Pendahuluan Gelombang Dede Djuhana E-mail:
[email protected] Departemen Fisika FMIPA-UI
0-0
Gelombang ✍ Gangguan sifat fisis suatu medium yang merambat dalam medium menurut tempat dan waktu, dimana medium tidak bergerak Berdasarkan arah rambat gelombang :
• Gelombang Longitudinal • Gelombang Transversal Berdasarkan sifat terjadinya gelombang
• Gelombang Elastis • Gelombang Permukaan • Gelombang Mekanik • Gelombang Elektromagnet
Gelombang & Optik
1
Persamaan gelombang
∂2ξ 2 = v ∂2t
∂2ξ ∂2ξ ∂2ξ + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
(1)
ξ(x, t) = f1 (x − vt) + f2 (x + vt)
(2)
solusinya untuk arah sumbu-x dapat dinyatakan sbb:
ξ(x, t) dapat merupakan deformasi zat padat, tekanan dalam gas, medan listrik/magnet dll. Hal yang menarik jika ξ(x, t) adalah gelombang harmonik/sinusiodal. ξ(x, t) = ξo sin k(x − vt); k = ξ(x, t) = ξo sin 2π
Gelombang & Optik
t x − λ T
2π λ
(3a)
(3b)
2
Gelombang dalam media Gel. longitudinal dalam batang pejal
v=
r
K = µ
r
Y =modulus Young dan ρ=kerapatan
Y ρ
(4)
Gel. longitudinal dalam pegas
v=
r
K=modulus elastis pegas, k=konstanta pegas k
=
K l
Kl = m
s
kl µ
(5)
dan µ=massa/panjang
Gel. tekanan dalam gas
v= B=Modulus Bulk
Gelombang & Optik
r
B ρ
isotermis
(6)
3
Gerak gelombang dalam gas terjadi dalam proses adiabatik (tidak ada pertukaran panas) :
v=
r
P = cρ γ
γP ρ
(7)
RT M
(8)
Jika gas mengikuti gas ideal maka kecepatannya :
v=
r
γ
γ =konstant Laplace;R=konstanta; T=temperatur(K) dan M=berat molekul • Cepat rambat bunyi tidak tergantung pada tekanan. √ √ • v 1 : v 2 = T1 : T2 . q q γ1 γ2 • v 1 : v 2 = M1 : M 2
Gel. transversal dalam tali
v= T=tegangan tali dan µ=massa/panjang
Gelombang & Optik
r
T µ
(9)
4
Gel. transversal dalam batang
v= M=modulus geser dan ρ=kerapatan.
r
M ρ
(10)
Gel permukaan dalam zat cair Gaya-gaya yang bekerja pada permukaan :
• gaya karena tekanan udara • gaya tegangan muka • gaya berat cairan berada dibagian permukaan Bentuk umum persamaan gelombang :
v=
s
2πγ gλ + 2π ρλ
tanh
2πh λ
(11)
dimana h=kedalaman cairan dan γ =tegangan muka zat cair. Batasan-batasan :
Gelombang & Optik
5
• Jika h λ misal : laut dalam, sehingga tanh v=
s
2πh λ
∼1
2πγ gλ + 2π ρλ
(12)
q
= gλ → gelombang gravitasi 2π q 2πγ 2. Apabila λ cukup kecil maka v = → gelombang kapiler ρλ 1. Apabila λ cukup besar maka v
• Jika h λ sehingga tanh
2πh λ
2πh λ
=
s
v
=
s
v
=
v
Gelombang & Optik
∼
2πγ gλ + 2π ρλ
2πh λ
4π 2 γh 4π 2 γh gh + ; ≈0 ρλ2 ρλ2 p gh
(13)
(14) (15)
6
Hal ini cepat rambat tidak tergantung pada λ atau ω maka disebut medium NON-DISPERSIF, sebaliknya jika tergantung λ atau ω disebut medium DISPERSIF. Gel. dalam zat padat tak terbatas
v=
s
B + 4/3M ρ
(16)
B=modulus Bulk dan M=modulus Geser.
Gel. Elektromagnetik Gelombang terdiri atas medan listrik dan medan magnet merambat tegak lurus arah perambatan. Arah
~ rambat ditentukan oleh perkalian silang E
~ ×B
Kecepatan GEM
c=
r
1 ≈ 3 × 108 m/s o µo
(17)
µo =permeabilitas dan o =permitivitas. Dalam medium berlaku ~ = v|B| ~ dalam medium |E| Gelombang & Optik
(18)
7
Energi dan Intensitas ✍ Dalam penjalarannya gelombang membawa energi dan momentum. Intensitas Gel. longitudinal Misalnya gerak gelombang dalam batang
∂W ∂t fungsi gelombang ξ = ξo sin(kx − ωt) ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x F
=
(−F )
∂ξ ∂t
=
−ωξo cos(kx − ωt)
=
ξo k sin(kx − ωt)
=
YA
(19)
∂ξ = Y Ak sin(kx − ωt) ∂x
Maka energi persatuan waktu
∂W = Y Aωkξo2 cos2 (kx − ωt) ∂t Gelombang & Optik
(20)
8
jika v
2
=
Y ρ
→ Y = ρv 2 dan ω = kv
1
Energi total GHS= 2 ρω
2 2 ξo
∂W ∂t
∂W ∂t
=
vAρω 2 ξo2 cos2 (kx − ωt)
=
1 vA( ρω 2 ξo2 ) 2
avg
(21)
menyatakan energi persatuan volume atau rapat energi.
1 I= A
∂W ∂t
= vE
(22)
avg 2
dimana vE =Arus energi persatuan luas persatuan waktu atau Intensitas gelombang satuan W/m . Intensitas Gel. Tekanan(gas) Hubungan amplitudo dengan tekanan
Po = vρo ωξo → ξo =
Gelombang & Optik
Po ρo ωv
(23)
9
Rapat energi atau intensitas
E
I
=
1 2 2 1 ρω ξo = ρω 2 2 2
=
Po2 2ρo v 2
=
Po2 vE = 2ρv
Po ρωv
2
(24)
(25)
Intensitas gelombang elektromagnetik
~ 2 = 12 o |E| 1 ~ 2 = 1 o |E| ~ 2 Rapat energi medan magnet EB = 2µ | B| 2 o ~ 2 Rapat energi total Etotal = EL + EB = o |E| Rapat energi medan listrik EL
Intensitas rata-rata
Irata =
1 ~ 2 co |E| 2
(26)
Momentum persatuan volume
p=
Gelombang & Optik
E ~ × B| ~ = o | E c
(27)
10
Kecepatan Grup ✍ Kecepatan grup adalah kecepatan dari gelombang yang bersuperposisi dengan perbedaan frekuensi yang kecil dan amplitudo yang sama ◦
misal : cahaya putih (λ
◦
: 300A − 700A)
Amplitudo bermodulasi berhubungan dengan kecepatan yang didefinisikan
vg
= = =
dv
Pada kondisi dk Pada kondisi vg
d(kv) dω = dk dk dv dk +k v dk dk dv v+k dk
= 0 disebut Kecepatan fase → vg = v pada medium NON-DISPERSIF. < v atau vg > v pada medium DISPERSIF. q
Contoh : Gelombang suatu permukaan cairan dinyatakan v Jawab : vg
dv = v + k dk =v−
Gelombang & Optik
(28)
v 2
=
v 2
=
gλ . 2π
Tentukan kecepatan grup?
→ vg < v
11
LATIHAN 1. Tunjukkan apakah gelombang ξ(z, t)
= A sin2 4π(t + z) fungsi gelombang, berapakah cepat
rambatnya ? 2. Fungsi gelombang ξ(x, t)
= 10 cos 2π
dan frekuensi!
x 2×10−7
15
− 1, 5 × 10 t Tentukan : Kecepatan, λ
3. Sebuah gelombang merambat ke arah x-positif dengan kecepatan 100 cm/s. Pada jarak x=10, gelombang tersebut meme nuhi persamaan :
S(x = 10, t) = 0, 5sin(0, 4t)cm, t dalam detik.
Tentukan: (a) Panjang gelombang dan frekuensi (b) Fungsi gelombang tersebut S(x,t) (c) Percepatan getar pada t=0, x=10 cm 4. Suatu gelombang harmonik dengan amplitudo 10 satuan, yang dituliskan oleh fungsi gelombang
ξ(x, t) sedemikian hingga ξ(0, 0)=0. Jika frekuensi sudut= π2 dan bergerak dengan kecepatan 10 m/det. Tentukan besar gangguan pada t=5 pada titik 20 m dari titik asalnya (x=0).
Gelombang & Optik
12
