Kontrol Fuzzy Berbasis Model Takagi-Sugeno dan Performansi H untuk Sistem Pendulum Kereta

1

Kontrol Fuzzy Berbasis Model Takagi-Sugeno dan Performansi H∞ untuk Sistem Pendulum Kereta Muhamad Faisal1) Trihastuti Agustinah2) Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya 60111, Indonesia 1) Jurusan Teknik Elektro ITS, email: [email protected] 2) Jurusan Teknik Elektro ITS, email: [email protected] Abstrak—Paper ini membahas permasalahan stabilisasi pada Sistem Pendulum Kereta (SPK). Sistem direpresentasikan ke dalam model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S). Model fuzzy ini dapat merepresentasikan dinamika sistem nonlinear melalui beberapa persamaan linear. Aturan kontroler model fuzzy T-S diperoleh dari konsep Parallel Distributed Compensation (PDC). Analisis stabilitas model fuzzy T-S diturunkan menggunakan metode kedua teorema Lyapunov dengan mempertimbangkan stabilitas relaks. Performansi H∞ ditambahkan pada sistem untuk memperoleh sistem yang kokoh terhadap gangguan yang diberikan. Hasil analisis berupa beberapa pertidaksamaan linear. Solusi dari pertidaksamaan linear diperoleh secara efektif menggunakan teknik pemrogaman Linear Matrix Inequalities (LMI). Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode kontrol yang dirancang mampu menstabilkan pendulum di posisi terbalik dan melemahkan gangguan yang diberikan. Kata Kunci—Model Fuzzy T-S, Performansi H∞, Teknik Pemrogaman LMI, SPK. I. PENDAHULUAN

S

ISTEM Pendulum Kereta (SPK) merupakan salah satu contoh sistem yang memiliki dinamika sistem nonlinear yang tinggi dan tidak stabil. Sistem ini sering digunakan untuk menguji performansi dan keefektifan metode kontrol. Secara umum, terdapat tiga permasalahan yang sering dibahas dalam SPK. Permasalahan tersebut meliputi mengayunkan pendulum dari posisi pendan menuju posisi terbalik (Swing-up), stabilisasi pendulum di posisi terbalik, dan memaksa pendulum untuk bergerak mengikuti sinyal referensi yang diberikan (tracking). Ketiga permasalahan diatas diselesaikan tanpa menggerakkan kereta melalui batas lintasan. Paper ini akan membahas kontrol stabilisasi pendulum di posisi terbaliknya. Dalam beberapa dekade terakhir, model fuzzy T-S telah menarik perhatian banyak peneliti [1-6]. Model fuzzy ini secara efektif dapat merepresentasikan dinamika sistem nonlinear melalui beberapa persamaan linear [1]. Aturan pada model fuzzy ini disusun oleh

persamaan linear pada bagian konsekuen dengan fungsi keanggotaan nonlinear pada bagian premis. Secara keseluruhan, model fuzzy T-S merupakan percampuran dari persamaan linear sistem dalam merepresentasikan dinamika sistem nonlinear. Stabilitas sistem merupakan isu yang sangat vital dalam mendesain suatu sistem. Hal ini berlaku juga dalam representasi sistem nonlinear melalui model fuzzy T-S. Analisis stabilitas dari model fuzzy T-S telah banyak diturunkan melalui berbagai macam metode. Salah satu cara dengan menggunakan metode kedua teorema Lyapunov yang dinyatakan melalui fungsi Lyapunov V(x) yang bernilai definit positif serta turunan pertama fungsi Lyapunov V (x) yang bernilai definit negatif [2]. Kondisi lain dari stabilitas model fuzzy T-S diperoleh dengan menggunakan konsep PDC [3]. Pada konsep ini, gain kontrol direpresentasikan ke dalam model linear sehingga analisis sistem linear dapat diterapkan. Pada [4], kondisi stabilitas relaks diperoleh dengan penambahan matriks tunggal sebagai interaksi antar subsistem. Kondisi ini dapat mengurangi sifat konservatif dalam analisis stabilitas model fuzzy T-S. Pada [5], kondisi stabilitas sistem diperoleh dari stabilitas relaks pada model fuzzy T-S dengan performansi H∞ berbasis observer fuzzy. Hasil desain disimulasikan pada plant pendulum dengan 2 state, yaitu sudut pendulum dan kecepatan sudut pendulum. Disisi lain, beberapa metode kontrol telah diusulkan dalam menyelesaikan permasalahan stabilisasi pada SPK. Kontroler stabilisasi model fuzzy T-S dengan performansi LQR digunakan untuk stabilisasi plant pendulum [7]. Pada [8] model fuzzy T-S dengan batasan input-output dapat menyelesaikan permasalahan stabilisasi. Hasil desain dari dua metode tersebut diketahui bahwa pendulum dapat distabilkan di posisi terbalik. Namun, dari dua metode diatas analisis stabilitas melalui kondisi stabilitas relaks masih belum diperhitungkan. Pada paper ini, permasalahan stabilisasi SPK diselesaikan menggunakan metode fuzzy T-S dengan mempertimbangkan stabilitas relaks. Model matematika SPK dilinearisasi di beberapa titik disekitar state ekuilibrium. Hasil linearisasi digunakan untuk

2

a  l2 

Pada Persamaan (1), massa kereta dan massa pendulum dinotasikan sebagai mc dan mp. Ɩ merupakan jarak antara sumbu rotasi pendulum dengan pusat massa sistem. J merupakan momen inersia ditinjau dari titik pusat massa. Tc dan V masing masing merupakan friksi dan gaya normal dari sistem, sedangkan Dp merupakan momen friksi dari sistem dan dinyatakan sebagai Dp=fpx4.

Gambar 1. Diagram Fisik SPK

menyusun model fuzzy T-S. Aturan kontroler diperoleh melalui konsep PDC. Analisis stabilitas model fuzzy T-S diturunkan melalui metode kedua teorema Lyapunov dengan mempertimbangkan kondisi stabilitas relaks. Performansi H∞ digunakan untuk melemahkan gangguan yang diberikan pada sistem. Solusi secara keseluruhan diselesaikan menggunakan teknik pemrogaman LMI pada toolbox Matlab. Paper ini dibagi menjadi 5 Bab. Model matematika dari SPK dapat diperoleh informasinya dari Bab 2. Analisis mengenai model fuzzy T-S dengan mempertimbangkan stabilitas relaks dibahas pada Bab 3. Pembahasan pada bab ini diakhiri hingga ke metode kontrol yang diusulkan. Hasil simulasi dari metode yang diusulkan dapat dipelajari pada Bab 4. Kesimpulan dari paper yang dibahas dapat diperoleh pada Bab 5. II. MODEL MATEMATIKA SPK Sistem Pendulum Kereta (SPK) terdiri atas sepasang batang pendulum yang berayun pada kereta. Pendulum dapat bergerak bebas pada sisi vertikal, sedangkan kereta bergerak pada sisi horizontal. Kereta digerakkan menggunakan motor DC. Diagram fisik dari SPK dapat dilihat pada Gambar 1. SPK merupakan salah satu contoh dari sistem Single Input Multi Output (SIMO). Masukan sistem, sinyal kontrol u, diberikan melalui kereta yang sejajar dengan lintasan. Keluaran sistem berbentuk vektor state x=[x1 x2 x3 x4]T dimana x1 merupakan posisi kereta ditinjau dari titik tengah kereta, x2 merupakan sudut pendulum ditinjau dari posisi vertikal atas, x3 merupakan kecepatan kereta, dan x4 merupakan kecepatan sudut pendulum. Persamaan state dari SPK diperoleh pada [11] dinyatakan sebagai berikut x1  x3 x 2  x4

a(u  Tc   x4 sin x2 )  l cos x2 ( g sin x2  f p x4 )

III. DESAIN SISTEM KONTROL FUZZY A. Model Fuzzy T-S [9] Model fuzzy T-S diuraikan ke dalam bentuk aturan fuzzy If-Then. Aturan tersebut mewakili hubungan linear lokal input-output dari sistem nonlinear. Keistimewaan model ini terletak pada bagian konsekuen dari aturan fuzzy yang dinyatakan dalam bentuk model sistem linear. Tiap model sistem linear pada bagian konsekuen disebut subsistem. Secara keseluruhan, model fuzzy T-S merupakan percampuran (blending) fuzzy dari model sistem linear. Aturan plant model fuzzy T-S dinyatakan dalam bentuk:

If z1 (t ) is M i1 and  and z p (t ) is M ip

x (t )  A i x(t )  B i u(t )  E i w(t ), Then  i  1, 2, ... r (2) y(t )  C i x(t ),  dengan Mij merupakan himpunan fuzzy, r menyatakan jumlah aturan plant. x(t) merupakan vektor state, u(t) merupakan vektor masukan, w(t) merupakan vektor gangguan, A, B, C dan E merupakan parameter plant. z1(t),…, zp(t) merupakan variabel premis yang dapat berupa vektor state, gangguan eksternal atau waktu. Proses defuzzifikasi pada model ini menggunakan metode rerata berbobot. Keluaran akhir dari model ini dinyatakan dalam bentuk

x (t ) 

r

 h ( z(t )){A x(t )  B u(t )  E w(t )} i

J  l sin 2 x2 l cos x2 (u  Tc   x4 sin x2 )   g sin x2  f p x4 2

x 4 

dengan

J  l sin x2 2

(1)

i

i

i

i 1

y(t ) 

 h ( z(t ))C x(t ) r

i

i

(3)

i 1

dengan

hi ( z(t )) 

wi ( z(t )) r

 w ( z(t )) i

2

x 3 

J ;   (mc  m p )l mc  m p

i 1

z (t )  [ z1 (t ) z 2 (t ) z p (t )]

wi ( z (t )) 

r

M j 1

ij

( z j (t ))

(4)

3

Mij(zj(t)) merupakan derajat keanggotaan objek zj(t) terhadap himpunan fuzzy Mij dan memenuhi r

 w ( z(t ))  0; w ( z(t ))  0, i

i  1, 2,  , r

i

i 1 r

 h ( z(t ))  1; h ( z(t ))  0, i

i

i  1, 2,  , r

(5)

i 1

Aturan kontroler yang diturunkan menggunakan konsep PDC dapat dinyatakan If z1 (t ) is M i1 and  and z p (t ) is M ip (6) Then u(t )  K1x(t ), i  1, 2, , r Secara keseluruhan, keluaran akhir dari aturan kontrol fuzzy dapat dinyatakan

 h ( z(t ))K x(t ) r

u(t )  

i

(7)

i

i 1

dengan karakteristik yang sama seperti pada Persamaan (4) dan Persamaan (5). Model fuzzy T-S lup tertutup diperoleh melalui subtitusi Persamaan (7) ke dalam Persamaan (3) dinyatakan sebagai

interaksi tersebut menyebabkan sistem memiliki kondisi stabilitas relaks. Kondisi relaks tersebut dapat mereduksi saat mencari solusi dari sistem. Berikut ini merupakan ilustrasi efektifitas dari Lemma 2 terhadap Lemma 1. Tinjau sistem fuzzy SPK dengan w(t)=0. Aturan disusun sebagai berikut: If x2(t) is N1 Then x (t )  A1x(t )  B1u(t ) If x2(t) is N2 Then x (t )  A2x(t )  B2u(t ) dengan 0 1 0  0  0  0   0  0 0 1  ; A1   ; B1   0 0.2524 0  0.0001 0.8272     0 15.0319 0  0.0079 1.2370 0 1 0 0   0  0    0 0 1 ; B   0 ; A2   2 0 0.2317 0  0.0001 0.8264     a 0  0.0079 0  b 

x (t )   hi ( z (t ))h j ( z (t )){A i  B i K j }x(t ) r

r

i 1

j 1

(8)

  hi E i w(t ) r

j 1

Lemma 1[3] Saat w(t) = 0, sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotis jika terdapat matriks simetris P yang memenuhi 1. P  0 T 2. ii P  Pii  0 ; i = j

  ij   ji      ji  P  P ij 3.    2 2    dengan  ii  ( A i  B i K j ) . T

 0; i ≠ j  

(9) Gambar 2. Daerah Stabilitas Menggunakan Lemma 1

Lemma 2 [4] Saat w(t) = 0, sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotis jika terdapat matriks simetris P dan Xij yang memenuhi 1. P  0 T 2.  ii P  P ii  X ii  0 ; i = j

  ij   ji      ji   P  P ij   X ij  0 ; i ≠ j 3.     2 2      X ii  X ir  ~   4. X        0 X ri  X rr  (10) dengan  ii  ( A i  B i K j ) . Pada Lemma 2, interaksi antar subsistem ~ direpresentasikan ke dalam matriks tunggal X . Matriks T

Gambar 3. Daerah Stabilitas Menggunakan Lemma 2

4

Kontroler fuzzy didesain pada pole -3.5, -3.2, -2.9, -2.8 untuk menjamin stabilitas sistem. Dengan memvariasikan parameter a dan b maka daerah stabilitas sistem diketahui. Gambar 2 dan Gambar 3 masingmasing menunjukan daerah stabilitas sistem dengan menggunakan Lemma 1dan Lemma 2. Notasi • menunjukan daerah stabil sedangkan notasi × menunjukan daerah tidak stabil. B. Performansi H∞ Pada kasus stabilisasi, performansi H∞ dapat dinyatakan sebagai [9]

 

tf

y T (t )Qy (t )dt

to tf



2

(11)

w T (t )w(t )dt

Schurs dan premultiply-postmultiply dengan P-1 maka persamaan (15) dapat diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan matriks linear sebagai berikut. Sistem pada Persamaan (14) dapat dinyatakan stabil asimtotis dalam bentuk pertidaksamaan matriks linear dengan mempertimbangkan kondisi (10) dan memenuhi performansi (11) jika terdapat matriks simetris P, Yij dan 0 < γ <1 yang memenuhi 1. ii  0 ; i = j 2.

3.

to

dengan y(t) merupakan keluaran dari sistem, w(t) merupakan gangguan dari sistem dan Q merupakan matriks pembobot yang bernilai definit positif. Persamaan (11) dapat dinyatakan sebagai gangguan yang diberikan pada sistem akan memiliki efek kurang dari atau sama dengan γ untuk 0 < γ < 1 terhadap keluaran sistem ditinjau dari sudut pandang energi sistem. Hal ini dapat dinyatakan bahwa gangguan yang diberikan pada sistem akan dilemahkan pada nilai kurang dari atau sama dengan tingkat pelemahan γ. Stabilitas sistem dari kontroler yang dirancang diuji menggunakan teorema Lyapunov. Tinjau kandidat fungsi Lyapunov V (x)  x T Px (12) Turunan pertama dari kandidat fungsi Lyapunov diperoleh (13) V (x)  x T Px  x T Px Subtitusi Persamaan (8) ke Persamaan (13) diperoleh V (x)  ( ii  E i w(t )) T Px  x T P( ii  E i w(t )) T T V (x)   ii Px  x T P ii  w T Ei Px  x T PE i w

  2 w T w   2 x T PEE T Px   2 w T w   2 x T PEE T Px T V (x)   Px  x T P   2 w T w ii

ii

(14)   x PEE Px Sistem pada Persamaan (14) dapat dinyatakan stabil asimtotis dengan mempertimbangkan kondisi (10) dan memenuhi performansi (11) jika terdapat matriks simetris P, Xij dan 0 < γ <1 yang memenuhi T T 1.  ii P  P ii   2 PE i E i P  Q  X ii 2

T

T

 Xii  Xir  ~   2. X        0 Xri  Xrr 

(15)

Persamaan (15) merupakan bentuk pertidaksamaan nonlinear konveks. Dengan menggunakan komplemen

ij   ji 2  Yii ~  Y  Yri

 0; i ≠ j

 Yir      0  Yrr 

(16)

dengan

A i X i  X i A i T  B i M i  M i T B i T  Yii X Ei     ii   X  Q 1 0  T  Ei 0   2   P  X 1 ; Yii  XXii X ; M i  K i X . Gain kontrol sistem diperoleh dari K i  M i X 1 (17) Persamaan (16) merupakan bentuk pertidaksamaan matriks linear dari Persamaan (15). Dalam bentuk ini, solusi pertidaksamaan dapat diselesaikan menggunakan LMI Toolbox pada Matlab. IV. SIMULASI Bab ini membahas simulasi dari metode kontrol yang diusulkan. Parameter yang digunakan pada SPK antara lain mc= 1.12 kg, mp= 0.025 kg, J= 0.0134735, g= 9.8 m/s2, l= 0.0167903, dan fp=0.000107kg.m/s [11]. Seluruh friksi pada SPK diabaikan. Fungsi keanggotaan segitiga dari aturan plant maupun aturan kontroler dapat dilihat pada Gambar 4. Model matematika SPK dilinearisasi pada state x2 sekitar 0 rad, ±0.2 rad, dan ±0.4. Aturan plant dinyatakan sebagai berikut: If x2(t) is M1 (Sekitar 0 rad) Then x (t )  A1 x(t )  B1u(t )  E1 w(t ) If x2(t)is M2 (Sekitar ±0.2 rad) Then x (t )  A 2 x(t )  B 2 u(t )  E 2 w(t ) If x2 is M3 (Sekitar ±0.4 rad) Then x (t )  A3 x(t )  B3u(t )  E3 w(t ) dengan 0 1 0  0  0  0    0 0 1 ; B   0 ; A1   0 0.2524 0  0.0001 1 0.8272     0 15.0319 0  0.0079 1.2370

5

0 0 0 0 A2   0 0.2317  0 14.6874

1 0   0    0  0 1  ; ;B2   0.8264 0  0.0001    0  0.0079 1.2111 0 1 0  0  0  0    0 0 1 ; B   0 ; A3   0 0.1735 0  0.0001 3 0.8240     0 13.6841 0  0.0079 1.1349 (18) E1  B1 ; E 2  B 2 ; E3  B 3 Tingkat pelemahan gangguan γ dipilih sebesar 0.85, sedangkan pembobot Q pada performansi H∞ dipilih dengan cara memvariasikan nilai untuk memperoleh hasil terbaik, yaitu 0 0 2.6 0  0 1.9 0 0  (19) Q ; 0 0 0.6 0    0 0 0.9 0 Dengan menggunakan LMI Toolbox pada Matlab. Solusi dari Pertidaksamaan (16) secara efektif dan efisien diperoleh sebagai berikut:  9.0275  18.1925 5.6759  4.5978  18.1925 57.8496  16.0250 13.8264  ; P  5.6759  16.0250 4.8399  4.0193     4.5978 13.8264  4.0193 3.5160  K1  [87.6650 360.9645 87.4855 91.9419];

K 2  [76.0538 320.4188 76.6998 81.3401];

Gambar 4. Fungsi Keanggotaan Model Fuzzy T-S

Gambar 5. Respon Simulasi dari Posisi Kereta, Sudut Pendulum dari Beberapa Metode Kontrol

K 3  [81.2210 346.6176 82.5437 88.5597]; Sinyal kontrol yang diumpan-balik ke dalam SPK adalah u (t )  [h1 ( x2 (t )) * K 1  h2 ( x2 (t )) * K 2 (20)  h2 ( x2 (t )) * K 3 ]x(t ) A. Hasil Simulasi tanpa Gangguan Simulasi dilakukan dengan membandingkan metode pada Lemma 1, Lemma 2 dan metode kontrol yang dirancang. Kondisi awal sistem diberikan pada state x2 sebesar 0.4 rad. Sedangkan kondisi awal pada state yang lain bernilai 0 rad. Respon sistem hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 5. Pada Gambar 5, respon posisi kereta dengan menggunakan metode kontrol Lemma 1 didapatkan hasil waktu puncak dan maksimum undershoot masingmasing sebesar 0.44 detik dan 0.33 m. Sedangkan waktu puncak dan maksimum undershoot sebesar 0.53 detik dan 0.25 m dengan menggunakan Lemma 2. Hasil lebih baik diperoleh dari metode kontrol yang dirancang

Gambar 6. Respon Simulasi dari Posisi Kereta, Sudut Pendulum dari Metode Kontrol yang Dirancang dengan Gangguan

6

dengan waktu puncak dan maksimum undershoot bernilai 0.34 detik dan 0.22 m. Respon sudut pendulum pada Gambar 5 memiliki settling time sebesar 0.78 detik dan maksimum undershoot sebesar 0.05 m dengan menggunakan Lemma 1. Dengan Lemma 2, respon diperoleh dengan settling time dan maksimum undershoot masing-masing sebesar 0.67 detik dan 0.02 m. Hasil dari metode kontrol yang dirancang sebesar 0.52 detik saat settling time dan maksimum undershoot sebesar 0.02 m. Berdasarkan respon simulasi pada Gambar 5, metode kontrol yang dirancang memiliki performansi yang lebih baik dari metode kontrol sebelumnya. B. Hasil Simulasi dengan Gangguan Berikut ini merupakan hasil simulasi dengan memberikan gangguan pada sistem. Simulasi dilakukan dengan memberikan sudut awal sebesar 0.4 rad. Gangguan diberikan melalui sinyal kontrol dengan amplitudo sebesar 3.5 N pada waktu 5 - 10 detik dan amplitudo sebesar -3.5 N pada waktu 15 – 20 detik. Gambar 6 merupakan hasil simulasi dengan gangguan. Posisi kereta akan bergerak menuju posisi 0.04 m pada saat detik ke-5 dan akan kembali ke posisi 0 m setelah detik ke-10. Hal ini karena saat detik ke-5 gangguan diberikan pada sistem dan pada detik ke-10 gangguan dilepaskan. Sedangkan posisi kereta menuju ke posisi -0.04 m pada detik ke-15 dan akan kembali ke posisi 0 m setelah detik ke-20. Sinyal kontrol akan mengalami penambahan sebesar 3.5 N saat gangguan diberikan dan akan kembali ke kondisi awal secepatnya. Hal ini juga berlaku pada saat gangguan dilepaskan. Tingkat pelemahan γ* pada sistem bernilai 0.14. Hal ini sesuai dengan tingkat pelemahan γ sistem yang kurang dari 0.85. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 6, kontroler yang dirancang memiliki performansi dapat melemahkan gangguan kurang dari tingkat pelemahan γ. V. KESIMPULAN Dari hasil pengujian, kontroler yang dirancang mampu menstabilkan pendulum di posisi terbaliknya tanpa menggerakkan kereta melewati batas rel. Selain itu kontroler memiliki performansi yang lebih baik dibandingkan metode kontrol sebelumnya dan mampu melemahkan gangguan sesuai dengan tingkat pelemahan yang telah ditentukan. DAFTAR PUSTAKA [1]

[2]

T. Takagi, M. Sugeno, “Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modelling and Control,” IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, vol. 15 pp. 116-132, 1985. K. Tanaka, M, Sugeno, “Stability Analysis and Design of Fuzzy Control System,” Fuzzy Sets and System, pp. 135-156, 1992.

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10] [11]

[12]

[13]

H.O. Wang, K. Tanaka, M. Griffin. “Parallel Distributed Compensation of Nonlinear System by Takagi-Sugeno Fuzzy Model,” IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, pp. 531538. 1995. E. Kim, H. Lee, “New Approaches to Relaxed Quadratic Stability Condition on Fuzzy Control Systems,” IEEE Trans. On Fuzzy System, Vol. 8 No. 5, Oktober 2000. L. Xiaodong, Z. Qingling, “New Approaches to H∞ Controller Design Based on Fuzzy Observers for T-S Fuzzy System via LMI,” Automatica 39, pp. 1571-1582, 2003. A. Ashfahani, T. Agustinah, “Desain Fuzzy Tracking Controller pada Pendulum Terbalik dengan Memperhitungkan Model Friksi,” Proc. Seminar on Intelegent System and Its Applications, 2012. T. Agustinah, A. Jazidie, M. Nuh, “Hybrid fuzzy control of swing up and stabilizing of the pendulum-cart system using hybrid fuzzy control,” Proc. IEEE Int. Conf. Computer Science and Automation Engineering, Shanghai – China, Juni, 2011, 109-113. T. Febriarianto ,“ Desain Kontrol Fuzzy Berbasis Performansi 𝐻∞ dengan Batasan Input-Output untuk Sistem Pendulum Kereta”, Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2012. K. Tanaka, H.O. Wang, Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach, John Wiley & Sons, 2001. Katsuhiko Ogata, “Modern Control Engineering,” 3rd ed., Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1997. Digital Pendulum Feedback Instrument Ltd., Control in a MATLAB environment, Feedback Instrument Ltd., England, 2004. S. Boyd, L. ElGhaoui, E. Feron, V. Balakrisnan, “Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory”, Philadelphia, PA: SIAM, 1994. P. Gahinet, A. Nemirovski, A.J. Laub, dan M. Chihali, “LMI Control Toolbox”, The Math Works Inc, 1995.