Jurnal Dinamika Informatika Volume 4, Nomor 1, Pebruari 2010 : 45 - 52
PERANAN LOGIKA INFORMATIKA PADA HITUNGAN PERKALIAN BERBASIS HUKUM DISTRIBUTIF Oleh RUSDY AGUSTAF Dosen Tetap Fakultas Teknik, Universitas Janabadra Yogyakarta ABSTRAK Berbagai persoalan menyangkut hitungan, pasti selalu ada didalam kehidupan manusia, pada dasarnya tentu memerlukan logika informatika, karena hampir setiap orang pasti terlibat melakukan persoalan hitungan, terutama menyangkut perkalian sederhana, yang menurut kita mudah, tetapi bagi orang lain masih menjadi sukar untuk menyelesaikannya, walaupun metode perkalian yang secara biasa telah digunakan dan telah diberikan oleh para ahli hitung / ilmuan. Patut disyukuri bahwa kita umumnya tidak lagi mengalami kesulitan/ kesukaran didalam menyelesaikan perkalian sederhana tersebut. Kita telah mengetahui bersama dari sejarah umat manusia pada waktu yang lalu, untuk menyesaikan perkalian 67 x 53 saja memerlukan seorang ahli hitung, yang ditugasi untuk menghitung dengan waktu yang cukup lama. Periode berikutnya memakai alat-alat hitung seperti abacus, simpoa, mistar hitung ataupun alat-alat hitung lainnya, serta mempergunakan kalkulator, maupun teknologi komputer, akan tetapi kita perlu mengetahui asal usul metode perkalian itu. Dengan mempergunakan logika informatika penulis menemukan dan memperoleh suatu cara yang cukup mudah untuk menghitung, yaitu dengan memanfaatkan hukum distributif pada persoalan hitungan. Kata Kunci : Hitungan perkalian, logika informatika, hukum distributif
PENDAHULUAN Latar Belakang Perhitungan perkalian pada bilangan merupakan kebutuhan sangat mendasar diperlukan bagi kehidupan manusia, yang melibatkan hampir semua umat manusia baik mereka yang masih kecil, dewasa, maupun yang sudah tua, tanpa memandang jenjang/ tingkat pendidikan ilmiahnya, secara sadar maupun tidak sadar terlibat untuk memakai perhitungan perkalian pada tingkat yang sederhana. Operasi hitung yang dikenal sekarang, sebenarnya telah lama dipikirkan oleh manusia yaitu semenjak Kerajaan Yunani kuno jauh sebelum tahun masehi, pada masa itu orang yang bertugas menghitung, dikenal dengan sebutan Juru Hitung, semenjak itu pulalah para ahli pikir mencoba menemukan suatu cara untuk memperoleh hasil perkalian dengan mudah. Banyak para ahli pikir yang dikenal diantaranya Pythagoras, Archimedes, Newton, Pascal, Rene Descartes (1596-1650) dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar, ia juga penemu biologi modern, ahli fisika dan matematikawan, karyanya adalah La Geometric yang diterbitkan tahun 1637, ia mencoba menggabungkan geometri tua dengan aljabar yang masih bayi bersama Pierre Fermat (1601-1665), gabungan itu yang kini disebut Geometri Analitik, sedangkan Kalkulus merupakan hasil perjuangan intelektual yang dramatik yang berlangsung selama dua ribu lima ratus tahun ( Richard Courant ), serta
45
Peranan Logika Informatika pada Hitungan Perkalian Berbasis Hukum Distributif (Rusdy Agustaf)
banyak lagi para ahli yang lain dimana mereka secara terpisah, berlomba menyumbangkan sesuatu untuk kemajuan umat manusia dengan ilmu pengetahuan yang mereka tekuni, tentunya ilmu pengetahuan yang ada sekarang ini merupakan hasil gabungan dari berbagai macam ilmuan yang telah mereka sumbangkan, baik oleh mereka yang telah dikenal maupun mereka yang tidak dikenal, dan ilmu pengetahuan yang telah ada sekarang ini perlu kita syukuri. Kita sangat berharap agar para ahli / ilmuan, secara estafet tetap selalu menyumbangkan karya ilmunya lebih banyak lagi bagi kehidupan dan kemajuan umat manusia secara menyeluruh. Hampir setiap orang terlibat melakukan operasi hitung terutama perkalian sederhana, yang menurut kita mudah tetapi bagi sementara orang masih menjadi sukar untuk menyelesaikannya, walaupun metode perkaliannya telah diberikan oleh para ahli / ilmuan. Patut disyukuri bahwa kita tidak lagi mengalami kesukaran didalam menyelesaikan perkalian sederhana tersebut. Kita telah mengetahui bersama dari sejarah umat manusia pada waktu yang lalu, untuk menyesaikan perkalian 87 x 73 saja memerlukan seorang ahli hitung yang perlu menghitung dengan waktu yang cukup lama. Periode berikutnya memakai alat-alat hitung seperti abacus, simpoa, mistar hitung ataupun alat-alat hitung lainnya. Penulis menemukan dan memperoleh suatu cara yang cukup mudah untuk menghitung, yaitu dengan memanfaatkan hukum distributif pada operasi hitung. Operasi Hitung Operasi hitung yang kita lakukan sekarang ini merupakan hasil sumbangan dan karya ilmiah para ahli pikir secara estafet hingga sekarang, dan telah berumur ribuan tahun. Asal mulanya perhitungan bilangan itu berasal dari kebutuhan manusia terhadap pencacahan yang dilakukannya, dari sini muncullah alat sederhana yang dipakai seperti abacus, simpoa, mistar hitung dan alat-alat hitung lainnya, yang berfungsi untuk mempermudah perhitungan agar operasi hitung dapat dilakukan oleh seluruh umat manusia, baik orang yang pintar maupun bodoh, sumbangan itu sangatlah bermanfaat. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka ada beberapa masalah yang ingin diperoleh dari penelitian ini, yaitu : 1. Apakah perhitungan perkalian biasa, dalam menyelesaikan dapat dipercepat ? 2. Bagaimana pemanfaatan hukum distributif pada operasi hitung ? 3. Dapatkah logika informatika digunakan pada persoalan perhitungan perkalian sederhana dapat dilakukan dengan cepat ? Metode Penelitian Penelitian pada makalah ini dilakukan dengan menggunakan metode sebagai berikut : 1. Literatur yaitu teori-teori yang berkaitan / diperlukan atau sumber-sumber Informasi pada penelitian diambil dari pustaka/ literatur, dan sumber lainnya yang dapat dipertanggung jawabkan. 2. Penelitian dilakukan secara mandiri dengan metode trial, memakai hukum distributif dan juga meminta bantuan pada para pakar dibidangnya dengan cara diskusi atau mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang diperlukan. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membantu/ memperoleh cara penyelesaian perhitungan perkalian sederhana, dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan logika informatika yang berbasis hukum distributif.
46
Jurnal Dinamika Informatika Volume 4, Nomor 1, Pebruari 2010 : 45 - 52
TINJAUAN PUSTAKA Landasan Teori Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dipergunakan diskusi, studi pustaka dan mengutak-atik secara mandiri dengan melakukan trial. Yang dimaksud dengan : Diskusi yaitu melakukan pembicaraan dengan teman / orang, baik disengaja ataupun secara kebetulan mengenai perkalian pada operasi hitung. Studi pustaka adalah pemikiran yang didasari dari penulisan para ahli yang ada tentang hitungan perkalian sederhana atau dapat juga hitungan perkalian sederhana diperoleh dari buku-buku yang telah ada, baik diperpustakaan ataupun dari buku-buku yang telah ada / beredar. Secara mandiri penulis juga melakukan trial / pengamatan pada hitungan perkalian yang dilakukan dengan cara mengutak-atik secara berulangulang dengan memakai logika yang benar dengan memanfaatkan hukum distributif, sehingga menghasilkan suatu kesimpulan pada hitungan perkalian sederhana, yang dapat dilakukan secara cepat dan berlaku umum. Hukum Distributif Pengetahuan tentang aljabar sederhana, tentunya tidak lepas dari hukum-hukum yang ada pada aljabar tersebut, seperti memuat hukum distributif, sebagai berikut : 1.
x1 (x2 + x3 ) = x1 x2 + x1x3
dan (x1 + x2 ) x3 = x1 x3 + x2x3
2.
x1 (x2 x3 ) = x1 x2 x1x3
dan (x1 x2 ) x3 = x1 x3 x2x3
3.
x1 (x2 + x3 + x4 ) = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4
4.
x1 (x2 + x3 x4 ) = x1 x2 + x1 x3 x1 x4
5.
(x1 + x2) (x3 + x4) = x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4
6.
(x1 + x2) (x3 x4) = x1 x3 x1 x4 + x2 x3 x2 x4
7.
(x1 x2) (x3 x4) = x1 x3 x1 x4 x2 x3 + x2 x4
8.
(x1 + x2 + x3 ) (x4 + x5 + x6) = x1 x4 + x1 x5 + x1 x6 + x2 x4 + x2 x5 + x2 x6 + x3 x4+ x3 x5 + x3 x6
9.
(x1 + x2 x3 ) (x4 + x5 x6) = x1 x4 + x1 x5 x1 x6 + x2 x4 + x2 x5 x2 x6 x3 x4 x3 x5 + x3 x6
Pemakaian Hukum Distributif Berikut hukum distributif dipakai untuk mencari perkalian 39 x 31 = … maka dapat dilakukan hitungan perkalian tersebut dengan memakai "Hukum Distributif", seperti contoh berikut ini : 1.
39 x 31 = (39 + 1) 30 + (9x1) = 1200 + 9 = 1209
2.
39 x 31 = (30 + 9) 31 = 30(31) + 9 (31) = 930 + 279 = 1209
3.
39 x 31 = (40 1) 31 = 40 (31) 1 (31) = 1240 31 = 1209
4.
39 x 31 = 39 ( 30 + 1) = 39 (30) + 39 (1) = 1170 + 39 = 1209
47
Peranan Logika Informatika pada Hitungan Perkalian Berbasis Hukum Distributif (Rusdy Agustaf)
5.
39 x 31 = 39 (40 9) = 39 (40) 39 (9) = 1560 351 = 1209
6.
39 x 31 = 39 (20 + 10 + 1) = 39 (20) + 39 (10) + 39 (1) = 780 + 390 + 39 = 1209
7.
39 x 31 = 39 ( 40 10 + 1) = 39 (40) 39 (10) + 39 (1) = 1560 390 + 39 = 1209
8.
39 x 31 = (20 + 10 + 9) 31 = 20 (31) + 10 (31) + 9 (31) = 620 + 310 + 279 = 1209
9.
39 x 31=(20+10+101)31=20(31)+10(31)+10(31)1(31)=620+310+31031= 1209
10.
39 x 31 = (40 1) (30+1)= 40(30)+ 40(1) 1(30)1(1) = 1200 + 40 30 1 = 1209
11.
39 x 31 = (30+9) (30+1) = 30(30)+ 30(1) + 9(30) + 9(1) = 900 +30 +270 +9 = 1209
12.
39 x 31 = ( 20+10+101) (20+10+1) = = 400+ 200+ 20 + 200+ 100+ 10+ 200+100+1020 10 1 = 1209
Hitungan perkalian 39 x 31 = 1209 yang disajikan diatas, ternyata dapat dilakukan dengan cara bermacam-macam, dengan memakai hukum distributif. Hitungan Umum Perkalian Sekarang kita tinjau perkalian pada operasi hitung yang sederhana yaitu 67 x 53 = …. Secara penyajian yang biasa, kita lakukan sebagai berikut :
67 53
Proses yang dilakukan Pertama : 3 x 7= 21 ditulis 1 disimpan 2 (karena basis 10) Kedua : 3 x 6 = 18 ditambah 2 menjadi 20, ditulis 20 Ketiga : 5 x 7 = 35 ditulis pada deretan dibawahnya ditulis 5 disimpan 3 Keempat: 5 x 6 = 30 ditambah 3 menjadi 33, ditulis 33 Kelima : hasilnya ditambahkan sehingga paling kanan 1,kemudian 0 + 5 = 5 ditulis 5 , berikutnya 2 + 3 = 5 terakhir 0 + 3 = 3, jadi hasilnya 3551
x
201 335
+
3551
Hitungan Perkalian Sederhana Memanfaatkan Hukum Distributif Hitungan umum perkalian sederhana diatas memakai/ memanfaatkan hukum distributif, dapat diperlihatkan/ dilakukan sebagai berikut : 67 = 60 + 7
=
x1 + x2
53 = 50 + 3
=
x3 + x4
1.
3x7
=
21
x4 . x2
2.
3 x 60
=
180
x4 . x1
3.
50 x 7
=
350
x3 . x2
4.
50 x 60 = 3000
x3 . x1
3551
48
201 3350 + 3551
Jurnal Dinamika Informatika Volume 4, Nomor 1, Pebruari 2010 : 45 - 52
Suatu temuan yang diperoleh penulis dengan melakukan trial dan memanfaaatkan hukum distributif, maka penulis dapat memperoleh berbagai macam bentuk hitungan perkalian, dengan hasil yang sama yaitu : 67 =
60 + 7
= x1 + x2
53 =
50 + 3
= x3 + x4
1. 60 x 3
=
180
x1 . x4
2. 60 x 50 = 3000
x1 . x3
3.
7x3
=
21
x2 . x4
4.
7 x 50 =
350
x2 . x3
3180 371 + 3551
3551
Perkalian diatas terlihat Pemanfaatan hukum distributif pada operasi hitung, yaitu : 67 x 53 = ( 60+7) (50+3) = (x1 + x2) (x3 + x4) = x4. x2 + x4. x1 + x3. x2 + x3. x1 = = x 1. x 4 + x 1. x 3 + x 2. x 4 + x 2. x 3 Dari hitungan perkalian yang dilakukan diatas, dapat dilakukan berbagai bentuk perkalian, dengan memanfaatkan hukum distributif pada hitungan perkalian. Berikut bentuk lain hitungan perkalian yang dilakukan oleh penulis (lihat kanan) dapat dibandingkan dengan cara yang sudah biasa dikenal yaitu :
1)
79 46
x
474 316
79 46
3634 934 628 7472 1868 5604 586552
x
322 414 +
3)
2)
+
+
934 628 5652 1884 2512 586552
x
234 390
4) x
+
78 53
+
4134
4134
728 413
728 413
2184 728 2912 300664
x
371 424 +
3634
x
78 53
x
+
2891 826 3304
x
+
300664
49
Peranan Logika Informatika pada Hitungan Perkalian Berbasis Hukum Distributif (Rusdy Agustaf)
Perkalian Cepat Pada Hitungan Perkalian Hitungan Perkalian bisa cepat, dapat dilakukan dengan memakai hukum distributif, dapat diperlihatkan seperti berikut 78 x 72 = 5616, perkalian 78 x 72 = 5616 dapat dilakukan dengan cepat, walau banyak yang beranggapan jangan-jangan sudah dicari dulu, kemudian dihafalkan, untuk itu perlu diperlihatkan caranya sebagai berikut : 78 + 2 = 80 dianggap 8 (sebagai puluhan), 2 diambil dari 72 sehingga sisanya menjadi 70 dianggap 7 (sebagai puluhan), kemudian dikalikan puluhan dengan puluhan, diperoleh hitungan perkalian 8 x 7 = 56, demikian juga satuan dikalikan dengan satuan, yaitu hitungan perkalian 8 x 2 = 16, sehingga hasil terakhirnya diperoleh 5616, cara cepat diatas dapat dilihatkan dengan landasan teori berikut, memakai hukum distributif, yaitu sebagai berikut : (x1 + x2) (x3 + x4) = (x1 + x2) . x3 + (x1 + x2) . x4 , karena x1 = x3 = 70 maka diperoleh = (x1 + x2) . x1 + (x4 . x1) + (x2 . x4 ) = (x1 + x2 + x4) . x1 + (x2 . x4), karena x1 = x3 = 70 maka diperoleh = (x1 + x2 + x4) . x3 + (x2 . x4), sedangkan x1 = 70, x2 = 8,x3= 70, x4 = 2 = ( 70 + 8 + 2 ) . 70 + ( 8 . 2 ) = ( 80 . 70 ) + ( 8 . 2 ) = 5600 + 16 = 5616 Sehingga 78 x 72 dapat dilakukan dengan cepat yaitu
( ( 78 2) x 70) (8 x 2) (80 x 70) (8 x 2) 5616 Demikian juga 56 x 54 = ((56+4) x 50) + (6 x 4) = (60 x 50) + (6 x 4) = 3024 Perkalian 87 x 83 dapat langsung ditentukan = 7221 Pemikiran diatas dapat diperluas seperti perkalian berikut ini 136 x 134 = [ (136+4) x 130 ] + [6 x 4] = [140x130 ] + [6 x 4] = 18224 (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x4 + x5)) + ((x1 + x2 + x3) . x6) (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x4 + x5)) + (x6 . (x1 + x2 + x3)) (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x4 + x5)) + (x6 . (x1 + x2)) + (x6 . x3) Karena x1 + x2 = x4 + x5 maka dapat diubah menjadi (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x4 + x5)) + (x6 . (x4 + x5)) + (x3 . x6) Karena x4 + x5 = x1 + x2 maka dapat diubah menjadi (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x1 + x2)) + (x6 . (x1 + x2)) + (x3 . x6) (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3) . (x1 + x2) + x6 . (x1 + x2)) + (x3 . x6) = ((x1 + x2 + x3 + x6) . (x1 + x2)) + (x3 . x6) (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5 + x6) = ((x1 + x2 + x3 + x6) . (x1 + x2)) + (x3 . x6)
50
Jurnal Dinamika Informatika Volume 4, Nomor 1, Pebruari 2010 : 45 - 52
Hukum distributif dapat diisikan : x1 = 100, x2 = 30, x3 = 6, x4 = 100, x5 = 30, x6 = 4 Jadi hitungan perkalian diatas dapat dilakukan sebagai berikut : 136 x 134 = ((100 + 30 + 6 + 4) . (100 + 30)) + (6 . 4) 136 x 134 = (140 ) . (130)) + (6 . 4) 136 x 134 = (18200) + (24) 136 x 134 = 18224 Demikian juga dapat dilakukan secara umum untuk hitungan perkalian berikut : 127 x 123 = ((100 + 20 + 7 + 3) . (100 + 20)) + (7 . 3) 127 x 123 = (130) . (120)) + (7 . 3) 127 x 123 = (15600) . (21)) 127 x 123 = 15621 Demikian hitungan berikut secara cepat 116 x 114 = (120 x 110) + (6 x 4) = 13224 157 x 153 = 24021 Kemudian dapat dikembangkan dengan hitung perkalian berikut : 76 x 64 = ………… Dengan pemanfaatan hukum distributif, bentuknya dirubah menjadi yaitu : (60 + 10 + 6) x (60 + 4) , kemudian kita misalkan x1= 60, x2= 10, x3= 6, x4= 60, x5= 4 dirubah kebentuk notasi, digunakan hukum distributif seperti berikut : (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5) = ((x1 + x2 + x3) . x4) + (x1 + x2 + x3) . x5 karena x4 = x1 = 60 maka dapat dirubah menjadi : (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5) = ((x1 + x2 + x3) . x1) + (x1 . x5) + (x2 + x3) . x5 (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5) = (x1 + x2 + x3) . x1 + (x5 . x1) + ((x2 + x3) . x5) (x1 + x2 + x3) . (x4 + x5) = ((x1 + x2 + x3+ x5) . x1) + ((x2 + x3) . x5) (60 + 10 + 6) . (60 + 4) = (60 + 10 + 6 + 4) x 60 + ((10 + 6) x 4) (60 + 10 + 6) . (60 + 4) = (80) x 60 + ((16) x 4)
Jadi
76 x 64
= (80 x 60) + (16 x 4)
76 x 64
= 4864
Demikianlah penyajian hitungan perkalian dengan memakai logika informatika dengan berbasis hukum distributif pada perhitungan perkalian sederhana, dan para pembaca dipersilahkan mencoba sendiri untuk perkalian lainnya, dengan basis hukum distributif. Demikian juga untuk hitungan perkalian berikut : 68 x 52 = ((68 + 2) x 50) + (18 x 2) = (70 x 50) + 36 = 3536 96 x 64 = (100 x 60) + (36 x 4) = 6000 + 144 = 6144 78 x 52 = 4056
51
BROWSE R Peranan Logika Informatika pada Hitungan Perkalian Berbasis Hukum Distributif (Rusdy Agustaf)
Juga berlaku untuk hitungan perkalian berikut : 117 x 83 = ((117 + 3) x 80) + (37 x 3) = (120 x 80) + (111) = 9711 136 x 94 = (140 x 90) + (46 x 4) = 12784
Dari uraian diatas hitungan perkalian berbasis hukum distributif merupakan peranan logika informatika KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan pembahasan topiks diatas, maka dapat diperoleh beberapa kesimpulan dan Saran sebagai berikut : Kesimpulan Perkalian pada operasi hitung menurut kita mudah untuk menyelesaikannya, tetapi bagi sementara orang masih menjadi kendala, walaupun cara perkalian biasa telah kita ketahui bersama dan tidak mengalami kendala didalam memakainya, tetapi tentunya tidak salah bila pemikiran baru dari penulis seperti yang telah diuraikan diatas, dapat memberi dan menambah wawasan kita didalam menyelesaikan perkalian tersebut, semoga dikemudian hari kita dapat memperoleh cara yang lebih baik lagi.
Saran-Saran Semoga para ilmuan, para cendikiawan dan para ahli dibidangnya masing-masing berusaha mengusahakan / mencari bentuk-bentuk yang pada awalnya sulit diselesaikan / dikerjakan orang lain, akhirnya menjadi lebih mudah berkat bantuan para ahli tersebut. Kehidupan ini berjalan terus, ilmu pengetahuan dan persoalan selalu bertambah disetiap waktu, marilah kita sama-sama berusaha dikemudian hari agar dapat meninggalkan sesuatu bagi anak dan cucu kita, tanpa harus menuntut balas jasa. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas dan melimpahi rahmatnya buat kita semua yang berkarya bagi umat manusia.
DAFTAR PUSTAKA Edwin J.Purcell,Dale Varberg, 1987,” Calculus with Analitic Geometry”, Prentice-Hall, Inc K. A. Stroud, 1987, " Engineering Mathematics”, The Macmillan Press, Ltd. Louis Leithold, 1986, “The Calculus with Analitic Geometry”, Harper & Row, Publisher, Inc. Murray R. Spiegel, 1956, “college Algebra ”, McGraw-Hill Book Press, New York. R. M. J. T. Soehakso, 1970,” Aljabar Abstrak ”, MIPA UGM, Yogya Rusdy Agustaf, 2001, "Pemakaian Dan Peranan Hukum Distributif Pada Operasi Hitung”, Prosiding Seminar Nasional di Universitas Islam Indonesia Yogyakarta Wirasto, 1973, “Ilmu Bilangan”, MIPA UGM, Yogya
52
