zsxa%xa-r6ocg
Ilinu a h h l i 6e&l '(lntukliidupku &n &Kidupan Ilinu 6ukan untukdi6an&gat&an letapi untukdiamal&an S e m e n 6anyakilmu S e m e n renrlhli hati &&an cong&ljhn merasa timi ~ u n a & nLmu &ti!@ Xatigunrlhlijugagem6ira lerapkan ilmu s a t Datang du& clbn 6aKagia Gunakan Lmu tatkah X a m 6er&ata atau &tam sen6116aliasa Karena ilinu menyah&an e t a
!+upersem6ali&n kalya @ci@
ini untuk
16% BapaR, Windo, &n mba lkni
G/!QPit
'LOO o%\(O
PERSALNGAN HARGA DAN LOKASI Perluasan Model Hotelling
AD1 PRIYONO
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2001
RINGKASAN AD1 PRIYONO. Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling. Dibimbmg oleh DOMINICUS SAVIO PRIYARSONO dan FARIDA HANUM. Setiap produsen biasanya diasumsikan memaksimumkan imbalan (laba) yang diperolehnya dan karena itulah produsen hams mampu menentukan strategi yang efektifuntuk melawan pesaingnya. Karya ilmiah ini m e m b e r i i analisis persakgan spasial duopoli dengan variabel strategi berupa harga, lokasi, serta harga dan lokasi. Pas= berbentuk garis lurus (linear) dan konsumen menyebar merata di sepanjang pasar. Biaya transpovtasi dibebankan kepada konsumen. Karena produk yang ditawarkan bersifat homogen maka konsumen akan membeli produk dengan harga pembelian yang terendah. Pada persaingan harga, kesetimbangan diperoleh bila digunakan h g s i biaya transportasi yang kuadratik. J i a digunakan h g s i biaya transportasi yang linear-kuadratik, ada kondisi yang menyebabkan tidak adanya kesetimhangan harga. Sedangkan bila digunakan h g s i biaya transportasi yang linear, kesetimbangan harga dicapai jika lokasi kedua pemsahaan-memenuhi syarat tertentu. Pada persaingan dengan variabel lokasi, kesetimhangan lokasi dicapai ketika:kedua produsen memilih lokasi di tengahtengah (pusat) pasar. Persaingan dengan variabel strategi berupa harga dan lokasi dapat diiodelkan menjadi dua bentuk permainan, yakni : permainan serentak dan permainan dua tahap. Pada permainan serentak, tidak ada kesetimbangan harga-lokasi, apapun h g s i biaya transportasinya. Kesetimbangan harga-lokasi dicapai jika penentuan harga dan lokasi dilakukan dalam dua tahap. Hasil analisis ini juga menunjukkan adanya kecendenmgan tiap produsen untuk memaksimumkan diferensiasi.
PERSAINGAN HARGA DAN LOKASI Perluasan Model Hotelling
AD1 PRIYONO
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2001
Judul Narna NRP
: Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling : Adi Priyono : GO5497015
Menyetujui,
Dr. Ir. D. S. Privarsono Pembiiig I
Tanggal Lulus : 2 November 2001
Dra. ~ a r i d ~anum. a M.Si. P e m b i i i g I1
RIWAUAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tegal pada tanggal 19 September 1978 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Mukdi dan Endang Budiastuti. Tahun 1997 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Depok dm pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalw Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis diterima pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten Matematika Dasar pada tahun ajaran 2000/2001.
PRAKATA Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan atas rahmat dan petunjuk Allah SWT sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini disusun sejak bulan Februari 2001 dengan judul Persaingan Harga dan Lokasi :Perluasan Model Hotelling. Selesainya penyusunan karya ilmiah ini juga berkat bantuan dari berbagai pihak, terutama penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. D. S. Priyarsono dan lbu &a. Farida Hanum, M. Si. selaku pembiibing, serta Bapak Ir. Toni Bakhtiar, M.Sc. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasib juga penulis sampaikan kepada Bapak, Ibu, Wido, mba Teni, dan lik Tien, juga seluruh keluarga atas doa, kasih sayang, dan dukungan yang tak berbatas jumlabnya. Untuk rekan-rekan :Danny, Udin, Ludfi, Lya, Anda, M i i n , Ipunk, Jaenudin, Enny, Agung, Imam, Adji, terima kasih atas dukungan yang telah kalian beriian. Terima kasih pula untuk rekan-rekan angkatan 34 dan seluruh staf jurusan matematika. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, November 200 1 Adi Priyono
Halaman DAFTAR GAMBAR................................................................................................
vi
DAFTAR LAMPIRAN.............................................................................................
vi
PENDAHULUAN Latar Belakang.............................................................................................. Tujuan ........................................................................................................
1 1
LANDASAN TEORI Teori Permainan ............................................................................................. Duopoii Hotelling........................................................................................... . . Permainan Statis dan Pennainan D~namrs.............................................................. Subgame Perfect Nash Equilibrium pada Permainan Dua Tahap dengan Informasi Lengkap tetapi Tidak Sempuma....................................................
1 1 2 2
PEMBAHASAN Konsep Dasar dalam Persaingan Spasial.............................................................. Persaingan dengan Variabel Harga dan Parameter Lokasi......................................... Persaingan dengan Variabel Lokasi dan Parameter Harga............................................ Persaingan dengan Variabel Harga dan Lokasi .........................................................
3 5 10 11
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................
14
LAMPIRAN..........................................................................................................
15
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 . Lokasi kedua perusahaan dan konsumen Hotelling .....................................................
2
2 . Lokasi perusahaan dan konsumen .........................................................................
4
3. Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution).................................................
4
4 . Fungsi permintaan pemsahaan 1 (nonatomic distribution)............................................
5
5 . Lokasi perusahaan 1 dan 2.................................................................................
6
6. Fungsi permintaan perusahaan 1
7
7. p;
8
8.
......................................................................... harga kesetimbangan...................................................................................
p; bukan harga kesetimbangan ..........................................................................
8
D m A R LAMPIRAN Halaman 1. Detinisi dan ilustrasi fimgsi kuasikonkaf................................................................. 2 . Bukti syarat cukup untuk fimgsi imbalan yang kuasikonkaf...........................................
3. Bukti persamaan (1).......................................................................................... 4 . Gambar penurunan fimgsi permintaan perusahaan 1...................................................
5. Bukti Proposisi 1............................................................................................
6. Bukti Proposisi 2 ............................................................................................ 7. Harga kesetimbangan kuadratik ........................................................................... 8. Kecenderungan perusahaan menjauhi pesaingnya ...................................................... 9 . Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi.............................................
10 . Fungsi laba pemsahaan unNc persaingan harga dan lokasi ...........................................
Latar Belakang Persaingan antarprodusen tidak dapat dipisahkan dari kegiatan industri dan perdagangan. Tiap produsen ingin mendapatkan laba setinggi mungkii, antara lain dapat dilakukan dengan cara memperluas pangsa pasar. Berbagai macam shategi dan cara dilakukan untuk mencapai tujuannya itu, termasuk penentuan harga dan lokasi yang tepat. Dalam suatu model pasar duopoli, setiap produsen harus mampu menyusun shategi yang efektif untuk melawan produsen yang lainnya untuk mendapat konsumen sebanyak mungkin. Dalam ha1 ini, biasanya tiap produsen membuat diferensiasi dalam menghadapi pesaingnya.
Model Hotelliig sering digunakan untuk menjelaskan persaingan spasial antarprodusen, tiap produsen akan menentukan barga dan lokasi yang tepat untuk memaksiiumkan labanya. Pada hllisan ini akan dipaparkan analisis model Hotelling yang telah dimodifikasi beberapa bagiannya. Tulisan ini merupakan rekonshuksi dari sebagian isi buku Location Theory yang ditulis oleh J.J.Gabszewicz dan J.F. Thisse (1986). Tujuan Tulisan ini bertujuan memberikan suatu analisis persaingan spasial antarprodusen dengan variabel shategi yang berbeda, yalcni harga saja, lokasi saja, serta harga dan lokasi sekaligus.
LANDASAN TEORI Teori Permainan Teori permainan adalah suatu kumpulan alat analisis yang dirancang untuk meningkatkan pemahaman atas situasi tertentu diiana terdapat interaksi antara para pembuat keputusan. Ada dua asumsi yang mendasari teori permainan, yakni : adanya fungsi tujuan yang bersifat eksogenus dan terdefinisi dengan baik setiap pembuat keputusan mempertimbangkan ekspektasinya tentang perilaku pembuat keputusan yang lain. Model teori permainan merupakan representasi abstrak dari suatu situasi diiana para pembuat keputusan saling berinteraksi. Dengan teori ini kita dapat melihat hasil dari interaksi antara para pembuat keputusan yang bergantung pada bentuk interaksi itu sendiri. Cakupan aplikasi teori ini begitu luas, yakni meliputi analisis ekonomi, politik, sosiologi, psikologi, dan biologi. Meskipun dapat dibahas secara verbal, teori permainan secara leb'ih tajam dapat dianalisis dengan bantuan matematika. Definisi 1 Pemain adalah pembuat keputusan yang mengambil pilihan aksi dari gugus shategi yang ada. Definisi 2 Ruang shategi (St)adalah himpunan pilihan aksi yang dapat diambil oleh pemain ke-i dalam suatu permainan.
Definisi 3 Imbalan (Ui) adalah fungsi yang menentukan hasil yang diperoleh pemain ke-i atas kombiasi aksi yang dipilih oleh setiap pemain. Definisi 4 Kesetimbangan adalah suatu kondisi ketika sudah tidak ada dorongan lagi bagi setiap pemain untuk secara sepihak mengubah pilihan aksinya. Definisi 5 Kesetimbangan Nash adalah suatu kondisi ketika imbalan yang diperoleh tiap pemain lebih besar atau sama dengan imbalan yang diterimanya jika ia mengambil piliian aksi yang lain. Duopoli Hotelling Duopoli Hotelling merupakan suatu model teori permainan yang dimainkan oleh dua orang pemain. Para pemainnya adalah perusahaan yang saling bersaing untuk mendapatkan konsumen sebanyak mungkin untuk memperoleh laba maksimum dengan shategi pilihan (diferensiasi) lokasi dan harga. Misalkan kedua pemain tersebut adalah perusaham 1 dan perusahaan 2. Kedua perusahaan berada pada suatu pasar yang berbentuk garis lurus dengan panjang e . Misalkan lokasi perusahaan 1 dinotasikan dengan A dan jaraknya dari sebelah kanan titik 0 adalah a . Sedangkan lokasi perusahaan 2 dinotasikan dengan B, dan jaraknya dari sebelah kiri titik e adalah b ,sedemikian sehingga a + b 5 ,'L a 2 0, b > 0.
-
*
o
--
A
B
e
Gambar 1. Lokasi perusahaan dan konsumen model Hotelling. Konsumen diasumsikan tersebar merata di sepanjang garis e dan setiap konsumen membeli tepat satu unit produk per satuan waktu. Tanpa mengurangi keumuman, biaya produksi diasumsikan nol. Karena barang yang ditawarkan kedua pemsahaan bersifat homogen maka konsumen akan membeli dari perusahaan yang menawarkan harga pembelian @arga produk + biaya hansportasi) yang palmg rendah. Biaya hansportasi ditanggung oleh konsumen dan diasumsikan linear terhadap jarak yang ditempuh konsumen ke pemsahaan. Misalkan p, dan p2masing-masing adalah harga produk dari perusahaan 1 dan perusahaan 2, d m c ialah biaya transportasi, dengan c > 0 . Jadi dalam model teori permainan ini shateginya adalah p, E S1= [o, w)dan p, E S2= [o, w)serta imbalan yang diperoleh masing-masing pemain diberikan oleh laba yang didapat. Pada tulisan ini akan dijelaskan analisis model Hotelling dengan modifikasi pada beberapa bagiannya seperti : fungsi biaya transportasi :
Definisi 6 Suatu permainan diatakan mempunyai informasi lengkap apabila fungsi imbalan dari setiap pemain dietahui oleh semua pemain dalam permainan tersebut. Definisi 7 Suatu permainan diatakan mempunyai informasi sempuma apabila dalarn setiap tahap permainan, para pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oieh pemain lain pada tahap sebelumnya. Misalkan S, adalah ruang shategi dari pemain ke-i pada tahap ke-j. Misalkan pula a UE Ssadalah aksi yang dipilih pemain ke-i pada tahap kej. Maka jalannya permainan dua tahap dengan infomasi lengkap dan sempuma adalah sebagai berikut : 1.Tahap I; pemain 1 dan pemain 2 secara serentak memilih a,, dan a,, dari ruang strategi S,, dan s21
.
2. Tahap 11; kedua pemain mengamati hasil dari tahap I dan kemudian secara serentak memilih a,, dan au dari mang strategi S12dan S,,. 3. Setelah itu pemain 1 mendapat imbalan U,(all ,a2,,al2,a2,)dan pemain 2 mendapat imbalan ~ , ( a , ,,a2, ,a,,,a, ).
t(s',s")=~~s'-s"~+d(s'-s")~,c>~,d>~,
fungsi seperti ini sering disebut sebagai fungsi biaya hansportasi yang linearkuadratik. Disini s', s" menyatakan lokasi, dengan sf, s" E [0,1]. * permainan berlangsung dalam dua tahap (hoo stage game) 0 menggunakan konsep Subgame-Perfect Nash Equilibrium Permainan Statis dan Permainan Dinamis Dalam teori permainan dikenal istilah permainan statis dan permainan dinamis. Suatu permainan dikatakan statis jika permainan tersebut berlangsung hanya dalam satu tahap lalu selesai. Dalam permainan statis tiap pemain secara simultan memilih shategi dari gugus strategi yang ada, kemudian tiap pemain akan menerima imbalan herdasarkan kombinasi strategi yang mereka pilih kemudian permainan selesai. Suatu permainan dikatakan dinamis jika dilakukan leb'i dari satu tahap (secara bertahap)
Subgame Perfect Nash Equilibrium pada Permainan Dna Tahap dengan Informasi Lengkap tetapi Tidak Sempurna Jalannya permainan dua tahap dengan informasi lengkap tetapi tidak sempuma adalah sebagai herikut : 1.Pemain 1 dan 2 s e w a simultan berturut-turut memilih a,, E S,, dan a2, E S2,. 2.Pemain 1 dan 2 mengamati hasil pada tahap pertama, kemudian memilih secara simultan berturut-turut a,, E S12 d m a2, E SZ2. 3. Imbalan yang diterima oleh pemain 1 dan pemain 2 berturut-turut adalah U, (a,, ,a,, ,aI2,a, ) dan ~z(flI,,fl2l,aI,,fl22). Definisi 8 Bentuk normal dari suatu permainan dengan npemain terdiri atas ruang shategi para dan fungsi imbalan para pemain: S,,..., S, pemain: U,, ...,U, , sehingga dapat dinotasikan dengan G = {s,,...,S, ;U, ,..., U, }.
Definisi 9 Bentuk ekstensif permainan adalah bentuk normal permainan yang disertai dengan urutan kejadian permainan. Definisi 10 Subgame adalah bagian dari permainan yang dimulai dari suatu titik simpul pada bentuk ekstensif permainan.
Jika kedua pemain mengantisipasi bahwa tindakan pada tahap kedua akan memberikan basil
(ar2( a l 1a21 , ), a;2(allra Z 1 ) ) ,maka interaksi antara kedua pemain pada tahap pertama adalah sebagai berikut : 1.Pemain 1 dan 2 secara simultan berturut-torut memilih all dan a,, dari ruang strategi Sll dan s 2 1
2. Imhalan yang didapat oleh pemain 1 dan pemain 2
Definisi 11 Kesetimhangan Nash merupakan subgameperfect jika strategi para pemain merupakan kesetimbangan Nash pada setiap subgame. Definisi 12 Pada permainan yang berlangsung dalam dua tahap dengan informasi lengkap tetapi tidak sempuma, maka subgame-perfect outcomenya addah : ( a t ,a;, ,a;, (a;,, a;, (a;,,a;, )), tetapi subgame-perfect Nash equilibriumnya
untuk i=1,2. Misalkan pilihan kesetimbangan Nash
aksi yang
b
( a ,a ) adalah tunggal maka
1
(a;,, a;,, a;2 (a;,. all a12(a;,,41 merupakan subgame-perfect outcome dari permainan dua tahap tersehut. Suatu kombimasi aksi diatakan subgame-perfect Nash equilibrium jika kombimasi aksi tersehut merupakan kesetimbangan Nash, dan strategi yang dipili oleh para pemain tersebut m e ~ p a k a n kesetimbangan Nash pada setiap subgame.
I),
adalah : (a;],a;l, a:2 (all,a21),a; ( a l l ,aZ1 dengan tanda * menunjukkan kondisi kesetimbangan.
KONSEP DASAR DALAM PERSAINGAN SPASIAL Kerangka spasial sangat cocok untuk menjelaskan konsep industri yang berdasarkan penyebaran lokasi perusahaan dan konsumen. Misalkan suatu gugus perusahaan N = {1,..., n) memproduksi suatu produk homogen dengan gugus konsumen M = (1,..., m } . Tiap perusahaan j , j E N berada pada sejumlah lokasi s , di S ; dan setiap konsumen i, i e M berada pada s i e S . Biaya transportasi per satu unit barang untuk jarak antara lokasi konsumen i dan perusahaan j dinotasikan dengan f(si, s /). Diasumsikan perusahaan ke-j memproduksi barang dengan hiaya marginal yang konstan sebesar c j . Diasumsikan pula hahwa ada dua kemungkiman tindakan konsumen, yakni tidak membeli atau membeli tepat satu unit produk per satuan waktu. Jumlah perusahaan adalah terbatas finite) dan konsumen i mempunyai batasan harga tertinggi yang bersedia dibayarkan untuk satu unit harang yakni harga resewasi, yang diiotasikan dengan n i .
Dalam persaingan spasial, harga yang ditentukan oleh perusahaan menentukan jumlah permintam terhadap produknya. Misalkan ada n perusahaan dan vektor harga produk dalam industri tersehut dinotasikan dengan ,..., ,..., p, ) Konsumen i membeli dari perusahaan j jika dan hanya jika memenuhi kondisi berikut : i. pi + t ( s i , s j ) < z i ;
6,
..
1,.
pi
+tki,Sj)= zEn{pX
fki,sk)i
iii. jika ada suatu kondisi k # j sedemikian sehingga
Didehisikan pangsa pasar perusahaan j pada harga
p
1p , , . . p
yang
dinotasikan
oleh
~,...,p( j ,...,p p a )~ dengan j = 1,2,..., n sebagai gugus konsumen i e M yang telah memenuhi ketiga ,..., p, ) menyatakan kondisi di atas. Misalkan A, gugus konsumen yang tidak membeli harang dari industri tersebut. Jadi ~
c = 0 menempati lokasi seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Perusahaan 1 dan 2 s e w a berturut-turut Maka himpunan berada pada s , dan s 2 , konsumen yang berada di s , dj(pl,...,pj ,..., pn),j = ,...,~n sebanyak ml sedangkan di s , sebanyak m2 adalah kumpulan m konsumen. S e l m a tiap konsumen membeli paling konsumen. Gambar 3 mengilustrasikan permintaan atas banyak satu unit produk, maka permintaan perusahaan 1 dengan harga tetap F2 sedemikian terhadap perusahaan j pada tingkat harga (PI,.... P . ) adalah Aj(p1 ,...,pj ,...,P,), dan sehingga t ( s l , s 2 ) < F 2 < f f < F 2+ + I ( S , , S ~ ) . Permintaan atas perusaham 1 tersebut dibagi menjadi dapat juga dinotasikan dengan ~,(p~,...,~,). 3 wilayah : wilayah I, untuk p, > n maka permintaan atas. "'1 m, perusahaan 1 adalah nol. S2 wilayah 11, untuk F , - t ( s l , s 2 ) < p, _
E
~ l p +j t k i , s j ) > z i , v =,..., l n,)
Gambar 3. Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution). Dapat dilihat bahwa h g s i permintaan pada contoh ini tidak kontinu di p, = [0,m). Contoh ini merupakan perpaduan prinsip mutually exclusive oleh konsumen dan sebaran konsumen yang berkelompok pada suatu lokasi (atomic distribution). Akan ditunjukkan satu contoh lagi yang menggambarkan h g s i permintaan perusahaan yang kontinu dengan menggunakan asumsi konsumen yang tersebar merata pada setiap lokasi pasar (nonatomic distribution). Konsumen menyebar merata di sepanjang pasar ( S G S ) dengan fungsi kepekatan kontinu ~ ( sdan ) setiap konsumen mempunyai harga reservasi yang sama n(s).
Permintaan terhadap perusahaan j (p,,...,p , ) diberikan oleh :
pada harga
dengan Aj ( p , ,...,p,,) adalah pangsa pasar bagi perusahaan j yang memenuhi tiga kondisi yang telah disebutkan sebelumnya. Sejumlah konsumen yang semuanya identik ( z ( s )= z , V s E S ) tersebar merata di sepanjang pasar dengan kepekatan sama dengan 1. Perusahaan 1 dan perusahaan 2 berturut-turut berada di sl dan di s , . Dengan menggunakan h g s i biaya transportasi linear ~(~,S~)=C(S-S'(,VS,S~E[S~,S~].
~ n t u kc(s2 -s,)
n, maka Dl = 0 ii. jika 2n-P2 -c(s2 - s , ) ~ ~ < n, , maka Dl =-'T-PI c iii. jika
P2-c(s2
- s l ) < p , < 2 z - F 2 -c(s2 -sl)maka
iv. jika pl <jT2 -c(sz -sl),maka Dl =s2-sl Fungsi pmintaan ini diilustrasikan pada Gambar 4. Tampak jelas pada gambar bahwa pennintaan terhadap perusahaan 1 kontinu, yakni selama pemsahaan m e n d a n harganya s e w a perlahan semakin banyak konsumen yang
4 = F2 -PI
.
+C(SZ -1)
2c
tertarik membeli produknya. Setelah dijelaskan konsep dasar dalam persaingan spasial, sekarang akan dibahas analisis persaingan antarprodusen dengan variabel yang berbeda-beda.
$2 -S1 0,(PI. Pz Gambar 4. Fungsi permintaan pemsahaan 1 (nonotomic distribution).
MODEL I PERSAINGAN DENGAN VARIABEL HARGA DAN PARAMETER LOKASI Pada bagian ini produsen berinteraksi dalam suatu persaingan dengan konsumen diasumsikan menyebar merata (nonatomic distribution), seperti pada contoh kedua di atas. Akan dilihat apakah asumsi konsumen yang menyebar merata menjamin eksistensi harga kesetimbangan . Untuk mendapatkan solusi bagi masalah eksistensi, biasanya didasarkan pada argumen titik tetap. Argumen ini dapat diterapkan bila fungsi imbalan pemain merupakan fungsi kuasikonkaf.' Dalam teori oligopoli, syarat cukup untuk memastikan fungsi imbalan yang I
Maslah eksistensi kesetimbangan Nash pada permainan
noncooperolive lihat Friedman, 1977.
Definisi dan ilushasi fungsi kuasikonkaf dapat dilihat pada Lampiran 1
kuasikonkaf yakni fungsi permintaan yang konkaf (cekung ke bawah) (lihat Lampiran 2). Misalkan A adalah fungsi kepekatan konsumen, dan t fungsi biaya transportasi, maka fungsi pennintaan pemsahaan j diberikan oleh :
,
P
Karena A, (pl ,...,p j ,..., pn)merupakan fungsi dari t , jadi fungsi permintaan bergantung pada fungsi A dan 1. Untuk memberikan ilustrasi mengenai ha1 ini, maka kembali digunakan contoh dengan nonatomic distribution yang telah dijelaskan sebelumnya. Diasumsikan bahwa fungsi biaya transportasi merupakan fungsi naik dan temunkan dua kali.
Misalkan F(p, ,p 2 ) adalah notasi untuk lokasi batas pasar antara pemsahaan 1 dan perusahaan 2, sedemikian sehimgga : PI + 1 ( s - s , ) = p 2 +t(s2 -s). Dan dengan penghitungan diperoleh :
(lihat Lampiran 3). Ketika T terletak antara s, dan s2 ,maka DI(PI,PZ)=~~I,PZ)-~I D ~ ( P , . P ~ )-=&s ,~~ 2 ) Kekonkafan fungsi Dl sama dengan kekonkafan ~ ( p,p2 , ) di p, , maka agar b g s i permintaan
perusahaan 1 konkaf, azs/ap? haruslah takpositif. Misalkan p2 adalah suatu nilai tetap dan p2 + t ( s I , s 2 ) > 2 t ( s 1 , s 2 )Maka . pada saat nilai pi = jT2 +t(sI,s,bdidapat F(pi,jT2)=s, . Dan untuk p; = p2 -t(sI.s2 didapat T(p;, F 2 ) = s 2 . Sehingga dengan persamaan (1) diperoleh :
1
pem~ahaan2 menetapkan harga rj, . Maka kecuali jika a2s/ap? sama dengan no1 pada
b;,
interval pi1 a2T/ap; pasti berubah tandanya pada interval ini, sehimgga F tidak konkaf pada semua daerah asal [ ~ , nHal ] . ini menunjukkan bahwa pada masalah lokasi ketika ada batas pasar yang terletak antara lokasi kedua p e ~ ~ & a a n asumsi , fungsi permintaan konkaf tidak selalu dapat terpenuhi. Tentu saja kekonkafan fungsi permintaan banya syarat cukup untuk eksistensi kesetimbangan harga. Meski demikian, seperti dijelaskan di atas, dengan menguji kekonkafan, meski fungsi laba perusahaan kontinu ternyata tidak menjamin eksistensi harga kesetimbangan . Pada contoh kasus berikut ini diasumsikan panjang pasar sama dengan 1, dan fimgsi biaya transportasi adalah lmear-kuadratik : t(s',sW)=cls'-s"l+d(~'-s")~,c>~,d>~
untuk setiap lokasi s' dan s" di [0,1]. Misalkan kedua perusahaan terletak pada lokasi yang 1 1 simetris s ' ---adan -2 s2 = -2+ a , ( $ > a > 0 ) (lihat Gambar 5).
dengan :
2
ni~ai - ketika perusahaan 1 ap: menetapkan harga sebesar pi dan perusahaan 2 menetapkan harga F2.
:
2
ni~ai - ketika perusahaan 1 ap: menetapkan harga sebesar p; dan
I
II
-
- . s s, 112 s s, 1 Gambar 5. Lokasi perusahaan 1 dan 2.
.o
Untuk mendapatkan fungsi permintaan perusahaan 1 maka terlebih dahulu harus digambarkan berbagai kemungkinan penentuan harga oleh perusahaan I (lihat Lampiran 4).
Untuk nilai tetap ji, ,maka fungsi permintaan pemsahaan 1 adalah sebagai berikut : jika p, 2 p; = F2 + 2ac + 2ad; wilayah 1 0,
f
p2 - p , +2ad+c , jika p; > p, > p,"= p2 -2ac-4a2d; D~G~,P~)={ 4ad+ZE ji2 - p l +2ad-2ac .. ,jlkapm,> pl 2 pi"= F2 -2ac-2ad; 4ad 1, jika p ; 5 pl 2 0
wilayah 3
I
Tampak pada Gambar 6 bahwa fungsi permintaan pemsahaan I linear. Tapi ketika harga p, = pr , 1 dengan batas pasar tepat pada s, =-+a, h g s i 2 permintaan menunjukkan kekakuan atau patah
0
I 2
-..(I
-1 2
-1+ a 2
wilayah 4 wilayah 5
sehingga menyebabkan fungsi permintaan menjadi tidak konkaf. Sedangkan fungsi laba perusahaan 1 dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi pmintaan dengan p , .
1
DI
(PI
2
p2
1
Gambar 6. Fungsi permintaan pemsahaan 1. Jetas bahwa fungsi labs Perusahaan bergantung pada p 2 , nilai parameter a Cjarak antara dua pemsahaan), serta c dan d (yang mengukur proporsi relatif linear dan kuadratik dari fungsi biaya transportasi). ~ ~ a b iada l a harga kesetimbangan ( & , p ; ) , maka haruslah P; mervakan tanggapan terbaii terhadap p; pada daerah asal dengan batas
pas, terletak antara lokasi kedua perusahaan, dan p; juga merupakan tanggapan terbaik terhadap p;
.
Untuk memastikan bahwa ( P ; ,P; ) mem~akanharga kesetimbangan, maka pasangan harga tersebut hams mencegah perusaham harganya secara sepihak untuk menarik konsumen dari wilayah pasar pesaingnya. Perhatikan kedua gambar GrikuGni :
PI
=pi. pi
P;
P;
pi
PI
Gambar 7. p; harga kesetimbangan. Berdasarkan nilai a, c, dan d , maka ada dua ha1 yang mungkin terjadi pada saat perusahaan 2 menetapkan p : Pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar 7, p,(p, ,p;)maksimum pada p;, tidak hanya di wilayah 3, melainkan juga pada seluruh daerah asal shategi. Sehingga perusaham 1 tidak akan mengubah harganya menjadi p, (harga yang memberikan laba lebii besar dan mengambil pangsa pasar perusahaan 2 ). Kedua, seperti ditunjukkan pada Gambar 8, laba perusahaan 1 lebii besar jika ditetapkan harga sebesar p, dibandingkan dengan p;
;
.
sehmgga (p; ,pi) bukan harga kesetimbangan . Proposisi 1 berikut ini menunjukkan bahwa kasus kedua terjadi bila a < 114 dan c/d > 21711 - 4a. Proposisi 1 Misalkan t(s, st)= cls -s'l +d(s - s')',
jika c/d > 16a2/(l-2a)' maka tidak ada harga kesetimbangan. 1 1 ii.Uutuk - < a < - , 6 4 jika cld > 2a/(l-4a)maka tidak ada harga kesetimbangan Bukti : ( l i a t Lampiran 5).
Gambar 8.
p;
bukan harga kesetimbangan.
Dari Proposisi 1, dapat diambil kesimpulan bahwa harga kesetimbangan tidak ada ketika lokasi kedua perusahaan berdekatan (nilai a kecil), dan ketika proporsi linear dari fungsi biaya hansportasi relatif lebii besar daripada proporsi kuadratik. Sedangkan pada saat c = 0 , nantinya akan ditunjukkan bahwa fungsi permintaan perusahaan 1 konkaf (selama a2~/apIz = O pada [p;:p;]) sehingga harga kesetimbangan akan dijamin keberadaannya. Sebalknya, bila d = 0 maka kita kembali ke model Hotelling. Untuk menjelaskan kedua kasus ini, akan digunakan model Hotelling yang ditulis oleh d'Aspremont (1979). Pada model ini, pasar berbentuk garis lums dengan panjang & .Pemsahaan 1 terletak di A dengan jarak dari sebelah kanan titik 0 sebesar a , dan pemsahaan 2 terletak di B dengan jarak dari sebelah kiri titik t adalah sebesar b , (a+bse,aro,b?0). Tanpa mengurangi keumuman, biaya produksi diasumsikan nol. Konsumen tersebar merata di sepanjang garis dan mengkonsumsi tepat satu unit barang per satuan waktu. Karena barang homogen, konsumen akan membeli produk dengan harga pembelian (harga produk + biaya hansportasi) yang terendah. Jika d = Omaka fungsi biaya hansportasi adalah linear, dan fungsi laba kedua perusahaan sebagai berikut :
1 1 1 ap, +-(t-a-b)p, +-plp2 - - p I 2 , 2 2c 2c !PI, jika P , < P , -c(e-a-b); 0, jika p, > p 2 +c(t-a-b).
jika
IPI
-pzIsc(e-a-bh
ep2, jika p2 < P , -c(e-a-b); 0, jika p2 z p , +c(e-a-b).
Proposisi berikut ini menunjukkan eksistensi harga kesetimbangan dengan menggunakan fungsi biaya transportasi linear.
Proposisi 2: Untuk a +b = B ,titik kesetimbangan yang tunggal diberikan oleh p; = p; = 0 . Untuk a + b < !f , ada satu titik kesetimbangan jika dan hanya jika
dan jika ada titik kesetimbangan ditentukan secara tunggal oleh :
Bukti :(lil~atLampiran 6). Berdasmkan Proposisi 2, maka apabila dipertimbangkan lokasi yang simetris di sekitar pusat pasar (a = b) maka syarat (2) dan (3) akan menjadi a = b < t/4. Dengan kata lain, pemsahaan 1 dan peNS&aan 2 hams menempati lokasi di luar kuartil pasar untuk mendapatkan harga kesetimbangan .
Jiia c = 0 maka fungsi biaya transportasi adalah kuadratik, sehimgga fungsi permintaan kedua peN~kIhaansebagai berikut :
+=
.. , j i a O s a + P2 -PI k(t!-a-b) 2 2c(&-a-b) P2 - P I +- e - a - b > & ; 2c(!-a-b) 2 &-a-b
pI -pZ 2c(f!-a-b)
++ ,j..~ k a0 s b + P I - P z 2 k(e-a-b)
+-
+-
e-a-b 2
st;
e-a-b 2
ie;
e-a-b >e ; 2 e-0-6
+-
Karena turunan kedua dari fungsi permintaan perusaham dengan nO1, maka az5/@: tidak berubah tandanya pada interval
[p;:p;] sehingga fungsi permintaan perusahaan 1 konkaf, dan begitu pula dengan perusahaan 2.
Sedangkan h g s i laba kedua perusahaan masing-masing didapat dengan mengalian harga dengan fbngsi permintaan sebagai berikut: P , ( P I , P ~ ) = P I . D I ( P I , P ~ )(6) P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ . D ~ ( P , >(7) P~) Kedua fbngsi laba tersebut menjamin eksistensi harga kesetimbangan, di setiap lokasi kedua pemsahaan. Dan pasangan harga kesetimbangan (p,* ,p2 tersebut ditentukan oleh :
'1
p
-
a
-
(91
(lihat Lampiran 7). Pasangan harga kesetimbangan tersebut merupakan titik kesetimbangan Nash yang tunggal
untuk nilai tetap a dan b , tanpa adanya syarat kondisi bagi parameter a dan b .Jika kedua harga kesetimbangan tersebut disubstitusikan ke fbngsi laba kedua perusahaan maka akan didapatkan nilai a ~ , ( p , .P20)laa , dan a ~ ~ ( p , ' , p ~ * )adalah lab negatif (lihat Lampiran 8). Hal ini menunjukkan adanya kecenderungan dari setiap perusahaan untuk menjauhi pesaingnya. Dari penjelasan di atas jelas bahwa eksistensi harga kesetimbangan bukan disebabkan oleh kekontinuan h g s i permintaan melainkan lebii disebabkan oleh kekonkafan fbngsi permintaan. Dengan h g s i biaya transportasi yang kuadratik maka eksistensi harga kesetimbangan dijamin untuk setiap lokasi yang dipilih setiap pemain.
MODEL I1 PERSAINGAN DENGAN VARIABEL LOKASI DAN PARAMETER HARGA Pada sejumlah industri, pemsahaan tidak menggunakan harga sebagai strategi karena terikat oleh perjanjian kartel atau harga ditentukan oleh mekanisme pasar. Dalam teori lokasi selain dengan mengurangi harga, untuk menarik konsumen dapat dilakukan dengan bersaing menentukan lokasi toko yang memastikan penjualan sebanyak mungkim. Jika lokasi kedua pemsahaan cukup dekat, maka permintaan tiap pemsahaan bergantung pada kedua lokasi pemsahaan. Misalkan ada dua perusahaan yang masing-masing memiliki satu toko bersaing pada pasar linear yang panjangnya satu. Lokasi perusahaan 1 yakni s, < 112 sedangkan perusahaan 2 terletak pada s2 = s, -E,E> 0 dan sangat kecil. Ukuran pasar bagi pemsahaan 2 adalah sl -c/2. Kemudian misalkan perusahaan 2 memilih lokasi S; = s , +E, maka ukuran pasar pemsahaan 2 menjadi l - s , - 612 yang nilainya lebih besar dari S , - ~ / 2 selama s1 < 112 . Dengan kata lain perpindahan perusahaan di luar titik tengah 112 menimbulkan ketidakkontinuan pada ukuran pasar dan juga fbngsi permintaan.
Dalam ha1 ini ukuran pasar bagi suatu pemsahaan adalah gugus konsumen yang letaknya iebii dekat ke perusahaan tersebut daripada ke pesaingnya. Diasumsikan ada dua perusahaan terletak pada p a w yang panjangnya sahl dan konsumen menyebar merata di sepanjang pasar. Misalkan lokasi pemsahaan 1 di luar titik pusat, maka pemahaan 2 dapat memaksimumkan imbalannya dengan menentukan lokasi di dekat pemsahaan 1 pada sisi yang lebih panjang. Tetapi kemudian pemsahaan 1 punya insentif untuk 'melompati' pesaingnya selama diizinkan untuk menambah ukuran pasarnya. Perilaku seperti ini mencegah lokasi selain titik pusat sebagai lokasi kesetimbangan. Sedangkan jika kedua pemsahaan berlokasi di pusat pasar, tiap perusahaan mendapat 112 bagian pasar, sehingga pergerakan suatu perusahaan secara sepihak akan menyebabkan pengurangan ukuran pasamya. Dengan kata lain, satu-satunya lokasi kesetimbangan untuk kedua perusahaan adalah di tengah-tengah pasar.
MODEL III PERSAINGAN DENGAN VARIABEL HARGA DAN LOKASI Jiia sebelumnya perusahaan diasumsikan hanya menggunakan strategi tunggal yakni harga saja atau lokasi ~ a h .Maka sekarang perusaham dibolehkan memilih lokasi dan harga sekaligus. pembahasan h i dapat dimodelkan menjadi dua, yakni dengan permainan serentak dan permainan dua tahap.
Permainan serentak (simultaneous game) Pada permainan ini, strategi i, - bagi - perusaham dengan i =1,2 adalah (Pi,~;).Dan kesetimbangan harga-lokasi adalah strategi (pf,sj) sedemikian sehingga ,Vp, 2 0,Vs; E S,i = 1,2, i # j :
.P;(~~,S~).(P;,S~))=PJD;(~J.S~).~;,S;)) 2 P;.,((P; Pada permainan serentak ini tidak ada kesetimbangan harga-lokasi, apapun fimgsi biaya transportasinya. Untuk membuktiiannya, misalkan ada kesetimbangan harga-lokasi. Maka pada kesetimbangan ini tiap perusahaan mendapatkan laba yang positif dan berimplikasi p; + 0 dm p; + 0. ~k~ muncul dua kasus:
+
Pertama, s,' + s; . Tanpa mengurangi keumuman kita asumsikan laba perusahaan 2 lebii besm atau sama dengan laba perusahaan 1. Maka perusahaan 1 dapat meningkatkan labanya dengan memili Fl = sz dan mengubah harganya menjadi p, = pp; - E, E > 0 sangat kecil, sehingga
(61 b 6;
b 6;
PI ,q ,s; ))> P Z ( ~3 s;; >s;)) dan sekarang permahaan 1 menda~atkanseluruh pasar dengan harga pl =pi -&, sehingga
).(P;,s;))=p;((P; ,s; )(p;,sj)) ~ e d s;~= s;. ~ ,
.Sf
+
Dan haruslah P; = P; # O agar kedua perusaham mendapatkan laba positif Tetapi dengan argumen Bertrand, yang menyatakan bahwa ketika kedua perusahaan berada pada suatu lokasi yang sama maka memimi harm 1eb.i besar permahaan mempunyai insentif untuk mengubah harganya menjadi lebii kecil dari harga pesaingnya maka pada & h i m diperoleh p,' = p; = 0 .Hal h i kontradiisi
*
dengan pemyataan p; = p; . Permainan dua tahap (M-stage game) Pada permainan ini, lokasi dipili lebii dahulu (pada tahap pertama) baru kemudian menentukan harga @ada tahap kedua). (sl ,s2 p; (sl ,sz))harga kesetimbangan Misalkan berkaitan dengan pasangan lokasi (sl,s,), maka titik pe+ct equilibrium untuk pasangan harga-lokasi adalah s; )(p;,s;))sedemikian sehingga :
(P;
).
(6;.
P~((F,.sI~(P;~~;))>P~(~;~s;~(P;,s;)). Hal ini kontradiii dengan pernyataan (pf ,sf ) adalah kesetimbangan harga-lokasi.
ii.
=p;(s;,s;)
iii. P;(sf,s;)~~(sf,s;;pj(~f,~j)p;(~f,~;))~p~(~i,s;)~j(si,s;;~f(sj,s;)~;k~,s;)) Meskipun lokasi dipilih pada tahap pertma, namun pada saat memilih lokasi tiap perusahaan mengantisipasi konsekuensi pilihan mereka terhadap pilian harga pada tahap selanjulnya. Akan digunakan &nisi biaya transportasi
kuadratik, t(s, s')= d(s -s')2;s,sf E s = [o,I~d > 0. Sehingga fimgsi permintaan tiap perusahaan adalah sebagai berlkut :
~ -s:) jika p, > p ; = F +d(s: D I ( P I , ~ s ,{) = ~ / - p2 ,4+2 d- (S Is) ~ - s, ~j..~)k a p; > p i ? p ; = & - d ( s 2 - s 1 X 2 - s 1 - s , )
dan
1:
~2(jS;,p2)=
jika p, < P;; jika p2 2 p ; = p l + d ( s 2- s l J 2 - s , -s2A
p, - p 2 +d(s2 - ~ , X z - s ,- s 2 ) , j~ka .. p ; > p 2 2 p ; = p l - d ( S : - s ; ) 2 4 2 -9 )
jika p2 < p ; .
Dari limgsi pennintaan di atas tampak bahwa untuk setiap lokasi ( s I . s 2 ) , limgsi permintam konkaf yang berimpliiasi pada limgsi laba yang kuasikonkaf pada harga, sehiigga menjamin adanya harga kesetimbangan
(lihat Lampiran 9). Pasangan harga pada persamaan (10) dan (1 1) merupakan harga kesetimbangan yang tunggal (s, , s 2 ) .Lalu substitusikan harga tersebut ke ( P : ( ~ I > ~ ~ X P ; ( ~ I ~ ~ ~ ) ) untuk . Dengan menggunakan s p a t turunan pertama limgsi laba (limgsi permintaan dikalikan harga diperoleh : kesetimbangan ) keduaperusahaan sehingga limgsi laba hanya m e ~ p a k a nh g s i dari s, dan s 2 , yakni:
(lihat Lampiran 10). Dengan menggunakan syarat turunan pertama, ternyata diperoleh aP,/as, bernilai negatif sedangkan aP2/as2 bernilai positif, yang artinya pergerakan suatu perusaham menjauh
dari pesaingnya akan mendatangkan laha yang leb'i besar sehingga perusaham 1 dan perusahaan 2 akan bergerak sejauh mungkii dari pesaingnya. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Hal ini menyebabkan tiap perusahaan memilih lok=i perusaham pads titik ujung-ujung Pmar,
sehingga perfect equilibrium untuk pasangan harga lokasi adalah : ((& ,s; (p;, s;))= ((d,~),(d,l))
1
KESIMPULAN Pada persaingan spasial duopoli yang menggunakan variabel strategi harga, eksistensi barga kesetimbangan ditentukan oleh kekonkafan fungsi permintaan, bukan oleh kekontinuan fungsi permintam. Untuk h g s i biaya transportasi yang linear-kuadratik, eksistensi harga kesetimba&& ditentukan oleh jar& antara kedua perusahaan, juga perbandingan antara parameter linear dan kuadratik. Harga kesetimbangan tidak ada ketika lokasi kedua perusaham berdekatan (nilai a kecil), dan ketika proporsi linear dari fimgsi biaya hansportasi relatif lebih besar daripada proporsi kuadratik. Sedangkan bila menggunakan fungsi biaya transportasi Yang kuadratik, maka fungsi
pennintaan konkaf dan harga kesetimbangan dijamin keberadaannya. Sebaliiya, untuk fungsi biaya transportasi yang berbentuk linear, harga kesetimbangan ada untuk kondisi tertentu. Pada persaingan spasial duopoli yang menggunakan sha& lokasi, satu-satunya lokasi kesetimbangan bagi kedua perusahaan adalah di tengah-tengah pasar. Sedangkan bila kedua perusahaan menggunakan strategi harga dan lokasi sekaligus, keset&bangan tidak dicapai apabila pemilihan lokasi dan harga dilakukan secara serentak. Namun bila pemilihan strategi dilakukan secara bertahap, maka kesetimbangan harga-lokasi dicapai, yakni ((p; ,s; s;))= ((d,~),(d,lf)
DAFTAR PUSTAKA Chiang, A. 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition. Mc Graw - Hill International Book Company. . Singapore. ~
d'Aspremont, C., J. J. Gabszewicz, and J-F Thisse. 1979. On Hotelling's Stability in Competition. Econometrics, 47: 1145-1 150. Friedman, J. W. 1977. Oligopoly and The Theory of Games. North Holland, Amsterdam. Gabszewicz, J. J. and J-F Tbisse. 1986. Location Theory. Hawood Academic Publishers. New York.
Gibbons, R 1992. Game Theory for Applied Economist. Pi-imceton University Press. Ney Jersey. Purcell, E. J. & D. Varberg. 1996. Kalkulus dun Geometri Analitis. Jilid I . Terjemahan I Nyoman S. et a/. Erlangga, Jakarta. Rasmusen, E. 1990. Games and Information. Blackwell Ltd. Cambridge.
Lampirau 1. Definisi (himpunan konveks) Suatu himpunan K dikatakan himpunan konveksjika Vx, ,x, c K maka X E K , dengan X = ~ l + ( l - A ) x , , O s A s l . Defiuisi dan ilustrasi fungsi kuasikonkaf Suatu fungsi f merupakan fungsi kuasiionkafjika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang mempakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQXU) j dan f merupakan fungsi kuasikonkafsempumajika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang merupakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQflu) -t ffhu+(l-h)vl >xu).
4 6"'
Kuasikonkaf sempuma
Kuasikonkaf
Lampirau 2. Bukti syarat cukup untuk fungsi imbalan yang kuasikonkaf Teoremal : Misalkanf fungi yang terdehisi pada himpunan konveks Q. Jikaf fungi konkafmakaf fungsi kuasikonkaf. Bukti: Misalkanf merupakan fungsi konkaf. Maka krdasarkan definisi : (1) fihu+(l-h)vI> ;\Xu)+ (1-hxv), untuk setiap u, v 6 Q, dan 0SX1. diasumsikanflv) >Xu) maka (2) Mu) + (1-hxv) ~ 1 1 ) . Dari pertidaksamaan (1) dan (2) maka (3) nhw+(l-h)vl >Xu) denganflv) >Xu). Berdasarkan pertidaksamaan (3) makaf merupakan fungsi kuasikonkaf. qed. Akan dibuktikan : Jika f i g s i permintaan (D) konkaf maka fungsi imbalan ( P = p D ) kuasi konkal: Pertama kali akan dibuktikan bahwa Jika D fungsi konkafmaka P =pD merupakan fungsi konkaf. Bukti : Diketahui bahwa fungsi permintaan (D) konkcdmaka krdasarkan definisi : (4) m u ) + (1-h)D(v) < D[hu+(l-h)v], untuk setiap u, v E R, dan OshSl. Untuk suatu konstanta p 2 0 maka p m u ) +pfl-h)D(v)
= pD
Lampiran 3. Bukti persamaan (1) pl i t ( ? - s , ) = p2 +t(s2 - F ) '(F-st)-t(s, - s ) = ~ ,- p ,
Karena t merupakan fungsi naik maka
Karena t merupakan fungsi yang terturunkan dua kali maka
Lampiran 4. Gamhar penurunan fungsi permintaan perusahaan 1
seh'mgga :
Lampirau 5. Bukti Proposisi 1 I'roposisi 1 Misalkan f ( s , s 1 ) = 4 s - s ' l + d ( ~ - s ' ) ~ ,
A, jika c/d > 1 6 ~ ~ / ( 1 - 2 a maka ) ~ tidak ada harga kesetimbangan. 6 1 ii.Untuk - s a < A,jika cld > ~ a t ( l - 4 a ) maka tidak ada harga kesetimbangan. 6 4 i.Untuk 0 < a <
Bukti : Misalkan (p; ,p;)adalah harga kesetimbangan. Ada 3 kasus yang mungkin terjadi :
pmm& (P;,P;)cD1 ={(PI 3 P 2 ) i + a < 4 1.P2)S1} Dengan menggunakan persamaan p, +c(i-sl )+d(S-s, )Z = p, +c(i-s, )+d(S-s2)2 didapat solusi p, - p, + 2ad -2ac p2- pI +2ad -2ac ?(PI P2 = s e h m g g a ~ , ( P ~ , P , ) = P ~ - 4ad dan 4ad p, -p, +2ad+2ac ~ ~ ( P I ~ P ~ ) = P 4ad z 9
Dengan syarat turunan pertama :
3 =0dan 3=0 didapt fi,
dan
fi2
sedemikian sehmgga
8 ~ 2
@I'
1 F(j,, A ) < ? + a . Jadi (p;,p;)tidak k a d a di dalam Dl, dan karena itu haruslah memenuhi .!, ~ ( p ; ,p;)= 1, tetapi p; hukan respon terbaik dari perusahaan 2 karena P, (p; ,p;)= 0 . ~ a d tidak i ada harga kesetimbangan di Dl.
Dengan argumen yang sama seperti di atas, tetapi indeks 1 dan 2 d i n g dipxhbrkan, ditunjukkan bahwa 4 tidak memuat harga kesetimbangan.
.
1 Ketiga, ( P ; , P ; ) E ~ ~={(PI.P2ki-aSi(Pl.P2)5
Dengan m e n p a k a n persamaan p, +c(S-s, )+d(F-s,
1 ila}
)2 = p,
+c(s, -i)+d(s2 -5), didapat solusi
p, -p, + 2 a d + c P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ 4ad+2c ~ n g a syarat n turunan pertama diperoleh p;
= p; = 2ad + c dan
P,(P;,
p;)=f', (P;, P;
Misalkan diberikan p; ,akan diselidiki tanggapan terbaik dari perusahaan 1 (&)pada
dan pada
Akan diselidiki dallulu tanggapan terbaik dari perusahaan 1 pada A,
.
)= ad +c/:
Nilai maksimum dari p , ~ ( p l p;)pada ,
Fl = 2ad+ac+c/2.
[O,m)dicapai pada harga
Lalu didapat
>--a, jadi tidak ada tanggapan terbaik terhadap p; pada A , . 4ad 2 Sedangkan pada A,, dengan cara yang sama didapat nilai maksimum dari p,Sb,,p;)pada
[0, m) dicapai pada harga pi = 2ad +c/2 -ac
,
Untuk c/d 5 4a/(l - ~ a ) , ~ ( p ;pi)< , 1sehingga ii, = p; Untuk c/d > 4a/(l-2a),S(p;, p;)> 1yang berimplikasi pi bukan tanggapan terbaik perusahaan 1 terhadap
pi.
Pada kasus ini jika 1- S(p, ,pi)=0 maka Fl = c(1- 2a). Jadi F, = 2ad + c/2 - ac untuk c/d 5 4a/(l- 2a)dan . jj,=c(l-2a) untnk c/d >4ai(l-2a). 1. Pertama, misalkan c/d r 4a/(l-2a)maka p,b,,p;)> P,(p;,P;)
jika c/d >16a2/(l-2a)Z dan 16a2/(1-20)'
<4a/(l-2a)jika a<1/6.
c 4a <-5maka tidak ada harga kesetimbangan di D 3 . ( 1 - ~ a ) ~ d (1-2a) 2. Kedua, misalkan c/d > 4a/(l- 2a)maka
Sehingga jika a
16a2
P, b , , p;)> 4 (p;,
p;) jika c/d > 2a/(l-4a), asumsikan a < 114 lalu 4a 2a 1 > (<)jika a < (2)(1-2a) (1-4a) 6 Jadi tidak ada harga kesetimbangan di D,
1 16a2 c <- atau Jika a < - dan 6 ( l - ~ a ) ~d 1 1 2a c Jika - < a < - d a n -<-. 6 4 (1-4a) d Syarat diatas juga berlaku untuk perusahaan 2, dengan mengasumsikan perusahaan 1 menetapkan harga
P; .
qed
Lampiran 6. Bukti Proposisi 2 Proposisi 2 Untnk a + h = !,titik kesetimbangan yang unik diberikan oleh p1* -Pz titik.kcsetimbanganjika dan hanya jika
dan jika add titik kesetimbangan ditentukan secara tun&
Bukti :
oleh :
*
=O.Untuka+b
.
( +)
Untuk a c b = e berarti kedua prcdusen berada pada suatu titik lokasi yang sama sehingga biaya transportasi yang dibebankan oleh kedua produsen kepada setiap konsumen sama bsamya. Karena itu setiap konsumen &pat membeli barang yang memiliki harga terendah tanpa memperhatikan biaya transportasi. Setiap prcdusen betusaha mendapatkan konsumen yang paling banyak sehingga yang memiliki harga lebih tinggi akan menurunkan harga sehiigga menjadi lebih rendah dari yang lain, ha1
.
ini terjadi terus menerus sampai akhimya harga kesetimbangan akan tercapai pada p,' = p,' = 0. Untuk a + b < t ,akan dibuktikan : Jika ada satu titik kesetimbangan (p,., p,') maka
d e a n ' pI =
.(! + y)
(4) d m p2.
akan ditunjukkan
Pertamq
=c(!-y)
bahwa
(5).
setiap
kesetimbangan
hams
memenuhi
kondisi
Ip,' - p,*l < c(t - a - b) . Akan dibuktikan dengan metode kontradiksi.
merupakan harga kesetimbangan tetapi p,' -p,.l >c(e-a-b), artinya sdah
MisaUtan
satu prcdusen yang harganya lebih besar mendapat l a b = 0 dan karena itu ia akan mengubah harganya hingga sama dengan yang lain agar mendapatkan l a b Hal ini kontradiksi dengan (p,., p,')adalah harga
kesetimbangan.
Midan
(p,', p,')
merupakan harga kesetimbangan tetapi
l p l * -p2'l
= c(e -a -b) . Misalkan
p2*-PI* =c(e-u-b) :
Jika p,' = 0 maka perusahaan 1 mendapat lab=O sebingga ia akan mengubah harganya menjadi lebii kecil d a i p,' + c ( t - a - b ) agar mendapatkan laba. Hal ini kontradiksi dengan (p,.,p,') adalah harga kesetimbangan.
+
Jika p,' > 0 maka akan muncul dua kemungkinan :
.
Perusahaan 1 mendapatkan semua konsumen sehingga perusahaan 2 menurunkan harganya supaya mendapatkan l a b . Kontradiksi dengan
(p,.,
p,')adatah harga kesetimbangan.
Perusahaan 1 h a n y mendapat sebagian konsumen, misalkan q, < e kemudian ia perlu menurunkan harga untuk mendapatkan seluruh konsumen dan meningkatkan labanya. Jadi untuk
dengan (p,', p,') adalah harga kesetimbangan .
Jadi telah ditunjukkan bahwa setiap kesetimbangan Jadi
untuk
setiap harga
6,.,p,')
kesetimbangan
harts memenuhi
( p l , p ) , p,.
1 upI +-(e -a -b)p, + ( 1 / 2 c ) ~ -(1/2c)p,~ ~*~, pada interval harga 2
dan p,'
1 harus memaksiiunkan bp, +--(e-a-b)P2
Dengan s w a t turunan pertama maka : 1 P,* %=a+-(e-a-b)+---=O 7 2c PI
PI.
-
1 &=a+-(f-a-b)+C 2
c
PZ*
2c
1 p,' =ac+-c(j-a-b)+2
~ 2 '
2
1 PI' aPz -b+-(e-a-b)+---=O --
ap2
2
............... (#I) PZ'
2c
c
1 PI* k=b+-(P-a-b)+C 2 2c
1 p,' =be+-c(e-a-b)+2
PI'
2
.............. (#2)
kemudian substitusi (#2)ke (#I) : 1 1 1 1 p,' =ac+-c(C-a-b)+-bc+-c(t-a-b)+-p1 2 2 4 4 3 * 1 3 - p , =ac+-bc+-c(l-a-b) 4 2 4 . 4 2 p, =-nc+-bc+c((-0-6) 3 3 . 4 7 p, = c -u+--b+E-a-b (3 3
I
= C ( r +?I
(4)
.
IP '
-P2'l < e(e -a-b).
haus
memaksimumkan
6,' -c(t -a -b), p,'
+ c(e- a- b)),
+ ( 1 / 2 c ) ~ ,-(1/2c)p,~ '~~ pada interval harga
dengan cara y n g sama substitusikan (#I) ke (#2) : 1 1 1 p,' =bc+-c(!-a-b)+-ac+-c(e-a-b)+-p2 2 2 4
1 4
.
Sekarang akan dihuktikan bahwa (4) dan (5) benar-benar suatu kesetimbangan. Ingat bahw untuk menjadi kesetimbangan, strategi p,'harus memaksimumkan
(p,,p,.) tidak hanya pada interval di atas. tetapi
pada seluruh daerah asal S, , dan begitu pula dengan p,'
.
Mari dilihat bahwa hal ini h a r hanya pada suatu himpunan terbatas dari lokasi y n g mungkin. Diberikan a dan b , agar p,*menjadi suatu strategi kesetimbangan terhadap p,'maka untuk setiap E > O ,
a-b
2
ze[p2' -c(t-a-a)-a]
(*) ~ , ( ~ , * , ~ ~ * ) = f
Bagian kanan dari pertidaksamaan di atas adalah laba perusaham 1jika ia memberikan harga pembelian
yang sedikit lebih kecil dari p,'
.
Tetapi kondisi (*) dapat dituliskan kembali sebagai (2) :
Dengan cara xrupa dapat dituliskan pula bagi perusaham 2 sebagai krikut : a-b P2(p,.,p2*)=i[(-j]
2
re(pl*-c(e-a-b))
( t )Untuk a +b < e akan dib&ikan
jika : ( f + ~ )r:t(a+'2b) '
p; =.it+?)
........(2)
.........- (5)
Bukti : 2
(I+?)
4
t - e ( ~ + 2 b )........(2) 3
[ ( ";"
re c e---
-c(t-a-b)
1;
misalkan c
[e--
=A
Untuk
E
z0 yang sangat kecil, maka dapat dituliskan :
f->_&(B-c(e-a-b)-E)................. p2) 2 Perhatikan pertidaksamaan (*I) dan (*2) juga h g s i imbalan (profit) yang telab diberikan, maka kedua pertidaksamaan tersebut bagian kanannya adalah laba perusaham jika mendapat seluruh konsumen/pasar ( C ) , sehingga &pat dituliskan :
=(
-
Jika kedua persamaan pl dan p2 di atas disubstitusikan ke dalam fungi prolit Liap perusahaan diperoleh : 2
a-b P ~ ( P ~ , P ~ ) = $ ~3+ - ) d-
a-b P ~ ( P ~ . P ~-) = + ( ( 3- - )
2
Sehingga &pat dituliskan kembali sebagai : 2
r e [ p 2- c ( e - a - b ) - E ]
.............. (#I)
Pertidahamam di atas menunjukkan suatu keadaan kesetimbangan sehingga p, dan p2 merupakan harga kesetimbangan atau :
Karena prdan p; m e ~ p a k a nharga kesetimbangan, maka dengan cara yang sama seperti pembuktian ke arah sebaliknya, dapat dibuktikan bahwa p; dan p; memenuhi kondisi lp; -p;l< c(e-a-b) Lampiran 7. Harga kesetimbangan kuadratik P,(P~,P~)=P~.D,
Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan penama :
a4 --a+
PI
~ 2 ' PI' zc(e-a-b)-c(e-a-b)
'1
C(C-a-b)
=a+
P2 +2c(e-a-b)
+- e-a-b
=0
2 e-a-b 2
Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan pertama : ap2 -=b+
a,,,
PI 2c(e-a-b)-c(!-a-b)
+ e-a-b =
Lalu substitusikan ('2) kc dalam (*I) :
2
o
.
qed
Untuk mendapatkan p 2 * ,substiwikan (*l) ke dalam ('2) :
Lampiran 8. Kceendernngan pernsahaan menjauhi pesaingnya
kemudian substitusikan nilai-nil2 p1' dan p2*yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada prrsanaan di atas :
Jadi P,(p,.,p2*)=~(!-a-b@+-]
a-b
2
3
kemudian substitusikan nilai-nilai p,'dan p2'yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada persamaan di atas :
ap2 --f ab
b-a
2
2
Lampiran 9. Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi
Bukti :
. - .. Untuk mendapatkan laba maksimum maka digunakan syarat tunman pertama :
Lalu substitusikan persamaan (2) ke persamaan ( I ) : p; +d(s2 -s,)(2-s1 -s2)+2d(s: - s f ) P; = 4
Kemudian substitusikan persamaan (10) ke persamaan (2) : d(s2 -sIX2+s1 +s2)+3d(s2-slX2-s, - s 2 ) P; = 6
Lampiran 10. Fungsi laba perusahaan untuk pcrsaingan harga dan lokasi
Akan dibuktikan &((s, , p ; ) ( s 2 , p ; ) ) = d ( s 2-s1X2+sI +s2)2 18
Substitusikan persamaan (10) dan (11 ) ke persamaan ( 1 ) dan (2) :
(1 1)
Fungsi laba kedua perusahaan adalah sebagai berikut :
.......... (5) 4((S1.~)(S2.P;))=$(slrsZ)4 .......... (6) P ~ ( ( ~ , P ; ) ( S Z . P ; )P;(SI.S~)Q )= Kemudian substitusikan persamaan (10) dan (3) ke persamaan (5) : 4(k1,P;)(s27~))=$(S2
-sl&+sl + S 2 ) 2
............ (I2)
Substitusikanjuga persamaan (1 1) dan (4) ke persamaan (6) : P ~ ( ( S ~ , $ ) . ~ ~ , ~ ; ) ) = $ (- Ss~ ~
x ~ -s$ - s ~...........(13)
qed
