PENYELESAIAN PERSOALAN TRANSPORTASI DENGAN FUZZY COST MENGGUNAKAN PENDEKATAN BASIS TREE (Studi Kasus pada PT. Busana Cemerlang Garment Industri) Maxsi Ary Program Studi Manajemen Informatika Akademik Manajemen Informatika dan Komputer BSI Bandung (AMIK ‘BSI Bandung’) Jl.Sekolah Internasional No.1-6 Antapani, Bandung
[email protected]
ABSTRACT The issue of transportation is a linier program. Practically, variables of transportation problems may vary that emerges more than single. Fuzzy cost idea in transportation problems is required. The application of basis tree approach is used to determine a minimum cost of purchase and delivery of commodity occurred for some suppliers. The company can do a cost-saving and be more effective in determining goods purchase from the supplier. The method used is quantitative experiments, the primary data on the PPIC and purchasing. The results of calculation of basis tree approach on PT Busana Cemerlang Garment Industry are the feasible shipping cost $63993.55, the optimistic shipping cost $62073.74, and the pessimistic shipping cost $65913.35. There is a deviation $6480 with the calculation of purchase order (PO). Key Words: Transportation Problem, Linear Programming, fuzzy cost, basis tree.
ABSTRAK Persoalan transportasi merupakan persoalan program linear. Dalam praktiknya, metode penyelesaian transportasi menggunakan variabel yang dapat bervariasi. Diperlukan gagasan fuzzy cost dalam persoalan transportasi. Penerapan pendekatan basis tree digunakan untuk menentukan biaya minimum pembelian dan pengiriman barang dari sejumlah supplier. Perusahaan dapat menghemat biaya dan lebih efektif dalam menentukan pembelian barang dari supplier. Metode yang digunakan adalah eksperimen kuantitatif, data primer pada PPIC dan purchasing. Hasil perhitungan pendekatan basis tree pada PT. Busana Cemerlang Garment Industri adalah biaya pengiriman yang mungkin $63993.55, biaya pengiriman optimis $62073.74, dan biaya pengiriman pesimis $65913.35. Terdapat selisih $6480 dengan perhitungan purchase order (PO). Kata kunci: Persoalan Transportasi, Program Linear, fuzzy cost, basis tree. 1
PENDAHULUAN Persoalan transportasi merupakan persoalan program linear, membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination, demand),
dengan tujuan meminimumkan biaya pengiriman komoditas yang terjadi. Selama ini persoalan transportasi dilakukan dengan menggunakan metode North-West Corner (NWC), least cost, dan Vogel’s Approximation Method (VAM) (Dimyati &
Dimyati, 1992). Mengguanakan metode NWC untuk menentukan solusi fisibel basis awal merupakan bagian penting dalam menyelesaikan persoalan transportasi, karena sebagai langkah awal dalam metode simplex. Metode Simplex1 pertama kali dipelajari dalam sebuah penelitian oleh G.B Dantzig (1946-1947) (O'Connor, 2002). Sekarang penelitian itu diaplikasikan terhadap persoalan transportasi yang dikenal dengan MODI (Modified for 2 Distribution) (O'Connor, 2002). Metode MODI dan metode lainnya yang menggunakan tabel transportasi cukup memadai selama ukuran persoalan relatif kecil. Ukuran persoalan dikatakan kecil dengan melihat jumlah sumber dan jumlah tujuan. Persoalan menjadi besar, sehingga mencari unik cycle (istilah dalam tulisan (O'Connor, 2002) menyebut unik θ − loop ) pada variabel basis dan membentuk solusi fisibel basis yang baru menjadi sulit. Untuk alasan ini dan alasan lain metode standar pemecahan masalah tranportasi telah menjadi algoritma out-of-killer (O'Connor, 2002), sehingga persoalan transportasi merupakan kasus yang menarik. Pengembangan terstruktur untuk algoritma out-of-killer terinspirasi oleh perkembangan terbaru teknik ilmu komputer menggunakan struktur data dan manipulasi data. Persoalan Transportasi dapat dianggap sebagai kasus khusus linear programming, dan algoritma yang efisien telah dikembangkan ketika variabel diketahui dengan pasti. Namun, dalam kenyataan praktiknya variabel masalah transportasi dapat bervariasi. Sebagai contoh, biaya pengiriman barang akan menjadi tidak tentu dengan adanya perubahan cuaca, jalur yang berbeda, kondisi dari jalur pengiriman barang, kendaraan dan resiko yang terjadi, perjanjian pemesanan jumlah 1
Perkataan “Simplex” merupakan akronim dari “Simple Linear Example” (Mairy, 2003) 2
Dalam buku karangan (Dimyati & Dimyati, 1992), Metode MODI dikenal dengan Metode Multiflier. (O'Connor, 2002)
barang dengan interval, dan semua contoh di atas akan menjadikan informasi yang diperoleh menjadi tidak tentu pula. Pada akhirnya akan membuat bingung pengambil keputusan (Li, Huang, Da, & Hu, 2008). Untuk menghadapi banyaknya informasi yang tidak tepat, diperlukan gagasan fuzzy cost dalam persoalan transportasi. Oleh karena itu perlu dilakukan penelitian menyelesaian persoalan transportasi dengan fuzzy cost. 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graph Lengkap Terdapat berbagai referensi mengenai graph. Salah satu definisi graph adalah sebagai berikut. Definisi 2. 1 (Wilson & Watkins, 1990) Sebuah graph adalah diagram memuat titik-titik, disebut node, bersama didalamnya garis-garis, disebut arc, setiap arc menghubungkan tepatnya dua node. Pada teori graph, sebuah terminologi tidaklah secara lengkap dalam bentuk standar, sebagai contoh beberapa penulis menggunakan bentuk vertice atau point untuk suatu node, dan edge atau line untuk suatu arc. Untuk pilihan terminologi seperti ini dapat diterima sepanjang digunakan secara konsisten. Definisi 2. 2 (Wilson & Watkins, 1990) Sebuah graph
G = ( N , A ) memuat
himpunan elemen tak-kosong, disebut node ( N ) , dan daftar pasangan tidak terurut dari elemen-elemen node, disebut arc ( A ) . Himpunan node-node
G disebut node-set dari G , N ( G ) , dan daftar arc-arc
dari graph ditulis
G , ditulis A ( G ) . Jika v dan w adalah node G , maka arc dengan bentuk vw atau wv disebut join v dan w . disebut arc-list dari
Definisi graph memberikan kemungkinan beberapa join dengan pasangan node yang sama, atau join dari node ke node itu sendiri.
Definisi 2. 3 (Wilson & Watkins, 1990) Dua atau lebih join pasangan node yang sama disebut multiple arc, dan sebuah join dari node itu sendiri disebut loop. Sebuah graph dengan tidak memiliki loop atau multiple arc disebut graph sederhana (simple graph). Definisi 2. 4 (Wilson & Watkins, 1990) Sebuah graph lengkap adalah suatu graph dimana setiap dua node dihubungkan oleh tepatnya satu arc.
Graph lengkap dengan dengan
n
node ditulis
kn .
2.2 Graph Bipartite Graph bipartite merupakan graph dimana himpunan node dapat dipecah kedalam himpunan A dan himpunan B, sehingga setiap arc dari graph menghubungkan node pada A ke node di B. Sebagai contoh: misalkan himpunan node A diberi warna hitam dan himpunan node B warna putih, sehingga graph bipartite dapat dibuat sebagai berikut:
(a)
(b)
Gambar 2. 1 Graph Bipartite
Definisi 2. 5 (Aho, Hopcroft, & Ulman, 1987)
2.4 Tree Definisi 2. 7 (O'Connor, 2002)
Sebuah graph dimana node dapat dibagi kedalam dua graph saling lepas dengan setiap arc mempunyai satu tujuan dalam setiap grup disebut Bipartite Graph.
Sebuah tree T = ( N , A) adalah graph terhubung yang tidak memuat cycle. Di mana N adalah himpunan node-node (node-set) dan A adalah daftar arc-arc (arc-list) yang menghubungkan pasangan node-node.
2.3 Graph Berbobot Definisi 2. 6 (Wilson & Watkins, 1990) Graph berbobot adalah sebuah graph untuk setiap arc telah diberikan bilangan positif, yang disebut bobot.
2.5 Spanning Tree Misalkan graph sederhana berikut (gambar 2.2):
Gambar 2. 2 Graph Sederhana
Graph pada gambar 2.2 dapat dibuat subgraph sebagai berikut:
sebagai
Gambar 2. 3 Subgraph Sederhana
Perhatikan bahwa subgraph gambar 2.3 menunjukkan sebuah tree, karena dapat dihubungkan dan memiliki enam node serta lima arc. Definisi 2. 8 (O'Connor, 2002)
G = ( N , A) adalah sebuah graph dan T = ( N ', A ') adalah sebuah tree yang merupakan subgraph dari G , maka disebut spanning tree dari G jika N ' = N . Dengan lain kata, sebuah tree yang memuat semua node pada G . Jika
2.6 Persoalan Transportasi G( N , A) adalah Misalkan network berarah terdiri dari himpunan berhingga node N , dan himpunan arc berarah A menghubungkan pasangan node pada N . Setiap arc (i, j ) ∈ A , sebuah
xij ,
komoditas
pendistribusian
per
biaya
cij , batas
unit
bawah komoditas lij dan batas atas uij . Untuk
setiap
memberikan
i∈ A
kita
integer
bi
node nilai
menunjukkan sumber yang tersedia atau tujuan untuk komoditas pada node tersebut. Jika
bi > 0 ,
maka node i
adalah node sumber. Jika
bi < 0 , maka
node i adalah node tujuan. Sebaliknya
bi = 0 ,
node i diserahkan kepada node transshipment. Total jumlah komoditas sumber harus sama dengan total permintaan tujuan atau total jumlah komoditas sumber haruslah nol. jika
∑b
i
= 0, i ∈ N
2. 1
Formulasi persoalan program linear:
min
∑
cij xij
0 ≤ lij ≤ xij ≤ uij Untuk semua (i, j ) ∈ A Total jumlah komoditas sumber haruslah sama dengan nol dan menjumlahkan persamaan flow balance i∈N untuk semua sehingga didapatkan:
∑ ∑ i∈N
j:(i , j )∈A
2. 4
Ini artinya bahwa pembatas persamaan 2.3 adalah bergantung linear. Persoalan dalam notasi matriks adalah:
min {cx | Nx = b dan 0 ≤ l ≤ x ≤ u} Di mana N adalah matriks tetangga dari node-node, mempunyai baris untuk setiap node dan kolom untuk setiap arc. Formulasi persoalan program linear sangatlah istimewa dan luas penggunaannya dan dapat digunakan pada persoalan network dengan model tertentu. 2.7 Persoalan Transshipment Model transshipment adalah model transportasi yang memungkinkan dilakukan pengirim (komoditas) dengan cara tidak langsung, di mana komoditas dari suatu sumber dapat berada pada sumber lain atau tujuan lain sebelum mencapai tujuan akhir. Jadi, pada persoalan transshipment ini suatu sumber sekaligus dapat berperan sebagai tujuan dan, sebaliknya, suatu tujuan dapat juga berperan sebagai sumber. Persoalan transshipment adalah persoalan program linear dengan node transshipment dan kapasitas arc tak terbatas. Kita membagi node menjadi node sumber, node
Berdasarkan Pembatas:
∑
xij −
∑
x ji = bi
j:( j ,i )∈A
Untuk semua
i∈ A
x ji = bi = ∑ bi = 0 j:( j ,i )∈A i∈N
∑
tiga subhimpunan. 2. 2
( i , j )∈A
j:( i , j )∈A
xij −
tujuan,
N1
N2
adalah himpunan
adalah himpunan
dan
N3
adalah
subhimpunan node transshipment. 2. 3
2.8 Formulasi Persoalan Transportasi Kasus spesial dari persoalan transshipment di mana tidak terdapat
node transshipment disebut dengan persoalan transportasi. Node disini adalah salah satu dari node sumber dan node tujuan. Ini artinya bahwa graph yang mendasari adalah graph bipartite, di mana
N1
sumber dan tujuan,
adalah himpunan node
N2
adalah himpunan node
sedemikian
N = N1 ∪ N2
dan
sehingga
himpunan
m
n
z = min ∑∑ cij xij i =1 j =1
2. 8
Berdasarkan pembatas: n
∑x
ij
= Si ; untuk semua i = 1, 2,..., m
j =1
2. 9
arc m
didefinisikan oleh:
∑x
A = {(i, j ) | i ∈ N1 , j ∈ N 2 }
ij
= D j ; untuk semua j = 1, 2,..., n
i =1
Secara objektif yaitu untuk merencanakan ongkos pengiriman yang terkecil dari sumber
N2 , di mana xij
N1
adalah banyaknya unit
j,
dan cij adalah ongkos pengiriman satu unit i kepada j . Sumber dan tujuan berturutturut ditunjukkan oleh bij . Tidak terdapat batas atas (uncapacitated). Formulasi persoalan program linear:
∑
cij xij
( i , j )∈A
2. 5
Berdasarkan pembatas:
∑
xij = bi ; untuk semua i ∈ N1
j:( i , j )∈ A
2. 6
∑
xij ≥ 0 ; untuk semua (i, j)
kepada tujuan
dikirim dari sumber i kepada tujuan
min
2. 10
xij = −bi ; untuk semua i ∈ N2
di mana:
Si > 0, D j > 0 untuk semua i, j dan n
m
j =1
i =1
∑ Si = ∑ D j , dengan lain kata: total supplies = total demand. Kondisi terakhir ini sangat penting dan menentukan untuk menjadikan suatu masalah transportasi menjadi fisibel. Interpretasi dari persoalan transportasi: 1. Terdapat m sumber masing-masing memproduksi produk yang sama. 2. Sumber i memproduksi sejumlah
Si 3. Terdapat n tujuan masing-masing meminta produk yang sama. 4. Tujuan j memproduksi sejumlah
Dj
j:( i , j )∈A
2. 7
xij ≥ 0 ; untuk semua (i, j ) ∈ A Persoalan transportasi merupakan persoalan yang sederhana, karena alasan berikut: a) Merupakan graph bipartite dengan tidak memiliki nodenode transshipment. b) Tidak mempunyai batas-batas kapasitas pada arc-arc. Formula standar secara aljabar untuk persoalan transportasi:
5.
xij adalah jumlah produk dikirim dari sumber i ke tujuan j dengan harga cij untuk setiap unit
pengiriman. 6. Sumber tidak dapat mengirim lebih dari hasil produksinya, akibatnya terdapat pembatas supply. Contoh sumber ke-2: n
∑x
2j
= S2
j =1
7. Tujuan tidak dapat menerima lebih dari yang di minta, akibatnya terdapat pembatas demand. Contoh tujuan ke-4:
Untuk setiap variabel nonbasis kita dapat ui − v j < cij atau
m
∑x
i4
= D4
i =1
8. Jika sumber memiliki kelebihan permintaan, kita kirim semua kelebihan ke variabel bantu yang disebut variabel dummy. Tujuan n + 1 dengan biaya nol. 9. Jika permintaan melebihi sumber, masalah tidak dapat diselesaikan sebagai persoalan transportasi, maka dibutuhkan formulasi yang baru. 2.9 Dual Persoalan Transportasi Dual persoalan transportasi sangatlah penting karena kita gunakan variabel dual dalam perhitungan penurunan ongkos transportasi pada persoalan primal: m
n
i =1
j =1
max ∑ Si ui + ∑ D j v j
2. 11
Berdasarkan pembatas: ui + v j ≤ cij , untuk semua
ui
dan
i, j
v j tertutup
Akan ditunjukkan bagaimana pembatas dual digunakan dalam menghitung penurunan ongkos transportasi
cij = cij − (ui + v j ) untuk
variabel nonbasis. Perlu diingat bahwa terdapat satu pembatas dual untuk setiap arc dalam network persoalan transportasi. Untuk menghitung penurunan ongkos transportasi, kita memerlukan simplex multipliers atau node potensial
ui
dan
vj
untuk
i = 1,..., m dan
ui − v j + c ij = cij .
cij = cij − (ui + v j ) dapat dihitung untuk semua variabel nonbasis. 2.10
Persoalan Transportasi Fuzzy Misalkan sebuah persoalan transportasi dengan m supplier dan n demand, yang mana terdapat
Si (Si > 0)
dan
m + n − 1 persamaan memberikan dengan m + n yang tidak diketahui. Karena satu pembatas yang berlebihan, kita dapat memilih nilai tertentu untuk setiap salah satu u dan v . Pilihan
ui = 0 ,
kemudian selesaikan variabel
yang lain dari m + n − 1 persamaan tersebut dengan cara substitusi.
D j ( D j > 0)
unit
permintaan dari demand. Hubungan setiap link (i , j ) dari supplier i kepada demand
j , yaitu sebuah biaya cij untuk
transportasi. Persoalannya adalah bagaimana mencari pendekatan solusi fisibel dari pengiriman yang mungkin untuk memuaskan demand yaitu mencari biaya transportasi minimal. Misalkan xij merupakan jumlah unit yang akan dikirimkan dari supplier i ke demand j . Bentuk matematika dari persoalan transportasi dengan kasus jumlah supplier sama dengan jumlah demand. m
n
z = min ∑∑ cij xij
2. 12
i =1 j =1
Berdasarkan pembatas: n
∑x
ij
= Si
j =1
; untuk semua i = 1, 2,..., m
m
∑x
ij
= Dj ; untuk semua j = 1, 2,..., n
i =1
ui + v j = cij . Ini akan
unit yang dikirimkan oleh
supplier
j = 1,..., n . Jika xij adalah variabel basis, maka
Karenanya
xij ≥ 0
; untuk semua (i , j )
di mana:
i, j
dan
Si > 0, D j > 0 untuk semua n
m
j =1
i =1
∑ Si = ∑ D j dengan lain
kata total supplies = total demand. Pada persamaan persoalan transportasi di atas, semua variabel, koefisien biaya pengiriman, jumlah permintaan dan persediaan, pada
umumnya adalah nilai yang tepat. Kenyataannya, dalam praktik dilapangan dipengaruhi oleh banyak faktor. Sebagai contoh, biaya pengiriman dengan perubahan cuaca, cara pengiriman, kondisi pengiriman, alat angkut dan ada risiko, perjanjian pemesanan jumlah barang dengan interval, dan informasi tidak pasti akan membuat para pengambil keputusan menjadi bingung. Untuk memberi alternatif pada kenyataan tersebut, kita anggap biaya pengiriman sebagai bilangan fuzzy, di tuliskan dengan
c = (c / c / c) , di mana c adalah biaya pengiriman paling mungkin, c adalah biaya pengiriman paling optimis, dan c adalah biaya pengiriman paling pesimis. Ketika koefisien biaya adalah bilangan fuzzy, maka total biaya transportasi akan bernilai bilangan fuzzy juga. m
n
min z = min ∑∑ c ij xij
2. 13
i =1 j =1
Berdasarkan pembatas: n
∑x
ij
= Si ;
untuk
semua
untuk
semua
j =1
i = 1, 2,..., m m
∑x
ij
= Dj ;
i =1
j = 1, 2,..., n xij ≥ 0 ; untuk semua
(i , j ) di mana:
Si > 0, D j > 0 untuk semua i , j dan n
m
j =1
i =1
∑ Si = ∑ D j , dengan lain kata: total supplies = total demand. 2.11
Basis Tree Terdapat sebuah korespondensi antara setiap tabel transportasi dengan tree. Setiap arc antara node sumber dan
node tujuan menunjukkan variabel basis. Arc yang terputus (tidak dialokasikan) menunjukkan variabel nonbasis. Adanya hubungan ini, maka setiap network persoalan transportasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. m + n node. 2. m + n − 1 arc. 3. Setiap node dihubungkan pada node lain oleh satu atau lebih arc. 4. Tidak ada loop. Hanya terdapat satu rangkaian arc-arc antara setiap pasangan node-node. Sifat-sifat ini mengarah pada spanning tree dalam persoalan transportasi dengan m + n node dan m x n arc. Kenyataan di atas memberikan petunjuk bahwa setiap basis dapat diartikan sebagai spanning tree. Sehingga konsep ide ini disebut dengan Basis Tree. Penambahan satu arc ke basis tree akan sama dengan variabel nonbasis yang baru masuk (entering variabel). Penambahan arc tersebut akan menghasilkan unik cycle dan mempunyai hubungan dengan unik θ − loop pada solusi persoalan transportasi. Loop ini akan terputus dengan penghapusan arc yang lain dalam loop. Proses pengahapusan arc pada satu loop mempunyai korespondensi dengan leaving variable dan menjadi variabel nonbasis. Struktur setiap basis spanning tree menjadi lebih jelas jika mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: 1. Pilih node pertama ( S1 dalam contoh ini) sebagai root dalam basis tree. 2. Gambar semua node dan arc yang lain dibawah root. Dua langkah diatas digambarkan sebagai berikut:
(a) Graph Bipartite Persoalan Transportasi
(b) Basis Tree
Gambar 2. 4 Bipartite Graph Persoalan Transportasi dan Basis Tree
2.12 Pivoting Menggunakan Basis Tree Suatu variabel nonbasis dipilih untuk tahap entering variable, proses transformasi basis sekarang menjadi basis yang baru disebut pivoting. Akan ditunjukkan bagaimana pivot menggunakan basis tree. Dalam proses ini semua operasi aljabar digantikan oleh operasi graph. Ini tidak hanya menjelaskan semua operasi, tetapi juga semua langkah komputasi menjadi sederhana. Langkah-langkah pivoting pada basis tree, diberikan nonbasis arc *
*
(i , j ) dengan penurunan biaya negatif telah dipilih dari daftar arc. Langkah selanjutnya dibentuk: * 1. Tambahkan arc baru antara node i dan
j* ,
sehingga
akan
membentuk unik θ − loop ditemukan sebagai berikut:
yang
node
*
a. Dimulai dari node i naik keatas tree yaitu root. Ini akan memberi lintasan yang unik
i* → ... → root . *
b. Dimulai dari node j naik keatas tree yaitu root. Ini akan memberi lintasan yang unik
j * → ... → root . c. Dua lintasan ini akan bertemu pada node NCA (Nearest * Common Ancestor) dari i dan
j* . Ini akan memberi lintasan yang unik θ loop * i → ... → NCA → ... → j * → i* .
2. Dengan
menggunakan
unik
θ − loop , carilah arc yang akan dipindahkan dari loop. Arc disini bertanda (-) dengan alokasi arus (komoditas) yang terkecil. 3. Potong arc yang ditemukan pada langkah (2) dan bangun kembali tree. 4. Mengatur nilai komoditas pada arcarc dalam unik θ − loop . Menghitung
dual
variabel
ui , v j
untuk setiap node pada tree dengan u1 = 0 . Dapat dilihat bahwa operasi yang berbelit-belit dalam pivoting dapat terselesaikan dengan basis tree. Tidak ada bagian lain dalam basis tree yang direkayasa. Terjadi reduksi dalam hal komputasi dan permintaan penyimpanan dalam memori. Walaupun demikian mengoperasikan secara aljabar sebuah matrik ukuran dapat dioperasikan ( m + n ) x mn dengan basis tree ukuran m + n . Ini merupakan kunci algoritma network transportasi basis tree. 3
METODE PENELITIAN
Pada bagian ini akan membahas aspek metodologi penelitian yang diterapkan dalam penelitian. Dalam bab ini, peneliti akan memberikan gambaran rinci tentang metodologi penelitian. Ini mencakup jenis penelitian dan metode pengumpulan data. 3.1 Jenis Penelitian Biaya pengiriman barang akan menjadi tidak tentu dengan adanya variabel dalam persoalan transportasi yang dimungkinkan berubah-ubah.
Untuk menganalisa persoalan tersebut, maka digunakan metode penelitian eksperimen kuantitatif. 3.2 Metode Pengumpulan Data Untuk mendukung penelitian dilakukan pengumpulan data sebagai berikut: 1. Sumber Data a. Data Primer Data-data hasil wawancara dan diskusi langsung dengan bagian PPIC (Post Production and Inventory Control), bagian Purchasing dan bagian manajemen IT (Information Technology) serta pengamatan langsung pada perusahaan PT. Busana Cemerlang Garment Industri. b. Data Sekunder Data Sekunder merupakan data yang diperoleh secara tidak langsung, misalnya dari dokumentasi, literatur buku, jurnal, dan informasi lainnya yang ada hubungannya dengan masalah yang diteliti. 2. Sampel Penelitian Sampel dari penelitian ini adalah data pemesanan berdasarkan purchase order (PO) untuk melakukan pembelian barang berjenis kain. Isi sampel data berupa nomor PO, kontrak dengan pembeli kain, tanggal pemesanan, tanggal pengiriman, jumlah total permintaan, data supplier, penjelasan pembelian, jumlah per penjelasan, dan harga per unit. Untuk sampel diambil pada bulan Maret tahun 2011. 4
HASIL PENGUKURAN PEMBAHASAN
DAN
Pada proses pengukuran ini dilakukan menggunakan tiga cara, yaitu analisa hasil pengolahan data melalui metode simplex, pendekatan basis tree, dan data purchase order. 4.1 Metode Simplex Untuk menyelesaikan persoalan meminimumkan biaya pembelian jenis kain pada PT Busana Cemerlang Garment Industri menggunakan metode simplex diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Memilih (m + n − 1) variabel xij untuk membentuk solusi fisibel basis awal. 2. Memeriksa variabel yang tidak dialokasikan yang diberi nama variabel non basis. Jika variabel non basis ini masih bernilai nonpositif, maka dilanjutkan ke langkah tiga, selain itu berhenti. 3. Menentukan variabel basis yang dipotong (leaving variable), setelah itu akan terpilih variabel basis yang baru. 4. Tentukan nilai/harga dari variabel basis yang baru tersebut. Dilanjutkan ke langkah kedua. Langkah pertama untuk menentukan solusi fisibel basis awal. Cara ini dilakukan dengan menggunakan aturan North-West Corner, untuk mendapatkan variabel basis xij sebanyak ( m + n − 1) . Perhatikan tabel 2.1 mengenai permintaan jenis kain dan harga pada supplier. Bentuk tabel transportasi berikut akan lebih mudah menghitung dengan menggunakan tangan. Tabel ini memiliki (m + 2) baris dan ( n + 2) kolom. Tabel transportasi ini memuat persoalan yang terjadi di PT Busana Cemerlang Garment Industri.
Tabel 4. 1 Solusi Fisibel Basis Awal dengan NWC
Biaya Total: (4000*3.25) + (5335*1.73) + (2180*1.40) + (11740*2.10) + (2200*5.20) + (2200*2.20) + (1880*2.35) + (210*4.00) + (300*2.44) = $ 72205.55 Langkah kedua memeriksa variabel yang tidak dialokasikan atau varibel non basis. Untuk memeriksa hal tersebut, digunakan metode MODI (Modified for Distribution). Hasilnya sebagai berikut. Perhitungan dual variabel:
c25 =c25 −(u2 +v5) = 4.20−(−1.52+5.42) =0.30
u1 + v1 = 3.25
u3 + v4 = 2.35
c35 = c35 −(u3 +v5) = 4.15−(−1.27 +5.42) = 0
u2 + v1 = 1.73
u4 + v4 = 2.44
c41 =c41 −(u4 +v1) =1.8−(−1.18+3.25) =−0.27
u2 + v2 = 1.40 u2 + v3 = 5.20 u2 + v4 = 2.10
u5 + v4 = 2.20 u5 + v5 = 4.00
c42 = c42 −(u4 +v2) =1.2−(−1.18+2.92) = 0.08
Asumsi pemisalan
c13 = c13 − (u1 + v3 ) = 5 − (0 + 3.68) = 1.32 c14 = c14 − (u1 + v4 ) = 2 − (0 + 3.62) = −1.62 c15 = c15 −(u1 +v5) = 4.40 −(0 +5.42) =−1.02 c31 = c31 −(u3 + v1) = 2 −(−1.27 +3.25) = 0.02 c32 = c32 −(u3 +v2) =1.4−(−1.27+2.92) =−0.25 c33 = c31 −(u3 +v3) = 4.8−(−1.27+3.68) = 2.39
c43 = c41 −(u4 +v3) = 4.6−(−1.18+3.68) = 2.10 c45 =c45 −(u4 +v5) =4.12−(−1.18+5.42) =−0.12
u1 = 0 diperoleh dual
variabel yang lainnya dengan mensubstitusi, hasilnya adalah sebagai berikut:
u2 = −1.52 , u3 = −1.27 , u4 = −1.18 , u5 = −1.42 , v1 = 3.25 , v2 = 2.92 , v3 = 3.68 v4 = 3.62 , v5 = 5.42 . Reduksi biaya untuk variabel non basis:
c12 = c12 −(u1 + v2 ) =1.20 −(0 + 2.92) =−1.72
c51 = c51 −(u5 +v1) =1.9−(−1.42+3.25) = 0.07 c52 =c52 −(u5 +v2) =1.3−(−1.42+2.92) =−0.20 c53 = c51 −(u5 +v3) = 4.8−(−1.42+3.68) = 2.54 Perhitungan reduksi biaya masih menghasilkan biaya non-positif, sehingga akan dipilih biaya paling negatif sebagai leaving variable. Dipilih
c12 sebagai leaving variable karena memiliki nilai negative yaitu -1.72. tabel biaya reduksi diperlihatkan pada tabel 4.2 berikut ini.
Tabel 4. 2 Reduksi Biaya dan Penentuan Basis Baru
Solusi fisibel basis pada tabel 4.2 menghasilkan total biaya $ 68,455.95. Selanjutnya dilakukan pengecekan kembali dual variabel dan reduksi biaya pada iterasi kedua dan seterusnya. Dari hasil perhitungan reduksi biaya pada iterasi keenam masih diperoleh nilai non-positif sehingga perlu dilakukan iterasi kembali. Tetapi setelah dilakukan perhitungan kembali pada ketujuh diperoleh biaya total $64,275.55. Perhitungan dilakukan sampai iterasi kedelapan dengan biaya total $64.245.55. Kesimpulan diperoleh bahwa biaya total minimum diperoleh pada iterasi keenam yaitu $ 63,993.55. 4.2 Basis Tree Tabel 4.1 tentang tabel transportasi memiliki ukuran 5 x 5 memiliki hubungan antara jumlah permintaan jenis kain dan harga kain. Setiap hubungan antara node supply dan node demand menunjukkan variabel basis. Hubungan yang hilang atau tidak saling terhubung menunjukkan variabel non-basis. Setiap hubungan yang terjalin memiliki sifatsifat sebagai berikut: 1. m + n node-node.
2. m + n − 1 hubungan (arc). 3. Setiap node dihubungkan ke semua node dengan 1 atau lebih arc. 4. Tidak ada loop, artinya terdapat hanya satu rangkaian arc-arc antara setiap pasangan dari node-node. Sifat-sifat tersebut merupakan definisi spanning tree persoalan transportasi dengan m + n node dan m + n − 1 arc. Dari kenyataan bahwa persoalan transportasi dapat dibentuk sebagai spanning tree, sehingga disebut basis tree. Lihat kembali penyajian tabel transportasi (tabel 4.1), merupakan tabel yang menyajikan hubungan antara jumlah permintaan jenis kain dan harga kain. Dengan menggunakan metode North-West Corner (NWC) diperoleh variabel basis. Dipilih node pertama (dalam hal ini S1) sebagai root pada basis tree. Selanjutnya dibuat rangkaian node-node dan arc-arc lain sehingga akan terbentuk bipartite graph dan basis tree persoalan transportasii seperti gambar berikut:
Gambar 4. 1 Graph Bipartite Persoalan Transportasi
Gambar 4. 2 Basis Tree dengan Harga dan Jumlah Kain
Total Biaya: (4000*3.25) + (5335*1.73) + (2180*1.40) + (11740*2.10) + (2200*5.20) + (2200*2.20) + (1880*2.35) + (210*4.00) + (300*2.44) = $ 72205.55 Iterasi 1 Langkah 1 Menghitung dual variabel untuk nodenode variabel basis untuk setiap node pada tree, dengan u1 = 0 .
u1 + v1 = 3.25
u3 + v4 = 2.35
u2 + v1 = 1.73
u4 + v4 = 2.44
u2 + v2 = 1.40
u5 + v4 = 2.20
u2 + v3 = 5.20
u5 + v5 = 4.00
u2 + v4 = 2.10 Asumsi pemisalan variabel
yang
u1 = 0 diperoleh dual lainnya
dengan
mensubstitusi, hasilnya adalah sebagai berikut:
u2 = −1.52 , u3 = −1.27 , u4 = −1.18 , u5 = −1.42 , v1 = 3.25 , v2 = 2.92 , v3 = 3.68 v4 = 3.62 , v5 = 5.42 . Langkah 2 Pengecekan variabel non basis dengan biaya reduksi negatif. Perhitungan reduksi biaya masih menghasilkan biaya non-positif, sehingga akan dipilih biaya paling negatif sebagai leaving variable. Dipilih
c12 sebagai leaving variable karena memiliki nilai negatif yaitu xi* , j* = x12 = −1, 72 . Langkah 3 Pivoting dengan Basis Tree Pada iterasi pertama diberikan basis tree dengan harga dan jumlah kebutuhan kain sebagai berikut:
(a) (b)
(c)
(d)
Gambar 4. 3 Tahapan Pivoting dengan Basis Tree Iterasi 1
Langkah 4 Menghitung biaya total D2
2180 1.20
S1 1820 3.25 S5
D1
D5
300 2.44
S4
2200 2.20
7515 1.73 S2
210 4.00
11740 2.10
D4
2200 5.20
1880 2.35
D3
S3
Gambar 4. 4 Basis Tree Baru hasil Iterasi 1
Total biaya: (2180*1.20) + (1820*3.25) + (7515*1.73) + (2200*5.20) + (11740*2.10) + (2200*2.20) + (1880*2.35) + (210*4.00) + (300*2.44) = $ 68455.95 Dari hasil perhitungan reduksi biaya pada iterasi keenam masih diperoleh nilai non-positif, sehingga perlu dilakukan iterasi kembai. Tetapi setelah dilakukan perhitungan kembali pada ketujuh diperoleh biaya total $64,275.55. Perhitungan dilakukan sampai iterasi kedelapan dengan biaya total $64.245.55. Kesimpulan diperoleh bahwa biaya total minimum diperoleh pada iterasi keenam yaitu $ 63,993.55.
4.3 Pendekatan Basis Tree untuk Transportasi dengan Fuzzy Cost Persoalan transportasi pada PT Busana Cemerlang dipengaruhi oleh faktor pengiriman barang dengan ketentuan jumlah barang yang diperkenankan 3% dari jumlah barang yang dipesan. Alternatif pada kenyataan tersebut, kita anggap jumlah pengiriman sebagai bilangan fuzzy, di tuliskan dengan c = (c / c / c ) . Hasil iterasi 6 dengan pendekatan basis tree menunjukkan hasil total biaya transportsii pengiriman yang mungkin, biaya pengiriman
optimis, dan biaya pengiriman pesimis adalah sebagai berikut: Biaya Transportasi yang mungkin z = $ 63993.55 Biaya Transportasi optimis z = $ 62073.74 Biaya Transportasi pesimis 65913.35
z = $
4.4 Hasil Pengukuran Pengolahan Data Perhitungan ketiga analisa hasil pengolahan data dengan metode simplex, analisa hasil pengolahan data dengan pendekatan basis tree, dan analisa hasil pengolahan data pada bagian purchasing berdasarkan purchase order (PO) memberikan gambaran sebagai berikut:
Tabel 4. 3 Analisa Pengukuran Hasil Pengolahan Data
No
Pengukuran
1
Metode Simplex
2
Pendekatan Basis Tree
3
Biaya Total ($) 63,993.55
Biaya Optimis
62,073.74
Biaya Mungkin
63,993.55
Biaya Pesimis
65,913.35
Pengolahan Data PO
70,473.55
Terjadi selisih lebih minimal dalam pembelian kain dari masing-masing supplier sebesar $70,473.55 - $63,993.55 = $6,480.
Hasil Pengukuran Pengolahan Data
72,000.00 70,000.00 68,000.00 66,000.00 64,000.00 62,000.00 60,000.00 Metode Simplex
Pendekatan Basis Pengolahan Data Tree Biaya Mungkin PO
Gambar 4. 5 Grafik Pengukuran Pengolahan Data
Hasil Pengukuran Persoalan Transportasi Fuzzy Cost dengan Pendekatan Basis Tree 67,000.00 66,000.00 65,000.00 64,000.00 63,000.00 62,000.00 61,000.00 60,000.00 Biaya Optimis
Biaya Mungkin
Biaya Pesimis
Gambar 4. 6 Grafik Hasil Pengukuran Persoalan Transportasi Fuzzy Cost dengan Pendekatan Basis Tree
5
KESIMPULAN
Hasil analisa dan pembahasan penyelesaian persoalan transportasi dengan fuzzy cost menggunakan pendekatan basis tree diperoleh kesimpulan sebagai berikut: a. Biaya penentuan pembelian dan pengiriman barang dalam persoalan transportasi dengan fuzzy cost dapat lebih optimal dengan menggunakan pendekatan basis tree. Meskipun hasil perhitungan reduksi biaya sampai iterasi keenam masih memiliki nilai non-negatif, dan perhitungan dilakukan kembali sampai iterasi kedelapan diperoleh biaya total $64.245.55. Hasil ini masih besar jika dibandingkan dengan hasil pada iterasi keenam, yaitu sebesar $63.993.55. Artinya biaya total optimal diperoleh pada hasil perhitungan iterasi keenam. b. Penentuan biaya dan pengiriman barang dari beberapa supplier dapat ditentukan dengan variabel basis meskipun variabel dalam persoalan transportasi dimungkinkan berubahubah. Penentuan biaya ini masih menggunakan ketentuan yang sama, yaitu total supplies sama dengan total demand agar persoalan transportasi menjadi fisibel.
6
DAFTAR PUSTAKA
Aho, A., Hopcroft, J., & Ulman, J. (1987). Data Structure and Algorithms. Canada: AddisonWesley. Ary, M. (2005). Meminimumkan Biaya Transportasi Komponen Elektrik Pesawat Telepon Jenis PTE-991 di PT.INTI Menggunakan Basis Tree. Bandung: Tugas Akhir, Jurusan Matematika UNISBA. Ary, M, (2011), Meminimumkan Biaya Transportasi Menggunakan Metode Basis Tree, Jurnal Paradigma – Jurnal Komputer dan Informatika Akademi Bina Sarana Informatika, Vol.XIII No. 1 Maret 2011, Halaman 68 – 77. Ary, M. (2011). Penyelesaian Persoalan Transportasi dengan Fuzzy Cost Menggunakan Pendekatan Basis Tree. Bandung: Tesis, Program Pascasarjana Magister Ilmu Komputer STMIK Nusa Mandiri. Bak, S., Greer, A., & Mitra, S. (n.d.). Hybrid Cyberphysical System Verification with Simplex Using Discrete Abstraction. Retrieved 6 2, 2010, from http://ieeexplore.ieee.org/stamp/st amp.jsp?tp=&arnumber=5465972 Bieling, J., Peschlow, P., & Martini, P. (n.d.). Efficient GPU Implementation of the Revised Simplex Method. Retrieved 6 2, 2010, from
http://ieeexplore.ieee.org/stamp/st amp.jsp?tp=&arnumber=5470831 Bozart, C. (2008). Introduction to Operations and Supply Chain Management, 2nd ed. Upper Sadle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. Deo, N. (1989). Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. New Delhi: Prentice-Hall. Dimyati, T. T., & Dimyati, A. (1992). Operation Research: ModelModel Pengambilan Keputusan. Bandung: Sinar Baru. Gita, A. K., Heryanto, & A.N., S. (n.d.). Analisis Penggunaan Algoritma Greedy dalam Program Solusi Fisibel Basis Awal Transportasi. Retrieved 4 1, 2011, from http://www.informatika.org/~rinaldi /Stmik/20052006/Makalah2006/MakalahStmik 2006-45.pdf Heizer, J., & Raednder. (2008). Operations Management, 9th. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education Inc. Hendrawan, M. (n.d.). Supply Chain Management (SCM). Retrieved 4 25, 2011, from http://teknik.ums.ac.id/dl_jump.ph p?id=24 Li, L. H., Da, Q., & Hu, J. (n.d.). A New Method Based on Goal Programming for Solving Transportation Problem with Fuzzy Cost. Retrieved 6 2, 2010, from http://ieeexplore.ieee.org/stamp/st amp.jsp?tp=&arnumber=4554047 Mahdani-Amiri, N., & Nasseri, S. (2005). Duality in Fuzzy variable Linear Programming. 4th World Enformatika Conference, WEC'05. Istambul, Turkey. Mairy, d. (2003). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta. Mentzer, J. (2001). Supply Chain Management. Retrieved 5 20,
2011, from http://bus.utk.edu/dsi/readings/Ma naging%20SC_Collaboration.pdf Nasseri, S., Yazdani, E. A., & Zaefarian, R. (2005). Simplex Method for Solving Linear Programming Problem with Fuzzy Numbers. World Academy of Science, Engineering and Technology . O'Connor, D. (n.d.). Algorithms and Data Structures. Retrieved 1 2, 2010, from (http://www.derekroconnor.net/ho me/MMS406/Trees.pdf) Render, S., & Hanna, M. (2009). Quantitive Analysis for Management, 10th ed. Upper Saddle River: Pearson Education Inc. Setiawan, N. (2007). Penentuan Ukuran Sampel memakai Rumus Slovin dan Tabel Krejcie_Morgan telaah konsep dan Aplikasinya. Bandung: Diskusi Ilmiah Jurusan Sosial Ekonomi Fakultas Peternakan Unpad. Sudirga, R. S. (n.d.). Perbandingan Pemecahan Masalah Transportasi antara Metode Northwest-Corner dan SteppingStone Method dengan Assignment Method. Retrieved 3 30, 2011, from httpjurnal.pdii.lipi.go.idadminjurnal 51092950.pdf Suhaedi, Didi, (2005), Penggunaan Basis Tree untuk Menyelesaikan Persoalan Transportasi, Jurnal Matematika – Teori dan Terapan Matematika, Volume 5 / Nomor 1, Hal 55 – 65. Wilson, J. R., & John, J. W. (1990). Graph and Introductory Approach. Canada: John Wiley & Sons Inc. Zimmermann. (1987). Fuzzy Programming and Linear Programming with Several Objective Function. Fuzzy Sets and System 1 , 45-55.
