Pertemuan 1 Pendahuluan Dasar-Dasar Logika
Apakah Matematika Diskrit itu? Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Objek disebut diskrit jika:
- terdiri dari elemen yang berbeda (distinct) dan terpisah secara individual, atau - elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
Diskrit versus kontinu
Kurva mulus: himpunan menerus Titik-titik tebal di kurva: himpunan diskrit
Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan
dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Kamera digital menangkap gambar (analog) lalu direpresentasikan
dalam bentuk diskrit berupa kumpulan pixel atau grid. Setiap pixel adalah elemen diskrit dari sebuah gambar
4
Matematika Diskrit: cabang matematika yang mengkaji
objek-objek yang nilainya berbeda (distinct) dan terpisah (separate) satu sama lain. Lawannya: Matematika Menerus (continuous mathematics),
yaitu cabang matematika dengan objek yang sangat mulus (smoothy), termasuk di dalamnya calculus.
1. Logika
2. Teori Himpunan
3. Relasi dan Fungsi
Sumber: www.mathwarehouse.com
4. Induksi Matematik
Sumber gambar: math.stackexchange.com
5. Kombinatorial
Sumber: www.coolmath.com
Sumber: ronsden.com
6. Rekursif dan relasi rekurens
Sumber: www.ilxor.com
Sumber: cas.bethel.edu
7. Teori Graf
Sumber: simonkneebone.com
LOGIKA
Dasar-Dasar Logika Logika merupakan studi penalaran (reasoning)
Menurut kamus Besar Bahasa Indonesia didefinisikan sebagai cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements) Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer , misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan, perancangan komputer dan lain-lain
Kalimat Deklaratif/ Proposisi Definisi 1.1 Kalimat deklaratif (proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah namun tidak keduanya sekaligus. Contoh: a. Jakarta adalah ibukota Negara Indonesia b. Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama c. 5 adalah bilangan ganjil d. Ibukota Provinsi Sumatera Selatan adalah Medan e. 10 . ≤8 f. Kemarin hari hujan g. Wanita itu sangat cantik h. Dimanakah rumahmu?
Penghubung Kalimat Definisi 1.2 Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi 𝑝 ∧ 𝑞, adalah proposisi p dan q Disjungsi p atau q dinyatakan dengan notasi 𝑝 ∨ 𝑞, adalah proposisi p atau q Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan notasi ∼ 𝑝, adalah proposisi tidak p
Contoh: Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah Tentukan bentuk proposisi dari 𝑝 ∧ 𝑞, 𝑝 ∨ 𝑞 dan ∼ 𝑝 Penyelesaian: 𝑝 ∧ 𝑞 : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah 𝑝 ∨ 𝑞 : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah ∼𝑝
: Tidak benar hari ini hujan atau hari ini tidak hujan
Contoh: Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan proposisi berikut ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik): a. b. c. d. e. f.
Pemuda itu tinggi dan tampan Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian: a. b. c. d. e.
𝑝∧𝑞 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼ ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 𝑝∨ ∼𝑝∧𝑞
Tabel Kebenaran Definisi 1.3 Misalkan p dan q adalah proposisi a. Konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah b. Disjungsi 𝑝 ∨ 𝑞 bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar c. Negasi p, yaitu ∼ 𝑝, bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar Contoh: Misalkan p : 17 adalah bilangan ganjil q : 9 adalah bilangan prima jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 : 17 adalah bilangan ganjil da 9 adlah bilangan prima Adalah salah
Tabel Konjungsi p q 𝑝∧𝑞 B B B B S S S B S S S S Tabel Disjungsi p q 𝑝∨𝑞 B B S B S S S B S S S B Tabel Negasi p q B B B S
∼𝑝 B S
Contoh: Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut: a. ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 b. 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ ∼ 𝑞 ∧ 𝑟 Penyelesaian: a. p q B B B S S B S S
∼𝑞 S B S B
𝑝 ∧∼ 𝑞 S B S S
∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 B S B B
b. p B B B B S S S S
q B B S S B B S S
r B S B S B S B S
𝑝∧𝑞 B B S S S S S S
∼𝑞 S S B B S S B B
∼𝑞∧𝑟 S S B S S S B S
𝑝∧𝑞 ∨ ∼𝑞∧𝑟 B B B S S S B S
3.
4.
5. Tuliskan tabel kebenaran untuk setiap proposisi berikut: a. 𝑝 ∨ 𝑞 ∧∼ 𝑝 b. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 c. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 d. 𝑝 ∧ 𝑞 ∧∼ 𝑟 ∨ 𝑝 e. 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟
∧ 𝑟∨ 𝑞∨𝑝
