MEMBAYANGKAN ELEKTRON DALAM ATOM HIDROGEN SEBAGAI GELOMBANG Liek Wilardjo *)
Abstrak Aras-uras tenaga atom hidrogen diturunkan dengan sebagai gelombang yang teryerungkap di dalam sumur potensial, dan membentak pola gelombang tegak di antara sumba sumur itu dan dinding di depannya.
menganggap elektron dalam atom
ilu
Ksta Kunci / Key-words : (I) (quantization)
;
pencatuan
(2) pola gelombang-tegak (stonding-wave
pattern); (3) rapat kementskan (probability density); (4) penyinar-abaran (Bremstrahlung); (5) sumur potensiol (potential well)
I.
PENDAHULUAN
I.1. Teori Bohr dan Fungsi Gelombang
Schriidinger (Deskripsi
Kualitatif) Dalam teori Bohr, elektron dalam atom hidrogen dianggap mengedari inti atom itu, yakni proton, dalam edaran berbentuk lingkaran, dengan inti itu sebagai pusatnya. Ptuji (radius) edaran itu tercatu (quantized) sesuai dengan tenaga elektron tersebut. Ini adalah akibat pencatuan (kuantisasi) pusa-sudut edaran (orbital angular momentum), seperti dipostulatkan oleh N. Bohr.
Karena bilangan kuantum dalam pencatuan pusa sudut itu juga merupakan satu-satunya yarlg muncul dalam ungkapan tenaga yang tercatu, maka bilangan kuantum ini adalah bilangan kuantum utama, L yang nilainya yang terkecil ialah 1. Bilangan kuantum n : I ini memberikan tenaga dasar sebesar - 13,58 eV (Caro,1961, p.87) dan pusa-sudut edaran sebesar 1,05 x 1o-34 -rs.
*) Guru Besar pada Universitas Satya Wacana, Salatiga
92
Vol.lV No.6/ FEBRUARI2001
: -
13,58 eV iri cocok dengan data empiris (misalnya dati Tenaga dasar Er spektroskopi) dan teori yang lebih rnaju (misatnya Mekanika Gelombang ScnrOainger;, tetapi teori yang lebih maju itu tidak menafikan nilai nol untuk pusa-sudut edaran.
Dalam teori Schrodinger, fungsi gelombang yang mengungkapkan keadaan (elektron dalam) atom hidrogen itu terdiri atas komponen edar (orbital) dan komponen spin. Harus ada koefisien penormalannya, sebab kuadrat'modulus amplitudo fungsi gelombang ini ditafsirkan (a.1. oleh M' Born dan oleh E. Schrddinger) sebagai rapat kementakan (probability density) untuk menemukan atom H itu dalam keadaan yang diungkapkan oleh fungsi gelombang tersebut, di titik dalam ruang (dan di saat dalam waktu) yang foordinat-koordinatnya merupakan peubah-peubah fungsi tersebut' Terlepas dari koefisien penormalan itu, komponen ruang itu berupa perkalian aatata fungsi meruji (radiat) dan firngsi menyudut (angular). Fungsi radialnya beripa fungsi Lagueire, sedang fungsi angularnya berupa larasan bola (sphirical iarmontcl. Larasan bola itu merupakan perkalian suku-banyak iigend.e iring (assoc iated Legendre polynomials) dengan fungsi sinusoida, *u-ring-*using dengan sudut kuntang*) 0, atattepatnya lz = cos 0, dan sudut azimtrt g sebagu peubahnYa. Indeksiparameter L dalanr polinomium Legendre iring .1lQo1 Q ialah bilangan iuantum (pusa-sudut) edar, yang nilai teriziwrya ialah 0, 1,2, (n - r).
memberikan pusa-sudut edar L=n"[@-+!L (Merzbacher, : 7g63,p.190) Jadi Lbisa bernilai 0, yakni bila [. 0, yang keadaannya disebut keadaan s. Baik teori Schrtidinger, maupun data empiris, tidak melarang adanyakeadaan s ini. Dari sini saja sudah tampak bahwa teori Schrddinger lebih maju daripada teori Bohr.
Ini
Tetapi gambaran Schrddinger ini sulit dibayangkan, sebab terlalu matematis. usaha untuk memvisualisasikan hakikat gelombang elektron atom *)
H
denganmengganti pencatuan
"kuntang"
=
L:
ntt dengan mensyaratkan
penyiku lintang (coJatitude)
Vol.lV No.6/ FEBRUARI
2001
93
bahwa keliling edaran elektron itu harus merupakan kelipatan dari riakgelombang 7 fMarch, 1970, p.2ll], rnemang memberikan hasil yang sama untuk tenaga Er. Namun ini sukar dipahami, dan mungkin bahkan keliru. Bagaimana mungkin te{adi pola gelombang tegak sekeliling sebuah lingkaran, atau gelombang merambat yang jumlahnya pas di sekeliling lingkaran, sehingga tidak te{adi interferensi destruktifl
II.
Pola gelombang Tegak
Karena kesulitan di atas, akan dicoba membayangkan gelonlbang itu terpantul bolak-balik antara dinding sebuah sumur potensial dan sumbu sumur itu, sehingga membentuk pola gelombang tegak. Pemantulan oleh dinding di titik yang lalu menjadi simpul (anti-node) gelombang tegak itu mudah dipahami, sebab ada analoginya dalam skala makroskopik. Tetapi bagaimana dengan pemantulan di titik pada sumbu sumur potensial itu ? Potensial itu adalah potensial Coulomb yang memberikan kakas tarik (attractive force). Jadi seharusnya tak ada halangan bagi elektron itu untuk membentur inti atom itu, yang berupa proton, sehingga muatan elektron proton dan itu saling menetralkan, dan "hilang" (berubah)lah keberadaan atom Kesimpulan yang sama juga diperoleh dari penyinar-abaran (Bremstrahlung) dari elektron yang beredar melingkar dan karenanya terusmenerus mengalami percepatan memusat (sentripetal) Tetapi kenyataannya, "runtuh" (collapse) - nya atom itu tak terjadi. Atom itu, seperti juga atom-atom lainnya, cukup mantap!
H
itu.
itu.
H
Ini disebabkan oleh adanya kakas nuklir, yang berjangkau sangat pendek, dan dekat dengan inti atom itu (kurang dari 1 fm) bersifat menolak (repulsive) dengan sangat kuatnya [Roy, 1967,p.343]. Jadi, cukup masuk akal kalau sumbu sumur potensial itu berperan sebagai pemantul, sehingga pola gelombang tegak yang terjadi berakhir pada suatu simpul di sebuah titik pada sumbu tersebut. Maka bentuk sumur potensial itu perlu dimodifikasi. Sedianya, grafik vs ruji atom r berbentuk hiperbola tegak (Gambar 1), sebab z
potensial v (r)
:
e2/4oror
94
Vol.lv No.6/ FEBRUARI 2001
Potensial bentuk hiperbola
Sumur potensial yang sesuai dengan (1) ialah hiperboloida yang terbentuk bila hiperbola itu diputar sekeliling sumbu V. Jadi, sumur itu menyempit ke bawah dan tak berdasar (saking dalamnya), dan mulutnya (pada V - 0) ananta lebar (infinitely wide).
Gambaran ini tidak realistik. Kalau sumbu itu menyempit ke satu titik (karena hiperbola tersebut secara asimtotik menghampiri sumbu V-negatif), tentulah ada nilai-nilai tenaga yang lebih rendah dari 13,58 eV. Kalau mulut sumur potensial itu ananta-lebar, ukuran atom H itu bisa teramat sangat besar (r -+ oo). Kenyataanr)yaruji atom itu kira-kira hanya 0,55 A. [Merzbacher,
-
ibid,p.l9l) Akan lebih realistik kalau bentuk snmnr potensial itu seperti gatrrbar 2, misalnya. Dalam gambar 2, Pola gelornbang tegak 1,2, 3 terjadi Pada aras tenaga yang makin tinggi bersesuaian dengan frekuensi yang lebih tinggi. Karena secara kuantum tenaga yang lebih tinggi bersesuaian dengan frekuensi yang lebih tinggi
pula, maka makin tinggi
aras
tenaganya,
riak
makin Pendek
gelombangnya. Potensial bentuk sumur
Jarak antara sumbu dan dinding sumur itu makin lebar sedemikian rupa, sehingga pada aras tenaga dasar lebarnya pas separuh riak-gelomb*g, lalu pada aras tenaga teralan (energi eksitasi) pertama (garis 2), kedua (garis 3) dst. lebarnya tepat 2,3, dst. kali separuh riak-gelombang.
Vol.lV No.6/ FEBRUARI
2001
95
III.
Aras-Aras Tenaga (Kuantitatif)
Dalam teorinya, Bohr menggarap atom H secara tak-nisbian (nonrelativistik) dengan menekankan hakikat zaruh dari elektron dalam atom itu. Demikian juga Schnidinger, ia juga menggarap atom itu secara tak-nisbian, tetapi lebih mengedepankan hakikat gelombang dari elektronnya. Yang pertama memperlakukan atom I/ secara nisbian ialah Dirac. (Dirac, 1928).
H
akan digarap secara tak-nisbian juga, dengan menggarap elektronnya sebagai gelombang yang terpantul bolak-balik antara sumbu sumur potensial atom itu dan dinding sumur yang di depannya. Karena elelrtron itu terikat pada inti atom itu, tenaga totalnya, En, negatif. Indeks n menunjukkan bahwa tenaga ini (diharapkan akan ternyata) tercatu. Nilai positif tenaga ini diungkapkan dengan nilai mutlaknya,yalrrri I E,l .
Berikut ini atom
:
Eo+ Eo, E < 0 berarti Eo. E, (tenag.a gerak lebih rendah daripada tenaga potensial). Secara tak-nisbian Eo: mf / 2 (dengan m massa rihat elektron dan v kecepatannya; massa intinya dianggap sedemikian besarnya, sehingga inti itu rihat). Tenaga potensialnya V - A / 4n a r, yakni tenaga potensial elektrostatik antara proton (bermuatan + e) dan elektron (bermuatan * e) yangberjarak dan satu sama lain. Maka
Karena
E
:
:
r
E: (mf tz1-(e2/4o^r) < 0
(1)
atau
Eo
: (mi tz\ :
E + (e2 / 4o
(2)
^r)
sehingga
(3)
Kalau aras pada ketinggian bibir sumur itu, yakni tempat sebagai tolok, "kecepatan tolok" itu
2Elm
96
Vol.lV No.6l FEBRUAR|2001
Ep
:
0, dipakai
Makaparameter semacam indeks bias dapat ditakrifkan, yakni
;
N=ulv=@ atau, karena E
<0,
N = llnll
lf
{1e2 t
4r
eo
,) - lrl}
I pasti positif Qtositive definite),berarti
Karena
itu
N
+
oo
bila
lf I :
e2
lf I , 0 dan lf
O.
I*
.
/ (4n eor,). Ini berarti bahwa pada
jarak
r^: e2t1+r^ln\ ,
(4)'
v :
0. Inilah jarak terjauh yang dapat dicapai (gelombang) elektron. Di situlah ia menimpa dinding sumur potensial lalu dipantulkan kembali ke < gelombang' sumbu sumur itu. Dalam jangkau 0 3 r r^ ini ada n separuh dengan n : bilat(bilangan bulat; intege)' Jadi, rm
"[dr
l ). =
(s)
nl2
0
Dalam persamaan (5),
I : h/P : h/mv = h/ {m(2Ee/*)"'\,, : h /(2m Eo)n : h /l2m {(A /4n ao1- lnl\1" Penyulihan
r*
dan(a) dan
).
dafl (6) ke dalam (5) memberikan
{Jz,rrn1'\p'looror-PlP
dr=nt2
(6)
:
(6'a)
Vol.lV No.6/ FEBRUAR!2001 97
Untuk mendapatkan integral di ruas kiri persamaan (5.a), kita lakukan alihragam:
,2 _ lol 4fi eg
r
cos2
_+
x
/: r- bila cos2x : dan r :}bilacos2x
,2
f=-COS'.f-+ aneslEl
,,
+ cos.tr = tlataux = 0,fr = 0+cosx=0+x=x/2.
I
Maka:
-+ .'J,ffit (Al,*,, n--o* ;= -ff ful'',lr/lrtrf ",,.2i mf -r)'
;=
;=
cosx sinx
&
r
ato
+ #, 2vi,'),W
n_-Jz*._12.2
01
,- h
sinr
^ffi,)r#'co7*sinrarx or-,-, n ,2 F , - ** ,=-1,
"arn,):
Integralnya
:;1.-
9S'
irin',
dx
:
+.'!r|-cos2x)
j'i' u|,o,,r=l'o -tt=i'
Vol.tV No.6/ FEBRUAR| 2OOI
dx
sinrarr
cov*sin
sehingga:
n
e2 .-/r-
l*
,=-trr;ffi(T) ->
lr,li=.8*+: ,4 l"rl- ' Z oz ,fi h2.o2.4 16 n2 rp r_ -*.
lEnl=.ffi + r- r
*r4
me
En=
4
.......(7)
8ezsh2n2
atau
o_ --
Dn
*'o 32 Tt, fi
(7.a) h2nz
Persamaan (7) atau (7.a) sama dengan aras tenaga yang diperoleh Bohr [Caro, (. 0) ibid. p.S7l dan diperoleh Schrodinger untuk keadaan dasar (n
: l,
:
[Merzbacher, ibid, p.9 I ].
Daftar Pustaka
l.
Caro, D.E., et al.: Modern Phtysics,F.W. Cheshire, Melbourne (1961) 87.
2.
Dirac, P.A.M. : Proc. p.351.
3.
March, R.H. :
4.
Merzbacher, E. : Quantum Mechonics, John Wiley & sons, New York (1e63) le0.
5.
Roy, R. R. & B.P. Nigam ; Nuclear Physics, John Wiley & Sons, New York (1967) 343.
Roy.
Pfuysics for
Soc.
All7
(1928) 610; Ibid., A 118 (1928)
Poets,McGraw-Hill, New York (1970)2lI'
*!f ***
Vol.lV No.6/ FEBRUARI
2001
99
