PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI PARAMETER GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE (GSTAR) DENGAN VARIABEL EKSOGEN BERTIPE METRIK

Prosiding Seminar Nasional Manajemen Teknologi XXIII Program Studi MMT-ITS, Surabaya 1 Agustus 2015

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI PARAMETER GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE (GSTAR) DENGAN VARIABEL EKSOGEN BERTIPE METRIK 1)

Reza Mubarak1) dan Suhartono2) Program Pasca Sarjana Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Raya ITS, Surabaya, Indonesia e-mail: [email protected] 2) Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember

ABSTRAK Penerapan dan pengembangan studi peramalan (time series) telah meningkat seiring berjalannya waktu untuk menjawab semua kebutuhan manusia. Salah satu model time series yang melibatkan aspek spasial (spatio-temporal) adalah Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR). Model GSTAR dapat diterapkan pada karakteristik sampel lokasi yang heterogen. Sampai saat ini, model GSTAR masih terbatas pada data spatio-temporal yang stasioner dan jarang melibatkan prediktor yang bertipe non metrik apalagi metrik, yang disebut GSTARX. Estimasi parameter pemodelan spatio temporal masih terbatas dengan menggunakan Ordinary Least Square (OLS) yang kurang efisien dikarenakan residual saling berkorelasi. Generalized Least Square (GLS) adalah salah satu alternatif metode estimasi parameter untuk residual yang saling berkorelasi yang sering digunakan dalam model Seemingly Unrelated Regression (SUR). Pada penelitian ini ingin mendapatkan besaran statistik yang sesuai untuk mengidentifikasi order Autoregressive untuk dependensi waktu dan order efek dari variabel eksogen pada model GSTARX. Karena itu, dari hasil enam simulasi didapatkan kesimpulan bahwa metode estimasi GLS lebih efisien dibandingkan estimasi OLS dengan residual berkorelasi maupun tidak berkorelasi. Kata kunci: GSTARX, Dua Level, OLS, GLS.

PENDAHULUAN Peramalan telah menjadi bagian penting dalam kehidupan manusia di berbagai aspek. Sebagai individu, kita mencoba untuk memprediksi keberhasilan dalam pekerjaan dan investasi kita. Di dalam dunia pemerintahan diperlukan peramalan ekonomi, dampak lingkungan dan dampak dari kebijakan-kebijakan sosial yang dibuat. Oleh karena itu, penerapan dan pengembangan studi peramalan telah meningkat seiring berjalannya waktu untuk menjawab semua kebutuhan manusia (Armstrong, 2002). Model univariat dan multivariat yang paling populer digunakan masing-masing adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan Vector Autoregressive Integrated Moving Average (VARIMA). Model ARIMA adalah suatu model peramalan data metrik (interval atau rasio) untuk memodelkan dan menjelaskan dependensi waktu pada suatu data deret waktu univariat. Pemodelan ini merupakan salah satu pemodelan peramalan (time series) linier sehingga bagus dan baik digunakan pada data yang linier pula. Sedangkan Model VARIMA menjelaskan keterkaitan antar pengamatan pada variabel tertentu dengan variabel lain yang juga memiliki keterkaitan antar waktu (Reinsel, 1993). VARIMA juga dapat digunakan untuk melibatkan

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-1


faktor ketergantungan lokasi (spasial) yang membuat model ini cukup fleksibel yang tidak hanya melibatkan ketergantungan waktu saja. Walaupun VARIMA sangat fleksibel, tapi model ini memiliki terlalu banyak parameter yang tidak diketahui untuk diestimasi dari series data yang terbatas. Suatu bentuk khusus dari model VARIMA adalah model yang menggabungkan interdependensi waktu dan lokasi yang dikenal dengan model Space-Time Autoregressive (STAR). Pfeifer dan Deutsch (1980a, 1980b) adalah peneliti yang pertama kali memperkenalkan model ini. Model STAR yang dikembangkan oleh Pfeifer dan Deutsch mengandung suatu parameter yang sama untuk menjelaskan keterkaitan pada lokasi dan waktu yang berbeda. Kelemahan dalam pemodelan dengan menggunakan STAR yaitu model ini hanya berlaku untuk lokasi homogen karena semua lokasi memiliki nilai parameter spasial dan time series yang sama, sehingga kurang efisien jika lokasi bersifat heterogen. Ruchjana (2002) menawarkan suatu model untuk mengatasi hal tersebut,yaitu Generalized STAR (GSTAR). Model GSTAR adalah generalisasi umum dari model STAR, yang model GSTAR dapat diterapkan pada karakteristik sampel lokasi yang heterogen. Dalam suatu peramalan, seringkali variabel eksogen dilibatkan untuk mendapatkan tambahan informasi dan meningkatkan akurasi ramalan. Model ARIMAX adalah salah satu model peramalan yang melibatkan suatu eksogen. Dalam hal ini, X merupakan notasi dari variabel eksogen yang dapat berskala metrik (interval atau rasio) atau non-metrik (nominal atau ordinal). X berupa metrik dikenal dengan model Fungsi Transfer (Box et al., 2008), sedangkan untuk X non-metrik dikenal dengan Model Intervensi (Bowerman dan O’Connell, 1993) dan Model Variasi Kalender (Liu, 2006). Generalized Least Square (GLS) adalah salah satu alternatif metode estimasi parameter untuk residual yang saling berkorelasi (Zellner, 1962). Zellner juga menawarkan sistem persamaan yang terdiri dari beberapa persamaan regresi yang memiliki residual yang saling berkorelasi, yang disebut model Seemingly Unrelated Regression (SUR). Dikarenakan model GSTAR berkorelasi yang diakibatkan keterkaitan antar lokasi maka penelitian ini dilakukan untuk mengembangkan model spatio temporal dengan suatu eksogen metrik dengan menggunakan model GSTARX, khususnya dengan metode estimasi parameter GLS yang selanjutnya ditulis dengan GSTARX-GLS. Generalized Least Square (GLS) adalah salah satu alternatif metode estimasi parameter untuk residual yang saling berkorelasi Tujuan yang hendak dicapai dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan besaran statistik yang sesuai untuk mengidentifikasi order Autoregressive untuk dependensi waktu dan order efek dari variabel eksogen pada model GSTARX. METODE Kajian simulasi yang dilakukan menggunakan model GSTARX-OLS dan GSTARXGLS dengan bobot berdasarkan normalisasi inferensia korelasi silang. Berikut ini adalah langkah-langkah dalam pembentukan model GSTARX-OLS dan GSTRAX-GLS pada data simulasi, yaitu: a. Membangkitkan residual data yang berdistribusi multivariat normal dengan rata-rata sama dengan nol dan matriks varians-kovarians untuk tiga lokasi dengan residual tidak saling berkorelasi antar semua persamaan atau lokasi dan n = 300. Matriks varians-kovarians yang digunakan adalah: (1)

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-2


b. Koefisien parameter yang digunakan harus sesuai dengan syarat stasioner parameter model GSTAR, yaitu nilai eigen parameter kurang dari satu, selanjutnya dapat ditulis , , dengan . Parameter yang digunakan tersebut dapat dilihat pada persamaan matriks sebagai berikut: (2) c. Data bangkitan residual dibentuk menjadi model VAR(1) yang selanjutnya data ini menjadi variabel eksogen, . d. Melakukan kembali tahap (a) dan (b) dengan parameter

yang digunakan adalah :

(3) dan matriks varians-kovarians untuk data residual yang dibangkitkan dijelaskan sebagai berikut; i. Residual tidak saling berkorelasi antar semua persamaan atau lokasi, dengan untuk semua i ≠ j. (4) ii.

Residual tidak saling berkorelasi antar semua persamaan atau lokasi, dengan untuk semua i ≠ j. (5)

iii. Residual saling berkorelasi antar semua persamaan atau lokasi, dengan dan untuk semua i ≠ j. (6) iv. Residual saling berkorelasi antar semua persamaan atau lokasi, dengan dan untuk semua i ≠ j. (7) v. Residual saling berkorelasi antar beberapa persamaan atau lokasi, dengan dan ada beberapa untuk semua i ≠ j.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-3


(8) vi. Residual saling berkorelasi antar beberapa persamaan atau lokasi, dengan dan ada beberapa untuk semua i ≠ j. (9) e. Melakukan validasi terhadap residual yang dibangkitkan apakah sudah sesuai dengan simulasi yang ditentukan sebelumnya, f. Mendapatkan data series untuk tiga lokasi dengan model VAR (1). g. Mendapatkan data series dari

ketiga lokasi dengan memasukkan bobot respon impuls

bertipe metrik dengan dua skenario. Efek semua lokasi sama pada

dengan skenario bobot respon impuls berpola dan

dengan

.

Nilai = 0 bertujuan agar efek dari intervensi lag-nya terbatas sehingga bisa diketahui lag yang berpengaruh. h. Level 1 : Meregresikan dengan sesuai dengan skenario yang digunakan dengan metode OLS dan mendapatkan estimasi bobot respon impuls serta mendapatkan residual . i. Level 2 : Mengestimasi

dengan menggunakan parameter model GSTAR dengan

metode OLS dan GLS. j. Membandingkan hasil estimasi model GSTARX-OLS dan GSTARX-GLS serta menghitung nilai efisiensi dari metode GLS. HASIL DAN PEMBAHASAN Residual dibangkitkan berdasarkan dari matriks varians kovarians yang sudah ditetapkan untuk tiap simulasi. Masing-masing residual untuk variabel dan dari keenam simulasi tersebut dibentuk menjadi model VAR (1). Pada tiap simulasi, skenario yang dilakukan memiliki bobot respon impuls berpola , sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut: (10) (11) dengan dan Sedangkan model GSTAR(11) yang dibangkitkan secara umum ditulis dengan persamaan sebagai berikut: (12) dalam bentuk matriks dapat ditulis seperti berikut.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-4


(13) Proses untuk mendapatkan persamaan (13) dilakukan estimasi dengan dua level, yaitu: a. Level 1 : Data dilakukan estimasi parameter untuk mendapatkan nilai estimasi dan standart error (SE) bobot respon impuls terhadap variabel dan dengan menggunakan OLS dan GLS. b. Level 2 : Residual dari hasil estimasi parameter di Level 1 menjadi yang nantinya diestimasi dengan OLS dan GLS untuk mendapatkan hasil estimasi dan SE parameter dari model GSTAR(11). Setelah dilakukan estimasi parameter GSTARX dengan menggunakan OLS dan GLS, maka dapat diketahui efisiensi GLS yang didapat dari persamaan sebagai berikut. SE ( ˆ )  SEGLS ( ˆ ) Efisiensi SE ( ˆ )  OLS  100% (14) SE ( ˆ )





OLS

Berikut hasil estimasi parameter di level 1 pada model GSTARX(11) 1 beserta efisiensi metode GLS pada simulasi 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter Bobot Respon Impuls di Level 1 Simulasi 1 OLS Simulasi

Lokasi

Parameter

1 1

2 3 1

2

2 3 1

3

2 3 1

4

2 3

Nilai Estimasi 15.100 -10.050 14.964 -10.075 14.857 -9.987

GLS

Efisiensi (%)

0.05866 0.05870 0.05579 0.05580 0.06021 0.06021

Nilai Estimasi 15.092 -10.056 14.958 -10.065 14.866 -9.999

0.05817 0.05822 0.05515 0.05517 0.05946 0.05946

0.832 0.823 1.138 1.131 1.239 1.257

14.949 -9.837 15.044 -9.990 15.036 -9.995

0.06488 0.07126 0.05084 0.04855 0.05657 0.06315

14.931 -9.843 15.049 -9.991 15.029 -9.994

0.06346 0.06977 0.05056 0.04828 0.05561 0.06204

2.190 2.083 0.535 0.550 1.694 1.758

15.14962 -10.0515 14.96835 -9.96664 14.92024 -9.99694

0.092152 0.091906 0.084258 0.089388 0.08685 0.076674

15.06458 -10.0535 15.01243 -9.97111 14.92309 -10.0311

0.073885 0.074683 0.077821 0.082506 0.072118 0.06293

19.823 18.740 7.640 7.699 16.963 17.925

15.015 -9.945 14.927 -10.049 15.085 -10.010

0.06688 0.06501 0.05720 0.05264 0.07583 0.07638

15.005 -9.964 15.001 -10.056 15.061 -9.972

0.04263 0.04138 0.04623 0.04255 0.05284 0.05335

36.266 36.352 19.176 19.168 30.316 30.156

SE

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-5

SE


Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter Bobot Respon Impuls di Level 1 Simulasi 1 (Lanjutan) OLS Simulasi

Lokasi

Parameter

1

5

2 3

Nilai Estimasi 14.841 -10.042 14.956 -10.020 15.017 -10.021 15.083 -9.994 14.849 -9.844 14.927 -9.990

1

6

2 3

GLS

Efisiensi (%)

0.09877 0.08903 0.07858 0.07480 0.07564 0.07402

Nilai Estimasi 14.876 -9.995 14.987 -10.027 15.063 -10.007

0.08700 0.07867 0.06953 0.06614 0.06004 0.05836

11.922 11.635 11.524 11.572 20.626 21.147

0.06631 0.06332 0.07022 0.06280 0.06115 0.05812

14.983 -9.968 14.954 -9.965 15.023 -9.996

0.03538 0.03458 0.02912 0.02607 0.02088 0.01932

46.648 45.400 58.529 58.497 65.846 66.761

SE

SE

Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa semua nilai estimasi dan sudah mendekati nilai parameter yang sudah ditentukan sebelumnya dengan masing-masing menggunakan OLS dan GLS di setiap lokasi. Dan hal ini juga diperkuat dengan nilai SE yang relatif kecil. Sedangkan tingkat efisiensi penggunaan GLS yang dibandingkan dengan OLS untuk simulasi 1 dan 2 cukup kecil, sehingga bisa dikatakan penggunaan estimasi OLS dan GLS pada kedua simulasi ini tidak begitu berbeda jauh hasilnya. Tetapi, pada simulasi 3, 4, 5, dan 6, tingkat efisiensi penggunaan GLS yang dibandingkan dengan OLS cukup besar, sehingga bisa dikatakan penggunaan OLS dan GLS memiliki perbedaan yang cukup signifikan pada keempat simulasi ini. Sedangkan pada tahapan Level 2 dilakukan setelah didapatkan Persamaan (13), yaitu melakukan estimasi parameter dengan OLS dan GLS pada persamaan ini untuk mendapatkan hasil estimasi beserta SE parameter GSTARX(11). Hasil perhitungan dengan kedua metode ini dapat dilihat pada Tabel 2 sebagai berikut Tabel 2. Perbandingan Estimasi Parameter OLS dan GLS pada Model GSTARX(11) Simulasi

Parameter

1

2

OLS Estimasi 0.234 0.297 0.081 0.326 0.258 0.354 0.173 0.146 0.081 0.467 0.293 0.403

GLS SE 0.05468 0.05411 0.05680 0.07271 0.06664 0.08178 0.05394 0.05601 0.05687 0.07087 0.06614 0.08265

Estimasi 0.236 0.297 0.083 0.324 0.258 0.351 0.167 0.150 0.081 0.473 0.290 0.403

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-6

SE 0.05465 0.05409 0.05678 0.07270 0.06663 0.08175 0.05374 0.05596 0.05661 0.07072 0.06611 0.08240

Efisiensi (%) 0.040 0.035 0.048 0.023 0.017 0.029 0.373 0.102 0.454 0.220 0.048 0.306


Tabel 2. Perbandingan Estimasi Parameter OLS dan GLS pada Model GSTARX(11) (Lanjutan) OLS GLS Efisiensi Simulasi Parameter (%) Estimasi SE Estimasi SE 0.155 0.06242 0.185 0.05639 9.660 0.197 0.06101 0.197 0.05830 4.448 0.037 0.06403 0.010 0.05821 9.091 3 0.428 0.07856 0.395 0.07280 7.331 0.209 0.07253 0.209 0.07041 2.934 0.324 0.07186 0.349 0.06741 6.192 0.131 0.09084 0.086 0.06179 31.987 0.195 0.07111 0.203 0.05637 20.721 0.061 0.07389 0.070 0.05812 21.351 4 0.307 0.10822 0.358 0.07790 28.019 0.119 0.06248 0.113 0.05374 13.991 0.358 0.09482 0.348 0.07813 17.601 0.064 0.05574 0.066 0.05346 4.085 0.240 0.05582 0.235 0.05374 3.739 0.130 0.06511 0.103 0.05949 8.628 5 0.490 0.07396 0.487 0.07205 2.585 0.272 0.06698 0.277 0.06559 2.072 0.311 0.07880 0.340 0.07375 6.405 0.115 0.05466 0.112 0.04908 10.224 0.199 0.05582 0.206 0.04283 23.279 0.157 0.16955 0.165 0.05040 70.276 6 0.375 0.05189 0.378 0.04945 4.701 0.214 0.06698 0.207 0.06287 6.125 0.183 0.22672 0.171 0.07480 67.010

Berdasarkan Tabel 2 dapat diketahui bahwa perbandingan estimasi parameter data Simulasi 1 dan 2 dengan menggunakan metode estimasi GLS lebih baik daripada menggunakan estimasi OLS walaupun perbedaannya tidak begitu jauh. Ini bisa dilihat dari kolom efisiensi pada Tabel 2 dimana tingkat efisiensinya sangat kecil. Namun, pada Simulasi 3, 4, 5 dan 6, metode estimasi GLS lebih baik daripada menggunakan estimasi OLS dengan adanya perbedaan kebaikan estimasi yang cukup besar. Ini bisa dilihat dari kolom efisiensi pada Tabel 2 dimana tingkat efisiensinya cukup besar.

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Berdasarkan hasil studi simulasi dengan adanya variabel eksogen metrik sebagai variabel eksogen pada model GSTARX dengan dua level dapat disimpulkan bahwa jika residual dari data simulasi tidak saling berkorelasi antar lokasi, maka model GSTARX dengan menggunakan estimasi parameter OLS dan GLS menghasilkan nilai standart error yang relatif sama. 2. Sedangkan jika residual dari data simulasi antar lokasi saling berkorelasi atau tidak semua saling berkorelasi, menghasilkan nilai standart error untuk model GSTARX-GLS ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-7


lebih kecil dari pada model GSTARX-OLS. Hal ini berarti estimasi parameter dengan model GSTARX-GLS lebih efisien dibandingkan dengan model GSTARX-OLS. Saran untuk penelitian selanjutnya adalah: 1. Hasil dimungkinkan lebih baik jika metode estimasi GLS diterapkan di level 1 untuk mengatasi residual yang berkorelasi antar lokasi. DAFTAR PUSTAKA Armstrong, J. S. (2002). Principles of Forecasting: A Handbook for Researchers and Practitioners. Kluwer Academic Publishers, United States of America. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (2008). Time Series Analysis: Forecasting and Control (Fourth Edition). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Bowerman, B.L., dan O’Connel. (1993). Forecasting and Time Series: An Applied Approach (Third Edition). Belmont. California: Duxbury Press. Liu, L. M. (2006). Time Series Analysis and Forecasting. Illinois: Scientific Computing Associates. Pfeifer, P.E., dan Deutsch, S.J. (1980a). “A Three Stage Iterative Procedure for Space-Time Modeling”. Technometrics, Vol. 22, No. 1, Hal. 35-47. Pfeifer, P.E., dan Deutsch, S.J. (1980b). “Identification and Interpretation of First Order Space-Time ARMA Models”. Technometrics, Vol. 22, No. 1, Hal. 397-408. Reinsel, G.C. (1993). Elements of Multivariate Time Series Analysis (First Edition), SpringerVerlag New York, Inc., New York. Ruchjana, B.N. (2002). “Pemodelan Kurva Produksi Minyak Bumi Menggunakan Model Generalisasi S-TAR1”. Forum Statistika dan Komputasi, ISSN 0853-8115.

ISBN: 978-602-70604-2-5 A-49-8

PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI PARAMETER GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE (GSTAR) DENGAN VARIABEL EKSOGEN BERTIPE METRIK

Recommend Documents