Perancangan Sistem Kendali Sliding-PID untuk Pendulum Ganda pada Kereta Bergerak

Perancangan Sistem Kendali Sliding-PID untuk Pendulum Ganda pada Kereta Bergerak Ahmad Adhim

Department of Mechanical Engineering, Faculty of Industrial Technology ITS Surabaya Indonesia 60111 email: [email protected] Abstract - Most systems that exist in the real world are nonlinear systems so that are difficult to control. Double pendulum is a system that simulates a control mechanism to regulate the stability problem. The main problem in control system design for the double pendulum is to stabilize the pendulum rod in equilibrium by moving train on limited trajectory. In this research, Sliding-PID control system is designed to stabilize the double pendulum. Sliding-PID controller is a combination of PID controller and Sliding Mode Controller. Double pendulum system is modeled by using Matlab Simulink based on the equations of kinematics and dynamics. The results shows that Sliding-PID controller produced better response compared to PID controller. Sliding-PID able to make the double pendulum on moving cart achieves its stability 43.42% faster than classical PID controller. Keyword - Double Pendulum, PID Controller, Siding-PID.

I. PENDAHULUAN Sistem pendulum ganda (double pendulum) adalah sistem yang mensimulasikan sebuah mekanisme kontrol untuk mengatur masalah kestabilan. Pendulum ganda terdiri dari dua buah pendulum yang saling berhubungan antara satu dengan yang lain. Dalam kehidupan sehari-hari dapat kita temui beberapa mekanisme yang bekerja menurut prinsip pendulum ganda, di antaranya adalah crane dan lengan robot. Pendulum ganda merupakan suatu sistem nonlinier tak stabil sehingga proses pengendaliannya menjadi rumit apabila digunakan teknik kontrol yang konvensional. Berbagai jenis kontroler telah diujicobakan untuk mendapatkan teknik kontrol yang paling sesuai dalam menjaga kestabilan sistem pendulum. Di antaranya adalah kontroler PID, neural networks, fuzzy logic controller, serta linear quadratic optimal controller. Akan tetapi kontroler-kontroler tersebut kurang mempunyai ketahanan yang baik terhadap parameter perturbation dan external disturbance [1]. Maka perlu dikembangkan metode baru untuk menghasilkan sistem kendali yang lebih

baik, salah satunya menggunakan kontroler Sliding-PID. Kontroler Sliding-PID merupakan gabungan dari kontroler PID dan sliding mode controller (SMC).

II. SLIDING MODE CONTROL Teori tentang sliding mode control (SMC) mulai dikembangkan pada tahun 1950-an yang dipelopori oleh S.V. Emelyanov. SMC merupakan jenis robust control yang dapat diaplikasikan pada sistem yang nonlinier dan multi input multi output (MIMO). SMC telah berhasil diterapkan pada berbagai macam aplikasi seperti robot manipulators, underwater vehicles, automotive transmissions and engines, high-performance electric motors, dan power systems. Keunggulan utama dari SMC adalah memiliki sifat yang insensitive terhadap variasi parameter, external disturbance, serta kesalahan pemodelan. Keunggulan lain dari SMC adalah memiliki respon yang cepat dalam mencapai kestabilan. Berikut ini adalah contoh sederhana dari penerapan SMC pada suatu sistem dengan state variabel: x1  x,

x 2  x

Maka state space dari sistem adalah:

x1  x 2 x 2  f ( x)  g ( x)u

x1 akan stabil jika

x1  ax1 , a  0

(1)

Sedangkan target baru untuk mencapai kestabilan yaitu (x1, x2) = (0,0) adalah s  x 2  ax1  0

(2)

x1  x 2  ax1  s

(3)

Sedangkan time derivative dari s adalah s  x 2  ax1  f ( x)  g ( x)u  ax 2

(4)

Gambar 2 Diagram blok sistem kendali PID

III. DESAIN MODEL Gambar 1 Sliding mode control orde ke-dua [7]

Pada prinsipnya sistem yang akan dikendalikan dibawa menuju daerah stable manifold dari kondisi awalnya. Fase ini disebut dengan fase reaching. Kemudian setelah sistem tersebut mencapai daerah sliding surface (yaitu saat s = 0), maka sistem tersebut akan meluncur menuju titik keseimbangan (equilibrium).

Berikut ini adalah gambar model skematis dari sistem pendulum ganda dalam penelitian ini.

II. KEDALI PID Salah satu jenis kendali yang paling banyak digunakan dalam aplikasi sistem kendali adalah kendali PID (Proporsional-IntegralDerivatif) dikarenakan mampu menghasilkan stabilitas yang baik dan dapat diterapkan pada high-order plant. Kendali PID memiliki beberapa kelebihan di antaranya adalah mudah dirancang, memiliki harga yang murah, perawatan yang tidak mahal, serta tidak memerlukan keahlian khusus bagi operator. Persamaan kendali PID dapat dituliskan sebagai berikut :

u (t )  K 1 e(t )  K 2  edt  K 3

de dt

(5)

Sistem kendali PID merupakan sistem kendali loop tertutup yang cukup sederhana dan memiliki performa yang bagus. Namun kendali ini tidak dapat bekerja dengan baik apabila terjadi kitidakpastian dan ketidaklinieran pada sistem. Meskipun demikian sistem kendali PID memiliki kompatibilitas dengan sistem kendali lainnya, sehingga dapat dikombinasikan dengan sistem kendali lain seperti fuzzy control, adaptive control, sliding mode control, dan robust control untuk menghasilkan performa yang lebih baik. Sistem kendali PID terdiri dari tiga macam kendali, yaitu kendali P (Proportional), D (Derivatif) dan I (Integral), dengan masingmasing memiliki kelebihan dan kekurangan. Tujuan penggabungan ketiga jenis kendali tersebut adalah untuk menutupi kekurangan dan menonjolkan kelebihan dari masing-masing jenis kendali.

Gambar 3 Model skematis sistem pendulum ganda

Sistem pendulum ganda pada kereta bergerak (double pendulum on moving cart) terdiri dari dua buah batang pendulum. Batang pendulum pertama terpasang pada kereta dan batang pendulum kedua dihubungkan pada batang pendulum yang pertama. Kereta dapat bergerak ke kanan dan ke kiri sepanjang lintasan horizontal (searah sumbu x). Gaya kontrol F (atau bisa disimbolkan dengan u, karena merupakan input dari sistem) bekerja paralel dengan arah lintasan sehingga membuat kereta berpindah sejauh x. Massa kereta adalah M, massa batang pendulum pertama adalah m1, dan massa batang pendulum kedua adalah m2. L1 adalah panjang batang pendulum pertama, sedangkan L2 adalah panjang batang pendulum kedua. θ1 adalah sudut pendulum pertama terhadap sumbu vertikal dan θ2 adalah sudut pendulum kedua terhadap sumbu vertikal. Momen inersia dari kedua batang pendulum dilambangkan dengan I. Sistem pendulum ganda bergerak dari kondisi awal x = 0 meter, θ1 = 0 radian, dan θ2 = 0 radian. Pergerakan kereta yang diakibatkan oleh gaya input F membuat kedua batang pendulum berayun dan mengalami simpangan terhadap posisi setimbangnya. Dalam perancangan sistem kendali ini kedua batang pendulum diharapkan mampu mencapai kestabilannya kembali dengan menggerakkan kereta pada lintasan horizontal sejauh maksimal dua meter, baik ke kanan ataupun ke kiri (x = ± 2 meter).

IV. PEMODELAN DENGAN SIMULINK

3.1 Persamaan Kinematika 2

𝑥1 = 𝑥 + 𝜃1 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃1 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1

(6)

2

𝑥2 = 𝑥1 + 𝜃1 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃1 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 2 𝜃2 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝜃2 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 2

𝑦1 = 𝜃1 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃1 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1

(7)

Berdasarkan persamaan-persamaan kinematika dan dinamika tersebut kita bisa membuat model sistem pendulum ganda dengan menggunakan Simulink seperti gambar 7.

(8)

2

𝑦2 = 𝑦1 + 𝜃1 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃1 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 2 𝜃2 . 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝜃2 . 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃2

(9)

3.2 Persamaan Dinamika

Gambar 4 Diagram benda bebas pada kereta 1 𝑀

𝐹 − 𝑁1 − 𝑏𝑥 = 𝑥

(10)

Gambar 7 Model Simulink pendulum ganda

Sistem pendulum ganda yang digunakan dalam penelitian ini memiliki parameterparameter sebagai berikut : Gambar 5 Diagram benda bebas pada pendulum 1

-

1

𝑁1 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝑃1 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝑁2 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + I 𝑃2 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 = 𝜃1

(11)

-

𝑁1 = 𝑁2 + 𝑚. 𝑥1

(12)

-

𝑃1 = 𝑃2 + 𝑚𝑔 + 𝑚. 𝑦1

(13)

-

Massa kereta (M) sebesar 0,5 kg Massa pendulum pertama (m1) sebesar 0,2 kg Massa pendulum kedua (m2) sebesar 0,2 kg Panjang pendulum pertama (L1) sebesar 0,6 meter Panjang pendulum kedua (L2) sebesar 0,6 meter Momen inersia batang pendulum pertama (I1) sebesar 0,006 kg.m2 Momen inersia batang pendulum kedua (I2) sebesar 0,006 kg.m2 Percepatan gravitasi (g) sebesar 9,8 m/s2 Koefisien redaman pada kereta (b) sebesar 0,1 N/m/sec.

V. HASIL DAN PEMBAHASAN 5.1 Analisa Simulasi Open-loop

Gambar 6 Diagram benda bebas pada pendulum 2 1 I

𝑁2 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑃2 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 = 𝜃2

(14)

𝑁2 = 𝑚. 𝑥2

(15)

Gambar 8 Model sistem open-loop

𝑃2 = 𝑚𝑔 + 𝑚. 𝑦2

(16)

Simulasi open-loop pada sistem pendulum ganda menghasilkan respon berupa x (perpindahan kerata), 𝑥 (kecepatan kereta), 𝑥 (percepatan kereta), θ1 (posisi sudut pendulum

1), 𝜃1 (kecepatan sudut pendulum 1), θ2 (posisi sudut pendulum 2), serta 𝜃2 (kecepatan sudut pendulum 2).

5.2 Analisa Simulasi Closed-loop dengan Kendali PID dan Sliding-PID

Gambar 14 Model sistem open-loop Gambar 9 Respon posisi kereta simulasi open-loop

Gambar 10 Respon kecepatan kereta simulasi openloop

Gambar 11 Respon percepatan kereta simulasi openloop

Simulasi closed-loop dilakukan dengan menambahkan kendali PID dan kendali slidingPID pada sistem pendulum ganda. Respon yang dihasilkan adalah berupa x (perpindahan kerata), 𝑥 (kecepatan kereta), 𝑥 (percepatan kereta), θ1 (posisi sudut pendulum 1), 𝜃1 (kecepatan sudut pendulum 1), θ2 (posisi sudut pendulum 2), serta 𝜃2 (kecepatan sudut pendulum 2). Dari semua respon tersebut, terdapat tiga respon yang akan di-feedback untuk menghasilkan respon yang sesuai dengan harapan. Ketiga respon tersebut adalah x (perpindahan kerata), θ1 (posisi sudut pendulum 1), dan θ2 (posisi sudut pendulum 2). Kendali PID digunakan untuk menjaga posisi kereta agar dapat memenuhi posisi yang diinginkan, yaitu x = ± 2 meter. Kendali PID juga digunakan untuk menstabilkan pergerakan kedua batang pendulum agar mampu mencapai posisi setimbangnya. Kemudian ditambahkan sliding mode cotroller untuk mengetahui perubahan respon yang terjadi. Respon yang dihasilkan kemudian dibandingkan untuk mengetahui sistem kendali mana yang memiliki performa lebih baik.

Gambar 12 Respon sudut pendulum simulasi openloop

Gambar 15 Respon posisi kereta simulasi closed-loop

Gambar 13 Respon kecepatan sudut pendulum simulasi open-loop

Gambar 16 Respon kecepatan kereta simulasi closedloop

Gambar 17 Perbandingan respon sudut pendulum 1 antara kendali PID dan Sliding-PID (SPID)

Gambar 18 Perbandingan respon kecepatan sudut pendulum 1 antara kendali PID dan sliding-PID (SPID)

Gambar 19 Perbandingan respon sudut pendulum 2 antara kendali PID dan Sliding-PID (SPID)

Gambar 20 Perbandingan respon kecepatan sudut pendulum 2 antara kendali PID dan sliding-PID (SPID)

4.3 Perbandingan Karakteristik Respon Kendali PID dan Sliding-PID Tabel 1 Perbandingan karakteristik respon sudut pendulum pertama antara kendali PID dan SlidingPID

Karakteristik Respon Rise time Settling time

PID

SPID

1,787 s 6,094 s

2,470 s 3,081 s

Steady state 0,132 % 0,016 % error Maximum 0,8024 rad 0,00102 rad overshoot Berdasarkan data yang ditampilkan pada tabel 1, Sliding-PID memiliki settling time yang lebih cepat yaitu sebesar 3,081 detik. Sedangkan PID memiliki settling time sebesar 6,094 detik. Hal ini berarti bahwa kendali Sliding-PID memerlukan waktu 3,013 detik lebih lama untuk dapat menstabilkan posisi sudut batang pendulum 1. Sedangkan untuk karakteristik overshoot maksimum, kendali Sliding-PID memiliki overshoot yang paling bagus di antara kedua jenis kendali tersebut. Perpindahan sudut maksimum batang pendulum 1 ketika sinyal kontrol PID diaplikasikan pada sistem adalah sebesar 0,8024 radian. Sedangkan perpindahan sudut maksimum dari batang pendulum 1 saat sinyal kontrol Sliding-PID diaplikasikan ke dalam sistem adalah sebesar 0,00102 radian. Dari tabel 1 juga dapat diketahui bahwa sistem pendulum ganda dengan kendali PID mempunyai rise time yang lebih cepat yaitu 1,787 detik. Sedangkan pendulum ganda dengan kendali Sliding-PID memerlukan tambahan waktu sekitar 0,683 detik. Hal ini dikarenakan Sliding-PID menghasilkan respon yang lebih halus untuk mengurangi overshoot yang terjadi pada kendali PID. Untuk karakteristik steady state error, Sliding-PID memiliki nilai yang lebih baik daripada PID. Tabel 2 Perbandingan karakteristik respon sudut pendulum kedua antara kendali PID dan Sliding-PID

Karakteristik PID SPID Respon Rise time 13,57 s 11,39 s Settling time 25,70 s 14,54 s Steady state 0,0383 % 0,0004 % error Maximum 0,01525 rad 0,00237 rad overshoot Berdasarkan data yang ditampilkan pada tabel 2 , Sliding-PID memiliki settling time yang lebih cepat yaitu sebesar 14,54 detik. Sedangkan PID memiliki settling time sebesar 25,70 detik. Hal ini berarti bahwa kendali PID memerlukan waktu 11,16 detik lebih lama untuk dapat menstabilkan posisi sudut batang pendulum 2. Sedangkan untuk karakteristik overshoot maksimum, kendali Sliding-PID memiliki overshoot yang paling bagus di antara kedua jenis kendali tersebut. Perpindahan sudut maksimum batang pendulum 2 ketika sinyal kontrol PID diaplikasikan pada sistem adalah sebesar

0,01525 radian. Sedangkan perpindahan sudut maksimum dari batang pendulum 2 saat sinyal kontrol Sliding-PID diaplikasikan adalah sebesar 0,00237 radian. Dari tabel 2 juga dapat diketahui bahwa sistem pendulum ganda dengan kendali slidingPID mempunyai rise time yang lebih cepat yaitu 11,39 detik. Sedangkan pendulum ganda dengan kontroler PID memerlukan tambahan waktu sekitar 2,18 detik. Untuk karakteristik steady state error, kendali Sliding-PID memiliki nilai yang lebih baik daripada kendali PID. Dari tabel 1 dan 2 di atas dapat diketahui bahwa batang pendulum kedua memerlukan waktu yang lebih lama untuk mencapai kestabilan. Dengan menggunakan kendali PID, pendulum pertama memerlukan waktu selama 6,094 detik untuk stabil, sedangkan pendulum kedua memerlukan waktu selama 25,7 detik. Penggunaan kendali Sliding-PID terbukti mampu menghasilkan respon yang lebih baik pada sistem. Setelah ditambahkan kendali Sliding-PID, pendulum pertama hanya memerlukan waktu sekitar 3,081 detik untuk stabil, sedangkan pendulum kedua memerlukan waktu sekitar 14,54 detik. Perbandingan respon kedua jenis kendali tersebut terhadap kestabilan masing-masing batang pendulum disajikan dalam tabel 3. Tabel 3 Perbandingan settling time antara pendulum 1 dan pendulum 2

Respon PID SPID Settling Time Pendulum1 6,094 s 3,081 s Pendulum 2 25,70 s 14,54 s Sistem 25,70 s 14,54 s Keseluruhan Secara keseluruhan, batang pendulum kedua memerlukan waktu yang lebih lama daripada batang pendulum pertama untuk mencapai kestabilannya, hal ini dikarenakan pendulum kedua mengalami pergerakan yang lebih bebas dibandingkan dengan pendulum pertama. Pergerakan batang pendulum pertama dibatasi oleh kereta dan batang pendulum kedua, sementara pergerakan pendulum kedua hanya dibatasi oleh batang pendulum pertama. Tabel 3 di atas menunjukkan bahwa kendali PID memerlukan waktu selama 25,7 detik untuk menstabilkan sistem pendulum ganda secara keseluruhan, sedangkan kendali Sliding-PID hanya memerlukan waktu sekitar 14,54 detik. Dengan kata lain, kendali SlidingPID mampu menstabilkan sistem pendulum ganda 43,42 % lebih cepat daripada kendali PID biasa. Sehingga dapat dikatakan bahwa Kendali Sliding-PID memiliki performa yang lebih bagus dari pada kendali PID.

V. KESIMPULAN Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa penggunaan kendali Sliding-PID menghasilkan respon yang lebih baik dibandingkan hanya dengan menggunakan kendali PID biasa. Untuk menstabilkan sistem pendulum ganda secara keseluruhan, kendali PID memerlukan waktu selama 25,70 detik. Sedangkan kendali Sliding-PID hanya memerlukan waktu selama 14,54 detik atau 43.42 % lebih baik daripada kendali PID. Selain itu kendali Sliding-PID juga mampu mengurangi steady state error serta overshoot maksimum yang terjadi pada kendali PID biasa.

DAFTAR PUSTAKA [1] C. Vivekanandan, R. Prabhakar, dan D. Prema, “Stability Analysis of a Class of Nonlinear System Using Discrete Variable Structures and Sliding Mode Control”, International Journal of Electrical and Electronics Engineering 2:2 2008. [2] Mojtaba Ahmadieh Khanesar, et.al., “Sliding Mode Control of Rotary Inverted Pendulum”, Proceedings of the 15th Mediterranean Conference on Control & Automation, July 27-29, 2007, Athens – Greece. [3] Xiao-Yun Lu dan S.K. Spurgeo, “Control of Nonlinear Non-minimum-phase System Using Dynamic Sliding Mode,” International Journal of System Science, 1999, vol. 30 no. 2, pp 183-198. [4] Quancer Inc. “Rotary Inverted Pendulum Student Handout”. [5] Ogata, Katsuhiko. 1997. “Teknik Kendali Automatik Jilid I dan II” Edisi 2. Jakarta: Erlanggga. [6] Seiji Yasunobu, “Intelligent Control of Double Pendulum Based on Human Knowledge”, Department of Intelligent Interaction Technologies, University of Tsakuba, Ibaraki 305-8573, Japan. [7] Perruquetti, Wilfrid. 2002. Sliding Mode Control in Engineering. New York: Marcel Dekker, Inc.