Statistika Dasar Bagus Sartono
Pokok Bahasan • Pengenalan analisis dan deskripsi data • Pendugaan parameter dan selang kepercayaan • Pengujian hipotesis rata-rata – One-Sample T-Test – Two-Sample T-Test – One-Way ANOVA
• Korelasi dan Regresi Linear
PENGENALAN ANALISIS STATISTIKA DAN DESKRIPSI DATA KATEGORIK
Apa itu Statistika • Ilmu yang mempelajari teknik-teknik pengumpulan data, analisis data, hingga proses pengambilan kesimpulan berdasarkan analisis tersebut.
Statistika bekerja dengan data contoh • Populasi vs contoh – Populasi (population): himpunan semua individu/objek yang menjadi minat/perhatian – Contoh (sample): himpunan bagian dari populasi
• Sensus vs Survei – Sensus: proses pengumpulan data populasi – Survei: proses pengumpulan data contoh
• Mengapa bekerja dengan contoh
Mengapa Contoh? • Keterbatasan sumberdaya (tenaga, biaya, waktu, dll) • Sensus tidak dapat dikerjakan untuk kasus individu yang selalu bergerak ataupun bertambah jumlahnya. • Proses pengumpulan data kadangkala bersifat merusak, misal: pemeriksaan kualitas kemasan, pemeriksaan rasa buah, dsb
Contoh harus representatif • Representatif = mewakili kesimpulan tidak bias. Contoh harus memiliki karakteristik yang sama dengan populasi karena data contoh digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai populasi. • Contoh Acak (random sample) • Probability sampling vs non-probability sampling
Statistik sebagai penduga parameter • Parameter vs Statistik – Parameter: karakteristik numerik dari populasi – Statistik: karakteristik numerik dari contoh – Statistik adalah penduga parameter
• Statistik selalu memiliki galat (error) – Sampling error – Non-sampling error
Peubah dan Jenisnya • Variable, karakteristik dari individu. Misal untuk individu manusia, dapat dikumpulkan data mengenai: ukuran tubuh, usia, pekerjaan, penghasilan. Untuk individu tanaman dapat dikumpulkan data peubah ukuran tanaman, produktivitas, daya tahan terhadap hama, dsb.
• Numerik vs Kategorik • Peubah Kategorik – Nominal – Ordinal
• Peubah Numerik – Interval – Ratio
Peubah Kategorik • Nominal – Hanya berupa penggolongan. Urutan kelas atau kategorinya tidak memiliki makna. – Misal: warna baju, pekerjaan, bentuk daun
• Ordinal – Urutan kelas atau kategorinya dapat diurutkan. – Misal: intensitas serangan hama (parah, sedang, ringan), tingkat pendidikan (SD, SMP, SMA, PT), tingkat kesetujuan masyarakat (sangat setuju, setuju, kurang setuju, tidak setuju)
Peubah Numerik • Interval – Nilai 0 pada peubah ini tidak bersifat mutlak, dan hanya berupa kesepakatan. – Misal: temperatur benda/ruangan, nilai IPK
• Ratio – Nilai 0 pada peubah ini bersifat mutlak. – Misal: penghasilan per bulan, panjang benda, jumlah daun per cabang, produktivitas tanaman, berat badan sapi.
Analisis Statistika • Statistika Deskriptif – Mempelajari teknik-teknik yang berguna dalam peringkasan data dan pemberian gambaran umum tentang data yang dimiliki.
• Statistika Inferensia – Mempelajari kaidah-kaidah pengambilan kesimpulan statistika dari data yang dimiliki dengan menggunakan ilmu peluang.
Deskripsi Data • Menyajikan gambaran umum perilaku data yang dimiliki • Deskripsi dilakukan di awal proses analisis data • Tujuan deskripsi data: – Memberikan informasi yang cepat tentang data – Mendapatkan informasi keberadaan data dengan karakteristik yang ‘aneh’ – Memperoleh informasi yang berguna bagi proses analisis selanjutnya
Deskripsi Data Kategorik • Tabel Frekuensi (Frequency Table) • Tabulasi Silang (Cross Tabulation) • Grafik – Bar Chart, 3D Bar Chart, Multiple Bar Chart – Pie Chart
Deskripsi Data Kategorik PROC FREQ DATA=stk.profile; TABLES transport / NOCUM; RUN;
Deskripsi Data Kategorik PROC FREQ DATA=stk.profile; TABLES transport*budget; run;
Deskripsi Data Kategorik PROC GCHART DATA=stk.profile; PIE transport; run;
Deskripsi Data Kategorik PROC GCHART DATA=stk.profile; VBAR transport / GROUP=budget; where budget NE ""; run;
DESKRIPSI DAN PENGENALAN SEBARAN DATA NUMERIK
Deskripsi Data Numerik • Ukuran Pemusatan (central tendency) – Rataan – Median – Modus
• Ukuran Penyebaran (dispersion) – Ragam (variance), simpangan baku (standard deviation) – Range – Inter-Quartile Range
• Pola sebaran data (data distribution)
Nilai tengah (rataan/rata-rata) • Definisi: merupakan ukuran yang menimbang data menjadi dua kelompok data yang memiliki massa yang sama
• Apabila x1, x2, ...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka nilai tengah populasinya adalah: 1 N
N
X
i
i 1
21
Nilai tengah (rataan/rata-rata) • sedangkan jika x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka nilai tengah contoh tersebut adalah: 1 x n
n
X
i
i 1
dalam Bahasa Inggris, rata-rata populasi disebut dengan mean dan ratarata contoh disebut average
22
Median • Definisi : suatu nilai data yang membagi dua sama banyak kumpulan data yang telah diurutkan.
• Langkah Teknis: – Urutkan data dari kecil ke besar – Cari posisi median (nmed=(n+1)/2) – Nilai median • Jika nmed bulat, maka Median=X(n+1)/2 • Jika nmed pecahan, maka Median=(X[nmed]+ X[nmed]+1)/2 (rata-rata dua pengamatan yang berada sebelum dan setelah posisi median) 23
Median vs Rataan • Data: 20 34 45 89 120 122 129 130 150 152 180 Median = 122, Rataan = 106.45 • Data: 20 34 45 89 120 122 129 130 150 152 1800 Median = 122, Rataan = 253.73 24
Median vs Rataan • Nilai rataan bersifat tidak kekar (robust), dan sangat terpengaruh oleh keberadaan nilai-nilai ekstrim. [selanjutnya nanti akan dikenalkan istilah pencilan/outlier] • Adanya nilai ekstrim besar, akan menyebabkan nilai rataan cenderung membesar. Sebaliknya, nilai rataan akan mengecil jika terdapat nilai ekstrim kecil. • Median cenderung tidak demikian, hanya saja secara komputasi penghitungan median lebih lama karena ada proses pengurutan data. • Rataan terpangkas (trimmed mean) adalah salah satu solusi mengatasi ketidakkekaran rataan, dengan tidak menyertakan nilai ekstrim dalam penghitungan. Misal, membuang 5% data terbesar dan terkecil. 25
Ukuran Penyebaran • Definisi : suatu ukuran untuk memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dalam kumpulannya.
• Beberapa ukuran penyebaran: – – – – –
Wilayah (Range) Jarak Antar Kuartil (Interquartile Range) Ragam (Variance) Simpangan Baku (Standard Deviation) dll 26
Wilayah (Range) • Definisi : suatu ukuran yang dihitung dari selisih antara nilai pengamatan terbesar dengan pengamatan terkecil W = X[N]-X[1] • Ukuran ini cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai pengamatannya menyebar merata. • Tetapi ukuran ini akan menjadi tidak relevan jika nilai pengamatan maksimum dan minimum merupakan data-data ekstrem 27
Kuartil (Quartile) • Definisi : suatu nilai data yang membagi empat sama banyak kumpulan data yang telah diurutkan
• Q1, Q2, Q3 • Cara Penghitungan – Metode Belah dua – Metode Interpolasi 28
Metode Belah dua • Urutkan data dari kecil ke besar • Cari posisi kuartil – nq2=(n+1)/2 – nq1=(nq2*+1)/2= nq3, nq2* posisi kuartil dua terpangkas (pecahan dibuang) • Nilai kuartil 2 ditentukan sama seperti mencari nilai median. Kuartil 1 dan 3 prinsipnya sama seperti median tapi kuartil 1 dihitung dari kiri, sedangkan kuartil 3 dihitung dari kanan.
29
Kuartil – Metode Belah Dua • Data terurut: 20 34 45 64 89 102 120 122 129 130 133 150 152 180
• Banyaknya data, n = 14 • Posisi median, nQ2 = (14 + 1) / 2 = 7.5 • Posisi Q1, nQ1 = (7 + 1) / 2 = 4 • Median = (120 + 122) / 2 = 121 • Q1 = 64 • Q3 = 133 30
Metode Interpolasi • Urutkan data dari kecil ke besar • Cari posisi kuartil – nq1=(1/4)(n+1) – nq2=(2/4)(n+1) – nq3=(3/4)(n+1)
• Nilai kuartil dihitung sebagai berikut: – Xqi=Xa,i + hi (Xb,i-Xa,i) – Xa,i = pengamatan sebelum posisi kuartil ke-i, Xb,i = pengamatan setelah posisi kuartil ke-i dan hi adalah nilai pecahan dari posisi kuartil 31
Kuartil – Metode Interpolasi • Data terurut: 20 34 45 64 89 102 120 122 129 130 133 150 152 180
• • • •
Banyaknya data, n = 14 Posisi Q1, nQ1 = (14 + 1) * 1/ 4 = 3.75 Posisi Q2, nQ2 = (14 + 1) * 2/ 4 = 7.5 Posisi Q3, nQ3 = (14 + 1) * 3/4 = 11.25
• Q1 = X3 + 0.75(X4 – X3) = 45 + 0.75(64-45) = 59.25 • Q2 = X7 + 0.5 (X8 – X7) = 120 + 0.5 (122-120) = 121 • Q3 = X11 + 0.25 (X12 – X11) = 133 + 0.25(150-133) = 137.25 32
Jarak antar kuartil (Interquartile Range) • Definisi : Jarak antar kuartil mengukur penyebaran 50% data ditengah-tengah setelah data diurut. • Ukuran penyebaran ini merupakan ukuran penyebaran data yang terpangkas 25% yaitu dengan membuang 25% data yang terbesar dan 25% data terkecil. 33
Jarak antar kuartil (Interquartile Range) • Jarak antar kuartil dihitung dari selisih antara kuartil 3 (Q3) dengan kuartil 1 (Q1): JAK atau IQR = Q3 -Q1 • Ukuran ini sangat baik digunakan jika data yang dikumpulkan banyak mengandung data pencilan 34
Ragam (Variance) • Definisi : Ragam merupakan ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat (rataan). • Apabila x1, x2, ...,xN]adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka ragam populasinya adalah
2
1 N
N
i 1
( Xi ) 2 35
Ragam (Variance) • apabila x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka ragam contoh tersebut adalah:
s
2
1 n-1
n
( Xi x ) 2
i 1
36
Simpangan Baku (Standard Deviation) • Definisi : Merupakan akar dari ragam, yaitu simpangan baku populasi dan s simpangan baku sampel. diperoleh satuan yang sama dengan data aslinya
37
Teladan • Perhatikan hasil ringkasan terhadap data pendapatan masyarakat (juta rupiah per bulan) dari dua kabupaten berikut ini:
38
Teladan • Jika kita hanya menyajikan nilai rata-rata saja dari kedua kabupaten, maka dinyatakan bahwa masyarakat di kedua kabupaten memiliki pendapatan yang relatif sama. • Penjelasan yang lebih banyak akan diperoleh jika kita melihat nilai-nilai simpangan bakunya. • Kabupaten A memiliki simpangan baku yang lebih besar daripada Kabupaten B. Artinya, pendapatan masyarakat di Kabupaten A lebih heterogen dibandingkan di Kabupaten B. Implikasi dari informasi ini terhadap kesimpulan bisa signifikan.
39
Pengenalan Sebaran Data • Data distribution • Statistik – Statistik lima serangkai – Persentil – Skewness, kurtosis
• Grafik – Histogram – Boxplot
Pola Sebaran Data • Selain menggunakan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran, pengenalan sebaran data dapat dilakukan menggunakan bantuan grafik: – HISTOGRAM – STEM & LEAF (Diagram Dahan Daun) – BOX-PLOT (Diagram Kotak Garis)
HISTOGRAM • informasi penyebaran data dan bentuk sebarannya • informasi ukuran pemusatan data • informasi keberadaan data-data ekstrim dan pencilan (outliers) • informasi adanya pengelompokan data
42
Tahapan • Buat beberapa selang nilai yang sama lebarnya yang melingkupi semua nilai yang ada di data. Banyaknya kelas sekitar 3.3Log(n) +1 • Hitung banyaknya (frekuensi) data yang nilainya memenuhi setiap kelas • Gambarkan batang setiap kelas yang tingginya proporsional dengan frekuensi 43
Ilustrasi • Data n=48:
44
• Banyaknya kelas = 3.3 log(48) + 1 = 6.5 7
45
46
Kemungkinan Informasi yang diperoleh dari bentuk sebaran
47
48
49
Nilai ukuran pemusatan di berbagai bentuk sebaran • Simetrik: rataan = rataan • Menjulur ke kiri: rataan < median • Menjulur ke kanan: rataan > median
STEM AND LEAF • Mirip dengan Histogram, namun batangnya berupa nilai-nilai data • Tahapan: – bagi setiap data menjadi dua bagian : • Dahan – Daun
– – – –
Letakkan nilai dahan pada sebuah kolom terurut Pasangkan daun sesuai dengan letak dahannya Urutkan nilai daun di setiap dahan Jika mungkin perbaiki tampilan dengan memecah dahan
51
Ilustrasi • Data:
17 21 22 12 27 13 30 24 29 15 18 10 13 14 28 09 02 20 07 09 00 01 13 02 17 03 17 14 18 19 11 19 02 10 29 04 20 28 09 04 03 02 34 25 09 21 07 24
• bagi setiap data menjadi dua bagian 1-7 1-3 1-7 2-0
2-1 1-4 0-3 2-8
2-2 2-8 1-7 0-9
1-2 0-9 1-4 0-4
2-7 0-2 1-8 0-3
1-3 2-0 1-9 0-2
3-0 0-7 1-1 3-4
2-4 0-9 1-9 2-5
2-9 0-0 0-2 0-9
1-5 0-1 1-0 2-1
1-8 1-3 2-9 0-7
1-0 0-2 0-4 2-4
• Letakkan nilai dahan pada sebuah kolom terurut 0 1 2 3
52
• Pasangkan daun sesuai dengan letak dahannya 0 1 2 3
79279012324943297 123580343774891904 27498090851 04
53
• Urutkan nilai daun di setiap dahan 0 1 2 3
0122223344779999 00123334457778899 0011244578899 04
54
• Jika mungkin perbaiki tampilan dengan memecah dahan 0* 1* 2* 3-
0122223344 779999 001233344 57778899 0011244 578899 04
55
• Aturan memecah dahan – pecah jadi 2 : • - : 0, 1, 2, 3, 4 • * : 5, 6, 7, 8, 9
– pecah jadi 5 : • • • • •
- : 0, 1 t : 2, 3 f : 4, 5 s : 6, 7 * : 8, 9 56
BOXPLOT • informasi ukuran pemusatan dan penyebaran (berupa kuartil) • informasi bentuk sebaran • informasi data ekstrim
57
58
Tahapan •
•
hitung statistik lima serangkai (Min, Q1, Q2, Q3, Max) hitung batas atas BA = Q3 + 3/2 (Q3-Q1)
•
hitung batas bawah BB = Q1 - 3/2 (Q3-Q1)
•
•
deteksi keberadaan pencilan, yaitu data yang nilainya kurang dari BB atau data yang lebih besar dari BA gambar kotak, dengan batas Q1 sampai Q3, dan letakkan tanda garis di tengah kotak pada posisi Q2 59
• Tarik garis ke kanan, mulai dari Q3 sampai data terbesar di dalam batas atas • Tarik garis ke kiri, mulai dari Q1 sampai data terkecil di dalam batas bawah • tandai pencilan dengan lingkaran kecil
60
Ilustrasi • Dengan data sebelumnya diperoleh – X[1] = Min = 0 – Q1 = 7.5 – Q2 = 14 – Q3 = 21 – X[n] = Max = 34
• Batas Bawah = 7.5 – 3/2(21 – 7.5) = -12.75 • Batas Atas = 21 + 3/2(21 – 7.5) = 41.25 61
62
63
Sebaran Penarikan Contoh
Sebaran Nilai Statistik • Statistik: karakteristik numerik yang diperoleh dari data contoh • Dari sebuah populasi dapat diperoleh banyak contoh acak.
• Dari setiap contoh acak, dapat dihitung sebuah nilai statistik. • Nilai statistik tersebut dapat berbeda-beda antar contohnya. • Statistik adalah peubah acak, dan memiliki sebaran.
populasi
contoh
rata-rata 0.5
2.5
1.5
1.5
Rata-rata Contoh • Misalkan terdapat suatu populasi dengan banyaknya anggota sebesar N, rata-rata sebesar dan ragam sebesar 2, ditarik contoh berukuran n. Maka – x memiliki rata-rata sebesar – x memiliki ragam sebesar 2 σ • Dengan Pemulihan n
σ2 N n • Tanpa Pemulihan n N 1
Nn untuk N -> ∞, 1 N 1 68
• Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran N(µ, 2), maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran N(, 2/n) x
n • Dengan demikian N(0, 1) atau sebaran Z
memiliki sebaran
Ilustrasi • Andaikan sebuah contoh acak berukuran 8 diambil dari populasi dengan sebaran N(5, 16). Maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran N(5, 2). • Peluang mendapatkan contoh dengan ratarata kurang dari 4 adalah P(xbar < 4) = P(Z < (4-5)/2) = P(Z < -0.71) = 0.23885
Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata 1-
Lower Limit
x
Upper Limit
Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata 1-
x z 2
n
x
x z 2
n
Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata x z 2
1- 99% 95% 90%
/2 0.005 0.025 0.050
n Z/2 2.57 1.96 1.645
Ilustrasi • Andaikan sebuah contoh acak berukuran 25 diambil dari populasi yang menyebar normal dengan ragam 16. Jika ratarata data contoh adalah 10, maka selang kepercayaan 95% bagi rata-rata adalah
x z 2
n
4 10 (1.96) 25 10 1.568 10 1.568 s/d 10 1.568 8.432 s/d 11.568
Ilustrasi • Dengan tingkat keyakinan/kepercayaan 95%, kita yakin bahwa rata-rata populasi antara 8.432 dan 11.568
Problem
• Pada banyak (semua) kasus, 2 ragam populasi atau tidak diketahui
• Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran normal, maka x s n
memiliki sebaran t-student dengan derajat bebas (n-1)
Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata: ragam populasi tidak diketahui 1-
x t (
2
; n 1)
s n
x
x t (
2
; n 1)
s n
Ilustrasi • Andaikan sebuah contoh acak berukuran 25 diambil dari populasi yang menyebar normal. Jika rata-rata dan ragam dari data contoh masing-masing adalah 10 dan 20, maka selang kepercayaan 95% bagi rata-rata adalah
x t( 0.025; 251)
s n
10 ( 2.064)
20 25
10 1.846 10 1.846 s/d 10 1.846 8.154 s/d 11.846
Teorema Limit Pusat (central limit theorem) • Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n dari populasi dengan sebaran tertentu yang memiliki rata-rata dan ragam masing-masing dan 2, untuk n (n sangat besar) maka x
n
memiliki sebaran N(0, 1)
Selang Kepercayaan bagi Proporsi • Proporsi (p) adalah rata-rata dari peubah biner yang nilai datanya diganti 1 untuk kejadian yang diinginkan dan 0 untuk selainnya.
• Untuk contoh dengan ukuran yang besar, sebaran proporsi (p) mendekati sebaran normal. • Ragam dari peubah biner adalah np(1-p), sehingga ragam proporsi adalah p(1-p)
Selang Kepercayaan bagi Proporsi pˆ z 2
1- 99% 95% 90%
pˆ (1 pˆ ) n /2 0.005 0.025 0.050
Z/2 2.57 1.96 1.645
Ilustrasi • Pemeriksaan terhadap 1000 bayi berusia antara 2 hingga 6 bulan di Kota Bogor mendeteksi adanya 300 bayi yang mendapat makanan dengan gizi kurang. Dengan demikian, selang kepercayaan 95% bagi proporsi bayi dengan gizi kurang adalah: pˆ (1 pˆ )
pˆ z
2
n
(0.3)(0.7) 0.3 (1.96) 1000 0.3 0.028 0.272 s/d 0.328 27.2% s/d 32.8%
Latihan (3) • Dari pemeriksaan terhadap 200 lembar papan yang dihasilkan dari sebuah pabrik pemotongan kayu, diperoleh 8 lembar papan yang cacat. Buat selang kepercayaan 90% bagi proporsi papan cacat produksi pabrik tersebut. • Wawancara terhadap 400 penumpang KRL Commuter Line menghasilkan sebanyak 285 orang yang tidak setuju kenaikan harga tiket awal bulan ini. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi penumpang yang tidak setuju kenaikan harga.
• n = 400 • p = 285 / 400 = 71.25% penduga titik (point estimate) • 1 - = 95% z/2 = 1.96
pˆ z 2
pˆ (1 pˆ ) n
(0.7125)(0.2875) 0.7125 (1.96) 400 0.7125 0.04435 66.8% - 75.7%
Penduga selang (interval estimate)
Pengujian Hipotesis mengenai Rataan Populasi
• Rataan populasi: – nilainya tidak diketahui – nilainya diduga – nilainya diasumsikan sama dengan, kurang dari atau lebih dari nilai tertentu – nilainya dihipotesiskan
• Rataan Contoh – digunakan untuk menduga rataan populasi – digunakan untuk mengkonfirmasi hipotesis tentang rataan populasi – kesimpulan konfirmasi hipotesis: ditolak vs diterima
• Ditolak (rejected) : hipotesis tidak didukung oleh data, data tidak cukup mendukung hipotesis • Diterima (accepted): hipotesis didukung oleh data
Kesimpulan Konfirmasi (berdasarkan data contoh)
Kesalahan Kesimpulan Kondisi Sebenarnya (tapi tidak diketahui) Hipotesis Benar Hipotesis Salah Diterima
Ditolak
Apapun kesimpulan yang diambil berdasarkan data contoh, mengandung peluang membuat kesalahan.
Bentuk Hipotesis
Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu:
H0 (hipotesis nol / null hypothesis) H1 / HA (hipotesis alternatif / alternative hypothesis)
H0 dan H1 bertolak belakang, tidak mungkin duaduanya ditolak dan tidak mungkin dua-duanya diterima. Penolakan terhadap H0 berimplikasi pada penerimaan terhadap H1, dan sebaliknya.
Bentuk Hipotesis
Two-Tail Hypothesis H0 : = 0 H1 : 0
One-Tail Hypothesis H0 : 0 H1 : < 0
H0 : 0 H1 : > 0
Kesimpulan Konfirmasi (berdasarkan data contoh)
Kesalahan Kesimpulan Kondisi Sebenarnya (tapi tidak diketahui) H0 Benar H0 Salah Terima H0
Tolak H0
Type II Error ()
Type I Error ()
ditentukan oleh pengambil kesimpulan. Secara umum membesar jika mengecil. disebut juga sebagai taraf nyata (significance level).
Kesalahan Kesimpulan
Pengambilan Kesimpulan H0 : = 0 H1 : 0
Jika H0 benar maka x-bar akan menyebar mengikuti sebaran N(0, 2/n) Wilayah penolakan H0: 1. x-bar lebih dari 0 + z/2 /n 2. x-bar kurang dari 0 – z/2 / n
Pengambilan Kesimpulan H0 : = 0 H1 : 0
Jika didefinisikan zhitung sebagai
z hitung
x 0
n Tolak H0 jika |zhitung| > z/2 1-
/2
Z/2
99%
0.005
2.57
95%
0.025
1.96
90%
0.050
1.645
Pengambilan Kesimpulan H0 : = 0 H1 : 0
Pada kondisi nilai ragam (2) atau simpangan baku () populasi tidak diketahui, didefinisikan thitung sebagai
x 0 t hitung s n Tolak H0 jika |thitung| > t/2 dengan derajat bebas (n – 1)
Pengambilan Kesimpulan Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji Uji Z (Z-test)
daerah kritis (critical region)
H1: < 0 Tolak H0 jika zhitung < -z (tabel) H1: > 0 Tolak H0 jika zhitung > z (tabel) H1: 0 Tolak H0 jika |zhitung| > z/2(tabel)
Uji t (t-test) H1: < 0 Tolak H0 jika thitung < -t(; db=n-1)(tabel) H1: > 0 Tolak H0 jika thitung > t(; db=n-1)(tabel) H1: 0 Tolak H0 jika |thitung| > t(/2; db=n-1)(tabel)
Ilustrasi • Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. • Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. • Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. • Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. • Dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?
• Hipotesis yang diuji: H0 : 50 vs H1 : > 50
• Statistik uji: th= (55-50)/(4.2/20)=10.91
• Daerah kritis pada taraf nyata 0.05 Tolak Ho jika th > t(0.05;db=19) = 1.729
• Kesimpulan: Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
Latihan • CV Ayo Kurban menyatakan bahwa kambingkambing kurban yang mereka sediakan memiliki rata-rata bobot 48 kg. Pemeriksaan terhadap 15 ekor kambing memberikan data bobot sebagai berikut: 47 48
49 49
51 45
52 50
46 50
47 49
48 49
46 45
• Dengan taraf nyata 5%, apakah pernyataan CV Ayo Kurban didukung oleh data yang ada?
One-Way Anova
Outline • Review Pengujian Hipotesis Pembandingan Nilai Tengah Dua Populasi • Pengujian Hipotesis Pembandingan Nilai Tengah k Populasi, k > 2 : One-Way ANOVA • Uji Perbandingan Berpasangan – Fisher’s LSD – Tukey’s HSD
Pembandingan Nilai Tengah k Populasi Populasi 1
1
Populasi 2
2
Populasi 3
Populasi 4
3
4
dengan mengasumsikan ragam dari semua populasi sama besar, ingin diuji apakah populasi-populasi tersebut memiliki nilai tengah atau rata-rata yang sama besar.
H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H1 : setidaknya ada satu pasangan i j
Bagaimana membandingkannya? Contoh 1
x1 n1
Contoh 2
Contoh 3
Contoh 4
x2
x3
x4
n2
n3
n4
H0 akan cenderung ditolak jika perbedaan antar xbar semakin besar
H0 akan cenderung ditolak jika ‘variasi’ antar x-bar semakin besar
Bagaimana membandingkannya? Contoh 1
x1 n1
Contoh 2
Contoh 3
Contoh 4
x2
x3
x4
n2
n3
n4
Jika didefinisikan
x sebagai rataan umum (grand mean), yaitu rataan dari data gabungan semua contoh, maka selisih antara xi dan x dapat dipandang sebagai ukuran variasi antar populasi
Variasi Total • Ukuran variasi/perbedaan nilai setiap individu amatan dengan rata-rata umum. • Diukur dalam bentuk SS(T), Sum of Squares Total [JKT = jumlah kuadrat total] k
ni
SS (T ) ( xij x ) 2 i 1 j 1
Variasi antar Populasi • Diukur menggunakan SS(B), Sum of Squares Between – Mengukur variasi antar rata-rata setiap contoh dengan rata-rata umum (grand mean) – Diboboti oleh banyaknya amatan (sample size) dari masing-masing contoh k
SS ( B) ni ( xi x ) 2 i 1
Variasi dalam Populasi • Meskipun dari contoh yang sama, nilai amatan bisa berbeda-beda ada variasi dalam populasi • Diukur menggunakan SS(W), Sum of Squares Within – Mengukur variasi antara nilai setiap amatan dengan ratarata contoh nk n2 n1 2 2 2 SS (W ) ( x1 j x1 ) ( x2 j x2 ) ( xkj xk ) j 1 j 1 j 1 k
SS (W ) (ni 1) si2 i 1
One-Way ANOVA • Memecah variasi total menjadi dua sumber yaitu variasi antar populasi dan variasi dalam populasi • ANOVA: analysis of variance, analisis ragam, sidik ragam • Dapat ditunjukkan bahwa SS(T) = SS(B) + SS(W) • Penolakan terhadap H0 dilakukan jika porsi SS(B) jauh lebih besar dibandingkan porsi SS(W)
• SS(W) merupakan variasi yang diakibatkan oleh faktor lain selain faktor perbedaan populasi. Sehingga, SS(W) juga dikenal sebagai SS(E), sum of squares error.
One-Way ANOVA • Direpresentasikan dalam bentuk tabel: Tabel ANOVA Source
df
SS
MS
Between
k–1
SS(B)
MS(B) = SS(B)/ dfB
Within
n–k
SS(W)
MS(W) = SS(W)/dfW
Total
n–1
SS(T) = SS(B ) + SS(W)
F
df: degree of freedom, SS: sum of squares, MS: mean of squares = SS/df
Sumber
db
Antar Populasi
k–1
Dalam Populasi
n–k
Total
n–1
JK
KT
db: derajat bebas, JK: jumlah kuadrat, KT: kuadrat tengah = JK/db
F
One-Way ANOVA H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H1 : setidaknya ada satu pasangan i j • Uji F SS ( B) MS ( B) dfB F MS (W ) SS (W ) dfW
• Kriteria penolakan H0 F > Ftabel dengan derajat bebas (dfB, dfW)
ILUSTRASI
Permasalahan • Suatu kelas dibagi dalam tiga kelompok berdasarkan baris tempat duduk siswa: depan, tengah, belakang • Seorang guru ingin mengetahui apakah posisi tempat duduk mempengaruhi pemahaman siswa terhadap materi pelajaran.
• Ingin dibandingkan rata-rata nilai dari tiga kelompok tempat duduk.
Data • Contoh acak dari setiap kelompok baris tempat duduk diambil. • Data nilai ujian mata pelajaran yang berhasil dikumpulkan adalah sebagai berikut – Depan : 82, 83, 97, 93, 55, 67, 53 – Tengah : 83, 78, 68, 61, 77, 54, 69, 51, 63 – Belakang: 38, 59, 55, 66, 45, 52, 52, 61
Statistik Deskriptif Ringkasan statistik deskriptif dari data di slide sebelumnya adalah sebagai berikut Depan n
Tengah Belakang
7
9
8
Rata-rata
75.71
67.11
53.50
St. Dev (simpangan baku)
17.63
10.95
8.96
310.90
119.86
80.29
Variance (ragam)
Rata-Rata Umum (grand mean) n1 x1 n2 x2 n3 x3 x n1 n2 n3 7(75.71) 9(67.11) 8(53.50) x 798 1562 x 65.08 24
SS(B) k
SS ( B) ni ( xi x ) 2 i 1
SS ( B) 775.71 65.08 967.11 65.08 853.50 65.08 2
SS ( B) 1902
2
2
SS(W) k
SS (W ) (ni 1) si2 i 1
SS (W ) 6(310.90) 8(119.86) 7(80.29) SS (W ) 3386
Tabel ANOVA Source Between Within Total
df
2 21 23
SS MS 1902 951.0 3386 161.2 5288 229.9
F 5.9
Ftabel pada db1 = 2 dan db2 = 21, serta = 5% adalah 3.4668
Karena nilai F lebih dari Ftabel, kita simpulkan Tolak H0, dengan demikian dikatakan bahwa rata-rata tingkat penguasaan materi pelajaran di tiga tempat duduk tersebut tidak semuanya sama besar. Dalam bahasa lain, posisi tingkat duduk mempengaruhi tingkat pengusaan materi pelajaran.
Analisis Korelasi dan Regresi Linear
Hubungan Antar Peubah • Dari setiap objek/individu/tempat/dll dapat diukur/dicatat/diamati lebih dari satu buah peubah. • Nilai dari suatu peubah bersifat: – saling bebas dengan peubah lain – saling terkait dengan peubah lain
Hubungan antar Peubah berat badan
suhu rata-rata tinggi badan
ketinggian tempat
Koefisien Korelasi • Diperlukan sebuah ukuran yang dapat mencirikan keeratan hubungan antar dua peubah. • Koefisien Korelasi ( ; baca: rho) – – – –
nilainya: -1 1 tanda menunjukkan arah hubungan besar/magnitude menunjukkan kekuatan hubungan koefisien korelasi data contoh dinotasikan r
Koefisien Korelasi (Pearson) Jika ada dua peubah X dan Y, korelasi antara keduanya adalah
rxy S xy Sx
S xy SxS y
( x x )( y
(x x) i
n 1
i
i
y)
n 1
2
dan S y
(y
i
y)
n 1
2
Koefisien Korelasi (+) r = 0.70
r = 0.58
r = 0.95
Koefisien Korelasi (-) r = -0.68
r = -0.58
r = -0.90
Ilustrasi Tinggi Badan
165
Berat Badan 49
70
159
58
65
166
60
173
67
179
69
55
164
56
50
163
53
154
51
45
170
60
40
158
44
60
150
160
170
180
Ilustrasi x 165 159 166 173 179 164 163 154 170 158
y 49 58 60 67 69 56 53 51 60 44
165.1
56.7
x-xbar -0.1 -6.1 0.9 7.9 13.9 -1.1 -2.1 -11.1 4.9 -7.1
y-ybar -7.7 1.3 3.3 10.3 12.3 -0.7 -3.7 -5.7 3.3 -12.7 jumlah
(x-xbar)2 0.01 37.21 0.81 62.41 193.21 1.21 4.41 123.21 24.01 50.41
(y-ybar)2 59.29 1.69 10.89 106.09 151.29 0.49 13.69 32.49 10.89 161.29
(x-xbar)(y-ybar) 0.77 -7.93 2.97 81.37 170.97 0.77 7.77 63.27 16.17 90.17
496.9
548.1
426.3
426.3 r 0.817 496.9 548.1
Regresi Linear: Pengantar • Terdapat 2 peubah numerik : peubah yang satu mempengaruhi peubah yang lain • Peubah yang mempengaruhi X, peubah bebas (independent), peubah penjelas (explanatory) • Peubah yang dipengaruhi Y, peubah tak bebas (dependent), peubah respon (response)
Pengantar Misalnya ingin melihat hubungan antara pengeluaran untuk iklan (ads expenditures, X) dengan penerimaan melalui penjualan (sales revenue, Y) Bulan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X Y
10 44
9 40
11 42
12 46
11 48
12 52
13 54
13 58
14 56
15 60
Pengantar sales revenue (millions of dollars)
65 60
55 50 45 40 35 8
10
12
14
ads expenditures (millions of dollars)
16
Pengantar Ingin dibuat model
sales revenue (millions of dollars)
65 60
Y = a + bX
55
Model memuat error, selisih nilai sebenarnya dengan dugaan berdasar model
50
e
45 40
Y
ˆ Y
35 8
10
12
14
16
ads expenditures (millions of dollars)
ˆ eY-Y
Bagaimana mendapatkan a dan b? Metode yang digunakan : OLS (ordinary least squares/kuadrat terkecil), mencari a dan b sehingga jumlah kuadrat error paling kecil
Cari penduga a dan b sehingga
e n
i 1
minimum
n
2 i
i 1
Yi - aˆ - bˆ X i
2
Bagaimana mendapatkan a dan b? X n
bˆ
i 1
i
X Yi Y
X n
i 1
X
2
i
aˆ Y bˆ X Rata-rata Y
Rata-rata X
Ilustrasi Perhitungan (X-Xbar)(Y-Ybar) (X-Xbar)2
X
Y
X-Xbar
Y-Ybar
10
44
-2
-6
12
4
9
40
-3
-10
30
9
11
42
-1
-8
8
1
12
46
0
-4
0
0
11
48
-1
-2
2
1
12
52
0
2
0
0
13
54
1
4
4
1
13
58
1
8
8
1
14
56
2
6
12
4
X 12
X XY Y 106
Y 50
X X
2
30
b = 106 / 30 = 3.533
a = 50 – 3.533 (12) = 7.60
sales revenue (millions of dollars)
65 y = 3.5333x + 7.6
60 55 50 45
40 35 8
10
12
14
ads expenditures (millions of dollars)
16
Interpretasi a dan b Y = 7.6 + 3.53 X Pendapatan = 7.6 + 3.53 Belanja Iklan
• a = intersep/intercept = besarnya nilai Y ketika X sebesar 0 • b = gradient/slope = besarnya perubahan nilai Y ketika X berubah satu satuan. Tanda koefisien b menunjukkan arah hubungan X dan Y
Pada kasus ilustrasi • a = 7.6 besarnya sales revenue jika tidak ada belanja iklan adalah 7.6 juta dolar • b = 3.533 jika belanja iklan dinaikkan 1 juta dolar maka sales revenue naik 3.533 juta dolar
Uji Signifikasi Koefisien b H0 : b = 0 (artinya X tidak mempengaruhi Y) H1 : b 0 (artinya X mempengaruhi Y)
Y Yˆ n
statistik uji bˆ t s bˆ
sbˆ
2
i
i 1
i
(n 2) X i X n
2
i 1
Tolak H0 jika nilai |t| melebihi nilai t pada tabel dengan derajat bebas (n-2) dengan tingkat kesalahan /2
Uji signifikansi koefisien b • Nilai sb = (65.47 / (8)(30)) = 0.52 • Nilai t = 3.53 / 0.52 = 6.79
• Nilai t pada tabel (db = 8, = 5%) = 2.306 • Kesimpulan : Tolak H0, data mendukung kesimpulan adanya pengaruh ads expenditure terhadap sales revenue.
Ukuran Kebaikan Model • Menggunakan koefisien determinasi (R2, Rsquared) • R-squared bernilai antara 0 s/d 1 • R-squared adalah persentase keragaman data yang mampu diterangkan oleh model • R-squared tinggi adalah indikasi model yang baik
Ukuran Kebaikan Model
R 2
ˆ Y i Y
2
Y Y
2
i
1
e
2
Y Y
2
i
• Model dalam ilustrasi bisa ditunjukkan memiliki R-squared 0.85 atau 85%
