Persamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson (Pendahuluan) Poisson 1D dengan Syarat Batas Dirichlet Persamaan Poisson 1D untuk syarat batas Robin Persamaan Poisson 2D dengan syarat batas Dirichlet

Persamaan Poisson Fisika Komputasi Irwan Ary Dharmawan Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran http://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan email : [email protected]

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


1

Persamaan Poisson (Pendahuluan)

2

Poisson 1D dengan Syarat Batas Dirichlet

3

Persamaan Poisson 1D untuk syarat batas Robin

4

Persamaan Poisson 2D dengan syarat batas Dirichlet

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


Dalam pertemuan ini kita akan membahas untuk menyelesaikan persamaan Poisson di bawah ini ∇2 u(r) = v(r).

(1)

dengan u dan v(r) menyatakan potensial dan sumber. Dalam kasus Elektrostatik biasanya ditulis sebagai E = −∇ φ.

(2)

dengan E menyatakan medan listrik dan φ adalah medan potensialnya. Potensial itu sendiri memenuhi persamaan Poisson sebagai berikut ρ ∇2 φ = − , (3) ǫ0 Dengan ρ(r) menyakan rapat massa dan ǫ0 adalah permitivitas ruang hampa Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


Dalam kasus gravitasi Newtonian f dapat dinyatakan sebagai gaya akibat medan potensial φ f = −∇ φ.

(4)

Potensialnya sendiri memenuhi persamaan Poisson berikut ∇2 φ = 4π 2 G ρ,

(5)

ρ(r) menyatakan rapat massa dan G adalah konstanta Gravitasi.

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 1D d2 u(x) = v(x), dx2

(6)

dengan xl ≤ x ≤ xh , syarat batas Dirichlet u(xl ) = ul dan u(xh ) = uh . Sebagai langkah awal kita bagi domain xl ≤ x ≤ xh ke dalam segmen yang serbasama xi = xl +

i (xh − xl ) , N +1

Untuk i = 1, N , dan batas xl dan xh berada di titik i = 0 dan i = N + 1 berturut-turut.

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(7)


Selanjutnya kita diskritisasi d2 u/dx2 pada titik-titik grid. Diskritisasi yang paling mudah dengan menggunakan d2 u(xi ) ui−1 − 2 ui + ui+1 = + O(∆x)2 . 2 dx (∆x)2

(8)

Persamaan (8) merupakan persamaan central difference orde 2. Persamaan (8) dapat ditulis kembali menjadi ui−1 − 2 ui + ui+1 = vi (∆x)2 , untuk i = 1, N dengan vi ≡ v(xi ), selanjutnya u0 = ul dan uN +1 = uh , dengan vi menyatakan suku sumber yang telah didiskritisasi.

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(9)


Jika u = (u1 , u2 , · · · , uN ) adalah vektor dari nilai u dan

w = [v1 (∆x)2 −ul , v2 (∆x)2 , v3 (∆x)2 , · · · , vN −1 (∆x)2 , vN (∆x)2 −uh ] (10) merupakan vektor sumber. Maka diskritisasi persamaan menjadi M u = w.

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(11)


Jika ditulis dalam bentuk matriks maka akan menjadi :   −2 1 0 0 0 0  1 −2 1 0 0 0     0 1 −2 1 0 0    M= 0 1 −2 1 0   0   0 0 0 1 −2 1  0 0 0 0 1 −2

(12)

Matriks M merupakan matriks tridiagonal. Untuk menyelesaikan persamaan (12) maka dapat digunakan persamaan berikut u = M−1 w, Dengan M−1 menyatakan inverse matriks dari M. Persamaan (13) bisa diselesaikan menggunakan metoda iterasi untuk persamaan linier. Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(13)


Pada slide sebelumnya kita membahas persamaan Poisson untuk syarat batas Dirichlet, lalu bagaimana jika kita menerapkan syarat batas Robin untuk kasus ini, misalkan αl u(x) + βl

du(x) = γl , dx

(14)

du(x) = γh , dx

(15)

pada x = xl , kemudian αh u(x) + βh

pada x = xh . Dengan α dan β merupakan konstanta, dan syarat batas di atas dikenal sebagai syarat batas Robin karena merupakan campuran antara syarata batas Dirichlet dan Neumann

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


Jika persamaan (14) dan (15) kita diskritisasi akan menghasilkan u1 − u0 = γl , ∆x

αl u0 + βl

(16)

dan

uN +1 − uN = γh , ∆x Ekspresi di atas dapat ditulis kembali menjadi αh uN +1 + βh

u0 = uN +1 =

γl ∆x − βl u1 , αl ∆x − βl γh ∆x + βh uN . αh ∆x + βh

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(17)

(18) (19)


Dengan menggunakan persamaan (8) dan (18), masalah dapat direduksi menjadi persamaan tridiagonal matriks Mu = w dengan elemen diagonal kiri, tengah dan kanan menggunakan elemen sebagai berikut : ai = 1 untuk i = 2, N kemudian βl b1 = −2 − , (20) αl ∆x − βl dan bi = −2 untuk i = 2, N − 1 dan βh bN = −2 + , (21) αh ∆x + βh dan ci = 1 untuk i = 1, N − 1. Sedangkan ruas kanan γl ∆x , (22) w1 = v1 (∆x)2 − αl ∆x − βl dengan wi = vi (∆x)2 untuk i = 2, N − 1. dan γh ∆x wN = vN (∆x)2 − . αh ∆x + βh Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(23)


Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 2D ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = v(x, y), ∂x2 ∂y 2

(24)

Dalam domain Ω = {(x, y)|0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H} dengan syarat batas Dirichlet sebagai berikut (x, 0) = 0, (0, y) = 0, (L, y) = 100 dan (x, H) = 0. Persamaan (24) dapat didiskritisasi dengan pendekatan central differences menjadi ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1 + = v(xi , yj ) (25) (∆x)2 (∆y)2

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson


Untuk memudahkan persoalan kita set ∆x = ∆y sehingga persamaan (25) menjadi ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j = ∆x2 vi,j Pertanyaan kita selanjutnya adalah bagaiman kita membangun matriks dari persamaan (26)

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

(26)


Contoh : sebuah plat konduktor berukuran bujursangkar

Irwan Ary Dharmawan

Persamaan Poisson

Persamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan

Recommend Documents