Komputasi Fisika 3 Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript
Editor:
Sparisoma Viridi Rizal Kurniadi
Departemen Fisika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung Mei 2017 | Ramadhan 1438
Komputasi Fisika 3 Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript
Editor:
Sparisoma Viridi Rizal Kurniadi
Departemen Fisika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung Mei 2017 | Ramadhan 1438
Buku ini disusun dengan bantuan dukungan Riset ITB tahun 2017 dengan kode FMIPA.PN 6-24-2017 Sparisoma Viridi dan Rizal Kurniadi (editor), Kompu tasi Fisika 3: Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript, Departemen Fisika, Institut Teknologi Bandung Lisensi ITB 2017 Penyebaran dalam bentuk aslinya diperbolehkan selama untuk tujuan pendidikan dan tak-komersial. Modifikasi dan pembua tan karya turunan memerlukan ijin dari penulis [email protected] | [email protected]
Pengantar Buku Komputasi Fisika 3: Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript ini merupakan kumpulan tugas RBL (research based learning) pengganti U2 (ujian kedua) pada matakuliah FI5005 Komputasi Sistem Fisis dan FI4278 Komputasi Sistem Granular yang masing-masing merupakan layanan dalam Program Magister Fisika dan Program Sarjana Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Indonesia. RBL merupakan suatu metode pembelajaran yang sudah umum diberikan pada program studi-program studi dalam eks-Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, sejak sekitar tahun 2007-an. Saat itu matakuliah-matakuliah Fisika Dasar (IA, IB, IIA, dan IIB) merupakan menjadi implementasi pertamanya. Antusiasme dari pengajar dan peserta ajar membuat metode ini kemudian menjadi rutin dan populer digunakan dalam semua jenjang (S1, S2, dan S3). Khusus dalam kuliah terkait komputasi metode pengajaran ini dianggap baik karena peserta ajar dapat menerapkan hasil pemahaman mereka dalam suatu permasalahan nyata yang telah dipilih dan kemudian menyelesaikannya secara numerik. Setiap tugas RBL tersebut disajikan dalam tiap bab, yang dilengkapi dengan deskripsi permasalahan fisisnya, penyelesaiannya sampai pada bentuk (baik secara sengaja ataupun tidak) yang tidak diselesaikan secara analitik melainkan secara numerik, metode numerik yang digunakan, algoritma program, hasil yang diperoleh dan diskusinya, referensi, dan lampiran kode-kodenya (minimal berkas .html dan .js, ataupun dilengkapi dengan .css). Pembaca diharapkan dapat memanfaatkan contohcontoh RBL tersebut untuk mempelajari sistem fisis yang dipilih, metode numerik, dan penerapannya dalam JavaScript. Pada bagian lampiran disajikan pula contohcontoh berkas yang diberikan dalam perkuliahan. Salah satu alasan mengapa JavaScript yang dipilih adalah karena untuk menjalankannya tidak diperlukan piranti lunak khusus, melainkan cukup sebuah penjelajah internet (internet browser), yang terdapat dalam setiap sistem operasi dan pada hampir setiap piranti keras digital dewasa ini (komputer, smarthphone, tablet, dan lain-lain). Kemudahan ini diharapkan dapat mengurangi kesulitan dalam mempersiapkan lingkungan untuk menjalankan program, seperti menginstal Mingw atau Cygwin untuk menjalankan g++ dan Gnuplot dalam sistem operasi Windows (yang masih merupakan sistem operasi terpopuler di kalangan peserta ajar). Aplikasi lebih ramah pengguna (user friendly) seperti Matlab dan Scilab dihindari karena terlalu banyak menyembunyikan detil proses komputasi yang dirasakan dapat terlalu memanjakan peserta ajar sehingga tidak terbiasa berpikir kritis dan teknis. Bandung, 30 Mei 2017 | 4 Ramadhan 1438 Sparisoma Viridi & Rizal Kurniadi (editor)
i
Komputasi Fisika 3: Pengantar
ii
Cara merujuk Setiap bab dalam buku Komputasi Fisika 3: Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript ini dapat dirujuk dengan cara Nama_Penulis_1, Nama_Penulis_2, .., "Judul bab" dalam Komputasi Fisika 3: Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript oleh S. Viridi (editor), 2015, pp. halaman_mulai-halaman_akhir. Atau dengan menggunakan rujukan untuk format referensi berbentuk chapter of the book, misalnya untuk bab 2 R. E. S. Fauzi, E. S. Rahayu, D. S. Maulana, N. Wahida, K. Pertiwi, A. Yuneldi, Bavitra, "Simulasi gerak fluida berdasarkan variasi luas penampang self-siphon dengan menggunakan metode SFVE yang mengimplementasikan algoritma Euler" dalam Komputasi Fisika 3: Simulasi dan Visualisasi Fisika dengan JavaScript oleh S. Viridi (editor), 2015, pp. 25-50.
iii
Komputasi Fisika 3: Cara merujuk
iv
Daftar isi i
Pengantar
iii
Cara merujuk Daftar isi
v
1
Analisis bentuk orbit bumi mengelilingi matahari berdasarkan perubahan nilai posisi awal, kecepatan awal, dan massa matahari T. Budianto, D. Andaris, R. Stiawan, R. Nurainy, L. Putri, L. Nuraeni, D. Safitri
1
2
Simulasi gerak fluida berdasarkan variasi luas penampang self-siphon dengan menggunakan metode SFVE yang mengimplementasikan algoritma Euler R. E. S. Fauzi, E. S. Rahayu, D. S. Maulana, N. Wahida, K. Pertiwi, A. Yuneldi, Bavitra
25
3
Simulasi numerik distribusi temperatur pada pelat material persegi menggunakan Javascript W F. D. Marieta, I. L. Sholihah, E. Susanti, A. I. Samosir, W. Meutia, N. A. Zen
51
4
Studi gerak jatuh 2-dimensi sistem benda: Kasus dua benda yang terhubung dengan pegas H. Abdillah, R. D. Septianto, J. Maharani, M. R. Taufani, D. Nurhanivah, C. W. Winardhi
71
5
Model klasik resonansi Fano A. M. Yusuf, A. Fitriana, D. Rahmawati, Irhas, M. Yunus, P. M. Widartiningsih
115
6
Simulasi 1d gerak osilasi terkopel untuk menentukan amplitudo maksimum benda terbawah A. Kusumadjati, S. Hartarti, N. A. Lutfin, F. Bidalo, S. D. Sari Nurlina, Fauziah A.
149
7
Simulasi reflektansi, transmitasi, absorbansi gelombang EM melalui N medium A. Suaif, Y. P. Purwasunu, M. Ulfa, G. Pamungkas, A. Z. Purwalaksana N. F. Lubis, P. Y. D. Sagita
173
8
Analisis pengaruh gravitasi terhadap fenomena efek kacang Brazil Z. Y. Rabbani, R. Giovanni, T. Warsahemas
211
v
Komputasi Fisika 3: Daftar isi
9
Simulasi sifon dengan metode elemen volume fluida tunggal (single volume fluid element method) M. Pranolo, K. F. S. Pardede, Ramadhiansyah
227
10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda dengan gravitasi yang berubah terhadap waktu A. S. U. Ulwi, G. Syahfia, R. H. Pangarihutan
249
11 Pergerakan flagella dengan gaya pegas A. N. F. Rudiawan, F. A. Purnama, M. F. Girindra, J. Muchtar
269
Lampiran A: Berkas Javascript
289
A.1 vect3.js
289
A.2 grain.js
291
A.3 force.js
292
A.4 mdynamics.js
294
A.5 debug.js
294
A.6 changel.js
295
A.7 draw.js
295
A.8 timer.js
297
A.9 layout.js
298
A.10 xychart.js
302
A.11 matrix.js
307
A.12 parabol.js
308
A.13 sirkular.js
311
A.14 ode.js
314
A.15 hello.js
316
Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
325
B.1 parabol.html
325
B.2 sirkular.html
326
B.3 matrix.html
328
B4. ode.html
329
B5. grains.html
330
B.6 draw2dmolecules.html
332
B.7 xychart.html
333
vi
Komputasi Fisika 3: Daftar isi
B.8 jumlah.html
335
B.9 complex.html
336
B.10 sampling_simulation_with_input_area.html
339
B.11 time_triggered.html
340
vii
Komputasi Fisika 3: Daftar isi
viii
Analisis bentuk orbit bumi mengelilingi matahari berdasarkan perubahan nilai posisi awal, kecepatan awal, dan massa matahari
1
Toto Budianto | [email protected] Dora Andris | [email protected] Roni Stiawan | [email protected] Rany Nurainy | [email protected] Lale Putri | [email protected] Lely Nuraeni | [email protected] Diana Safitri | [email protected] Simulasi pergerakan bumi mengelilingi matahari dapat mempermudah proses pemahaman mengenai pola pergerakan bumi dalam orbitnya. Pada penelitian ini, telah dibuat sebuah program simulasi berbasis Javascript untuk menyimulasikan gerak bumi mengelilingi matahari. Simulasi ini dirancang dengan mempertimbangkan konsep-konsep fisis terkait serta memungkinkan pengguna mengubah parameter kecepatan bumi dan massa matahari. Perubahan kedua parameter tersebut dapat mengubah bentuk orbit bumi mengelilingi matahari. Pada penelitian ini juga telah ditemukan kecepatan kritis bumi yaitu kecepatan minimal yang diperlukan bumi untuk mengelilingi matahari secara periodik.
1.1 Pendahuluan Keadaan orbit bumi saat mengelilingi matahari sangat mempengaruhi kondisi di permukaan bumi. Perubahan musim dan cuaca, serta perubahan lama waktu siang dan malam adalah beberapa akibat dari hal tersebut. Dampak nyata yang dirasakan membuat pengetahuan mengenai pergerakan bumi menjadi suatu hal yang sangat penting untuk dipelajari. Menurut National Science Education Standards (National Reaserch Council [NRC], 1996) materi pembelajaran bumi dan antariksa merupakan salah satu konten utama dalam sains [1]. Pergerakan bumi mengelilingi matahari akan lebih mudah dipelajari melalui suatu simulasi yang dapat memberikan gambaran secara visual. Pembuatan simulasi saat ini telah banyak dilakukan untuk menunjang pemahaman konsep terkait pergerakan bumi mengelilingi matahari, akan tetapi banyak simulasi yang mengabaikan konsep fisis seperti konsep kekekalan momentum yang akibatnya bumi disimulasikan mengelilingi matahari dengan kelajuan yang sama di titik perihelion maupun aphelion. Sedangkan jika dianalisis secara fisis, ketika bumi berada lebih dekat dengan matahari, kelajuannya haruslah lebih besar
1
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
dibandingkan ketika bumi berada jauh dari matahari. Selain itu, masih ada simulasisimulasi yang dibuat dengan anggapan orbit bumi berbentuk lingkaran sehingga tidak cukup menggambarkan lintasan bumi yang sebenarnya. Dalam penelitian ini telah dibuat sebuah simulasi gerak revolusi bumi dengan melibatkan konsep-konsep fisis yang terkait. Beberapa variabel seperti massa matahari dan kecepatan bumi dibuat agar dapat diubah oleh pengguna sehingga dapat melihat efek yang terjadi ketika variabel-variabel tersebut berubah. Simulasi ini dibuat dengan asumsi bahwa bumi bergerak mengelilingi matahari dalam bidang dua dimensi. Selain itu, bumi dan matahari diasumsikan sebagai benda titik.
1.2 Teori 1.2.1 Hukum gravitasi Newton Hukum Keppler menjelaskan tiga aturan pokok terkait gerak planet yaitu (i) semua planet bergerak dalam lintasan berbentuk elips dengan matahari pada salah satu titik fokusnya; (ii) garis yang menghubungkan planet dengan matahari akan menyapu daerah luasan yang sama dalam waktu yang sama; dan (iii) kuadrat periode planet mengelilingi matahari sebanding dengan pangkat tiga jarak rerata planet ke matahari [2]. Walaupun hukum Keppler merupakan langkah penting untuk memahami gerakan planet-planet, namun hukum tersebut tetap hanya aturan empiris yang diperoleh dari pengamatan astronomis Brahe [3]. Hukum gravitasi Newton mempostulatkan adanya gaya yang muncul akibat interaksi dua benda bermassa yang sebanding dengan massa kedua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua benda. Kelebihan Newton adalah dia tidak hanya dapat menjelaskan apa yang mendasari hukum-hukum Kepler ini, tetapi juga menunjukkan bahwa hukum yang sama juga berlaku secara universal untuk semua benda-benda bermassa [4]. Dalam kasus ini, dua benda yang dianalisis adalah bumi dan matahari. Besar gaya yang diterima bumi dan matahari dituliskan dalam persamaan r Mm ) F = -G 2 r , (1.1) r di mana G adalah konstanta gravitasi universal yang bernilai 6,67 × 10-11 N · kg-2 · m2, M adalah massa matahari (kg), m adalah massa bumi (kg), dan r adalah jarak bumimatahari (m). Berdasarkan persamaan (1.1), besarnya gaya interaksi bumi-matahari sangat bergantung pada tiga variabel yaitu massa matahari, massa bumi, dan jarak antara bumi dan matahari. Jika nilai dari salah satu variabel diubah, maka besarnya gaya gravitasi pun akan berubah. Semakin besar massa matahari atau pun massa bumi, maka gaya interaksi bumi dan matahari akan semakin besar, karena F ~ M dan F ~ m. Begitu pun sebaliknya, jika massa matahari atau bumi diperkecil maka besarnya gaya interaksi bumi-matahari pun akan semakin mengecil. Selain itu, besarnya gaya interaksi bumi-matahari juga bergantung pada jarak antara bumi-matahari. Semakin dekat jarak antara bumi-matahari, maka semakin besar gaya interaksinya.Sebaliknya,
2
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
jika jarak antara bumi-matahari semakin jauh maka besarnya gaya interaksi keduanya akan mengecil karena F ~ 1 . r2 1.2.2 Hukum II Newton Ketika suatu benda diberi gaya, maka benda tersebut akan dipercepat. Hukum II Newton menjelaskan bahwa percepatan sebuah benda berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja padanya dan berbanding terbalik dengan massanya [5]. Interaksi antara bumi dan matahari akan menimbulkan gaya interaksi yang akan diterima sama besar oleh keduanya. Namun, percepatan yang dialami bumi jauh lebih besar dari percepatan matahari karena massa bumi jauh lebih kecil dibandingkan massa matahari. Dalam proses pembuatan simulasi, percepatan matahari dianggap sama dengan nol atau matahari dianggap diam, hal ini dapat berlaku karena percepatan matahari jauh lebih kecil jika dibandingkan dengan percepatan bumi. Percepatan bumi dapat diketahui dari hasil kombinasi persamaan hukum gravitasi Newton dengan hukum II Newton sebagai berikut
r
r
∑ F = m.a ,
(1.2)
r r di mana F adalah gaya yang bekerja pada m (N), m adalah massa benda (kg), dan a adalah percepatan gerak benda (m/s2). Percepatan gerak benda pada kasus ini dicari dengan cara menyubstitusikan Persamaan (1.1) ke Persamaan (1.2), sehingga didapatkan
r Mm ) r = m.a , 2 r r r Mm r -G 2 = m.a r r -G
(1.3) (1.4)
Pergerakan matahari dan bumi pada kasus ini didefinisikan dalam koordinat kartesian sehingga percepatan gerak bumi dan matahari juga didefinisikan dalam arah x dan y, sehingga Persamaan (1.4) akan menjadi
r r Mm r r ( x + y ) = m( a x + a y ) , 3 r dengan axdan ay dapat diuraikan menjadi -G
r M r a x = -G 3 x , r
(1.5)
(1.6)
dan
r M r a y = -G 3 y , (1.7) r di mana ax adalah percepatan gerak bumi mengelilingi matahari dalam arah x (m/s2) , ay adalah percepatan gerak bumi mengelilingi matahari dalam arah y (m/s2), G
3
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
merupakan konstanta gravitasi universal yang besarnya 6,67 x 10-11 (Nm/kg), M adalah massa matahari (kg), dan r adalah jarak bumi-matahari (m). 1.2.3 Gaya sentripetal Bumi bergerak mengelilingi matahari (revolusi) dalam sebuah orbit yang berbentuk elips [6]. Pergerakan bumi mengelilingi matahari ini tidak terlepas dari konsep gerak melingkar, sehingga gaya sentripetal sangat diperlukan dalam kasus ini. Besarnya gaya sentripetal didefinisikan pada persamaan berikut ini
mv 2 , (1.8) r dengan melakukan substitusi Persamaan (1.1) ke Persamaan (1.8), maka didapatkan F =
G
M v2 = , r r2
(1.9)
merupakan kecepatan bumi ketika mengelilingi matahari yang dapat di mana didefinsikan sebagai
v = ωr ,
(1.10)
2π , T
(1.11)
dan
ω=
dengan adalah kecepatan linier (m/s), ω adalah kecepatan angular (rad/s), r adalah jari-jari lintasan (m), dan T adalah periode rotasi (s),sehingga Persamaan (1.9) menjadi
G
M ω 2r 2 = , r r2
M 2π = ( )2 , 3 T r sehingga periode bumi mengelilingi matahari didapatkan sebagai berikut G
T=
4π 2 r 3 , GM
(1.12) (1.13)
(1.14)
dengan T merupakan periode bumi mengelilingi matahari (s), r adalah jarak bumi dan matahari (m), G adalah tetapan gravitasi (N · kg-2 · m2), dan M adalah massa matahari (kg). Dengan memasukkan besarnya jarak bumi-matahari, konstanta gravitasi universal, dan massa matahari ke persamaan (1.14) maka akan didapatkan periode bumi mengelilingi matahari yaitu sebesar 365.25 hari. 1.2.4 Hukum kekekalan momentum sudut Bumi mengelilingi matahari dalam lintasan elips dengan eksentrisitas 0.01671022 [7]. Adanya nilai eksentrisitas tersebut menandakan bahwa ketika terjadi perubahan jarak
4
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
antara bumi-matahari ketika revolusi terjadi. Perubahan jarak antara bumi-matahari tersebut menyebabkan munculnya dua titik ekstrim yaitu titik terdekat bumi ke matahari yang dikenal dengan istilah perihelion, dan titik terjauh bumi ke matahari yang dikenal sebagai aphelion. Hukum kekekalan momentum menjelaskan bahwa kecepatan bumi saat mengelilingi matahari dipengaruhi oleh nilai jarak. Hukum ini berlaku pada bumi dikarenakan momen gaya yang dimiliki bumi saat mengelilingi matahari adalah nol [8]. Semakin dekat jarak bumi ke matahari maka kecepatannya semakin tinggi, begitupula semakin jauh jarak bumi dari matahari maka kecepatannya akan semakin rendah. Oleh karena itu, kecepatan bumi di titik perihelion haruslah lebih besar dari titik aphelion. Hubungan antara jarak dan kecepatan bumi mengelilingi matahari dapat diturunkan dari persamaan kekekalan momentum sudut berikut ini
L1 = L2 ,
(1.15)
I 1ω1 = I 2ω 2 , 2
2
(1.16)
mr1 ω1 = mr2 ω 2 ,
(1.17)
v1 2 v = mr2 2 , r1 r2
(1.18)
mr1
2
r1v1 = r2 v 2 = C .
(1.19)
Dari Persamaan (1.19) terlihat bahwa hasil kali jarak dan kecepatan bernilai konstan dan r = 1 yang menunjukkan bahwa jika jarak antara bumi-matahari semakin v mengecil maka kecepatan bumi mengelilingi matahari akan semakin besar dan sebaliknya. 1.2.5 Gerak lurus berubah beraturan Perubahan jarak bumi terhadap matahari menyebabkan perubahan nilai kecepatan seperti yang dijelaskan sebelumnya. Selain itu, perubahan nilai jarak juga akan mengubah nilai percepatan bumi mengelilingi matahari seperti dijelaskan pada persamaan (1.6) dan (1.7), sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa bumi mengelilingi matahari dengan percepatan yang berubah-ubah tergantung nilai jarak antara bumi dan matahari. Untuk selang waktu yang sangat singkat, bumi mengalami perubahan jarak terhadap matahari relatif kecil, sehingga percepatan bumi dalam selang waktu tersebut dapat dianggap konstan. Hal ini menyebabkan dalam arah x dan y, bumi dapat dianggap bergerak lurus berubah beraturan sehingga memenuhi persamaan berikut
x = x0 + v 0 x ∆t + dan
5
1 a x ∆t 2 , 2
(1.20)
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
1 a y ∆t 2 , (1.21) 2 di mana x dan y adalah posisi bumi pada selang waktu tertentu dalam arah x dan y (m), x0 dan y0 adalah posisi bumi pada saat t = 0 (m), v 0 x dan v0 y adalah y = y 0 + v 0 y ∆t +
kecepatan bumi pada saat t = 0 dalam arah x dan y (m/s), a percepatan bumi mengelilingi matahari (m/s2), dan ∆t adalah selang waktu (s).
1.3 Metode numerik Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan masalahmasalah matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi-operasi aritmatika biasa. Terdapat banyak metode numerik yang salah satunya adalah Finite Difference Methode. Finite Difference Method atau metode beda hingga adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Secara analitik, perumusan percepatan bumi pada arah x dan y telah dirumuskan pada persamaan (1.6) dan (1.7). Percepatan bumi merupakan bentuk differensial orde dua sehingga secara numerik dapat diselesaikan dengan metode beda hingga seperti berikut.
ax =
x n +1 + x n −1 − 2 x n , ∆t 2
(1.22)
ay =
y n +1 + y n −1 − 2 y n , ∆t 2
(1.23)
dan
di mana ax dan ay masing-masing adalah percepatan bumi pada arah x dan y, x n dan
y n adalah posisi bumi pada saat ke-n, x n +1 dan yn +1 masing-masing adalah posisi bumi pada saat ke-n+1, dan x n −1 dan y n −1 adalah posisi bumi pada saat ke n-1, dan ∆t adalah selang waktu dari posisi-1 ke posisi-2. Dalam pembuatan simulasi gerak revolusi bumi, Persamaan (1.20) dan (1.21) digunakan untuk menentukan posisi baru dari bumi terhadap matahari. Sebagai contoh, Persamaan (1.20) dapat ditulis menjadi
x n +1 = 2 x n − x n −1 + a x ∆t 2 ,
(1.24)
di mana x n +1 adalah posisi baru bumi terhadap matahari, x n adalah posisi bumi saat ini yang diperoleh dari persamaan gerak lurus berubah beraturan, dan x n −1 adalah posisi bumi sebelumnya yang pada awalnya ditetapkan secara sembarang atau sesuai referensi yang ada. Variabel-variabel ini, akan bertukar posisi untuk menghasilkan posisi baru selanjutnya.
6
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Gambar 1.1.Posisi awal bumi di titik ( x t , y t ) yang berubah setelah selang waktu ∆t ke posisi ( xt + ∆t , y t + ∆t ) yang menyebabkan jarak (r) bumi-matahari pun berubah.
1.4 Algoritma Simulasi perubahan bentuk orbit bumi mengelilingi matahari dengan mengubah kecepatan awal bumi pada saat t = 0. L1.
G, M, x0, y0, v0x, v0y
L2.
Perubahan skala data
L3.
r = (xn2 + yn2)1/2
L4.
ax = -xn/r3
L5.
ay = -yn/r3
L6.
xn = x0 + v0x t + 0.5 axt2;
L7.
yn = y0 + v0y t + 0.5 ay * t2;
L8.
xn-1 = xn; xn = xn+1; yn-1 = yn; yn = yn-1; ulangi tahap L3
L9.
drawOnCanvas (xn, yn); tc.plot();
L10.
drawOrbit(xn, yn);
7
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
1.5 Hasil dan diskusi Parameter-parameter yang digunakan untuk menjalankan simulasi diberikan pada tabel berikut. Tabel 1.1 parameter simulasi.
Simbol M x0
Nilai Awal 1,989.10
30
1,52093.10
11
Kode M x0
y0
0
y0
v0x
0
v0x
v0y
-29290
v0y
Nilai-nilai parameter awal ditentutukan berdasarkan data dari beberapa referensi. Data-data ini kemudian dapat diubah untuk melihat bagaimana bentuk orbit dari setiap perubahan kecepatan awal dan massa matahari. Komponen simulasi terdiri dari empat bagian utama seperti ditunjukkan pada Gambar 1.2.
Gambar 1.2 Komponen simulasi dengan empat bagian utama yaitu: (A) input data, (B) simulasi pergerakan planet mengelilingi matahari, (C) grafik perubahan jarak planet dengan matahari terhadap waktu, dan (D) bentuk orbit planet.
8
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Proses analisa yang pertama kali dilakukan adalah menganalisa bagaimana perubahan bentuk orbit planet terhadap perubahan massa matahari dengan kecepatan awal dan posisi awal yang sama. Kecepatan awal yang digunakan adalah 29290 km/jam dengan posisi awal pada = 1.52x1011 m dan = 0 m. Massa matahari yang digunakan pada simulasi pertama adalah 2×1030 kg. Bentuk orbit dari pergerakan planet dengan massa matahari tersebut digambarkan pada grafik bagian D. Massa matahari kemudian ditambahkan 1030 kg dan menampilkan orbit planet kembali pada grafik yang sama. Penambahan massa matahari dan penggambaran orbit diulang sampai beberapa kali untuk mendapatkan grafik seperti ditunjukkan pada gambar berikut
Gambar 1.3 Beberapa bentuk orbit planet bergantung dari besarnya massa matahari. Orbit terluar terbentuk dengan massa matahari 2x1030 kg, kemudian orbit yang lebih dalam terbentuk dengan selisih massa matahari tiap orbit adalah 1030 kg.
Dari hasil simulasi di atas, dapat disimpulkan bahwa semakin besar massa matahari, nilai eksentrisitas orbit dari planet akan semakin besar. Hal ini menyebabkan pada nilai massa matahari yang terlalu besar, planet dapat menabrak matahari dan hancur.
9
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Berikut adalah gambar hasil simulasi lintasan planet dengan kecepatan awal
v0 y = -
30
1000 km/jam dan massa matahari 1.99x10 kg.
Gambar 1.4 Planet yang memiliki kecepatan awal kurang dari kecepatan kritisnya tidak akan dapat mengorbit dan akan jatuh di titik pusatnya yaitu matahari.Bumi terjatuh dan menabrak matahari (pusat koordinat) ketika
v0 y = 1000 m/s.
Gambar 1.4 di atas menunjukkan bahwa bumi akan bergerak menabrak matahari (pusat koordinat) jika kecepatan awal bumi 1000 m/s. Agar lintasan orbit planet tidak menabrak matahari, maka planet membutuhkan kecepatan minimal (kecepatan kritis) yang semakin bertambah besarseiring pertambahan massa matahari. Untuk mengetahui bagaimana perubahan kecepatan kritis terhadap perubahan massa matahari, dilakukan simulasi dengan posisi awal planet = 1.52x1011 m dan = 0 m. Grafik berikut menunjukkan hasil simulasi perubahan massa matahari terhadap kecepatan minimum yang dibutuhkan planet untuk mengorbit matahari tanpa mengenainya.
10
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Gambar 1.5 Grafik perubahan kecepatan kritis terhadap perubahan massa matahari menujukkan bahwa persamaan regresi yang memenuhi dinyatakan dalam deret polinomial orde-4.
1.6 Kesimpulan Simulasi ini secara umum dapat digunakan sebagai metode pengkajian pola perubahan orbit planet mengelilingi matahari akibat adanya perubahan massa matahari serta kecepatan minimum yang diperlukan planet untuk dapat mengorbit matahari. Dari hasil simulasi didapatkan bahwa semakin besar massa matahari, semakin besar nilai eksentrisitas dari orbit planet dengan kecepatan awal yang sama. Hubungan perubahan massa matahari dan kecepatan kritis planet dapat didekati menggunakan deret polynomial orde-4.
1.7 Referensi 1. 2. 3. 4.
5. 6.
National Science Education Standards (1996) (P 6), tersedia online pada (https://www.csun.edu/science/ref/curriculum/reforms/nses/nses-complete.pdf) Hewitt, P. G. (2002). Conceptual physics. Pearson Educación (P 199). Tippler, P. A. (1998). Fisika untuk sains dan teknik (PP 344 – 345). Mirza Satriawan (2012), Fisika Dasar (P 55) tersedia online pada (https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&v ed=0ahUKEwin_IDw6PnTAhWEs48KHX_QBjIQFghfMAc&url=http%3A% 2F%2Fmirza.staff.ugm.ac.id%2Ffisdas%2FFisdasbookI.pdf&usg=AFQjCNHn lR82DUCAaAuchHJ7UOLb6fTb6Q&cad=rja) Giancoli, D. C. (2000). Physics for scientists and engineers (Vol. 3). Upper Saddle River, NJ: Prentice hall (P 95). Halliday, D., & Resnick, R. (1996). Fisika jilid 1. Erlangga, Jakarta (P 519).
11
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
7. 8.
Earth Fact Sheet, tersedia online pada (https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html) Abdullah, M. (2007) Fisika Dasar 1. ITB, Bandung, pp.566-567.
1.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 1 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
Lampiran
Hypertext Markup Language
Komponen Simulasi
B
script.js
javascript
Data perhitungan numerik
C
function.js
javascript
xychart.js
javascript
style.css
Cascading Stylesheet
index.html
Manipulasi data dan grafik Library grafik 2D Modifikasi tampilan komponen simulasi
D E F
B. index.html <meta charset="utf-8"> Simulasi Orbit Planet <script src="xychart.js">
Simulasi Orbit Planet
Banyak Titik <span> Note : Titik potong garis merah berada di (0,0)
12
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
C. script.js var sButton = document.getElementById("startButton"); var resetButton = document.getElementById("resetButton"); sButton.onclick = function() { if ((sButton.innerHTML).trim() == "Start") { sButton.innerHTML = "Stop"; timer = setInterval(startSimulation, interval); } else if((sButton.innerHTML).trim() == "Stop"){ sButton.innerHTML = "Start"; clearInterval(timer); } } ta.oninput = function(){ resetData(); } resetButton.onclick = function(){ resetData(); } function resetData(){ data = getParameters(); M = data.M/1.989e+30; m = data.m/5.9722e+24; x0 = data.x0*200/1.52093e+11; y0 = data.y0; v0x = data.v0x; v0y = data.v0y*0.070125/29290; i = 0; xnm1 = x0; ynm1 = y0; r2 = (x0 * x0 + y0 * y0); r3 = r2 * Math.sqrt(r2); ax = - G * M * x0 / r3; ay = - G * M * y0 / r3; xn = x0 + v0x * dt + 0.5 * ax * dt2; yn = y0 + v0y * dt + 0.5 * ay * dt2; tc.clearAllData(); orbitChart.clearAllData(); //alert("Data berhasil dirubah"); } //Simulation Process function startSimulation(){ //waktu
13
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
t = i * dt; i++; //menghitung nilai berikutnya r2 = (xn * xn + yn * yn); r3 = r2 * Math.sqrt(r2); ax = - G * M * xn / r3; ay = - G * M * yn / r3; //metode finite different orde 2 xnp1 = 2 * xn - xnm1 + ax * dt2; ynp1 = 2 * yn - ynm1 + ay * dt2; //menggeser nilai xnm1 = xn; xn = xnp1; ynm1 = yn; yn = ynp1; if(Math.abs(xn-x0) < 1 && Math.abs(yn-y0) < 1){ console.log("Kembali ke posisi awal"); } //drawOnChart(t, xn, yn); drawRealData(t, xn, yn); clearCanvas(); drawOnCanvas(xn, yn); //console.log("\t" + t + "\t" + xn + "\t" + yn); } var mli = document.getElementById("maxLengthInput"); mli.oninput = function(){ if(mli.value>0) orbitChart.dataMaxLength = mli.value; while(orbitChart.datax.length > orbitChart.dataMaxLength){ orbitChart.datax.shift(); orbitChart.datay.shift(); } }
D. functions.js /* this file contains variable and function declarations */ var ta = document.getElementById("textarea"); var textMessage = document.getElementById("textMessage"); var sun = {x:0, y:0, m: 1.989e+30}; var earth = {t:0, x:0, y:0, m: 5.9722e+24}; //constants var G = 1; var dt = 50 ; setParameters(); var data = getParameters(); var M = 1; var dt2 = dt * dt;
14
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
var var var var
x0 = 200; y0 = 0; v0x = 0; v0y = 0.070125;
//initial value var i = 2; var xnm1 = x0; var ynm1 = y0; var r2 = (x0 * x0 + y0 * y0); var r3 = r2 * Math.sqrt(r2); var ax = - G*M*x0 / r3; var ay = - G*M*y0 / r3; var xn = x0 + v0x * dt + 0.5 * ax * dt2; var yn = y0 + v0y * dt + 0.5 * ay * dt2; var rmax = 1e13; var timer; var interval = 10; // javascript can't do faster than 10ms //Set real var xmax = var ymax = var xmin = var ymin =
world coordinate 300; 300; -xmax; -ymax;
var canvas = document.getElementById("canvas"); var bgColor = "#FFFFE0"; var ctx = canvas.getContext("2d"); clearCanvas(); //Mencetak nilai x dan y pada textarea function writeInTextarea(xn,yn) { var ta = document.getElementById("textarea"); ta.value += t + "\t" + xn + "\t" + yn + "\n"; } //Set nilai awal pada textarea (default values) function setParameters(){ var ta = document.getElementById("textarea"); var str = ""; str += " M \t 1.989e+30 \n"; //str += " m \t 5.9722e+24 \n"; str += " x0 \t 1.52093e+11 \n"; str += " y0 \t 0 \n"; str += " v0x \t 0 \n"; str += " v0y \t -29290 \n"; ta.value = str.replace(/ +?/g, ''); //REGEX to remove white spaces } //Membaca nilai-nilai yang ada pada text area function getParameters(){ var ta = document.getElementById("textarea"); var str = ta.value.trim(); var lines = ta.value.split("\n"); var Nlines = lines.length; if (lines[Nlines - 1].length == 0) {
15
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Nlines--; } var data = {}; for(var l = 0; l < Nlines; l++) { var cols = lines[l].split("\t"); var Ncols = cols.length; var temp = parseFloat(cols[1]); switch(cols[0]){ case "M" : data.M = temp; break; case "m" : data.m = temp; break; case "x0" : data.x0 = temp; break; case "y0" : data.y0 = temp; break; case "v0x" : data.v0x = temp; break; case "v0y" : data.v0y = temp; break; } } return data; } //Coordinate Transformation: from real to canvas function xtransform(x) { return canvas.width * (x - xmin) / (xmax - xmin); } function ytransform(y) { return -canvas.height * (y - ymin) / (ymax - ymin) +canvas.height; } function clearCanvas(){ ctx.fillStyle = bgColor; ctx.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); } function drawOnCanvas(x, y) { //Draw The Earth x = xtransform(x); y = ytransform(y); ctx.fillStyle = "green"; ctx.beginPath(); ctx.arc(x, y, 4, 0, 2 * Math.PI); ctx.fill(); //Draw the Sun ctx.fillStyle = "red"; ctx.beginPath(); ctx.arc(canvas.width/2, canvas.height/2, 8, 0, 2 * Math.PI); ctx.fill(); } //Membuat grafik t vs r var timeChartCanvas = document.getElementById("chartCanvas"); var tc = new XYChart(timeChartCanvas); tc.dataMaxLength = 400; tc.ymax tc.ymin tc.xmin tc.xmax
= = = =
data.x0*1.05; data.x0/1.05; 0; tc.dataMaxLength;
16
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
Komputasi Fisika 3: 1 Analisis bentuk orbit bumi ..
} canvas{ border: 1px solid purple; }
24
Simulasi gerak fluida berdasarkan variasi luas penampang self-siphon dengan menggunakan metode SFVE yang mengimplementasikan algoritma Euler
2
Renato Eka Sakti Fauzi | [email protected] Eka Sylvianti Rahayu | [email protected] Dian Syah Maulana | [email protected] Nurul Wahida | [email protected] Kisna Pertiwi | [email protected] Ari Yuneldi | [email protected] Bavitra | [email protected] Gerak fluida di dalam sifon disimulasikan menggunakan metode Single Fluid Volume Elements (SFVE) yang menerapkan algoritma Euler. Variasi parameter dilakukan untuk jari-jari awal ri, jari-jari akhir rf,, panjang pipa yang tercelup L, dan koefisien gesek cf,. Parameter yang berpengaruh terhadap y dan v adalah ri, rf, L dan cf. Konstruksi sifon dengan ri > rf memiliki nilai ymax yang lebih besar dibandingkan dengan konstruksi sifon yang memiliki ri < rf.
2.1 Pendahuluan Sifon merupakan sebuah alat yang sering digunakan di dalam kehidupan sehari-hari misalnya untuk mengalirkan bahan bakar minyak dari sebuah tangki penyimpanan ataupun untuk flush toilet. Secara sederhana sifon adalah alat yang dapat mengalirkan fluida dari satu titik yang rendah ke satu titik lain yang lebih tinggi [1]. Alat sederhana seperti ini dibuat pertama kali oleh Leonardo da Vinci [2]. Sedangkan selfsiphon adalah sifon yang dapat mengalirkan flida dengan sendirinya tanpa perlu adanya stimulus seperti misalnya perbedaan tekanan [2]. Simulasi mengenai selfsipon ini telah banyak dilakukan seperti diantaranya penggunaan metode dinamika molekuler untuk gerakan fluida di dalam U self-siphon [2] dan penggunaan metode Single Fluid Volume Element untuk mensimulasikan gerak fluida pada self-siphon [3]. Simulasi kali ini merupakan simulasi gerak fluida pada self-siphon berbentuk lurus dengan luas penampang yang divariasikan. Metode yang akan digunakan adalah metode Single Fluid Volume Element (SFVE) dengan mengaplikasikan algoritma Euler. Gerak fluida pada self-siphon pada simulasi kali ini dipengaruhi oleh tiga gaya, yakni gaya gravitasi, gaya tekan, dan gaya gesek antara fluida dengan dinding selfsiphon.
25
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
2.2 Teori Self-siphon dengan bentuk lurus diset secara vertikal. Sejumlah volume kecil fluida yang berada di dekat permukaan merepresentasikan aliran fluida sementara yang selalu berpindah-pindah atau yang disebut dengan Single Fluid Volume Element (SFVE).
Gambar 2.1. Single Fluid Volume Element (SFVE) dengan ketebalan Δh melewati area A dengan jarak Δs sepanjang pipa dalam waktu Δt dan dengan kcepatan vs.
Simulasi self-siphon ditinjau dalam satu dimensi, dalam selang waktu ∆ t dengan jarak sebagai berikut.
∆ s = vs∆ t .
(2.1) Gerak fluida di dalam self-siphon dipengaruhi oleh tiga gaya. Gaya yang pertama adalah gaya tekan yang didasari oleh perbedaan tekanan yang dialami oleh SFVE. SFVE berada pada posisi S dan mengalami perbedaan tekanan sebesar ∆p ∆p = p
s −
1 ∆h 2
− p
s+
1 ∆h 2
,
(2.2)
dengan gaya tekan sebagai berikut
Fp = ∆p. A .
(2.3)
Tekanan sebesar p pada saat s − ∆h / 2 berdasarkan tekanan hidrostatik yang diukur pada posisi vertical permukaan fluida pada pipa y f (s )
[
p s − 1 ∆h = ρ f g y f ( s ) − y ( s ) 2
] .
(2.4)
Abaikan tekanan udara pada s + ∆h / 2 sehingga Persamaan (2.2) berubah menjadi
26
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
[
]
∆p ≈ ρ f g y f ( s ) − y ( s ) .
(2.5)
Gaya yang kedua yang mempengaruhi gerak fluida di dalam self-siphon adalah gaya gesek. Persamaan untuk gaya gesek didapatkan dari modifikasi persamaan Poiseuille
F f = −8πη∆hv s .
(2.6)
Gaya terakhir yang memengaruhi gerak fluida di dalam self-siphon adalah gaya gravitasi
rr 3 Fg = mg .s = mgcos θ − π . 2
(2.7)
Dengan menggunakan Hukum II Newton ketiga gaya yang dialami oleh SFVE adalah sebagai berikut
m
[
]
d 2s ds 3 + 8πη∆h − ρ f g y f (s ) − y (s ) A − mgcos θ (s ) − π = 0 .(2.8) 2 d t dt 2
Persamaan (2.8) dapat disederhanakan menjadi
d 2s ds + c1 + c0 + c = 0 , 2 d t dt
(2.9)
8πη∆h c1 = , m
(2.10)
dengan
c0 =
ρ f gAsinθ m
,
π ρ f sin (θs f A) c = − g cos θ − + . m 2
(2.11)
(2.12)
Jika A yang divariasikan, maka
A = πR 2 , y = mx + c ,
(2.13) (2.14)
dengan m adalah gradien garis linier
∆y , ∆x y f − yi
m=
m=
x f − xi
27
(2.15)
,
(2.16)
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
maka
y−c , m
(2.17)
R = r + x,
(2.18)
y−c R = r + , m
(2.19)
x= jika
maka
Gambar 2.2. Konstruksi pipa yang digunakan: rf < ri (kiri) dan rf > ri (kanan).
2.3 Metode numerik Persamaan Euler digunakan untuk menyelesaikan konstruksi sifon, yang mana S diturunkan terhadap waktu, dinyatakan dalam
d ns dt n
t + ∆t
=
d ns d n+1s + ∆t . dt n t dt n+1 t
(2.20)
Percepatan dapat ditulis dalam bentuk persamaan di bawah ini
d 2s ds = −c1 c0 s − c . 2 dt dt
(2.21)
Persamaan (2.20) dan (2.21) dapat diimplementasikan dan digunakan dalam kondisi kontinuitas dalam semua kondisi sifon. Pergerakan ini dapat ditulis dalam
d2y dy + c1 c0 y + c = 0 , 2 dt dt
28
(2.22)
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
dengan η dan ρ merupakan viskositas dan massa jenis air, ∆h dan ∆m merupakan kedalaman dan massa, g adalah percepatan gravitasi, A merupakan luas dari pipa, dan y0 merupakan posisi permukaan air. Persamaan di atas diturunkan karena adanya pengaruh gaya gravitasi bumi, gaya gesek fluida, dan gaya tekan hidrostatis menggunakan persamaan Newton yang ditulis dalam [4]
d 2θ dθ g cos θ c + c1 + − c0 sin θ + 0 ( y0 − yc ) = 0 . 2 dt dt R R
(2.23)
2.4 Algoritma Simulasi pergerakan fluida dalam sifon dengan variasi jari-jari dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini untuk memperoleh y(t) L1. L2. L3. L4. L5. L6. L7. L8. L9. L10. L11. L12. L13. L14. L15. L16. L17. L18. L19. L20. L21. L22. L23.
Pri, Prf, Pl, PL, Pyf, Peta, Prho, Pg, Pdh, Pcf, pi? Pti, Pdt, Ptf? Wi = 1.2*PL/Prho*20. v = 0, y = -(PL-Wi). dx = Pri. x0 = Pri - dx. x1 = Prf - dx. y0 = -Pl. y 1 = P l. mgrad = (y1 - y0) / (x1 – x0). c = y1 - (mgrad * x1). x = (y - c) / mgrad. r = x + dx. A = pi * r * r. yfmy = Pyf - y. m = Prho * A * Pdh. fp = Prho * Pg * yfmy * A. ff = - (8 * pi * Peta * Pdh * v * Pcf). fg = - (m * Pg), sf = fp + ff + fg. a = sf / m. t += Pdt. v += a * Pdt. y += v * Pdt.
29
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
2.5 Hasil dan Diskusi Parameter-parameter simulasi yang digunakan diberikan dalam Tabel 2.1 berikut. Tabel 2.1 Parameter-parameter simulasi.
Symbol
ri rf l L yf
η ρ
g dh ti dt tf cf
Nilai 2 dan 1-5 (kelipatan 0.5) 2 dan 1-5 (kelipatan 0.5) 200 10-50 0
Code pri
Pl pL pyf
1 1 9.8 0.1 0
peta prho pg pdh pti
0.001 0.1
pdt ptf
230
pcf
prf
Gambar 2.3. Posisi y sebagai fungsi waktu t saat jari-jari akhir rf divariasikan (saat ri = 2, rf = 1-5 dengan kelipatan 0.5).
30
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.4. Posisi y sebagai fungsi waktu t saat jari−jari awal ri divariasikan (saat ri = 1-5 dengan kelipatan 0.5 , rf = 2).
Berdasarkan Gambar 3 dan 4, terlihat hubungan posisi SFVE y terhadap waktu t dengan variasi jari-jari akhir rf yang konstan dan variasi jari-jari awal ri dengan rf yang konstan. Berdasarkan Gambar 3 dan 4, dapat dilihat bahwa kedua grafik memiliki kecenderungan yang sama. Perbedaan dari Gambar 3 dan 4 adalah kerapatan dari grafik. Pada Gambar 3 saat rf divariasikan grafik terlihat lebih rapat, bahkan untuk beberapa titik sebelum nol, y berada pada nilai yang sama. Hal tersebut dikarenakan saat ri konstan bagian bawah sifon memiliki luas penampang yang sama sehingga menghasilkan gaya tekan yang sama. Semakin ke atas, untuk rf yang besar maka luas penampang akan besar pula yang berakibat pada gaya tekan yang lebih besar sehingga kecepatan yang dialami oleh SFVE akan besar dan posisi yang dapat dicapai menjadi lebih tinggi. Sedangkan pada Gambar 4, saat ri divariasikan grafik terlihat lebih renggang. Tidak banyak titik yang memiliki nilai y yang sama. Hal tersebut dikarenakan saat ri divariasikan maka bagian bawah sifon akan berbeda. Semakin besar ri luas penampang bagian bawah akan semakin besar dan menyebabkan gaya tekan yang besar sehingga dari awal SFVE sudah mendapat besar gaya tekan yang berbeda bergantung pada besar ri. Gaya yang semakin besar akan menyebabkan kecepatan yang besar dan menghasilkan posisi y yang lebih tinggi. Garis pada grafik tidak linear karena SFVE bergerak keatas dan kebawah permukaan air sehingga nilai y akan mengalami peredaman seiring penambahan waktu secara periodik. Peredaman nilai y disebabkan pengaruh gaya gesekan dan pengurangan tekanan hidrostatis pada saat pergerakan sifon diatas permukaan air.
31
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.5. Posisi maksimum ymax sebagai fungsi dari jari−jari akhir rf (saat ri =2, rf = 1-5 dengan kelipatan 0.5).
Gambar 2.6. Posisi maksimum ymax sebagai fungsi dari jari−jari awal ri (ri = 1-5 dengan kelipatan 0.5 dan rf =2).
Berdasarkan Gambar 5 dan 6 dapat dilihat bahwa saat ri maupun rf yang divariasikan nilai ymax mengalami peningkatan. Namun, peningakatan saat ri divariasikan lebih signifikan dibandingkan dengan saat rf divariasikan. Selain itu, interval ymax saat ri divariasikan lebih besar. Hal tersebut dikarenakan pada saat rf yang divariasikan gaya tekan awal relatif sama yang diakibatkan oleh ri yang konstan, sehingga ymax untuk variasi rf memiliki nilai yang tidak jauh berbeda.
Gambar 2.7. Kecepatan maksimal vmax sebagai fungsi dari jari−jari akhir rf (ri = 2 dan rf = 1-5 dengan kelipatan 0.5).
32
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.8. Kecepatan maksimum vmax sebagai fungsi dari jari−jari awal ri (ri = 1-5 dengan kelipatan 0.5 dan rf = 2).
Berdasarkan Gambar 2.7 dan 2.8 nilai kecepatan maksimum pada saat ri divariasikan memiliki peningkatan yang signifikan terutama pada rentang 1−2 mm. Semakin besar nilai ri, peningkatan vmax tidak terlalu besar. Hal tersebut dikarenakan pada saat ri berada pada rentang 1−2 mm konstruksi sifon menyempit di bagian bawah hingga lurus. Sedangkan saat ri lebih besar dari 2 mm maka konstruksi sifon menjadi menyempit di bagian atas.
Gambar 2.9. Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh posisi maksimal tymax sebagai fungsi dari jari−jari akhir rf (ri = 2 dan rf = 1-5 dengan kelipatan 0.5).
Gambar 2.10. Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh posisi maksimal tymax sebagai fungsi dari jari−jari awal ri (ri = 1-5 dengan kelipatan 0.5 dan rf = 2).
33
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.11. Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh kecepatan maksimal tvmax sebagai fungsi dari jari−jari akhir rf (ri = 2 dan rf = 1-5 dengan kelipatan 0.5).
Berdasarkan Gambar 9 dan 10 terlihat bahwa untuk setiap nilai rf atau ri besar tymax tidak jauh berbeda dengan kata lain bahwa tymax bukan merupakan fungsi dari ri dan rf.
Gambar 2.12. Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh kecepatan maksimal tvmax sebagai fungsi dari jari−jari awal ri (ri = 1-5 dengan kelipatan 0.5 dan rf = 2).
Sama halnya seperti Gambar 2.9 dan 2.10, Gambar 2.11 dan 2.12 menunjukkan bahwa tvmax bukan fungsi dari ri dan rf. Meskipun pada grafik terlihat adanya peningkatan, namun peningkatan yang terjadi memiliki orde milisekon yang artinya peningkatan tersebut bernilai sangat kecil.
Gambar 2.14. Posisi maksimum ymax sebagai fungsi dari waktu t saat ri dan rf berubah dengan koefisien gesek cf 230.
34
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.14 merupakan grafik posisi ymax sebagai fungsi dari waktu saat ri dan rf berubah. Berdasarkan Gambar 14 yang memiliki ymax paling besar adalah sifon dengan ri lebih besar dari rf. Sedangkan sifon dengan rf lebih besar dari ri memiliki ymax yang lebih kecil. Hal tersebut dikarenakan jika ri besar maka luas penampang bagian bawah sifon akan lebih besar yang mengakibatkan gaya tekan fluida juga besar. Saat gaya tekan fluida besar maka kecepatan yang dialami oleh SFVE akan besar. Sehingga, posisi S akan semakin tinggi. Jika dilihat lebih lanjut lagi, perbedaan posisi maksimum pada ri > rf dan rf > ri cukup besar. Hal tersebut dapat terlihat dari jarak grafik yang renggang. Perbedaan yang besar tersebut menunjukkan bahwa perbedaan gaya yang dialami SFVE juga besar.
Gambar 2.15. Waktu t sebagai fungsi dari posisi y saat variasi panjang pipa yang dicelupkan L dengan ri = rf = 2 mm.
Gambar 2.16. Waktu t sebagai fungsi dari posisi y saat variasi panjang pipa yang dicelupkan L dengan ri = rf = 3.5 mm.
35
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Gambar 2.15 dan 2.16 menggambarkan hubungan antara waktu dengan posisi ketinggian fluida dalam pipa saat pipa dicelupkan ke dalam air, yaitu dengan memvariasikan panjang pipa yang dicelupkan. Pertama pipa dicelupkan ke dalam fluida yaitu saat waktu 0 detik di dapatkan ketinggian fluida pada permukaan pipa sebesar -0,0098. Hal ini menandakan bahwa pada saat 0 detik air berada di bawah permukaan fluida yang berada di wadah. Dengan memvariasikan panjang pipa yang dicelupkan ke dalam fluida (L = 10 mm sampai dengan L = 90 mm) didapatkan ketinggian fluida pada permukaan yang berbeda-beda. Semakin dalam pipa yang dicelupkan ke dalam fluida maka semakin tinggi posisi air dalam pipa dan sebaliknya. Dilihat dari waktunya, mulai dari 0 detik sampai 0,01 detik maka ketinggian posisi air dalam fluida cenderung bertambah kecuali pada saat t = 0,09 detik ada sedikit perbedaan. Hal ini disebabkan oleh viskositas fluida. Selain itu, dilihat dari grafik terdapat saat dimana posisi fluida sama dengan posisi fluida yang ada di wadah. Hal ini terjadi saat t berada antara 0,004 detik hingga 0,006 detik.
Gambar 2.17. Panjang pipa yang tercelup L sebagai fungsi dari kecepatan maksimum vmax saat ri = rf = 2.
Gambar 2.18. Panjang pipa yang tercelup L sebagai fungsi dari kecepatan maksimum vmax saat ri = rf= 3.5.
36
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
Berdasarkan Gambar 2.17 dan 2.18 didapatkan bahwa hubungan antara L dan vmax berbanding lurus, hal ini telah dibuktikan secara eksperimen bahwa apabila panjang pipa yang dicelupkan ke dalam fluida semakin panjang maka besarnya kecepatan maksimum fluida akan meningkat. Hal tersebut dikarenakan semakin dalam pipa yang dicelupkan, tekanan hidrostatis akan semakin besar sehingga menyebabkan gaya hidrostatis menjadi besar juga. Sehingga kecepatan yang dialami oleh SFVE juga akan semakin besar.
Gambar 2.19. Panjang pipa yang tercelup L sebagai fungsi dari posisi maksimum ymax saat ri = rf = 2 mm.
Gambar 2.20. Panjang pipa yang tercelup L sebagai fungsi dari posisi maksimum ymax saat ri = rf= 3.5 mm
Berdasarkan Gambar 2.19 dan 2.20, hubungan antara panjang pipa yang tercelup L dan posisi maksimum ymax adalah berbanding lurus. Semakin panjang pipa yang dicelupkan ke dalam fulida maka posisi maksimum yang dicapai oleh SFVE juga
37
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
semakin tinggi. Hal tersebut tentu berhubungan dengan penjelasan sebelumnya bahwa semakin panjang pipa yang tercelup ke dalam fulida, maka kecepatan dari SFVE semakin besar sehingga SFVE mampu menjangkau posisi yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan pipa yang tercelup lebih pendek.
2.6 Kesimpulan Gerak fluida di dalam self-siphon telah berhasil disimulasikan menggunakan metode SFVE yang menerapkan algoritma Euler. Beberapa parameter yang memengaruhi gerak fluida, yaitu variasi ri dengan rf konstan, jika semakin besar luas penampang bagian bawah wadah menyebabkan gaya tekan yang besar. Sehingga, akan menghasilkan kecepatan yang besar dan posisi y yang lebih tinggi. Hal yang sama juga terjadi pada variasi rf dengan ri konstan, namun terdapat perbedaan diantara keduanya yang menunjukan bahwa ri lebih berpengaruh daripada rf. Hal ini dibuktikan dengan persamaan gaya tekan, yaitu semakin besar luas penampang maka gaya juga semakin besar. Selain itu, semakin panjang pipa yang dicelupkan L maka semakin tinggi posisi air di dalam pipa yang menyebabkan vmax dalam fluida akan meningkat. Hal tersebut karena gaya hidrostatis yang besar yang diakibatkan oleh tekanan hidrostatis yang besar pula.
2.7 Referensi 1.
2.
3.
4.
Nurhayati, W. Hidayat, Novitrian, S. Viridi, F. P. Zen, “Simulation of Fluid Flow in A U-Shape Self-Siphon and Its Working Space”, AIP AIP Conf. Proc., 2014. S. Viridi, Suprijadi, S. N. Khotimah, Novitrian, F. Masterika, “Self-Siphon Simulation Using Molecular Dynamics Method, Selected Papers 2, 9-16 (2012). S. Viridi, Novitrian, Nurhayati, W. Hidayat, F. D. E. Latief, and F. P. Zen, “Development of Single Fluid Volume Element Method for Simulation of Transient Fluid Flow in Self-Siphons”, AIP Conf. Proc., 199-207 (2014). S. Viridi, Novitrian, F. Masterika, F. D. E. Latief, and F. P. Zen, “Segmented Self-Siphon: Experiments and Simulations”, AIP Conf. Proc., 190-195 (2012).
38
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
2.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 1.2 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
Lampiran
fluid.js
Javascript
Air
B
formula.js
Javascript
Output
C
pipes.js
Javascript
Sifon
D
script.js
Javascript
-
E
stationary.js
Javascript
Wadah
F
xychart.js
Javascript
Grafik
G
B. Program fluid.js // Create fluid object "use strict"; function Fluid(argument) { var _this = this; var lastX = 0, lastY = 0; var w = 200; var h = 250; this.width = argument.width; this.height = argument.height; this.oFluid = new Konva.Rect({ x: this.width / 2 - (w/2), y: this.height / 2, width: w, height: h, fill: '#5ce7f9', opacity: 0.3 }); this.oPipe = new Konva.Rect({ x: this.width / 2 - (w/2), width: w, height: argument.height, fill: '#5ce7f9', }); this.move = function(ty){ this.oPipe.y(ty); };
39
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
this.onConstruct = function(){ lastX = 0; lastY = 0; }; this.update = function(ty){ var fParam = formula.inputText(); var wi = fParam.tpdi; var hl = fParam.tpL; if(ty) this.oPipe.y(ty); else this.oPipe.y(this.height / 2 + hl); }; this.update(); }
C. Skrip formula.js // Create Formula function "use strict"; var formula; function Formula() { var height = 0, width = 0, inputText, lState = 0; var XMIN = 0, XMAX = 0, YMIN = 0, YMAX = 0; var xmin = 0, xmax = 100, ymin = 0, ymax = 100; var pri, prf, pl, pL, pyf, peta, prho, pg, pdh, pti, pdt, ptf, pcf, logText; var _t = 0, _y = 0, _v = 0, crossx, chart = new Array(); var chartData = [{x: new Array(), y: new Array()}, {x: new Array(), y: new Array()}, {x: new Array(), y: new Array()}]; var cmm = [{min:0,max:0}, {min:-10, max:10}, {min:-10,max:10}], ctmax; // transformation x function tX(x){ var X = (x - xmin) / (xmax - xmin); X *= (XMAX - XMIN); X += XMIN; return X; } // transformation y function tY(y){ var Y = (y - ymin) / (ymax - ymin); Y *= (YMAX - YMIN); Y += YMIN; return Y; } // save input parameter function generateParameter(input, isStart){ pri = input[0]/1000; prf = input[1]/1000; pl = input[2]/1000; pL = input[3]/1000; pyf = input[4]/1000; peta = input[5]/1000; prho = input[6]*1000; pg = input[7]; pdh = input[8]/1000; pti = input[9]; pdt = input[10]; ptf = input[11]; pcf = input[12];
40
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
var wi = 1.2*pL/prho*20; _y = -(pL-wi); crossx = getDecimalCount(ptf); for (var i = 0; i < chartData.length; i++) { chartData[i].x = new Array(); chartData[i].y = new Array(); } ctmax = ptf*crossx; chart[0].setCoordinates(0, _y*1000, ctmax, pL*1000); chart[1].setCoordinates(0, -10, ctmax, 10); var dx; if(pri < prf) dx = pri; else dx = prf; var fpm = prho * pg * pL * Math.PI*dx*dx*100; chart[2].setCoordinates(0, -fpm, ctmax, fpm); for (var i = 0; i < chart.length; i++) { chart[i].xLabel = crossx > 1 ? "t(s/"+crossx+")" : "t(s)"; chart[i].changeData(chartData[i].x, chartData[i].y); chart[i].clear(); chart[i].plotToCanvas(); } if(lState < 2) lState++; else writeHeaderLog(); if(isStart) return _y; } // get decimal count from decimal number function getDecimalCount(num){ var str = String(num); str = str.split('.'); if(str.length > 1) { var s = 1; for (var i = 0; i < str[1].length; i++) { s *= 10; } return s; } else return 1; } // print data to chart function setChartData(){ for (var i = 0; i < chart.length; i++) { chart[i].changeData(chartData[i].x, chartData[i].y); chart[i].clear(); chart[i].plotToCanvas(); } } // set coordinate of chart function chartCoordinate(i, n){ if(n > cmm[i].max) cmm[i].max = n; if(n < cmm[i].min) cmm[i].min = n; chart[i].setCoordinates(0, cmm[i].min, ctmax, cmm[i].max); } // siphon calculation function calculateSiphon(){ var dx; if(pri < prf) dx = pri; else dx = prf; var x0 = pri - dx, x1 = prf - dx;
41
Komputasi Fisika 3: 2 Simulasi gerak fluida ..
var y0 = -pL, y1 = pl, mg; if((pri - prf) == 0) mg = 0; else mg = (y1 - y0) / (x1 - x0); var c = y1 - (mg * x1), x; if(mg == 0) x = 0; else x = (_y - c) / mg; var r = x + dx; var A = Math.PI * r * r, yfmy = pyf - _y; var m = prho * A * pdh, fp = prho * pg * yfmy * A; var ff = - (8 * Math.PI * peta * pdh * _v * pcf); var fg = - (m * pg), sf = fp + ff + fg, a = sf / m; logText.value += round(_t) + "\t" + round(_y) + "\t" + round(_v) + "\t" + round(fp) + "\n"; chartData[0].x.push(_t*crossx); chartData[0].y.push(_y*1000); chartData[1].x.push(_t*crossx); chartData[1].y.push(_v); chartData[2].x.push(_t*crossx); chartData[2].y.push(fp*100); chartCoordinate(1, _v) chartCoordinate(2, fp*100) setChartData(); _v += a * pdt; var ly = _y; _y += _v * pdt; if(_y > (pl - pL)) _y = ly; _t += pdt; } // check is movement of y is available or not function isAvailable(){ if(_t <= ptf && _y <= (pl - pL)) return true; else return false; } // Rounding value function round(val){ return Math.round(val*10000) / 10000; } // send data to textarea function writeHeaderLog(){ logText.value = "t" + "\t" + "y" + "\t" + "v" + "\t" + "Fp" + "\n"; logText.value += "------" + "\t" + "------" + "\t" + "------" + "\t" + "------" + "\n"; } this.init = function(argument){ width = argument.width; height = argument.height; XMIN = width / 2; XMAX = width; YMIN = height / 2; YMAX = YMIN - width / 2; }; this.inputText = function(input, isStart){ if(input){ inputText = input; return generateParameter(input, isStart); } else { var tpdi = Math.abs(tX(pri*1000) - tX(0)), tpdf = Math.abs(tX(prf*1000) - tX(0)); var tpl = Math.abs(tY(pl*1000) - tY(0)),
Gambar 2.21. Interface Software sifon menggunakan bahasa pemrograman Javascript. A: input data, B: tombol untuk mengkonstruksi Sifon, C: tombol untuk memulai simulasi, D: tampilan ymax dan vmax, E: Sifon, F: wadah air, G: tampilan tymax dan tvmax, H: grafik y tehadap t, I: grafik v tehadap t, J: grafik y tehadap t, K: output data.
50
Simulasi numerik distribusi temperatur pada pelat material persegi menggunakan Javascript
3
Wina Fitria Dewi Marieta | [email protected] Ila Lailatun Sholihah | [email protected] Eka Susanti | [email protected] Andrew Imada Samosir| [email protected] Winda Meutia | [email protected] Nur Afifah Zen | [email protected] Karakteristik distribusi temperatur suatu material sangat penting dalam bidang industri terutama bidang elektronika. Namun, untuk melakukan karakterisasi tersebut membutuhkan biaya yang mahal dan waktu yang cukup lama. Oleh karena itu dilakukan pemodelan distribusi temperatur pada pelat persegi menggunakan bahasa pemrograman javascript dengan metode finite different. Adapun rumusan yang digunakan pada metode ini didapatkan dari penurunan persamaan Laplace dengan kondisi steady state yang digunakan untuk mendapatkan temperatur awal setiap titik (x,y) pada pelat. Selanjutnya temperatur awal diupgrade setiap waktu sehingga didapatkan data distribusi temperatur dalam fungsi T(x,y,t). Syarat batas temperatur pada ketiga sisi persegi sebesar 100 ºC dan satu sisi lainnya 0 ºC. Simulasi menampilkan plot data temperatur pada titik tengah pelat terhadap waktu saturasi dengan beberapa variasi jumlah grid. Hasil simulasi menunjukkan bahwa semakin banyak jumlah grid maka semakin tinggi waktu saturasi dan semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperatur saturasi dimana temperatur tertinggi 71,46 ºC pada jumlah grid 100×100. Hal tersebut disebabkan jumlah grid menentukan ketelitian dari data temperatur saturasi yang dihasilkan. Selain itu, simulasi menampilkan perbedaan plot data hubungan α terhadap waktu dan temperatur saturasi pada pelat tembaga dan besi dengan jumlah grid yang sama. Simulasi berdasarkan jenis pelat menunjukkan semakin besar nilai α maka semakin kecil temperatur saturasi dan semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperatur saturasi dengan ukuran grid yang sama.
3.1 Pendahuluan Perkembangan dunia teknologi dan Industri memiliki hubungan yang erat dengan ilmu sains seperti fisika. Berbagai konsep dasar dalam fisika sering kali dijadikan acuan dalam mengembangkan teknologi terbaru serta mempunyai pasar yang menjanjikan [1]. Salah satu diantara konsep fisika yang akan kita bahas tentang distribusi temperatur pada suatu material. Konsep ini menjadi bagian penting yang
51
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
harus dipahami dalam industri elektronika mengingat setiap komponen yang diproduksi mempunyai fungsi dan tujuan yang berbeda. Contohnya oven listrik dirancang menggunakan material dengan kemampuan distribusi temperatur yang baik karena memang tujuannya adalah untuk pemanasan. Beda kasus dengan komponenkomponen yang digunakan pada komputer, dirancang menggunakan material yang memiliki distribusi temperatur lebih rendah. Inilah pentingnya kita mengetahui sifat distribusi temperatur pada setiap material. Lebih khususnya dengan mengetahui sifat distribusi temperatur kita dapat memprediksi temperatur pada suatu titik tertentu serta waktu pemanasan yang dibutuhkan hingga temperatur tersebar secara merata di seluruh bagian material [2]. Untuk mengetahui sifat distribusi temperatur suatu material dapat dilakukan dengan metode eksperimen ataupun numerik menggunakan simulasi komputer. Pada kasus ini kita mengembangkan pemodelan 2 dimensi untuk melihat bagaimana distribusi temperatur melalui simulasi numerik menggunakan metode finite different.
3.2 Teori Distribusi temperatur T(x,y) pada keadaan tunak memenuhi persamaan Laplace
∇ 2 T (x, y ) = 0 ,
(3.1)
Asumsikan fungsi temperatur pada arah x dan y adalah separabel T ( x , y ) = X (x )Y ( y ) .
(3.2)
Jika diperlukan suatu fungsi sembarang variabel dapat dinyatakan dalam deret Fourier ∞ ∞ 1 (3.3) f (t ) = a o + ∑ a n cos nt + ∑ bn sin nt , 2 n =1 n =1 dengan π 1 (3.4) an = ∫ f (t ) cos ntdt ,
π
−π
dan
bn =
1
π
π −∫π
f (t )sin ntdt .
(3.5)
Ambil fungsi periodik sebagai berikut
0,−π < t < 0 f (t ) = 1, < 0 < t < π
52
(3.6)
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
di mana untuk selang waktu lainnya berlaku berulang-ulang misalnya 0 untuk π
an =
1
π
π
∫
0
π
1 cos ntdt = sin nt = 0 − 0 = 0 , t =0 n
(3.7)
dan dengan menggunakan persamaan (1.5) dapat diperoleh bn =
1
π
∫
π
0
0, n = 2m π 1 1 n sin ntdt = − cos nt = − (−1) − 1 = 2 n n t =0 nπ , n = 2m − 1
[
]
(3.8)
dengan m = 1,2, ...... . Persamaan (3.8) menyatakan bahwa hanya terdapat
b2 m+1 =
2 , m = 1,2,3.... , (2m − 1)π
(3.9)
untuk suku ao dapat diperoleh dari
bn =
1
π
∫
π
0
π
1 1 dt = − t = (π − 0) = 1 . π t =0 π
(3.10)
Sehingga fungsi f(t) dalam persamaan (1.6) dapat dinyatakan sebagai f (t ) =
1 2 ∞ sin [(2m − 1)t ] + ∑ 2 π m =1 2m − 1
(3.11)
Substitusi Persamaan (3.2) ke Persamaan (3.1) akan memberikan d2 d2 2 + 2 X ( x)Y ( y ) = 0 dy dx 2 d X d 2Y Y 2 +X 2 =0 dx dy −
(3.12)
1 d 2 X 1 d 2Y = = 0. X dx 2 Y dy 2
Kedua ruas dalam persamaan (3.12) baris terakhir merupakan fungsi dari x dan y, yang dapat dipenuhi bila keduanya bernilai konstan. Untuk itu dapat dipilih konstanta k 2 , sehingga dapat diperoleh dua persamaan yaitu d2X − k 2 X = 0, dx 2
53
(3.13)
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
d 2Y − k 2Y = 0 , dy 2
(3.14)
e ky sin kx, − ky e sin kx, T = XY = ky e cos kx, e − ky cos kx.
(3.15)
dengan solusi
ky
Agar pada y = ∞ dan nilai T = 0 ºC maka solusi yang mengandung e tidak dapat digunakan. Kemudian agar pada x = 0 dan x = l = 0 nilai T = 0 ºC, maka solusi yang mengandung cos kx tidak berlaku. Dengan demikian solusinya adalah πy
T ( x, y ) = e l sin
πx
.
l
(3.16)
Persamaan (3.16) telah memenuhi T (x,∞) = 0 ºC, T (0,y) = 0 ºC dan T (l,y) = 0 ºC. Akan tetapi solusi ini belum dapat mengakomodasi syarat batas T (x,0) = 100 ºC. Berdasarkan deret Fourier, persamaan (3.16) dapat dituliskan menjadi ∞
T ( x, y ) = ∑ bn e
nπy l
sin
n =1
nπx , l
(3.17)
apabila diterapkan syarat batas akan menjadi ∞
T ( x ,0 ) = ∑ b n e
nπy l
n =1
sin
n πx = 100 l
.
(3.18)
Dengan menggunakan (3.5) dapat diperoleh
nπx 2 200 l 200 l dx = − dx = − 100 sin ∫ l 0 l l nπ l nπ l
bn =
400 , n = 2m − 1 = nπ 0, n = 2 m
,
l
nπx cos l x =0 (3.19)
dengan m = 1, 2, 3, ... sehingga
54
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
T ( x, y ) =
400
π
∞
∑ n =1
e
−( 2 n −1)
πy l
2n − 1
sin
(2n − 1)πx .
(3.20)
l
3.3 Metode numerik Metode simulasi distribusi dapat menyelesaikan persamaan differensial parsial dengan kondisi awal dan batas. Distribusi temperatur pada setiap material menggunakan mekanisme aliran konduksi dapat diselesaikan menggunakan metode finite difference. Hasil numerik dan analisis saling berhimpit dan mendekati referensi [4].
Gambar 3.1 Jaringan titik hitungan pada bidang x dan y Turunan pertama suatu fungsi dapat direpresentasikan dalam bentuk
df f (x + ∆x ) − f (x ) f (x ) − f ( x − ∆x ) , = = ∆x ∆x dx
(3.21)
yang dikenal sebagai beda depan dan beda belakang. Sedangkan turunan keduanya d2 f = dx 2
f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x − ∆x ) − f ( x + ∆x ) − 2 f ( x ) + f ( x − ∆x ) . ∆x ∆x = ∆x (∆x )2
(3.22)
Untuk persamaan Laplace pada persamaan (3.1) dapat dituliskan T ( x + ∆x, y ) − 2T ( x, y ) + T (x − ∆x, y )
(∆x )
2
+
T ( x, y + ∆y ) − 2T (x, y ) + T ( x, y − ∆y )
(∆y )2
55
= 0 . (3.23)
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
Persamaan (3.23) dapat dituliskan kembali dalam bentuk 2 ∆y ∆x T ( x, y ) = [T (x, y + ∆y ) + T (x, y − ∆y )] ∆y 2 21 + ∆x 2
∂ 2T ( x, y ) Ti −1, j +1 − 2Ti , j +1 + Ti +1, j +1 , = 2 ∆x ∂x
(3.26)
T k − 2Ti ,kj + Ti −k1, j Ti ,kj +1 − 2Ti ,kj + Ti ,kj −1 + = κ i +1, j , (∆x )2 (∆y )2
(3.27)
di mana ∆x=∆y dan dengan menggunakan parameter α = κ∆t sehingga di dapatkan (∆x )2 persamaan
[
]
Ti ,kj+1 = α Ti +k1, j + Ti −k1, j + Ti ,kj +1 + Ti ,kj −1 − 4Ti ,kj + Ti ,kj
(3.28)
Solusi persamaan tersebut merupakan nilai T pada jarak x setiap waktu t. Persamaan difusi dapat digunakan untuk menganalisis perambatan temperatur. Dengan T (temperatur) dan κ merupakan koefisien kondutivitas [3].
56
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
3.4 Algoritma Simulasi distribusi temperatur pada pelat material menggunakan algoritma berikut ini untuk memperoleh Tsat.
3.5 Hasil dan diskusi Simulasi ini dilakukan dengan menginput nilai batas T1, T2, dan T3 sebesar 100 ºC dan temperatur T4 sebesar 0 ºC pada masing-masing sisi pelat persegi. Selanjutnya parameter yang diubah adalah jumlah grid dan nilai α. Terdapat 10 macam variasi ukuran grid (∆x = ∆y) yaitu 10×10 ; 20×20 ; 30×30 ; 40×40 ; 50×50 ; 60×60 ; 70×70 ; 80×80 ; 90×90 dan 100×100.Nilai α divarisikan 2 jenis yaitu 0,1 untuk pelat tembaga dan 0,012 untuk pelat besi. Untuk melihat hubungan jumlah grid terhadap temperatur dan waktu saturasi digunakan nilai α tembaga yaitu 0,1. Parameter-parameter simulasi yang digunakan pada Tabel 1.1. Tabel 3.1 Parameter-parameter simulasi.
Symbol
Nilai
Code
Α
0,1 dan 0,012
alpha
T1, T2, T3, T4
100, 100, 100, 0
vt1, vt2, vt3, vt4
57
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
Berikut adalah hasil simulasi perubahan temperatur dan waktu saturasi untuk sebuah titik di bagian tengah pelat,
Gambar 3.2 Distribusi Temperatur pada Pelat Tembaga dengan Jumlah Grid 10×10. Semua data distribusi dengan ukuran grid yang berbeda-beda dari jumlah grid 10×10 sampai 100×100 menunjukkan pola grafik yang sama seperti Gambar 3.2 dengan temperatur dan waktu saturasi yang berbeda. Dari kesepuluh variasi ukuran grid, dapat dilihat perbedaan grafik saturasi temperatur pada titik tengah pelat tembaga pada Gambar 3.3.
Gambar 3.3 Nilai temperatur sebagai fungsi waktu untuk berbagai variasi grid : 10×10 ; 20×20 ; 30×30 ; 40×40 ; 50×50 ; 60×60 ; 70×70 ; 80×80 ; 90×90 dan 100×100.
58
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
Gambar 3.3 menunjukkan bahwa jumlah grid mempengaruhi temperatur dan waktu saturasi. Semakin banyak jumlah grid maka semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperatur saturasi, namun ketelitiannya semakin tinggi. Ukuran dan jumlah grid adalah dua hal yang berbeda. Pada suatu pelat, semakin kecil ukuran grid artinya semakin banyak jumlah grid yang digunakan. Perubahan temperatur pada setiap grid akan mempengaruhi temperatur keseluruhan pelat. Semakin banyak grid berarti semakin banyak pula perubahan-perubahan temperatur kecil yang diperhitungkan dan akan mempengaruhi ketelitian dari setiap simulasi. Dari data yang didapatkan, waktu saturasi terlama adalah pada saat ukuran grid 100×100 dan temperatur saturasinya sebesar 71,46 0C. Selanjutnya, untuk melihat hubungan nilai α terhadap temperatur dan waktu saturasi, diambil data sebelumnya untuk tembaga pada ukuran grid 10×10 dan dibandingkan dengan temperatur dan waktu saturasi pelat besi dengan α sebesar 0,012.
Gambar 3.4 Distribusi Temperatur pada Pelat Besi dengan Jumlah Grid 10×10. Gambar 3.4 memperlihatkan hasil distribusi temperatur saturasi pada pelat besi dengan α 0,012. Dari persamaan 1.28, α didefinisikan dengan persamaan berikut k∆t (3.29) α= 2 ∆x α merupakan suatu konstanta yang nilainya bergantung pada konduktivitas termal bahan (k), perubahan waktu ∆t dan ukuran grid yang digunakan ∆x. Dari grafik Gambar 3.4 dibanding dengan Gambar 3.2 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai α, semakin kecil temperatur saturasi dan semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperatur saturasi pada titik tengah pelat. Pelat tembaga mencapai temperatur saturasi sebesai 67,550C setelah 113,5 sekon dengan nilai α = 0,1
59
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
sedangkan pelat besi mencapai temperatur saturasi sebesar 70,14 0C setalah 127,27 sekon untuk α = 0,012 dengan jumlah grid yang sama untuk kedua pelat yaitu 10×10.
3.6 Kesimpulan Distribusi temperatur pada pelat suatu material telah dapat disimulasikan menggunakan bahasa pemrograman javascript dengan metode numerik finite different. Hasil simulasi menunjukkan semakin banyak jumlah grid maka temperatur saturasi semakin tinggi dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperatur saturasi semakin lama. Besar temperatur saturasi terbesar pada jumlah grid 100×100 yaitu sebesar 71,46 ºC. Banyaknya jumlah grid menunjukkan ketelitian nilai temperatur pada titik tengah pelat. Selain itu, besarnya temperatur saturasi bergantung pada konduktifitas bahan yang berbanding lurus dengan konstanta α. Semakin kecil nilai α maka semakin tinggi temperatur saturasi dan semakin besar nilai α maka semakin rendah temperatur saturasi. Besar temperatur saturasi untuk pelat tembaga dan temperatur saturasi pelat besi pada titik tengah pelat masing-masing 67,55 ºC dan 70,15 ºC.
3.7 Referensi 1.
2. 3.
4.
W. Destyanto, “ Simulasi Numerik Perpindahan Temperatur onveksi Alami pada Lapis Batas Aliran Laminar dengan Metode Beda Hingga”, Skripsi, Universitas Negeri Surakarta, Surakarta, Indonesia, 2007. J. Aminuddin, Dasar-dasar Fisika Komputasi Menggunakan Matlab”, Gava Media, Yogyakarta, 2008, pp 209-225. Warsono, Supahar, Supardi, D. Darmawan,”Komputasi Distribusi Temperatur Dalam Keadaan Mantap (Steady State) Pada Logam Dalam Berbagai Dimensi”, Prosiding, diseminarkan di Yogyakarta, 8 Februari 2005, pp 43-57. M. L. Boas, “Mathematical Methods in the Physical Science”, Third Edition, John Wiley and Sons, United State of America, 2006, pp 621-626.
60
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
3.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 3.2 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
index.html
Lampiran B
Gambar 3.2
script.js Javascript xychart.js
Gambar 3.4
style.css
C
dan D E
B. Program index.html Distribusi Temperatur pada Pelat <meta charset ="ISO-8859-1">
Distribusi Temperatur pada Pelat
Input
T1 =
T2 =
T3 =
T4 =
L1 =
L2 =
t =
61
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
C. Program script.js //Variabel untuk Finite Differential Method var n = 0; var i1, i2, j1, j2; //Delarasi Canvas var pelateCanvas = document.getElementById("pelate"); var pelateContext = pelateCanvas.getContext("2d"); var color = ["#000000", "#ffffff", "#000000", "#ffffff", "#ffffff", "#000000", "#ffffff", "#000000", "#ffffff", "#ffffff", "#000000", "#ffffff", "#000000", "#ffffff", "#ffffff", "#FF66CC", "#ffffff"]; var color1 = ["#146eb4", "#ff9900", "#6599FF", "#00ff00", "#00ff00", "#6599FF", "#00ff00", "#6599FF", "#00ff00"]; // Deklarasi Chart var chartCanvas = document.getElementById("chart"); //chartCanvas = chartCanvas.getContext("2d"); var chart = new XYChart(chartCanvas, "t", "T"); var vt = parseInt(document.getElementById("vt").value); chart.setCoordinates(0, 0, vt, 100); chart.changeData(new Array(), new Array()); chart.clear(); chart.plotToCanvas(); //Deklarasi Parameter Simulasi dan Keluaran var GradienWarna; var Temperatur = new Array(); var alpha = 0.1; var TemperaturAtas; var TemperaturBawah; var RentangTemperatur; var timer ; var arrayt = new Array(); var arrayT = new Array(); var t = 0; var Tlast = 0; var output = document.getElementById("output"); output.innerHTML = "t \t T\n";
62
"#000000", "#000000", "#000000", "#6599FF",
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
//Distribusi Temperatur function SimulasiDifusiTemperatur() { var vt1 = parseInt(document.getElementById("vt1").value); var vt2 = parseInt(document.getElementById("vt2").value); var vt3 = parseInt(document.getElementById("vt3").value); var vt4 = parseInt(document.getElementById("vt4").value); var Baris = parseInt(document.getElementById("vl1").value); var Kolom = parseInt(document.getElementById("vl2").value); var fn = document.getElementById("forNote"); if (n == 0){ for (var i = 0; i < Baris; i++) { Temperatur[i] = new Array(); for (var j = 0; j < Kolom; j++) { Temperatur[i][j] = Math.sin(i) * Math.cos(j) *100 * 0 * 50 ; } } } //Finite Difference Method if (n == 1) { TemperaturAtas = 0; TemperaturBawah = 100; for (var i = 0; i < Baris; i++) for (var j = 0; j < Kolom; j++) { if (Temperatur[i][j] > TemperaturAtas) TemperaturAtas = Temperatur[i][j]; if (Temperatur[i][j] < TemperaturBawah) TemperaturBawah = Temperatur[i][j]; RentangTemperatur = TemperaturAtas - TemperaturBawah; } } for (var i = 0; i < Baris; i++) { Temperatur[i][0] = vt2; //T2 Temperatur[i][Kolom-1] = vt4; //T4 } for (var j = 0; j < Kolom; j++) { Temperatur[0][j] = vt1; //T1 Temperatur[Baris-1][j] = vt3; //T3 } for (var i = 0; i < Baris; i++) { i1 = i - 1; i2 = i + 1; if (i == 0) i1 = Baris - 1; if (i == Baris - 1) i2 = 0; for (var j1 j2 if (j == j1 if (j == j2
// Number of data this.N = 0; // Raw data if(arguments.length == 2) { this.datax = arguments[0]; this.datay = arguments[1]; if(this.datax.length < this.datay.length) {
65
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
Komputasi Fisika 3: 3 Simulasi numerik distribusi temperatur ..
G.
Tampilan Setelah Klik “Start” 1
2 3
5
6
4 Keterangan 1. Input T1, T2, T3 dan T4 merupakan batas dari pelat yang merupakan variabel tetap. 2. Input L1 dan L2 merupakan jumlah grid yang ingin digunakan untuk menentukan T saturasi di titik tengah pelat. Sedangkan t menunjukkan waktu yang digunakan untuk mencapai saturasi. Ketiga variabel ini dapat diubah sesuai dengan data yang dibutuhkan. 3. Gambar distribusi temperatur pada sebuah pelat yang dibatasi temperatur tertentu dimana warna merah menunjukkan 100 ºC dan biru menunjukkan 0 ºC. 4. Tombol Start untuk memulai distribusi temperatur dan setelah mencapai saturasi, dapat digunakan tombol stop untuk menghentikan running agar data pada output dapat disalin ke bentuk excel. 5. Plot data berupa grafik temperatur terhadap waktu yang diambil pada satu titik yaitu ditengah pelat. 6. Output data menampilkan data perubahan temperatur dan waktu di titik tengah sampai menunjukkan keadaan saturasi. Data ini kemudian diolah ke dalam excel bersama dengan data lainnya untuk dibandingkan nilai dari temperatur dan waktu saturasi yang dapat dilihat pada Gambar 3.3.
70
Studi gerak jatuh 2-dimensi sistem benda: Kasus dua benda yang terhubung dengan pegas
4
Habibi Abdillah | [email protected] Ricky Dwi Septianto | [email protected] Juwita Maharani | [email protected] M. Rizka Taufani | [email protected] Devi Nurhanivah | [email protected] Chandra W. Winardhi | [email protected] Pada penelitian ini, dimodelkan suatu sistem benda yang mengalami gerak jatuh bebas 2-D, sistem benda terdiri dari dua buah partikel bermassa masing-masing m1 dan m2 dengan geometri lingkaran berjari-jari r1 dan r2 yang saling terhubung oleh sebuah pegas dengan panjang normal L dan konstanta k. Benda diposisikan berada dalam suatu media yang bisa diatur nilai viskositasnya sehingga didapatkan nilai gaya akibat viskositas (Fv) serta gaya lainnya seperti gaya berat Fg dan gaya gesek akibat permukaan Ff. Gerak masing-masing partikel pada sistem benda tersebut juga dipengaruhi oleh gaya pegas Fs. Sementara parameter atau variabel bebas yang dapat ditentukan di awal untuk menentukan pola gerak sistem benda antara lain konstanta pegas k, posisi awal kedua benda (x1, y1) dan (x2, y2), viskositas media c, dan kekasaran benda b.
4.1 Pendahuluan Pada dasarnya terdapat dua sistem yang dibedakan berdasarkan interaksi yang terjadi, yaitu interaksi klasik dan interaksi kuantum. Pada interaksi klasik ditinjau besaranbesaran makroskopik seperti volum, temperatur, dan tekanan. Sementara pada interaksi kuantum melibatkan pembentukan fungsi gelombang dan pencarian basis yang tepat agar sistem dapat terkarakterisasi dengan benar. Pada penelitian ini hanya dibatasi pada sistem interaksi klasik. Contoh gerak jatuh sebuah benda sering sekali teramati dalam kehidupan sehari-hari, seperti gerak jatuh pada daun, gerak jatuh pada bola, gerak jatuh sebuah koin dalam air dan gerak jatuh benda yang lain. Bila lebih jauh diamati, pola gerakan yang terbentuk dari setiap contoh yang telah disebutkan berbeda satu dengan yang lain. Hal ini tentu disebabkan oleh banyak faktor yaitu gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut dan juga ditentukan dari pola interaksi antar penyusun benda tersebut yaitu interaksi klasik. Pada suatu sistem bola yang terjatuh, bola tersebut dianggap sebagai benda titik yang dimodelkan dengan kumpulan benda titik yang terhubung dengan pegas atau biasa disebut dengan system pegas terkopel.
71
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Beberapa studi telah dilakukan untuk melihat dinamika dari gerakan pegas yang terkopel. Diantaranya telah ditinjau suatu system pegas terkopel yang digantung secara vertikal dan dilihat dinamikanya dengan menyelesaikan persamaan diferensial sampai orde keempat serta masalah nonlinear dari sistemnya [1], studi mengenai dinamika dari system dua massa dengan posisi tetap yang terkopel oleh sebuah pegas tak bermassa [2], dan solusi pendekatan pada masalah nonlinearitas dari sistem pegas terkopel [3]. Pada penelitian ini difokuskan hanya pada dua benda yang terhubung dengan pegas yang akan divariasikan massa benda, konstanta pegas, bentuk geometri benda, orientasi jatuh benda, dan pergerakan benda pada fluida.
4.2 Teori dasar Pada penelitian kali ini digunakan konsep dinamika dari Hukum II Newton yang meliputi gaya pegas dan gaya gravitasi menggunakan persamaan berikut [4]
r
r
∑ F = m&x& ,
(4.1)
F = −k∆x .
(4.2)
dengan besar gaya pegas [4] Model yang digunakan pada penelitian ini dapat dilihat pada gambar berikut ini
Gambar 4.1. Model gerak jatuh bebas pada 2 benda yang terkopling pegas dengan koordinat benda 1 dan benda 2 yang berbeda.
Dalam konsep dinamika Gambar 4.1 dapat ditinjau dua sistem yaitu benda 1 dan benda 2 yang saling terkopling dengan sebuah pegas satu sama lain, dengan posisi horizontal, untuk benda 1 lebih tinggi dari pada benda 2. Untuk benda 1 persamaan Hukum II Newton dalam arah x dapat dituliskan sebagai berikut
72
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
∑F
x
= m1&x&1 ,
(4.3)
dengan meninjau gaya pegas pada Gambar 1 diperopleh persamaan
k∆x = m1 &x&1 ,
(4.4)
m1 &x&1 − k∆x = 0 .
(4.5)
atau
Gaya dalam arah sumbu y dapat diungkapkan
∑F
y
= m1 &y&1 ,
(4.6)
meninjau total gaya yang terlibat dalam arah y didapatkan
− m1 g − k∆y = m1 &y&1 ,
(4.7)
m1 &y&1 + m1 g + k∆y = 0 .
(4.8)
atau
Pada benda 2, persamaan hukum II Newton pada sumbu x dapat dituliskan sebagai berikut
∑F
x
= m2 &x&2 ,
(4.9)
dengan cara yang sama didapatkan persamaan
m2 &x&2 + k∆x = 0 .
(4.10)
Sedangkan gaya pada arah sumbu yberlaku
∑F
y
= m2 &y&2 ,
(4.11)
Atau dapat ditulisakan
m2 &y&2 − m2 g + k∆y = 0 .
(4.12)
Selain dari gaya pegas dan gaya gravitasi, pada penelitian ini digunakan pengaruh dari gaya gesek yang diakibatkan oleh fluida(medium). Gaya gesek akibat fluida ini sangat bergantung pada kecepatan (v), bentuk benda (R) dan koefisien kekentalan fluida (η). Besar gaya gesekan tersebut dapat ditulisakan dalam bentuk berikut [5]
Fg = −6πRvη = −cv ,
(4.13)
dengan c merupakan suatu konstanta yang memenuhi c ≡ 6πRη yang secara fisis menunjukkan besar gesekan benda terhadap mediumnya dipengaruhi oleh geometri dari bendanya. Apabila semua gaya yang telah disebutkan sebelumnya disatukan ke dalam sistem pada Gambar 4.1 maka, total gaya pada sistem dua buah benda yang saling terkopel dapat diilustrasikan pada Gambar 4.2 yang dilengkapi dengan diagram gaya pada masing-masing arah x dan y.
73
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.2. Diagram gaya pada benda 1 dan 2 yang terkopling oleh pegas.
Untuk dua sistem benda yang saling terkopel dengan pegas ditunjukkan diagram gaya yang bekerja untuk tiap benda pada Gambar 4.2. Terlihat bahwa untuk setiap benda dikenai gaya pegas (Fp), gaya gesek fluida (Fg), dan gaya gravitasi (W) masingmasing pada arah x dan y. Tinjau untuk benda 1 dalam arah x dengan menggunakan Persamaan (4.3) dan (4.13) diperoleh persamaan
− m1 &x&1 + c1 x x&1 + k∆x = 0 .
(4.14)
Selain itu, ditinjau benda 1 dalam arah sumbu y serta menggunakan Persamaan (4.6) dan (4.13) didapatkan persamaan
m1 &y&1 + m1 g + k∆y + c1 y y&1 = 0 .
(4.15)
Pada benda 2, dengan cara yang sama persamaan hukum II Newton pada sumbu x dapat dituliskan sebagai berikut ini
m 2 &x&2 + c 2 x x& 2 + k∆x = 0 ,
(4.16)
dan dalam arah sumbu y dapat dituliskan sebagai
m2 &y&2 + m2 g + k∆y + c 2 y y& 2 = 0 .
74
(4.17)
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Target penelitian ini adalah untuk memvisualisasikan gerak 2 benda yang terkopling satu sama lain oleh sebuah pegas dan dapat menentukan proyeksi dari gerak benda tersebut. Berikut ini beberapa fenomena yang mungkin terjadi: 4.2.1 Gerak translasi arah horisontal Gerakan ini akan terjadi ketika kondisi v, θ, L, dan k bernilai konstan, serta m1 = m2 dan r1 = r2.
Gambar 4.3. Ilustrasi gerak translasi pada dua benda terkopling pegas dengan berbagai sudut terhadap sumbu horizontal,
Pada fenomena translasi dilakukan dua kasus yang berbeda, seperti pada Gambar 4.3 yaitu dua buah benda yang terkopel pegas dengan arah horizontal, terlihat bahwa pada kasus pertama (Gambar 4.3 kiri) untuk posisi y yang sama dijatuhkan ke permukaan tanah. Sedangkan, kasus kedua (Gambar 4.3 kanan) untuk posisi x dan y yang berbeda, dimana posisi y pada benda 1 lebih tinggi dibandingkan dengan posisi y pada benda 2 kemudian dijatuhkan pula ke permukaan tanah. Pada fenomena diatas akan dilihat gerak yang terjadi untuk setiap variasi perubahan panjang pegas (∆x) yaitu 40 cm (termampatkan), 50 cm (normal), dan 60 cm (teregang). Kemudian dengan massa benda 1 sama dengan massa benda 2 (m2 = m1 = 1 kg), untuk setiap variasi ∆x tersebut, dikenai koefisien gesek yang sama antara benda 1 dan benda 2 (c1=c2), yaitu 0, 0.1 dan 0.2. Selain itu juga akan dilihat gerak sistem untuk kasus teregang (∆x = 60 cm), disini akan dilakukan dua variasi yaitu varaiasi massa dan koefisien gesek. Untuk variasi koefisien gesek, digunakan m2 = m1 = 1 kg, dengan perbedaan koefisen gesek benda 1 (c1 = 0) dengan koefisien gesek pada benda 2 (c2 = 0.1). Sedangkan untuk variasi massa digunakan c1 = c2 = 0 dengan m1 = 1 kg dan m2 =10 kg.
75
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
4.2.2 Gerak translasi arah vertikal Gerakan ini akan terjadi ketika kondisi v, θ = 180 °, dan k bernilai sangat kecil dan L besarnya tidaklah konstan
Gambar 4.4. Ilustrasi gambar translasi pada dua benda terkopling pegas yang dilepas secara vertikal dan pegas terkompres ketika benda menyentuh permukaan tanah.
Seperti halnya fenomena translasi arah horizontal, pada fenomena translasi arah vertical yang diilustrasikan pada Gambar 4.4, terlihat bahwa posisi x pada benda 1 sama dengan posisi x pada benda 2. Pada fenomena ini akan ditinjau lebih jauh mengenai gerak jatuh bebas dua buah benda yang saling terkopel dengan pegas pada arah vertikal dengan meneliti lebih jauh dari beberapa kasus, diantaranya variasi massa dan koefisien gesek tiap benda. Kasus pertama yaitu variasi massa, ditetapkan koefisien gesek yang sama untuk benda 1 dan benda 2 (c1 = c2 = 0) dengan massa benda 1 (m1 = 1 kg) dan variasi massa benda 2 (m2 = 1 kg, 5 kg, dan 10 kg). Selain variasi massa, dilakukan pula variasi koerfisien gesek, dengan menentapkan massa benda 1 sama dengan massa benda 2 (m2 = m1 = 1 kg). Variasi koefisien gesek yang pertama yaitu dibuat koefisien gesek benda 1 selalu sama (c1 = 0) dengan koefisien benda 2 yang berbeda-beda (c2 = 0 dan 1). Variasi koefisien gesek yang kedua yaitu menetapkan koefisen gesek pada benda 2 selalu sama (c2 = 0) dengan koefisien benda 1 yang berbeda-beda (c1 = 0 dan 1). Kemudian akan diaplikasikan melalui simulasi kasus gerak jatuhnya sebuah pesawat, di mana untuk benda 1 diilustrasikan sebagai manusia sedangkan benda 2 merupakan
76
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
kursi penyelamat. Dalam simulasi ini akan dilihat secara sederhana sistem pada Gambar 4.2 bekerja untuk menyelamatkan manusia dari kecelakaan pesawat tersebut. 4.2.3 Gerak Translasi dan Gerak Osilasi Gerakan ini akan terjadi ketika kondisi v, r, dan θ dibuat sedemikian rupa sehingga berosilasi dan terdapat gaya viskositas (Fv).
Gambar 4.5. Ilustrasi gambar gerak translasi dimana salah satu benda berosilasi akibat massa benda lebih besar dan memilliki gaya gesek yang berbeda dengan benda satunya.
Berbeda dengan fenomena sebelumnya, namun masih memanfaatkan gerak jatuh bebas. Pada fenomena yang telihat pada Gambar 4.5 ini merupakan suatu gerak yang rumit karena menggabungkan dua gerak yaitu translasi dan osilasi dengan melakukan variasi parameter saja. Pada fenomena ini dilakukan suatu simulasi pada gerak jatuh daun ke permukaan tanah.
77
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
4.3 Metode numerik Metode numerik yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Euler dengan formulasi yang diambil dari hukum Newton II serta meninjau masing-masing partikel pada sistem benda tersebut. sehingga persamaan gerak untuk partikel ke-i adalah [6]
r
∑F
i
r = mi a i .
(4.18)
Untuk masing–masing benda tersebut maka didapatkan ungkapan dalam komponenkomponennya yang dapat ditulisakan [6]
Fi , f (x& i ) + Fi ,v ( x& i ) + Fi , s ( x1, x 2 , x3 , x 4 ) = mi &x&i ,
(4.19)
Fi , f ( x&1 ) + Fi ,v ( x&1 ) + Fi , s ( x1, x 2 , y1 , y 2 ) = mi &x&i ,
(4.20)
Fi , f ( y& i ) + Fi ,v ( y&1 ) + Fi , s ( x1, x 2 , y1 , y 2 ) = mi &y&i ,
(4.21)
dan besaran-besaran gerak lainnya dihitung menggunakan algoritma Euler untuk menghitung kecepatan partikel ke-i yang memenuhi persamaan [6]
r r r v i (t + ∆t ) = v i (t ) + a i (t )∆t .
(4.22)
Sedangkan posisi partikel ke-i ditulisakan [6]
r r r xi (t + ∆t ) = xi (t ) + v i (t )∆t ,
(4.23)
berlaku pada waktu t + ∆t. Sementara untuk menentukan interaksi antar partikel terlebih dahulu menentukan kondisi dari pegas. Jika pegas teregang maka kita bisa memandang kedua partikel memiliki gaya saling tarik-menarik. Sementara jika pegas tertekan maka kedua pertikel memiliki gaya yang saling tolak-menolak. Kondisi pegas yang teregang dan tertekan dapat dituliskan sebagai berikut: Syarat pegas teregang adalah
(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
> L,
(4.24)
(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 < L .
(4.25)
sedangkan yarat pegas tertekan dapat ditulis
78
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
4.4 Algoritma Simulasi gerak jatuh sistem benda dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini untuk memperoleh nilai kecepatan dan posisi benda. L1. Input parameter: k, η, b, L, Benda: x1, x2, y1, y2, r1, r2, m1, m2, L2.
Cek posisi partikel 1 (x1, y1) dan partikel 2 (x2, y2) untuk menentukan regangan pegas dan kecepatan benda v1,x, v1,y, v2,x, v2,y
L3.
Hitung: Fg, Fs, Fv, Ff masing-masing sumbu koordinat.
L4.
Hitung nilai a1, a2
L5.
Hitung nilai v1, v2
L6.
Hitung nilai x1, x2, y1, y2
L7.
Kembali ke proses L2.
L8.
Jika button berhenti onclick, simulasi berhenti sementara Jika button reset onclick, simulasi diulang / refresh Jika button mulai onlclick, simulasi dimulai Jika button siap onclick, tampilan posisi benda muncul pada layar
4.5 Hasil dan diskusi Parameter simulasi yang digunakan dapat dilihat pada tabel berikut, Tabel 4.1. Beberapa parameter penting yan digunakan dalam simulasi.
No. 1. 2. 3. 4. 5.
Parameter Gravitasi (m/s2) Konstanta pegas (N/m) Waktu awal (s) Waktu akhir (s) Perubahan waktu (s)
Nilai 10 10 10 100 0.01
Gambar 4.6 menunjukan pola gerak benda pada ruang koordinat xy dengan variasi keadaan awal yaitu termampatkan, normal, dan teregang. Dari Gambar 4.6 ini bisa dilihat bahwa gerak benda sudah sesuai dengan dinamika hukum Newton yaitu ketika gaya pegas diberikan hanya terhadap sumbu x (Gambar 4.6b), maka osiliasi hanya terjadi pada sumbu x saja. Sementara pada sumbu y, benda hanya mengalami gaya gravitasi yang diperlihatkan oleh Gambar 4.6c. Semua benda memiliki profil posisi y terhadap waktu yang sama.
79
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
(a)
640
x = 40 px
x = 50 px
x = 60 px
y (px)
480
320
160
0
128
256 0
128 256 0 x (px)
x (px)
(b) 192
640
128 64 192
x = 40 px
128 64 192
x = 50 px
128 64 0
y (px)
0
128
256
(c)
448 256 64 0
x = 60 px
4
8 12 t (s)
16
20
4
8
12 t (s)
16
20
m1 m2
Gambar 4.6. Pola gerak benda ter-coupling pegas pada keadaan awal termampatkan, normal, dan teregang dengan (a) pola gerak ruang koordinat xy, (b) pola gerak benda pada sumbu x sebagi fungsi waktu, dan (c) pola gerak benda pada sumbu y sebagai fungsi waktu.
Gambar 4.7 menunjukan pengaruh koefisien gesek benda terhadap profil gerak benda yang direpresentasikan pada pola gerak sepanjang sumbu x dan sumbu y sebagai fungsi dari waktu. Untuk gerak benda tanpa gaya gesek, dapat dilihat gerak sepanjang sumbu x merupakan gerak osiliasi tanpa gangguan dan gerak sepanjang sumbu y masih menunjukan kurva kuadratik yang menunjukan adanya percepatan dari gaya berat. Sementara itu, bila sistem diberikan gangguan berupa gaya gesek, maka akan terjadi pengurangan amplitudo gerak osilasi benda pada sumbu x. Hal ini menunjukan koefisien gesek yang diberikan berpengaruh pada besar amplitudo sementara frekuensi osilasi tetap konstan. Begitu juga dengan profil gerak sepanjang sumbu y, terdapat pengurangan percepatan sehingg benda lebih lama sampai di dasar. Fenomena yang menarik terlihat pada sistem yang diberi gaya gesek dengan koefisen gesek sebesar 0,5. Profil gerak pada sumbu y tidak lagi berbentuk kuadratik, akan tetapi menuju garis linier. Hal ini dikenal dengan kecepatan terminal, yaitu terjadi ketika besar gaya gesek menyamai besar gaya lainnya yang bekerja pada benda sehingga benda tidak lagi memiliki percepatan.
80
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
x (px)
(a)
192 128
x (px)
64 192
m1
C1 = C2 = 0
128 64 192
x (px)
m2
C1 = C2 = 0,1
128 64 0
C1 = C2 = 0,5
4
8
12 t (s)
16
20
y (px)
(b) 640 C1 = C2 = 0,5
448 256 C1 = C2 = 0
64 0
4
C1 = C2 = 0,1
8 12 t (s)
16
20
Gambar 4.7. Profil gerak benda ter-coupling pada (a) sumbu x dan (b) sumbu y sebagai fungsi waktu dengan variasi koefisien gesek benda 0; 0,1; dan 0,5.
Pengaruh perbedaan koefisen gesek diperlihatkan oleh Gambar 4.8. Pada fenomena ini telah kombinasi gerak benda yang sedikit kompleks. Pada kasus ini, benda 1 (hitam) tidak memiliki gaya gesek (C1 = 0), sementara benda 2 (merah) memiliki koefisien gesek C2 sebesar 0,1. Gaya gesek yang dialami benda 2 memiliki kontribusi ke segala arah baik pada sumbu x maupun sumbu y, sehingga pengurangan percepatan terjadi pada kedua sumbu gerak tersebut. Sementara itu, benda 1 yang tidak memiliki gesekan akan bergerak bebas dan memilki percepatan arah sumbu y yang lebih besar sehingga benda 1 akan jatuh lebih cepat. Akan tetapi, benda 1 terhubung dengan benda 2 sehingga yang terjadi adalah benda 1 dibelokkan dan membentuk pola rotasi dengan benda 2 sebagaimana disimulasikan dan diperlihatkan oleh Gambar 4.9.
81
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
C1 = 0; C2 = 0.1
640
(a)
x (px)
192 128
m2 = 1 kg
64 0
320
640 y (px)
y (px)
480
m1 = 1 kg
(b)
160
0
0
128 x (px)
256
4
8
12 t (s)
4
8
16
20
16
20
(c)
448 256 64 0
12 t (s)
Gambar 4.8. Profil gerak benda akibat perbedaan koefisien gesek benda untuk representasi pada (a) ruang koordinat xy, (b) sumbu x sebagai fungsi waktu, dan (c) sumbu y sebagai fungsi waktu. 640
y (px)
480 320 160 t = 0,0s
t = 2,559s
t = 3,929s
t = 6,369s
t = 8,109s
t = 10,569s
t = 12,479s
t = 15,429s
0 640
y (px)
480 320 160 0
0
128
256 0
128
256 0 128 x (px)
256 0
128
256
Gambar 4.9. Posisi benda ter-coupling pada bidang xy sebagai fungsi waktu yang dipengaruhi oleh perbedaan koefisien gesek dengan koefisien gesek benda 1 (hitam) sebesar 0 dan koefisien gesek benda 2 (merah) sebesar 0,1.
82
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Variasi lain yaitu untuk benda dengan posisi vertikal seperti pada Gambar 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, dan 4.14 dibuat posisi benda 1 dan benda 2 dengan variasi massa benda, serta koefisien gesek benda terhadap udara. Pada Gambar 4.10 divariasikan massa benda m2 dengan variasi 1,5, dan 10. Sementara pada Gambar 4.12 divariasikan massa benda m1 dengan variasi 5, dan 10.
Gambar 4.10a. Variasi massa benda m2 (kiri-kanan), m1 = m2 = 1, m2 = 5, dan m2 = 10.
83
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.10b. Variasi massa benda m2 (kiri-kanan), m1 = m2 = 1, m2 = 5, dan m2 = 10.
Dari Gambar 4.10a dan 4.10b dapat dilihat bahwa ketika massanya kecil, akan jatuh secara perlahan dan tidak ada pantulan saat benda mengenai dasar, sementara ketika massa benda diperbesar, langsung terlihat adanya perbedaan yaitu pantulan yang terjadi pada benda 1 (hitam). Pada Gambar 4.10b terlihat perbedaan yaitu di mana benda 1 terbawa pantulan benda 2 sehingga menghasilkan terjadinya gerakan pantulan yang kurang lazim karena terpengaruh benda 2.
84
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.11. Variasi massa benda m1 (kiri-kanan), m1 = 5, dan m1 = 10.
Pada Gambar 4.12 dan 4.13 akan digunakan variasi koefisien gesek benda yaitu c1 dan c2, setiap variasi menggunakan nilai yang sama yaitu c1 =1, 5, dan 10. Lalu pada simulasi berikutnya divariasikan c2 = 5 dan 10. Dari Gambar 4.13 dan Gambar 4.14 dapat dilihat perbedaan utamanya terletak pada waktu jatuh benda. Semakin besar gaya gesek udaranya semakin lama benda jatuh ke dasar.
85
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.12. Variasi koefisien gesek benda satu (kiri) c1 = 5 dan c2 = 1 sementara (kanan) c1 = 10 dan c2 = 1
Gambar 4.13. Variasi koefisien gesek benda dua (kiri) c2 = 5 dan c1 = 1 sementara (kanan) c2 = 10 dan c1 = 1.
86
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Pada Gambar 4.15 dapat dilihat perubahan posisi turun benda dengan m1 = 5 dan c1 = c2 = 1 yang terlihat bahwa benda 2 ketika menyentuh dasar akan terlontar sekali lagi ke atas.
Gambar 4.14. Posisi benda jatuh dengan parameter m1 = 5, m2 = 1, c1 = c2 =1.
Berdasarkan percobaan yang telah dilakukan sebelumnya seperti pada Gambar 4.6 hingga Gambar 4.14 terlihat bahwa data yang diperoleh sudah sesuai dengan yang diharapkan. Selanjutnya akan dilakukan percobaan mengenai variasi massa benda 1 dan benda 2, serta koefisien gesek benda 1 dan benda 2 untuk setiap waktu dan kecepatan saat salah satu benda menyentuh permukaan tanah. Untuk variasi massa antara benda 1 dan benda 2 yaitu 1 kg, 5 kg dan 10 kg. Sedangkan untuk variasi koefisien gesek benda 1 dan benda 2 digunakan nilai dari 1, 3 dan 5.
87
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Tabel 4.2. Waktu tempuh benda hingga menyentuh permukaan tanah.
m1-m2
c1-c2
1-1 t
1-5 t
1-10 t
5-1 t
5-5 t
5-10 t
10-1 t
10-5 t
10-10 t
1-1
108
40.8
32.4
40
34.2
25.8
28.6
27.2
24.8
1-3
197.8
72
43
68.4
44.2
34
258
33.6
34.8
1-5
293.2
108
60.4
182.7
61.6
44
56.2
45.4
62
3-1
197.8
69.4
41
72
68
33.4
282.8
34
34.8
3-3
318.6
102.8
58.4
102.8
66.8
45.2
667.4
411.8
38.4
3-5
399.6
137.6
76.8
134
82.2
58.4
96.4
107.6
46.2
5-1
293.2
99
56.2
108
94.8
45.4
121
44
63.2
5-3
399.6
134
74.6
137.6
112.2
56.5
332
69
46.2
5-5
530.4
169.8
93.6
169.2
108
70.2
534.6
70.2
57
Tabel 4.3. Kecepatan saat menyentuh tanah.
m1-m2
c1-c2
1-1 v
1-5 v
1-10 v
5-1 v
5-5 v
5-10 v
10-1 v
10-5 v
10-10 v
1-1
10.00
5.98
2.32
3.60
8.58
11.78
51.47
33.81
73.42
1-3
5.00
15.01
27.50
2.87
25.48
32.66
0.51
1.95
9.08
1-5
3.33
10.00
18.34
10.00
16.68
25.80
18.32
7.27
16.32
3-1
5.00
2.61
5.57
15.01
15.07
38.41
9.79
32.66
9.08
3-3
3.33
10.00
18.30
10.00
16.67
24.96
3.33
14.50
33.28
3-5
2.50
7.50
13.75
7.50
12.51
18.84
6.08
9.88
6.54
5-1
3.33
10.00
18.32
10.00
9.96
7.27
9.77
25.80
5.34
5-3
2.50
7.50
13.73
7.50
9.83
18.76
3.33
14.33
6.54
5-5
2.00
1.02
11.00
6.00
10.00
15.01
2.00
15.01
20.00
Berdasarkan data yang diperoleh kita tinjau waktu tempuh benda hingga menyentuh permukaan tanah seperti pada Tabel 4.2, terlihat bahwa semakin besar massa maka waktu yang ditempuh benda untuk sampai ke permukaan tanah semakin cepat, misalnya pada variasi massa 1-1, 5-1 dan 10-1 pada variasi koefisien gesek yang konstan (1-1). Untuk membuktikan lebih lanjut, dapat ditunjukkan saat waktu terlama benda hingga mencapai permukaan tanah yaitu untuk variasi massa 1-1 yaitu 108 s, sedangkan waktu tercepat benda hingga mencapai permukaan tanah yaitu pada variasi 10-10 yaitu 24.8 s. Selanjutanya apabila dilakukan variasi koefisien gesek, maka
88
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
terlihat bahwa pada Tabel 4.2 semakin besar koefisien geseknya maka semakin besar pula waktu yang dibutuhkan benda untuk sampai ke permukaan tanah. Dapat ditunjukkan melalui variasi massa yang sama (1-1), variasi koefisen yang berbeda (11, 31-1 dan 3-1) terlihat bahwa semakin besar niali koefisien gesek maka waktunya pun semakin besar. Sehingga, pengaruh waktu tempuh benda dengan variasi massa dan koefisien gesek adalah semakin besar massa benda dan semakin kecil nilai koefisien gesek maka semakin cepat benda menyentuh permukaan tanah (yaitu pada saat variasi massa 10-10 dan variasi koefisien gesek 1-1 yaitu 24.8 s). Sebaliknya, semakin ringan suatu benda dan semakin besar koefisien geseknya maka semakin lama benda tersebut menyentuk permukaan tanah (seperti terlihat pada variasi massa 1-1 dan variasi koefisien gesek 5-5 yaitu 530.4 s). Selain waktu tempuh benda menyentuh permukaan tanah, dalam penelitian ini juga ditinjau kecepatan benda saat menyentuh tanah yang terlihat pada Tabel 4.3. Seperti yang kita ketahui pada Fisika Dasar bahwa kecepatan berbanding terbalik dengan waktu tempuh benda, oleh karena itu perbedaan antara Tabel 2 dan Tabel 3 tidak jauh berbeda hanya berkebalikan saja seperti pada dilihat pada variasi (1-1,5-5) pada Tabel 4.3 memiliki warna merah karena memiliki nilai yang rendah sementara pada Tabel 4.2 memiliki warna hijau karena memiliki nilai yang tinggi. Terlihat jelas bahwa koefisien gesek mempengaruhi kecepatan benda saat akan menumbuk tanah, tapi kombinasi antara koefisien gesek dan massa benda dapat menghasilkan hasil yang berbeda. Pada variasi m1-m2 (10-10) memiliki kecepatan yang cenderung menurun tapi jika diberikan massa yang identik, akan menghasilkan kecepatan yang cukup tinggi jika dibandingkan dengan hasil yang lain. Tabel 4.2 dan Tabel 4.3 menunjukkan bahwa bisa didapatkan variasi antara m1-m2 serta c1-c2 yang membuat benda tidak terlalu lama di udara (waktu tempuh rendah) dan tidak terlalu cepat saat menyentuh permukaan tanah (kecepatan rendah) seperti pada variasi massa (10-10) dengan kombinasi variasi koefisien gesek (3-5, 5-1, dan 5-3) yang memiliki waktu tempuh dan kecepatan yang masih jauh dibawah rata-rata dari kedua tabel.
4.6 Aplikasi Model ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan nyata seperti simulasi pada keamanan penumpang pesawat dimana pesawat tersebut mengalami kecelakaan. Pada model terdapat benda berwarna merah dan hitam. Misal dalam kasus ini benda berwarna hitam adalah penumpang pesawat, dan benda berwarna merah adalah kursi yang memiliki sifat cukup elastik, bebannya melebihi beban penumpang, dan mampu menahan beban penumpang. Ketika pesawat akan jatuh, penumpang sudah otomatis menempel pada kursi nya masing-masing (penumpang dan kursi berada dalam satu sistem) dan sistem tersebut jatuh meninggalkan pesawat yang sudah tidak bisa terkendali. Berikut adalah simulasinya.
89
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.15. Profil gerak benda ter-coupling pada sumbu y sebagai fungsi waktu dengan koefisien gaya gesek benda 1 (hitam) dan benda 2 (merah) berturut-turut adalah sebesar 5 dan 0.1
Dari Gambar 4.16 dapat dilihat bahwa ketika massa benda 1 adalah m1 = 10 kg dan massa benda 2 adalah m2 = 80 kg, serta keduanya memiliki koefisien gesek yang berbeda, dimana c1 = 5 dan c2 = 0.1, maka sistem akan jatuh cukup cepat. Sehingga ketika mengenai permukaan tanah, benda 1 dan benda 2 akan terkompres oleh benda 1. Karena massa benda 2 lebih besar dari benda 1 maka benda 2 tidak mengalami
90
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
pergerakan lagi, sementara benda 1 mengalami pantulan. Seiring berjalannya waktu, pantulan yang dialami benda 1 akan semakin teredam hingga benda 1 diam. Pada Gambar 4.17 dapat dilihat perubahan posisi turun sistem. Simulasi ini sesuai dengan gerak translasi dan terkompres, seperti Gambar 4.4.
Gambar 4.16. Posisi benda jatuh dengan parameter m1 = 10, m2 = 80, c1 = 5, c2 = 0,1.
Selain itu, sistem pengamanan untuk penumpang pesawat adalah parasut. Dalam hal ini, sistem disimulasikan seperti Gambar 4.18 dan Gambar 4.19, dimana benda berwarna hitam adalah parasut dan benda berwarna merah adalah penumpang pesawat. Dari Gambar 4.17 dapat dilihat bahwa sistem bergerak turun secara linear dari rentang t = 0 s sampai t = 52 s hingga penumpang menyentuh permukaan tanah. Sementara parasut masih berada di atas permukaan tanah. Parasut baru menyentuh permukaan tanah ketika t = 144 s. Hal ini dikarenakan massa parasut yang sangat kecil dan tali yang menghubungkan parasut dengan penumpang dianggap sebagai pegas yang cukup keras.
91
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Gambar 4.17. Profil gerak benda ter-coupling pada sumbu y sebagai fungsi waktu dengan koefisien gaya gesek pada benda 1 (hitam) sama dengan benda 2 (merah).
92
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
a
b
Gambar 4.18. Posisi benda jatuh dengan parameter m1 = 1, m2 = 10, c1 = 5, c2 = 0,1 (a) Simulasi sistem dalam bentuk 2 partikel terkopling (b) Simulasi pola gerak benda.
4.7 Kesimpulan Pada simulasi ini telah ditunjukan fenomena gerak dua benda yang terkopling satu sama lain dengan sebuah pegas. Benda dijatuhbebaskan dengan berbagai parameter seperti variasi massa, koefisien gesek benda, dan posisi relatif masing-masing benda. Kombinasi dari parameter-parameter tersebut mampu menghasilkan sebuah gerak benda yang kompleks antara lain gerak translasi, gerak osilasi pegas, gerak osilasi bandul, dan gerak rotasi. Lebih jauh lagi, simulasi yang dilakukan dapat menjadi prediksi untuk gerak benda-benda kompleks seperti daun gugur, terjun payung, dan gerak lainnya.
4.8 Referensi 1. 2.
Fay, T. H., dan Graham, S., D., “Coupled spring equations”, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., vol. 34, no. 1, 65–79 (2003). Santos, F. C., Coutinho, Y. A., Ribeiro-Pinto, L., dan Tort, A. C., “The motion of two masses coupled to a finite mass spring”, Eur. J. Phys. 27, 1037–1051 (2006).
93
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
3.
4. 5. 6.
Ganji, S. S., Barari, A., Ganji, D. D., “Approximate analysis of two-massspring systems and buckling of a column”, Computers & Mathematics with Applications 61(4), 1088-1095 (2011). Fawles, G., dan Cassiday, G., Analytical mechanics sixth edition, Harcourt College Publishers, Fort Worth, 1998. Halaman 45-48 dan 80. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/airfri.html(diakses tanggal 15 Mei 2017 pukul 15.00). DeVries, P. L., A first course in computational physiscs, John Wiley & Sons, New York, 1994. Halaman 208-215.
4.9 Lampiran Petunjuk penggunaan program Terdapat 3 file yaitu falling_ball_revA7.html, ball7.js, dan style.css satukan ketiga file tersebut dalam satu folder, untuk menjalankan file falling_ball_revA7.html dapat di doubleclick dan dibuka menggunakan browser apapun (disarankan menggunakan browser chrome (Windows) atau chromium (Linux). Tampilan pada layar akan menjadi seperti gambar 1.
Gambar 1. Tampilan layar ketika program falling_ball_revA7.html dibuka.
94
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Audio player
Canvas 1 Menjalankan simulasi bola terkopling
Canvas 2 Menampilkan grafik posisi bola 1 dan 2
Gambar 2. Penjelasan tampilan pada layar
Canvas 3 Menampilkan grafik x(t)
Canvas 3 Menampilkan grafik y(t)
Gambar 3. Penjelasan tampilan pada layar
95
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Textarea 1 Menampilkan simbol parameter simulasi
Textarea 2 Input parameter simulasi
Textarea 3 Output t, x, y, Vx, dan Vy dari benda 1
Textarea 4 Output t, x, y, Vx, dan Vy dari benda 2
Waktu simulasi (Current time) Button untuk mempersiapkan (siap),memulai simulasi (mulai),dan mereset simulasi (reset) Gambar 3. Penjelasan tampilan pada layar
Pada textarea1 terdapat beberapa simbol parameter yaitu x1 (posisi x bola 1), y1 (posisi y bola 1), r1 (jari-jari bola 1), c1 (koefisien gesek bola 1), dan m1 (massa bola 1). Begitu pula untuk x2, y2, r2, c2, dan m2. Gravitasi dilambangkan oleh g, sementara L (panjang pegas), k (konstanta pegas), ti (t inisial), tf (t final), periode (kecepatan simulasi). Parameter seperti l, dan tcur dapat diabaikan. Cara untuk menggunakan program ini dapat dilihat pada tabel 1.
96
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Langkah 1. 2. 3.
4.
5. 6. Catatan
Tabel 1.Langkah penggunaan program Petunjuk Input parameter yang diinginkan pada Textarea2. Tekan tombol “siap” untuk melihat apakah posisi benda sudah sesuai dengan yang diinginkan. Jika masih belum sesuai keinginan, parameter dapat langsung diubah dan tekan tombol “siap”. Jika sudah sesuai dengan yang diinginkan, tekan tombol “mulai” untuk menjalankan simulasi. Tombol mulai akan berubah menjadi “berhenti” ketika ditekan. Tekan tombol “berhenti” untuk menghentikan simulasi sementara, dan tekan tombol “mulai” untuk menjalankan simulasi kembali Tombol “reset” dapat digunakan untuk me-refresh layar dan simulasi. - Perubahan parameter saat simulasi sedang berjalan tidak akan mempengaruhi hasil simulasi. - Jangan menekan tombol “siap” saat simulasi sedang berjalan karena akan mengulang posisi benda dari awal tapi menggunakan kondisi dari saat benda terakhir
Source Code Program Terdapat 3 bagian pada source code yang telah dibuat yaitu style.css, falling_ball_rev9.html, dan ball9.js. File style.css berisi mengenai style tabel, ukuran canvas, textarea, dan font yang digunakan dalam file falling_ball_rev9.html. Pada file falling_ball_rev9.html berisi program untuk tampilan yang akan dilihat pada layar seperti posisi canvas, textarea, dan input parameter maupun output data. Sementara file ball9.js berisi mengenai program utama yang digunakan dalam menjalankan program ini. Berikut source code dari style.css, falling_ball_rev9.html, dan ball9.js secara berurutan. style.css canvas { background: #fff; margin-right: 20px; border: 1px solid gray;} textarea { height: 160px; max-height: 160px; width: 300px; margin-right: 20px; font-family: Arial;
97
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
t<sub>cur s
<script> var grafik1 = document.getElementById("grafik1"); var grafik2 = document.getElementById("grafik2"); var myCanvas = document.getElementById("myCanvas"); var drawGraph = grafik1.getContext("2d"); var drawGraph2 = grafik2.getContext("2d"); var drawBall = myCanvas.getContext("2d"); var xmax = grafik1.width - (grafik1.width/10); var ymax = grafik1.height - (grafik1.height/10); var dx = xmax/10; var dy = ymax/10; /*membuat sumbu*/ makeAxis(drawGraph,dx,0,dx,ymax,0.5);
100
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
ball9.js /*fungsi memulai simulasi*/ /*Variabel Inisial*/ //gacc = parseFloat(document.getElementById("gacc").value);
103
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
//Variabel yg berhubungan dengan posisi var drawBall; var drawGraph; var drawGraph2; var drawGraphxy; var period = 0; /*periode update data*/ var ax1 = 0; var ax10 = 0;/*percepatan awal horizontal*/ var ax2 = 0; var ax20 = 0;/*percepatan awal horizontal*/ var ay1 = 0; var ay10 = 0;/*percepatan awal vertikal*/ var ay2 = 0; var ay20 = 0;/*percepatan awal vertikal*/ var vx1 = 0; var vx10 = 0;/*kecepatan awal horizontal*/ var vx2 = 0; var vx20 = 0;/*kecepatan awal horizontal*/ var vy1 = 0; var vy10 = 0;/*kecepatan awal vertikal*/ var vy2 = 0; var vy20 = 0;/*kecepatan awal vertikal*/ var first = true; var timer1; var i = 0; var var var var var
var g = 0; /*konstanta gravitasi (dalam m/s^2)*/ var deltay = 0; var deltax = 0; /*End Variabel Inisial*/ /*Variabel Input*/ //Benda 1 var x1 = 0; var x10 = 0;/*posisi awal benda 1 horizontal*/ var y1 = 0; var y10 = 0;/*posisi awal benda 1 vertikal*/ var R1 = 0; /*jari-jari benda 1*/ var c1 = 0; /*konstanta viskositas benda 1*/ var m1 = 0; /*massa benda 1 (dalam kg)*/ //Benda 2 var x2 = 0; var x20 = 0;/*posisi awal benda 2 horizontal*/ var y2 = 0; var y20 = 0;/*posisi awal benda 2vertikal*/ var R2 = 0; /*jari-jari benda 2*/ var beta = 0; /*sudut awal*/ var c2 = 0; /*konstanta viskositas benda 2*/ var m2 = 0; /*massa benda 2 (dalam kg)*/
104
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
//Variabel yang bergantung benda 1-2 var l = 0; /*panjang pegas (dalam m)*/ var L = 50; var L0 = L;/*besar posisi antara x1 dan x2*/ var k = 0; /*konstanta pegas*/ var deltal = 0; /*perubahan panjang pegas*/ //Variabel simulasi var dt = 0; /*perubahan waktu*/ var ti = 0; var tf = 0; var tcur = 0; /*End Variabel Input*/ var hasil = ""; var hasilawal = ""; /*warna*/ var black var red var green var blue var yellow var cyan var magenta var white var gray
function fire() { if (first) {read();} toggle(); } function read() { var lines = new Array; lines = ta.value.split("\n"); var N = lines.length; for (var b=0; b
105
/*posisi awal 1 horizontal*/ /*posisi awal 1 vertikal*/
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
R1 = parseFloat(terms[2]); /*jari-jari benda 1*/ m1 = parseFloat(terms[3]); /*konstanta viskositas benda 1*/ c1 = parseFloat(terms[4]); /*massa benda 1 (dalam kg)*/ } else if (b==1) { x2 = parseFloat(terms[0]); /*posisi awal benda 2 horizontal*/ y2 = parseFloat(terms[1]); /*posisi awal benda 2 vertikal*/ R2 = parseFloat(terms[2]); /*jari-jari benda 2*/ m2 = parseFloat(terms[3]); /*konstanta viskositas benda 2*/ c2 = parseFloat(terms[4]); /*massa benda 2 (dalam kg)*/ } else if (b==2) { g = parseFloat(terms[0]); } else if (b==3) { L = parseFloat(terms[0]); /*panjang pegas awal (dalam m)*/ l = parseFloat(terms[1]); /*panjang pegas awal (dalam m)*/ k = parseFloat(terms[2]); /*konstanta pegas*/ } else if (b==4) { dt = parseFloat(terms[0]); /*perubahan waktu*/ ti = parseFloat(terms[2]); tf = parseFloat(terms[3]); period = parseFloat(terms[4]); } } document.getElementById('hasil1').value = document.getElementById('hasil1').value + ti + "\t" + x1 + "\t" + y1 + "\t" + vx1 + "\t" + vy1 + "\t" + "\n";
106
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
document.getElementById('hasil2').value = document.getElementById('hasil2').value + ti + "\t" + x2 + "\t" + y2 + "\t" + vx2 + "\t" + vy2 + "\t" + "\n"; } function toggle() { if(event.target.innerHTML == "Berhenti") { // Stop simulation event.target.innerHTML = "Mulai"; clearInterval(timer1); } else { // Run simulation event.target.innerHTML = "Berhenti"; timer1 = setInterval(mulaiFunction, period); } } function clearCurrentFigure() { var ctx1 = myCanvas.getContext("2d"); var ctx2 = grafik1.getContext("2d"); ctx1.fillStyle = "#fff"; ctx1.fillRect(0,0,320,640); ctx2.fillStyle = "#fff"; ctx2.fillRect(0,0,480,320); } // Reset simulation function resetFunction() { location.reload(); } /* FUNGSI MEMBUAT GRAFIK*/ function graph(plot,xpos,ypos,dotsize,color) { plot.beginPath(); plot.fillStyle=color; plot.arc(xpos,ypos,dotsize,0,Math.PI*2,true); plot.closePath(); plot.fill(); } /* FUNGSI MEMBUAT GRID */ function makeGrid(grid,xi,yi,xf,yf,linesize) { grid.setLineDash([2, 4]); grid.beginPath(); grid.moveTo(xi,yi);
107
Komputasi Fisika 3: 4 Studi gerak jatuh 2-dimensi ..
A. Momang Yusuf | [email protected] Anna Fitriana | [email protected] Dina Rahmawati | [email protected] Irhas | [email protected] Muthaharah Yunus | [email protected] Putri Mustika Widartiningsih | [email protected] Resonansi Fano memiliki ciri khas interferensi yang menarik di mana kurva resonansi yang dihasilkan berbentuk asimetri. Resonansi ini memiliki lebar spektrum yang lebih sempit dan sensitif sehingga menjanjikan aplikasi yang luas pada sensor, penguat, laser, dan sensing. Dalam model klasik, resonansi Fano dapat dimodelkan dengan sistem osilasi massa terkopel yang dikenai gaya luar dan redaman. Untuk menyelesaikan persamaan osilasi terkopel tersebut digunakan metode numerik Runge-Kutta orde 4. Pemodelan klasik resonansi Fano sudah dilakukan dengan variasi parameter frekuensi, konstanta kopling, faktor damping, dan gaya eksternal untuk memperoleh fitur asimetrik Posisi resonansi sangat ditentukan oleh frekuensi alamiah kedua pegas (faktor utama), faktor damping, dan konstanta kopling, sedangkan tinggi resonansi ditentukan oleh besar gaya eksternal. Semakin besar faktor damping, amplitudo simpangan yang dihasilkan semakin kecil.
5.1 Pendahuluan Resonansi Fano telah menjadi kajian yang menarik khususnya dalam bidang plasmonik setelah gejala resonansi ini pertama kali dipelajari oleh Ugo Fano dalam bidang spektroskopi atom [1]. Resonansi Fano menunjukkan fenomena hamburan resonansi yang unik dengan bentuk kurva yang asimetris yang dapat ditemukan dalam bidang optik pada peristiwa anomali Wood [2], interaksi resonansi Bragg dengan pita Fabry-Perot dalam kristal fotonik [3], serta proses transmisi dan pemantulan pada lempeng kristal fotonik [4]. Karakteristik dan kelebihan resonansi Fano adalah memiliki profil asimetris, lebar spektrum yang sempit, dan lebih sensitif dibandingkan dengan resonansi Lorentzian. Dengan karakteristik seperti ini, resonansi Fano banyak diterapkan pada berbagai bidang, misalnya dalam penyaringan optik, penyeleksi polarisasi, penginderaan, laser, modulator dan optik nonlinear. Meskipun merupakan gejala kuantum dan optik, gejala resonansi Fano ternyata dapat digambarkan dengan sebuah sistem mekanika klasik berupa sistem osilator pegasmassa terkopel (coupled mass-spring oscillator). Dalam RBL ini, kami
115
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
memvisualisasikan dan mempelajari resonansi Fano dengan menggunakan analogi klasik di atas dengan parameter-parameter yang divariasikan seperti konstanta pegas, koefisien gesek (b), frekuensi ( ω ), dan amplitudo (a) yang dapat diubah. Melalui analogi sistem osilator pegas massa yang terkopel ini, akan ditunjukkan bahwa bentuk kurva asimetrik resonansi Fano dapat diperoleh. Dengan demikian, pengkajian sistem osilator pegas massa yang terkopel dapat memberikan gambaran terhadap fenomena resonansi Fano.
5.2 Teori Kurva asimetris dalam resonansi Fano adalah hasil interferensi dari resonansi transmisi dan resonansi pantul (refleksi) yang dapat dianggap sebagai interaksi dua gelombang. Amplitudo pertama adalah amplitudo hamburan dari gelombang datang yang berbentuk kontinu dan amplitudo kedua berasal dari gelombang radiasi yang ditimbulkan oleh penghambur yang bersifat diskrit (terlokalisasi). Gambar 5.1 menunjukan kurva hubungan antara amplitudo terhadap frekuensi, Fano menunjukkan bahwa amplitudo kedua memiliki bentuk yang kecil dan tajam sehingga akan memberikan resolusi dan ketelitian yang baik.
Gambar 5.1. Perilaku resonansi osilator terkopel ditunjukkan oleh amplitudo pertama (kiri) dan amplitudo kedua (kanan) sebagai fungsi frekuensi [3]. Parameter yang digunakan v12 = 0.1, b1 = 0.025, a1 = 0.1, ω2 = 0.1.
Analogi klasik resonansi Fano dapat digambarkan oleh osilasi terkopel dari sistem dua massa (coupled-mass-spring oscillation system) yang diperlihatkan dalam gambar berikut.
Gambar 5.2. Model klasik resonansi fano digambarkan oleh sistem dua massa yang dikopel.
Persamaan gerak untuk sistem dua osilasi pegas-massa terkopel (coupled-mass-spring oscillation system) seperti pada Gambar 5.3 adalah
116
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
&x&1 + b1 x&1 + ω1 2 x1 + v12 x 2 = a1e iωt ,
(5.1)
&x&1 + b2 x& 2 + ω 2 2 x 2 + v12 x1 = a 2 e iωt ,
(5.2)
di mana b1 menyatakan koefisien gesekan pada massa 1, b2 menyatakan koefisien gesekan (faktor damping) pada massa 2, v12 menyatakan konstanta kopling (coupling factor), serta ω1 dan ω2, masing-masing adalah frekuensi osilasi alamiah sistem massa-pegas 1 (osilator 1) dan massa-pegas-2 (osilator 2). Solusi keadaan tunak (steady state solution) dari perpindahan masing-masing osilator dinyatakan oleh Persamaan (5.3)
x1 = c1e iωt ,
x 2 = c 2 e iωt ,
(5.3)
di mana c1 dan c2 masing-masing menyatakan amplitudo osilasi partikel 1 dan 2. Persamaan (5.3) kemudian dimasukkan ke dalam persamaan (5.1) dan (5.2), akan diperoleh
− ω 2 c1 + ω1 c1 + v12 c 2 = a1
(5.4)
− ω 2 c 2 + ω 2 c 2 + v12 c1 = a 2 ,
(5.5)
2
2
yang dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut
di mana pada pemodelan resonansi Fano ini kita meninjau mode terang (bright mode) dan mode gelap (dark mode) sehingga koefisien a2 dipilih bernilai nol (a2 = 0) Maka koefisien amplitudo c1 dan c2 dapat diperoleh dengan metode inversi matriks menghasilkan
c1 =
(ω
(
2
)(
)
2
,
(5.7a)
v12 − ω1 − ω + iωγ 1 ω 2 − ω 2 + iωγ 2
).
(5.7b)
2
1
c2 =
)
a1 ω2 − ω 2 + iωb2 − a2 v12
− ω + iωb1 ω2 − ω + iωb2 − v12 2
(
2
2
)
a1v12 − ω1 − ω 2 + iωγ 2 a2
2
(
2
2
)(
2
2
5.3 Metode numerik Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode Runge-Kutta orde ke-4. Dibandingkan dengan metode Euler, metode ini memberikan hasil perhitungan yang lebih teliti karena didasarkan pada pemanfaatan suku-suku orde yang lebih tinggi dalam ekspansi deret Taylor. Selain itu, metode Runge-Kutta juga memberikan hasil yang stabil, dan “self-starting” dalam arti bahwa
117
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
tidak diperlukan untuk melakukan metode integrasi awal sebagai kasus khusus dalam proses integrasinya. Metode Runge Kutta orde ke-4 digunakan dalam tulisan ini untuk memperoleh besaran-besaran gerak pada sistem pegas terkopel dengan 2 massa yakni posisi sesaat massa ke-i yakni xi(t) dengan i = 1 atau 2 dan kecepatan sesaat vi(t). Persamaan defferensial orde dua dimodifikasi dengan menggunakan
u i = x& i ,
(5.12)
sehingga menjadi persamaan gerak osilasi terkopel yang melibatkan massa ke-i‘ ≠ i 2 u& i + γ i u i + ω i xi + vii′ xi′ = ai e iωt ,
Di mana
(5.13)
u& i merepresentasikan percepatan massa ke-i dapat dituliskan dalam u& i = f (vii ' , xi , xi′ , t ) .
(5.14)
Kecepatan sesaat ui(t) dinyatakan dalam iterasi j dalam algoritma Runge-Kutta sebagai uij sehingga saat (t+h) kecepatan dan posisi sesaat masing-masing dinyatakan dalam uij+1 dan dalam xij+1 yang dapat diperoleh dari algoritma Runga Kutta orde ke4 melalui konstanta – konstanta berikut
l ij 0 = vij
k ij 0 = f (vij , xij , xi′j , t j ) l ij1 = vij +
1 k ij 0 h 2
1 1 1 1 k ij1 = f vij + k ij 0 h, xij + l ij 0 h, xi′j + l i′j 0 h, t j + h 2 2 2 2 1 l ij 2 = vij + k ij1 h , 2
(5.15a) (5.15b) (5.15c)
(5.15d)
(5.15e)
1 1 1 1 k ij 2 = f vij + k ij1 h, xij + lij1 h, xi′j + l i′j1h, t j + h , (5.15f) 2 2 2 2 1 l ij 3 = vij + k ij 2 h , (5.15g) 2 1 1 1 1 k ij 3 = f vij + k ij 2 h, xij + l ij 2 h, xi′j + l i′j 2 h, t j + h 2 2 2 2
(5.15h)
yang akan menghasilkan
1 u ij +1 = u ij + h(k ij 0 + 2k ij1 + 2k ij 2 + k ij 3 ), 6
5.4 Algoritma Simulasi gerak osilasi dua benda terkopel menggunakan metode komputasi Runge Kutta untuk mendapatkan perubahan posisi benda setiap waktu L1.
5.5 Hasil dan Analisis Untuk melihat fenomena asimetrik, sistem osilasi dibedakan menjadi mode terang (bright mode) dan mode gelap (dark mode). Perbedaan mode ini didasarkan pada besarnya gaya yang diberikan di masing – masing osilator di mana pada mode terang diberikan a1 ≠ 0 sedangkan mode gelap diberikan oleh a2 = 0. Batasan yang digunakan dalam RBL ini adalah massa kedua benda yang sama sehingga frekuensi alamiah kedua benda ditentukan konstanta pegas yang terkait. Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan dan teori, bahwa karakteristik resonansi Fano adalah memiliki lebar spektrum yang sempit. Untuk mencapai karakteristik ini, frekuensi alami benda mode terang dan gelap tidak sama.
(a)
(b)
Gambar 5.3. Grafik amplitudo terhadap frekuensi (a) ω1 = 1 dan ω2 = 1.21 (b) ω1 = ω2 = 1 dengan nilai a1 = 1, a2 = 0.
Terlihat pada Gambar 5.3a bahwa puncak spektrum berada di frekuensi yang sama dengan frekuensi alami masing-masing benda. Lokasi puncak sprektrum inilah yang digunakan untuk mengkarakterisasi material. Sedangkan pada Gambar 5.3b terlihat bahwa jika digunakan frekuensi yang sama, pada frekuensi tersebut amplitudonya bernilai minimum, karena sifatnya yang saling menghilangkan ketika digabungkan. Sifat ini tidak dapat digunakan untuk mengkarakterisasi bahan, karena puncak spektrun tidak dapat diketahui. Sehingga pada penelitian ini, nilai frekuensi alami yang digunakan adalah ω1 = 1 dan ω2 = 1.21. Parameter lainnya yang akan dibuat konstan diantaranya gaya eksternal untuk mode gelap a2, massa benda, posisi awal benda xA dan xB dan simpangan awal benda xA‘ dan xB‘ . Parameter osilasi untuk beberapa kondisi diberikan dalam Tabel 5.1.
Parameter yang dapat divariasikan adalah besar gaya yang dikenakan pada benda mode terang a1, koefisien gesek benda terang b1, dan konstanta kopling v12.
(a)
(b)
(c)
Gambar 5.4. Pengaruh nilai konstanta kopling v12 dengan parameter konstan m1=m2=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA = 4, xB = 8, xA‘ = 4.5, xB‘ = 8.5 (a) v12 = 0.1 (b) v12 = 0.5 (c) v12 = 1.
Konstanta kopling mereprentasikan perilaku dari pengaruh konstanta pegas yang menghubungkan kedua massa. Berdasarkan hasil yang ditunjukkan pada Gambar 5.4, kenaikan v12 memperjelas puncak gelombang. Saat v12 bernilai 0.1, terlihat dalam satu gelombang terdapat dua puncak yang berimpit, kemudian saat v12 0.5, perbedaan kedua puncak tersebut menjadi semakin jelas dan saat v12 bernilai 1, kontras antara
121
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
puncak satu dan puncak dua semakin besar dan membentuk satu gelombang baru, jumlah gelombang lebih banyak dari konfigurasi nilai parameter sebelumnya.
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 5.5. (a) Respon amplitudo terhadap frekuensi untuk mode terang, (b) respon amplitudo terhadap frekuensi untuk mode gelap, (c) respon fasa terhadap frekuensi untuk mode terang, dan (d) respon fasa terhadap frekuensi untuk mode terang m1=m2=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA=4, xB=8, xA‘=4.5, xB‘=8.5 (a) v12=0.1 (b) v12=0.5 (c) v12=1.
Respon amplitudo dan fasa terhadap frekuensi ditunjukkan pada Gambar 5.5. Resonansi mode terang terjadi pada frekuensi di sekitar frekuensi alamiah kedua massa-pegas ( ω1=1 dan ω2=1.21) dimana puncak akan bernilai nol tepat pada frekuensi alamiah ω2 sesuai dengan Persamaan (5.7a). Dari persamaan tersebut, dapat terlihat bahwa amplitudo mode terang sangat sensitif terhadap perubahan frekuensi. sedangkan mode gelap sangat sensitif terhadap kekuatan kopling. Pada mode gelap puncak resonansi bergeser ke kiri akibat pengaruh kopling yang diberikan berdasarkan Persamaan (5.7b). Untuk frekuensi di bawah ω1, baik mode terang maupun mode gelap berada dalam satu fasa, sedangkan pada frekuensi di antara ω1 dan ω2 terdapat perbedaan fasa sebesar π walaupun terdapat loncatan yang tajam pada frekuensi di sekitar frekuensi alamiah. Pada frekuensi di atas ω2, kedua
122
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
mode kembali memiliki fasa yang sama. Dengan demikian frekuensi alamiah sangat mempengaruhi perilaku respon amplitudo dan fasa osilasi.
(a)
(b)
(c)
Gambar 5.6. Pengaruh besar gaya eksternal a1 pada mode terang dengan parameter konstan m1=m2=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA =4, xB = 8, xA‘=4.5, xB‘ =8.5, v12 = 0.1 (a) a1=0.1 (b) a1=0.5 (c) a1=1.2.
Respon simpangan gerakan mode terang dan mode gelap berbeda terhadap gaya eksternal a1. Jika pada mode terang, semakin besar gaya eksternal, semakin besar simpangan gerakannya. Sedangkan untuk mode gelap, semakin besar gaya eksternal, semakin kecil simpangan gerakannya serta modulasi amplitudo terhadap frekuensi semakin terlihat. Namun demikian pengaruh gaya eksternal terhadap mode gelap tidaklah sebesar mode terang. Fasa dan bentuk gelombang gerak sama, hanya berbeda pada nilai amplitudonya. Sedangkan gaya eksternal pada benda mode terang dapat memunculkan puncak baru dimana semakin besar gaya eksternalnya puncak baru yang muncul semakin terlihat.
123
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Mode Terang
Mode Gelap
(a)
(b)
(c)
Gambar 5.7. Respon amplitudo terhadap frekuensi untuk benda mode terang dan mode gelap dengan parameter konstan m1=m2=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA =4, xB = 8, xA‘=4.5, xB‘ =8.5, v12 = 0.1 (a) a1=0.1 (b) a1=0.5 (c) a1=1.2.
Perbedaan respon ini dijelaskan dengan gambar respon amplitudo terhadap frekuensi. Puncak spektrum pada mode terang dan mode gelap berada pada posisi yang berbeda. Jika pada mode terang puncak tertinggi berada di ~1 atau di sekitar ω1=1, sedangkan puncak tertinggi mode gelap berada di ~1.2 atau di sekitar ω2=1.21. Fitur respon fasa baik mode terang maupun mode gelap tidak mengalami perubahan dari variasi sebelumnya karena gaya eksternal a1 pada kasus ini (a2=0) mempengaruhi tinggi resonansi bukan posisi frekuensi resonansi.
124
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
(a)
(b)
(c)
Gambar 5.8. Pengaruh koefisien gesek b1 pada mode terang dengan parameter konstan m1=m2=1, a1=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA =4, xB = 8, xA‘=4.5, xB‘=8.5, v12 = 0.1 (a) b1=0.02 (b) b1=0.4 (c) b1=2.
Besarnya koefisien gesek berpengaruh pada perilaku gerak benda mode terang. Berdasarkan grafik simpangan terhadap waktu, semakin besar koefisien gesek, semakin kecil simpangan benda mode terang. Sedangkan mode gelap hanya terpengaruh sedikit. Saat koefisien gesek besar, simpangan gerak osilasi benda mode gelap cenderung stabil. Berbeda dengan perilaku benda mode gelap saat diberi koefisien gesek kecil, yaitu pergerakannya memiliki amplitudo yang berubah-ubah. Besarnya gaya gesek atau koefisien gesek juga berpengaruh pada grafik respon amplitudo dan respon fasa benda, seperti yang ditampilkan pada Gambar 5.7.
125
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 5.9. (a) Respon amplitudo terhadap frekuensi untuk mode terang, (b) respon amplitudo terhadap frekuensi untuk mode gelap, (c) respon fasa terhadap frekuensi untuk mode terang, dan (d) respon fasa terhadap frekuensi untuk mode terang m1=m2=1, a1=1, a2=0, ω=2, ω1=1, ω2=1.21, xA =4, xB = 8, xA‘=4.5, xB‘=8.5, v12 = 0.1 b1=0.4.
Parameter damping dapat diatur berdasarkan orde kecepatannya, dinamakan damping orde ke- n sebagai kebergantungan terhadap ≈vn. Selanjutnya kita meninjau faktor orde damping di mana pada kasus sebelumnya kita gunakan pangkat 1 yakni ≈v. Osilasi yang terjadi menunjukkan adanya fluktuasi amplitudo dengan periode tertentu seolah-olah seperti peristiwa pelayangan. Gambar 5.9 menunjukkan hubungan antara frekuensi sudut pada gaya luar yang kita berikan terhadap periode fluktuasi amplitudo pada Semakin besar frekuensi yang diberikan, periode fluktuasi semakin kecil. Amplitudo mode gelap mengalami fluktuasi atau modulasi sangat kecil. Hal ini disebabkan karena benda 2 tidak mengalami gaya gesek dan tidak dikenai gaya luar sehingga osilasi secara dominan ditentukan oleh frekuensi alamiah benda. Akan tetapi karena pengaruh kopling, amplitudo juga akan mengalami fluktuasi di mana fluktuasi akan semakin besar pada frekuensi lebih tinggi. Sedangan pada benda 1 (mode terang), kita berikan gaya dan gaya gesek sehingga gerakannya menjadi tidak simetris akibat adanya damping. Semakin besar orde damping pada rentang frekuensi rendah ω = 0.1 – 0.5 perbedaan periode modulasi
126
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
semakin terlihat. Namun pada frekuensi sangat rendah yakni (0 – 0.2 ) , untuk orde 2, 3, dan 4 periode hampir berhimpit. Semakin tinggi frekuensi periode modulasi semakin kecil.
Gambar 5.10 Periode modulasi amplitudo terhadap frekuensi osilasi dengan orde damping bervariasi (a)ungu: orde dua (b) hijau: orde tiga (c) dan merah: orde 4.
5.6 Kesimpulan Pemodelan klasik resonansi Fano sudah dilakukan dengan variasi parameter frekuensi, konstanta kopling, faktor damping, dan gaya eksternal. Posisi resonansi sangat ditentukan oleh frekuensi alamiah kedua pegas, faktor damping, dan konstanta kopling, namun yang menjadi faktor utama adalah frekuensi alami. Sedangkan tinggi resonansi sangat ditentukan oleh besar gaya eksternal. Variasi frekuensi osilasi membuat perbedaan fasa antara gerak benda pertama (mode terang) dan benda kedua (mode gelap) pada rentang di antara kedua frekuensi alami dan membuat loncatan fasa yang cukup tajam di sekitar frekuensi alami. Berdasarkan grafik simpangan terhadap waktu, semakin besar damping semakin kecil amplitudo simpangan. Orde damping juga mempengaruhi periode modulasi amplitudo. Semakin tinggi frekuensi periode modulasi semakin kecil. Akan tetapi diperlukan kajian dan penelitian lebih mendalam untuk mempelajari perilaku resonansi dengan orde damping lebih dari 1. Kelebihan dari program dalam penelitian ini adalah dijalakan dengan perangkat lunak yang sangat familiar yaitu perambaan internet. Tidak dibutuhkan instalasi program baru untuk menjalankan program. Tampilan yang atraktif dan memiliki gambaran simulasi yang jelas memberikan bayangan lebih jelas kepada pengguna. Konsep yang dekat dengan kehidupan sehari-hari yaitu dengan penggunaan variabel massa, faktor gesekan, frekuensi natural dan posisi benda memberikan kemudahan kepada pengguna untuk memahami konsep resonansi Fano. Kekurangan yang muncul
127
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
kemudian adalah tampilan yang masih kaku karena belum melibatkan aplikasi pembuatan tampilan HTML yang lebih atraktif. Penelitian selanjutnya diharapkan peneliti menggunakan aplikasi khusus untuk melakukan desain tampilan serta memberikan pilihan simulasi dari penggunaan Resonansi Fano yang terkait, misalnya yang terkait dengan kasus fotonik atau kasus pergerakan partikel.
5.7 Referensi 1. 2.
3. 4.
Aminuddin, J. 2008. Dasar-dasar Fisika Komputasi Menggunakan Matlab. Yogyakarta : Gava Media, pp 185-200 . Fay 2003 Coupled spring equations int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 34, no. 1, 65–793. B Lv, R Li, J Fu, Q Wu, K Zhang, W Chen, Z Wang, R Ma 2016 Analysis and modeling of Fano resonances using equivalent circuit elements Nature 6 31884. Joe, Y. S., Satanin, A. M., & Kim, C. S. (2006, July 2006). Classical analogy of Fano resonances. Phys. Scr., 259-266. Suparno, S. 2009. Komputasi untuk Sains dan Teknik. Depok : Departemen Fisika-FMIPA, Universitas Indonesia.
5.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Secara garis besar, proses pengolahan data untuk menjalankan simulasi resonansi Fano terdiri dari tiga bagian, yaitu: proses memasukkan parameter, proses menampilkan kurva respon amplitudo dan respon fasa, dan menampilkan pergerakan benda yang berosilasi. Nilai parameter yang akan digunakan dimasukkan ke sistem melalui text area. Setiap angka yang dimasukkan akan diberi label tertentu untuk kemudian digunakan dalam proses perhitungan. Salah satu karakteristik khas pada resonansi Fano adalah bentuk kurva respon amplitudo dan fasa terhadap frekuensi yang berbeda dengan resonansi konvensional. Sehingga kurva tersebut penting untuk ditampilkan pada halaman simulasi. Akan tetapi karena kurva ini tidak bergantung waktu, maka ditampilkan hanya satu kali saja. Persamaan gerak osilasi yang dihasilkan merupakan posisi dalam fungsi waktu. Persamaan gerak ini dapat divisualisasikan dengan mengubah nilai fungsi waktu. Posisi objek pada layar dapat diubah-ubah sesuai dengan persamaan gerak benda. Untuk melakukan analisis secara kuantitatif, nilai simpangan atau posisi massa terhadap posisi setimbang juga ditampilkan. Pada kondisi awal, nilai waktu adalah nol. Saat program dijalankan, akan muncul kurva respon amplitudo dan respon fasa, animasi, blok grafik perubahan simpangan benda berikut dengan angkanya. Algoritma untuk animasi dan perubahan simpangan benda terhadap waktu dilakukan secara berulang dengan penambahan nilai . Satu langkah perulangan akan menambah nilai sebesar sekon. Proses perulangan ini akan terus berlangsung hingga pengguna menekan tombol ‘Stop’.
128
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Diagram Alir Program
Gambar 5.11. Diagram alir program.
Adapun layout program disajikan dalam Gambar 5.12. Komponen tampilan terdiri dari 8 blok, dengan 1 blok input dan 7 blok output.
Gambar 5.12. Tampilan program: A blok parameter, B blok animasi, C blok grafik respon amplitudo dan fasa, D blok hasil, E blok informasi waktu dan amplitudo saat itu,dan F blok grafik simpangan terhadap waktu.
129
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Gambar 5.13. Tata letak blok yang digunakan untuk menampilkan simulasi.
Pada pemodelan resonansi fano, terdapat dua osilator, yaitu osilator bright mode dan dark mode. Dalam simulasi, bright mode divisualisasikan dengan objek berwarna merah, dan dark mode dengan objek berwarna biru. Blok Parameter Besaran parameter dapat dituliskan pada elemen text area. Karena simulasi ini menggunakan dua benda, maka besaran untuk masing-masing benda dipisahkan dengan spasi. Keterangan: MASS SPRC FRIC FREQ AMPL BLNC
= = = = = =
IPOS
=
IVEL OMG
= =
V12
=
massa benda [kg] konstanta pegas [ ] koefisien gesek [ ] frekuensi alami [rad/s] gangguan/gaya eksternal [m] posisi setimbang benda terhadap koordinat [m] simpangan awal benda terhadap koordinat [m] kecepatan awal benda [m/s] frekuensi yang ditinjau/gaya luar [rad/s] konstanta kopling [ ]
Gambar 5.14. Blok Parameter.
130
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Sebagai contoh untuk massa (MASS), terdapat dua angka. Angka pertama adalah massa benda 1 yang nilainya 1.0 kg, dan massa benda 2 nilainya 2.0 kg. Sedangkan pada bagian konstanta pegas (SPRC – Spring Constants) terdapat tiga angka, karena sistem ini menggunakan osilasi terkopel dengan dua benda dan tiga pegas. Pengguna tidak dapat menambahkan besaran lainnya melalui frontend view. Blok hasil Blok hasil merupakan textarea yang menampilkan hasil perhitungan dengan metode Runge Kutta yang telah diterapkan dalam program.
Gambar 5.15. Blok Hasil.
Hasil yang ditampilkan berupa nilai simpangan massa 1 dan massa 2 terhadap posisi setimbang dalam setiap waktu (penambahan waktu 0.05 detik) dalam satuan cm. Blok Animasi Blok animasi ini terdiri dari satu container sebagai batas blok, dan dua objek berwarna merah untuk bright mode dan biru untuk dark mode.
Gambar 5.16. Blok animasi.
Masing-masing objek diberi garis penanda posisi keadaan setimbang. Pergerakan ini disesuaikan dengan persamaan gerak dari proses pengolahan data. Jika simpangan
131
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
bernilai positif, objek akan bergerak ke arah kanan, sebaliknya jika simpangan negatif, objek akan bergerak ke kiri. Blok grafik simpangan Perubahan posisi benda terhadap posisi setimbang ditampilkan dalam bentuk grafik simpangan terhadap waktu.
Gambar 5.17. Blok grafik simpangan.
Garis merah merepresentasikan osilasi bright mode dan garis biru merepresentasikan dark mode. Skala yang digunakan untuk sumbu vertikal dalam satuan cm. Blok grafik respon amplitudo dan respon fasa terhadap frekuensi Pada blok ini akan ditampilkan grafik respon amplitudo dan fasa terhadap frekuensi untuk masing-masing objek, sehingga terdapat 4 grafik.
Gambar 5.18. Blok grafik respon amplitudo dan respon fasa terhadap frekuensi.
132
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Nilai parameter yang dimasukkan melalui textarea akan dikonversi menjadi nilai array dengan jumlah yang sudah ditentukan. Sehingga jika pengguna memasukkan nilai yang lebih banyak dari default parameters maka nilai tersebut tidak akan terbaca oleh program. Sebagai contoh, parameter MASS memiliki 2 buah nilai pada default parameters yaitu 1.0 dan 2.0. Jika pengguna menambahkan satu nilai, sehingga menjadi MASS 1.0 2.0 1.0 maka angka setelah nilai kedua tidak akan terbaca. Parameter yang tertera dalam textarea tidak dapat diubah. Perubahan yang tidak dapat dilakukan adalah pengurangan atau penambahan jenis parameter, pengurangan atau penambahan jumlah nilai parameter, dan mengganti tulisan atau istilah parameter. Jika hal-hal tersebut dilakukan, maka hasil perhitungan akan tidak sesuai dengan yang seharusnya, atau bahkan menimbulkan error.
Gambar 5.19. Error yang muncul saat salah satu parameter dikosongkan.
Perubahan yang dapat dilakukan hanya mengganti angka parameter. Namun demikian, mengubah urutan parameter masih diperbolehkan. Terdapat 4 tombol yang disediakan untuk pengguna, yaitu Run, Reset, Hint, dan About.
Gambar 5.20. Tombol pada program: Run, Reset, Hint dan About.
Untuk memulai simulasi, pengguna dapat menekan tombol ‘Run’. Sesaat setelah tombol ini ditekan, akan berubah menjadi ‘Stop’ untuk menghentikan simulasi. Tombol ‘Reset’ digunakan untuk mengembalikan tampilan ke keadaan awal, baik posisi benda, grafik, dan default parameters dalam textarea. Pengguna dapat memanfaatkan ‘Hint’ untuk menampilkan petunjuk pengisian kolom Parameters.
133
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
Setelah ‘Hint’ ditekan, akan muncul keterangan jenis parameter pada textarea dan satuan yang digunakan.
Gambar 5.21. Informasi yang muncul setelah menekan tombol Hint.
Tombol ‘About’ berfungsi untuk menampilkan versi program dan kontak tim penyusun program.
Gambar 5.22. Informasi yang muncul setelah menekan tombol About.
Amplitudo of the first oscillator &n bsp; Phase behaviour of the first oscillator
Amplitudo of the second oscillator Phase behaviour of the second oscillator
Time Amplitudo1 Amplitudo2
t<sub>cur s x<sub>1 cm x<sub>2 cm
<script> //insert textarea input var timer; var first = true; var k1_0 = 0; var k2_0 = 0; var k1_1 = 0; var k2_1 = 0; var k1_2 = 0; var k2_2 = 0; var k1_3 = 0; var k2_3 = 0;
137
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
var var var var var var var var var var var var var var
l1_0 = 0; l2_0 = 0; l1_1 = 0; l2_1 = 0; l1_2 = 0; l2_2 = 0; l1_3 = 0; l2_3 = 0; t = 0; h = 0.05; t_b = 0; t_c = 0; x1_c = 0; x2_c = 0; var time = 0; var amplitudo1 = 0; var amplitudo2 = 0;
} // Create params button var but4 = document.createElement("button"); but4.innerHTML = "About"; but4.id = "bAbout"; but4.style.width = "50px"; but4.onclick = function() { var s = ""; s += "Fano Resonance Simulation\n"; s += "Version 1.0 (20170513)\n\n"; s += "Kelompok 5 Komputasi Sistem Fisis 2017:\n"; s += "========================================\n"; s += "Anna\nDina\nIrhas\nMomang\nMuthaharah\nPutri"; alert(s); } document.body.appendChild(but2); document.body.appendChild(but3); document.body.appendChild(but4); var elem = document.getElementById("object1"); var elem1 = document.getElementById("object2"); var var var var var var var
C. Skrip Graph12 function graph12() { var var var var
ini = 1; v12 = 0.1; wbeg = 0.7; wend = 1.31;
var var var var var var
c1 = new Array(); a = new Array(); b = new Array(); c = new Array(); d = new Array(); omg = new Array();
for (var i = 0.7; i <= 1.31; i += 0.0005) { omg.push(i); } var aLength = omg.length; var values = getParams(); a1 = values[9]; a2 = values[10]; b1 = values[5]; b2 = values[6];
144
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
omg1 = values[7]; omg2 = values[8]; a1 = repmat(a1, aLength); a2 = repmat(a2, aLength); omg1 = repmat(omg1, aLength); omg2 = repmat(omg2, aLength); b1 = repmat(b1, aLength); b2 = repmat(b2, aLength); v12 = repmat(v12, aLength); //console.log(omg[0]); for (var i = 0; i < aLength; i++) { a[i] = (omg1[i] * omg1[i]) - (omg[i] * omg[i]); b[i] = (omg2[i] * omg2[i]) - (omg[i] * omg[i]); c[i] = ((b[i] * a[i]) - (omg[i] * omg[i] * b2[i] * b1[i]) (v12[i] * v12[i])); d[i] = (omg[i] * b1[i] * b[i] + omg[i] * b2[i] * a[i]); c1[i] = Math.sqrt((b[i] * b[i] + (omg[i] * b2[i] * omg[i] * b2[i])) * (a1[i] * a1[i]) / (c[i] * c[i] + d[i] * d[i])); c1.push(r); } var c2 = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { a[i] = (omg1[i] * omg1[i]) - (omg[i] * omg[i]); b[i] = (omg2[i] * omg2[i]) - (omg[i] * omg[i]); c[i] = ((b[i] * a[i]) - (omg[i] * omg[i] * b2[i] * b1[i]) (v12[i] * v12[i])); d[i] = (omg[i] * b1[i] * b[i] + omg[i] * b2[i] * a[i]); c2[i] = Math.sqrt(((v12[i] * a1[i]) * (v12[i] * a1[i])) / (c[i] * c[i] + d[i] * d[i])); c2.push(r); } var A2_imag = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = b1[i] * omg[i] * ((omg2[i] * omg2[i]) omg[i])) + b2[i] * omg[i] * ((omg1[i] * omg1[i]) - (omg[i] A2_imag.push(r); } var A2_re = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = ((omg2[i] * omg2[i]) - (omg[i] * omg[i])) omg1[i]) - (omg[i] * omg[i])) - (b1[i] * b2[i] * (omg[i] (v12[i] * v12[i]); A2_re.push(r); } var z = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = 0, pi = Math.PI; if (A2_imag[i] > 0 && A2_re[i] > 0) r = Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) / pi; if (A2_imag[i] > 0 && A2_re[i] < 0) r = Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) / pi; if (A2_imag[i] == 0 && A2_re[i] < 0)
145
- (omg[i] * * omg[i]));
* ((omg1[i] * * omg[i])) -
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
r = (Math.atan2(0, A2_re[i])) / pi; if (A2_imag[i] < 0 && A2_re[i] < 0) r = (Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) + 2 * pi) / pi; if (A2_imag[i] < 0 && A2_re[i] > 0) r = (Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) + 2 * pi) / pi; z.push(r); } var B2_re = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = (omg[i] * omg[i] - omg2[i] * omg2[i]); B2_re.push(r); } var teta = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = Math.atan2(0, B2_re[i]) / Math.PI; teta.push(r); } var z1 = new Array(); var a = repmat(1, aLength); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = z[i] + teta[i] - a[i]; z1.push(r); } function repmat(o, l) { var result = new Array(); for (var i = 0; i < l; i++) { result.push(o); } return result; } console.log(c1[3]); // Membuat Chart var chart1 = document.getElementById("amp1"); chart1.width = 200; chart1.height = 200; //document.body.appendChild(chart1); var chartz1 = new XYChart(chart1, "Omega", "c1"); chartz1.setCoordinates(0.6, 0, 1.4, 60); chartz1.changeData(omg, c1); chartz1.clear(); chartz1.plotToCanvas(); var chart2 = document.getElementById("phase1"); chart2.width = 200; chart2.height = 200; document.body.appendChild(chart2); var chartz = new XYChart(chart2, "Omega", "z"); chartz.setCoordinates(0.7, 0, 1.4, 60); chartz.changeData(omg, c2); chartz.clear(); chartz.plotToCanvas(); }
146
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
D. Skrip Graph34.js function graph34() { var v12 = 0.1; var omg = new Array(); var values = getParams(); a1 = values[9]; a2 = values[10]; b1 = values[5]; b2 = values[6]; omg1 = values[7]; omg2 = values[8]; for (var i = 0.7; i <= 1.31; i += 0.01) { omg.push(i); } var aLength = omg.length; a1 = repmat(a1, aLength); a2 = repmat(a2, aLength); omg1 = repmat(omg1, aLength); omg2 = repmat(omg2, aLength); b1 = repmat(b1, aLength); b2 = repmat(b2, aLength); v12 = repmat(v12, aLength); var A2_imag = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = b1[i] * omg[i] * ((omg2[i] * omg2[i]) - (omg[i] * omg[i])) + b2[i] * omg[i] * ((omg1[i] * omg1[i]) - (omg[i] * omg[i])) A2_imag.push(r); } var A2_re = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = ((omg2[i] * omg2[i]) - (omg[i] * omg[i])) * ((omg1[i] * omg1[i]) - (omg[i] * omg[i])) - (b1[i] * b2[i] * (omg[i] * omg[i])) (v12[i] * v12[i]); A2_re.push(r); } var z = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = 0, pi = Math.PI; if (A2_imag[i] > 0 && A2_re[i] > 0) r = Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) / pi; if (A2_imag[i] > 0 && A2_re[i] < 0) r = Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) / pi; if (A2_imag[i] == 0 && A2_re[i] < 0) r = (Math.atan2(0, A2_re[i])) / pi; if (A2_imag[i] < 0 && A2_re[i] < 0) r = (Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) + 2 * pi) / pi; if (A2_imag[i] < 0 && A2_re[i] > 0) r = (Math.atan2(A2_imag[i], A2_re[i]) + 2 * pi) / pi; z.push(r); }
147
Komputasi Fisika 3: 5 Model klasik resonansi Fano
var B2_re = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = (omg[i] * omg[i] - omg2[i] * omg2[i]); B2_re.push(r); } var teta = new Array(); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = Math.atan2(0, B2_re[i]) / Math.PI; teta.push(r); } var z1 = new Array(); var a = repmat(1, aLength); for (var i = 0; i < aLength; i++) { var r = z[i] + teta[i] - a[i]; z1.push(r); } function repmat(o, l) { var result = new Array(); for (var i = 0; i < l; i++) { result.push(o); } return result; } // Membuat Chart var chart1 = document.getElementById("amp2"); chart1.width = 200; chart1.height = 200; document.body.appendChild(chart1); var chartz1 = new XYChart(chart1, "Omega", "z1"); chartz1.setCoordinates(0.6, 0, 1.4, 1); chartz1.changeData(omg, z1); chartz1.clear(); chartz1.plotToCanvas(); var chart2 = document.getElementById("phase2"); chart2.width = 200; chart2.height = 200; document.body.appendChild(chart2); var chartz = new XYChart(chart2, "Omega", "z"); chartz.setCoordinates(0.6, 0, 1.4, 2); chartz.changeData(omg, z); chartz.clear(); chartz.plotToCanvas(); }
148
Simulasi 1d gerak osilasi terkopel untuk menentukan amplitudo maksimum benda terbawah
6
Adhi Kusumadjati | [email protected] Sri Hartati | [email protected] Nursakinah Annisa Lutfin | [email protected] Fitriah Bidalo | [email protected] Silvia Dona Sari | [email protected] Nurlina | [email protected] Fauziah A. | [email protected] Telah dibuat suatu program untuk menggambarkan gerakan osilator harmonis dan osilator teredam terkopel 1D menggunakan bahasa pemrograman JavaScript. Program dibangun berdasarkan metode Euler. Sistem pertama terdiri dari sebuah benda yang berada dalam sistem pegas tanpa redaman sehingga osilasi yang terjadi berupa osilasi harmonis sederhana. Sistem kedua terdiri dari 1 benda, 2 benda, dan 3 benda yang diberikan redaman sehingga osilasi yang terjadi berupa osilasi teredam. Hasil simulasinya berupa waktu dan posisi tiap benda yang digambarkan melalui grafik. Diperoleh hubungan antara amplitudo maksimum terhadap banyaknya benda dalam sistem osilasi terkopel.
6.1 Pendahuluan Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi, hampir semua fenomena fisis dapat disimulasikan menggunakan komputer. Simulasi komputer dibuat agar manusia dapat lebih mudah mempelajari, mengamati dan memahami fenomenafenomena fisis yang mungkin terjadi. Getaran atau osilasi merupakan salah satu bentuk gerak benda yang cukup banyak dijumpai dalam kehidupan sehari - hari, misalnya bagaimana getaran yang terjadi jika sebuah beban dikaitkan atau digantungkan pada sebuah pegas. Getaran atau osilasi dapat terjadi jika suatu system diganggu dari posisi kesetimbangannya. Getaran ini akan terjadi secara terus menerus dan berulang-ulang selama sistem mendapatkan gaya. Gerak getaran benda yang berulang dengan waktu yang tetap biasanya disebutsebagai gerak periodik [1]. Getaran atau osilasi tercouple terjadi ketika dua atau lebih sistem osilasi dihubungkan sedemikian rupa sehingga memungkinkan energi dapat ditransfer di antara keduanya. Pada osilasi tercouple, besarnya gaya sebanding dengan besarnya perpindahan dari keseimbangan. Simulasi dalam satu dimensi osilasi tercouple mempelajari tentang bagaimana gerak sebuah benda berosilasi dan jika beberapa benda berosilasi dalam suatu sistem yang sama. Dimana ada dua benda A dan B yang dihubungkan dengan
149
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
pegas, apabila sebuah benda berosilasi tanpa redaman amplitudonya tidak mengalami penurunan hingga waktu yang telah ditentukan dan ketika diberi redaman amplitudo berkurang secara eksponensial hingga mencapai posisi nol pada waktu tertentu. Dalam tulisan ini dibahas simulasi berupa waktu dan posisi tiap benda yang digambarkan melalui grafik serta menentukan hubungan antara amplitudo maksimum dengan banyaknya benda.
6.2 Teori Getaran didefinisikan sebagai gerak bolak balik pada suatu benda yang terjadi secara berulang pada selang waktu tetap. Gerak benda yang terjadi secara periodik disebut gerak harmonik. Contoh gerak harmonik adalah gerak getaran pegas yang terjadi jika ada gaya luar yang bekerja pada pegas tersebut. Gerak harmonik sederhana digunakan untuk sistem dengan benda dan pegas tunggal. Untuk kasus dimana jumlah benda dan pegas lebih dari satu menggunakan sistem osilasi terkopel [2]. Tidak semua gerak periodik mengalami osilasi sempurna. Pada suatu titik tertentu gerak periodik akan mengalami pelemahan dan pada akhirnya menjadi nol. Setiap sistem yang berperilaku seperti ini dikenal sebagai osilator teredam. Terdapat tiga jenis redaman yang dialami oleh benda yang berosilasi yaitu redaman rendah (underdamped), redaman kritis (critical damping) dan redaman berlebihan (over damping). Tinjau benda A dan benda B yang dibuat bermassa sama m. Posisi awal benda A dan B dinyatakan dengan xi. Untuk sistem perlu dicari gaya pegas Fp yang bergantung dari posisi masing-masing benda penyusunnya ∆x dan bergantung pada konstanta pegas k yang saling terkait melalui
F p = − k∆x ,
(6.1)
∆x = x f − x i .
(6.2)
di mana
Posisi xi menyatakan posisi awal benda A dan B pada sumbu y dan xf menyatakan seberapa panjang pegas setelah ditarik pada sumbu y [3]. Pada kedua benda masing-masing diberikan gaya luar Fext yang besarnya sama dengan gaya berat yang dialami oleh kedua benda. Besarnya gaya luar tersebut dituliskan
Fext = w = mg ,
(6.3)
sehingga
Fext = mg .
(6.4) Pada kasus ini benda mengalami redaman akibat adanya gaya hambat seperti gaya gesekan di udara. Osilasi yang mengalami redaman disebut osilasi teredam. Gaya teredam (damping) Ff diperoleh melalui
F f = −cv ,
150
(6.5)
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
dimana c menyatakan koefisien damping dan v merupakan kecepatan benda [4]. Gaya total yang bekerja pada sistem masing-masing terdiri atas F1 dan F2. Gaya F1 menyatakan gaya total yang bekerja pada sistem ketika benda A ditarik ke bawah yang besarnya merupakan penjumlahan gaya pegas Fp1, gaya damping Ff1 d an Ff2, dan gaya pegas Fp2 dituliskan melalui
F1 = F p 1 − F f 1− F p 2 + F f 2 .
(6.6)
Sedangkan gaya F2 menyatakan gaya total yang bekerja pada sistem ketika benda B ditarik kebawah yang besarnya merupakan penjumlahan dari gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut yaitu gaya pegas Fp2, gaya eksternal Fext dan gaya damping Ff2 dituliskan
F2 = F p 2 + F ext − F f 2 .
(6.7)
Persamaan (6.1) dan (6.5) memenuhi hubungan dalam Persamaan (6.6). Dan persamaan (6.1), (6.4), dan (6.5) memenuhi hubungan dalam Persamaan (6.7). Ilustrasi bagaimana kedua benda ini, A dan B, berosilasi dan perubahan jarak antar kedua benda diberikan dalam Gambar 1.1.
Gambar 6.1 Model osilasi tercouple dua benda: sebelum osilasi dan setelah osilasi.
Benda A dan B memiliki percepatan yang diperoleh dari gaya total per massa kedua benda. Besarnya percepatan untuk masing-masing benda diberikan oleh
a=
∑F .
(6.8) m Kecepatan benda A dan B diberikan oleh turunan percepatan terhadap waktu diberikan oleh
v = vo + at .
151
(6.9)
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Posisi kedua benda di arah sumbu y dituliskan melalui
x = x o + vt .
(6.10)
6.3 Metode numerik Jika besarnya gaya pegas yang bekerja pada suatu benda adalah F = - kx, maka besarnya percepatan yang dialami benda adalah
d 2x k (6.11) = − x. m dt 2 Dengan metode Euler, dimulai dari keadaan awal dan dihitung nilai a,v dan x dengan iterasi, dengan perubahan waktu ∆t yang sangat kecil pada masing-masing iterasi, sehingga digunakan persamaan k (6.12) a (t ) = − x (t ) , m a=
∆t ∆t v t + = v t − + a (t ) ∆t , 2 2
(6.13)
∆t x(t + ∆t ) = x(t ) + v t + ∆t . 2
(6.14)
Pada Persamaan (6.12), kecepatan pada interval waktu (t, t + ∆t) dihitung menggunakan kecepatan pada interval waktu yang sebelumnya (t - ∆t, t). Percepatan dianggap seragam, sementara diketahui bahwa sebenarnya percepatannya tidak seragam, aproksimasi ∆t membuatnya menjadi lebih kecil. Pada Persamaan (6.13), digunakan kecepatan sesaat v(t + ∆t/2), saat interval waktu pertengahan sebagai kecepatan rata-rata dan percepatan dianggap seragam [5 - 7]. Selanjutnya dilakukan iterasi untuk beberapa kali Tabel 6.1 Iterasi osilasi tanpa redaman.
N 0
t 0
x xo
V 0
a -(k/m) xo
1
t1
xo + v1t1
vo + ½aot1
-(k/m) x1
2
t2
x1 + v2t1
v1 + a1t1
-(k/m) x2
3
t3
x2 + v3t1
v2 + a2t1
-(k/m) x3
Pada Tabel 1.1 dilakukan iterasi sebanyak tiga kali dengan waktu t = 0 sampai t3., sehingga dapat diperoleh simpangan (x), kecepatan (v), dan percepatan (a). Persamaan di atas berlaku untuk osilasi tanpa redaman, untuk osilasi teredam, maka persamaannya menjadi [8]
152
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
ma = − kx − bv , d2x k b dx a = 2 =− x− m m dt , dt
(6.15) (6.16)
dengan bv adalah gaya gesek dan b adalah tetapan gaya gesek, sehingga
a (t ) = −
k b dx (t ) x (t ) − m m dt ,
(6.17)
∆t ∆t v t + = v t − + a (t )∆t , 2 2
(6.18)
∆t x(t + ∆t ) = x (t ) + v t + ∆t 2 ,
(6.19)
dengan iterasi, Tabel 6.2 Iterasi osilasi dengan redaman.
N 0
t 0
X xo
v 0
a -(k/m) xo-(b/m) vo
1
t1
xo + v1t1
vo + ½aot1
-(k/m) x1-(b/m) v1
2
t2
x1 + v2t1
v1 + a1t1
-(k/m) x2-(b/m) v2
3
t3
x2 + v3t1
v2 + a2t1
-(k/m) x3-(b/m) v3
Sama seperti sebelumnya, pada Tabel 6.2 juga dilakukan iterasi sebanyak tiga kali dengan waktu t = 0 sampai t3., sehingga dapat diperoleh simpangan (x), kecepatan (v), dan percepatan (a).
6.4 Algoritma Simulasi 1D gerak osilasi untuk n benda terkopel dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini. L1. mass, k, damping ? L2.
6.5 Hasil dan diskusi Simulasi 1D gerak osilasi terkopel telah dillakukan dengan menggunakan JavaScript. Simulasi ini mempelajari tentang bagaimana gerak sebuah benda berosilasi dan jika beberapa benda berosilasi dalam suatu sistem yang sama. Parameter-parameter simulasi yang digunakan diberikan dalam Tabel 6.3 berikut. Tabel 6.3 Parameter-parameter simulasi.
Symbol
Nilai
Code
K
10
k
Fext
-10
Fext
c
5
c
m1
x : 5, y : 7.0
Particles[i]
m2
x : 5, y : 6.0
Particles[i+1]
m3
x : 5, y : 5.0
Particles[i+2]
t
0 – 100
tend
Berikut grafik hubungan antara posisi dengan waktu untuk sebuah benda yang berosilasi tanpa adanya redaman dan beberapa benda yang berosilasi dengan adanya redaman.
Gambar 6.2 Posisi sebagai fungsi dari waktu.
154
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Gambar 6.3 Posisi sebagai fungsi dari waktu.
Gambar 6.4 Posisi sebagai fungsi dari waktu.
155
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Gambar 6.5 Posisi sebagai fungsi dari waktu.
Gambar 6.2 menunjukkan posisi sebagai fungsi waktu untuk sebuah benda berosilasi tanpa adanya redaman. Pada kurva ini nilai redamannya = 0 sehingga tidak mengalami penurunan amplitudo hingga waktu yang telah ditentukan (massa berosilasi kontinu dengan amplitudo yang konstan). Setiap sistem yang berperilaku seperti gambar tersebut dikenal sebagai osilator harmonik dimana solusi umum dari persamaan osilator harmonik telah kita kenal sebagai y = A cos (ωt) + B sin (ωt). Gambar 6.3 menunjukkan posisi sebagai fungsi waktu untuk sebuah benda berosilasi dengan adanya perlambatan. Gerak osilator tersebut dipertahankan tetapi amplitudo berkurang secara eksponensial hingga mencapai posisi nol pada waktu tertentu. Pengurangan dalam amplitudo disebabkan oleh energi mekanik yang hilang akibat perlambatan yang disebut redaman. Setiap sistem yang berperilaku seperti gambar tersebut dikenal sebagai osilator teredam dimana solusi umumnya dapat dituliskan sebagai y(t) = y0 eαt, dengan α merupakan faktor redaman. Terdapat tiga jenis redaman yang dialami oleh benda yang berosilasi yaitu redaman rendah (underdamped), redaman kritis (critical damping) dan redaman berlebihan (over damping). Jenis redaman pada simulasi ini adalah osilasi redaman rendah (underdamped) karena benda masih mengalami osilasi sebelum berhenti. Benda 1, 2, maupun 3 masih melakukan getaran sebelum berhenti karena redaman yang dialaminya tidak terlalu besar. Benda yang mengalami critical damping biasanya langsung berhenti berosilasi (benda langsung kembali ke posisi setimbangnya) karena redaman yang dialaminya cukup besar. Untuk benda yang mengalami over damping, ini mirip seperti critical damping hanya saja pada osilasi over damping benda lama sekali tiba di posisi setimbangnya. Hal ini disebabkan karena redaman yang dialami oleh benda sangat besar. Gambar 6.4 menunjukkan posisi sebagai fungsi waktu untuk dua buah benda berosilasi dengan adanya redaman. Terlihat dari grafik, adanya ketidakteraturan posisi
156
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
di awal waktu (2 – 5) untuk benda 1 yang disebabkan oleh gerak benda 2. Gambar 6.5 menunjukkan posisi sebagai fungsi waktu untuk tiga buah benda yang berosilasi dengan adanya redaman. Sama halnya dengan sistem dua benda pada Gambar 6.5, benda 1 juga mengalami ketidakteraturan posisi di awal waktu yang disebabkan oleh gerak benda 2 dan benda 3.
Gambar 6.6 Amplitudo maksimum terhadap jumlah benda
Gambar 6.7 Amplitudo maksimum terhadap jumlah benda
Gambar 6.6 menunjukkan grafik amplitudo maksimum terhadap jumlah benda. Terlihat bahwa benda yang posisinya berada paling bawah memiliki amplitudo terbesar. Hal ini disebabkan karena benda yang paling bawah memperoleh gaya luar dan gaya berat yang dihasilkan partikel di atasnya. Dari grafik tersebut, diperoleh persamaan garis
157
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Amaks = 0,536 N + 0,691 . Dari persamaan tersebut, dapat diprediksi nilai amplitudo maksimum benda terbawah. Gambar 6.7 menunjukkan grafik amplitudo maksimum terhadap jumlah benda untuk tiga konstanta pegas yang berbeda yaitu 10, 15 dan 20. Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar konstanta pegas, maka kemiringan kurvanya juga akan semakin besar. Hal ini disebabkan karena nilai modulus elastisitas suatu pegas berbanding lurus dengan konstanta pegasnya
Y =k
A . L
Semakin besar konstanta pegas, maka modulus elastisitasnya juga akan semakin besar dan menyebabkan nilai simpangan maksimumnya (amplitudo) juga semakin besar.
6.6 Kesimpulan Dari hasil simulasi 1D osilasi terkopel baik itu osilator harmonik maupun teredam diperoleh bahwa algoritma yang telah dilakukan dengan menggunakan perangkat JavaScript telah berhasil mensimulasikan sistem osilator harmonik sederhana maupun teredam (untuk 1, 2, dan 3 benda). Hasil simulasinya berupa waktu dan posisi tiap benda serta grafik amplitudo maksimum dan jumlah benda yang digambarkan melalui grafik. Benda yang posisinya berada paling bawah memiliki amplitudo terbesar. Kemudian untuk kasus dengan nilai konstanta yang berbeda, semakin besar konstanta pegas maka kemiringan kurvanya juga akan semakin besar.
6.7 Referensi 1.
2.
3. 4.
5.
Da Costa, Jose. 2014. Analisis Numerik untuk Gerak Osilasi Bergandeng pada Air Track dengan Metode Runge-Kutta. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014, ISSN: 0853-0823, halaman 14 - 17. Pain, H.J. 2005. The Physics Of Vibrations And Waves Sixth Edition . John Wiley & Sons Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19 8SQ, England, halaman 79. Rao, Singiresu S. 2011. Mechanical Vibrations 5th Edition. Pearson Education, Inc, halaman 22. Cahyadi, Melisa. 2015. Visualisasi Solusi Analitik dari Osilasi Pegas dengan menggunakan Visual Basic For Application (VBA). Prosiding Simposium Nasional Inovasi dan Pembelajaran Sains 2015 (SNIPS 2015) 8 dan 9 Juni 2015, Bandung, Indonesia, ISBN: 978-602-19655-8-0, halaman 9 - 12. Robert Ehrlich. 2002. Euler's method for coupled differential equations; RLC circuits. Physics Dept. George Mason University. http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m351.pdf diakses tanggal 7 Mei 2017
158
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
6.
7.
8.
http://courses.ncssm.edu/aphys/labs/elab3/elab3.html Finding the equation of motion of an oscillating mass by a revised euler's method diakses tanggal 1 Mei 2017. Anders W. Sandvik. 2016. PY 502, Computational Physics : Numerical Solutions of Classical Equations of Motion. Department of Physics, Boston University. http://physics.bu.edu/py502/lectures3/cmotion.pdf diakses tanggal 7 Mei 2017 M. Ilham. 2014. Laporan Praktikum Fisika Komputasi: Persamaan Differensial Biasa Orde 2. https://muhammadilham99.files.wordpress.com/ diakses tanggal 1 Mei 2017
6.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 6.2 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
index2.1.html
-
script2.1.js graph.js plot.js layout2.1.js
grafik.plt
Piranti lunak
Keluaran
HTML
Tampilan layout
JavaScript
Waktu, Posisi Benda 1,2,&3
Gnuplot
- Gambar 1.2 - Gambar 1.3 - Gambar 1.4 - Gambar 1.5 - Gambar 1.6 - Gambar 1.7
B. Program File HTML
159
Lampiran
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
<meta charset="ISO-8859-1"> Spring Forces 2.1
Simulasi 1D Gerak Osilasi n Partikel Terkopel
Simulasi dibawah ini menunjukkan gerak n buah benda bermassa m yang dihubungkan dengan suatu tali yang elastis dengan konstanta k
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
var mass, mass1, mass2, mass3, particles; var k, damping; var t, dt, tend; var holder; var Fext; var x, y, r; // Define global variables for real world coordinates var xwmin = 0; var ywmin = 0; var xwmax = 0; var ywmax = 0; // Define global variables for canvas coordinate var xcmin = 0; var ycmin = 0; var xcmax = 0; var ycmax = 0; // Define figure var currentFigure = ""; var figureBackground = "white"; // Define array for plot var N = 100; var iN = 0; var data_t = new Array(); var data_x = new Array(); var data_x2 = new Array(); var data_x3 = new Array(); var ta1 = document.getElementById("ta1"); init(); draw(); function generateFromTextarea(){ var dataTa = ta1.value.split("\n"); var arrayData = new Array();
161
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
for(var i=0; i < dataTa.length - 1; i++){ var dsplit = dataTa[i].split("\t"); var pvar = parseFloat(dsplit[2]); arrayData.push(pvar); } return arrayData; } function init() { // Initialize drawing properties setWorldCoordinates(0, 0, 10, 10); setCanvasCoordinates("canvas"); // Ambil data textarea ta1.innerHTML = "m\t=\t10\n"; ta1.innerHTML += "r\t=\t10\n"; ta1.innerHTML += "Fext\t=\t10\n"; ta1.innerHTML += "k\t=\t35\n"; ta1.innerHTML += "c\t=\t5\n"; ta1.innerHTML += "t\t=\t0\n"; ta1.innerHTML += "dt\t=\t0.1\n"; ta1.innerHTML += "t akhir\t=\t58\n"; var dataArray = generateFromTextarea(); // INITIAL SETTINGS of physical properties mass = dataArray[0]; r = dataArray[1]; Fext = - 10; particles = [
for(var i=0; i<particles.length; i++){ data_x[i] = new Array(); }
162
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
k = 35; damping = 5; t = 0; dt = 0.1; tend = 58; holder = {x : 5, y : 9.0}; function animate() { if(t < tend) { requestAnimationFrame(animate);
// request next timestep
} update();
//update simulation to advance in time
clear(); draw();
//draw the simulation state
data(); if(t >= tend) { plot(); } } function data() { var ta2 = document.getElementById("textarea2"); var data = ta2.value; data += t + ","; for(var i=0; i<particles.length; i++){ data += particles[i].y + ","; } data += "\n"; ta2.value = data; } function update(){ var FP = new Array(); var FR = new Array(); for(var i=0; i<particles.length; i++){
163
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
var r; if(i==0){ r = -k*(particles[i].y - holder.y); FP.push(r); } else { r = -k*(particles[i].y - particles[i-1].y); FP.push(r); } r = damping * particles[i].vy; FR.push(r); } var F = new Array() for(var i=0; i < particles.length; i++){ var r; if(i==0){ r = FP[i] - FR[i] - FP[i+1] + FR[i+1]; } else if (i==particles.length-1){ r = FP[i] - FR[i] - FP[i-1] + FR[i-1] + FP[i] + Fext - FR[i]; } else { r = FP[i] - FR[i] - FP[i-1] + FR[i-1] - FP[i+1] + FR[i+1] + FP[i] - FR[i]; } F.push(r); } var a = new Array(); for(var i=0; i < particles.length; i++){ a.push(F[i]/mass); } for(var i=0; i < particles.length; i++){ particles[i].vy = particles[i].vy + a[i] * dt; } for(var i=0; i < particles.length; i++){ particles[i].y = particles[i].y + particles[i].vy * dt; }
164
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
data_t[iN] = t; for(var i=0; i < particles.length; i++){ var r = parseFloat(particles[i].y.toFixed(3)); data_x[i].push(r); } iN++; t = t + dt; function clear(){ var canvas = document.getElementById("canvas"); var c = canvas.getContext("2d"); c.background = "white"; c.clearRect(0,0, canvas.width, canvas. height); c.stroke(); } function draw(){ var xx = transX(x); var yy = transY(y); } var canvas = document.getElementById("canvas"); canvas.style.border="1px black solid"; var c = canvas.getContext("2d"); //holder c.fillstyle = "black"; var holderWidth = 20; var holderHeight = 10; c.rect(transX(holder.x) - holderWidth / 2, transY(holder.y) holderHeight / 2 , holderWidth, holderHeight); c.stroke(); c.fill(); for(var i=0; i < particles.length; i++){ if(i==0){
165
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
c.closePath(); c.fill(); } } } // Set real world coordinates function setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax) { xwmin = xmin; ywmin = ymin; xwmax = xmax; ywmax = ymax;
166
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
} // Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvas) { currentFigure = canvas; var c = document.getElementById(canvas); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0; } // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax - xcmin); xx += xcmin; var X = parseInt(xx); return X; }
// Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax - ycmin); yy += ycmin; var Y = parseInt(yy); //console.log(Y); return Y; } function clearCurrentFigure() { var canvas = document.getElementById(currentFigure); var c = canvas.getContext("2d"); c.fillStyle = figureBackground; c.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); }
•
Layout
167
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
var b1 = document.createElement("button"); b1.innerHTML = "START SIMULATION "; b1.onclick = function () { animate(); } document.body.appendChild(b1); //button
•
Graph /* Reference: Ramtal, Dev; Dobre, Adrian. 2011. Physics for Javascript Games, Animation, and Simulations. New York, United States: Apress */ function Graph(context,xmin,xmax,ymin,ymax,x0,y0,xwidth,ywidth) { // VARIABLE DECLARATIONS // canvas context on which to draw graph instance var ctx = context; // location of origin (in pixels) in parent document var x_orig; var y_orig; // overall width and height of graph in pixels var x_width; var y_width; // min and max of x and y relative to origin (in pixels) var x_min_rel; var x_max_rel; var y_min_rel; var y_max_rel; // obvious var x_tick_major; var x_tick_minor; var y_tick_major; var y_tick_minor; // scaling used in displaying values on the axes var x_displ_scal; var y_displ_scal; // width and height of textbox used for displaying values on the axes // this should not have to be tampered with (I hope) var tw=15; var th=20; // declarations for quantities to be used later var x_min; var x_max; var y_min; var y_max; var xx; var yy; var x_displ; var y_displ; var txpos; var typos; // PARAMETER ASSIGNMENTS
168
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
// assign parameter values based on specified arguments x_orig=x0; y_orig=y0; x_width=xwidth; y_width=ywidth; // x_displ_scal=(xmax-xmin)/xwidth; y_displ_scal=(ymax-ymin)/ywidth; // x_min_rel=xmin/x_displ_scal; x_max_rel=xmax/x_displ_scal; y_min_rel=ymin/y_displ_scal; y_max_rel=ymax/y_displ_scal; // convert to absolute coordinates x_min=x_min_rel + x_orig; x_max=x_max_rel + x_orig; y_min=y_orig - y_min_rel; y_max=y_orig - y_max_rel; txpos=x_orig - tw; typos=y_orig; // METHODS // DRAW GRID: draw major, minor lines and display values this.drawgrid = function(xmajor,xminor,ymajor,yminor){ x_tick_major=xmajor/x_displ_scal; x_tick_minor=xminor/x_displ_scal; y_tick_major=ymajor/y_displ_scal; y_tick_minor=yminor/y_displ_scal; // draw major grid lines ctx.strokeStyle = '#999999'; ctx.lineWidth = 1; ctx.beginPath() ; yy=y_max; do { ctx.moveTo(x_min,yy); ctx.lineTo(x_max,yy); yy+= y_tick_major; } while (yy <= y_min); xx=x_min; do { ctx.moveTo(xx,y_min); ctx.lineTo(xx,y_max); xx+= x_tick_major; } while (xx <= x_max); ctx.stroke(); // draw minor grid lines ctx.strokeStyle = '#cccccc'; ctx.lineWidth = 1; ctx.beginPath() ; yy=y_max; do { ctx.moveTo(x_min,yy); ctx.lineTo(x_max,yy); yy+= y_tick_minor; } while (yy <= y_min); xx=x_min; do {
169
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
ctx.beginPath() ; ctx.moveTo(xpos,ypos); ctx.arc(xpos,ypos,1,0,2*Math.PI,true); for (var i=1; i<xArr.length; i++){ xpos=x_orig+xArr[i]/x_displ_scal; ypos=y_orig-yArr[i]/y_displ_scal; if (pLine){ ctx.lineTo(xpos,ypos); }else{ ctx.moveTo(xpos,ypos); } if (pDots){ ctx.arc(xpos,ypos,1,0,2*Math.PI,true); } } ctx.stroke(); }; }
•
Plot Grafik function plot(){ var canvas3 = document.getElementById('canvas3'); var context3 = canvas3.getContext('2d'); var graph3 = new Graph(context3,0.5*tend,tend,0,15,70,380,450,350); graph3.drawgrid(tend / 10, tend / 20,1,0.25); graph3.drawaxes('t','y'); for(var i=0; i < particles.length; i++){ graph3.plot(data_t, data_x[i], "rgb(183,0,"+i*50+")", true, true); } }
File GNUPLOT Plot Posisi-Waktu untuk Benda 1 Tak Teredam gnuplot> cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL\Script Benda 1 Tak Teredam' gnuplot> set xlabel “{/Italic t)" font “Times,12” gnuplot> set ylabel “{/Italic y)" font “Times,12” gnuplot> plot'data.dat't""
Plot Posisi-Waktu untuk Benda 1 Teredam gnuplot> cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL\Script Benda 1 Teredam' gnuplot> set xlabel “{/Italic t)" font “Times,12” gnuplot> set ylabel “{/Italic y)" font “Times,12” gnuplot> plot'data.dat't""
171
Komputasi Fisika 3: 6 Simulasi 1d gerak osilasi terkopel ..
Plot Posisi-Waktu untuk Benda 1&2 Teredam gnuplot> cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL\Script Benda 2 Teredam' gnuplot> set xlabel “{/Italic t)" font “Times,12” gnuplot> set ylabel “{/Italic y)" font “Times,12” gnuplot> plot'benda 1.dat't"m1",'benda 2.dat't"m2"
Plot Posisi-Waktu untuk Benda 1,2&3 Teredam gnuplot> cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL\Script Benda 3 Teredam' gnuplot> set xlabel “{/Italic t)" font “Times,12” gnuplot> set ylabel “{/Italic y)" font “Times,12” gnuplot> plot'benda1.dat't"m1",'benda2.dat't"m2",'benda3.dat't"m3"
Plot Amaks-N gnuplot> gnuplot> gnuplot> gnuplot>
cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL' set xlabel “{/Italic Amaks)" font “Times,12” set ylabel “{/Italic N)" font “Times,12” plot’ksama.dat’t””
Plot Amaks-N gnuplot> cd 'D:\VIVIDITY\S2\SEMESTER 2\Komputasi Sistem Fisis\RBL' gnuplot> set xlabel “{/Italic Amaks)" font “Times,12” gnuplot> set ylabel “{/Italic N)" font “Times,12” gnuplot> plot’ksama.dat’t”k = 10”, ’ksama2.dat’t”k = ’ksama3.dat’t”k = 20”
15”,
C..Tampilan Antarmuka Program 1
3
2 4
5 Gambar 6.8 Tampilan Antarmuka Program: (1) Paremeter Simulasi, (2) Simulasi, (3) Grafik posisi setiap partikel terhadap waktu, (4) Grafik posisi setiap partikel terhadap waktu, dan (5) Tombol “START SIMULATION”.
172
Simulasi reflektansi, transmitasi, absorbansi gelombang EM melalui N medium
7
Ahmad Suaif| [email protected] Yonathan Priambada Purwasunu | [email protected] Marisa Ulfa| [email protected] Gigih Pamungkas | [email protected] Ahmad Zatnika Purwalaksana | [email protected] Nuraina Fika Lubis | [email protected] Philin Yolanda Dwi Sagita | [email protected] Terdapat tiga jenis interaksi yang umum terjadi saat suatu berkas gelombang elektromagnetik mengenai suatu medium material: reflektansi, transmitansi, dan absorbansi. Tiga jenis interaksi gelombang elektromagnetik pada medium dapat diselesaikan dengan memperhatikan nilai panjang gelombang elektromagnetik yang datang dan indeks bias internal dari material referensi. Perhitungan nilai-nilai koefisien ini dilakukan dengan menggunakan metode numerik berupa deret perkalian matriks. Hasil akhir dari perhitungan ini secara umum menunjukkan besaran intensitas pada titik-titik diskrit yang telah ditentukan kemudian diinterpolasi untuk memperhalus hasil. Untuk menggambarkan secara fisis interaksi antara gelombang elektromagnetik dengan medium, telah dilakukan simulasi dengan dukungan Javascript. Selain itu, dilakukan pula visualisasi grafik nilai koefisien-koefisien reflektansi, transmitansi, dan absorbansi berbasis Javascript.
7.1 Pendahuluan Perilaku gelombang EM yang melintasi suatu interface dapat direpresentasikan melalui koefisien reflektansi (R), transmitansi (T), dan absorbansi (A). Variabel R menunjukkan amplitudo, intensitas dan total gelombang yang dipantulkan balik ke arah gelombang datang, T menunjukkan banyaknya gelombang yang ditransmisikan, dan A menunjukkan seberapa banyak proporsi gelombang datang yang tidak ditransmisikan maupun dipantulkan, melainkan diserap dalam medium [1]. Pada kasus dimana gelombang EM dengan propagasi modus TE dilewatkan pada struktur material yang memiliki indeks bias berbeda yang disusun sedemikian sehingga memiliki ketebalan ∆L dengan sejumlah N lapis material, maka akan terdapat hubungan antara indeks bias campuran tersebut terhadap nilai R, T, dan A [2].
7.2 Teori Propagasi gelombang elektromagnetik (EM) yang menjalar melalui beberapa medium tidak dapat diselesaikan hanya menggunakan rumus propagasi gelombang biasa, tetapi harus menggunakan metode matriks transfer. Metode matriks transfer adalah metode pembagian daerah perhitungan dimana masing-masing daerah dihitung dengan menggunakan matriks propagasi gelombang elektromagnetik [3]. Metode ini digunakan untuk memudahkan perhitungan pada gelombang yang merambat melalui beberapa medium.
Gambar 7.1 Propagasi gelombang EM pada beberapa medium.
Energi total pada gelombang elektromagnetik diuraikan menjadi
r E ( x ) = Re − ik1 x x + Le ik1 x x ≡ A( x ) + B ( x ) ,
(7.1)
dengan nilai dari masing-masing koefisien penyerta n ω 2 k ix = l − β 2 c
1/ 2
ω = ni cosθ i , c
(7.2)
di mana
ω β = ni sin θ i .
(7.3)
c
Sehingga, matriks solusi dituliskan r r A0 M 11 r = r B M 0 21
r r M 12 A's , r r M 22 B 's
(7.4)
di mana r r M 11 M 12 r −1 N r r r −1 r , = D0 ∏l =1 Dl Pl Dl Ds r r M 21 M 22
r r A0 dan B0 adalah amplitudo gelombang berdiri pada medium 0 di x = x 0 , sedangkan r r pada x = x N amplitudo gelombang berdiri pada medium s berupa vektor A's dan B's .
Matriks transmisi pada interface medium 0, medium l dan medium s masing-masing r r r disimbolkan D0 , Dl , Ds , sedangkan matriks propagasi rambatan gelombang pada bulk r
medium dinotasikan sebagai Pl . Dalam suatu medium, matriks transmisi pada interface medium s adalah sebagai berikut: 1 1 r n s cos θ s − n s cos θ s Ds = cos θ s cos θ s − n s ns
r e iϕ l Pl = 0
untuk TE, (7.6) untuk TM,
0 e
(7.7)
− iϕ l
dengan
ϕ i = k ix d =
2πd
λ
ni cos θ i .
(7.8)
Koefisien reflektansi dirumuskan sebagai r M , r = r 21 M 11
(7.9)
sedangkan transmitansi koefisien dirumuskan sebagai t=
1 , M 11
dengan demikian diperoleh nilai elektromagnetik pada medium berupa
(7.10)
reflektransi
2
R= r =
M 21 M 11
2
baku
,
interaksi
gelombang (7.11)
dengan transmitansi gelombang elektromagnetik adalah 2
T =
n s cos θ s 2 n s cos θ s 1 , t = n 0 cos θ 0 M 11 n 0 cos θ 0
oleh karena R+T+A=1, koefisien absorbansinya menjadi
Pada kasus ini, telah disimulasikan untuk jumlah layer sebanyak l = 3 dan diasumsikan θ0 = θ1 = θ2 = θ3 = 0, sehingga akan didapatkan Mij pada gelombang s dan gelombang p berdasarkan persamaan (7.14, 7.15, 7.16, 7.17) yaitu r n n 1 1 n M 11 = 1 + 3 cos ϕ + i sin ϕ 2 + 3 , 2 2 n1 n1 n1 r 1 n M 12 = 1 − 3 2 n1
n n 1 cos ϕ + i sin ϕ 2 − 3 , n n 2 2 1
(7.14)
(7.15)
r n 1 n 1 n M 21 = 1 − 3 cos ϕ − i sin ϕ 2 − 3 , 2 n1 n n 2 2 1
(7.16)
r n 1 n 1 n M 22 = 1 + 3 cos ϕ − i sin ϕ 2 + 3 , 2 n1 2 n n 2 1
(7.17)
dengan
ϕ=
2πn2 d .
λ
(7.18)
7.3 Metode numerik Pada kasus N layer digunakan metoda transfer matriks, dengan asumsi bahwa sinar datang tegak lurus terhadap bidang layer Anggap bidang layer normal terhadap sumbu-z, sehingga medan di dalam satu layer dapat dituliskan sebagai berikut:
E ( z ) = Er e(ikz ) + El e(− ikz ) ,
(7.19)
r di mana E (z ) dimodelkan sebagai superposisi daripada gelombang yang menjalar ke kiri (ke arah sinar datang) dan gelombang yang menjalar ke kanan (ke arah penjalaran transmisi gelombang). Dari syarat batas persamaan Maxwell dapat ditentukan kalau E dan F = dE/dz mesti kontinyu ketika gelombang melintasi interface layer. Dengan mengambil L sebagai ketebalan satu layer dan z sebagai arah jalar gelombang, dapat dituliskan
r (1 / k )sinkL , M = coskL − ksinkL coskL 176
r r r E ( z + L ) = M E ( z ) . Fr ( z + L ) Fr ( z )
(7.21)
Matriks M merupakan matriks yang memodelkan penjalaran gelombang melewati satu lapisan layer. Untuk memodelkan penjalaran gelombang melewati sejumlah layer, misalnya N-layer, kita dapat menggunakan perkalian matriks tiap-tiap layernya karena mekanisme matriks M untuk setiap layer tidak bergantung kepada matriks penjalaran di layer yang lain
r r r r r M s = M N .M N −1 L M 2 .M 1 .
(7.22)
Untuk studi sistem fisis semacam ini, biasanya yang diamati adalah propagasi energi gelombang, yaitu dengan mencari tahu banyak energi yang akan ditransmisikan melalui sistem layers ini dan juga banyak energi yang akan di refleksikan kembali ke arah sinar datang. Besaran energi dipilih karena secara eksperimen, jumlah energi yang keluar dan masuk sistem dapat dibaca dengan cukup mudah. Untuk keperluan simulasi ini, besaran energi yang dibawa gelombang ini akan dipelajari melalui besaran transmitansi (atau transmittance T) dan juga reflektansi (atau reflectance R). Anggaplah tumpukan layer kita mulai dari posisi z = 0. Pada posisi z < 0, yang merupakan daerah udara (atau vakum, tergantung dari aproksimasi kita), medan listrik dapat kita tuliskan sebagai
r ik z − ik z E L (z ) = E0 e L + rE 0 e L , z < 0 ,
(7.23)
dimana E0 adalah amplitudo gelombang datang dan KL adalah bilangan gelombang di medium datang dan r adalah amplitudo koefisien reflektansi. Suku kedua Persamaan (7.22) ada karena selain sinar datang (suku pertama) di zona ini juga ada sinar yang dipantulkan, yang diwakilkan oleh ekspresi suku kedua. Sebaliknya, pada sisi system lainnya (sisi sebelah kanan, setelah sistem layers kita), medan dapat dituliskan
r ik z E R ( z ) = tE 0 e R , z > L' ,
(7.24)
di mana L’ adalah tebal keseluruhan sistem layers. Mengingat keberlakuan syarat batas
r r r E ( z R ) = M E (0 ) . Fr ( z ) Fr (0 ) R
(7.26)
Mengingat bahwa M disini merupakan agregat dari semua matrix transfer tiap layer yang ada dari titik z =0 sampai ke titik zR , kita dapat menuliskan amplitudo koefisien refleksi dan amplitudo koefisien transmitansi sebagai
t = 2ik L e
− ik R
1 L' r r r , (7.27) r − M 21 + k L k R M 12 + i k R M 11 + k L M 22
(
(
) ( ) (
)
)
r r r r M 21 + k L k R M 12 + i k L M 22 − k R M 11 r r r , r= r − M 21 + k L k R M 12 + i k L M 22 + k R M 11
(
)
(1.28)
dari nilai t dan r ini, maka dapat dihitung nilai transmitansi (T) dan reflektansi R dengan menggunakan hubungan berikut
T=
kR 2 |t | , kL
R = |r | . 2
(7.29)
(7.30)
7.4 Algoritma Simulasi transmitasi, reflektansi, dan absorbansi gelombang EM melalui tiga layer dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini untuk memperoleh R, T dan A.
Simulasi transmitasi, reflektansi, dan absorbansi gelombang EM melalui sistem N layer dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini untuk memperoleh R, T dan A.
L1.
k? L? N?kR ? kL?
L2.
k =2π/λ
L3.
L,N (ditentukan oleh user. Nilai bisa divariasikan)
L4.
kR = kL=2π/λ0
L5.
M =[M11 M12 M21 M22]
L6.
M11 = cos (kL)
L7.
M12 = (1/k) sin (kL)
L8.
M21 = -k sin (kL)
L9.
M22 = cos (kL)
L10.
Ms =
N
∏M
i
i
L11. t = 2ik L e
L12.
−ik R
1 L' − M + k k M + i (k M + k M ) L R R L 21 12 11 22
(M 21 + k L k R M 12 ) + i(k L M 22 − k R M 11 ) r= (− M 21 + k L k R M 12 ) + i (k L M 22 + k R M 11 )
7.5 Hasil dan diskusi Dalam simulasi dan visualisasi dari interaksi gelombang elektromagnetik terhadap sejumlah N-medium dengan indeks bias bervariasi, diinisialisasi beberapa parameter berikut. Tabel 7.1 Parameter-parameter simulasi.
Symbol (Panjang Gelombang Cahaya Sumber) (Indeks Bias Emas) (Indeks Prisma) (Indeks Bias Silika) d (Ketebalan Logam pada Medium 2)
Nilai 700 nm
Code L
0.186 + 3.302i
n2
1.5 4.01
n1 n3
50 – 10nm
d
Paramater standar yang digunakan merupakan parameter baku. Variabel peubah dari eksperimen komputasi ini adalah indeks bias dari medium yang digunakan. Indeks bias dari medium pertama dan ketiga berupa bilangan real, sedangkan indeks bias medium kedua berupa bilangan real dan imajiner. Bilangan imajiner merepresentasikan sifatdispersif suatu bahan. Tampilan perambatan gelombang EM (Cahaya tampak) yang terjadi pada medium 1, 2 dan 3 ditunjukkan pada ilustrasi berikut.
(c) Gambar 7.2 Hasil simulasi transmitansi (atas), absorbansi (tengah) dan reflektansi (bawah) gelombang cahaya pada tiga medium yang memiliki indeks bias yang berbeda, (a) keadaan normal, (b) keadaan saat gelombang transmitansi, absorbansi dan reflektansi akan memasuki medium ketiga, (c) keadaan saat terjadi transmitansi yang menembus medium ketiga (kuning), absorbansi yang hanya menembus medium kedua (hijau tosca), serta reflektansi ketika menembus medium kedua, laser terpantul menuju medium pertama (biru).
Pada peristiwa transmitansi, reflektansi, dan absorbansi ini, terjadi fenomena kekekalan energi dimana energi elektromagnetik yang masuk ke sistem material yang dilewati oleh gelombang elektromagnetik tersebut sama dengan energi yang keluar dari sistem. Secara eksperimen hal ini dapat dibuktikan dengan menyediakan lapisan sensitif foton di sekeliling material, sehingga akan didapatkan data persentase jumlah foton yang dihamburkan/dipantulkan (R) dan diteruskan (T). Berdasarkan dengan hukum kekekalan energi yang menyatakan bahwa energi masuk harus sama dengan energi keluar, maka 1 – R – T = A, di mana A menunjukkan nilai persentase jumlah foton yang diserap oleh sistem material terhadap jumlah foton yang diberikan. Jumlah foton ini biasanya ditunjukkan dengan nilai intensitas cahaya. Data hasil perhitungan nilai transmitansi, absorbansi, dan reflektasi dengan ketebalan d/λ) yang divariasikan pada range 0 - 0.2 ditunjukkan pada Gambar 7.3 berikut.
Gambar 7.3 Data hasil perhitungan nilai refleksi, transmitansi, dan absorbansi pada nilai n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01.
Grafik hubungan reflektansi, transmitansi, dan absorbansi terhadap ketebalan bahan per panjang gelombang untuk n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01, ditunjukkan secara berturut-turut pada gambar 7.4, 7.5, dan 7.6 berikut.
R
d/λ
Gambar 7.4 Grafik reflektansi untuk n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01.
Gambar 7.5 Grafik Transmitansi pada n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01.
A
d/λ
Gambar 7.6 Grafik Absorbsi untuk n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01.
Seperti yang telah di bahasa pada bagian landasan teori, diketahui bahwa persamaan untuk nilai persentase reflektansi, transmitansi, dan absorbansi bergantung pada nilai φ dimana nilai φ bergantung pada ketebalan bahan per panjang gelombang (d/λ). Sehingga dengan persamaan dibuat grafik yang menghubungkan antara nilai persentase reflektansi, transmitansi, dan absorbansi terhadap nilai d/λ. Pada Gambar 7.4 ditunjukkan grafik persentase reflektansi untuk ketiga lapisan material dengan indeks bias n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01. Peristiwa reflektansi ini terjadi di semua batas lapisan material. Sehingga grafik tersebut menginterpretasikan nilai reflektansi total yang terjadi pada sistem bergantung pada panjang gelombang dan ketebalan lapisan. Sumbu y pada grafik menunjukkan nilai persentase reflektansi sedangkan sumbu x menginterpretasikan perbandingan antara ketebalan lapisan dan panjang gelombang cahaya d/λ, sehingga dapat disimpulkan bahwa persentase reflektansi sistem meningkat secara eksponensial terhadap d/λ antara 0 – 0.1 µm dan untuk panjang gelombang dan ketebalan selanjutnya nilai 183
persentase reflektansi menjadi tetap, yaitu sebesar ~ 1 atau ~ 100% ketika sinar sudah melewati lapisan ketiga dan akan bernilai nol ketika cahaya belum memasuki lapisan pertama. Pada Gambar 1.5, grafik menunjukkan hubungan persentase transmitansi untuk ketiga lapisan material dengan indeks bias n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01. Peristiwa transmitansi ini terjadi di semua batas lapisan material. Sehingga grafik tersebut menginterpretasikan nilai transmitansi total yang terjadi pada sistem bergantung pada panjang gelombang dan ketebalan lapisan bahan. Sumbu y pada grafik menunjukkan nilai persentase transmitansi sedangkan sumbu x mengintrepretasikan perbandingan ketebalan lapisan bahan dan panjang gelombang d/λ. Gambar 1.5 menunjukkan bahwa persentase transmitansi sistem menurun secara eksponensial terhadap d/λ pada titik 0 - 0,1µm dan untuk panjang gelombang dan ketebalan selanjutnya akan memiliki nilai persentase transmitansi tetap sebesar 0 atau 0% ketika sinar sudah melewati lapisan ketiga dan bernilai 1 atau 100% ketika cahaya belum memasuki lapisan pertama. Seperti telah diketahui sebelumnya, transmitansi adalah perbandingan antara nilai intensitas cahaya yang masuk dibandingkan dengan nilai intensitas cahaya yang keluar. Ketika nilai persentase transmitansi bernilai 1 pada Gambar 1.6 tersebut, disimpulkan bahwa nilai intensitas cahaya yang masuk memiliki nilai sama dengan intensitas cahaya yang keluar karena cahaya masih belum melalui lapisan 1, 2, dan 3. Setelah cahaya melewati lapisan 1, 2, dan 3 pada d/λ sebesar 0,1 didapatkan bahwa persentase transmitansi sebesar 0 atau 0% sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada intensitas cahaya yang keluar, semua cahaya diserap dan dipantulkan oleh ketiga lapisan. Pada Gambar 1.6 ditunjukkan grafik persentase absorbansi untuk ketiga lapisan material dengan indeks bias n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01. Peristiwa absorbansi ini terjadi di semua batas lapisan material. Sehingga grafik tersebut menginterpretasikan tentang persentase absorbansi total yang terjadi pada sistem bergantung pada panjang gelombang dan ketebalan lapisan. Sumbu y pada grafik menunjukkan nilai persentase absorbansi sedangkan sumbu x menginterpretasikan tentang d/λ. Persentase absorbansi sistem sedikit mengalami kenaikan terhadap d/λ, sehingga dapat disimpulkan bahwa cahaya akan diserap oleh lapisan 1, 2, dan 3 dalam jumlah sedikit, sebagian besar cahaya akan dipantulkan sehingga tidak ada cahaya yang akan diteruskan. Analisis data selanjutnya saat dilakukan variasi terhadap indeks bias material, baik bagian real maupun imajiner, maka akan kita dapatkan grafik berikut.
n Gambar 7.7 Grafik perubahan nilai transmitansi gelombang pada perubahan nilai indeks bias material.
Berdasarkan Gambar 7.7 di atas, diketahui bahwa variasi indeks bias material (nilai real maupun imajiner) akan menyebabkan terjadinya osilasi dan terbentuknya puncakpuncak gelombang nilai transmitansi untuk masing-masing indeks bias yang diberikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk 1 nilai indeks bias, terdapat 1 nilai transmitansi gelombang dan semakin kecil nilai indeks biasnya, maka nilai transmitansinya justru akan semakin besar. Sementara itu, grafik perubahan nilai reflektansi maupun absorbansi gelombang pada variasi indeks bias material (real maupun imajiner) akan didapatkan sebagai berikut:
R
n Gambar 7.8 Grafik perubahan nilai reflektansi gelombang pada variasi indeks bias material.
n Gambar 7.9 Grafik perubahan nilai absorbansi gelombang pada variasi indeks bias material.
Berdasarkan kedua grafik (Gambar 7.8 dan Gambar 7.9) pengaruh nilai reflektansi dan absorbansi gelombang pada variasi indeks bias material (real maupun imajiner) di atas dapat diketahui bahwa terjadi juga osilasi nilai reflektansi maupun absorbansi. Akan tetapi, pada Gambar 7.8, terdapat range nilai reflektansi gelombang untuk 1 nilai indeks bias dan range nilai reflektansi tersebut cenderung tetap untuk semua variasi indeks bias. Sementara itu pada Gambar 7.9, tidak terdapat nilai range absorbansi gelombang, namun membentuk puncak-puncak nilai absorbansi gelombang untuk masing-masing variasi indeks bias, sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk 1 indeks bias material, hanya terdapat 1 nilai absorbansi gelombang dan nilainya akan semakin besar ketika indek bias materialnya juga semakin besar. Sehingga secara sederhana, variasi indeks bias material pada ketiga grafik (Gambar 7.7, 1.8 dan 7.9) di atas dapat dikatakan bahwa.
• Terjadi osilasi nilai transmitansi, reflektansi, dan absorbansi gelombang pada variasi indeks bias yang memiliki nilai real maupun imajiner. • Untuk 1 indeks bias material, masing-masing memiliki 1 nilai transmitansi, 1 nilai absorbansi gelombang tertentu, dan beberapa nilai reflektansi (dalam range tertentu). • Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai transmitansinya akan semakin kecil. • Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai reflektansinya akan cenderung tetap. • Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai absorbansinya akan semakin besar pula. 186
Sementara itu, untuk mengetahui pengaruh variasi nilai real maupun nilai imajiner indeks bias material terhadap perubahan nilai transmitansi, reflektansi, maupun absorbansi, maka dilakukanlah variasi nilai real maupun nilai imajiner indeks bias dibawah ini. Bagian imajiner dari indeksbias menunjukkan koefisien absorbsi suatu material logam. Tabel 7.2 Nilai Transmitansi, Reflektansi, dan Absorbansi gelombang EM pada variasi nilai real dari indeks bias material.
Indeks Bias (Variasi nilai real)
Transmitansi (T)
Reflektansi (R)
Absorbansi (A)
0.01+i 0.02+i 0.03+i 0.04+i 0.05+i
0.809 0.802 0.796 0.79 0.785
0.008 0.017 0.025 0.033 0.04
0.183 0.181 0.179 0.177 0.175
Untuk variasi bagian real dari indeks bias material, maka akan didapatkan grafik pergerakan perubahan nilai Transmitansi (T), Reflektansi (R), maupun Absorbansi (A) material sebagai berikut.
R, T, A
T R A
n Gambar 7.10 Grafik perubahan transmitansi (T), reflektansi (R), dan absorbansi (A).
Berdasarkan Gambar 7.10 tersebut dapat dilihat bahwa perubahan nilai real pada indeks bias material menyebabkan nilai transmitansinya cenderung bergerak turun. Nilai reflektansi cenderung tetap, dan absorbansi cenderung naik. Hal ini sesuai dengan hasil grafik sebelumnya yang menunjukkan pergerakan kecenderungan nilai transmitansi, reflektansi, maupun absorbansi. 187
Sementara itu, untuk perubahan bagian imajiner dari indeks bias material, akan menghasilkan grafik sebagai berikut.
T, R, A
T R A
n Gambar 7.11 Grafik perubahan nilai transmitansi (T), reflektansi (R), dan absorbansi (A) terhadap variasi nilai imajiner indeks bias material.
Berdasarkan Gambar 7.11 di atas, dapat simpulkan bahwa variasi nilai imajiner dari indeks bias material hanya berpengaruh pada pergerakan osilasi nilai transmitansi, reflektansi, dan absorbansi gelombang yang diterjadi. Sementara itu, nilai dari transmitansi, reflektansi, dan absorbansi untuk masing-masing material dipengaruhi oleh bagian real dari nilai indeks biasnya. Untuk analisis menggunakan N layer, hasil belum didapatkan karena masih terdapat kesalahan dalam coding. Nilai R + T masih bisa meledak jauh lebih besar daripada 1. Dugaan kemungkinan terdapat kesalahan/overlap di dalam loop yang digunakan.
7.6 Kesimpulan 1.
2.
Fenomena fisika yang disimulasikan dalam jurnal ini adalah peristiwa transmitansi, reflektansi, dan absorbansi gelombang elektromagnetik pada 4 material dengan indeks bias yang berbeda dimana fenomena ini membuktikan tentang terjadinya kekekalan energi pada peristiwa penjalaran gelombang elektromagnetik. Telah berhasil dibuat coding JavaScript tentang penjalaran gelombang EM (proses reflektansi, transmitansi dan absorbansi) pada tiga lapisan dengan indeks bias yang berbeda.
Telah berhasil didapatkan data hasil penjalaran gelombang EM pada proses reflektansi, transmitansi dan absorbansi pada tiga lapisan dengan indeks bias yang berbeda. 4. Telah berhasil didapatkan kurva untuk masing-masing proses reflektansi, transmitansi dan absorbansi gelombang pada tiga lapisan dengan indeks bias berbeda beserta analisisnya. 5. Nilai persentase reflektansi, transmitansi, dan absorbansi memiliki hubungan yang linier dengan perbandingan antara ketebalan lapisan dan panjang gelombang EM yang diberikan dan dapat diinterpretasikan ke dalam grafik. 6. Pada kondisi saat nilai indeks bias ketiga lapisan adalah n1 = 1.5, n2 = 0.186 + 3.302i, n3 = 4.01, didapatkan bahwa sebagian besar cahaya akan mengalami pemantulan di semua lapisan, mengalami sedikit penyerapan gelombang cahaya dan tidak ada cahaya yang diteruskan oleh ketiga lapisan. 7. Untuk satu indeks bias material, masing-masing memiliki satu nilai transmitansi, satu nilai absorbansi tertentu, dan beberapa nilai reflektansi (dalam range tertentu). 8. Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai transmitansinya akan semakin kecil. 9. Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai reflektansinya akan cenderung tetap. 10. Semakin besar nilai indeks bias material, maka nilai absorbansinya akan semakin besar pula. 11. Variasi nilai imajiner dari indeks bias material hanya berpengaruh pada pergerakan osilasi nilai transmitansi, reflektansi, dan absorbansi gelombang yang diterjadi. Sementara itu, nilai dari transmitansi, reflektansi, dan absorbansi untuk masing-masing material dipengaruhi oleh bagian real dari nilai indeks biasnya.
7.7 Referensi 1. 2.
3.
Yeh, Pochi, 1988, Optical Waves in Layered Media, New York: Wiley. Launer, Herbert F., 1941, Reflection-Transmission Relations in Sheet Materials, Journal of Research of the National Bureau of Standards, Vol 27, pp. 429-441. McLean, 1994, A Polarized Transfer Matrix for Electromagnetic Waves in Structured Media, Journal of Modern Physics, Vol 41, No. 9, pp. 1781-1802.
7.8 Lampiran A. Program HTML Utama Program ini menampilkan simulasi reflektansi, absorbansi dan transmitansi gelombang cahaya melewati tiga medium yang berbeda, serta masing-masing kurva reflektansi, absorbansi dan transmitansi. 189
Tabel 7.3 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
Lampiran
simulation in layer. html
HTML
Gambar 1.2
B
math.js
Javascript
Gambar 1.3, Gambar 1.4, Gambar 1.5, dan Gambar 1.6
C
credit.html
HTML
D
TMM2.html
HTML
E
NewMatrix.js
Javascript
F
B. Program Javascript XYChart Program ini berguna untuk mengatur layout kurva transmitansi, absorbansi dan reflektansi. /* xychart.js Library of simple xy-chart class in JavaScript Sparisoma Viridi | [email protected] 20170313 Create this library only with xmin..ymax and XMIN..YMAX definitions. 20170318 Continue creating after recovery from sick and a bunch of activities. Tested for travelling wave and ok. */ // Class of XYChart function XYChart() { // Some plot properties this.pointColor = "#f00"; this.pointSize = 1; this.lineColor = "#f99"; this.lineWidth = 1; this.pointLineWidth = 1; 190
C. Program simulasi dan visualisasi <script src=https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/3.3.0/math.min.js> <meta charset="ISO-8859-1"> <script src="xychart.js"> Simulasi dan Visualisasi T, R, & A pada N Medium
Simulasi dan Visualisasi T, R, & A pada N Medium
Simulasi
Ilustrasi
width="500"
height="220"
<script> var v=document.getElementById("myCanvas"); var vtx=v.getContext("2d"); var c=document.getElementById("myCanvas"); var ctx=c.getContext("2d"); //Laser vtx.beginPath(); vtx.scale(1,1); vtx.rect(60,60,80,15); vtx.fillStyle = "red"; vtx.fill(); vtx.fillText("LASER", 80, 90); 196
canvas2.width = "420"; canvas2.height = "230"; //var canvas3 = document.createElement("canvas"); document.body.appendChild(canvas3); canvas3.id = "chart3"; canvas3.width = "420"; canvas3.height = "230"; //Define variable for timer var t = 0; var dt = 0.01; var tf = 200; var timer; //Define some parameters var N = 201; var tf = N; //var dN = 0.0001; var xmin = 0; var xmax = 0.2; var dx = (xmax - xmin) / (N - 1); var A = 2; var lambda = 5; var k = 2 * Math.PI / lambda; var T = 1; //generateData(); var chart1 = new XYChart; chart1.setCoordinates(xmin, -1.5 , xmax, 1.5 ); var tempx = new Array(); var tempy = new Array(); // var chart2 = new XYChart; chart2.setCoordinates(xmin, -1.5 , xmax, 1.5 ); var tempx2 = new Array(); var tempy2 = new Array(); // var chart3 = new XYChart; chart3.setCoordinates(xmin, -1.5 , xmax, 1.5 ); var tempx3 = new Array(); 199
var tempy3 = new Array(); // Show data for the first time chart1.changeData(new Array(), new Array()); //chart1.clear(); chart1.plotTo(canvas1); // chart2.changeData(new Array(), new Array()); //chart2.clear(); chart2.plotTo(canvas2); // chart3.changeData(new Array(), new Array()); //chart3.clear(); chart3.plotTo(canvas3); //Create button object /*var button = document.createElement("button"); document.body.appendChild(button); button.innerHTML = "Start"; button.onclick = */ function cek () { var button = document.getElementById("cekin"); if(button.innerHTML == "Start") { timer = setInterval(simulate, 10); //timer2 = setInterval(simulate2, 10); button.innerHTML = "Refresh"; } else { history.go(0); //clearInterval(timer2); button.innerHTML = "Start"; } }
function simulate() { //N += 0.1; //generateData(); var c = document.getElementById("tarea2").value.split("\n"); var na = new Array(); for(var i=0; i< c.length; i++){ var d = c[i].split("\t"); r = parseFloat(d[1]); na.push(r); }
var n1 = math.complex(na[0], 0); var n2 = math.complex(na[1], na[2]); var n3 = math.complex(na[3], 0); var k1x = n1; var k2x = n2; var k3x = n3; var lamda = na[4]*0.000000001; var dpl = (0.000000001/lamda)*t; var dpl2 = (0.001*t).toFixed(3); var cd = (Math.PI/180); var fi= (n2.mul((2*Math.PI*dpl))).mul(math.complex(0,-1)); var fi2= (n2.mul((2*Math.PI*dpl))).mul(math.complex(0,1)); var f00=((math.complex(1,0)) .add(((((n2).mul(n2)) .mul(k1x))) .div(((math.complex((n1*n1))) .mul(k2x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f01=((math.complex(1, 0)) .sub(((((n2).mul(n2)) .mul(k1x))) .div(((math.complex((n1*n1))) .mul(k2x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f02=((math.complex(1, 0)) .sub(((((n2).mul(n2)) .mul(k1x))) .div(((math.complex((n1*n1))) .mul(k2x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f03=((math.complex(1, 0)) .add(((((n2).mul(n2)) .mul(k1x))) .div(((math.complex((n1*n1))) .mul(k2x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); // var f20=((math.complex(1, 0)).add(((math.complex((n3*n3), 0)) .mul(k2x)) .div((((n2) .mul(n2)) .mul(k3x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f21=((math.complex(1, 0)).sub(((math.complex((n3*n3), 0)) .mul(k2x)) .div((((n2) .mul(n2)) .mul(k3x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f22=((math.complex(1, 0)).sub(((math.complex((n3*n3), 0)) .mul(k2x)) .div((((n2) .mul(n2)) .mul(k3x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); var f23=((math.complex(1, 0)).add(((math.complex((n3*n3), 0)) .mul(k2x)) .div((((n2) .mul(n2)) .mul(k3x))))) .mul(math.complex(0.5, 0)); // var f10= fi.exp(); var f11= 0; var f12= 0; var f13= fi2.exp(); var h00=(((f00).mul(f10))).add(((f01).mul(f12))); var h01=(((f00).mul(f11))).add(((f01).mul(f13))); var h02=(((f02).mul(f10))).add(((f03).mul(f12))); var h03=(((f02).mul(f11))).add(((f03).mul(f13))); var h10=(((h00).mul(f20))).add(((h01).mul(f22))); var h11=(((h00).mul(f21))).add(((h01).mul(f23))); var h12=(((h02).mul(f20))).add(((h03).mul(f22))); var h13=(((h02).mul(f21))).add(((h03).mul(f23))); /*
var datx = t;// dx melambangkan perubahan var daty = 2*0.1*t; 201
*/ var r = (h12).div(h10); var t1 = (math.complex(1,0)).div(h10) var R= (r).mul(r); var Rabs= (R.abs()).toFixed(3); var T = (math.complex((n3/n1), 0)).mul(((t1).mul(t1))); var Tabs= (T.abs()).toFixed(3); var A = ((((math.complex(1,0)).sub(Rabs)).sub(Tabs)).abs()).toFixed(3); tarea.innerHTML += dpl2 + "\t" + Tabs+"\t" + A +"\t"+ Rabs + "\n"; // t += 1; tempx.push(dpl); tempy.push(Tabs); tempx2.push(dpl); tempy2.push(A); tempx3.push(dpl); tempy3.push(Rabs); chart2.changeData(tempx2, tempy2); chart3.changeData(tempx3, tempy3); chart1.changeData(tempx, tempy); console.log(tempy); chart1.clear(); chart1.plotTo(canvas1); chart2.clear(); chart2.plotTo(canvas2); chart3.clear(); chart3.plotTo(canvas3); if(t >= tf){ clearInterval(timer); } } <script> function draw(x){ //Laser Transmitansi var R = 255; var G = 255; //var B = 0; var n = 0; 202
E. TMM2.html Transmitansi Lapisan Banyak <script src="NewMatrix.js"> <meta charset="UTF-8"> <script> /* PARAMETER-PARAMETER GLOBAL */ //Jumlah layer var N = [10,20,30,40,50,60,70,80,90,100]; //Ketebalan layer var d = [1e-6,2e-6,3e-6,4e-6,5e-6,6e-6,7e-6,8e-6,9e6,10e-6]; //Nilai indeks bias masing2 layer var n = [1.5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]; //Nilai wave number di vakum. Nilai lambda 6e-6 var lamb0 = [1e-8, 2e-8, 3e-8, 4e-8, 5e-8, 6e-8, 7e-8,8e8, 9e-8, 10e-8]; /* SIMULASI TIPE 1: VARIASI PANJANG GELOMBANG LAMB0, JUMLAH LAYER TETAP Variasi Lambda-d,n, dan N tetap (vakum-medium paling kiri dan paling kanan) Kita lihat daerah stasioner terhadap lambda sebelum menyelidiki perubahan terhadapp n atau d */ var b = 5; //nilai indeks arbitrary ~convenience var K0= []; //Nilai wave number dalam setiap layer 206
var K = []; var T = [];//Transmitansi var R = [];//Reflektansi var Ms = eye(); //Untuk kasus ketebalan layers sama, n beda terkontrol, lambda0 divariasikan //MATRIKS TRANSFER SISTEM for (i = 0; i < 10; i++)//LOOP UNTUK LAMBDA { K0[i] = 2 * Math.PI / lamb0[i]; for (j = 0; j < 1; j++)//variasi jumlah layer j adalah indeks layer { var nx = n[0]; var kx = K0[i]; K[j] = nx * kx; //K dari 10 lambda yang melalui 1 layer tsb Ms = mMult( Layer(K[j], d[b]),Ms); } //MENGHITUNG TRANSMITANSI T //Wavenumber di layer pertama (KL) dan layer terakhir (KR) var KR = K0[0]; var KL = K0[0]; //At, Bt, Ct, Dt adalah variabel input untuk fungsi absComplex2 dari NewMatrix.js yang fungsinya adalah mencari nilai kuadrat dari absolut sebuah bilangan kompleks. var At = 2*KL*Math.sin(KR*d[b]); var Bt = 2*KL*Math.cos(KR*d[b]); var Ct = KL*KR*Ms[1] - Ms[2]; var Dt = KR*Ms[0] + KL*Ms[3]; //Maka nilai T dapat dihitung sebagai T[i] = (KR/KL)*absComplex2(At,Bt,Ct,Dt); //MENGHITUNG REFLEKTANSI R var Ar = Ms[2] + KL*KR*Ms[1]; var Br = KL*Ms[3] - KR*Ms[0]; var Cr = -1*Ms[2] + KL*KR*Ms[1]; var Dr = KL*Ms[3] + KR*Ms[0]; //Maka nilai R dapat dihitung sebagai R[i] = absComplex2(Ar,Br,Cr,Dr); //Ar, Br, Cr, Dr adalah variabel input untuk fungsi absComplex2 dari NewMatrix.js yang fungsinya adalah 207
mencari nilai kuadrat dari absolut sebuah bilangan kompleks. } //Berikut adalah output untuk mengecek nilai2 variabel yang dipakai di perhitungan. Mostly untuk keperluan debugging. document.getElementById("OutputTester").innerHTML = "Nilai n "+ n + " " + "Nilai K di vakum "+ K0 + " "+"Nilai lambda vakum "+ lamb0+" "+"Nilai pi "+ Math.PI+ " Nilai K medium beda" +" "+K+" "+"Nilai iterasi matriks tiap layer " document.getElementById("Output2").innerHTML = "Matriks Transfer Ms "+Ms[0]+" "+Ms[1]+" "+Ms[2]+" &n bsp "+Ms[3]+" "+"Reflektansi "+R+" "+"Transmitansi "+T
mytable.style.overflowY = "scroll" mytable.float = 'left'; mytable.value = 'Lambda\t\t\t R \t\t\t T\n'; for(i = 0; i < 10; i++) { mytable.value += lamb0[i] +'\t\t\t'+ R[i]+ '\t\t\t'+ T[i]+'\n'; } F. NewMatrix.js /*BEBERAPA FUNGSI OPERASI MATRIKS KOMPLEKS DI DALAM JAVASCRIPT. (C)YONATHAN P. PURWASUNU INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2017 REVISI TERAKHIR 5/22/2017 */ function mMult(A,B)//2x2 matriks sebagai array isi 8. 4 pertama untuk komponen real, 4 terakhir imajiner //| A[0] A[1]| untuk real dan | A[4] A[5]| untuk imajiner //| A[2] A[3]| | A[6] A[7]| // keluaran bentuk |c[0] c[1] c[2] c[3] c[4] c[5] c[6] c[7]| { var c = new Array(8); c[0]=A[0]*B[0]+A[1]*B[2]-A[4]*B[4]-A[5]*B[6]; c[1]=A[0]*B[1]+A[1]*B[3]-A[4]*B[5]-A[5]*B[7]; c[2]=A[2]*B[0]+A[3]*B[2]-A[6]*B[4]-A[7]*B[6]; c[3]=A[2]*B[1]+A[3]*B[3]-A[6]*B[5]-A[7]*B[7]; c[4]=A[0]*B[4]+A[1]*B[6]+A[4]*B[0]+A[5]*B[2]; c[5]=A[0]*B[5]+A[1]*B[7]+A[4]*B[1]+A[5]*B[3]; c[6]=A[2]*B[4]+A[3]*B[6]+A[6]*B[0]+A[7]*B[2]; c[7]=A[2]*B[5]+A[3]*B[7]+A[6]*B[1]+A[7]*B[3]; return
c;
} function sMult(s,A) // operasi perkalian skalar s dengan matriks A, i.e nilai s dikalikan ke semua elemen A. seperti A.*B pada MATLAB { var c = 0; 209
} function Layer(k,L)//fungsi matriks transfer tiap layer { var M = new Array(8); M[0]=Math.cos(k * L); M[1]=(1/k)*Math.sin(k * L); M[2]=-k*Math.sin(k * L); M[3]=Math.cos(k * L); M[4]=0; M[5]=0; M[6]=0; M[7]=0; return M; } function eye()//fungsi pembuat matriks identitas 2x2 dalam bentuk array 1x8 { var I = [1,0,1,0,0,0,0,0]; return I; } function absComplex2(a,b,c,d)//fungsi mencari nilai absolut kuadrat r = (a+ib)/(c+id)--> |r|^2 { var A = Math.pow(((a*c)+(b*d)),2)+Math.pow(((b*c)(a*d)),2); var B = Math.pow((c*c + d*d),2); var C = A/B; return C; }
210
8
Analisis pengaruh gravitasi terhadap fenomena efek kacang Brazil
Zaky Yudha Rabbani | [email protected] Reinaldo Giovanni | [email protected] Thariq Warsahemas | [email protected] Simulasi efek kacang brazil dengan satu intruder dan bed butiran dengan menggunakan metode dinamika molekuler, interaksi yang digunakan adalah gaya gravitasi antara butiran yang ditinjau dan interaksi dengan bidang datar. Variasi parameter yang dilakukan adalah percepatan gravitasi g. Simulasi ini mendapatkan hasil bahwa percepatan gavitasi belum terlihat pengaruhnya secara signifikan terhadap waktu tempuh intruder untuk mencapai ketinggian yang relatif tinggi terhadap titik awal danmendapatkan informasi bahwa dalam rentang percepatan gravitasi bernilai 5-20, didapatkan kecepatan intruder bersifat inverse parabolic terhadap percepatan gravitasi.
8.1 Pendahuluan Fenomena efek kacang brazil (EKB) muncul di sistem campuran butiran (granular) yang memiliki ukuran yang berbeda. Sistem terdiri dari butiran berukuran besar (intruder) yang dikelilingi butiran berukuran kecil (bed butiran). Apabila sistem ini digetarkan, intruder secara perlahan akan bergerak keatas sampai berada diatas bed butiran. Kecepatan partikel bergerak ke atas dipengaruhi beberapa faktor, diantaranya kedalaman intruder, gaya gesek antar partikel, frekuensi dan amplitudo getaran, gerakan udara di sela-sela bed [1], dan perepatan gravitasi [2]. EKB cukup penting dalam campuran partikel granular dalam industri, khususnya dalam segregasi (pemisahan) ukuran. Selain itu, EKB menjelaskan bagaimana batuan muncul ke permukaan akibat pergerakan bumi [3]. Analisis pergerakan partikel pada fenomena EKB secara analitik cukup sulit. Sehingga, diperlukan komputasi untuk mensimulasikan fenomena EKB. Terdapat dua metode komputasi yang dapat digunakan, yaitu Metode Monte Carlo dan Molecular Dynamic. Metode Molecular Dynamic akan dipilih karena dapat mengarah pada karakteristik dinamik sistem, yaitu koefisien transport, respon sistem terhadap peturbasi yang tak bergantung waktu, dan aliran material [4]. Tugas ini bertujuan mensimulasikan EKB pada partikel granular serta menentukan pengaruh percepatan gravitasi dan gaya Tarik gravitasi antar partikel terhadap kecepatan apung intruder.
211
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
8.2 Teori Secara umum, pada tugas ini, teori yang digunakan untuk mensimulasikan EKB pada sistem granular adalah gerak newton dan molecular dynamic. Simulasi molecular dynamic terdiri dari solusi numerik dari persamaan gerak newton pada partikel sebagai berikut [4]
r ma = F
(8.1)
atau
F =−
∂ U ∂r
(8.2)
Dari Persamaan (8.2), untuk mendapatkan gaya yang bekerja pada partikel, potensial U perlu ditentukan terlebih dahulu. Simulasi pada tugas ini menggunakan potensial gravitasi. Jika terdapat partikel A dan B yang memilki massa mA dan mB berjarak rAB, potensial gravitasi yang bekerja adalah sebagai berikut [4]
Ug = −
Gm A m B rAB
(8.3)
Selain interaksi akibat gravitasi, interkasi lain yang diperhitungkan adalah tumbukan akibat kontak antar partikel granular. Untuk menghitung tumbukan antar partikel, mula-mula perlu ditentukan vektor normal permukaan bidang. Secara umum, vektor normal suatu bidang pada titik (x, y, z) adalah sebagai berikut [5]
r ∇f ( x, y , z ) nˆ = r | ∇f ( x, y , z ) |
(8.4)
Untuk menggambarkan interaksi partikel dengan partikel yang berbentuk bola, gaya normal dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut [5]
r rij nˆ ij = rˆij = r | rij | r r r rij = ri − r j r r r rij =| rij |= rij .rij
(8.5) (8.6) (8.7)
Misalkan terdapat partikel berbentuk bola pada titik x, y, z dan berjarak h dari suatu permukaan bidang f(x,y,z). Mula-mula, ambil sembarang titik pada bidang yang
212
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
memenuhi persamaan permukaan bidan tersebut, misalnya titik (xs,ys,zs). Lalu, cari posisi relatif benda terhadap titik tersebut
r rbs = ( x − x s )iˆ + ( y − y s ) ˆj + ( z − x s )kˆ Lalu, cari komponen
(8.8)
pada jarak h melalui
r h = rbs ⋅ nˆ
(8.9)
Sehingga, gaya normal pada benda dapat diperoleh melalui [5]
η = max(0, R − h)
(8.10)
dan
FN = − k Nη − γN
dη dt
(8.11)
Getaran wadah disimulasikan dengan merubah posisi batas bawah menjadi suatu fungsi periodik. Fungsi periodik yang digunakan adalah sebagai berikut
y = abs (sin(ωt ))
(8.12)
8.3 Metode Numerik Metoda numerik yang digunakan dalam simulasi ini adalah metoda integrasi verlet. Metoda verlet sering digunakan dalam penyelesaian permasalahan persamaan gerak Newton. Metoda verlet yang digunakan pada simulasi ini adalah metoda kecepatan verlet. Metoda ini mempunyai kemiripan dengan metoda Leapfrog dimana adanya penggunaan prediktor [4]. Algoritma yang digunakan adalah sebagai berikut
r r r 1r x (t + ∆t ) = x (t ) + v (t )∆t + a (t )∆t 2 2 r r r r a (t ) + a (t + ∆t ) v (t + ∆t ) = v (t ) + ∆t 2
213
(8.13)
(8.14)
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
8.4 Algoritma Simulasi efek kacang brazil untuk mendapatkan kecepatan kenaikan intruder dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut L1.
Input gA from the input box.
L2.
Declare some constants and variables (dt, nP, data, grains)
L3.
Initializing particles positions.
L4.
Plot the positions
L5.
i=1.
L6.
Calculate the weight force of the i-th grain.
L7.
Calculate the normal force of the i-th grain to the bottom, left, and right boundary.
L8.
j=1
L9.
If j!=i, then Calculate the interaction between the i-th particls with the j-th particle.
L10.
If j
L11.
Calculate the new positions.
L12.
Calculate the sum of force for the i-th particle in the new position
L13.
Calculate the new velocities
L14.
If i
L15.
Save the intruder particle position and the current time in data variable.
L16.
If stop is pushed then go to L17. else go to L4.
L17.
Stop.
214
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
8.5 Hasil dan diskusi Parameter-parameter simulasi yang digunakan diberikan dalam Tabel 1.1 berikut. Tabel 8.1 Parameter-parameter simulasi.
Symbol
Nilai
Code
kNW
1000
-
kNP
500
-
G
1000
-
0
-
D
1 dan 2
Grain.D
M
1 dan 2
Grain.m
∆t
0.001
dt
Beberapa parameter-parameter yang digunakan tidak mempunyai simbol dalam kode dikarenakan dia dimasukan dalam bentuk angka. Diameter dan massa dari partikel intruder adalah 2, sedangkan diameter dan massa dari partikel filler adalah 1. Tampilan program pada saat simulasi dimulai dapat dilihat dibawah ini:
Gambar 8.1. Tampilan saat pertama awal-awal start.
Lalu simulasi dibiarkan berjalan hingga t mencapai 5 detik. Setelah 5 detik, data diambil dengan menggunakan tombol Print Data lalu data pada textarea di-copy kedalam excel untuk diolah. Tampilan program saat t = 5 detik dapat dilihat dibawah ini.
215
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
Gambar 8.2. Tampilan saat t = 5 detik
Dengan memvariasikan percepatan gravitasinya, didapatkan data-data dalam Tabel 8.2 berikut. Tabel 8.2. Cuplikan data yang didapatkan dari program. Gacc
-10
Gacc
-15
Gacc
-20
Gacc
-5
Gacc
-7.5
Gacc
-12.5
t(s)
Ypos
t(s)
Ypos
t(s)
Ypos
t(s)
Ypos
t(s)
Ypos
t(s)
Ypos
0.001
0.999995
0.001
0.999993
0.001
0.99999
0.001
0.999998
0.001
0.999996
0.001
0.999994
0.002
0.999981
0.002
0.999971
0.002
0.999961
0.002
0.999991
0.002
0.999986
0.002
0.999976
0.003
0.999959
0.003
0.999936
0.003
0.999914
0.003
0.999981
0.003
0.99997
0.003
0.999948
0.004
0.999931
0.004
0.999891
0.004
0.999851
0.004
0.999971
0.004
0.999951
0.004
0.999911
0.005
0.999899
0.005
0.999836
0.005
0.999774
0.005
0.999961
0.005
0.99993
0.005
0.999867
0.006
0.999863
0.006
0.999774
0.006
0.999684
0.006
0.999953
0.006
0.999908
0.006
0.999818
0.007
0.999827
0.007
0.999705
0.007
0.999582
0.007
0.999949
0.007
0.999888
0.007
0.999766
0.008
0.999791
0.008
0.999631
0.008
0.999471
0.008
0.99995
0.008
0.99987
0.008
0.999711
0.009
0.999756
0.009
0.999554
0.009
0.999353
0.009
0.999958
0.009
0.999857
0.009
0.999655
0.01
0.999725
0.01
0.999476
0.01
0.999227
0.01
0.999974
0.01
0.99985
0.01
0.999601
Dan dari Tabel 8.2 berikut, dapat diplot grafik posisi terhadap waktu seperti dalam Gambar 8.3 berikut.
216
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
Gambar 8.3. Grafik posisi terhadap waktu untuk g = -5
Gambar 8.4. Grafik posisi terhadap waktu untuk g=-7.5.
Gambar 8.5. Grafik posisi terhadap waktu untuk g = -10.
217
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
Gambar 8.6. Grafik posisi terhadap waktu untuk g = -12.5.
Gambar 8.7. Grafik posisi terhadap waktu untuk g = -15.
Gambar 8.8. Grafik posisi terhadap waktu untuk g = -20.
218
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
Dalam pembuatan grafik pada gambar 3-8, sekalian juga dilakukan perhitungan regresi linear dari data-data tersebut. Kecepatan adalah gradient dari posisi terhadap waktu, sehingga dengan melihat gradient pada persamaan-persamaan hasil regresi pada gambar 3-8, dapat dibuat plot kecepatan naiknya partikel intruder terhadap percepatan gravitasinya.
Gambar 8.9. Grafik kecepatan terhadap percepatan gravitasi
Dapat dilihat bahwa hubungan antara kecepatan naiknya intruder terhadap percapatan gravitasi diduga mempunyai bentuk fungsi inverse parabolic. Semakin besar percepatan gravitasinya maka semakin rendah kecepatan naiknya dan semakin kecil percepatan gravitasinya maka semakin rendah juga kecepatan naiknya. Sehingga untuk mendapatkan kondisi dimana partikel intruder naik paling cepat, perlu dilakukan optimasi. Secara kualitatif dari Gambar 8.9, kecepatan maksimum didapat pada saat percepatan gravitasinya berkisaran ~ -12.5. Untuk hasil yang didapatkan secara keseluruhan pada percobaan simulasi efek kacang brazil dengan variasi pengaruh percepatan gravitasi adalah terdapatnya pengaruh pada sistem yang bekerja. Pengaruh dalam waktu intruder mencapai ketinggian yang relatif tinggi terhadap titik awal belum dapat didefinisikan dengan baik karakteristiknya, hal ini dikarenakan data yang bersifat acak. Hal ini dapat diantisipasi dengan pengambilan data dengan rentang variasi yang besar ataupun variasi dengan cara yang ekstrem. Selain itu, untuk pengaruh kecepatan intruder belum dilakukan dengan banyak cara pengolahan data. Pengolahan data dan analisis yang dilakukan ini merupakan cara yang paling simple dan relatif mudah. Untuk kedepannya dapat dilakukan pengolahan data kecepatan dengan lebih detail, seperti menganalisis dari data kecepatan tiap waktu yang diperoleh dari program. Selain itu, dapat pula kedepannya menganalisis seperti kecepatan rms, kecepatan paling mungkin (most probable), atau mungkin melihat kecepatan resiproknya.
219
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
8.6 Kesimpulan Simulasi efek kacang brazil dengan variasi percepatan gravitasi ini mendapatkan hasil bahwa percepatan gavitasi belum terlihat pengaruhnya secara signifikan terhadap waktu tempuh intruder untuk mencapai ketinggian yang relatif tinggi terhadap titik awal. Selain itu, simulasi efek kacang brazil ini mendapatkan informasi bahwa dalam rentang percepatan gravitasi bernilai 5-20, didapatkan kecepatan intruder bersifat inverse parabolic terhadap percepatan gravitasi.
8.7 Referensi 1.
2.
3. 4.
5.
Dianita Nanda Persia, Catra Novendia Utama, Siti Nurul Khotimah, Sparisoma Viridi. 2013. Pengamatan Waktu Apung Efek Kacang Brazil Pada Cakram Tunggal, Ganda Berhimpit, dan Ganda Bergerak. The 1st ISCSM 2013. Carsten Guttler, Ingo von Bostel, Rainer Schrapler, Jurgen Blum. 2013. Granular Convection and the Brazil Nut Effect in Reduced Gravity. Germany: Physical Review E87. DOI : 10.1103/PhysRevE.87.044201 Granular Convection. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Granular_convection Michael P Allen. 2004. Introduction to Molecular Dynamics Simulations. John von Neumann Institute for Computing. Computational Soft Matter: From Synthetic Polymers to Proteins, Lecture Notes. Viridi, Sparisoma. 2017. Objek Bidang Datar. Bandung: Catatan Kuliah Komputasi Sistem Granular, Program Studi Fisika, Institut Teknologi Bandung
8.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan subprogram Tabel 8.3 Program dan subprogram yang digunakan dalam simulasi.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
Lampiran
main.html
Google Chrome
Data tabel 1.2
B
interaction.js
Notepad++
Normal Force. & Gravitational force.
C
grains.js
Notepad++
Class Grain.
D
math.js (menggunakan class dari suatu referensi)
Notepad++
Panjang Vektor (math.norm())
-
layout.js (menggunakan class perkuliahan)
Notepad++
Tampilan pada Google Chrome
-
draw2d.js (menggunakan class perkuliahan)
Notepad++
Gambar 1 dan 2.
-
220
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
//Defining some constants var gA = 0; var dt = 0.001; var T = 5; var nP = 21; var t = 0; var data="t(s) \t Ypos\n"; var cv = document.getElementById("canvas") var grains = new Array(nP); //Declaring the grains for(var i=0; i < grains.length; i++) { if(i!=grains.length-1)//Filler particles { grains[i] = new Grain(1); } else//Intruder particles { grains[i] = new Grain(0); } } //Initializing the particles position var c = 0;
221
value="-10"
style="width:
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
for(var i=0; i<4; i++) { for(var j=0; j<6; j++) { if(i<2) { if (!(j>=2&&j<=3)) { grains[c].r[0] = 0.5 + j*1; grains[c].r[1] = 0.5 + i*1; c++; } } else { grains[c].r[0] = 0.5 + j*1; grains[c].r[1] = 0.5 + i*1; c++; } } } grains[20].r = [3,1]; //Running the simulation function run() { //Taking the gravitational acceleration from the input box. gA = document.getElementById("gA").value; gA = parseFloat(gA); //Moving the bottom boundary to simulate the shaking movement. var y = 0; if(t<=5) { y = Math.abs(Math.sin(Math.PI*t)); } t = t+dt; clearCurrentFigure(); for(var i=0; i
222
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
var bNorm = pInteraction.fWNorm(grains[i].r, [grains[i].r[0],y], grains[i].v, [0,0], grains[i].D,0); //Normal force against the right side of the container. var rNorm = pInteraction.fWNorm(grains[i].r, [6,grains[i].r[1]], grains[i].v, [0,0], grains[i].D,0); //Normal force against the left side of the container. var lNorm = pInteraction.fWNorm(grains[i].r, [0,grains[i].r[1]], grains[i].v, [0,0], grains[i].D,0); //Adding the normal forces to the sum of force sigF[0] = sigF[0] + bNorm[0] + rNorm[0] + lNorm[0]; sigF[1] = sigF[1] + rNorm[1] + lNorm[1] + bNorm[1]; for(var j=0; j
223
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
var nForce = pInteraction.fNorm(grains[i].r, grains[j].r, grains[i].v, grains[j].v, grains[i].D, grains[j].D); var Grav = pInteraction.fNorm(grains[i].r, grains[j].r, grains[i].m, grains[j].m); sigF[0] = sigF[0] + nForce[0] + Grav[0]; sigF[1] = sigF[1] + nForce[1] + Grav[1]; } } } grains[i].v[0] = grains[i].v[0]+ dt*0.5*(sigF[0]+sigF1[0])/grains[i].m; grains[i].v[1] = grains[i].v[1]+ dt*0.5*(sigF[1]+sigF1[1])/grains[i].m; } var disp = "t: " + t + "\n" + "Intruder Post(y): " + grains[20].r[1]; //Saving position and current time for data analyzing. data += t + "\t" + grains[20].r[1]+"\n"; document.getElementById("hout").value = disp; } document.getElementById("button").onclick = function(){ document.getElementById("hout").value = data; };
C. Source code program interaction.js pInteraction.fGrav = function(r1,r2,m1,m2) { //Gravitation pull felt by particle 1 because of particle 2. var rx = r2[0] - r1[0]; var ry = r2[1] - r1[1]; var r = [rx, ry]; var rl = math.norm(r); var u = [rx/rl,ry/rl]; var k = -1000*m1*m2/(math.norm(r))^2; var fGrav = [k/u[0], k/u[1]]; return fGrav; } pInteraction.fNorm = function(r1,r2,v1,v2,D1,D2) { //Normal force felt by particle 1 when in contact with particle 2. var rx = r2[0] - r1[0]; var ry = r2[1] - r1[1]; var r = [rx, ry]; var D = (D1/2 + D2/2);
224
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
var rl = math.norm(r); if(rl<=D) { var u = [rx/rl, ry/rl]; var vx = v2[0] - v1[0]; var vy = v2[1] - v2[1]; var v = [vx, vy]; var eta = D - rl; var deta = math.norm(v); var k = (-5E2*eta - 0*deta); var nForce = [k*u[0], k*u[1]]; } else { var nForce = [0, 0]; } return nForce; } pInteraction.fWNorm = function(r1,r2,v1,v2,D1,D2) { //Normal force felt by particle 1 when in contact with the boundary. var rx = r2[0] - r1[0]; var ry = r2[1] - r1[1]; var r = [rx, ry]; var D = (D1/2 + D2/2); var rl = math.norm(r); if(rl<=D) { var u = [rx/rl, ry/rl]; var vx = v2[0] - v1[0]; var vy = v2[1] - v2[1]; var v = [vx, vy]; var eta = D - rl; var deta = math.norm(v); var k = (-1E3*eta - 0*deta); var nForce = [k*u[0], k*u[1]]; } else { var nForce = [0, 0]; }
225
Komputasi Fisika 3: 8 Analisis pengaruh gravitasi .. EKB
Simulasi sifon dengan metode elemen volume fluida tunggal (single volume fluid element method)
9
Meiliany Pranolo | [email protected] Kevin Frankly Samuel Pardede | [email protected] Ramadhiansyah | [email protected] Gerak siphoning fluida dapat disimulasikan dengan menggunakan persamaan sederhana Newton dan metode elemen colume fluida tunggal. Persamaan gaya Newton yang ditinjau berupa gaya gravitasi dan gaya viskositas, serta ditinjau gaya percepatan elemen fluida m dan volume kecil V. Parameter fluida yang digunakan berupa massa jenis ρf dan konstanta viskositas η dengan parameter elemen fluida dalam pipa berupa diameter D dan infinitesimal ∆h. Pada pipa lurus vertikal, fluida bergerak dengan gerakan harmonik teredam sesuai dengan analisa. Pada pipa ∩ dan M-like, ditinjau keadaan alir/tidak mengalir fluida dengan variasi diameter dan setiap panjang pipa sehingga didapat kecenderungan bagaimana konfigurasi pipa yang mungkin agar terjadi siphoning.
9.1 Pendahuluan Sifon adalah sebuah alat berbentuk pipa yang berguna untuk mengalirkan fluida dari suatu tempat ke posisi akhir yang lebih rendah [2]. Aliran dapat terjadi karena adanya perbedaan tekanan di ketinggian yang berbeda [1]. Sifon memiliki beberapa aplikasi praktis, contohnya adalah sebagai salah satu metode untuk mengosongkan tangki air (tanpa perlu melubanginya) [3]. Beberapa metode untuk melakukan simulasi sifon antara lain adalah metode elemen hingga, metode elemen volume fluida tunggal, dan lain lain.. Pada makalah ini, akan dilakukan simulasi sifon menggunakan metode elemen volume fluida tunggal, yang pada dasarnya ekivalen dengan menyelesaikan persamaan Newton untuk suatu volume fluida tunggal [1].
9.2 Teori Simulasi aliran fluida pada sifon dilakukan dengan meninjau batas antara fluida dengan udara. Tinjau sebuah elemen volume fluida di perbatasan tersebut. Diasumsikan bahwa pada elemen volume tersebut bekerja tiga buah gaya : gaya gravitasi, gaya gesekan, serta gaya hidrostatik. Sebelumnya, perhatikan bahwa suatu konfigurasi sifon tertentu merupakan gabungan dari pipa lurus, dan pipa setengah lingkaran. Sekarang definisikan sebuah koordinat s yang didefinisikan sebagai jarak yang telah ditempuh sebuah elemen volume fluida relatif ujung awal pipa/sifon. Jadi, perbedaan pipa lurus dan pipa setengah lingkaran adalah bahwa pada pipa setengah
lingkaran, sudut relatif pipa terhadap sumbu horizontal θ(s) merupakan fungsi terhadap s. Dengan demikian, untuk mempermudah kita hanya perlu meninjau diagram gaya untuk pipa lurus.
Gambar 9.1 Diagram gaya untuk sebuah elemen volume fluida pada pipa lurus [1].
Dari Gambar 9.1 dan hukum Newton, disimpulkan bahwa persamaan gerak untuk sebuah elemen fluida dengan massa m dan volume V, yang mengalir pada sebuah pipa dengan luas permukaan A, adalah [1]
m
[
]
d 2s ds 3 + 8πη∆h − ρ f g y f ( s ) − y ( s ) A − mg cos θ ( s ) − π = 0 (9.1) 2 dt 2 dt
Dengan m=ρf A∆h, adalah koefisien gesek fluida, dan adalah densitas fluida. Pada pipa lurus, persamaan di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk
d 2s ds + c1 + c0 s + c = 0 2 dt dt
(9.2)
dengan
c1 = c0 =
8πη∆h 8πη = , m ρf A
ρ f gA sin θ m
=
g sin θ , ∆h
sf 3π ρ f As f sin θ sin θ = g c = − g cosθ − + . 1 − 2 m ∆h
(9.3)
(9.4)
(9.5)
9.3 Metode numerik Metode dinamika molekular digunakan dalam tulisan ini, dengan menerapkan hukum II Newton
dan besaran-besaran gerak lainnya dihitung menggunakan algoritma Euler untuk menghitung percepatan, kecepatan, dan posisi dari elemen fluida :
d ns d n s d n +1 s n = n + n+1 ∆t dt t + ∆t dt t dt t
(9.7)
9.4 Algoritma L1.
Isikan nilai parameter pipa ( , l)
L2.
t = 0; dt=0.001;
L3.
Hitung s (jarak yang ditempuh balok)
L4.
Hitung posisi balok (x,y)
L5.
Hitung a =
L6.
Hitung v = v + a*dt
L7.
Hitung s = s + v*dt
L8.
Hitung y = y + v*dt*sin( )
L9.
Hitung x = l * cos( )
L10.
Evaluasi t = t + dt
L11.
posisi balok > l ? end : go to L3.
9.5 Hasil dan diskusi Parameter-parameter simulasi yang digunakan diberikan dalam Tabel 9.1 berikut. Tabel 9.1 Parameter-parameter simulasi.
Symbol
Nilai
Code
0.001
rho_f
1e-5
eta
1e-4
delta_h
980
g
0.4 – 0.6
diam
7
y_f
Selain itu, ujung pipa sebelah kiri berada dalam keadaan teredam air sedalam dengan keadaan awal kedua ujung pipa tertutup (tak ada air masuk) lalu dibuka bersamaan.
Pipa Lurus – Gerak Harmonik Dari persamaan (9.2), dapat diambil sudut tertentu sehingga persamaan tersebut menjadi persamaan gerak osilasi harmonik. Dengan mengambil sudut θ=π/2→y=s sin(π/2)=s dan y’=y+(c/c0)θ=π/2, persamaan tersebut menjadi :
d 2 y ' 8πη∆h dy ' ρ f gA y ' = 0. + + dt 2 m dt m
(9.8)
yang merupakan persamaan gerak harmonik teredam. Dengan mengambil ρf=1.10-4 dan yf=6agar jelas terlihat redamannya, didapat hasil :
Gambar 9.2 Grafik gerak harmonik teredam.
Pipa ∩-Variasi Diameter Pipa
Gambar 9.3 Definisi L dan U pada sebuah pipa U [1].
Definisikan L dan U sebagai bagian dari pipa yang tercelup dan tidak secara berurutan (lihat gambar 1.2). Misalkan bahwa jari-jari kelengkungan pipa-II adalah 1 cm. Pada
bagian ini, dilakukan variasi terhadap kedua parameter tersebut untuk menentukan kondisi yang menyebabkan terjadinya aliran. Dari gambar 1.3 didapatkan bahwa hasil yang didapakan tidak bergantung pada diameter pipa. Dengan melakukan regresi linear terhadap titik batas kondisi mengalir/tidak, didapat persamaan L=1.5U+2.3 dengan R2=0.9868. Dengan demikian disimpulkan bahwa untuk mengalirkan air pada ujung pipa III, sekitar 60% dari pipa harus dalam keadaan terendam di wadah
Gambar 9.4 Ruang kondisi terjadi aliran (lingkaran)/tidak(segitiga) terhadap berbagai nilai U dan L, untuk berbagai diameter pipa.
Pipa ∩-Variasi L dan R Pada bagian ini dilakukan variasi panjang pipa (L) dan jari-jari pipa lengkung R untuk menentukan ruang konfigurasi yang menyebabkan aliran. Pada eksperimen ini, ketinggian air dalam wadah diambil bernilai 7 cm. Dari Gambar 9.4 didapatkan bahwa, semakin panjang pipa, untuk dapat mengalirkan air ke pipa III (Gambar 9.2) dibutuhkan jari-jari pipa lengkung yang semakin kecil. Dengan melakukan regresi linear, didapat pula hubungan konfigurasi L dan R yang dapat mengalirkan air, yaitu L=-1.5R+11.722 dengan R2=0.972.
Gambar 9.5 Ruang kondisi terjadi aliran (o) / tidak(∆) terhadap berbagai nilai R dan L.
Pipa M-like – Variasi L1 dan L2 Pada bagian ini, akan dilakukan variasi panjang pipa L1 dan L2 pada pipa M-like, dengan mengambil L3 dan L4 konstan (lihat Gambar 9.6).
Gambar 9.6 Desain pipa M-like [3].
Dari Gambar 9.7, dapat disimpulkan apabila L1 > L2, maka air tidak akan mengalir. Hal ini dikarenakan panjang L1 akan mempengaruhi posisi L2, apakah berada didalam wadah atau diluar wadah. Apabila L2 berada didalam wadah, maka air akan mengalir dan memungkinkan untuk mengalir ke pipa selanjutnya. Sebaliknya, apabila L2 berada diluar wadah (di atas air, tidak terendam) maka air tidak akan mengalir, sehingga dapat disimpulkan bahwa air mengalir apabila posisi akhir pipa lebih bawah dari ketinggian air.
Gambar 9.7 Ruang kondisi terjadi aliran (o ) / tidak (∆) terhadap berbagai nilai L1 dan L2.
9.6 Kesimpulan Gerak siphoning fluida dapat terjadi pada saat terjadi perbedaan tekanan pada kedua ujung pipa. Perbedaan tekanan ini terjadi karena adanya tekanan akibat kedalaman air yf pada elemen m dan tekanan atmosfer (tidak dimasukkan ke persamaan karena saling menghilangkan). Parameter ρf,∆h,η,D menentukan kondisi fluida dan elemen m yang bersangkutan di bawah pengaruh percepatan gravitasi g. Program ini bekerja sesuai dengan analisa seperti yang terlihat pada bagian pipa lurus, maka dengan asumsi tersebut, program ini dapat digunakan untuk menentukan kondisi alir/tidak mengalir fluida dengan melakukan variasi pada pipa ∩ dan M-like sehingga didapat hasilnya pada bagian yang bersangkutan.
9.7 Referensi 1.
2.
3.
Viridi, S., Novitrian, Nurhayati, Hidayat, W., Latief, F.D.E., Zen, F.P. "Development of single fluid volume element method for simulation of transient fluid flow in self-siphons." AIP Conference Proceedings. Eds. Zaki Su'ud, and A. Waris. Vol. 1615. No. 1. AIP, 2014. Nurhayati, Hidayat, W., Novitrian, Viridi, S., Zen, F.P. "Simulation of fluid flow in a U-shape self-siphon and its working space." AIP Conference Proceedings. Eds. Mitra Djamal, et al. Vol. 1589. No. 1. AIP, 2014. Viridi, Sparisoma, Siti Nurul Khotimah, dan Fannia Masterika. "Self-Siphon Simulation Using Molecular Dynamics Method." arXiv preprint arXiv:1104.1847 (2011).
9.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 9.2 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
<script src = "draw2d.js"> <script src = "changel.js"> <script src = "compute.js"> <script src = "simulate.js"> <script> var str = "t(s)" + "\t" + "a(cm/s^2)" + "\t" + "v(cm/s)" + "\t" + "s(cm)" + "\n"; var hout = document.getElementById("hout"); hout.innerHTML += str; var ta = document.getElementById("ta"); var ca = document.getElementById("ca"); var clearButton = document.getElementById("clearButton") var parameterButton = document.getElementById("parameterButton"); var drawButton = document.getElementById("drawButton"); var simulateButton = document.getElementById("simulateButton"); var add2operand = document.getElementById("add2operand"); var add3operand = document.getElementById("add3operand"); var removeLastLine = document.getElementById("removeLastLine"); setWorldCoordinates(-6, -6, 30,30); setCanvasCoordinates("ca"); var deg2rad = function(deg){ return (deg/180*Math.PI); } function readSingleFile(evt) { //Retrieve the first (and only!) File from the FileList object var f = evt.target.files[0]; if (f) { var r = new FileReader(); r.onload = function(e) { var contents = e.target.result; document.getElementById("ta").value= } r.readAsText(f); } else {
} drawButton.onclick = drawPipe; clearButton.onclick = function() { clearTextarea("ta"); clearCanvas("ca"); t = 0; dt = 1e-3; v = 0; s = 0; pos = new Position(0,0) y = 0; } simulateButton.onclick = function(){ if(simulateButton.innerHTML == "Simulate") { simulateButton.innerHTML = "Stop"; simulate(ta.value,ca.getContext("2d")); } else { simulateButton.innerHTML = "Simulate"; clearInterval(timer); } } parameterButton.onclick = function(){ ta.value = "eta = " + eta + "\ndiameter pipa =" + diam + "\ndelta h =" + delta_h + "\nrho =" + rho_f + "\ngravitasi =" + g + "\nA =" + A + "\nmassa " + m; }
E. Skrip changel.js /* changel.js Library of functions for changing element property Sparisoma Viridi | [email protected] 20170417 Create this library with following functions: changeButtonCaption() clearTextarea() clearCanvas(id) */ // Change button caption function changeButtonCaption(id, caption) { var b = document.getElementById(id); b.innerHTML = caption; } // Clear textarea content
function clearTextarea(id) { var ta = document.getElementById(id); ta.value = ""; } // Clear canvas function clearCanvas(id) { var ca = document.getElementById(id); var bgc = ca.backgroundColor; var width = ca.width; var height = ca.height; var ct = ca.getContext("2d"); ct.clearRect(0, 0, width, height); }
F. Skrip compute.js //class pipa lurus var PipaLurus = function(theta, l){ this.theta = theta; this.l = l; } //class pipa lengkung var PipaLengkung = function(theta_i, theta_f, r){ this.theta_i = theta_i; this.theta_f = theta_f; this.r = r; } var parse = function(script){ var pipe = new Array(); var lines = new Array(); lines = script.split("\n"); var N = lines.length; for (var n = 0; n < N; n++) { var terms = lines[n].split(" "); switch (terms.length) { case 2: var theta = parseFloat(terms[0]); var l = parseFloat(terms[1]); pipe.push(new PipaLurus(theta,l)) break; case 3: var theta_i = parseFloat(terms[0]); var theta_f = parseFloat(terms[1]); var r = parseFloat(terms[2]); pipe.push(new PipaLengkung(theta_i, theta_f, r))
break; } } return pipe; } var computeS_i = function(pipe){ var S_i = []; var S = 0; for (var i = 0; i < pipe.length; i++) { S_i.push(S); switch (pipe[i].constructor) { case PipaLengkung : S = S + Math.abs(pipe[i].theta_f pipe[i].r; break; case PipaLurus : S = S + pipe[i].l; break; } } S_i.push(S);
-
pipe[i].theta_i)
*
return S_i; } // kelas posisi var Position = function(x,y) { this.x = x; this.y = y; } var computePos_i = function(pipe){ var Pos_i = []; var P = new Position(0,0); for (var i = 0; i < pipe.length; i++) { Pos_i.push(new Position(P.x, P.y)); var dx = 0; var dy = 0; switch (pipe[i].constructor) { case PipaLengkung : var theta_i = pipe[i].theta_i; var theta_f = pipe[i].theta_f; var halfPI = Math.PI/2; dx = pipe[i].r * (Math.cos(theta_f Math.cos(theta_i - halfPI)); dy = pipe[i].r * (Math.sin(theta_f Math.sin(theta_i - halfPI));
if (theta_f < theta_i) { dx = -dx; dy = -dy; } break; case PipaLurus : dx = pipe[i].l * Math.cos(pipe[i].theta); dy = pipe[i].l * Math.sin(pipe[i].theta); break; } P.x += dx; P.y += dy; } return Pos_i; } // pada posisi S, partikel berada di pipa mana var indexPipa = function(S, S_i){ var index = 0; while (S > S_i[index + 1]){ index++; } return index; } var computeXY = function(S, S_i, Pos_i, pipe) { var index = indexPipa(S, S_i); var S_0 = S_i[index]; var Pos_0 = Pos_i[index]; var dx = 0; var dy = 0; switch (pipe[index].constructor) { case PipaLengkung: var r = pipe[index].r; var theta_i = pipe[index].theta_i; var theta_f = pipe[index].theta_f; var Dtheta = (S - S_0)/r; if (theta_f < theta_i) { Dtheta = -Dtheta; } var theta = theta_i + Dtheta; var halfPI = Math.PI/2; dx = r * (Math.cos(theta - halfPI)-Math.cos(theta_i - halfPI)); dy = r * (Math.sin(theta - halfPI)-Math.sin(theta_i - halfPI)); if (theta_f < theta_i) { dx = -dx; dy = -dy;
} break; case PipaLurus: var theta = pipe[index].theta; dx = (S - S_0) * Math.cos(theta) dy = (S - S_0) * Math.sin(theta) break; } return new Position(Pos_0.x + dx, Pos_0.y + dy); }
G. Skrip draw2d.js /* draw2d.js Set drawing environment in 2d using canvas object Sparisoma Viridi | [email protected] 20170117 Create drawing environment for draw demonstration in a lecture, with functions setWorldCoordinates() setCanvasCoordinates() transX() transY() clearCurrentFigure() 20170215 Integrate and adjust previous work to Grains. 20160216 Add text for particle identification with center for horizontal alignment and middle for vertical alignment. 20170228 Change drawing text from id (i) to name (n). 20170502 Erase plotParticle() */ // Define var xwmin var ywmin var xwmax var ywmax
global variables for real world coordinates = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define var xcmin var ycmin var xcmax var ycmax
global variables for canvas coordinate = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define current canvas var currentFigure = ""; var figureBackground = "#fff"; // Set real world coordinates
// Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvasId) { currentFigure = canvasId; var c = document.getElementById(canvasId); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0; } // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax - xcmin); xx += xcmin; return xx; } // Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax - ycmin); yy += ycmin; return yy; } // Clear current figure function clearCurrentFigure() { var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.fillStyle = figureBackground; ctx.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); } //Draw the pipe function drawPipe(){ var ca = document.getElementById("ca"); var ctx = ca.getContext("2d"); ctx.strokeStyle = "#0f0"; ctx.lineWidth = "6"; var xi = 0; var yi = 0; var ta = document.getElementById("ta"); var lines = new Array(); lines = ta.value.split("\n"); var N = lines.length; for (var n = 0; n < N; n++) { var terms = lines[n].split(" "); var T = terms.length; if(T == 2){
theta = parseFloat(terms[0]); L = parseFloat(terms[1]); Ns = 200; ds = L / Ns;
var x = xi; var y = yi; ctx.beginPath(); for (var i = 0; i < Ns; i++) { var dx = ds * Math.cos(theta); var dy = ds * Math.sin(theta); var X = transX(x); var Y = transY(y); if (i == 0){ ctx.moveTo(X,Y); } else { ctx.lineTo(X,Y); } x += dx; y += dy; } ctx.stroke(); xi = x; yi = y; } else if(T == 3){ qi = parseFloat(terms[0]); qf = parseFloat(terms[1]); var R = parseFloat(terms[2]); var Nq = 200; dq = (qf - qi) / Nq; var q = qi; for (var i = 0; i < Nq; i++) { var ds = R * Math.abs(dq); var dx = ds * Math.cos(q); var dy = ds * Math.sin(q); var X = transX(x); var Y = transY(y); if (i == 0){ ctx.moveTo(X,Y); } else { ctx.lineTo(X,Y); } x += dx; y += dy; q += dq; } ctx.stroke(); xi = x; yi = y; } } } //draw parameter on canvas function drawParams(t,a,v,s){
var ca = document.getElementById("ca"); var ctx = ca.getContext("2d"); ctx.fillStyle="#FFF"; ctx.fillRect(0,0,xcmax,16); ctx.fillStyle="#000"; ctx.font = "8px Arial"; ctx.fillText("t = " + t.toFixed(3) + " a = " + a.toFixed(3) + " v = " + v.toFixed(3) + " s = " + s.toFixed(3) , 0, 6); } //draw ketinggian air function drawyf(y_f){ var ca = document.getElementById("ca"); var ctx = ca.getContext("2d"); ctx.strokeStyle="#f00"; ctx.lineWidth = "0.5"; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(0,transY(y_f)); ctx.lineTo(xcmax,transY(y_f)); ctx.stroke(); }
H. Skrip simulate.js var timer; var var var var var var
t = 0; dt = 1e-3; v = 0; s = 0; pos = new Position(0,0) y = 0;
var ctx; var pipes; var s_i; var pos_i; //constants var eta = 1e-7; var diam; var delta_h = 1e-4; var rho_f = 0.001; var g = 980; var A; var m; var y_f; // akan diset pada fungsi simulate var drawParticle = function(){ var width = 3; ctx.fillStyle = "#000";
ctx.fillRect(transX(pos.x)-(width/2),transY(pos.y)(width/2),width,width); } var eraseParticle = function(){ var width = 4; ctx.fillStyle = "#00F"; ctx.fillRect(transX(pos.x)-(width/2),transY(pos.y)(width/2),width,width); } var simulate = function(script, _ctx){ y_f = document.getElementById("y_air").value; diam = document.getElementById("d_pipa").value; A = Math.PI*(diam/2)*(diam/2); m = A*delta_h*rho_f; pipes = parse(script); s_i = computeS_i(pipes); pos_i = computePos_i(pipes); ctx = _ctx; drawParticle(); timer = setInterval(run,100); } var run = function() { eraseParticle(); index = indexPipa(s,s_i); switch (pipes[index].constructor) { case PipaLengkung : var delta; if (pipes[index].theta_f > pipes[index].theta_i) { delta = 1; } else { delta = -1; } theta_s = delta pipes[index].theta_i;
*
(s
-
s_i[index])/pipes[index].r
+
break; case PipaLurus : theta_s = pipes[index].theta; break; } //Integrasi Euler a = -8*Math.PI*eta*delta_h*v/m g*Math.sin(theta_s); v = v + a*dt; s = s + v*dt; y = y + v*dt*Math.sin(theta_s);
Simulasi gerak sistem pendulum ganda dengan gravitasi yang berubah terhadap waktu
Ahmad Sibaq Ukhrowi Ulwi | [email protected] Ginanjar Syahfia | [email protected] Rio Harapan Pangarihutan | [email protected] Sistem pendulum ganda merupakan system variasi dari sebuah system pendulum dengan ditambahkan beberapa beban tambahan yang terhubung dengan beban pertama. Gerak yang dihasilkan oleh system multi pendulum akan menghasilkan bentuk gerak “chaos”. Gerak chaos ini akan disimulasikan secara numerik dengan memvariasikan nilai massa dan sudut awal masing-masing beban. Hasilnya akan dianalisis dengan plot terhadap waktu. Sehingga dapat diamati kecenderungan chaos nya dari system pendulum ganda.
10.1 Pendahuluan Sistem pendulum ganda adalah variasi dari system multi pendulum yang paling sederhana dengan hanya menggunakan 2 buah beban, system pendulum ganda dengan jumlah yang sangat banyak dapat memodelkan bentuk gerak kompleks dari rantai. System pendulum ganda merupakan system dinamik yang menuknjukkan gerak chaos. Pada system pendulum ganda, apabila diberi energy rendah, menunjukkan gerak periodic. Sementara pada energy menengah, system menunjukkan gerak yang seolah-olah periodic. Dan pada energy yang tinggi, system menghasilkan gerak chaos. Gerak chaos adalah fenomena fisis dimana system dinamik menghasilkan gerakan yang acak dan hasilnya bergantung pada kondisi awal(Baker and Gollub, 1990).
Gambar 10.1. Trajectory gerak chaos pendulum ganda dengan memberikan LED pada beban.
249
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
10.2 Dasar Teori Dalam fisika dan matematika, di area system dinamik, sebuah pendulum ganda adalah sebuah pendulum dengan sebuah pendulum lain yang terhubung pada ujungnya. Pendulum ganda merupakan system fisis sederhana yang menunjukkan gerak dinamik yang sangat bervariasi dengan keterkaitan yang kuat pada kondisi awal.1 gerak dari pendulum ganda dijelaskan dengan serangkaian persamaan diferensial biasa juga gerak chaos.
Gambar 10.2. Sistem pendulum ganda.
Gambar 10.2 merupakan skema pendulum ganda, dengan dan adalah massa, panjang tali, dan perubahan sudut dari pendulum atas dan bawah berturutan. Dengan meninjau titik porosnya sebagai titik pusat koordiant dengan sumbu x dan sumbu y, pendulum ganda akan berada pada kuadran keempat dari system koordinat. Posisi pendulum atas dan bawah memenuhi
…..(10.1)
……(10.2) Energy kinetic dari pendulum ganda adalah sebagai berikut: (10.3) Dan energy potensial sebesar (10.4) Lagrangian dari dua pendulum sederhana yang saling terkoneksi dijelaskan pada persamaan dibawah ini
250
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
(10.5) Dengan menurunkan dan memodifikasi kembali persamaan-persamaan diatas, diperoleh sebagai berikut
(10.6)
(10.7) Dengan beberapa langkah penururan, kemudian dengan P adalah momentum dari pendulum ganda dijelaskan dengan dengan (10.8) (10.10) Dan Hamiltonian dari pendulum ganda dijelaskan dengan (
)
(10.11)
10.3 Metode Numerik Hasil perumusan dinamika diatas akan sangat sulit untuk diselesaikan dengan cara analitik sehingga akan diselesaikan dengan metode euler-kromer. Persamaan berikut ini akan diselesaikan dengan metode numeric. (10.12) (10.13) (10.4) (10.15) Dimana adalah kecepatan sudut, dan adalah percepatan sudut, dan dan adalah posisi ke berapa dari salah satu pendulum. dan . Kemudian kecepatan dan percepatan sudut digunakan untuk metode numerik EulerCramer. Sebelum metoda numeric digunakan, terlebih dahulu dilakukan konversi dari koordinat kartesian ke koordinat bola, kemudian setelah hasil diperoleh diubah kembali menjadi koordinat kartesian untuk mengetahui posisi x dan y setiap pendulum.
251
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
10.4 Algoritma Simulasi system n-pendulum, dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut untuk memperoleh; L1.
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
10.5 Hasil simulasi dan diskusi Berikut adalah parameter fisis yang digunakan pada program simulasi kali ini tercantum pada Tabel 10.1. Tabel 10.1 Parameter simulasi
Symbol
Nilai
Code
100, 100
l1, l2
1-50
m1, m2 Phi1, Phi2
g0
9.8
g
dt
0.05
time
400, 100
X0, Y0
(koordinat kanvas)
Sebelum simulasi dijalankan, tampilan HTML program tersebut akan nampak seperti dibawah ini.
Gambar 10.3. Tampilan awal simulasi.
Pada tampilan simulasi diatas, bagian kiri merupakan bagian dimana parameter massa, dan sudut masing-masing pendulum dapat diatur sebelum simulasi dimulai. Bagian tengah adalah kanvas dimana simulasi akan berjalan, dan bagian kanan akan menampilkan data hasil pengolahan secara numerik sehingga dapat diolah untuk dianalisis kemudian.
253
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Gambar 10.4. Tampilan setelah simulasi dimulai.
Gambar di atas adalah ketika simulasi dijalankan, massa pendulum direpresentasikan ukurannya yang berubah-ubah. Pada bagian kanan terlihat rangkaian data dari hasil simulasi ini. Untuk percobaan simulasi ini digunakan variasi pasangan massa pendulum 1 dan 2, serta variasi sudut kedua pendulum. Hasil dari simulasi ini dapat dilihat pada grafikgrafik dibawah ini.
Gambar 10.5(a). Grafik time series dengan
254
,
,
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Gambar 10.5(b). Grafik time series dengan
,
Gambar 10.5(c). Grafik time series dengan
,
255
,
,
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Gambar 10.5(d). Grafik time series dengan
,
,
Dari grafik diatas, pada gambar a, data simulasi menunjukkan gerakan bandul bagian atas memiliki gerakan yang sedikit acak namun apabila dilihat pada rentang waktu tertentu geraknya berulang sementara bandul bagian bawah tetap menunjukkan gerakan periodik. Variasi sudut ke 2 dan ke 4 pun nampak mempertahankan gerak periodiknya. Pada grafik variasi sudut ke 3 terlihat bentuk gerakan yang sangat acak pada bandul bagian bawah, sedangkan bandul atas masih memunculkan gerak yang periodik.( series 1 adalah bandul atas, dan series 2 adalah bandul bawah).
Gambar 10.6(a). Grafik time series dengan
256
,
,
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Gambar 106(b). Grafik time series dengan
,
,
Gambar 10.6(c). Grafik time series dengan
,
,
257
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Gambar 10.6(d). Grafik time series dengan
,
,
.
Pada grafik untuk variasi massa secara umum hamper semua tidak jauh berbeda, bandul atas menunjukkan gerakan yang quasi-periodik, dengan bentuk yang berbeda. Sementara pada bandul kedua masih mmenunjukkan pola gerakan periodic.(series 1 adalah bandul pertama dan series 3 adalah bandul kedua) Secara umum dari hasil simulasi gerakan bandul dengan gravitasi berubah seiring waktu menunjukkan gerak yang cukup serupa. Dengan salah satu bandul menunjukkan gerak quasi periodic dan bandul lainnya menunjukkan gerak yang periodic. Hasil variasi sudut baru menunjukkan gerakan yang terlihat chaos pada variasi perbedaan sudut yang ekstrem( dan ). Sementara variasi massa, gerakan chaos masih belum terlihat. gravitasi yang terus bertambah pun mempengaruhi gerakan yang seharusnya menunjukkan pola yang acak, menyebabkan pola gerakan tetap pada pola periodiknya. Untuk menganalisa gerak pendulum pada simulasi ini lebih jauhnya perlu ditinjau pula variasi lainnya, seperti panjang tali antar bandul, maupun variasi kombinasi. Selain itu, lama waktu tinjau juga mempengaruhi, pada t=120 disini sudah mulai terlihat polanya, namun apabila diperpanjang kembali akan lebih menunjukkan karakteristik gerakan dari kedua bandul.
10.6 Kesimpulan Simulasi gerak pendulum ganda dengan gravitasi yang berubah seiring waktu dilakukan dengan mengatur energy potensial awal dari pendulum(massa dan sudut) tanpa diberikan gaya awal. Gerak pendulum ganda dimodelkan dengan menghitung percepatan sudut, kecepatan sudut dan posisi sudut masing-masing bandul menggunakan metode euler-kromer. Hasil yang diperoleh gravitasi yang berubah cenderung mempertahankan pola gerakan yang periodic.
258
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
10.7 Referensi 1. 2. 3.
Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038 G. Mukul, B. Kamal, S. Arun. Mass and Length Dependent Chaotic Behavior of a Double Pendulum. IFAC. India. 2014. URL http://googolblog.blogspot.co.id/2015/05/n-tuple-pendulum-matlab-codedouble.html , diakses pada 19 mei 2017.
10.8 Lampiran a. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 10.2 Program dan skrip beserta keluarannya Program / Skrip
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
// Create right division var rdiv = document.createElement("div"); document.body.appendChild(rdiv); rdiv.style.border = "1px black solid"; rdiv.style.height = "402px"; rdiv.style.float = "right"; // Create text area for data var ta = document.createElement("textarea"); rdiv.appendChild(ta); ta.style.color = "black"; ta.style.background = "white"; ta.rows = "20"; ta.cols = "32"; ta.style.overflowY = "scroll"; ta.style.display = "block"; ta.id = "hout"; // Define global variables for real world coordinates var xwmin = -4; var ywmin = -7; var xwmax = 4; var ywmax = 1; // Define global variables for canvas coordinate var xcmin = 0; var ycmin = 0; var xcmax = myCanvas.width; var ycmax = myCanvas.height; //Transform function from canvas coordinate to Cartesian coordinate // Transform x function transX(x) { var xx = x * ((xwmax - xwmin) / (xcmax - xcmin)); xx += xwmin; var X = parseFloat(xx); return X; } // Transform y function transY(y) { var yy = -y * ((ywmax - ywmin) / (ycmax - ycmin));
262
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
yy += ywmax; var Y = parseFloat(yy); return Y; } //Physics Constants var d2Phi1 = 0; var d2Phi2 = 0; var dPhi1 = 0; var dPhi2 = 0; var Phi1 = 0*(Math.PI)/2; var Phi2 = 2.3*(Math.PI)/2; var m1 = 10; var m2 = 10; var l1 = 100; var l2 = 100; var X0 = 400; var Y0 = 100; var g = 9.8; var time = 0.05; var t = 0; var b1 = document.getElementById("subm"); b1.onclick = function() { m1 = $('#mass1').val(); m2 = $('#mass2').val(); Phi1 = $('#Phi1').val()/180*(Math.PI); Phi2 = $('#Phi2').val()/180*(Math.PI); d2Phi1 = 0; d2Phi2 = 0; dPhi1 = 0; dPhi2 = 0; run(); b2.style.visibility = "visible"; if(b1.value == "Simulasi") { b1.value = "Atur Ulang"; timer1 = setInterval(run, 5); g = 9.8; } else { b2.style.visibility = "hidden"; b1.value = "Simulasi"; b2.value = "Tunda";
263
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
var str = ""; //Calling this function run(){ var myLine1 = {x0: X0, y0: Y0, x: 0, y: 0}; var myLine2 = {x0: 0, y0: 0, x: 0, y: 0}; var myCircle1 = {x: X0+l1*Math.sin(Phi1), y: Y0+l1*Math.cos(Phi1), mass: m1}; var myCircle2 = {x: X0+l1*Math.sin(Phi1)+l2*Math.sin(Phi2), y: Y0+l1*Math.cos(Phi1)+l2*Math.cos(Phi2), mass: m2}; clearInterval(init); context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); //show the coordinates on the text area var XX1 = transX(myCircle1.x); var YY1 = transY(myCircle1.y); var XX2 = transX(myCircle2.x); var YY2 = transY(myCircle2.y); //show the coordinates on the text area str += time*i + "\t" + XX1 + "\t" + YY1 + "\t" + XX2 + "\t" + YY2 + "\n"; var hout = document.getElementById("hout"); hout.innerHTML = str; animate(myCircle1, myCircle2, myLine1, myLine2, canvas, context) }
d. Index.html RBL Pendulum N diubah <meta charset='ISO-8859-1'> <script type='text/javascript' src='js/resize.js'> <script src='http://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.6/jquery.min.js' type='text/javascript'>
266
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
<script type='text/javascript' src='js/pendulum.js'> <script type="text/javascript"> function show_mass1() { console.clear();
267
Komputasi Fisika 3: 10 Simulasi gerak sistem pendulum ganda ..
var sl_mass1 = document.getElementById("mass1"); console.log("Mass1 = ",sl_mass1.value); } function show_mass2() { console.clear(); var sl_mass2 = document.getElementById("mass2"); console.log("Mass2 = ",sl_mass2.value); } function show_Phi1() { console.clear(); var sl_Phi1 = document.getElementById("Phi1"); console.log("Phi1 = ",sl_Phi1.value); } function show_Phi2() { console.clear(); var sl_Phi2 = document.getElementById("Phi2"); console.log("Phi2 = ",sl_Phi2.value); }
268
11
Pergerakan flagella dengan gaya pegas
Aufa Nu’man Fadhilah Rudiawan | [email protected] Florentin Anggraini Purnama | [email protected] Muhammad Fauzan Girindra | [email protected] Jamaludin Muchtar | [email protected] Mensimulasikan pergerakan flagella dengan menggunakan model grains yang dihubungkan dengan sebuah pegas sebagai ekor flagella. Variasi parameter dilakukan untuk kecepatan U, densitas fluida ρ, konstanta gaya drag (KDRAG), konstanta gaya lift (KL), konstanta pegas (KS), dan frekuensi dari kecepatan. Pergerakan flagella dipengaruhi oleh variabel kecepatan U dan rasio antara konstanta gaya drag (KDRAG), konstanta gaya lift (KL),
11.1 Pendahuluan Mempelajari pergerakan ikan membuat peneliti dapat mendesain kendaraan dan robot yang dapat menavigasi lingkungan perairan dengan lihai. Untuk mempelajari hal tersebut diperlukan analisis interaksi struktur fluida ikan dan lingkungannya. Selama beberapa juta tahun, fenomena evolusi membuat ikan dapat bergerak dengan cepat dan mudah melewati lingkungan perairan yang mereka sebut ‘rumah’. Lingkungan seperti itu, memberikan tantangan bagi kendaraan dan robot buatan manusia, sebagaimana perairan yang kelam kabut dan kurang cahaya menyulitkan mereka dalam navigasi. Untuk mengatasi masalah ini, seringkali ikan digunakan sebagai sumber inspirasi bagi perkembangan desain robot air.[1] Akan tetapi, dalam artikel ini, kelompok kami menggunakan pergerakan flagella untuk dipelajari, dengan menggunakan beberapa parameter acuan seperti frekuensi dan amplitudo.
11.2 Teori Seperti dilansir pada referensi untuk kasus pergerakan thunniform[2], kami menggunakan penjelasan yang serupa untuk menjelaskan mekanisme pergerakan dari flagella. Ekor dari flagella dapat kita gambarkan sebagai butiran-butiran (granular) yang berosilasi. Dari sisi samping, ekor tersebut berosilasi ke atas dan ke bawah. Diagram bebas dari sisi pandang ini ditunjukkan dalam Gambar 11.1. Skema pada gambar kiri mengilustrasikan ketika butiran bergerak ke bawah dengan gaya W dan secara keseluruhan (flagella) bergerak ke depan dengan kecepatan V0. Kemudian laju yang tampak merupakan penjumlahan dari kedua vektor V0 dan W. Laju U dihasilkan dari gaya ‘angkat’ yang tegak lurus terhadap U.
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
Untuk menambah daya dorong, dapat dilakukan dengan memperbesar W, yang bertujuan untuk memperbesar U dan α. Untuk butiran flagella yang berosilasi, W dapat diperbesar dengan cara menambah frekuensi osilasi f atau amplitudo osilasi H. Sebagai contoh, untuk nilai frekuensi tetap, ketika nilai H bertambah maka nilai W juga bertambah karena butiran harus bergerak lebih banyak dalam waktu yang sama. Demikian pula, ketika memperbesar f dalam H tetap, maka nilai W akan bertambah karena butiran tersebut kekurangan waktu untuk menjangkau jarak yang sama. Maka, menambah frekuensi dan/atau amplitude dapat menambah daya dorong.
Gambar 11.1. Diagram bebas ketika butiran berosilasi ke bawah (kiri) dan ke atas (kanan).
Efisensi daya dorong diperoleh dengan menggunakan rumusan berikut, dengan ratarata berkisar 0.3.
(11.1) Pertama-tama, 50 grain (termasuk kepala flagellum) digambar. Metode dinamika grain yang digunakan dalam makalah ini menerapkan 3 hukum gaya, yaitu gaya lift, (11.2) gaya drag, (11.3) dan gaya pegas (11.4) dengan adalah kecepatan grain relatif terhadap aliran fluida, adalah luas penampang melintang dari grain, adalah densitas fluida, adalah konstanta gaya
270
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
lift, adalah konstanta gaya drag, adalah konstanta gaya pegas, dan adalah jarak antara suatu grain dan grain yang terletak di depannya. Karena gerakan flagellum sangat kompleks dan sangat bervariasi, maka digunakan pergerakan ikan untuk mendekati pergerakan flagellum, meskipun pada perhitungannya tidak begitu persis. Pusat pergerakkan seluruh flagellum bergantung pada grain ke-2 dari kepala yang ditandai dengan warna merah. Untuk sudut pergerakan flagellum, digunakan bervariasi secara smooth terhadap waktu.
agar gerakannya melingkar
11.3 Metode numerik Untuk menggambarkan posisi setiap grain pada setiap waktu, digunakan metode algoritma Euler yang menjumlahkan semua gaya
v i (t + ∆t ) = vi (t ) + a i (t )∆t
(11.5)
x i (t + ∆t ) = x i (t ) + vi (t )∆t
(11.6)
11.4 Algoritma Simulasi pergerakan flagella dengan model butiran-butiran yang berosilasi dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut ini: L1. U, freq, kS, kDrag, ρ, kL ? L2.
11.5 Hasil dan diskusi Gerak umum dari flagellum diberikan dalam Gambar 11.2 untuk empat waktu yang berbeda. Terlihat bahwa gaya-gaya yang digunakan membuat flagellum bergerak ke arah kanan atas bidang gambar. Parameter yang digunakan adalah U
100
FREQ
30.0
KS
5E4
KDRAG
0.499
RHO
50
KL
0.50
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 11.2. Pergerakan flagellum untuk t: (a) 2.40 s, (b) 2.65 s, (c) 3.66 s, (d) 4.56 s.
Variasi kecepatan sesuai dengan fisis, yaitu ketika U dinolkan, flagellum tidak berpindah tempat. Ketika dibesarkan, flagellum bergerak ke arah kanan atas dengan cepat dan ketika dikecilkan, flagellum bergerak ke arah kanan atas dengan kecepatan yang lebih lambat. Flagellum terus bergerak ke arah kanan atas karena komponen y dari gerak flagellum yang lebih besar dari komponen x dari gerak flagellum. Ketika densitas fluida (ૉ) dikecilkan, gerak flagellum semakin lambat, sesuatu yang bertentangan dengan fakta fisis. Seharusnya ketika densitas fluida semakin kecil, semakin sulit flagellum bergerak dalam fluida. Hal ini mungkin karena semakin kecil fluida, semakin kecil contact force yang didapatkan dari fluida untuk gaya lift flagellum sehingga gerakannya pun juga menjadi semakin lambat.
272
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
Ketika konstanta gaya drag (KDRAG) dan konstanta gaya lift (KL) disamakan, flagellum tidak bergerak. Hal ini sesuai dengan kenyataan fisisnya, yang artinya flagellum sedang berada dalam keadaan cruise. Ketika KL lebih besar dari KDRAG, flagellum dapat bergerak ke arah kanan atas. Hal ini juga sesuai dengan kenyataan fisisnya. Ketika KDRAG lebih besar dari KL, flagellum malah bergerak ke arah kiri bawah. Hal ini karena belum dilakukan pengaturan bahwa gaya drag tidak bisa lebih besar dari gaya lift. Ketika konstata gaya pegas (KS) diperbesar, struktur flagellum hancur dan kode pun menjadi error. Ketika KS diperkecil, grain dari flagellum menjadi tercecer dan gerakannya menjadi tidak sinkron. Hal ini karena ketika KS kecil, artinya sedikit saja gaya akan menghasilkan perubahan posisi yang besar terhadap grain. Ketika frekuensi dinaikkan, gerak flagellum semakin lama menjadi ke arah horizontal. Ketika frekuensi diturunkan, gerak flagellum malah melayang ke atas. Hal ini mungkin karena kesalahan metode numerik.
11.6 Kesimpulan Hasil simulasi gerak flagellum belum cukup mendekati keadaan sebenarnya, karena masih terdapat kekurangan dari metode numerik.
11.7 Referensi 1. 2.
3. 4.
“Undulatory Swimming”, Southern Methodist University Lyle School of Engineering, URL lyle.smu.edu/propulsion/Pages/undulatory.htm [20170521]. Fairclough, Caty, “Studying the Swimming Patterns of Fish with Simulation”, Blogs, January, 4th 2016, URL https://www.comsol.com/blogs/studying-theswimming-patterns-of-fish-with-simulation/ [20170521]. https://www.grc.nasa.gov/www/K-12/airplane/ldrat.html [20170522] https://www.grc.nasa.gov/www/K-12/airplane/drag1.html [20170522]
11.8 Lampiran A. Keterangan penggunaan program dan skrip Tabel 11.1 Program dan skrip serta hasil keluarannya.
Program / Skrip
Piranti lunak
Keluaran
Lampiran
index4a.html
HTML
vf
B
draw2da.js
Javascript
Gambar 11.2
C
forcea.js
Javascript
Gambar 11.3
D
graina.js
Javascript
Gambar 11.4
E
273
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
layouta.js
Javascript
Gambar 11.5
F
mydyanmicsa.js
Javascript
Gambar 11.6
G
vect3a.js
Javascript
H
B. Skrip program index4a.html <meta charset="ISO-8859-1"> vect3 <script src="Grains4/vect3a.js"> <script src="Grains4/graina.js"> <script src="Grains4/forcea.js"> <script src="Grains4/mdynamicsa.js"> <script src="Grains4/draw2da.js"> <script src="Grains4/layouta.js"> <script> var var var var var var
timer1; N = 50; grains = new Array(N); kL; //lift constant magU; //flow speed theta; //angle
layout(); initiate(); Mdynamics.setdt(1E-3); //set timestep //initiate all positions and parameters of the head and grains function initiate() { m1 = 0.1; //mass of all grains c1 = "#000"; //border color of all grains D = 0.2; //diameter of the tails x0 = -13.3; //initial position var i = 0; for(var ix = 0; ix <= N; ix++) {
274
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
if
(ix==N){
//this
is
for
head grains[i]
=
new
Grain; grains[i].i = i; x = x0 + ix*D + 0.12; //head position grains[i].r
=
new
Vect3(x, -7, 0); grains[i].r0 = new Vect3(x, -7, 0); //initial head position grains[i].m = m1; grains[i].c = c1; grains[i].D = D + 0.4; //diameter of head }else{ //this is for tail grains grains[i] = new Grain; grains[i].i = i; x = x0 + ix*D; //tail grain position grains[i].r = new Vect3(x, -7, 0); grains[i].r0 = new Vect3(x, -7, 0); //initial tail grain position grains[i].m = m1; grains[i].c = c1; grains[i].D = D; } i++; } //plot everything initially for(var iN = 0; iN <= N; iN++) { plotParticle(grains[iN]); } } iter = 0; function run() { grains[N-2].c = "#f50";//make the locomotor grain red
275
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
getParams();//get parameters like freq, ampl and so on /*let's input U and angle if(iter%2 == 0) { theta = -Math.PI/3; //tail goes down }else if(iter%2 != 0) { theta = Math.PI/3;
//tail
goes up }*/ Ux = magU*Math.cos(2*Math.PI*freq*t); //horizontal of U Uy = magU*Math.sin(2*Math.PI*freq*t); //vertical of U vecU = new Vect3(Ux,Uy,0); //vector components of flow speed //pake grain N-2 sbg krn nanti kepalanya putus dr tail grains[N-2].v = vecU; //
Prepare
variable
locomotor
for
saving
sum of forces SF = new Array(N); for(var iN = 0; iN <= N; iN++) { SF[iN] = new Vect3; } //calculate lift force for(var iN = 0; iN <= N; iN++) { var f
=
Force.lift(grains[iN]); SF[iN]
=
Vect3.add(SF[iN],
f); } // Calculate drag force for(var iN = 0; iN <= N; iN++) { var f = Force.drag(grains[iN]);
276
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
SF[iN]
=
Vect3.add(SF[iN],
f); } // Calculate spring force for(var iN = N; iN >= 0; iN--) { var f = new Vect3; if (iN==(N)){ f = Force.spring(grains[iN], grains[iN-1]); }else if (iN==0){ f = Force.spring(grains[iN], grains[iN+1]); }else{ f = Vect3.add(Force.spring(grains[iN], grains[iN+1]),Force.spring(grains[iN], grains[iN-1])); } SF[iN] = Vect3.add(SF[iN], f); } var hout = document.getElementById("hout"); hout.innerHTML = grains[N1].r.y; //show the position var str = "\nt = " + t + " s"; //put current time in textarea hout.innerHTML += str; clearCurrentFigure(); for(var iN = 0; iN <= N; iN++) { //this one is simply to draw the grains and head plotParticle(grains[iN]); } //make it come again from left, infinite loop if(grains[N-1].r.x >= 8) { initiate(); } for(var iN = 0; iN <= N; iN++) {
277
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
Mdynamics.Euler(SF[iN], grains[iN]); } Mdynamics.inct(); //increase time void iter++; }
C. Skrip program draw2da.js // Define global variables for real world coordinates var xwmin = 0; var ywmin = 0; var xwmax = 0; var ywmax = 0; // Define var xcmin var ycmin var xcmax var ycmax
global variables for canvas coordinate = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define current canvas var currentFigure = ""; var figureBackground = "#fff"; // Set real world coordinates function setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax) { xwmin = xmin; ywmin = ymin; xwmax = xmax; ywmax = ymax; } // Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvasId) { currentFigure = canvasId; var c = document.getElementById(canvasId); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0;
278
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
} // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax xcmin); xx += xcmin; var X = parseInt(xx); return X; } // Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax ycmin); yy += ycmin; var Y = parseInt(yy); return Y; } // transform angle // always put true in plots because real angles are drawn anticlockwise var rangle; var vangle; function transAngle(rangle) { if(rangle == 0) { vangle = 0; }else if(rangle == 1 || rangle == -1) { vangle = 1; }else if(rangle == 2 || rangle == -2) { vangle = 2; } else if(rangle > 0 && rangle < 1) // lower half positive { vangle = 2-rangle; }else if(rangle > 1 && rangle < 2) // upper half positive { vangle = 2-rangle;
279
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
}else if(rangle < 0 && rangle > -1) // lower half negative { vangle = -rangle; }else if(rangle < -1 && rangle > -2) // upper half negative { vangle = -rangle; } return vangle; } // Clear current figure function clearCurrentFigure() { var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.fillStyle = figureBackground; ctx.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); } // Plot particle function plotParticle(p) { var x = p.r.x; var y = p.r.y; var D = p.D; var xx = transX(x); var yy = transY(y); var DD = transX(D) - transX(0); var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.strokeStyle = p.c; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.beginPath(); ctx.arc(xx, yy, 0.5 * DD, 0, 2 * Math.PI); ctx.stroke(); /* ctx.font = "10px Times New Roman" ctx.fillStyle = "black"; ctx.textAlign = "center"; ctx.textBaseline="middle"; ctx.fillText(p.i, xx, yy); */
280
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
}
D. Skrip program forcea.js // Class of Force function Force() { } //spring force is physically correct already // Define Spring force Force.spring = function(p1, p2) { var m1 = p1.m; var m2 = p2.m; var r1 = p1.r; var r2 = p2.r; var r10 = p1.r0; var r20 = p2.r0; var r = Vect3.sub(Vect3.sub(r1, r10),Vect3.sub(r2, r20)); var u = Vect3.uni(r); var f = Vect3.mul(-kS,r); return f; } //should be parallel to locomotor movement... assumption totally wrong //define drag force Force.drag = function(p) { var v = p.v; var D = p.D; var A = Math.PI*(D*0.5)*(D*0.5); v2 = new Vect3 (-v.x*v.x,v.y*v.y,0); var f = new Vect3(-0.5*kD*rho*A*Uy*Uy, 0.5*kD*rho*A*Ux*Ux, 0); return f; }
1D
-
//define lift force Force.lift = function(p) { var v = p.v; var D = p.D; var A = Math.PI*(D*0.5)*(D*0.5); var f = new Vect3(0.5*kL*rho*A*Uy*Uy, 0.5*kL*rho*A*Ux*Ux, 0);
281
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
return f; }
E. Skrip program graina.js // Class of Grain function Grain() { if(arguments.length == 6) { this.i = arguments[0]; this.m = arguments[1]; this.D = arguments[2]; this.q = arguments[3]; this.c = arguments[4]; this.r = arguments[5]; this.v = arguments[6]; } else if(arguments.length == 1) { this.i = arguments[0].i; this.m = arguments[0].m; this.D = arguments[0].D; this.q = arguments[0].q; this.c = arguments[0].c; this.r = arguments[0].r; this.v = arguments[0].v; //still don't get this, probably the input is an array or //function or class? } else { this.i = 0; this.m = 1.0; this.D = 1.0; this.q = 1.0; this.c = "#000"; this.r = new Vect3; this.r0 = new Vect3; this.v = new Vect3; } this.strval = function() { //this is to return the components var str = "(" str += this.i + ", "; str += this.m + ", "; str += this.D + ", "; str += this.q + ", "; str += this.c + ", "; str += this.r.strval() + ", "; str += this.v.strval() + ")";
282
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
return str; } }
F. Skrip program layouta.js function layout() { // Create left division var ldiv = document.createElement("div"); document.body.appendChild(ldiv); ldiv.style.border = "0px black solid"; ldiv.style.height = "402px"; ldiv.style.float = "left"; ldiv.style.width = "252px"; // Create right division var rdiv = document.createElement("div"); document.body.appendChild(rdiv); rdiv.style.border = "0px black solid"; rdiv.style.height = "402px"; rdiv.style.float = "left"; // Create text area for showing time var ta1 = document.createElement("textarea"); ldiv.appendChild(ta1); ta1.style.color = "black"; ta1.style.background = "white"; ta1.rows = "2"; ta1.cols = "32"; ta1.style.overflowY = "scroll"; ta1.style.display = "block"; ta1.id = "hout"; //text area for input var ta2 = document.createElement("textarea"); ldiv.appendChild(ta2); ta2.id = "ta2"; ta2.style.color = "black"; ta2.style.background = "white"; ta2.rows = "9"; ta2.cols = "32"; ta2.style.overflowY = "scroll"; ta2.style.display = "block"; ta2.value = defaultParams(); // Create canvas for drawing var c = document.createElement("canvas"); rdiv.appendChild(c); c.id = "canvas"; c.style.border = "1px solid #999"; c.style.background = "white";
var lines = ta.value.split("\n"); //idk what these're for var Nlines = lines.length; /*if (lines[Nlines - 1].length == 0) { Nlines--; }*/ //you can change the parameters with these in textarea for(var l = 0; l < Nlines; l++) { var cols = lines[l].split(" "); //var Ncols = cols.length; //still don't get what above is for if(cols[0] == "U\t") { magU = parseFloat(cols[1]); } if(cols[0] == "FREQ\t") { freq = parseFloat(cols[1]); //convert string to float } if(cols[0] == "AMPL\t") { Amp = parseFloat(cols[1]); } if(cols[0] == "KS\t") { kS = parseFloat(cols[1]); } if(cols[0] == "KDRAG\t") { kD = parseFloat(cols[1]); } if(cols[0] == "RHO\t") { rho = parseFloat(cols[1]); } if(cols[0] == "KL\t") { kL = parseFloat(cols[1]); } } }
G. Skrip program mdynamicsa.js // Define some global constants dt = 0.01; t = 0; // Class of Mdynamics function Mdynamics() { //this function can hold many things, depends on how many //arguments it can have, it's just a different way compared
285
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
//to grain.js } // Set time step and reset time Mdynamics.setdt = function(dtt) { dt = dtt; t = 0; } // Perform Euler integration Mdynamics.Euler = function(SF, p) { var m = p.m; var r = p.r; var v = p.v; var a = Vect3.div(SF, m); //get acceleration v = Vect3.add(v, Vect3.mul(a, dt));//add it with current speed r = Vect3.add(r, Vect3.mul(v, dt)); p.r = r;//make it current grain position p.v = v;//make it current grain velocity } // Increase time Mdynamics.inct = function() { t += dt; }
var str = "("; str += this.x + ", "; str += this.y + ", "; str += this.z + ")"; //document.write(str); return str; } } // Define addition of Vect3 Vect3.add = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.x + r2.x; r.y = r1.y + r2.y; r.z = r1.z + r2.z; return r; } // Define substraction of Vect3 Vect3.sub = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.x - r2.x; r.y = r1.y - r2.y; r.z = r1.z - r2.z; return r; } // Define dot product of Vect3 Vect3.dot = function(r1, r2) { var l = r1.x * r2.x; l += r1.y * r2.y; l += r1.z * r2.z; return l; } // Define cross product of Vect3 Vect3.crs = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.y * r2.z - r1.z * r2.y; r.y = r1.z * r2.x - r1.x * r2.z; r.z = r1.x * r2.y - r1.y * r2.x; return r; } // Define multiplication with scalar Vect3.mul = function(a, b) { var r = new Vect3; if(a instanceof Vect3) { r.x = a.x * b; r.y = a.y * b; r.z = a.z * b;
287
Komputasi Fisika 3: 11 Pergerakan flagella ..
} else if(b instanceof Vect3) { r.x = a * b.x; r.y = a * b.y; r.z = a * b.z; } return r; } // Define division with scalar Vect3.div = function(a, b) { var r = new Vect3; r.x = a.x / b; r.y = a.y / b; r.z = a.z / b; return r; } // Define length of Vect3 Vect3.len = function(r) { var l2 = Vect3.dot(r, r); var l = Math.sqrt(l2); return l; } // Define unit vector Vect3.uni = function(a) { var l = Vect3.len(a); var r = Vect3.div(a, l); return r; } // Define negative of a vector Vect3.neg = function(a) { var r = Vect3; r.x = -a.x; r.y = -a.y; r.z = -a.z; return r; }
288
Lampiran A: Berkas JavaScript A.1 vect3.js /* vect3.js Library of Vect3 class in JavaScript Sparisoma Viridi | [email protected] 20170214 Create this library with following functions defined for Vect3 class add() add two Vect3, sub() subtract two Vect3, dot() dot product of two Vect3, crs() cross product of two Vect3, mul() multiplication of Vect3 with scalar, div() division of Vect3 with scalar, len() length of a Vect3, uni() unit vector of a Vect3, neg() negative of a Vect3. All are tested and works. */ // Class of Vect3 function Vect3() { // Define some constructor types if(arguments.length == 3) { this.x = arguments[0]; this.y = arguments[1]; this.z = arguments[2]; } else if(arguments.length == 1){ this.x = arguments[0].x; this.y = arguments[0].y; this.z = arguments[0].z; } else { this.x = 0; this.y = 0; this.z = 0; } this.strval = function() { var str = "("; str += this.x + ", "; str += this.y + ", "; str += this.z + ")"; return str; } } // Define addition of Vect3 Vect3.add = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.x + r2.x; r.y = r1.y + r2.y;
289
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
r.z = r1.z + r2.z; return r; } // Define substraction of Vect3 Vect3.sub = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.x - r2.x; r.y = r1.y - r2.y; r.z = r1.z - r2.z; return r; } // Define dot product of Vect3 Vect3.dot = function(r1, r2) { var l = r1.x * r2.x; l += r1.y * r2.y; l += r1.z * r2.z; return l; } // Define cross product of Vect3 Vect3.crs = function(r1, r2) { var r = new Vect3; r.x = r1.y * r2.z - r1.z * r2.y; r.y = r1.z * r2.x - r1.x * r2.z; r.z = r1.x * r2.y - r1.y * r2.x; return r; } // Define multiplication with scalar Vect3.mul = function(a, b) { var r = new Vect3; if(a instanceof Vect3) { r.x = a.x * b; r.y = a.y * b; r.z = a.z * b; } else if(b instanceof Vect3) { r.x = a * b.x; r.y = a * b.y; r.z = a * b.z; } return r; } // Define division with scalar Vect3.div = function(a, b) { var r = new Vect3; r.x = a.x / b; r.y = a.y / b; r.z = a.z / b; return r; } // Define length of Vect3 Vect3.len = function(r) { var l2 = Vect3.dot(r, r); var l = Math.sqrt(l2);
290
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
return l; } // Define unit vector Vect3.uni = function(a) { var l = Vect3.len(a); var r = Vect3.div(a, l); return r; } // Define negative of a vector Vect3.neg = function(a) { var r = Vect3; r.x = -a.x; r.y = -a.y; r.z = -a.z; return r; }
A.2 grain.js /* grain.js Library of grain as granular particle Sparisoma Viridi | [email protected] 20170214 Create this library consists of only Grain class. 20170216 Add field for particle ID with type of integer. 20170228 Add field n for name and correct number of fields. */ // Class of Grain function Grain() { if(arguments.length == 8) { this.i = arguments[0]; this.n = arguments[1]; this.m = arguments[2]; this.D = arguments[3]; this.q = arguments[4]; this.c = arguments[5]; this.r = arguments[6]; this.v = arguments[7]; } else if(arguments.length == 1) { this.i = arguments[0].i; this.n = arguments[0].n; this.m = arguments[0].m; this.D = arguments[0].D; this.q = arguments[0].q; this.c = arguments[0].c; this.r = arguments[0].r; this.v = arguments[0].v; } else { this.i = 0;
A.3 force.js /* force.js Library of some types of physical force. Sparisoma Viridi | [email protected] 20170214 Create this library and define some constants, e.g. kG, kR, kV, kE and some functions grav() gravitation force, norm() normal force, coul() Coulomb force. These two are tested for value only and not yet in simulation. 20170215 Test the grav() and norm() in a simulation. They worked. 20170417 Define magnetic force and test it. */ // Define some constants kG = 5E0; kR = 1E5; kV = 1.0; kE = 1.0; kV2 = 40.0; // Class of Force function Force() { } // Define gravitation force Force.grav = function(p1, p2) {
292
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
var m1 = p1.m; var m2 = p2.m; var r1 = p1.r; var r2 = p2.r; var r = Vect3.sub(r1, r2); var u = Vect3.uni(r); var f = Vect3.mul(-kG * m1 * m2 / Vect3.dot(r, r), u); return f; } // Define normal force Force.norm = function(p1, p2) { var R1 = 0.5 * p1.D; var R2 = 0.5 * p2.D; var r1 = p1.r; var r2 = p2.r; var r = Vect3.sub(r1, r2); var u = Vect3.uni(r); var v1 = p1.v; var v2 = p2.v; var v = Vect3.sub(v1, v2); var xi = Math.max(0, R1 + R2 - Vect3.len(r)); var xidot = Vect3.len(v); var f = Vect3.mul(kR * xi - kV * xidot, u); if(xi == 0) { f = new Vect3; } return f; } // Define Coulomb force Force.coul = function(p1, p2) { var q1 = p1.q; var q2 = p2.q; var r1 = p1.r; var r2 = p2.r; var r = Vect3.sub(r1, r2); var u = Vect3.uni(r); var f = Vect3.mul(kE * q1 * q2 / Vect3.dot(r, r), u); return f; } // Define viscous force Force.visc = function(p) { var v = p.v; var f = Vect3.mul(-kV2, v); return f; } // Define magnetic force Force.magn = function(p, B) { var q = p.q; var v = p.v; var f = Vect3.mul(q, Vect3.crs(v, B)); return f; }
293
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
A.4 mdynamics.js /* mdynamics.js Library of simple molecular dynamics Sparisoma Viridi | [email protected] 20170214 Create this library. 20170215 There is bug in using Timer object, where it was twice called, then it could not be stopped. A condition must be set to avoid creating another object incidentally. */ // Define some global constants var dt = 0.01; var t = 0; // Class of Mdynamics function Mdynamics() { } // Set time step and reset time Mdynamics.setdt = function(dtt) { dt = dtt; t = 0; } // Perform Euler integration Mdynamics.Euler = function(SF, p) { var m = p.m; var r = p.r; var v = p.v; var a = Vect3.div(SF, m); r = Vect3.add(r, Vect3.mul(v, dt)); v = Vect3.add(v, Vect3.mul(a, dt)); p.r = r; p.v = v; } // Increase time Mdynamics.inct = function() { t += dt; }
A.5 debug.js /* debug.js Parameters for debuggin process Sparisoma Viridi | [email protected] 20170417
294
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
Create this file for the first time, which includes CONSOLE */ // Define debugging parameter for showing in console var CONSOLE = false;
A.6 changel.js /* changel.js Library of functions for changing element property Sparisoma Viridi | [email protected] 20170417 Create this library with following functions: changeButtonCaption() clearTextarea() clearCanvas(id) */ // Change button caption function changeButtonCaption(id, caption) { var b = document.getElementById(id); b.innerHTML = caption; } // Clear textarea content function clearTextarea(id) { var ta = document.getElementById(id); ta.value = ""; } // Clear canvas function clearCanvas(id) { var ca = document.getElementById(id); var bgc = ca.backgroundColor; var width = ca.width; var height = ca.height; var ct = ca.getContext("2d"); ct.clearRect(0, 0, width, height); }
A.7 draw.js /* draw2d.js Set drawing environment in 2d using canvas object Sparisoma Viridi | [email protected] 20170117 Create drawing environment for draw demonstration in a lecture, with functions setWorldCoordinates()
295
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
setCanvasCoordinates() transX() transY() clearCurrentFigure() 20170215 Integrate and adjust previous work to Grains. 20160216 Add text for particle identification with center for horizontal alignment and middle for vertical alignment. 20170228 Change drawing text from id (i) to name (n). */ // Define var xwmin var ywmin var xwmax var ywmax
global variables for real world coordinates = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define var xcmin var ycmin var xcmax var ycmax
global variables for canvas coordinate = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define current canvas var currentFigure = ""; var figureBackground = "#fff"; // Set real world coordinates function setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax) { xwmin = xmin; ywmin = ymin; xwmax = xmax; ywmax = ymax; } // Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvasId) { currentFigure = canvasId; var c = document.getElementById(canvasId); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0; } // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax - xcmin); xx += xcmin; var X = parseInt(xx); return X; } // Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax - ycmin);
296
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
yy += ycmin; var Y = parseInt(yy); return Y; } // Clear current figure function clearCurrentFigure() { var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.fillStyle = figureBackground; ctx.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); } // Plot particle function plotParticle(p) { var x = p.r.x; var y = p.r.y; var D = p.D; var xx = transX(x); var yy = transY(y); var DD = transX(D) - transX(0); var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.strokeStyle = p.c; ctx.lineWidth = 1.5; ctx.beginPath(); ctx.arc(xx, yy, 0.5 * DD, 0, 2 * Math.PI); ctx.stroke(); ctx.font = "16px Times New Roman" ctx.fillStyle = "black"; ctx.textAlign = "center"; ctx.textBaseline="middle"; ctx.fillText(p.n, xx, yy); ctx.stroke; }
A.8 timer.js /* timer.js Template for periodic event triggering Sparisoma Viridi | [email protected] 20170417 Start creating this template for reference in creating simulation using JavaScript. 20170418 Problem by -Math.log10(dt) if dt is not 1E-x and it is fixed using -Math.floor(Math.log10(dt)). 20170426 Modify previous version for drawing only. */
297
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
// Define function to activate and deactivate timer function toggle() { draw(); } // Define global parameters (if necessary) // Define function for drawing function draw() { // Put your functions below this line // Read parameters and store them in global parameters var values = getParams(); var Nx = values[0]; var Ny = values[1]; var xmin = values[2]; var xmax = values[3]; var ymin = values[4]; var ymax = values[5]; var tmin = values[6]; var tmax = values[7]; var tminc = values[8]; var tmaxc = values[9]; data = values[10]; // Verbose for debugging if(CONSOLE) { console.clear(); console.log("gridx: " + Nx); console.log("gridy: " + Ny); console.log("xmin: " + xmin); console.log("xmax: " + xmax); console.log("ymin: " + ymin); console.log("ymax: " + ymax); console.log("tmin: " + tmin); console.log("tmax: " + tmax); console.log("tminc: " + tminc.x + " "+ tminc.y + " "+ tminc.z); console.log("tminc: " + tmaxc.x + " "+ tmaxc.y + " "+ tmaxc.z); } // }
A.9 layout.js /* layout.js Template for design layout of HTML containing some elements for simulation in Physics using JavaScript Sparisoma Viridi | [email protected] 20170417
298
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
Start creating this template for toggle button and canvas. 20170418 Finish for charged particle motion in perpendicular homogenous magnetic field. 20170426 Modify previous version for displaying temperature contour. */ // Define graphic-out and text-out elements var nDraw = "gout"; var nText = "tout"; // Define layout function layout() { // Create some text var t1 = document.createElement("div"); t1.style.padding = "5px"; t1.innerHTML = "Parameter(s)"; // Create texarea for data and fill it with initial data var ta = document.createElement("textarea"); ta.id = nText; ta.style.height = "250px"; ta.style.width = "237px"; ta.style.padding = "5px"; ta.style.color = "black"; ta.style.background = "white"; ta.style.overflowY = "scroll"; ta.style.display = "block"; ta.value = defaultParams(); // Create toogle button according to declaration timer.js var b1 = document.createElement("button"); b1.innerHTML = "Draw"; b1.id = "bDraw"; b1.style.width = "62px"; b1.onclick = function() { toggle(); } // Create clear button var b2 = document.createElement("button"); b2.innerHTML = "Clear"; b2.id = "bClear"; b2.style.width = "62px"; b2.onclick = function() { clearCanvas(nDraw); clearTextarea(nText); sState = 0; console.clear(); } // Create params button var b3 = document.createElement("button"); b3.innerHTML = "Params"; b3.id = "bParams"; b3.style.width = "62px"; b3.onclick = function() {
} // Get parameters from textarea nText function getParams() { var ta = document.getElementById(nText); var lines = ta.value.split("\n"); var Nlines = lines.length; if (lines[Nlines - 1].length == 0) { Nlines--; } if(CONSOLE) { console.log("Nlines: " + Nlines); } var Nx, Ny; var xmin, xmax, ymin, ymax, tmin, tmax; var tminc, tmaxc; var Dline = 6; var NxyT = Nlines - Dline; var xyT = new Array(NxyT); var ixyT = 0; for(var l = 0; l < Nlines; l++) { var cols = lines[l].split(" "); var Ncols = cols.length; if(cols[0] == "GRIDXY") { Nx = parseFloat(cols[1]); Ny = parseFloat(cols[2]); }
301
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
if(cols[0] == "XRANGE") { xmin = parseFloat(cols[1]); xmax = parseFloat(cols[2]); } if(cols[0] == "YRANGE") { ymin = parseFloat(cols[1]); ymax = parseFloat(cols[2]); } if(cols[0] == "TRANGE") { tmin = parseFloat(cols[1]); tmax = parseFloat(cols[2]); } if(cols[0] == "TMINC") { var r = parseFloat(cols[1]); var g = parseFloat(cols[2]); var b = parseFloat(cols[3]); tminc = new Vect3(r, g, b); } if(cols[0] == "TMAXC") { var r = parseFloat(cols[1]); var g = parseFloat(cols[2]); var b = parseFloat(cols[3]); tmaxc = new Vect3(r, g, b); } // Read temperature spatial distribution if(l >= Dline) { var r = parseFloat(cols[0]); var g = parseFloat(cols[1]); var b = parseFloat(cols[2]); xyT[ixyT] = new Vect3(r, g, b); ixyT++; } } var Ndata = 11; var values = new Array(Ndata); values[0] = Nx; values[1] = Ny; values[2] = xmin; values[3] = xmax; values[4] = ymin; values[5] = ymax; values[6] = tmin; values[7] = tmax; values[8] = new Vect3(tminc); values[9] = new Vect3(tmaxc); values[10] = xyT; return values; }
A.10 xychart.js /* xychart.js Library of simple xy-chart class in JavaScript Sparisoma Viridi | [email protected]
302
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
20170313 Create this library only with xmin..ymax and XMIN..YMAX definitions. 20170318 Continue creating after recovery from sick and a bunch of activities. Tested for travelling wave and ok. */ // Class of XYChart function XYChart() { // Some plot properties this.pointColor = "#f00"; this.pointSize = 1; this.lineColor = "#f99"; this.lineWidth = 1; this.pointLineWidth = 1; this.axisLineColor = "#000"; this.axisLineWidth = "1"; // Fonts properties this.fontSize = "14px"; this.fontFamily = "Times New Roman"; this.fontColor = "black"; this.textAlign = "center"; this.textBaseline="middle"; // Axis this.padding = parseInt(this.fontSize); this.ticsWidth = 5; this.nTicsX = 10; this.nTicsY = 6; this.xTics = Array(this.nTicsX + 1); this.yTics = Array(this.nTicsY + 1); this.xLabel = "x"; this.yLabel = "y"; this.digitX = 1; this.digitY = 1; // Real world coordinates this.xmin = -1; this.ymin = -1; this.xmax = 1; this.ymax = 1; // Screen this.XMIN this.YMIN this.XMAX this.YMAX
coordinates = 0; = 0; = 1; = 1;
// Number of data this.N = 0; // Raw data if(arguments.length == 2) { this.datax = arguments[0];
303
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
this.datay = arguments[1]; if(this.datax.length < this.datay.length) { this.N = this.datax.length; } else { this.N = this.datay.length; } } else { this.datax = []; this.dataY = []; } // Plotting data this.dataX = []; this.dataY = []; // Set world coodinates this.setCoordinates = function(xmin, ymin, xmax, ymax) { this.xmin = xmin; this.ymin = ymin; this.xmax = xmax; this.ymax = ymax; } // Transform datax to dataX this.transX = function(x) { var X = (x - this.xmin) / (this.xmax - this.xmin); X *= (this.XMAX - this.XMIN); X += this.XMIN; return X; } // Transform datay to dataY this.transY = function(y) { var Y = (y - this.ymin) / (this.ymax - this.ymin); Y *= (this.YMAX - this.YMIN); Y += this.YMIN; return Y; } // Update data this.changeData = function(datax, datay) { this.datax = datax; this.datay = datay; if(this.datax.length < this.datay.length) { this.N = this.datax.length; } else { this.N = this.datay.length; } } // Clear canvas this.clear = function() { var ctx = canvas.getContext("2d"); ctx.fillStyle = "white"; ctx.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); } // Plot data to a canvas
304
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
this.plotTo = function(canvas) { // Update screen coordinates this.XMIN = 0 + 5 * this.padding; this.YMIN = canvas.height - 4 * this.padding; this.XMAX = canvas.width - this.padding; this.YMAX = 0 + this.padding; // Convert raw data to plotting data this.dataX = Array(this.N); this.dataY = Array(this.N); for(var i = 0; i < this.N; i++) { this.dataX[i] = this.transX(this.datax[i]); this.dataY[i] = this.transY(this.datay[i]); } var ctx = canvas.getContext("2d"); // Plot axis ctx.strokeStyle = this.axisLineColor; ctx.lineWidth = this.axisLineWidth; ctx.beginPath(); var XO = this.transX(this.xmin); var YO = this.transY(this.ymin); ctx.moveTo(XO, YO); ctx.lineTo(this.XMAX, YO); ctx.moveTo(XO, YO); ctx.lineTo(XO, this.YMAX); ctx.stroke(); // Calculate and plot tics var dtx = (this.xmax - this.xmin) / this.nTicsX; for(var i = 0; i <= this.nTicsX; i++) { this.xTics[i] = this.xmin + dtx * i; } var dty = (this.ymax - this.ymin) / this.nTicsY; for(var i = 0; i <= this.nTicsY; i++) { this.yTics[i] = this.ymin + dty * i; } ctx.beginPath(); for(var i = 0; i <= this.nTicsX; i++) { var X = this.transX(this.xTics[i]); ctx.moveTo(X, YO - 0.5 * this.ticsWidth); ctx.lineTo(X, YO + 0.5 * this.ticsWidth); } for(var i = 0; i <= this.nTicsY; i++) { var Y = this.transY(this.yTics[i]); ctx.moveTo(XO - 0.5 * this.ticsWidth, Y); ctx.lineTo(XO + 0.5 * this.ticsWidth, Y); } ctx.stroke(); // Draw grid ctx.strokeStyle = "#ccc"; ctx.lineWidth = "0.5"; ctx.beginPath(); for(var i = 0; i <= this.nTicsY; i++) { var Y = this.transY(this.yTics[i]); ctx.moveTo(this.XMIN, Y);
305
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
ctx.lineTo(this.XMAX, Y); } for(var i = 0; i <= this.nTicsX; i++) { var X = this.transX(this.xTics[i]); ctx.moveTo(X, this.YMIN); ctx.lineTo(X, this.YMAX); } ctx.stroke(); // Plot axis numbers ctx.font = this.fontSize + " " + this.fontFamily; ctx.fillStyle = this.fontColor; ctx.textAlign = this.textAlign; ctx.textBaseline = this.textBaseline; for(var i = 0; i <= this.nTicsX; i++) { var T = this.xTics[i].toFixed(this.digitX); var X = this.transX(this.xTics[i]); var Y = YO + 3 * this.ticsWidth; ctx.fillText(T, X, Y); } for(var i = 0; i <= this.nTicsY; i++) { var T = this.yTics[i].toFixed(this.digitY); var X = XO - 4.5 * this.ticsWidth; var Y = this.transY(this.yTics[i]); ctx.fillText(T, X, Y); } var font = "italic " + this.fontSize + " "; font += this.fontFamily; ctx.font = font; var XMID = 0.5 * (this.XMAX + this.XMIN); var Y = this.YMIN + 8 * this.ticsWidth; ctx.fillText(this.xLabel, XMID, Y); var X = this.XMIN - 10 * this.ticsWidth; var YMID = 0.5 * (this.YMAX + this.YMIN); ctx.fillText(this.yLabel, X, YMID); // Draw plotting data ctx.strokeStyle = this.pointColor; ctx.lineWidth = this.pointLineWidth; for(var i = 0; i < this.N; i++) { ctx.beginPath(); ctx.arc(this.dataX[i], this.dataY[i], this.pointSize, 0, 2 * Math.PI); ctx.stroke(); } if(this.lineWidth > 0) { ctx.strokeStyle = this.lineColor; ctx.lineWidth = this.lineWidth; ctx.beginPath(); for(var i = 0; i < this.N; i++) { var X = this.dataX[i]; var Y = this.dataY[i]; if(i == 0) { ctx.moveTo(X, Y); } else { ctx.lineTo(X, Y);
306
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
} } ctx.stroke(); } } }
A.11 matrix.js /* matrix.js Matrix and related operations Sparisoma Viridi | [email protected] 20170208 Start creating this library: strval(), add(). */
// Add two matrix function add(M, N) { var isMArray = (M instanceof Array) ? true : false; var isNArray = (N instanceof Array) ? true : false; if(!isMArray | !isNArray) { return "Error: One of the arguments is not matrix"; } var var var var
ROWSM ROWSN COLSM COLSN
= = = =
M.length; N.length; M[0].length; N[0].length;
if(ROWSM != ROWSN) { return "Error: number of rows are not the same"; } if(COLSM != COLSN) { return "Error: number of columns are not the same"; } var val = M; for(var r = 0; r < ROWSM; r++) { for(var c = 0; c < COLSM; c++) { val[r][c] = M[r][c] + N[r][c]; } } return val; } // Display matrix in pre formatted environment function strval(M) { if(M instanceof Array) { str = "<pre>" var ROWS = M.length; var COLS = M[0].length;
A.12 parabol.js // Define var xwmin var ywmin var xwmax var ywmax
global variables for real world coordinates = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define var xcmin var ycmin var xcmax var ycmax
global variables for canvas coordinate = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define global simulation parameters var dt = 0; var tbeg = 0; var tend = 0; var tcur = 0; var xcur = 0; var ycur = 0; var vxcur = 0; var vycur = 0; var gacc = 0; var firstTime = true; // Define current canvas var currentFigure = "";
308
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
var figureBackground = "#ddd";
// Set real world coordinates function setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax) { xwmin = xmin; ywmin = ymin; xwmax = xmax; ywmax = ymax; } // Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvasId) { currentFigure = canvasId; var c = document.getElementById(canvasId); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0; } // Define time object var timer1; // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax - xcmin); xx += xcmin; var X = parseInt(xx); return X; } // Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax - ycmin); yy += ycmin; var Y = parseInt(yy); return Y; } // Toggle button for simulation function toggleButton() { if(event.target.innerHTML == "Stop") { // Stop simulation event.target.innerHTML = "Run"; clearInterval(timer1); } else { // Run simulation event.target.innerHTML = "Stop"; timer1 = setInterval(simulate, 100); } } // Clear current figure function clearCurrentFigure() { var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d");
309
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
ctx.fillStyle = figureBackground; ctx.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); } // Reset simulation function resetSimulation() { firstTime = true; document.getElementById("tcur").value = tbeg; document.getElementById("run").disabled = false; clearCurrentFigure(); } // Do simulation function simulate() { // Perform simulation if(firstTime) { firstTime = false; // Get all parameters gacc = parseFloat(document.getElementById("gacc").value); var x0 = parseFloat(document.getElementById("x0").value); var y0 = parseFloat(document.getElementById("y0").value); var vx0 = parseFloat(document.getElementById("vx0").value); var vy0 = parseFloat(document.getElementById("vy0").value); tbeg = parseFloat(document.getElementById("tbeg").value); tend = parseFloat(document.getElementById("tend").value); dt = parseFloat(document.getElementById("dt").value); // Set coordinates var xmin = parseFloat(document.getElementById("xmin").value); var ymin = parseFloat(document.getElementById("ymin").value); var xmax = parseFloat(document.getElementById("xmax").value); var ymax = parseFloat(document.getElementById("ymax").value); setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax); setCanvasCoordinates("fig1"); // Set initial condition xcur = x0; ycur = y0; vxcur = vx0; vycur = vy0 tcur = tbeg; } else { // Euler integration xcur = xcur + vxcur * dt; vxcur = vxcur; vycur = vycur + gacc * dt; ycur = ycur + vycur * dt; } // Draw results var xx = transX(xcur); var yy = transY(ycur); var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.beginPath(); ctx.arc(xx, yy, 2, 0, 2 * Math.PI);
A.13 sirkular.js // Define var xwmin var ywmin var xwmax var ywmax
global variables for real world coordinates = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define var xcmin var ycmin var xcmax var ycmax
global variables for canvas coordinate = 0; = 0; = 0; = 0;
// Define global simulation parameters var dt = 0; var tbeg = 0; var tend = 0; var tcur = 0; var xcur = 0; var ycur = 0; var vxcur = 0; var vycur = 0; var Bz = 0; var q = 0; var m = 0; var firstTime = true; // Define current canvas var currentFigure = ""; var figureBackground = "#ddd";
// Set real world coordinates function setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax) { xwmin = xmin; ywmin = ymin; xwmax = xmax; ywmax = ymax;
311
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
} // Set canvas coordinates function setCanvasCoordinates(canvasId) { currentFigure = canvasId; var c = document.getElementById(canvasId); xcmin = 0; ycmin = c.height; xcmax = c.width; ycmax = 0; } // Define time object var timer1; // Transform x function transX(x) { var xx = (x - xwmin) / (xwmax - xwmin) * (xcmax - xcmin); xx += xcmin; var X = parseInt(xx); return X; } // Transform y function transY(y) { var yy = (y - ywmin) / (ywmax - ywmin) * (ycmax - ycmin); yy += ycmin; var Y = parseInt(yy); return Y; } // Toggle button for simulation function toggleButton() { if(event.target.innerHTML == "Stop") { // Stop simulation event.target.innerHTML = "Run"; clearInterval(timer1); } else { // Run simulation event.target.innerHTML = "Stop"; timer1 = setInterval(simulate, 100); } } // Clear current figure function clearCurrentFigure() { var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.fillStyle = figureBackground; ctx.fillRect(xcmin, ycmax, xcmax, ycmin); } // Reset simulation function resetSimulation() { firstTime = true; document.getElementById("tcur").value = tbeg; document.getElementById("run").disabled = false; clearCurrentFigure();
312
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
} // Do simulation function simulate() { // Perform simulation if(firstTime) { firstTime = false; // Get all parameters m = parseFloat(document.getElementById("mass").value); Bz = parseFloat(document.getElementById("Bz").value); q = parseFloat(document.getElementById("charge").value); var x0 = parseFloat(document.getElementById("x0").value); var y0 = parseFloat(document.getElementById("y0").value); var vx0 = parseFloat(document.getElementById("vx0").value); var vy0 = parseFloat(document.getElementById("vy0").value); tbeg = parseFloat(document.getElementById("tbeg").value); tend = parseFloat(document.getElementById("tend").value); dt = parseFloat(document.getElementById("dt").value); // Set coordinates var xmin = parseFloat(document.getElementById("xmin").value); var ymin = parseFloat(document.getElementById("ymin").value); var xmax = parseFloat(document.getElementById("xmax").value); var ymax = parseFloat(document.getElementById("ymax").value); setWorldCoordinates(xmin, ymin, xmax, ymax); setCanvasCoordinates("fig1"); // Set initial condition xcur = x0; ycur = y0; vxcur = vx0; vycur = vy0 tcur = tbeg; } else { // Newton second law of motion var Fx = q * vycur * Bz; var ax = Fx / m; var Fy = -q * vxcur * Bz; var ay = Fy / m; // Euler integration vxcur = vxcur + ax * dt; xcur = xcur + vxcur * dt; vycur = vycur + ay * dt; ycur = ycur + vycur * dt; } // Draw results var xx = transX(xcur); var yy = transY(ycur); var c = document.getElementById(currentFigure); var ctx = c.getContext("2d"); ctx.beginPath(); ctx.arc(xx, yy, 2, 0, 2 * Math.PI); ctx.stroke();
A.14 ode.js /* ode.js Ordinary Differential Equation Sparisoma Viridi | [email protected] 20170213 Create this JS library and there is problem with MathJax. 20170214 Found that MathJax should be called to typeset the page. */ // Define coefficients of a power series c = [2, -4.6, 1, 1, 1];
function differentiatePowerSeries() { var c = document.getElementById("coeff").value.split(","); var N = c.length; var str = ""; for(var n = 0; n < N; n++) { var labelf = ""; if(n == 0) { labelf = "f(x) = "; } else if(n == 1) { labelf = "\frac{df(x)}{dx} = "; } else { labelf = "\frac{df^" + n + "(x)}{dx^" + n + "} = "; } str += strvalPowerSeries(c, labelf); c = diff(c); } var hout = document.getElementById("hout"); hout.innerHTML = str; MathJax.Hub.Queue(["Typeset",MathJax.Hub, hout]); } // Create string represent a power series function strvalPowerSeries(c, eqn) { var N = c.length;
314
Komputasi Fisika 3: Lampiran A: Berkas JavaScript
var str = "$$" + eqn; for(var i = 0; i < N; i++) { /* if(c[i] != 0) { if(i > 0) { if(Math.abs(c[i]) != 1) { str += Math.abs(c[i]); } } else { str += c[i]; } } if(i == 1 && c[i] != 0) { str += "x"; } else if(i > 1 && c[i] != 0) { str += "x^" + i; } var op = ""; if(i < N - 1) { if(c[i + 1] < 0) { op = " - "; } else if(c[i + 1] > 0) { op = "+"; } str += op; } */ str += c[i] + "x^" + i + " + "; } str += "$$"; return str; } /* var op = new Array(N); var val = new Array(N); var xx = new Array(N); op[i] = ""; val[i] = ""; xx[i] = ""; if(Math.abs[c[i]] != 1) { val[i] = Math.abs(c[i]); }
val[i] == ""; xx[i] == ""; } if(i == 0 && c[i] > 0) { op[i] = ""; } if(i == 0) { xx[i] = ""; } else if(i == 1) { xx[i] = "x"; } else { xx[i] = "x^" + i; } */ // Convert content of 1-d array into a string function strval1xN(x) { var N = x.length; var str = ""; for(var i = 0; i < N; i++) { str += x[i]; if(i < N - 1) { str += " "; } } return str; } // Calculate differential of power series function diff(c) { var N = c.length; var d = new Array(N - 1); for(var i = 0; i < N - 1; i++) { d[i] = (i + 1) * c[i + 1]; } return d; } // Calculate product of integer from i to f function prod(i, f) { var N = f - i + 1; var x = 1; for(var j = i; j < i + N; j++) { x *= j; } return x; }
Gambar B.4 Diferensiasi deret pangkat dengan bantuan visualisasi a la LaTex dari MathJax.
329
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
B.5 grains.html <meta charset="ISO-8859-1"> vect3 <script src="Grains4/vect3.js"> <script src="Grains4/grain.js"> <script src="Grains4/force.js"> <script src="Grains4/mdynamics.js"> <script src="Grains4/draw2d.js"> <script src="Grains4/layout.js"> <script> var timer1; var N = 64; var grains = new Array(N); layout(); initiate(); function initiate() { Mdynamics.setdt(1E-3); var var var var
m1 c1 m2 c2
= = = =
1; "#f00"; 4; "#00f";
var D = 1; var Nx = Math.sqrt(N); var Ny = Math.sqrt(N); var x0 = -4; var y0 = -4; var i = 0; for(var iy = 0; iy < Ny; iy++) { var y = y0 + (iy + 0.5) * D; for(var ix = 0; ix < Nx; ix++) { grains[i] = new Grain; grains[i].i = i; var x = x0 + (ix + 0.5) * D; grains[i].r = new Vect3(x, y, 0); var cR = 128; var cG = (16 - i) * 16; var cB = i * 16; if(i < 0.5 * N) { grains[i].m = m1; grains[i].c = c1; } else { grains[i].m = m2; grains[i].c = c2; }
330
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
grains[i].D = 0.9 * D; i++; } } for(var iN = 0; iN < N; iN++) { plotParticle(grains[iN]); } } function run() { // Prepare variabel for saving sum of forces var SF = new Array(N); for(var iN = 0; iN < N; iN++) { SF[iN] = new Vect3; } // Calculate viscous force for(var iN = 0; iN < N; iN++) { var f = Force.visc(grains[iN]); SF[iN] = Vect3.add(SF[iN], f); } // Calculate gravitation force for(var iN = 0; iN < N; iN++) { for(var jN = 0; jN < N; jN++) { var f = new Vect3; if(jN != iN) { f = Force.grav(grains[iN], grains[jN]); SF[iN] = Vect3.add(SF[iN], f); } } } // Calculate normal force for(var iN = 0; iN < N; iN++) { for(var jN = 0; jN < N; jN++) { var f = new Vect3; if(jN != iN) { f = Force.norm(grains[iN], grains[jN]); SF[iN] = Vect3.add(SF[iN], f); } } } var str = "t = " + t + " s"; var hout = document.getElementById("hout"); hout.innerHTML = str; clearCurrentFigure(); for(var iN = 0; iN < N; iN++) { plotParticle(grains[iN]); } for(var iN = 0; iN < N; iN++) { Mdynamics.Euler(SF[iN], grains[iN]); } Mdynamics.inct();
331
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
}
Gambar B.5 Simulasi partikel yang berinteraksi dengan gaya normal dan gaya gravitasi.
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
Gambar B.6 Draw 2-d molecules.
B.7 xychart.html <meta charset="ISO-8859-1"> XYChart <script src="Grains/xychart.js"> <script> // Create a canvas document with id "chart0" var canvas = document.createElement("canvas"); document.body.appendChild(canvas); canvas.id = "chart0"; canvas.width = "600"; canvas.height = "250"; //canvas.style.border = "1px #ccc dashed"; // Define variable for timer var t = 0; var dt = 0.01; var timer; // Define some parameters var N = 201; var xmin = 0;
333
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
var xmax = 20; var dx = (xmax - xmin) / (N - 1); var A = 2; var lambda = 5; var k = 2 * Math.PI / lambda; var T = 1; var omega = 2 * Math.PI / T; var datax = new Array(N); var datay = new Array(N); generateData(); var chart = new XYChart; chart.setCoordinates(xmin, -1.5 * A, xmax, 1.5 * A); // Show data for the first time chart.changeData(datax, datay); chart.clear(); chart.plotTo(canvas); // Create button object var button = document.createElement("button"); document.body.appendChild(button); button.innerHTML = "Start"; button.onclick = function() { if(button.innerHTML == "Start") { timer = setInterval(simulate, 10); button.innerHTML = "Stop"; } else { clearInterval(timer); button.innerHTML = "Start"; } } function generateData() { for(var i = 0; i < N; i++) { datax[i] = i * dx; datay[i] = A * Math.sin(k * datax[i] - omega * t); } } function simulate() { t += dt; generateData(); chart.changeData(datax, datay); chart.clear(); chart.plotTo(canvas); }
334
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
Gambar B.7 Visualisasi travelling wave dengan xychart.js.
B.8 jumlah.html <meta charset="ISO-8859-1"> Penjumlahan <script> var t1 = document.createElement("text"); t1.innerHTML = " + "; var t2 = document.createElement("text"); t2.innerHTML = " = "; var t3 = document.createElement("text"); t3.innerHTML = " "; var i1 = document.createElement("input"); i1.style.width = "3em"; var i2 = document.createElement("input"); i2.style.width = "3em"; var o1 = document.createElement("input"); o1.style.width = "3em"; var b1 = document.createElement("button"); b1.innerHTML = "Hitung"; b1.onclick = function() { var x = parseInt(i1.value); var y = parseInt(i2.value); var z = x + y; o1.value = z; } document.body.appendChild(i1); document.body.appendChild(t1); document.body.appendChild(i2); document.body.appendChild(t2); document.body.appendChild(o1);
335
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
Gambar B.10 Ilustrasi sampling data dengan masukan dari input area dan visualisasinya.
339
Komputasi Fisika 3: Lampiran B: Berkas HTML & tampilannya
Gambar B.11 Lintasan dengan: ∆t kecil dan waktu sampling kecil (kiri), ∆t kecil dan waktu sampling besar (tengah), dan ∆t besar dan waktu sampling besar (kanan).
B.11 time_triggered.html <meta charset="ISO-8859-1"> Time triggered event <script> var timer; var period = 1000; var t = document.createElement("text"); var b = document.createElement("button"); t.innerHTML = "0"; t.style.position = "relative"; t.style.left = "0px"; b.innerHTML = "Start"; b.onclick = function() { if(b.innerHTML == "Start") { b.innerHTML = "Stop"; timer = setInterval(update, period) } else { b.innerHTML = "Start"; clearInterval(timer); } } document.body.appendChild(b); document.body.appendChild(t); function update() { var i = parseInt(t.innerHTML); i++; t.innerHTML = i; var x = parseInt(t.style.left); if(i < 10) { x += 10;} else { x-= 10}; t.style.left = x + "px"; }
