PENGKAJIAN FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT PROBABILITAS ATOM HIDROGEN SECARA NUMERIK MENGGUNAKAN DELPHI 7.0
Disusun oleh :
SEPTIANA MANDA SARI M 0205046
SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Fisika
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA Januari, 2010
LEMBAR PENGESAHAN Skripsi ini dibimbing oleh : Pembimbing I
Pembimbing II
Dra. Suparmi, M.A, Ph.D
Viska Inda Variani, M.Si
NIP. 19520915 197603 2 001
NIP. 19720617 199702 2 001
Dipertahankan di depan Tim Penguji Skripsi pada : Hari
: Rabu
Tanggal
: 27 Januari 2010
Anggota Tim Penguji : 1. Drs. Syamsurizal
(.............................................)
NIP. 19561212 198803 1 001 2. Ahmad Marzuki, S.Si, Ph.D.
(.............................................)
NIP. 19680508 199702 1 001 Disahkan oleh Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta
Ketua Jurusan Fisika
Drs. Harjana, M.Si, Ph.D NIP. 19590725 198601 1 001
ii
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul “PENGKAJIAN FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT PROBABILITAS ATOM HIDROGEN SECARA NUMERIK MENGGUNAKAN DELPHI 7.0” adalah benar-benar hasil penelitian sendiri dan tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat kerja atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Surakarta, 10 Januari 2010
SEPTIANA MANDA SARI
iii
PENGKAJIAN FUNGSI GELOMBANG RADIAL DAN RAPAT PROBABILITAS ATOM HIDROGEN SECARA NUMERIK MENGGUNAKAN DELPHI 7.0 Jurusan Fisika Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret ABSTRAK Fungsi gelombang radial atom hidrogen dan rapat probabilitasnya telah dikaji secara numerik dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. Fungsi gelombang radial atom hidrogen diselesaikan menggunakan metode polinomial laguerre dan metode operator dengan bantuan Mapel 9.5 untuk menstransfer dari satu potensial ke potensial lain. Dari grafik rapat probabilitas dapat digunakan untuk menggambarkan kelakuan elektron atom hidrogen. Kata kunci:gelombang radial atom hidrogen, metode operator, polinom laguerre
iv
STUDY TO RADIAL WAVEFUNCTION AND PROBABILITY DENSITY OF THE HYDROGEN ATOM WITH NUMERIC USING DELPHI 7.0 Physics Department MIPA Faculty Sebelas Maret University ABSTRACT The radial wavefunction and probability density of hydrogen atom has been studied with numeric using Delphi 7.0 programming language. The radial wavefunction of hydrogen atom were derived using laguerre polynomial and operator method that helped by Mapel 9.5. From probability density graph can be described the behavior electron of the hydrogen atom. Keywords: radial wavefunction of hydrogen, operator method, laguerre polynomial
v
KATA PENGANTAR Puji Syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia, dan ijin-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini untuk memenuhi sebagian persyaratan guna mencapai gelar Sarjana Sains dari Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam penyusunan laporan ini, penulis tidak lepas dari bimbingan, pengarahan dan bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Dra Suparmi MA, PhD, selaku Pembimbing I yang telah mendampingi selama penelitian, memberi motivasi, bimbingan, nasehat dan saran dalam penyusunan skripsi. 2. Viska Inda Variani M.Si selaku Pembimbing II yang telah memberikan motivasi, melatih kesabaran dan saran dalam penyelesaian skripsi. 3. Drs Palgunadi M.Si yang telah memberikan saran dan bimbingan mengenai pemrograman . 4. Temen angkatan 2005 (Erwantini, isni, siti, mega, sita, ana, afa, esti, esti) yang telah membantu terselesainya skripsi ini dan selalu memberi dukungan . 5. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi hasil yang lebih baik lagi. Penulis juga berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat dan memberi tambahan ilmu bagi pembaca.
Surakarta, 10 Januari 2010
Septiana Manda sari
vi
DAFTAR SIMBOL me
= massa atom (kg)
mp
= massa proton (kg)
e
= muatan elektron
v
= frekuensi
l
= pajang gelombang
t
= waktu
V
= energi potensial
E
= energi
r
= jari-jari atom
p
= momentum
f (r )
= superpotensial
y
= fungsi gelombang
nr
= bilangan kuantum orbital
n
= bilangan kuantum utama
a0
=jari-jari bohr (5,292 x 10 -11 )
ω
= kecepatan sudut (rad/s)
l
= bilangan kuantum azimuth
h
= konstanta planck (6.626 x 10 -34 )
h
=
m
= massa tereduksi
H
= Hamiltonian
q
= sudut zenital
f
= sudut azimuth
h = 1.054 x 10 -34 2p
Y (q , f ) = fungsi gelombang anguler
R(r)
= fungsi gelombang radial atom hidrogen 2
r 2 Rn,l = probabilitas fungsi gelombang atom hidrogen
vii
U (x)
= energi potensial
La
= polinomial legendre dengan suku ke- a
L ab
= polinomial laguerre dengan suku ke- a
H -+
= pasangan supersimetri Hamiltonian
A
= operator penurun
A+
= operator penaik
e0
= faktorisasi energi
V+ dan V- =pasangan potensial efektif Qi , Q j
= operator muatan
d
= delta dirac
viii
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL............................................................................... ............ i LEMBAR PENGESAHAN .................................................................... ........... ii HALAMAN PERNYATAAN ........................................................................... iii ABSTRAK ......................................................................................................... iv ABSTRACT........................................................................................................ v KATA PENGANTAR ....................................................................................... vi DAFTAR SIMBOL........................................................................................... vii DAFTAR ISI...................................................................................................... ix DAFTAR TABEL.............................................................................................. xi DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................... xiii BAB I. PENDAHULUAN.................................................................................. 1 I.1. Latar Belakang Masalah ................................................................... 1 I.2. Perumusan Masalah .......................................................................... 3 I.3. Tujuan Penelitian .............................................................................. 3 I.4. Batasan Penelitian............................................................................. 3 I.5. Manfaat Penelitian ............................................................................ 4 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA........................................................................ 5 II.1. Teori atom Bohr .............................................................................. 5 II.1.1. Gagasan Kunci Model atom Bohr…………………………….7 II.1.2. Postulat Dasar Model Atom Bohr……………………………7 II.1.3. Model Atom Bohr…………………………………………….8 II.1.4. Tingkatan energi elektron dalam atom hidrogen…………….9 II.2. Atom Hidrogen................................................................................14 II.3. Tinjauan fungsi gelombang atom hidrogen Secara Kuantum ..... 21 II.3.1. Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen………21 II.3.2. Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger…………………...25 II.4. Operator fungsi gelombang radial atom hydrogen..........................26
ix
BAB III. METODE PENELITIAN ................................................. ................ 35 III.1. Lokasi dan Waktu Penelitian ....................................................... 35 III.2. Alat dan Bahan Penelitian............................................................ 35 III.3.Perancangan Program ................................................................... 35 III.4. Prosedur Penelitian ...................................................................... 38 BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN................................. 39 IV.1. Analisa perangkat lunak.............................................................. 39 IV.2. Analisa perhitungan gelombang atom hidrogen ......................... 40 IV.3. Probabilitas Fungsi Gelombang atom hydrogen ......................... 42 IV.4 Perbandingan keadaan lain untuk model kuantum dan Bohr. ...... 44 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN........................................................... 46 V.1. Kesimpulan ................................................................................... 46 V.2. Saran.............................................................................................. 46 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 47 LAMPIRAN - LAMPIRAN.............................................................................. 49
x
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1. Elemen polinomial Legendre (Hossain and Reza, 2006). .............................................................. 18 Tabel 2.2. Elemen polinomial laguerre (Griffith, 1994)................................................................................ 20
xi
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1. Tingkat-tingkat energi atom hidrogen (www.chem-is-try.org)................................................................... 9 Gambar 2.2. Model Bohr untuk atom hydrogen (www.chem-is-try.org)................................................................. 13 Gambar 2.3. Model elemen volume untuk atom hydrogen (www.chem-is-try.org)................................................................. 17 Gambar 2.4. Gelombang radial atom hydrogen (www.chem-is-try.org)................................................................. 19 Gambar 2.5. Probabilitas elektron atom hydrogen (www.chem-is-try.org)................................................................. 19 Gambar 3.1. Diagram alir penyelesaian fungsi gelombang dan rapat probabilitas elektron atom hidrogen..................................................................38 Gambar 4.1. Tampilan program........................................................................ 39 Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s (www.chem-is-try.org)................................................................. 40 Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s ............................. 41 Gambar 4.4. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s (www.chem-is-try.org)................................................................. 41 Gambar 4.5. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s .............................. 41 Gambar 4.6. Probabilitas atom hidrogen 2s (www.chem-is-try.org)................................................................. 43 Gambar 4.7. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 3s ............................. 43 Gambar 4.8. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 3p ........................... 44 Gambar 4.9. Probabilitas atom hidrogen dalam keadaan 6p............................. 45
xii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Listing Program Dalam Delphi 7.0 .............................................. 49 Lampiran 2. Listing Program Dalam Maple 9.5(Fungsi Operator) ................. 58 Lampiran 3. Tampilan Output Program ........................................................... 59
xiii
BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang Masalah Ada dua cabang utama dalam fisika klasik, yaitu mekanika klasik dan teori medan elektromagnetik. Pada umumnya dalam fisika klasik yang dipelajari adalah benda-benda makroskopik, sehingga apabila posisi dan momentum awal telah diketahui maka keadaan akhirnya dapat ditentukan. Berawal dari teori yang diusulkan oleh Louise de Broglie, Max Planck, dan prinsip ketidakpastian Heisenbreg, mengisyaratkan perlunya konsep baru untuk mempelajari tentang dunia mikroskopik, yaitu mekanika kuantum. Dalam mekanika kuantum kuantitas yang perlu diselidiki adalah nilai ekspektasi yang memberikan informasi tentang energi, posisi, dan momentumnya yang dapat ditentukan dari fungsi gelombang. Konsep sentral dalam mekanika kuantum adalah persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan differensial orde dua yang identik dengan persamaan energi total suatu sistem pada mekanika klasik, dimana variabel dalam mekanika klasik menjadi operator dalam mekanika kuantum. Persamaan Schrodinger dapat memberikan
informasi
momentumnya.
suatu
sistem
Informasi-informasi
tentang
diatas
akan
energi,
posisi,
diperoleh
bila
ataupun dapat
menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk menentukan tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombangnya. Walaupun demikian, telah dikembangkan beberapa metode atau pendekatan yang digunakan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang dari persamaan Schrodinger antara lain : dengan penyelesaian persamaan Schrodinger secara langsung, metode operator, dan pendekatan WKB. Namun bukanlah suatu pekerjaan yang mudah untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger bagi sistem potensial yang komplek seperti atom Hidrogen. Model atom terkini yang dikembangkan dalam waktu singkat menurut perumusan mekanika kuantum merupakan sumbangan penting pada pengetahuan mengenai alam semesta pada abad ini. Disamping pembaharuan pendekatan mengenai gejala atomik dengan teori mekanika kuantum dapat dimengerti berbagai hal yang dekat
xiv
hubungannya seperti bagaimana atom berinteraksi membentuk molekul mantab, asal tabel periodik unsur-unsur dan mengapa zat padat memiliki sifat karakteristik listrik, magnetis, optis dan mekanis dan lain sebagainnya (Beiser, 1992). Studi struktur atom hydrogen adalah langkah yang penting untuk mempelajari lebih lanjut struktur atom kompleks dan molekul, bukan hanya karena atom hydrogen merupakan struktur atom yang paling sederhana melainkan juga sebagai basis dalam perlakuan terhadap struktur atom berelektron banyak maupun molekul kompleks (Yusron,dkk. 2007 ). Sejalan dengan kemajuan teknologi, persoalan-persoalan fisika sekarang dapat disimulasikan dengan komputer. Dengan simulasi akan lebih mudah dan cepat untuk memperoleh suatu rumusan serta penginterpretasikannya. Fungsi gelombang radial atom Hidrogen dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa cara yaitu persamaan orde II, fungsi pembangkit, polinomial Laguerre dan operator. Pada tulisan ini akan dicari persamaan gelombang radial atom hydrogen melalui polynomial laguerre dan operator. Bahasa pemrograman C merupakan bahasa pemrograman tingkat menengah (Rosihan,2005). Oleh karena itu perlu digunakan bahasa pemrograman baru sehingga mudah untuk digunakan oleh user. Pascal adalah bahasa pemrograman tingkat tinggi dan terstruktur. Pascal merupakan dasar pemrograman visual Delphi. Polinomial laguerre dan fungsi operator akan dibuat dengan menggunakan software Delphi dengan bantuan Maple 9.5.
I.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan masalah sebagai berikut:
xv
1. Bagaimanakah mendeskripsikan fungsi gelombang dan rapat probabilitas radial atom hidrogen secara kuantum dalam bentuk grafik? 2. Bagaimanakah grafik yang diprogram dengan metode polinomial Laguerre dan operator atom hidrogen?
I.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Membuat simulasi perhitungan fungsi gelombang dan rapat probabilitas radial atom hidrogen secara kuantum untuk mendeskripsikannya dalam bentuk grafik 2. Membandingkan grafik yang diprogram dengan metode polinomial Laguerre dan operator atom hidrogen 3. Menganalisa grafik (rapat probabilitas) atom hidrogen.
I.4. Batasan Penelitian
Penyusunan program untuk penyelesaian secara numerik fungsi gelombang dan rapat probabilitas radial atom hidrogen menggunakan polinomial Laguerre dan metode operator dilakukan untuk n = 0 sampai n = 3. Program dapat menampilkan hubungan antara fungsi gelombang radial atom hidrogen (R(r)) dengan jari – jari atom.
I.5. Manfaat Penelitian
Memberikan kemudahan dalam perhitungan fungsi gelombang radial atom hidrogen dan mendiskripsikannya dalam bentuk grafik Dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0 dan dibantu Maple 9.5. Selain itu, dapat
xvi
digunakan untuk mengkaji sifat partikel atom yang bermanfaat juga untuk pengembangan bidang lain seperti material, zat padat dan mengapa zat padat memiliki sifat karakteristik listrik, magnetik, optis dan mekanis.
xvii
BAB II TINJAUAN PUSTAKA II.1 TEORI ATOM BOHR
Pada tahun 1913 Neils Bohr pertama kali mengajukan teori kuantum untuk atom hydrogen. Model ini merupakan transisi antara model mekanika klasik dan mekanika gelombang. Karena pada prinsip fisika klasik tidak sesuai dengan kemantapan hidrogen atom yang teramati, model atom Bohr memperbaiki kelemahan model atom Rutherford. Model atom Rutherford tidak dapat menjelaskan alasan mengapa elektron tidak dapat jatuh kedalam inti. Fisika klasik menyatakan bahwa apabila terdapat suatu partikel bermuatan yang bergerak menurut lintasan lengkung maka energinya akan hilang dalam bentuk radiasi. Pernyataan fisika klasik ini menjadi persoalan bagi model atom yang dikemukakan oleh Rutherford karena jika elektron bergerak mengelilingi inti, maka elektron akan kehilangan energinya dan energi kinetik elektron akan terus berkurang. Gaya tarik inti atom terhadap elektron akan menjadi lebih besar daripada gaya sentrifugal lintasan elektron dan menyebabkan lintasan menjadi spiral dan akhirnya elektron jatuh kedalam inti atom. Apabila elektron jatuh kedalam inti atom, maka atom menjadi tak stabil. Hal ini bententangan dengan pernyataan umum bahwa atom stabil. Untuk menutupi kelemahan model atom Rutherford, Bohr mengeluarkan empat postulat. Gagasan Bohr menyatakan bahwa elektron harus mengorbit di sekeliling inti. Namun demikian, teori atom yang dikemukakan oleh Neils Bohr juga memiliki banyak kelemahan. Model Bohr hanyalah bermanfaat untuk atomatom yang mengandung satu elektron tetapi tidak untuk atom yang berelektron banyak. Begitu juga menurut Max Planck radiasi elektromagnetik bersifat diskontinyu atau dalam bentuk kuanta. Diskontinyuitas radiasi elektromagnetik
xviii
dikuatkan oleh efek fotolistrik yang dikembangkan oleh Albert Einstein. Sedangkan kuantisasi/kuanta energi digunakan oleh Niels Bohr dalam momentum sudut elektron untuk pengembangan teorinya tentang atom hidrogen. Apabila berkas cahaya polikromatis seperti lampu listrik dan sinar matahari dilewatkan melalui prisma maka akan diperoleh spektrum kontinyu yang terdiri dari berbagai warna penyusunnya. Spektrum garis dihasilkan apabila sumber cahaya polikromatik seperti lampu listrik dan sinar matahari diganti oleh busur listrik berisi gas hidrogen maka akan dihasilkan spektrum yang tidak kontinyu. Spektrum yang tidak kontinyu berupa sederetan garis berwarna yang disebut spektrum garis tak kontinyu. Spektrum garis yang paling sederhana adalah spektrum garis atom hidrogen. Balmer melakukan penelitian sehingga didapatkan deret Balmer untuk atom hidrogen. Fisikawan Swiss Johann Jakob Balmer (18251898) memisahkan cahaya yang diemisikan oleh hidrogen bertekanan rendah. Ia mengenali bahwa panjang gelombang λ deretan garis spektra ini dapat dengan akurat diungkapkan dalam persamaan sederhana (1885). Fisikawan Swedia Johannes Robert Rydberg (1854-1919) menemukan bahwa bilangan gelombang σ garis spektra dapat diungkapkan dengan persamaan berikut (1889). Rydberg membuat
rumus
yang
lebih
umum
sehingga
dapat
diterapkan
untuk
memperkirakan panjang gelombang beberapa garis pada spektrum emisi hidrogen. Rydberg memberikan rumus:
s =
æ 1 1 1 ö = RH ç 2 - 2 ÷ çn ÷ l è i nf ø
(2.01)
RH merupakan konstanta yang disebut dengan konstanta Rydberg atau deret Rydberg. Untuk nilai ni dan n f merupakan bilangan bulat (seluruh angka). n f lebih besar daripada ni Dengan kata lain, jika ni katakanlah 2, maka n f dapat berupa seluruh angka antara 3 dan tak hingga II.1.1 Gagasan Kunci Model atom Bohr
xix
Dua gagasan kunci model atom Bohr adalah: 1. Elektron-elektron bergerak di dalam orbit-orbit dan memiliki momentum yang terkuantisasi, dan dengan demikian energi yang terkuantisasi. Ini berarti tidak setiap orbit, melainkan hanya beberapa orbit spesifik yang dimungkinkan ada yang berada pada jarak yang spesifik dari inti. 2. Elektron-elektron tidak akan kehilangan energi secara perlahan-lahan sebagaimana mereka bergerak di dalam orbit, melainkan akan tetap stabil di dalam sebuah orbit yang tidak meluruh. II.1.2 Postulat Dasar Model Atom Bohr Ada empat postulat yang digunakan untuk menutupi kelemahan model atom Rutherford, antara lain : 1. Atom Hidrogen terdiri dari sebuah elektron yang bergerak dalam suatu lintas edar berbentuk lingkaran mengelilingi inti atom ; gerak elektron tersebut dipengaruhi oleh gaya coulomb sesuai dengan kaidah mekanika klasik. 2. Lintas edar elektron dalam hydrogen yang mantap hanyalah memiliki harga momentum angular L yang merupakan kelipatan dari tetapan Planck dibagi dengan 2π.
(2.03) dimana n = 1,2,3,… dan disebut sebagai bilangan kuantum utama, dan h adalah konstanta Planck. 3. Dalam lintas edar yang mantap elektron yang mengelilingi inti atom tidak memancarkan energi elektromagnetik, dalam hal ini energi totalnya E tidak berubah. 4. Jika suatu atom melakukan transisi dari keadaan energi tinggi EU ke keadaan energi lebih rendah EI, sebuah foton dengan energi hυ=EU-EI diemisikan. Jika sebuah foton diserap, atom tersebut akan bertransisi ke keadaan energi rendah ke keadaan energi tinggi.
xx
II.1.3 Model Atom Bohr
“Bohr menyatakan bahwa electron-elektron hanya menempati orbit-orbit tertentu disekitar inti atom, yang masing-masing terkait sejumlah energi kelipatan dari suatu nilai kuantum dasar”.(John , 2002) Model Bohr dari atom hidrogen menggambarkan elektron-elektron bermuatan negatif mengorbit pada kulit atom dalam lintasan tertentu mengelilingi inti atom yang bermuatan positif. Ketika elektron meloncat dari satu orbit ke orbit lainnya selalu
disertai
dengan
pemancaran
atau
penyerapan
sejumlah
energi
elektromagnetik hf. Menurut Bohr : ” Ada aturan fisika kuantum yang hanya mengizinkan sejumlah tertentu elektron dalam tiap orbit. Hanya ada ruang untuk dua elektron dalam orbit terdekat dari inti. (John , 2005)” Maksud dari pernyataan diatas yaitu fungsi gelombang elektron disebut dengan orbital. Bila bilangan koantum utama n = 1, hanya ada satu nilai l , yakni 0. Dalam kasus ini hanya ada satu orbital untuk atom hidrogen, dan kumpulan bilangan kuantum untuk orbital ini adalah (n = 1, l = 0). Bila n = 2, ada dua nilai l , 0 dan 1, yang diizinkan. Karena model Bohr adalah pengembangan dari model Rutherford, banyak sumber mengkombinasikan kedua nama dalam penyebutannya menjadi model Rutherford-Bohr. Kunci sukses model ini adalah dalam menjelaskan formula Rydberg mengenai garis-garis emisi spektral atom hidrogen, walaupun formula Rydberg sudah dikenal secara eksperimental, tetapi tidak pernah mendapatkan landasan teoritis sebelum model Bohr diperkenalkan. Tidak hanya karena model Bohr menjelaskan alasan untuk struktur formula Rydberg, ia juga memberikan justifikasi hasil empirisnya dalam hal suku-suku konstanta fisika fundamental. Model Bohr adalah sebuah model primitif mengenai atom hidrogen. Sebagai sebuah teori, model Bohr dapat dianggap sebagai sebuah pendekatan orde pertama dari atom hidrogen menggunakan mekanika kuantum yang lebih umum dan
xxi
akurat, dan dengan demikian dapat dianggap sebagai model yang telah usang. Namun demikian, karena kesederhanaannya, dan hasil yang tepat untuk sebuah sistem tertentu, model Bohr tetap diajarkan sebagai pengenalan pada mekanika kuantum.
II.1.4 Tingkatan energi elektron dalam atom hidrogen
Sebelum membahas tingkatan energy atom hydrogen, maka dibawah ini akan ditampilkan tingkat-tingkat energy untuk atom hydrogen terlebih dahulu.
Gambar 2.1. Tingkat-tingkat energi atom Hydrogen(www.chem-is-try.org) Model Bohr hanya akurat untuk sistem satu elektron seperti atom hidrogen atau helium yang terionisasi satu kali. Penurunan rumusan tingkat-tingkat energi atom hidrogen menggunakan model Bohr. Penurunan rumus didasarkan pada tiga asumsi sederhana: 1) Energi sebuah elektron dalam orbit adalah penjumlahan energi kinetik dan energi potensialnya: E = E kinetik + E potensial
xxii
(2.04)
=
kq 2 1 me v 2 - e 2 r
(2.05)
dengan k = 1 / (4πε0), dan qe adalah muatan elektron. 2) Momentum sudut elektron hanya boleh memiliki harga diskret tertentu: L = me vr = n
h = nh 2p
(2.06)
dengan n = 1,2,3,… dan disebut bilangan kuantum utama, h adalah konstanta Planck, dan
.
3) Elektron berada dalam orbit diatur oleh gaya coulomb. Ini berarti gaya coulomb sama dengan gaya sentripetal: kq e2 me v 2 = r r2
(2.07)
Dengan mengalikan ke-2 sisi persamaan (2.07) dengan r didapatkan: kq e2 = me v 2 r
(2.08)
Suku di sisi kiri menyatakan energi potensial, sehingga persamaan untuk energi menjadi: kqe2 1 1 2 E = me v = - me v 2 2 r 2
(2.09)
Dengan menyelesaikan persamaan (2.05) untuk r, didapatkan harga jarijari yang diperkenankan: r=
nh me v
(2.10)
Dengan memasukkan persamaan (2.10) ke persamaan (2.08), maka diperoleh:
xxiii
kq e2
me = me v 2 nh
(2.11)
Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.11) dengan mev didapatkan kq e2 =v nh
(2.12)
Dengan memasukkan harga v pada persamaan energi, dan kemudian mensubstitusikan harga untuk k dan
, maka energi pada tingkatan orbit
yang berbeda dari atom hidrogen dapat ditentukan sebagai berikut: - me q e4 1 En = 8h 2e 02 n 2
(2.13)
Dengan memasukkan harga semua konstanta, didapatkan, En =
- 13,6 eV n2
(2.14)
Dengan demikian, tingkat energi terendah untuk atom hidrogen (n = 1) adalah -13.6 eV. Tingkat energi berikutnya (n = 2) adalah -3.4 eV. Tingkat energi ketiga (n = 3) adalah -1.51 eV, dan seterusnya. Atau bisa dikatakan Jika elektron tertarik ke inti dan dimiliki oleh orbit n, energi dipancarkan dan energi elektron menjadi lebih rendah sebesar E n =
- 13,6 eV . n2
Harga-harga energi ini adalah negatif, yang menyatakan bahwa elektron berada dalam keadaan terikat dengan proton. Harga energi yang positif berhubungan dengan atom yang berada dalam keadaan terionisasi yaitu ketika elektron tidak lagi terikat, tetapi dalam keadaan tersebar. Seperti telah diketahui bahwa menurut Max Planck radiasi elektromagnetik bersifat diskontinyu atau
xxiv
dalam bentuk kuanta. Max Planck menurunkan persamaan untuk pernyataan tersebut sebagai berikut:
Pernyataan tersebut bertentangan dengan pandangan fisika klasik yang mengemukakan bahwa energi bersifat kontinyu. Untuk mengatasi perbedaan tersebut, Niels Bohr melakukan penelitian dan mencoba menjelaskan dengan pendekatan pemecahan spektrum garis hidrogen. Bohr menggunakan pendekatan Max Planck untuk menjelaskan spektrum garis hidrogen. Apabila elektron berpindah dari tingkat energi rendah menuju tingkat energi tinggi maka energi akan diserap untuk melakukan proses tersebut. Elektron yang berpindah dari tingkat energi rendah menuju tingkat energi yang lebih tinggi menyebabkan elektron tereksitasi. Akan tetapi keadaan elektron tereksitasi ini tidak stabil sehingga elektron kembali dari tingkatan energi tinggi menuju tingkat energi rendah yang disertai pelepasan energi dalam bentuk radiasi. Jari-jari orbit diungkapkan dengan 12, 22, 32, 42, …n2. Untuk orbit tertentu dengan jari-jari minimum a0 = 0,53 Å a0 =
4pe 0h 2 me 2
(2.15)
Pada gambar 2,1 dibawah ini akan ditampilkan model atom Bohr pada saat mengikat dan melepas energi.
xxv
Gambar 2.2.Model atom Bohr (www.chem-is-try.org)
Teori Bohr berhasil menjelaskan spektrum garis atom hidrogen dan ionion berelektron tunggal seperti 2He+ dan 3Li2+. Akan tetapi teori Bohr juga masih menunjukkan kelemahan yaitu tidak mampu menjelaskan spektrum garis atom berelektron banyak dan sifat spektrum garis dalam medan magnet serta tidak dapat menjelaskan garis-garis halus spektrum garis atom hidrogen. Dengan teori kuantum, Bohr juga menemukan rumus matematika yang dapat dipergunakan untuk menghitung panjang gelombang dari semua garis yang muncul dalam spektrum atom hidrogen. Nilai hasil perhitungan ternyata sangat cocok dengan yang diperoleh dari percobaan langsung. Namun untuk unsur yang lebih rumit dari hidrogen, teori Bohr ini ternyata tidak cocok dalam meramalkan panjang gelombang garis spektrum. Meskipun demikian, teori ini diakui sebagai langkah maju dalam menjelaskan fenomena-fenomena fisika yang terjadi dalam tingkatan atomik. Teori kuantum dari Planck diakui kebenarannya karena dapat dipakai untuk menjelaskan berbagai fenomena fisika yang saat itu tidak bisa diterangkan dengan teori klasik.
II.2 Atom Hidrogen Sebuah atom hydrogen terdiri dari sebuah proton, partikel yang bermuatan listrik e+ dan sebuah electron, partikel yang bermuatan e- yang bermassa 1835 lebih ringan dari pada proton. Dalam mekanika kuantum , kuantitas yang
xxvi
diperlukan untuk menggambanrkan keadaan suatu partikel adalah fungsi gelombang y dari benda itu. Waaupun y sendiri tidak mempunyai arti fisis tertentu, namun y
merupakan langkah awal untuk menentukan besaran-
besaran fisis lain untuk partikel tersebut. Misalnya momentum, momentum sudut , dan energi dari partikel. (Yossy dan Muhammad, 2005) Muatan listrik dari inti dinyatakan oleh produk atau perkalian dari bilangan atom Z dan muatan elementer e. Energi potensial coloumb untuk atom hydrogen adalah U(r) = −Ze2 / 4πε0r dimana persamaan gelombang Schrodingernya (Dahmen, 1989) d 2 u é 2 2meZe 2 l(l + 1) ù + ê- k + 2 úu = 0 dr 2 ë h 4pe 0 r r2 û
Dan k =+
(2.16)
- 2 me E h
operator Hamiltonian dari sistem ini dapat diekspresikan dengan persamaan berikut. Ù
H =-
h2 Ze 2 L2m 4pe 0 r
(2.17)
Di sini, µ adalah masa tereduksi yang diberikan oleh masa inti M dan masa elektron m dengan menggunakan persamaan berikut.
m=
1 1/ M + 1/ m
(2.18)
Ketika nilai 1/M dalam penyebut pada persamaan ini diabaikan karena mengingat bahwa M >> m, persamaan akan tereduksi menjadi µ = m dan sistem akan menjadi model yang sederhana yaitu sebuah elektron bergerak mengelilingi sebuah inti yang diam. Kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan ini tidaklah terlalu besar sehingga hal ini akan memberikan bahwa solusi persamaan gelombang dari Hamiltonian yang berlaku sangat ketat untuk gerak relatif akan dapat dipahami untuk merepresentasikan gerak elektron dalam atom
xxvii
Sebuah perbandingan dengan kasus pada sebuah atom hidrogen (Z = 1) mengindikasikan bahwa faktor e2 dengan sederhana dapat digantikan oleh Ze2 dalam ekspresi untuk energi potensial. Karenanya tingkat-tingkat energi akan diberikan oleh persamaan berikut. En=
W ( z) n2
W(z)=
(n=1,2,3,..)
mZ 2 e 4 2 8e 0 h 2
(2.19)
(2.20)
Di sini, n adalah bilangan kuantum utama yang menentukan tingkat-tingkat energi. W(Z) adalah energi yang diperlukan untuk mengeluarkan satu elektron dari atom hidrogenik. Kuantitas ini untuk Z = 1 berkaitan dengan energi ionisasi dari atom hidrogen WH. Dengan menggunakan operator Hamiltonian, persamaan gelombang dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat polar sebagai berikut.
h2 2m 2
æ¶ 2 ¶ ç ç ¶r r ¶r è
(
)+ L
ö ÷÷Y = ( E - U )Y ø
(2.21) Sebagaimana telah dipelajari tentang momentum sudut, Legendrian Λ hanya terdiri dari koordinat sudut (θ,φ) , dan ini memenuhi persamaan dengan fungsi harmonik sudut Yl,m. LYl ,m = -l (l + 1)Yl , m
(2.22)
Dengan memperhatikan persamaan diatas, dapat diambil fungsi gelombang dalam bentuk sebagai berikut. Y = R (r ).Yl ,m (q , f )
xxviii
(2.23)
Dari persamaan 2.22 dan 2.23, akan mendapatkan
é ê ë
h2 2m 2
æ¶ 2 ¶ ç ç ¶r r ¶r è
(
) - l(l + 1)
ö ù ÷÷ R(r) + (U- E) R(r) ú Y l,m = 0 ø û
(2.24)
Fungsi Ψ yang diperkenalkan pada persamaan (2.23) dapat menjadi solusi dari persamaan gelombang untuk atom hidrogen. Dalam cara ini, fungsi gelombang dari atom hidrogen diberikan dalam bentuk yang merupakan produk dari bagian radial R(r) dan bagian sudut Yl,m (θ,φ) .
Bagian sudut Y(θ,φ)
menentukan kebergantungan sudut dari kemungkinan untuk menentukan sebuah elektron. Di bawah ini akan ditunjukkan pula model elemen volume atom hidrogen dalam sistem koordinat polar berbentuk bola
Gambar 2.3. Model koordinat polar untuk atom hidrogen (www.chem-is-try.org) Persamaan untuk menentukan R(r) diberikan sebagai berikut.
-
h2 2m 2
æ¶ 2 ¶ ç ç ¶r r ¶r è
(
) - l(l + 1)
ö ÷÷ R(r)= (E- U)R(r) ø
xxix
(2.24)
Fungsi-fungsi R(r) untuk bagian radial sangat tergantung dengan bilangan kuantum utama (n) dan bilangan kuantum orbital ( l ) (M.Enciso,dkk. 2006). Fungsi radial atom hydrogen diekspresikan dalam bentuk persamaan matematik yang dikenal sebagai polinomial Laguarre, Lα dan sebuah fungsi dari r yang diberikan di bawah ini sebagai ρ.
r=
2 Zr na 0
(2.25)
a0 =
e 0h 2 pme 2
(2.26)
2 R (r ) (r) = 2 3 / 2 n a
(n - l - 1)! (n + l )!
l
æ 2r ö æ - r ö 2l +1 æ 2r ö ç ÷ expç ÷ Ln-l -1 ç ÷ è na ø è na ø è na ø
(2.27)
L ab ( r ) =((2 a - 1 + b - r ) Lab -1 -( a - 1 + b ) Lab - 2 )/ a
(2.28)
L 0b ( r ) =1
(2.29)
L 1b ( r )= b + 1 - r
(2.30)
Keenam polynomial Legendre secara umum yang telahdhitung dan dijabarkan seperti pada tabel 2.1 dibawah ini Tabel 2.1. Fungsi polynomial Legendre (Hossein and Reza, 2006) L 1 (r ) = r L 2 (r ) =
1 (3r 2 - 1) 2
L 3 (r ) =
1 (5 r 3 - 3r ) 2
1 L 4 ( r ) = (35 r 4 - 30 r 2 + 3) 8 1 L 5 ( r ) = (63r 5 - 70 r 3 + 15 r ) 8
L 6 (r ) =
1 (231r 6 - 315 r 4 + 105 r 2 - 5) 16
atau dapat juga diperoleh dari Rodrigues formula:
xxx
L a ( r )= e r
da ( r a e -a ) ( a = 0,1,2,…) a dr
(2.31)
Di sini, Lαβ adalah polinomial Laguerre terasosiasi, a0 adalah konstanta yang sama dengan radius Bohr, as ketika µ = m. Sebagaimana dapat dilihat, kesalahan-kesalahan yang disebabkan oleh pendekatan µ = m adalah sangat kecil yaitu kurang dari 0.1%. Sehingga, a0 dapat dikatakan sama dengan radius Bohr as. Grafik dari fungsi R(r) untuk hidrogen ditunjukkan pada gambar 2.4.
Gambar 2.4. gelombang radial atom hydrogen (www.chem-is-try.org)
xxxi
Gambar 2.5 Probabilitas elektron atom hydrogen (A.C.Philips, 2003) Contoh-contoh persamaan polynomial Laguerre yang telah dijabarkan dapat dilihat pada tabel 2.2 dibawah ini Tabel 2.2. Elemen polinomial laguerre (Griffith, 1994). L 10 = -x+1
L 50 = 1
L 11 = -2 x + 4
L 32 = 60 x 2 - 600 x + 1200
L 30 = 1
L 15 = 6 - x
L 12 = 3 x 2 - 18 x + 8
L 13 = 24 - 36 x + 12 x 2 - x 3
L 13 = -24 x + 96
L 02 = 1
L 02 = x 2 - 4 x + 2
L 52 = 42 + 14 x + x 2
II.3 Tinjauan fungsi gelombang atom hidrogen Secara Kuantum
II.3.1. Solusi Schrödinger terhadap Masalah Atom Hidrogen
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variable gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, y tidak seperti y bukan berupa kuantitas kompleks karena itulah kita akan menganggapy dalam arah x yang dinyatakan oleh
y = Ae ( - i / h )( Et - px )
(2.32)
Persamaan ini merupakan persamaa matematis gelombang ekivalen untuk partikel yang bergerak bebas sedangkan kita lebih tertarik pada partikel yang dipengaruhi berbagai pembantasan. Apa yang harus dilakukan sekarang adalah mendapatkan persamaan differensial pokok untuk y kemudian kita memecahkan y untuk situasi yang khusus. Persamaan ini yang disebut dengan persamaan Schrodinger
xxxii
yang dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama, persamaan ini tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan ini menyatakan sesuatu yang baru. Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai Ĥψ = Eψ .Hamiltonian Ĥ yang ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Dengan demikian Hamiltonian Ĥ dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan mengganti momentum p dengan operator
= −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap
H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p2 / 2m dan kita akan mendapatkan Energi potensial ½kx2 dapat digunakan langsung karena tidak mengan dung momentum p. Dengan memasukkan Hamiltonian Ĥ ini ke dalam Ĥψ = Eψ, persamaan Schrödinger bebas waktu untuk. Hamiltonian Ĥ yang berhubungan dengan energi. Persamaan ini memberikan himpunan fungsi eigen φ dan nilai eigen E untuk energi yang mungkin terjadi. Salah satu cara untuk memperoleh persamaan Schrodinger yaitu Dimulai dengan mendifferensiasi persamaan (2.32) dua kali terhadap x da menghasilkan ¶ 2y - p = y ¶x 2 h 2
(2.33)
Dan sekali lagi terhadap t menghasilkan ¶ y - iE = y h ¶x
(2.34)
xxxiii
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi kinetik
p2 dan energi potensial V , dengan V pada umumnya 2m
merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :
E=
p2 +V 2m
(2.35)
Dengan menjadikan kedua suku persamaan (2.35) diatas dengan fungsi gelombang y maka menghasilkan:
Ey =
p 2y +V y 2m
(2.36)
Dari persamaan (2.33 )dan (2.34) kita lihat bahwa Ey =
- h ¶y i ¶t
(3.37)
Dan p 2y = -h 2
¶ 2y ¶x 2
(2.38)
Dengan mensubtitsikan pernyataan E y dan p 2y dalam persamaan (2.36) maka diperoleh persaaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi
ih
¶y - h 2 ¶ 2y = + Vy ¶t 2m ¶x 2
(2.39)
Dimana V adalah energi potensial partikel . setiap pembantasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V . Sekali bentuk
V
dketahui, persamaan Schrodingernya daat dipecahkan untuk
mendapatkan fungsi gelombang partikel y sehingga kerapatan peluangnya y 2
xxxiv
dapat ditentukan. Disini persamaan Schrodinger diperleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerk bebas (energi potensial konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruag dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada suatu cara yang membktika bahwa perluasan ini benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaa Schrodinger berlaku. Persamaan Schrodinger tidak bisa diturunkan dari prinsip pertama tetapi persamaan itu merupaka prinsip pertama. Persamaan Schrodinger ini dapat diterima karena cocok dengan eksperimen. Langkah-langkah baku Schrödinger: ·
-Hamiltonian klasik:
H =T +V (2.40)
p2 e2 = 2m r ·
- Hamiltonian kuantum: 2
h Tˆ = - Ñ2 2m
(2.41)
h2 2 e2 ˆ H=- Ñ 2m r ·
- Persamaan diferensial Schrödinger bebas waktu:
· · (2.42) · (2.43)
xxxv
· (2.44) ·
Solusi fungsi radial diperoleh berdasarkan kenyataan bahwa
persamaan diferensial Schrödinger untuk R ternyata merupakan persamaan Laguerre. Tahap berikutnya adalah tahap normalisasi, untuk menentukan tetapan yang ada di Depan fungsi gelombang tersebut. Walaupun y sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis kuadrat besaran y
2
(atau sama dengan yy * jika y
kompleks) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu ditempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut, da energi dari benda dapat diperoleh dari y . persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan y untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Dalam kejadian itu, fungsi gelombang y adalah kompleks, dengan bagian riil maupun imajiner, kerapatan peluang y
2
Konjugate
diberikan oleh hasil kali yy * dari y dan konjugate kompleks y * . kompleks
sebarang
fungsi
diperoleh
dengan
mengganti
i (= - 1) dengan -1 dimanapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi.
Setiap fungsi kompleks y dapat ditulis dalam bentuk fungsi gelombang
y = A + iB
·
(2.45) Dengan A dan B adalah fungsi riil. Konjugate kompleks y * dari y
· adalah
y * = A - iB
·
(2.46) ·
Dengan demikian, yy * = A 2 - i 2 B 2 = A 2 + B 2
·
Karena i 2 =-1. jadi yy * akan selalu berupa kuantitas riil positif. Karena
y
2
berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda
xxxvi
yang diberikan (digambarkan) oleh y , integral y
2
keseluruh ruang harus
berhinga . benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika y maka:
ò
¥
-¥
2
sama dengan P
2
y dV = 1
(2.47) ·
Ialah suatu penyataan matematis bahwa partikel itu ada disuatu tempat
untuk setiap saat. Fungsi gelombang pada persamaan (2.47) itulah yang dikatakan ternormalisasi. Dan dibawah ini adalah fungsi normalisasi untuk persamaan gelombang ato hidrogen. ·
¥
p
2p
0
0
0
ò ò ò
éë R ( r ) Q (q ) F (f ) ùû r 2 sin q × dr × dq × df = 1 2
(2.48) ·
Karena q dan f adalah fungsi ternormalisasi, peluang yang sebenarnya
P (r )dr untu mendapatkan elektron atom hidrogen pada suatu tempat antara r 2
dan r + dr dari inti ialah P (r )dr = r 2 R (r ) dr . · ·
II.3.2. Penafsiran Solusi Persamaan Schrodinger
· Kuadrat fungsi gelombang itu disuatu titik tertentu dalam ruang di sekitar inti atom, menggambarkan kebolehjadian untuk menemukan elektron di titik tersebut. per satuan volume ruang. Kuadrat fungsi gelombang ini sering disebut sebagai rapat kebolehjadian. Daerah terbesar kemungkinannya untuk menemukan elektron disebut “orbital”. Jika orbital divisualisasikan dengan garis tegas, bisa ditafsirkan bahwa kebolehjadian untuk menemukan elektron di dalam garis tegas tersebut adalah 95%, dan masih ada kemungkinan elektron berada di luarnya dengan kebolehjadian sebesar 5%. Penafsiran terhadap fungsi gelombang radial R(r) yaitu: ·
1. Kebolehjadian terhadap arah r tidak dapat diisolasi dari fungsi
gelombang yang lain, karena satuan dari r, teta, phi, berbeda. Pada kasus kotak tiga dimensi, kebolehjadian di setiap arah, dapat diisolasi.
xxxvii
·
2. Jika fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut, maka rapat
kebolehjadian
terhadap jarak dari inti (artinya fungsi rapat kebolehjadian
terhadap salah satu saja dari koordinat,yaitu r bernilai 4p r 2 R 2 .
·
3. P ( r ) dr = 4p r 2 R 2 dr
·
dengan P(r) = rapat kebolehjadian (per satuan
panjang). ¥
p
2p
0
0
0
ò ò ò
·
... = ò
¥
0
ò
p
0
¥
R 2 ( r ) Q2 (q ) 2p r 2 sin q drdq = ò R 2 ( r ) 4p r 2 dr 0
(2.49) ·
(jika tak bergantung sudut)
· II.4 Operator fungsi gelombang radial atom hydrogen
Dalam subab ini akan diselesaikan persamaan differensial schrodinger dengan menggunakan pendekatan yang berbeda. Aplikasi dari metode ini sering digunakan dalam teori medan kuantum. Persamaan schrodinger bagian kiri (hamiltonian ) dapat difaktorkan menjadi 2 faktor yang masing masing adalah persamaan diferensial orde 1 yang terdapat pada persamaan dan merupakan operator. Jadi Operator
dengan orde dua merupakan operator Hamiltonian.
Sedangkan A dan A + operator yang merupakan persamaan differensial orde satu. Dalam mekanika kuantum, operator berarti pengoperasi yaitu untuk mengoperasikan dalam memperoleh fungsi gelombang. Sedangkan dalam fisika klasik, merupakan unsur- unsurnya. Jadi Ĥ merupakan operator Hamiltonian dengan persamaan differensial orde dua dan apabila Ĥ difaktorkan, maka akan diperoleh A dan A + yang merupakan operator penurun dan operator penaik. Apabila suatu fungsi diberi operator penaik, maka fungsi itu akan naik sebesar satu bilangan. Contohnya pada persamaan berikut
y n +1
(-)
=A + y n
(- )
(2.50)
xxxviii
Sedangkan operator penurun, berfungsi sebagai penurun bilangan gelombang. Dengan operator, dapat lebih banyak potensial yang diselesaikan. Energinya juga dapat langsung ditentukan pada setiap tingkat-tingkatnya. Dari persamaan Schrodinger - h2 d 2 y n + V ( r )y n = Hy n = Ey n 2 m dr 2
(2.51)
Notasi standar untuk supersimetri Hamitonian yang berasal dari persamaan Schrodinger original H -+ =
-h d2 + V-+ ( r ) 2 2 m dr
(2.52)
V+ dan V- = Pasagan (superpartner) potensial efektif H -+ = supersimetri Hamiltonian
Bila dideffinisikan dari operator-operator muatan (Kortelecky dan Campbell, 1985) dapat ditulis bentuk operator baru yaitu operator penurun A dan operator penaik A + h
A =
d + f (r ) 2 m dr
(2.53)
A+ =
-h d + f (r ) 2 m dr
(2.54)
Untuk selanjutnya Hamiltonian original dapat difaktorkan menjadi H = A+ A + e 0
(2.55)
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh hubungan antara potensial original efektif ( Veff ) sbb: æ A A + = çç è
-h d + f (r ) 2 m dr
ö ÷÷ ø
æ çç è
h
d + f (r ) 2 m dr
- h2 d 2 h = + f 2 (r ) f ' (r ) + e 0 2 2 m dr 2m
V- didefinisikan sebagai berikut
xxxix
ö ÷÷ ø
(2.56)
(2.57)
V- = f 2 ( r ) -
h 2m
f ' (r ) + e 0
(2.58)
Sehingga diperoleh hubungan V = V- + e 0
H - = A + A dan H + = A A + dengan A dan A + didefinisikan sebagai berikut - h2 d 2 - h2 d 2 H-= + V- ( r , a 0 ) dan H + = + V+ ( r , a 0 ) 2 m dr 2 2 m dr 2
Nilai V+ ( r , a 0 ) = V- ( r , a1 ) + R(a1 ) , dan R(a1 ) adalah konstanta yang diperoleh dengan menghubungkan V+ ( r , a 0 ) = V- ( r , a1 ) . Misal untuk a 0 = l , a1 = l + 1 ,
a 2 = l + 2 , dst. persamaan Schrodinger untuk atom hydrogen yaitu - h 2 d 2u h 2 l(l + 1) + [ V + ]u = E n 2 m dr 2 2m r 2
Dan V eff = V +
(2.59)
h 2 l(l + 1) - e2 dimana V = 2m r 2 r
sehingga - e 2 h 2 l(l + 1) V eff = + r 2m r 2
(2.60)
definisi H = H - +e 0 H = A+ A + e 0 Veff = V- + e 0 = f 2 ( r ) -
h 2m
f ' (r ) + e 0
(2.61)
Untuk menentukan superpotensial f ( r ), dimisalkan
f (r ) =
A +B r
f (r ) 2 =
(2.62)
A 2 2 AB + + B2 r r2
(2.63)
xl
-A r2
f ' (r ) =
(2.64)
Dari persamaan (2.63) dan (2.64), maka diperoleh
- e 2 h 2 l(l + 1) f (r ) f ' (r ) + e 0 = + r 2m r 2 2m
(2.65)
A 2 2 AB h A - e 2 h 2 l(l + 1) 2 + + B + + e = + 0 2 r r 2m r 2 r2 2m r
(2.66)
h
2
h
1 (A2 + 2 r
A )+
2m
2 AB 1 h 2 l ( l + 1) e2 + B2 + e0 = 2 ( )r 2m r r
(2.67)
Dengan menyamakan koefisiennya, maka
h
A2 +
2m
A =
h2 l(l + 1) 2m
(2.68)
Dengan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh 2
æ h ö h2 æ h ö çç A + ÷÷ = çç ÷÷ 2 2 m ø 8m è 2 m ø è æ h ö + çç A + ÷÷ = 2 2m ø è
A=
-h 2m
2
1ö æ çl + ÷ 2ø è
2
(2.69)
æ h öæ 1ö çç ÷÷ç l + ÷ 2ø è 2m øè
(2.70)
(l + 1)
(2.71)
Untuk nilai B 2AB = - e 2 2
-h 2m
(2.72)
(l + 1) B = - e 2
(2.73) 2m - 2h
(2.74)
2 e2 h (l + 1)
(2.74)
B = - e2 m
= Untuk e 0 B2 + e0 = 0
(2.75)
xli
e0 = - B2
(2.76)
me 4 e0 = 2h 2 (l + 1) 2
(2.77)
Dari penyelesaian A, B, dan e 0 dapat diketahui nilai superpotensialnya yaitu m
f (r ) =
2 e 2 - h (l + 1) h (l + 1) 2 m .r
(2.78)
Deffinisi operator penaik dan operator penurun Operator penurun A =
h
d + f (r ) 2 m dr
Operator penaiknya A + =
(2.79)
-h d + f (r ) 2 m dr
(2.80)
Untuk potensial yang shape invariant, tingkat-tingkat energy dan fungsi gelombangdapat diperoleh dengan mengoperasikan operator penaik yang teredah secara berurutan pada fungsi gelombang pada masing-masing potensial. Suatu siatem supersimetri dikatakan mempunyai simetri yang baik bila operator memasukka fungsi gelombang dasar Ay 0
(-)
= 0 ( Suparmi, 1992)
Dimana ( r = r ) (-)
y nr +1 ( r , a 0 ) = A + ( r , a0 ) y n
(- )
( r , a1 )
(2.81)
Dengan y n ¥U n = rRnl , sehingga Rnl = R( nr + l +1) l =
Un atau r
yn U = n = R( nr + l +1) l r r (- )
(2.82)
Sehingga nilai persamaan gelombangnya dapat dicari dengan memisalkan a 0 = l ,
a1 = l + 1 Ay 0
(-)
( r , a0 ) = 0
(2.83)
ù (-) é h d + f ( r ) ú y 0 ( r , a0 ) = 0 ê ë 2 m dr û
(2.84)
xlii
m é h d 2 e 2 - h (l + 1) ù y ( - ) ( r , a ) = 0 + 0 ú 0 ê 2 m .r û ë 2m dr h (l + 1)
dy 0
(-)
( r , a0 )
( -)
y 0 ( r , a0 ) dy 0
(-)
dry 0
y0
( -)
=
( r , a0 )
(-)
( r , a0 )
(2.85)
æ m e2 ö 2m ç h (l + 1) 2 ÷ dr ç ÷ h ç 2m .r h (l + 1) ÷ è ø
(2.86)
æ m e2 ö 2m ç h (l + 1) 2 ÷ ç ÷ h ç 2m .r h (l + 1) ÷ è ø
(2.87)
=
æ mre 2 ö ÷ ( r , a 0 ) = exp çç (l + 1) ln r - 2 h (l + 1) ÷ø è
(2.88)
Atau
y0
( -)
( r , a 0 ) = Nn e
òr (
l +1 1 ) dx x l +1
= Nn e
n ln r -
= Nn r n e Maka y 0
( -)
-
(2.89)
r n
(2.90)
r n
(2.91)
( r , a 0 ) = Nn r n-1 e
-
r n r r= a0
(R nl =
y ) r
r
r = Nn ( ) n-1 e na0 ,Nn= konstanta normalisasi a0
(2.92)
Selanjutnya konstanta normalisasi diperoleh dari ¥ y 2 r 1= ò Rn ,l r 2 dr dengan menggunakan r = , Rn,l = n,l a0 r 0 ¥
1 = a0
3
ò
2
y n ,l dr
(2.93)
0
¥
3
1= a 0 N n
2
2n òr e
-
2r n
dr (untuk l = n-1)
0
=
(n 2 )1+ n (2n - 1)! 4n
(2.94)
xliii
2n
1
Jadi Nn =
(2.95)
n1+ n (2n - 1)!
3 2
(a0 ) 1 1 e n = - 2 ( a 2 mc 2 ) n 2 Sehinga y n untuk n r = 0 adalah
y0
( -)
y0
( -)
(2.96)
é r ù ( r , a 0 ) = Nn r ( l +1) exp- ê ú ë a0 (l + 1) û
(a0 )
é ù r r ( l + 2) exp- ê ú (2n - 1)! ë a0 (l + 2) û 2n
1
( r , a1 ) =
3 2
n
1+ n
(2.97)
(2.98)
Untuk harga h dan m dapat dieliminasi dengan mengganti nilai a 0 sehingga diperoleh 1
Mn =
(2.99)
1 en + 2 l
Dimana e n = -
y n -1 =
1 , maka Mn = n2
1
1 1 - 2 2 l n Untuk n r =1 ,
y1
(-)
y1
(-)
(
1 1 1 - 2 2 l n
d l 1 + - )y n r l dr
( r , a0 ) = A + y 0
( -)
(2.100)
( r , a1 )
é r ù ù ùé é h d ( r , a 0 ) = ê+ f ( r ) ú ê r ( l + 2) exp- ê ú ú 2 m dr ë ûë ë a0 (l + 2) û û (2.7101)
y1
(-)
m é h d 2 e2 ( r , a 0 ) = ê+ 2m dr h (l + 1) ë
é ùù h (l + 1) ù é l + 2 r r exp ê ê ú ú (2.102) ú 2 m .r û ë ë a 0 ( l + 2) û û
xliv
y1
(-)
( r , a0 ) =
1 1 1 - 2 2 (l + 1) n
(
d l +1 1 + )y 0 ( r , a1 ) r l +1 dr
(2.103)
Untuk nr = 2 ,
y2 y1
(-)
(-)
(-)
( r , a1 )
( -)
( r , a2 )
( r , a0 ) = A + y 1
( r , a1 ) = A + y 0
(2.104)
é ù ù é r h d = ê+ f ( r ) ú Nn r ( l +3) exp- ê ú 2 m dr ë û ë a0 (l + 3) û
y2
(-)
ùé é ù é h d h d ( r , a 0 ) = ê+ f ( r ) ú ê ê+ f ( r ) ú Nn r ( l +3) exp2 m dr 2 m dr ë ûë ë û
é ù ù r ê ú ú ë a0 (l + 3) û û
y2
(-)
(2.105)
(2.106)
m é h d 2 e2 ( r , a 0 ) = Nn ê+ 2m dr h (l + 1) ë m h (l + 1) ù é é h d 2 e2 + ú ê ê2 m .r û ë ë 2 m dr h ( l + 2 )
é ù ù r ê ú ú ë a0 (l + 3) û û = Nn
h ( l + 2) ù ( l + 3 ) expúr 2 m .r û
(2.107)
1
1
1 1 - 2 2 (l + 1) n
1 1 - 2 2 (l + 2) n
(
d l +1 + r dr
é ù ù r 1 é d l+2 1 )ê ( + ) r ( l +3) exp- ê ú ú l + 1 ë dr r l+2 ë a0 (l + 3) û û
(2.108)
a 0 jari-jari atom Bohr
nr = n - (l + 1) atau n = nr + l + 1 , n = bilangan kuantum utama
y n = A +y n -1
(2.109)
xlv
R( n +l +1) l =
yn , r=r r
xlvi
BAB III METODE PENELITIAN III.1. Lokasi dan Waktu Penelitian
Waktu penelitian selama 4 bulan dari bulan Februari sampai Mei 2009 dan penelitian dilakukan di Laboratorium Komputasi Universitas Sebelas Maret.
III.2. Alat dan Bahan Penelitian
Dalam simulasi ini menggunakan komputer dengan spesifikasi sebagai berikut: 1. Hardware a. Processor Intel Pentium IV-450 MHz memori 256 MB RAM b. Monitor dengan resolusi 800 x 600 x 60 2. Software a. opening System Windows XP b.
Delphi 7.0
c.
Maple 9.5
III.3. Perancangan Program
Pada dasarnya penelitian ini merupakan penelitian teoritis mengenai fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dalam mekanika kuantum dan perhitungan besaran gelombang yang ada. Fungsi gelombang arah radial atom hidrogen merupakan obyek utama dalam penelitian ini. Asumsi yang digunakan adalah suatu atom hidrogen mempunyai sebuah elektron yang berada disekitar inti dalam suatu gelombang yang dipresentasikan dengan persamaan Schrodinger.
xlvii
Dengan menggunakan metode polinomial Laguerre dan operator, maka fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dapat diturunkan. Dari hasil penurunan itu bisa dirumuskan probabilitas elektron atom hidrogen. Penyalesaian secara analitik
gelombang arah radial atom hidrogen
tersebut menghasilkan perhitungan yang cukup rumit untuk metode polinomial laguerre maupun operator pada kasus bilangan n- l yang semakin besar, sehingga perlu dibantu dengan program untuk mempermudah perhitungannya. Berdasarkan persamaan gelombang Schrodinger, disusun persamaan polinomial laguerre dan operator sebagai susunan langkah-langkah yang akan ditempuh oleh program komputer untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Program komputer ditulis dalam bahasa pemograman Delphi 7.0 dengan bantuan program Mapel untuk metode operator. Data penelitian didapatkan dengan melakukan running terhadap program atom hidrogen yang sudah dibuat. Data dipilih dengan memberikan input bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimuth ( l ) , dan jari-jari atom bohr (a). Kemudian masing-masing diamati pengaruhnya terhadap fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dan probabilitasnya. Data-data yang didapat dari hasil running program itu kemudian disajikan dan dianalisa dalam bentuk grafik. Program atom hidrogen akan menghitung besarnya gelombang dan probabilitas arah radial atom hidrogen. Langkah pertama dilakukan dengan memasukkan jari-jari atom bohr (a o ), bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimuth ( l ) untuk menghitung besarnya gelombang dan probabilitas elektron atom hidrogen. Program dilanjutkan dengan menghitung fungsi gelombang dan probabilitasnya yang disajikan dalam bentuk tabel dengan cara running. Kemudian dengan cara yang sama, data yang didapatkan akan ditampilkan dalam bentuk grafik. Metode perhitngan yang digunakan untuk menghitung fungsi gelombang arah radial atom hidrogen adalah : 1. Metode polinomial Laguerre Menghitung Rad(r) (fungsi gelombang radial atom hidrogen) dan Prob1 (probabilitasnya )
xlviii
R (r) =
2 2
n a0
3/ 2
l
æ 2r ö æ - r ö 2l +1 æ 2r çç ÷÷ expçç ÷÷ Ln -l -1 çç è na 0 ø è na 0 ø è na 0
(n - l - 1)! (n + l )!
æ 2 Prob1= r ç 2 3 / 2 çn a 0 è
(n - l - 1)! æ 2r ç (n + l )! çè na0
2
l
ö ÷÷ ø
ö æ - r ö 2l +1 æ 2r ÷÷ expçç ÷÷ Ln -l -1 çç ø è na 0 ø è na0
(3.1)
ö ö÷ ÷÷ ø ÷ø
2
(3.2) Keluaran R(r) dan prob1
2. Metode operator Menghitung Rad2(r) (fungsi gelombang radial atom hidrogen) dan Prob2 (probabilitasnya)
y
=
n ,l
Rad2(r) =
1
(
1 1 - 2 2 (l + 1) n
d l +1 1 + )y r l +1 dr
n ,l +1
y n ,l r
(3.3)
(3.4)
2 æ y n ,l
ö ÷÷ Prob2 = r çç r è ø
2
(3.5)
Persamaan diferensial (3.3) diselesaikan dengan bantuan Mapel a. Untuk n - l - 1 =1 y =(
d l +1 1 + ) dr r l +1
b. Untuk n- l - 1 = 2 y =( d + l + 1 - 1 dr
r
l +1
r ne -r / n
) (
d l+ 2 1 + ) dr r l+ 2
c. Untuk n- l -1 = 3 y= ( d + l + 1 - 1 ) ( d + l + 2 dr
r
l +1
(3.6)
dr
r
r ne -r / n
(3.7)
n -r / n 1 d l+3 1 (3.8) ) ( + ) r e l + 2 dr r l+3
Hasil yang diperoleh dari bantuan Mapel tersebut kemudian dimasukkan kedalam persamaan (3.3) sebagai berikut:
xlix
a. Untuk n - l - 1 =1
y
n ,l
=
1 1 1 - 2 2 (l + 1) n
y
(3.9)
b. Untuk n- l - 1 = 2
y
n ,l
=
1
1
1 1 - 2 2 (l + 1) n
1 1 - 2 2 (l + 2) n
c. Untuk n- l -1 = 3 1 y n ,l = 1 1 - 2 2 (l + 1) n
y
(3.10)
1
1
1 1 - 2 2 (l + 2) n
1 1 - 2 2 (l + 3) n
y
Keluaran Rad2(r) dan prob2
III.4. Prosedur Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
Kajian atom hidrogen
polinomial
Operator
Program
grafik fungsi gelombang dan probabilitas
analisa l
(3.11)
Gambar 3.1. Diagram alir penyelesaian fungsi gelombang dan rapat probabilitas elektron atom hidrogen
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN IV.1. Analisa perangkat lunak
Perangkat lunak pada penelitian ini dikerjakan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. Perangkat lunak ini merupakan alat bantu hitung yang dapat membantu mempercepat kinerja perhitungan dengan hasil yang lebih cepat dan akurat bila dibandingkan perhitunan secara manual. Perangkat lunak ini dapat digunakan dengan mudah tanpa harus mengetahui dan mempelajari rumus pehitungannya terlebih dahulu sehingga dapat digunakan oleh pihak-pihak yang memanfaatkan bentuk radial gelombang untuk mengetahui sifat dan perilaku atom hidrogen. Parameter yang dihitung meliputi besarnya gelombang dan rapat probabilitas radial atom hidrogen. Dengan memasukkan nilai bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum azimuth ( l ), dan jari-jari atom bohr (a 0 ) kedalam form yang telah tersedia dalam perangkat lunak, maka dengan mudah dan cepat dapat diperoleh data hasil yang diperlukan. Perangkat lunak ini secara keseluruhan menggunakan istilah-istilah bahasa pemograman Pascal. Secara singkat dapat dinyatakan bahwa Delphi merupakan perkembangan dan visualisasi dari Pascal. Tampilan program aplikasi yang dibuat dalam penelitian ini dapat dilihat sebagai berikut:
li
Gambar 4.1. tampilan program Pada tampilan utama form1 tampak tiga buah combobox dan komponen Tmenu pada bagian paling atas untuk menjalankan program. Didepan combobox dan pada komponen-komponen lainnya, terdapat tulisan-tulisan yang berguna untuk mempermudah penggunaan program aplikasi. Komponen combobox ini berfungsi untuk memasukkan parameter-parameter yang diperlukan untuk menghitung fungsi gelombang arah radial atom hidrogen. Kemudian dibawahnya terdapat 2 komponen TStringGrid yang masing-masing fungsinya menampilkan data-data fungsi gelombang yang diperoleh baik dengan metode polinomial laguerer (deret) maupun operator. Program ini terdiri dari 3 buah komponen form. Form pertama menampilkan tampilan utama program. Form kedua menampilkan data-data probabilitas atom hidrogen dengan metode deret dan operator . Sedangkan untuk form ketiga dan keempat, menampilkan grafik fungsi gelmbang dan probabilitas atom hidrogen.
IV.2. Analisa perhitungan gelombang atom hidrogen
Hasil perhitungan yang diperoleh pada penelitian ini adalah fungsi gelombang dan probabilitas arah radial atom hidrogen tersebut dapat digunakan untuk mengetahui perilaku dan sifat atomik suatu partikel. Fungsi gelombang arah radial atom hidrogen dalam pemrograman ini dicari dengan dua metode yaitu
lii
fungsi operator dan polinomial Laguerre. Pemahaman terhadap teori penting untuk dapat memperoleh persamaan yang akan dikomputasikan. Dibawah ini ditunjukkan Fungsi gelombang dalam keadaan 1s ( n = 1 dan l = 0) baik menurut literatur maupun hasil dari perhitungan program.
Gambar 4.2. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s (www.chem-is-try.org)
Gambar 4.3. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 1s
Gambar 4.4. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s (www.chem-is-try.org)
liii
Gambar 4.5. Fungsi Gelombang Radial atom hidrogen 2s
Fungsi gelombang untuk keadaan 1s dan 2s pada gambar 4.3 dan 4.5 menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan menggunakan deret dan fungsi operator adalah sama seperti literatur pada gambar 4.2 dan 4.4 diatas. Walaupun ada sedikit perbedaan, tetapi hal ini masih dianggap sama karena pada grafik hasil simulasi, r (jari-jari atom) hanya untuk bilangan bulat saja sehingga grafik yang ditampilkan terlihat agak runcing. Sedangkan untuk r untuk bilangan pecahan tidak dapat dioperasikan dalam program ini. Berdasarkan data tersebut dapat dilihat bahwa semakin banyak n maka koefisien dari r dalam eksponen akan mengecil dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati 0 lebih lambat. Bilangan kuantum utama n memiliki arti yang sangat penting yang mengklasifikasikan tingkat-tingkat energi. Dan juga mengkarakterisasi sifat dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron. Hal ini akan memberikan keadaan bahwa elektronelektron dalam sebuah atom akan bergerak keluar pada pembentukan kulit elektron yang disebut sebagai kulit K (n = 1), kulit L (n = 2), kulit M (n = 3), kulit N (n = 4), kulit O (n = 5), kulit P (n = 6) dan seterusnya. Kecenderungan ini berkaitan dengan radius orbital dalam model Bohr yang semakin membesar, dan berkaitan dengan meningkatnya n.
IV.3. Probabilitas Fungsi Gelombang atom hydrogen
liv
Kebergantungannya pada r dari probabilitas untuk menemukan sebuah elektron adalah sebanding dengan r2Rn,l2 ( kuadrat fungsi gelombang dan jari- jari atom). Karena kuadrat dari nilai absolut dari persamaan gelombang sebanding dengan kemungkinan untuk menemukan sebuah partikel maka bentuk dari Rn,l akan menentukan perilaku sebuah elektron dalam atom sebagai fungsi terhadap jarak r terhadap inti atom. Ini adalah sebuah hal yang sangat penting dalam berbagai fenomena kimia dan dalam kaitannya dengan perilaku elektron dalam atom-atom yang lain, bagian radial dari fungsi gelombang R (r) memiliki sifat matematika yang diberikan sebagai berikut: 3.
Dikarenakan adanya sebuah fungsi eksponensial, maka nilai fungsional akan mendekati nilai 0 secara asimtotik bersamaan dengan meningkatnya r ( bergerak ke arah luar dari niti atom, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan menghilang ).
4.
koefisien dari r dalam eksponen akan mengecil untuk bilangan kuantum utama n yang besar dan ini membuat nilai fungsi akan mendekati nol lebih lambat untuk n yang besar (probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan berkembang pada daerah jauh dari inti jika berpinda dari bilangan kuantum utama n=1, n=2, dan n=3 )
5.
terdapat n - l - 1 jarak ( bola ) dimana tidak ada elektron yang dapat ditemukan dengan nilai fungsi jarak yang nol. ( dalam kasus n - l >1, probabilitas untuk menemukan sebuah elektron menurun hingga daerah terluar dan memiliki sifat berosilasi )
Probabilitas akan menyangkut peluang dimana syarat probabiltas ada beberapa macam diantaranya bernilai tunggal, fungsi gelombangnya ternormalisasi. Dengan meningkatnya nilai r ( bergerak ke arah luar dari inti atom ) probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan menghilang. Pada daerah yang jauh dari inti jika berpindah dari bilangan kuantum utama (untuk r besar), probabilitas untuk menemukan sebuah elektron akan berkembang. Dibawah ini akan ditampilkan grafik probabilitasnya untuk menemukan elektron pada atom hidrogen.
lv
a
b
Gambar 4.6 probabilitas elektron untuk atom hidrogen (A.C.Philips, 2003)
Gambar 4.7. Probabilitas elektron untuk atom hydrogen dalam keadaan 3s
Gambar 4.8. Probabilitas elektron untuk atom hydrogen dalam keadaan 3p Grafik probabilitas elektron yang ditampilkan diatas dalam keadaan 3s maksudnya adalah angka 3 untuk bilangan kuantum utamanya (n=3) dan s untuk bilangan kuantum orbitalnya ( l =0) . Begitu pula pada keadaan 3p yang menunjukkan bahwa atom berada pada bilanga kuantum ketiga (n=3) dan bilangan kuantm orbital satu ( l =1). Probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan 3s pada gambar 4.7 menunjukkan bentuk yang sama antara fungsi operator dan polinomial laguerre dengan literatur pada gambar 4.6a.begitu juga untuk rapat probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan 3p pada gambar 4.8 juga sudah menunjukkan bentuk yang sama antara fungsi operator dan polinomial laguerre dengan literatur pada gambar 4.6b . Pada gambar 4.7 menunjukkan bahwa probabilitas terbesar untuk menemukan sebuah elektron berada pada jarak yang lebih besar ( jauh dari inti ) dibandingkan dengan gambar 4.8
lvi
Berdasarkan gambar dan hasil perhitungan program, maka dapat diketahui bahwa peluang terbesar untuk menemukan elektron semakin lambat (jaraknya semakin jauh dari inti) dan jumlah gelombang yang dihasilkan juga semakin banyak untuk nilai n- l yang semakin besar.
IV.4 Perbandingan keadaan lain untuk model kuantum dan Bohr
Keadaan mekanika kuantum mempunyai kemiripan yang banyak dengan model Bohr. Distribusi kerapatan peluang electron untuk keadaan 2p misalnya dalam perhitungannya menunjukkan bahwa jarak berpeluang terbesar untuk electron diukur dari inti ialah 4 r 0
tepat sama dengan jari - jari Bohr untuk
bilangan kuatum total yang sama. Jadi model Bohr meramalkan kedudukan berpeluang terbesar dari electron dalam salah satu keadaan yang mungkin dalam setiap tingkat energi. Dalam model Bohr, gerakan sebuah elektron yang tergabung dalam suatu kulit elektron tertentu dibatasi pada orbit melingkar yang sederhana. Dalam mekanika kuantum, gerakan elektron menjadi hal yang sangat kompleks dikarenakan bentuk dari fungsi gelombang bergantung tidak hanya oleh n akan tetapi juga pada l . l adalah juga bilangan kuantum yang menyatakan suatu keadaan atom dan fungsi-fungsi gelombangnya. bilangan kuantum orbital dan
Bilangan l disebut sebagai
berkaitan dengan arah dan membentuk fungsi
gelombang.
Gambar 4.9. Probabilitas atom hydrogen dalam keadaan 6p
lvii
Pada gambar
4.9. menunjukkan probabilitas dtemukanya elektron yang
mungkin terjadi pada keadaan 6p. Hal ini menunjukkan bahwa probabilitas pada keadaan n - l yang semakin besar, akan dihasilkan pucak gelombang yang semakin banyak pula. Secara fisis ini memiliki arti bahwa ketika puncak semakin banyak maka akan memiliki korespondensi dengan panjang gelombang seperti pada persamaan yang sering dikenal sebagai panjang gelombang de Broglie. Pada persamaan tersebut panjang gelombang memiliki hubungan terbalik dengan momentum. Panjang gelombang yang dihasilkan ketika puncak banyak adalah semakin kecil dan momentum yang dihasilkan oleh partikel adalah besar. Partikel atomik pada keadaan ini memiliki energi yang tinggi sehingga memungkinkan partikel untuk bergerak dari suatu tingkat energi ke tingkat energi yang lain. Berdasarkan prinsip atom bohr sudah dapat dijelaskan bahwa frekuensi antara klasik dan kuantum adalah sama.
Hasil yang sama antara klasik dan
kuantum menunjukkan bahwa terdapat keterkaitan antara klasik dan kuantum yang disebut prinsip korespondensi mekanika klasik dan kuantum.
lviii
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN V.1. Kesimpulan
1. Program sudah dapat menunjukkan grafik fungsi gelombang dan rapat probabilitas atom hidrogen sesuai literatur . 2. Grafik fungsi gelombang dan rapat probabilitas atom hidrogen dengan metode polinomial laguerre dan operator menunjukkan hasil yang sama. 3. Grafik fungsi gelombang dan rapat probabilitas dari atom hidrogen dengan menggunakan fungsi operator dibuat sampai n = 3. 4. Peluang terbesar untuk menemukan elektron semakin lambat
(jaraknya
semakin jauh dari inti) dan jumlah gelombang yang dihasilkan juga semakin banyak untuk nilai n- l yang semakin besar. 5. Program menunjukkan korespondensi antara model atom Bohr dan mekanika kuantum di lihat dari probabilitas fungsi gelombang.
V.2 Saran
1. Penyelesaian dengan menggunakan fungsi operator untuk kondisi n » (pada semua bilangan kuantum yang memungkinkan) perlu dicoba menggunakan perangkat lunak yang lain seperti matlab,mapel dll. Dan mencari algoritma pemrograman yang lebih sesuai. 2. Untuk selanjutnya program ini dapat dikembangkan untuk atom berelektron banyak
lix
LAMPIRAN 1 LISTING PROGRAM DALAM DELPHI 7.0 unit U_hydrgen; interface uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Menus, Grids; type TForm1 = class(TForm) ComboBox1: TComboBox; ComboBox2: TComboBox; ComboBox3: TComboBox; Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel; MainMenu1: TMainMenu; Program1: TMenuItem; TutupProgram1: TMenuItem; Perhitungan1: TMenuItem; FungsiGelombang1: TMenuItem; Probabilitas1: TMenuItem; Grafik1: TMenuItem; Fungsi1: TMenuItem; Probabilitas2: TMenuItem; StringGrid1: TStringGrid; StringGrid2: TStringGrid; Label4: TLabel; Label5: TLabel; procedure TutupProgram1Click(Sender: TObject); procedure FungsiGelombang1Click(Sender: TObject); procedure Probabilitas1Click(Sender: TObject); procedure Fungsi1Click(Sender: TObject); procedure Probabilitas2Click(Sender: TObject); procedure FormCreate(Sender: TObject); private { Private declarations } public { Public declarations } end; var
lx
Form1: TForm1; implementation uses U_Probabilitas, U_GFG, U_GPROB; {$R *.dfm} var aa,b,ce,d,en,c,z,fak :real48; e,f,sum,y,n,w,l,r,m,i,a,x,p,q,alph,ni: smallint; pi,em,mas :integer; sub :double; Leg :array[-50..50,-50..50]of real48; Rad,prob1,rad2,prob2 :array[-50..50]of real48; //rad = Fungsi Gelombang dicari dengan polinom Laguerre //rad2 = Fungsi Gelombang dicari dengan operator atom hydrogen //prob1 = Probabilitas Fungsi Gelombang dicari dengan polinom laguerre //prob2 = Probabilitas Fungsi Gelombang dicari dengan operator atom hydrogen procedure TForm1.TutupProgram1Click(Sender: TObject); begin application.Terminate; end; procedure TForm1.FungsiGelombang1Click(Sender: TObject); begin if combobox1.text=''then begin showmessage('maaf diisi dulu nilainya'); combobox1.setfocus(); exit; end; alph:=strtoint(combobox1.Text); n:=strtoint(combobox2.Text); l:=strtoint(combobox3.Text); q:=2*l+1; p:=n-l-1; x:=n+l; em:=2*n-1; e:=1+n; sub:=1; for pi:=0 to em do if pi=0 then sub:=1 else begin sub:=sub*pi;
lxi
end; if p<0 then begin showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat'); combobox1.SetFocus(); exit; end; for i:=0 to p do if i=0 then sum:=1 else begin sum:=sum*i; end; if x<0 then begin showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat'); combobox1.SetFocus(); exit; end; for a:=0 to x do if a=0 then y:=1 else begin y:=y*a; end; z:=sum/y; fak:=2*sqrt(z)/(exp((3/2)*ln(alph))*sqr(n)); for r:= 0 to 75 do for ni:=0 to p do begin if r=0 then if l=0 then c:=1 else c:=0 else c:=exp(l*ln(2*r/(n*alph))); if ni=0 then begin Leg[ni,q]:=1; Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak); stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(Rad[r]); end else if ni=1 then
lxii
begin Leg[ni,q]:=q+1-(2*r/n); Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak); stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(Rad[r]); end else Begin Leg[ni,q]:=((((2*ni)-1+q-(2*r/n))*Leg[ni-1,q])-((ni-1+q)*Leg[ni-2,q]))/ni; Rad[r]:=(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak); stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); stringgrid1.Cells[2*n,r]:=floattostr(Rad[r]); end; end; for r:=0 to 20 do begin if r=0 then if n-1=0 then ce:=1 else ce:=0 else ce:=exp((n-1)*ln(r)); aa:= exp(n*ln(2)); b:= exp(e*ln(n)); d:=exp(-r/n); eN:= aa/(b*sqrt(sub)); if n=2 then if l=0 then begin rad2[r]:=(1/sqrt(0.75))*eN*((3*exp(-1/2*r))-(3/2*r*(exp(-1/2*r)))); stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); stringgrid2.Cells[2,r]:=floattostr(rad2[r]); end else if l=1 then begin rad2[r]:= (eN*ce*d); stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); stringgrid2.Cells[3,r]:=floattostr(rad2[r]); end else else if n=3 then if l=1 then begin
lxiii
rad2[r]:=(6/sqrt(5))*eN*((5*r*exp(-1/3*r))-(5/6*r*r*(exp(-1/3*r)))); stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); stringgrid2.Cells[3,r]:=floattostr(rad2[r]); end else if l=0 then begin rad2[r]:= (9/sqrt(10))*eN* ((10*(exp(-1/3*r)))-((55/6)*r*exp(1/3*r))+((10/9)*r*r*exp(-1/3*r))+((5*exp(-1/3*r)-((5/6)*r*exp(-1/3*r))))); stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); stringgrid2.Cells[6,r]:=floattostr(rad2[r]); end else if l=2 then begin rad2[r]:= (eN*ce*d); end else else if n=1+l then rad2[r]:= (eN*ce*d); stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); stringgrid2.Cells[n+l,r]:=floattostr(rad2[r]); end; end; procedure TForm1.Probabilitas1Click(Sender: TObject); begin Form2:=TForm2.Create(self); Form2.Show; if combobox1.text=''then begin showmessage('maaf diisi dulu nilainya'); combobox1.setfocus(); exit; end; alph:=strtoint(combobox1.Text); n:=strtoint(combobox2.Text); l:=strtoint(combobox3.Text); q:=2*l+1; p:=n-l-1; x:=n+l; em:=2*n-1; e:=1+n; sub:=1;
lxiv
for pi:=0 to em do if pi=0 then sub:=1 else begin sub:=sub*pi; end; if p<0 then begin showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat'); combobox1.SetFocus(); exit; end; for i:=0 to p do if i=0 then sum:=1 else begin sum:=sum*i; end; if x<0 then begin showmessage('maaf nilai faktorial yang anda isikan tidak tepat'); combobox1.SetFocus(); exit; end; for a:=0 to x do if a=0 then y:=1 else begin y:=y*a; end; z:=sum/y; fak:=2*sqrt(z)/(exp((3/2)*ln(alph))*sqr(n)); for r:= 0 to 75 do for ni:=0 to p do if r=0 then prob1[r]:=0 else begin c:=exp(l*ln(2*r/(n*alph))); if ni=0 then begin Leg[ni,q]:=1; prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak)); form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); form2.stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob1[r]);
lxv
end else if ni=1 then begin Leg[ni,q]:=q+1-(2*r/n); prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak)); form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); form2.stringgrid1.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob1[r]); end else Begin Leg[ni,q]:=((((2*ni)-1+q-(2*r/n))*Leg[ni-1,q])-((ni-1+q)*Leg[ni-2,q]))/ni; prob1[r]:=sqr(r*(c*exp(-r/(n*alph))* Leg[ni,q]*fak)); form2.stringgrid1.Cells[0,r]:=floattostr(r); form2.stringgrid1.Cells[2*n,r]:=floattostr(prob1[r]); end; end; for r:=0 to 75 do if r=0 then prob2[r]:=0 else begin aa:= exp(n*ln(2)); b:= exp(e*ln(n)); ce:=exp(n*ln(r)); d:=exp(-r/n); eN:= aa/(b*sqrt(sub)); if n=2 then if l=0 then begin prob2[r]:=sqr(r*((1/r)*(1/sqrt(0.75))*eN*((3*r*exp(-1/2*r))-(3/2*r*r*(exp(1/2*r)))))); form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); form2.stringgrid2.Cells[2,r]:=floattostr(prob2[r]); end else if l=1 then begin prob2[r]:=sqr(r* (eN*ce*d*(1/r))); end else else if n=3 then if l=1 then begin
lxvi
prob2[r]:=sqr(r*((1/r)*(6/sqrt(5))*eN*((5*sqr(r)*exp(-1/3*r))-(5/6*r*r*r*(exp(1/3*r)))))); form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); form2.stringgrid2.Cells[5,r]:=floattostr(prob2[r]); end else if l=0 then begin prob2[r]:= sqr(r*((1/r)*(9/sqrt(10))*eN* ((10*r*(exp(-1/3*r)))-((55/6)*r*r*exp(1/3*r))+((10/9)*r*r*r*exp(-1/3*r))+((5*r*r*exp(-1/3*r)-((5/6)*r*r*r*exp(1/3*r)))/r)))); form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); form2.stringgrid2.Cells[6,r]:=floattostr(prob2[r]); end else if l=2 then begin prob2[r]:= sqr(r*(eN*ce*d*(1/r))); form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); form2.stringgrid2.Cells[4,r]:=floattostr(prob2[r]); end else else if n=1+l then prob2[r]:=sqr (r*(eN*ce*d*(1/r))); form2.stringgrid2.Cells[0,r]:=inttostr(r); form2.stringgrid2.Cells[n+l,r]:=floattostr(prob2[r]); end; end; procedure TForm1.Fungsi1Click(Sender: TObject); begin Form3:=Tform3.Create(self); form3.Show; for r:= 0 to 75 do begin form3.Series1.AddXY(r,rad[r],'',clblack); form3.Series12.AddXY(r,rad2[r],'',clblack); form3.Series13.AddXY(r,rad2[r],'',clblack); form3.series14.AddXY(r,rad[r],'',clblack); end; end; procedure TForm1.Probabilitas2Click(Sender: TObject); begin
lxvii
Form4:=Tform4.Create(self); form4.Show; for r:= 0 to 75 do begin form4.series2.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.Series3.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series4.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series5.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.Series6.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series7.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.Series8.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series9.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series10.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.series11.AddXY(r,prob1[r],'',clblack); form4.Series12.AddXY(r,prob2[r],'',clblack); form4.series13.AddXY(r,prob2[r],'',clblack); end; end; procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject); begin stringgrid1.Cells[0,0]:='(r,R[n.l])'; stringgrid1.Cells[1,0]:='R[1,0]'; stringgrid1.Cells[2,0]:='R[2,0]'; stringgrid1.Cells[3,0]:='R[2,1]'; stringgrid1.Cells[4,0]:='R[3,1]'; stringgrid1.Cells[5,0]:='R[3,2]'; stringgrid1.Cells[6,0]:='R[3,0]'; stringgrid1.Cells[7,0]:='R[4,3]'; stringgrid1.Cells[8,0]:='R[4,1]'; stringgrid1.Cells[9,0]:='R[4,2]'; stringgrid1.Cells[10,0]:='R[4,0]'; stringgrid1.Cells[11,0]:='R[10]'; stringgrid2.Cells[0,0]:='(r,R[n,l])'; stringgrid2.Cells[1,0]:='R[1,0]'; stringgrid2.Cells[2,0]:='R[2,0]'; stringgrid2.Cells[3,0]:='R[2,1]'; stringgrid2.Cells[4,0]:='R[3,1]'; stringgrid2.Cells[5,0]:='R[3,2]'; stringgrid2.Cells[6,0]:='R[3,0]'; stringgrid2.Cells[7,0]:='R[4,3]'; stringgrid2.Cells[8,0]:='R[4,1]'; stringgrid2.Cells[9,0]:='R[4,2]'; stringgrid2.Cells[10,0]:='R[4,0]'; stringgrid2.Cells[11,0]:='R[5,0]'; end; end.
lxviii
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, A., 1992, Konsep Fisika Modern Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta.
Dahmen, 1989, Quantum Mechanics On The Personal Computer, Physics Departement ,Siegen University.
Griffith, D. J., 1994: Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey.
Gribbin, John. 2003. Fisika Kuantum. Jakarta : Erlangga.
Hossein,P. and Reza, 2006. A Numerical Solution for Hydrogen Atoms Like. Journal of information technology. Volume 5:951-954.
Koichi Ohno, 2009, Bentuk-bentuk orbital atomik, diakses 14 September 2009. http://www.chem-is-try.org/situs kimia indonesia_.htm.
M. Enciso.A,J.Lopez.B,M.Sanchez.M, 2006. Radial Matrix elements for the Hydrogen
Atom.
Electronic
journal
of
theoretical
Physics.Vol.3.no.13.117-120.
Phillips, 2003, Introduction To Quantum Mechanics, Departement of Physics and Astronomy, University of Manchester.
Ratna,dkk, 2009, Elektron Dalam Atom, diakses 14 September 2009. http://www.chem-is-try.org/situs kimia indonesia_.htm.
lxix
Suparmi, 1992, Semiclassical Quantization Rules In Supersymetric Quantum Mechanics, College of Science and Mathematics, Departement of physics, Newyork.
Yuana, Rosihan, Ari, 2005, Pemrograman C++, FMIPA UNS, Surakarta.
Yossy. K, dan M.Nur, 2005, Studi Pemodelan Dinamika Proton Dalam Ikatan Hidrogen H20 Padatan Satu Dimensi. Jurnal Berkala Fisika. Volume.8, no.3: 107-117.
Wibowo, Toni. E. M., 2003, Pendekatan SWKB Untuk Penyelesaian Nilai Eigen, FMIPA UNS, Surakarta.
Yusron, dkk., 2007, Review Probabilitas Menemukan Elekton Dengan Fungsi Gelombang Simetri dan Anti Simetri Pada Molekul H +2 . Jurnal Berkala Fisika. Volume.10,No.1: 7-12.
lxx
lxxi
