theory of low rank approximation of a pairwise comparison matrix are used for determining the associated priority. Let u = (u1 , u2 , · · · , un ) and v = (v1 , v2 , · · · , vn ) be the left and right singular vectors of the pairwise comparison matrix corresponding to the largest singular value. Further, it is shown that the i-th priority is of the form wi =
ui + v1
i 1 j=1 (uj + vj
Pn
)
, where
i, j = 1, 2, 3, · · · , n.. Then, the decision is made based on this priority order. Keywords : AHP, singular value decomposition, priority vector, pairwise comparison matrix.
iv
Pedoman Penggunaan Tesis Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
v
Kata Pengantar
Bismillahirohmanirrohim Segala puji penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayahNya penulis dapat menyelesaikan buku proyek ini yang merupakan syarat lulus program Magister dari Institut Teknologi Bandung. Proyek ini berjudul " Metode Menentukan Prioritas dalam Analytic Hierarchy Process Menggunakan Dekomposisi Nilai Singular". Pada proyek ini dibahas mengenai AHP dan bagaimana mendapatkan vektor prioritas dalam AHP tersebut dengan menggunakan metode dekomposisi nilai singular. Tujuan proyek ini adalah untuk mengetahui dasar diperolehnya vektor prioritas dalam AHP. Dalam menyelesaikan proyek ini penulis dibantu oleh beberapa pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Penulis mengucapkan terima kasih yang tulus kepada yang terhormat Dr. Pudji Astuti serta Dr. Hanni Garminia selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi yang sangat berharga kepada penulis selama proses pembuatan proyek ini. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada: 1. Direktorat Pendidikan Islam Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan bantuan biaya studi di ITB. 2. Istri dan anak-anak tercinta yang tak pernah putus memberikan doa, perhatian dan dorongan kepada penulis.
vi
3. Dr. Irawati dan Dr. Janson Naiborhu selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran. 4. Dr. Oki Neswan selaku dosen wali yang telah memberikan saran yang berharga kepada penulis selama mengikuti pendidikan Magister di ITB. 5. Seluruh dosen dan staf tata usaha Program Studi Matematika ITB yang telah memberikan bekal ilmu dan pelayanan kepada penulis. 6. Teman satu perjuangan di MTsN Jatisari serta Ibu Hj. Didah Farizah, BA. selaku Kepala Madrasah, yang telah memberikan dorongan baik moril maupun materiil kepada penulis. 7. Teman-teman satu angkatan Program Magister Pengajaran Matematika,semoga kita masih tetap bisa bersilaturahmi. 8. Semua Pihak yang telah membantu selama mengikuti pendidikan Magister di ITB yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam proyek ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhirnya penulis berharap semoga proyek ini bermanfaat, khususnya bagi rekan-rekan yang mempelajari bidang Aljabar.
Bandung, Juni 2009 Penulis
Suripto
vii
DAFTAR ISI
Halaman Pengesahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Abstrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
Pedoman Penggunaan Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Kata Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
Daftar Isi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
BAB I
: PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2
Ruang Lingkup Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.3
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
BAB II : MATRIKS POSITIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Matriks Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BAB III : MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP . . . . . .
4 4 31
III.1 Prinsip dan Tahapan AHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III.2 Dekomposisi Nilai Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III.3 Menentukan Prioritas AHP Menggunakan Dekomposisi Nilai Singular 47 III.4 Contoh Perhitungan Menentukan Prioritas . . . . . . . . . . . . . . . 54 BAB IV : PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
IV.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 IV.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Riwayat Hidup Penulis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
viii
