SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN JARINGAN FUNGSI RADIAL BASIS PADA KOORDINAT POLAR Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:
[email protected],
[email protected] ABSTRAK Persamaan Poisson dalam koordinat polar atau lingkaran merupakan persamaan diferensial parsial linier orde dua tipe eliptis. Persamaan ini merupakan bentuk non homogen dari persamaan Laplace. Persamaan Poisson pada koordinat polar disini menggambarkan distribusi panas dalam ruang, yang dalam hal ini berbentuk lingkaran. Solusi numerik persamaan Poisson diperoleh dengan metode jaringan fungsi radial basis. Dengan metode ini, setiap fungsi dan turunannya dapat didekati secara langsung dengan sebuah fungsi basis. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis jenis multiquadrics. Solusi numerik menggunakan metode jaringan fungsi radial basis khususnya metode langsung yang diperoleh dari penelitian ini menunjukkan keakuratan yang tinggi dengan diperolehnya galat yang relatif kecil. Dengan galat mutlak maksimum terkecil yaitu 0,00088, dengan pemilihan ๐ โ๐ = 0,1 dan โ๐ = 45. Ini menunjukkan bahwa metode jaringan fungsi radial basis cukup efektif dalam mengaproksimasi persamaan Poisson dengan domain lingkaran. Kata kunci: Solusi Numerik, Persamaan Poisson, Jaringan Fungsi Radial Basis, Koordinat Polar. ABSTRACT Poisson equation on the polar coordinate is one of the second order partial differential equations of elliptic type. This equation is also a special case of Laplace equation and inhomogeneous version of Laplace equation. Poisson equation here describes heat conduction on the polar region. Here, we solve Poisson equation using radial basis function networks with multiquadrics as a basis function. Numerical experiments show that radial basis function network achieves great accuracy. The smallest maximum absolute errors is 0,00088 with ๐ โ๐ = 0,1 and โ๐ = 45. From this result, it can be concluded that radial basis function networks method is effective to approximate Poisson equation on the polar coordinate. Keywords: Numerical Solution, Poisson Equation, Radial Basis Function Networks, Polar Coordinate. PENDAHULUAN Persamaan Poisson merupakan persamaan diferensial parsial orde dua tipe eliptis yang implementasinya banyak digunakan dalam teknik elektro, teknik mesin, dan fisika teori. Dinamai dari nama belakang seorang matematikawan Perancis yang juga seorang ahli fisika dan geometri Simeฬ on Denis Poisson. Dalam fisika teori, persamaan Poisson menggambarkan distribusi panas dalam ruang. Salah satu metode numerik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial adalah jaringan fungsi radial basis (Radial Basis Function Networks). Dengan metode ini, setiap fungsi dan turunannya dapat didekati secara langsung dengan sebuah fungsi basis. Jaringan fungsi radial basis telah lama dikenal dalam bidang rekayasa dan teknik sebagai jaringan syaraf tiruan yang menggunakan fungsi basis sebagai fungsi pengaktif. Gagasan jaringan fungsi radial basis diperoleh dari teori aproksimasi fungsi. Mengaproksimasi suatu fungsi adalah menghampiri fungsi tersebut dengan fungsi lainnya.
Jaringan fungsi radial basis merupakan pemetaan dari suatu vektor input dengan p-dimensi ke vektor output yang hanya 1 dimensi. Secara aljabar disimbolkan dengan f:RpโR1. Fungsi f terdiri dari ๐ himpunan bobot {๐ค๐ }๐=1 dan himpunan fungsi basis ๐
{ฯ(๐ฅ๐ , ๐๐ )}
๐=1
basis
, dengan {๐ฅ๐ }๐๐=1 . Secara umum, fungsi
dapat
ditulis
dengan
ฯ(๐ฅ๐ , ๐๐ ) =
2
โ(๐ฅ๐ โ ๐๐ ) + ฮฑ2 , ฮฑ = var(๐ฅ). ๐ฅ๐ adalah vektor input dan ๐๐ adalah titik center dari ๐ฅ ke-๐ [3]. Koordinat Cartesius bukan merupakan satusatunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Karena bentuk geometris di alam tidak selalu berupa kotak-kotak atau persegi panjang, namun adakalanya berbentuk lingkaran. Sehingga sistem koordinat Cartesius menjadi terbatas penggunaannya. Cara lain ialah menggunakan sistem koordinat polar.
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri KAJIAN PUSTAKA
2. Sistem Koordinat Polar
1. Persamaan Poisson
Pada sistem koordinat polar, sepasang koordinat polar suatu titik ditulis dengan (๐, ๐). Sebagai ilustrasi sistem koordinat polar, kita mulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbu polar yang berpangkal pada sebuah titik pusat O. Titik ini disebut polar atau titik asal. Biasanya sumbu polar ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sistem koordinat Cartesius. Setiap titik P adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r adalah jari- jari ingkaran dan ฮธ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu polar. Maka yang dinamakan sepasang koordinat polar dari titik P dan ditulis dengan P (r, ฮธ) adalah (๐, ๐) [7].
Strauss [6] menyatakan bahwa jika sebuah persamaan difusi atau persamaan gelombang tidak bergantung pada waktu (๐ก), yaitu ๐ข๐ก = 0 dan ๐ข๐ก๐ก = 0, maka persamaan difusi dan persamaan gelombang tersebut menghasilkan persamaan Laplace. Persamaan Poisson merupakan bentuk non homogen dari persamaan Laplace. (1) โ2 ๐ข = ๐ Dengan ๐ adalah sebuah fungsi yang diberikan, maka disebut persamaan Poisson. Bentuk umum persamaan Poisson dalam dua dimensi dalam koordinat Cartesius yaitu: ๐๐ ๐(๐,๐) ๐๐๐
+
๐๐ ๐(๐,๐) ๐๐๐
= ๐(๐, ๐)
(2)
Pada domain ๐๐ < ๐ < ๐๐ , ๐๐ < ๐ < ๐๐ . Boyce dan DiPrima [1] menyatakan bahwa masalah kondisi batas untuk persamaan Poisson 2 dimensi (๐, ๐) dalam sistem koordinat Cartesius adalah: ๐(๐๐ , ๐) = ๐๐ (๐) ๐(๐๐ , ๐) = ๐๐ (๐) (3) ๐(๐, ๐๐ ) = ๐๐ (๐) ๐(๐, ๐๐ ) = ๐๐ (๐) Dengan ๐๐ (๐), ๐๐ (๐), ๐๐ (๐), ๐๐ (๐) adalah fungsifungsi yang menyatakan kondisi pada batas-batas tersebut. Persamaan Poisson pada sistem koordinat polar (๐, ๐ฝ), dengan ๐(๐, ๐ฝ) adalah: ๐๐ ๐(๐,๐ฝ) ๐๐๐
๐ ๐๐(๐,๐ฝ)
+๐
๐๐
๐ ๐๐ ๐(๐,๐ฝ)
+ ๐๐
๐๐ฝ๐
= ๐(๐, ๐ฝ)
(4)
Dengan domain ๐ < ๐ < ๐ dan ๐ โค ๐ฝ โค ๐. Masalah kondisi batas untuk persamaan Poisson yang domainnya berupa lingkaran (๐, ๐ฝ), kondisi batas harus berupa kondisi pada tepi dan pusat lingkaran yaitu: ๐(๐, ๐ฝ) = ๐(๐ฝ) (5) ๐(๐, ๐ฝ) = ๐(๐ฝ) Dengan ๐ adalah jari-jari lingkaran dan ๐ (๐) adalah fungsi yang menyatakan kondisi pada batas tersebut.
Gambar 2 Sistem Koordinat Polar
Purcell dan Varberg [7] menyatakan bahwa andaikan sumbu polar berimpit dengan sumbu x positif pada sistem koordinat Cartesius. Maka koordinat polar (r, ฮธ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (๐, ๐) titik itu dihubungkan oleh persamaan: ๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ (6) ๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ฝ (7 (8) ๐๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ฝ = ๐ (9) ๐ ๐ฝ = ๐๐๐ ๐ญ๐๐ง ๐
3. Jaringan Fungsi Radial Basis
Gambar 1 Kondisi Batas pada Koordinat Polar
46
Jaringan fungsi radial basis mulai dikenal pertama kali sejak D. S. Broomhead dan David Lowe menyampaikan makalahnya yang berjudul Radial basis functions, Multi-variable functional interpolation and adaptive networks pada tahun 1988 [2]. Jaringan fungsi radial basis merepresentasikan sebuah pemetaan dari vektor input dengan p-dimensi ke vektor output yang hanya 1-dimensi. Secara matematis jaringan fungsi radial basis ditulis dengan f:RpโR1 [5]. Fungsi f pada f:RpโR1 terdiri dari himpunan ๐ bobot {๐ค๐ }๐=1 dan himpunan fungsi basis
Volume 3 No. 4 Mei 2015
Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar {ฯ(๐๐ , ๐๐ )}๐๐=1 , dengan {๐๐ }๐๐=1 dan {๐๐ }๐๐=1 . Secara umum, fungsi basis dapat ditulis dengan
kaidah rantai (chain rule) diperoleh turunan pertama ๐ข(๐ฅ, ๐ฆ) persamaan (2) terhadap ๐ฅ dan ๐ฆ. ๐๐
2
ฯ(๐๐ , ๐๐ ) = โ(๐๐ โ ๐๐ ) + ฮฑ, ฮฑ = var(๐๐ ). ๐๐ adalah vektor input dan๐๐ adalah titik center dari ๐ ke-๐ [3]. Fungsi basis untuk 2 variabel (๐, ๐): ๐(๐๐ , ๐ฝ๐ , ๐๐ , ๐
๐ ) = (10) ๐ ๐ โ(๐๐ โ ๐๐ ) + (๐ฝ๐ โ ๐
๐ ) + ๐ var(๐๐ ) + var(๐๐ ) ฮฒ= 2 ๐๐ = vektor input ke-๐ ๐๐ = vektor input ke-๐ ๐๐ = titik center dari ๐ ke-๐ ๐๐ = titik center dari ๐ ke-๐ ฮฑ = nilai parameter width untuk 1 variabel ฮฒ = nilai parameter width untuk 2 variabel
๐๐ ๐๐ ๐๐
= =
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ฝ
(11)
๐๐ ๐๐ฝ
(12)
+ ๐๐ฝ ๐๐
+ ๐๐ฝ ๐๐
Kemudian turunan kedua ๐ข(๐ฅ, ๐ฆ) persamaan (2) terhadap ๐ฅ dan ๐ฆ diperoleh: ๐๐ ๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐
+ ๐๐ ๐๐ฝ๐
๐๐ ๐ ๐๐๐
=
๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
Metode yang digunakan dalam menyelesaikan secara numerik persamaan Poisson pada koordinat polar adalah menggunakan pendekatan studi literatur atau library research. Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: a) Mentransformasi persamaan Poisson beserta kondisi batasnya dari koordinat Cartesius ke koordinat polar. b) Menurunkan fungsi basis multiquadrics terhadap variabel-variabel bebasnya (๐, ๐ฝ) hingga turunan kedua. c) Mendiskritisasi persamaan Poisson pada koordinat polar menggunakan jaringan fungsi radial basis serta kondisi batasnya. d) Mensubstitukan nilai-nilai input (๐๐ , ๐๐ ) dan ๐(๐๐ , ๐๐ ) ke dalam persamaan Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi radial basis yang telah diperoleh. e) Menghitung nilai bobot ๐ค๐ . f) Menghitung solusi persamaan Poisson pada koordinat polar dengan mengalikan nilai bobot ๐ค๐ yang telah diperoleh dan fungsi basis multiquadrics yang tanpa diturunkan. g) Melakukan simulasi, menggambarkan grafik, serta menganalisis galat. h) Memberikan kesimpulan atas hasil penelitian yang telah diperoleh serta saran untuk penelitian selanjutnya. PEMBAHASAN
1. Transformasi Persamaan Poisson Transformasi persamaan Poisson dari koordinat Cartesius ke koordinat polar, dengan
CAUCHY โ ISSN: 2086-0382
(13)
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ
๐๐ ๐๐ ๐
(14)
๐๐ ๐๐
+ ๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐๐ + ๐๐ ๐๐ +
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐
โ
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ
Substitusi persamaan (13) dan (14) ke dalam persamaan (2): ๐๐ ๐(๐,๐) ๐๐๐
METODE PENELITIAN
๐๐ ๐๐
= ๐๐ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐๐ + ๐๐ ๐๐ +
+
๐๐ ๐(๐,๐) ๐๐๐
= ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ โ๐ ๐ + + + + ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ฝ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐ ๐๐ ๐๐ฝ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ +๐ ๐ + + โ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ฝ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐ ๐๐ ๐๐ฝ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐
+
๐๐ ๐๐
+
๐๐ ๐๐ฝ๐
+
๐๐ ๐๐๐
+
= ๐(๐, ๐ฝ) +
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ฝ๐
= ๐(๐, ๐ฝ) ๐ฅ2
๐ฆ 2 ๐ 2๐ข
๐ฆ2
๐ฅ 2 ๐๐ข
๐ฅ2
๐ฆ 2 ๐2๐ข
( ๐ 2 + ๐ 2 ) ๐๐ 2 + ( ๐ 3 + ๐ 3 ) ๐๐ + (๐ 4 + ๐ 4 ) ๐๐2 = ๐(๐, ๐) (
๐ฅ 2 +๐ฆ 2 ๐ 2 ๐ข ๐2
) ๐๐ 2 + (
๐ 2 ๐2๐ข
๐ฅ 2 +๐ฆ 2 ๐๐ข ๐3
๐ 2 ๐๐ข
) ๐๐ + (
1 ๐๐ข
๐4
๐ 2 ๐2๐ข
(๐ 2) ๐๐ 2 + (๐ 3) ๐๐ + (๐ 4) ๐๐2 ๐2๐ข
๐ฅ 2 +๐ฆ 2 ๐ 2 ๐ข
1
) ๐๐2 = ๐(๐, ๐) = ๐(๐, ๐)
๐2๐ข
+ (๐) ๐๐ + (๐ 2) ๐๐2 = ๐(๐, ๐) Sehingga, persamaan Poisson dalam koordinat polar diperoleh persamaan (4). Dengan domain 0 < ๐ < ๐ dan 0 โค ๐ โค ๐. Dan kondisi batas persamaan (5). ๐๐ 2
2. Solusi Numerik Persaaan Poisson Langkah pertama untuk menghitung solusi numerik persamaan Poisson (4) menggunakan jaringan fungsi radial basis adalah mendiskritisasi persamaan Poisson (4). Karena persamaan Poisson (4) melibatkan turunan kedua ๐(๐, ๐ฝ) terhadap ๐ dan ๐ฝ, maka untuk menghampiri fungsi ๐(๐, ๐ฝ) pada persamaan Poisson (4), fungsi basisnya diturunkan dua kali terhadap ๐ dan ๐ฝ. Karena menggunakan metode langsung, sehingga fungsi basisnya diturunkan terhadap variabel bebasnya. ๐ข๐ (๐, ๐), ๐ข๐๐ (๐, ๐), dan ๐ข๐๐ (๐, ๐) digunakan untuk menghampiri fungsi ๐ข(๐, ๐) pada persamaan Poisson (4). Fungsi basis yang digunakan adalah jenis multiquadrics.
47
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri ๐
(15)
๐ข(๐, ๐) = โ ๐ค๐ ฯ(๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) ๐=1 ๐
(16)
๐๐ (๐, ๐ฝ) = โ ๐๐ ๐๐ (๐, ๐ฝ, ๐๐ , ๐
๐ )
1 ๐๐ 2
2
(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ 2
2
((๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ) = ๐(๐๐ , ๐๐ )
3 2
]
๐=๐ ๐
(17)
๐๐๐ (๐, ๐ฝ) = โ ๐๐ ๐๐๐ (๐, ๐ฝ, ๐๐ , ๐
๐ ) ๐=๐ ๐
(18)
๐๐ฝ (๐, ๐ฝ) = โ ๐๐ ๐๐ฝ (๐, ๐ฝ, ๐๐ , ๐
๐ ) ๐=๐ ๐
(19)
๐๐ฝ๐ฝ (๐, ๐ฝ) = โ ๐๐ ๐๐ฝ๐ฝ (๐, ๐ฝ, ๐๐ , ๐
๐ ) ๐=๐
Dengan ฯ(๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) diketahui pada persamaan (10), maka ฯ๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ), ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ), ฯ๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) dan ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) diperoleh: ฯ๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) =
๐โ๐๐
2
(20)
(๐โ๐๐ ) +๐ฝ
(21)
2
โ(๐โ๐๐ ) +(๐โ๐๐ ) +๐ฝ 2
ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) = ฯ๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) =
2
2
(23)
2
(๐โ๐๐ ) +๐ฝ 2
((๐โ๐๐ ) +(๐โ๐๐ ) +๐ฝ)
3 2
๐๐ 2 ๐
1 ๐๐ข(๐,๐)
+๐
๐๐
1 ๐ 2 ๐ข(๐,๐)
+ ๐2
๐๐2 ๐
= ๐(๐, ๐)
1 โ ๐ค๐ ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) + โ ๐ค๐ ฯ๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) ๐ ๐=1
๐=1
๐
1 + 2 โ ๐ค๐ ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) = ๐(๐, ๐) ๐ ๐=1
๐
โ ๐ค๐ [ฯ๐๐ (๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ) + ๐=1
+
1 ๐๐ 2
1 ฯ (๐ , ๐ , ๐ , ๐ ) ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
48
2
๐
(๐๐โ๐๐ ) +๐ท ๐
๐
๐ ๐
((๐๐โ๐๐ ) +(๐ฝ๐โ๐
๐ ) +๐ท)
Maka persamaan (24) menjadi: ๐
๐=1
Sehingga, nilai bobot ๐ค๐ dapat diperoleh dengan perhitungan: โ1 (25) ๐ค๐ = ๐ด(๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ) ๐(๐๐ , ๐๐ ) Dengan mensubstitusi nilai-nilai input (๐๐ , ๐๐ ) ke persamaan (25) dan ๐ (๐๐ , ๐๐ ) yang didefinisikan dari persamaan Poisson pada koordinat polar yang diaproksimasi, dapat dihitung nilai bobot ๐ค๐ . Langkah selanjutnya yaitu menghitung solusi numerik persamaan Poisson dengan cara mengalikan nilai bobot ๐ค๐ dengan fungsi basis multiquadrics 2 variabel yang tanpa diturunkan. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis pada persamaan (10). Sehingga, solusi numerik persamaan Poisson (4) adalah: ๐ขฬ(๐๐ , ๐๐ ) = โ ๐ค๐ ฯ(๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ )
Dengan mensubstitusi persamaan (20), (21), (23) maka diperoleh persamaan Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi radial basis yaitu persamaan (24). ๐ 2 (๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ โ ๐ค๐ [ 3 2 2 2 ๐=1 ((๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ) 1 ๐๐
+
๐
ฯ๐๐ (๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ )] = ๐(๐๐ , ๐๐ )
+ ๐๐ โ ๐๐
+
โ ๐ค๐ ๐ด(๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ) = ๐(๐๐ , ๐๐ )
Untuk mengaproksimasi persamaan Poisson dalam koordinat polar menggunakan jaringan fungsi radial basis digunakan persamaan Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi radial basis. Dengan substitusi persamaan (16), (17), dan (18) ke dalam persamaan (4), maka: ๐ 2 ๐ข(๐,๐)
๐๐ ๐
๐ ๐
๐
๐๐ โ ๐ ๐ (๐๐โ๐๐ ) +(๐ฝ๐โ๐
๐ ) +๐ท
(22)
2
2
๐
๐
((๐๐โ๐๐ ) +(๐ฝ๐โ๐
๐ ) +๐ท) ๐๐โ๐๐
๐
โ(๐โ๐๐ ) +(๐โ๐๐ ) +๐ฝ
ฯ๐๐ (๐, ๐, ๐๐ , ๐๐ ) =
๐
(๐ฝ๐โ๐
๐ ) +๐ท
๐จ(๐๐ , ๐ฝ๐ , ๐๐ , ๐
๐ ) =
3 2
((๐โ๐๐ ) +(๐โ๐๐ ) +๐ฝ) ๐โ๐๐ 2
Pada domain 0 < ๐ < ๐ dan 0 โค ๐ โค ๐. Dengan kondisi batas pada persamaan (5). Dimana ๐ = ๐ฃ๐๐(๐๐)+๐ฃ๐๐(๐๐) 1,2, โฆ , ๐ dan ๐ฝ = . 2 Langkah selanjutnya yaitu menghitung niai bobot ๐ค๐ . Persamaan (24) akan digunakan untuk menghitung nilai bobot ๐ค๐ . Misal
(24)
(26)
๐=1
Perhitungan galat ๐๐ diperoleh dengan: ๐1 ๐ข(๐1 , ๐1 ) ๐ขฬ(๐1 , ๐1 ) ๐2 ๐ข(๐2 , ๐2 ) ๐ขฬ(๐2 , ๐2 ) [โฎ]=| | โ โฎ โฎ ๐๐ ๐ข(๐๐ , ๐๐ ) ๐ขฬ(๐๐ , ๐๐ )
(27)
Besarnya galat menunjukkan seberapa dekat solusi eksak dengan solusi numeriknya.
+ 2
โ(๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ
Volume 3 No. 4 Mei 2015
Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar
3. Simulasi Untuk lebih memahami cara kerja metode jaringan fungsi radial basis, akan ditunjukkan simulasi solusi numerik persamaan Poisson pada koordinat polar. Persamaan Poisson pada koordinat polar yang akan diselesaikan adalah: ๐๐ ๐(๐,๐ฝ)
๐ ๐๐ ๐(๐,๐ฝ)
๐ ๐๐(๐,๐ฝ)
+ + ๐ = ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ฝ๐ (28) โ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ, ๐ < ๐ < ๐ dan ๐ โค ๐ฝ โค ๐๐
Dengan kondisi batas ๐ข(1, ๐) = 0 (29) ๐ข(0, ๐) = 0 Domain pada persamaan (28) kemudian dipartisi menjadi beberapa data diskrit, dengan โ๐ = 0,05 dan ๐ โ๐ = 12. Langkah pertama untuk menghitung solusi numerik persamaan Poisson (28) dengan kondisi batas (29) menggunakan jaringan fungsi radial basis adalah diskritisasi domain. Domain persamaan Poisson kemudian dipartisi dengan โ๐ = 0,05 dan ๐ โ๐ = . ๐๐ tersebut masih dalam satuan derajat (ยฐ), 12 sehingga dirubah terlebih dahulu ke dalam satuan radian supaya dapat dioperasikan dengan ๐๐ . Setelah memperoleh ๐๐ dan ๐๐ yang telah sama penyebutnya, maka domain pada persamaan Poisson dapat digambarkan dengan gambar 3 berikut: ๐๐๐
(30) sama dengan 0 atau ๐ (0, ๐๐ ) = 0 dan ๐(1, ๐๐ ) = 0. Langkah selanjutnya, yaitu menghitung nilai bobot ๐ค๐ . Nilai bobot ๐ค๐ dihitung dengan persamaan (25): โ1 ๐ค๐ = ๐ด(๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ) ๐(๐๐ , ๐๐ ) Dengan ๐ = 1,2, โฏ , 525 dan ๐ = 1,2, โฏ , 525. Himpunan fungsi basis ๐ด(๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ) yang berbentuk matriks 525ร525 dan himpunan ๐ (๐๐ , ๐๐ ) yang berbentuk matriks 525ร1 diperoleh dengan mensubstitusikan nilai-nilai input ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ ke dalam persamaan (25). Kemudian diperoleh nilainilai bobot ๐ค๐ yang berbentuk matriks 525ร1. Solusi numerik persamaan Poisson (28) dapat dihitung dengan persamaan (31) berikut: ๐๐๐
ฬ (๐๐ , ๐ฝ๐ ) = โ ๐๐ ๐(๐๐ , ๐ฝ๐ , ๐๐ , ๐
๐ ) ๐
(31)
๐=๐
Hasil simulasi solusi numerik persamaan (28) dengan kondisi batas (29) kemudian diperoleh ๐ขฬ(๐๐ , ๐๐ ) seperti dalam gambar 4 berikut:
Gambar 4 Solusi Numerik Persamaan Poisson ๐ dengan dengan โ๐ = 0,05 dan โ๐ = 12
Gambar 3 Diskritisasi Domain Persamaan Poisson
Setelah membagi domain menjadi beberapa titik diskrit, kemudian persamaan Poisson (28) akan dirubah menjadi persamaan jaringan fungsi radial basis, yaitu pada persamaan (30): 525
2
โ ๐ค๐ ๐=1
1 + ๐๐
(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ 2
2
[((๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ) ๐๐ โ ๐๐ 2
2
(30)
โ(๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ
1 + 2 ๐๐
3 2
2
(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ 2
2
3 2
((๐๐ โ ๐๐ ) +(๐๐ โ ๐๐ ) + ๐ฝ) ] = โ3 cos ๐๐ Dengan kondisi batas pada persamaan (29) yaitu ๐ข(1, ๐) = 0 dan ๐ข(0, ๐) = 0. Artinya, ketika ๐๐ = 0,00 dan ๐๐ = 1,00 maka ruas kanan pada persamaan CAUCHY โ ISSN: 2086-0382
Simulasi solusi numerik persamaan Poisson tersebut dilakukan dengan program Matlab 2008R. Persamaan Poisson pada koordinat polar (๐, ๐), domainnya berbentuk lingkaran. Persamaan ini menggambarkan distribusi panas atau penyebaran panas dalam suatu ruang dengan keadaan steady state atau tetap. Panas dalam suatu ruang yang berbentuk lingkaran menyebar tanpa ada pengaruh waktu, atau dapat dikatakan waktu=konstan. Gambar 4 mendeskripsikan bahwa panas menyebar pada seluruh ruang/ domain yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1. Kondisi pada batas persamaan ini adalah untuk ๐ข(1, ๐) = 0 dan untuk ๐ข(0, ๐) = 0. Artinya, pada saat ๐๐ = 1 dan ๐๐ = 0, suhu/ panas ruang adalah sebesar 1 satuan panas. Gambar 4 juga menjelaskan bahwa panas menyebar dari ๐ = 0 ke ๐ = 1. Dan pada saat tertentu, panas dalam keadaan meningkat/ suhu naik yaitu pada saat ๐ = 0,3 sampai ๐ = 0,7. Dari gambar tersebut terlihat bahwa suhu tertinggi ketika grafik berwarna coklat tua yaitu pada ๐ = 0,3. Suhu terendah terlihat ketika grafik berwarna biru tua yaitu ๐ = โ0,3 sampai ๐ = โ0,7. Dengan kondisi batas yang diketahui adalah ๐ข(1, ๐) = 0 dan ๐ข(0, ๐) = 0, 49
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri artinya suhu di pusat lingkaran/ pusat ruang sama dengan suhu di batas/ tepi ruang yang pada kasus ini berbentuk lingkaran. Perhitungan galat dilakukan untuk mengetahui seberapa dekat solusi analitik atau solusi eksak dengan solusi numeriknya. Galat diperoleh dari selisih antara solusi eksak dan solusi numeriknya. Solusi eksak dari persamaan Poisson pada koordinat ๐ 2 ๐ข(๐,๐)
1 ๐๐ข(๐,๐)
1 ๐ 2 ๐ข(๐,๐)
polar + ๐ ๐๐ + ๐ 2 ๐๐2 = โ3 cos ๐ ๐๐ 2 dengan domain 0 < ๐ < 1 dan 0 โค ๐ โค 2๐ pada kondisi batas ๐ข(1, ๐) = 0 dan ๐ข(0, ๐) = 0 tersebut diketahui dalam artikel yang ditulis oleh R. C. Mittal dan S. Gahlaut [4]: ๐ข(๐, ๐) = ๐(1 โ ๐) cos ๐ = (๐ โ ๐ 2 ) โ cos ๐ = (๐ cos ๐ โ ๐ 2 cos ๐ ) ๐ข(๐, ๐) = ๐ cos ๐ โ ๐ 2 cos ๐ (32) Solusi eksak persamaan Poisson (28) dengan kondisi batas (29) dapat dilihat pada gambar 5 berikut:
Galat mutlak maksimum diketahui dari program matlab yaitu 0,0012. Menganalisis galat metode jaringan fungsi radial basis pada solusi numerik persamaan Poisson pada domain lingkaran (28) dilakukan beberapa simulasi lagi dengan memperbesar dan memperkecil โ๐ serta โ๐. Simulasi kedua dilakukan dengan memperbesar โ๐ dan โ๐. Solusi numerik persamaan Poisson (28) dengan kondisi batas (29) untuk โ๐ = ๐ 0,1 dan โ๐ = 6 dilakukan dengan program Matlab. Gambar solusi numerik, solusi eksak, dan galatnya dapat dilihat pada gambar 7, 8, dan 9 berikut:
Gambar 7 Solusi Numerik Persamaan Poisson Persamaan Poisson dengan dengan โ๐ = 0,1 ๐ dan โ๐ = 6
Gambar 5 Solusi Eksak Persamaan Poisson Persamaan ๐ Poisson dengan dengan โ๐ = 0,05 dan โ๐ = 12
Galat solusi numerik persamaan Poisson (3.37) menggunakan metode jaringan fungsi radial basis dihitung dari persamaan (3.43) berikut: ๐บ๐ ๐(๐๐ , ๐ฝ๐ ) ๐บ๐ ๐(๐๐ , ๐ฝ๐ ) [ โฎ ]=| โฎ ๐บ๐๐๐ ๐(๐๐๐๐ , ๐ฝ๐๐๐ ) (3.43) ฬ (๐๐ , ๐ฝ๐ ) ๐ ฬ (๐๐ , ๐ฝ๐ ) ๐ | โ โฎ ฬ (๐๐๐๐ , ๐ฝ๐๐๐ ) ๐ Dan hasil perhitungannya dapat dilihat pada gambar 6 berikut:
Gambar 8 Solusi Eksak Persamaan Poisson Persamaan Poisson dengan dengan โ๐ = 0,1 ๐ dan โ๐ = 6
Gambar 9 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika โ๐ = ๐ 0,1 dan โ๐ = 6
Gambar 6 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika ๐ โ๐ = 0,05 dan โ๐ = 12
50
Galat mutlak maksimum diketahui dari program matlab yaitu 0,0219. Simulasi ketiga dilakukan dengan memperkecil โ๐. Solusi numerik persamaan Poisson
Volume 3 No. 4 Mei 2015
Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar
(28) dengan kondisi batas (29) untuk โ๐ = 0,05 dan ๐ โ๐ = 45 dilakukan dengan program Matlab. Gambar solusi numerik, solusi eksak, dan galatnya dapat dilihat pada gambar 10, 11, dan12 berikut:
Gambar 10 Solusi Numerik Persamaan Poisson dengan ๐ โ๐ = 0,1 dan โ๐ = 45
Galat mutlak maksimum diketahui dari program matlab yaitu 0,00088. Kemudian dilakukan beberapa simulasi lagi untuk mengetahui hasil galat yang diperoleh. Dengan pemilihan โ๐ = 0,1 dan โ๐ yang berbeda-beda, diperoleh hasil trial error dari beberapa simulasi yang telah dilakukan pada gambar 13 diatas. Hasil-hasil trial error tersebut, menunjukkan bahwa besarnya galat mutlak maksimum belum tentu dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. Semakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan โ๐ dan โ๐ yang kecil, belum tentu menghasilkan galat mutlak maksimum yang kecil. Begitu pula sebaliknya. Namun dari simulasi yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa metode jaringan fungsi radial basis cukup efektif dalam mengaproksimasi persamaan Poisson pada koordinat polar (28) dengan kondisi batas (29) dengan galat mutlak maksimum terkecil yang diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan โ๐ = 0,1 dan ๐ โ๐ = . 45
KESIMPULAN
Gambar 11 Solusi Eksak Persamaan Poisson dengan โ๐ = ๐ 0,1 dan โ๐ = 45
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: Solusi numerik persamaan Poisson pada koordinat polar yang diperoleh dalam penelitian ini menunjukkan hasil yang cukup dekat dengan solusi eksaknya galat mutlak maksimum terkecil yang diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan โ๐ = 0,1 dan ๐ โ๐ = 45. Besarnya galat mutlak maksimum belum tentu dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. Semakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan โ๐ dan โ๐ yang kecil, belum tentu menghasilkan galat mutlak maksimum yang kecil. Begitu pula sebaliknya. REFERENSI [1]
W.E. Boyce, R.C. DiPrima, C.W. Haines, Elementary differential equations and boundary value problems, Wiley New York, 1992.
[2]
D.S. Broomhead, D. Lowe, Radial basis functions, multi-variable functional interpolation and adaptive networks, DTIC Document, 1988.
[3]
N. Mai-Duy, T. Tran-Cong, Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks, Appl. Math. Model. 27 (2003) 197โ220.
Gambar 12 Galat Metode Jaringan Fungsi Radial Basis ๐ ketika โ๐ = 0,1 dan โ๐ = 45
Gambar 13 Trial Error untuk โ๐ = 0,1
CAUCHY โ ISSN: 2086-0382
51
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri [4]
R.C. MITTAL, S. GaHLAUT, A BOUNDARY INTEGRAL FORMULATION FOR POISSONโS EQUATION IN POLAR COORDINATES, Indian J. Pure Appi. Math. 18 (1987) 965โ972.
[5]
V. Olej, P. Hajek, Municipal creditworthiness modelling by radial basis function neural networks and sensitive analysis of their input parameters, in: Artif. Neural Networksโ ICANN 2009, Springer, 2009: pp. 505โ 514.
[6]
W.A. Strauss, Partial differential equations: An introduction, New York. (1992).
[7]
D. Varberg, E.J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Jakarta Erlangga..(1999). Kalkulus Dan Geom. Anal. Jilid. 1 (1994).
52
Volume 3 No. 4 Mei 2015