Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono

Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono [email protected] Departemen Statistika FMIPA – IPB

Notasi Dasar Matriks • Amxn , mAn , [aij]mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) • aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks mAn dan mBn menghasilkan matriks baru mCn dengan cij = aij + bij untuk semua (i, j)  Perhatikan bahwa ukuran matriks A dan B harus sama

Penjumlahan Matriks  2 4 1 3 A  1 2 1 0 7 6 5 1

 2 5 1 3 B  0 1 4 1 8 2 5 0

 4 9 2 6 C  A  B   1 3 5 1 15 8 10 1

Penjumlahan Matriks • Sifat Dasar Penjumlahan Matriks: – Komutatif: A + B = B + A – Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)  BUKTIKAN SIFAT DI ATAS

Perkalian dengan Skalar Jika c adalah sebuah skalar/konstanta real, dan mAn adalah sebuah matriks real maka c A = mBn dengan bij = c aij untuk semua (i, j) Sifat:

c (A + B) = cA + cB

Perkalian dengan Skalar

 2 4 1 3   A  1 2 1 0  7 6 5 1

 4 8 2 6   2A   2 4 2 0 14 12 10 2

Perkalian Matriks Perkalian dua buah matriks mAn dan nBp menghasilkan matriks baru mCp dengan n

cij =

a k 1

b

ik kj

untuk semua (i, j)

 Perhatikan ukuran matriks yang terlibat dalam perkalian

Perkalian Matriks 1 3 1 2 A B  2 1 4 5 11  3  4 1 2  3  5 C  AB    2  1  1 4 2  2  1 5 14 17 21 C  AB     6 9 12 

3  6 1 3  3  6   2  3  1 6

Perkalian Matriks Sifat-sifat • Tidak komutatif. AB = BA, may be yes, may be no. • A(B + C) = AB + AC • c(AB) = (cA)B = A(cB) BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

Transpose (Putaran) Transpose dari matriks mAn dilambangkan AT atau A’ adalah matriks nBm dengan bij = aji untuk semua (i, j)

Transpose (Putaran)  2 4 1 3   A  1 2 1 0  7 6 5 1

2 4 T BA  1  3

1 7  2 6 1 5  0 1

Transpose (Putaran) Sifat-sifat • (A’)’ = A • (A + B)’ = A’ + B’ • (cA)’ = cA’ • (AB)’ = B’A’ BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

Matriks-Matriks Spesial • Matriks Persegi

• Matriks Simetrik

• Matriks Diagonal

• Matriks Miring Simetrik

• Matriks Identitas

• Matriks Segitiga Atas/Bawah

• Matriks Nol

• Matriks Idempoten

• Matriks Satuan

• Matriks Ortogonal

Matriks Persegi Sebuah matriks mAn dikatakan sebagai matriks persegi jika dan hanya jika m = n, atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Matriks Diagonal Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks diagonal jika dan hanya jika aij = 0 untuk semua i ≠ j

1 0 A  0 2 

3 0 H 0  0

0 0 0  0 0 0 0 2 0  0 0 8

Matriks Identitas Matriks persegi nAn disebut sebagai matriks identitas dan dilambangkan In jika dan hanya jika aij = 0 untuk semua i ≠ j aii = 1 untuk semua i = 1, 2, …, n

Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BI = B Jika nBm adalah sembarang matirks real maka IB = B

Matriks Identitas

1 0 I2    0 1 

1 0 I4   0  0

0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1

Matriks Nol Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks nol dan dilambangkan mOn jika dan hanya jika aij = 0 untuk semua (i, j)

Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BO = O Jika nBm adalah sembarang matirks real maka OB = O

Matriks Satuan Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks satuan dan dilambangkan mJn jika dan hanya jika aij = 1 untuk semua (i, j)

Matriks Nol dan Matriks Satuan O 3x 4

J 3x 4

0 0 0 0     0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 O 4 x3   0  0 1 1 J 4 x3   1  1

0 0  0 0 0 0  0 0 1 1 1 1 1 1  1 1

Matriks Simetrik Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika aij = aji untuk semua i ≠ j Dengan kata lain nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika A’ = A

Matriks Miring Simetrik Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks miring simetrik jika dan hanya jika aij = -aji untuk semua (i, j) dan aii = 0 untuk semua i = 1, 2, …, n

Dengan kata lain nAn disebut sebagai miring matriks simetrik jika dan hanya jika A = -A’

Simetrik dan Miring Simetrik 1 2  B  2 9 

0  2 C  2 0 

1 2 K 5  4 0 2   5   4

2 5 4  2 3 3 3 1 0  3 0 6 2 5 4 0  3  3 3 0 0  3 0 0

Matriks Segitiga Atas Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk semua i > j 4 1  2 5 0 2  3  3   0 0 1 0   0 6 0 0

Matriks Segitiga Bawah Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk semua i < j 1 2   5   4

0 0 0 2 0 0 3 1 0  3 0 6

Matriks Idempoten Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks idempoten jika dan hanya jika AA = A

Matriks Ortogonal Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks ortogonal jika dan hanya jika AA’ = A’A = In

Bahan Diskusi Andaikan data tingkat pengeluaran per hari (Rp) mahasiswa Dept Statistika Angkatan 48 dicatat dalam bentuk vektor kolom y berukuran 60 x 1, nyatakan statistik berikut dalam bentuk notasi matriks. a. Jumlah pengeluaran per hari b. Rata-rata pengeluaran per hari c. Ragam pengeluaran per hari