Bimafika, 2013, 5, 579 – 586
PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL UNTUK MEMUDAHKAN PENYELESAIAN PERSOALAN MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN PEMANGKATAN SUKU DUA Zumrotus Syadiyah(1); Pepsen Hortison Perliang(2) 1
Staf Pengajar pada FKIP Universitas Darussalam Ambon 2 Mahasiswa FKIP Universitas Darussalam Ambon Diterima 07-10-2013, diterbitkan 01-11-2013
ABSTRACK One of the problems in the mathematics is completed reappointment of two parts with repetitive calculations or recursive problems. In recursive problems involving small integers p then perhitungaannya efficient enough to be solved recursively by involving all the integers from 1 to p. However, for a large number p calculation will recursively cumbersome and inefficient, requiring the completion of a practical method and simpler. One alternative method that can be used in completing the reappointment of two parts is pengggunaan pascal triangle. Keyword : segi tiga pascal, suku dua
PENDAHULUAN
setiap bilangan yang bernilai riel akan memiliki lebih dari satu bilangan pembentuk segitiga pascal, dengan jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu dan jumlah keseluruhan suku pada semua baris, untuk setiap segitiga pascal yang di hasilkan akan sama dengan bilangan yang bernilai riel tersebut. Hal ini disebabkan karena setiap bilangan pangkat (n) yang diambil merupakan sembarang bilangan bulat yang tidak bernilai negatif, atau : 0 n ∞. Lebih menariknya lagi, pola – pola penjumlahan yang terdapat pada segitiga pascal merupakan dasar dari Teorema Binomial yang terdapat pada konsep teori bilangan. Berdasarkan uraian diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan penelitian terhadap segitiga pascal dengan judul : “ Pengembangan Segitiga Pascal Untuk Memudahkan Penyelesaian Persoalan Matematika yang Berkaitan Dengan Pemangkatan Suku Dua “.terhadap pertumbuhan Navicula sp di laboratorium.
Segitiga pascal, merupakan suatu pola bilangan yang sangat unik. Sebab, semua bilangan pembentukannya akan membentuk segitiga dengan pola – pola penjumlahan tersendiri. Kegunaan dari segitiga pascal adalah untuk memudahkan penyelesaian persoalan matematika yang berkaitan dengan pemangkatan suku dua dengan pangkatnya merupakan bilangan bulat yang ≥ 0, dimana koofisien awal dari kedua variabel adalah sama. Sebagai contoh, misalkan yang digunakan adalah variabel a dan b, dengan x merupakan koefisien awal dari kedua variabel a dan b, serta n sebagai bilangan bulat yang ≥ 0 merupakan pangkat atau eksponen dari variabel a dan b, kemudian bentuk pemangkatan suku dua tersebut dikalikan dengan sebuah konstanta (c), maka dapat dibuat sebuah persamaan sebagai berikut: c ( xa + xb )n = c [ ( xa + xb ) ( xa + xb ) … ( xa + xb ) ]
METODE PENELITIAN Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Mei 2013 di Kampus C Masohi Uniersitas Darussalam Ambon.
Selain itu, ada pula kegunaan lain dari segitiga pascal adalah untuk menyatakan kebenaran dari setiap bilangan riel (R), dimana
579
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 Untuk lebih jelasnya angka – angka yang terdapat pada baris ke – 3 untuk segitiga pascal yang dibentuk oleh angka – 1 adalah :
Metode Analisa Data Data yang diperoleh, diolah dan dianalisis dengan menggunakan analisis data kuantitatif berbentuk data kontinu dengan tipe penelitian primer dan objek penelitian adalah pemangkatan suku dua dimana pangkatnya merupakan bilangan bulat yang ≥ 0 dengan koefisien awal dari kedua variabel adalah sama, dan semua bilangan riel (R) yang memiliki keterkaitan dengan segitiga pascal.
1 …………........ baris ke – 0 1 1…………….. baris ke – 1 1 2 1………… baris ke – 2 1 3 3 1…….. baris ke – 3 Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa keofisien – koefisien berturut – turut dari hasil pemangkatan ( 3 dapat dilihat pada angka – angka yang terdapat pada baris ketiga untuk segitiga pascal yang dibentuk oleh angka – 1 diatas, yaitu: 1 3 3 1
HASIL DAN PEMBAHASAN Bentuk Pengembanga Segitiga Pascal Segitiga Pascal dengan cara rekursif biasa
Segitiga Pascal kombinatorik
Pengembangan bentuk segitiga pascal dengan cara rekursif biasa adalah :
dengan
cara
rekursif
Pengembangan bentuk segitiga pascal dengan cara rekursif kombinatorik yaitu :
p ………...........baris ke – 0 p p .………….baris ke – 1 p 2p p………..baris ke – 2 p 3p 3p p …...baris ke – 3 ( Gambar 1 )
* +......... baris ke – 0
Dari gambar di atas menunjukan proses penyusunan bilangan dengan cara rekursif biasa atau dapat juga dikatakan segitiga pascal tersebut merupakan segitiga pascal biasa dengan bilangan pembentuknya adalah angka p, jika dan hanya jika p merupakan sembarang bilangan riel R ( p dan p ≤ 0 ). Hal ini dapat dilihat pada sisi kiri dan sisi kanan segitiga pascal tersebut adalah angka p. Besarnya nilai – nilai angka yang terdapat pada segitiga pascal tersebut menunjukan besarnya koofisien – koofisien Binomial dan koofisien – koofisien berturut – turut hasil Pemangkatan Suku dua dengan koofisien awal dari kedua variabel adalah sama. Sedangkan besarnya nilai – nilai pada baris segitiga pascal tersebut menunjukan besarnya nilai – nilai pangkat atau eksponen yang terdapat pada pemangkatan suku dua dengan koofisien awal dari kedua variabel adalah sama. Sebagai contoh, misalkan angka – angka yang terdapat pada baris ke – 3 untuk segitiga pascal yang dibentuk oleh angka – 1, menunjukan besarnya koofisien – koofisien berturut – turut dari hasil pemangkatan : ( 3= , dimana variabel yang digunakan adalah variabel dan variabel .
* +
* +…....... baris ke – 1
* +
* +
* +
…...... baris ke – 2
* +
* +
* +
* +
...... baris ke – 3
( Gambar 2 ) Dari gambar di atas menunjukan proses penyusunan bilangan dengan cara rekursif kombinatorik atau dapat juga dikatakan segitiga pascal tersebut merupakan segitiga pascal kombinatorik dengan bilangan pembentuknya adalah angka p, jika dan hanya jika p merupakan sembarang bilangan riel R ( p dan p ≤ 0 ). Hal ini dapat dilihat pada hasil kombinasi dari sisi kiri dan sisi kanan segitiga pascal tersebut adalah :
* += * += * += * +=
(sisi kiri)
* += * += * +=
(sisi kanan)
* +=
Dengan demikian terlihat bahwa Gambar 1 dan Gambar 2 memiliki persamaan yaitu kedua segitiga pascal tersebut dibentuk oleh angka p, dengan proses rekursif yang berbeda dimana Gambar 1 menggunakan proses rekursif biasa sedangkan Gambar 2 menggunakan proses rekursif kombinatorik.
580
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 Berdasarkan nilai angka pembentuk ( p ), maka sifat – sifat yang dimiliki oleh segitiga pascal adalah sebagai berikut : Apabila angka pembentuknya bernilai positif ( p positif atau p ≥ 1 ), maka semua suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal tersebut akan bernilai positif. Apabila angka pembentuknya bernilai negatif ( p negatif atau p ≤ 1 ), maka semua suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal tersebut akan bernilai negatif. Apabila angka pembentuknya bernilai nol ( p = 0 ), maka semua suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal tersebut akan bernilai nol.
n = baris yang akan dicari sukunya pada segitiga pascal dimana n
⇔n r , r
r7 = 6 [ C ( 5 , 3 ) ] = * + = 6 (10) = 60 Dengan demikian, besar suku ke – 4 atau r4 dari baris ke – 5 untuk segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 6 adalah r4 = 60 Bukti : 6 ……………………… Baris ke – 0 6 6 6 6
)
)= p(
( –
)
segitiga
12 18
24
6 ………………. Baris ke – 2 18
36
6 …………... Baris ke – 3 24
6 ……….. Baris ke – 4
6
30
60
60
30
r1
r2
r3
r4
r5
6 …... Baris ke – 5 r6
a) Menentukan banyak suku tertentu pada segitiga pascal
dari
baris
Rumus :∑ = n + 1 Rumus tersebut di atas, ∑ menyatakan banyak suku. Berarti, dalam hal ini sigma ( ) hanya mengartikan banyak suku, dan bukan jumlah suku. Dimana n menyatakan baris yang akan di cari banyak sukunya pada segitiga pascal. Untuk menentukan banyak suku pada baris segitiga pascal, maka besar nilai p tidak
)
0, p ≤ 1, p ≥ 1, dan n, r, p, R.
Keterangan: p = bilangan pembentuk dengan p 1, dan p 1
6 ……………………. Baris ke – 1
Menentukan Banyak Suku, Banyak dan Posisi Suku – Suku Sejenis dan Suku Tunggal Dari Baris Tertentu Pada Segitiga Pascal
p[C(n,r)]=p C(n,(r–1))
( –
0
Pada prinsipnya, posisi suku pada baris segitiga pascal dihitung mulai dari sisi kiri ke sisi kanan segitiga pascal, dengan posisi perhitungan dimulai dari : r1, r2, r3,………, rn.di mana : r1 sama dengan suku pertama baris tersebut, r2 sama dengan suku kedua baris tersebut, dan seterusnya. Contoh : Berapakah besar suku ke – 4 baris ke – 5 dari suatu segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 6 ? Jawab : Dik : n = 5 , p = 6 Dit : r4 = ……..? Penye : misalkan : r = 4, danp [ C ( n , r ) ] = p* + maka :
Setiap bilangan yang terdapat dalam segitiga pascal disebut suku (r), sedangkan bilangan – bilangan yang tersusun secara horizontal disebut baris (n). Pada segitiga pascal hasil jumlah dua bilangan yang saling berdampingan akan menghasilkan satu bilangan di bawahnya. Namun cara ini tidaklah efektif karena akan terasa rumit apabila ditetapkan untuk mencari suku – suku pada baris berskala besar. Sebagai contoh, misalkan untuk mencari suku – suku baris ke – 50, baris ke – 60, baris ke – 100, dst. Untuk itu perlu diperkenalkan sebuah cara baru yang sangat tepat dan mudah untuk diaplikasikan di dalam menjawab persoalan tersebut. Cara baru ini adalah dengan menggunakan rumus kombinasi, dimana kombinasi untuk setiap suku yang dimaksud haruslah dikurangi dengan 1 (satu). Jadi dalam hal ini kita memisalkan kombinasi suku yang dimaksud sama dengan kombinasi suku yang dimaksud kurang 1 (satu). Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah rumus kombinasi berikut ini : Rumus :
Maka :p (
–
r = suku yang akan dicari nilainya pada baris segitiga pascal, dengan r ≥ 1.
Menentukan Suku – Suku Segitiga Pascal Tanpa Proses Penjumlahan
misalkan : ]
(r – 1) ,
pascal,
581
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 ∑
terlalu berpengaruh. Sebab, kita hanya akan menentukan banyak suku dan bukan besar suku.
Rumus : posisi rt = +1 Dengan demikian, menurut pola penentuan posisi suku – suku sejenis dan suku tunggal pada baris tertentu dari segitiga pascal, maka posisi suku pada baris segitiga pascal dapat dihitung melalui dua sisi yaitu dimulai dari sisi kiri ke sisi kanan segitiga pascal, ataupun sebaliknya dimulai dari sisi kanan ke sisi kiri segitiga pascal. Dimana proses perhitungan tersebut dimulai dari r1, r2, r3,…,rn. Contoh : Tuntukan banyak, posisi dan besar suku – suku sejenis dan suku tunggal dari baris ke – 4 pada segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 6 ! Jawab: Dik : n = 4, p = 6 Dit :∑ untuk n = 4 dan p = 6 , dan nilai – nilai r untuk n = 4 dan p = 6 Penye : a. ∑ . Karena ∑ bernilai ganjil, maka : ∑ ∑ ∑ = Dengan demikian, ada terdapat dua suku yang sejenis, dimana batas suku – suku sejenis yaitu sampai pada r2, dengan posisi r1 = r5 , r2 = r4. sehingga r3merupakan suku tunggal, atau ∑ posisi rt = + 1 = 2 + 1 = 3 = r3. b. r1 = r5 6[C(4,1)]=6[C(4,5)]
Contoh: Berapakah banyak suku pada baris ke – 25 dari segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 15 ? Jawab : Dik : n = 25 , p = 15 it : ∑ = ..? Penye : ∑ = n + 1 = 25 + 1 = 26. Jadi, banyak suku pada baris ke – 25 dari segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 15 adalah 26 suku, yaitu : r1, r2, r3……….., r26. Berdasarkan pola menentukan banyak suku pada baris tertentu dari segitiga pascal, maka dapat disimpulkan bahwa setiap baris segitiga pascal yang bernilai ganjil akan memiliki banyak suku yang bernilai genap. Sebaliknya, setiap baris segitiga pascal yang bernilai genap dan baris ke – 0, akan memiliki banyak suku yang benilai ganjil. b)
Menentukan banyak dan posisi suku – suku sejenis dan suku tunggal pada baris tertentu dari segitiga pascal
Suku – suku sejenis ( rs ), adalah dua suku yang mempunyai nilai yang sama dalam suatu baris tertentu pada segitiga pascal. Sedangkan suku tunggal ( rt ), adalah suku yang berdiri sendiri dan tidak mempuyai kemiripan atau tidak sama nilai dengan suku – suku yang lain dalam baris tertentu pada segitiga pascal. Untuk menentukan banyak dan posisi suku – suku sejenis dan suku tunggal pada baris tertentu dari segitiga pascal, maka dapat dilakukan dengan persamaan – persamaan sebagai berikut : 1. Suku – suku sejenis (rs) a. Banyak suku – suku sejenis a.1. Untuk∑ genap. rumus ∑ :∑ = a.2. Untuk∑ gajil. rumus ∑ :∑ = b. Posisi suku – suku sejenis Rumus :r1= rn, r2 = rn - 1, r3 = rn - 2, dst. 2. Suku tunggal (rt) a. Banyak suku tunggal. Banyak suku tunggal pada baris genap dan baris ke – 0 adalah 1 (satu),dan banyak suku tunggal pada baris ganjil adalah 0 (nol).
6* +
* +
r2 = r 4
6[C(4,2)]=6[C(4,4)]
6* +
* +
6 (Benar) 24 = 24 (Benar)
r3 =6 [ C ( 4 , 3 ) ]
6 [ C ( 4 , 2 ) =6* +
36
(Benar) (Lihat angka – angka yang terdapat pada bukti contoh B.2 untuk segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 6 baris ke – 4 ). Berdasarkan pola menentukan banyak dan posisi suku – suku sejenis dan suku tunggal pada baris tertentu dari segitiga pascal, maka dapat disimpulkan hal – hal sebagai berikut : a. Banyak suku tunggal adalah 1(satu), dan hanya terdapat pada baris segitiga pascal yang bernilai genap dan baris ke – 0. b. Kecuali baris ke – 0, maka suku – suku sejenis pada segitiga pascal dapat ditemukan untuk baris segitiga pascal yang bernilai genap ataupun yang bernilai ganjil, dan banyaknya . c. Pola menentukan posisi suku – suku sejenis dari segitiga pascal dapat membuat sebuah teorema kombinatorik yang terdapat pada
b. Posisi suku tunggal.
582
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 4
untuk cara ini, kita membuat 6 ke dalam bentuk – bentuk pemangkatan suku dua yaitu : 4 4 4 4 4 6 = ( 0 + 6 ) = ( 1 + 5 ) = ( 2 + 4 ) = (3 + 3) . Dari semua bentuk pemangkatan suku dua yang di tunjukan tersebut di atas, akan memiliki hasil 4 akhir yang sama yaitu : 6 = 1.296. Namun dari semua bentuk pemangkatan suku dua yang di tunjukan di atas, hanya ada satu bentuk pemangkatan suku dua tersebut yang memenuhi syarat untuk kedudukan suku–suku pada segitiga 4 4 pascal, yaitu : 6 = ( 3 + 3 ) . untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini :
konsep teori bilangan, yakni : * + = * + dimana : n r ≥ 0, dan r + ( n – r ) = n Menentukan Jumlah Keseluruhan Suku Pada Baris Tertentu Dari Segitiga Pascal Pola yang tepat untuk digunakan di dalam mengetahui jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu dari segitiga pascal adalah sebagai berikut : p(* + * + * + * + * +) = p . n 2 atau : n p ( r1 + r2 + r3 +….+ rk +….+rn ) = p . 2 atau : n ∑ =p. 2
64 = ( 3 + 3 )4 = * +34 + * +33 .3 +* +32 .32 +* +3 . 33 +* +34 64 = 34 (* ++ * + +* ++* + ) 81 = 1.296
pada bentuk terakhir, karena sigma sudah memiliki batas atas dan batas bawah maka dalam hal ini ∑ , menyatakan jumlah keseluruhan suku dari baris tertentu pada segitiga pascal. Selain itu, dimisalkan jumlah keseluruhan suku pada baris ke – n dari suatu segitiga pascal dilambangkan dengan xn, maka bentuk – bentuk persamaan di atas akan menjadi : xn = p . 2
n
p=
n=
4
Pada (3 + 3) = 81 + 324 + 486 + 324 + 81, telah memenuhi kedudukan suku – suku pada baris ke – 4 dari segitiga pascal yang 4 dibentuk oleh angka 3 atau 81. Sehingga dapat 4 4 4 dibuat 6 = 3 x 2 = 1.296. Berdasarkan hasil dari contoh 2 pada poin b, maka dapat di buat rumus segitiga pascal untuk bilangan eksponen, yaitu : n n n =( ) .2
log ( )
keterangan : n ( ) = p( bilangan pembentuk ) dari segitiga pascal, n = bilangan pangkat atau eksponen yang menyatakan baris ke – n pada segitiga pascal. = bilangan dasar atau basis yang dikalikan sebanyak pangkat yang terbilang. dengan , n, p
Contoh : 1. Tentukanlah jumlah keseluruhan suku pada baris ke – 4 dari segitiga pascal yang di bentuk oleh angka 3 ! 4 2. Berapakah hasil dari 6 ? Jawab : 1. Dik : n = 4, p = 3 Dit : x4 =… ? n 4 Penye :xn= p . 2 x4= 3 .2 = 48 Maka jumlah keseluruhan suku pada baris ke – 4 dari segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 3 adalah 48.
Pola Menentukan Jumlah Keseluruhan Suku Pada Semua Baris Pembentuk Segitiga Pascal
Bukti : 3 ……………………… Baris ke – 0 3 3 ……………………. Baris ke – 1 3 6 3 ……………….. Baris ke – 2 3 9 9 3 …………..... Baris ke – 3 3 12 18 12 3 ………… Baris ke – 4
Pada segitiga pascal , misalkan jumlah keseluruhan suku pada baris ke – 0 adalah xo, jumlah keseluruhan suku pada baris ke – 1 adalah x1 , jumlah keseluruhan suku pada baris ke – 2 adalah x2, dan jumlah keseluruhan suku pada baris ke – n adalah xn , maka : x0 +x1 + x2 + n+1 n – 1 ), atau ∑ =p(2 ….+ xn = p ( 2 +1 –1) Disamping itu pula, dimisalkan jumlah keseluruhan suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal sampai pada baris ke – n dilambangkan dengan yn, maka persamaan tersebut di atas akan menjadi :
3 + 12 + 18 + 12 + 3 = 48 (Benar)
2.
a. cara langsung atau perkalian 4 langsung : 6 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1.296 b.
Cara tidak kombinasi :
langsung
atau
64 = 81 + 324 + 486 + 324 +
cara
583
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 yn = p ( 2 [
n+1
– 1 ). Sehingga :p
3)
apabila bilangan riel tersebut bernilai positif, dan semakin besar n yang diambil maka akan diperoleh semakin kecil bilangan pembentuk segitiga pascal. Dimana bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh selalu bernilai positif. 4) apabila bilangan riel tersebut bernilai positif, dan semakin kecil n yang diambil maka akan diperoleh semakin besar bilangan pembentuk segitiga pascal. Dimana bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh selalu bernilai positif. 5) apabila bilangan riel tersebut bernilai nol, maka setiap n yang diambil akan memiliki bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang bernilai nol ( p = 0 ) 6) apabila bilangan riel tersebut bernilai negatif, dan semakin besar n yang diambil maka akan diperoleh semakin besar bilangan pembentuk segitiga pascal. Dimana bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh selalu bernilai negatif. 7) apabila bilangan riel tersebut bernilai negatif, dan semakin kecil n yang diambil maka akan diperoleh semakin kecil bilangan pembentuk segitiga pascal. Dimana bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh selalu bernilai negatif. Untuk lebih memahami sifat–sifat bilangan riel terhadap segitiga pascal yang disebutkan di atas, maka perhatikanlah beberapa contoh berikut ini : Contoh : 1. Tentukanlah bilangan–bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh dari angka 5, jika diketahui 0 n . Dan buktikan bahwa jumlah keseluruhan suku pada baris ke – n dari setiap segitiga pascal yang dihasilkanakan sama dengan 5 ! 2. Tentukanlah bilangan–bilangan pembentuk segitiga pascal yang diperoleh dari angka , jika diketahui 0 n . Dan buktikan bahwa jumlah keseluruhan suku pada semua baris untuksetiap segitiga pascal yang dihasilkan sampai pada baris ke–n akan sama dengan !
, n=
)] – 1
log (
Contoh: Tentukanlah jumlah keseluruhan suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal sampai pada baris ke – 3, jika segitiga pascal tersebut di bentuk oleh angka – 2 ! Jawab: Dik :n = 3, p = – 2 Dit : y4=…? n+1 3 Penye : yn= p ( 2 – 1 ) ⇔y4= – 2 ( 2 +1 4 – 1 ) y4= – 2( 2 – 1 ) y4= – 2 ( 15 ) = – 30 Jadi, jumlah keseluruhan suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal sampai pada baris ke – 3, jika segitiga pascal tersebut dibentuk oleh angka – 2 adalah – 30. Bukti : –2 –2 –2 –2
……………………..Baris ke – 0 –2
–4 –6
…………………..Baris ke – 1 –2
–6
………………Baris ke – 2 –2
………...Baris ke – 3
Maka : – 2 + (– 2 – 2) + (– 2 – 4 – 2) + (– 2 – 6 – 6 – 2) = – 30 (Benar). Berdasarkan pola menentukan jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu dari segitiga pascal dan pola menentukan jumlah keseluruhan suku pada semua baris pembentuk segitiga pascal, maka akan diperoleh beberapa sifat dari setiap bilangan real (R) terhadap segitiga pascal sebagai berikut : 1) setiap bilangan riel akan memiliki lebih dari satu bilangan pembentuk segitiga pascal, dimana jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu dari setiap segitiga pascal yang di hasilkan akan sama dengan bilangan yang bernilai riel tersebut. Hal ini disebabkan karena setiap bilangan pangkat ( n ) yang diambil merupakan sembarang bilangan bulat yang tidak bernilai negatif, atau : 0 n . 2) setiap bilangan yang bernilai riel akan memiliki lebih dari satu bilangan pembentuk segitiga pascal, dimana jumlah keseluruhan suku pada semua baris untuk setiap segitiga pascal yang dihasilkan sampai pada baris ke – n akan sama dengan bilangan yang berniali riel tersebut. Hal ini disebabkan karena setiap bilangan pangkat ( n ) yang diambil merupakan sembarang bilangan bulat yang tidak bernilai negatif, atau 0 n .
Jawab : 1) Dik : x = 5, 0 n Dit :puntuk setiap n Penye :
584
maka :n = 0, 1, 2.
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 0,5
a. Untuk n = 0,diperoleh :p = = = 5 x= p n .2 5 =5. (Benar). Bukti :Untukx = 5, dan n = 0, diperolehp= 5. Sehingga : 5
=
0,5 + (
5 = 2,5 .
Bukti :Untukx = 5, dan n = 1, diperolehp= 2,5. Maka : 2,5 ……Baris ke – 0 2,5 2,5 …Baris ke – 1 (Terbukti) c.
2,5 + 2,5 = 5
Untuk n =2, diperoleh : n p = = = 1,25 x = p . 2 . (Benar)
5 = 1,25
Bukti :Untukx = 5, dan n = 2, diperolehp= 1,25 Maka : 1,25 …………..Baris ke – 0 1,25
1,25 ………Baris ke – 1
1,25 2,5 1,25 … Baris ke – 2 1,25 + 2,5 + 1,25 = 5 (Terbukti) 2) Dik : y= ,0 n maka : n = 0, 1. Dit :puntuk setiap n Penye :
Penye :
a. Untuk n = 0, diperoleh : p=
=
=
0+ 1
=
–1)=
(2
⇔ = p( 2
n+ 1
=
S5 =∑
(Benar).
=
1+ 1
(2
=
⇔ = p( 2
–1)=
Bukti :Untuky= = 0,5 . Maka :
n+ 1
0,5) =
1,5 =
(Terbukti).
Rumus : Sn =
, atau Sn
=
–1)
=
Dari uraian barisan bilangan di atas, diperoleh = , r = , dan n = 5. Sehingga dengan menggunakan salah satu rumus menentukan jumlah n suku deret geometri di atas, diperoleh :
Bukti :Untuky= , dan n = 0, diperolehp= Maka : = …….Baris ke – 0 (Terbukti). b. Untuk n = 1, diperoleh : p=
0,5
Jika kita amati secara teliti, ternyata pola menentukan jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu dari segitiga pascal telah memenuhi syarat untuk Deret Geometri (Deret Ukur). Dengan demikian, bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang dihasilkan oleh suatu bilangan riel (R), dimana jumlah keseluruhan suku pada baris tertentu untuk setiap segitiga pascal yang dihasilkan akan sama dengan bilangan yang bernilai riel tersebut dapat membentuk sebuah deret geometri. Bentuk umum kesamaan dari setiap derat geometri yang beranggotakan bilangan – bilanga pembentuk segitiga pascal yang dihasilkan oleh suatu bilangan riel R, adalah rasio ( r ) yang dimiliki untuk setiap deret geomerti yang di bentuk selalu konstan yaitu : r = ½ ( untuk barisan geometri konfergen, karena r 1 ), dan r = 2 (untuk barisan geometri difergen, karena r ). Contoh : Suatu deret geometri yang beranggotakan bilangan – bilangan pembentuk segitiga pascal yang di hasilkan oleh suatu bilangan riel (R), jika diketahui bilangan riel tersebut adalah – 6, dan 5 n ≤ 9. Maka tentukanlah hasil jumlah dari deret geometri yang dimaksud ! Jawab : Dik :x = – 6, 5 n ≤ 9 maka : n = 5, 6, 7, 8, 9. Sehingga ∑ = 5 Dit : S5 = . . . . ?
5…… Baris ke – 0 (Terbukti)
b. Untuk n = 1, diperoleh : n p= = = 2,5 x = p . 2 (Benar)
0,5 …Baris ke – 1
S5 = ∑
–1)
=
Bentuk Lain Pemangkatan Suku Dua Yang Berkaitan Dengan Segitiga Pascal
(Benar)
, dan n = 1, diperolehp=
Misalkan ada dua atau lebih bentuk pemangkatan suku dua yang dikalikan, maka
0,5 ……..Baris be – 0
585
Z. Syadiyah, P.H. Perliang/ Bimafika, 2013, 5, 579 – 586 bentuk umum dari hasil perkalian tersebut akan berbentuk : x y z z z xz yz [ c ( ma + mb ) . d ( ka + kb ) ] = c . d .m .k z(x+y) ( a + b) Bentuk diatas merupakan bentuk pemangkatan suku dua yang dikalikan, di mana bentuk perkalian tersebut masih ada kaitannya z z xz yz dengan segitiga pascal, dimana : c . d .m .k = p, z ( x + y ) = n, a dan b adalah variabel. Contoh : Tentukanlah hasil perkalian dari : [ 2 3 ( x + y ) . 2 ( 3x + 3y ) ]
Jawab:
2 3
3
6
3(1+2)
[ ( x + y ) . 2 ( 3x +3y ) ] = 2 . 3 ( x + y ) 9
8
7
2
6 3
5
Jones,
Gareth A and J. Mary Jones, 2005.“Elementary Number Theory”, Spring-Verlag, London. Nugroho, Didit B. 2009. Aljabar Linier.Universitas Kristen SatyaWacana.Salatiga. Purcell, E.J & Dale Varberg. 2000. “KalkulusdanGeometriAnalitis”, Jakarta: PenerbitErlangga. Zawaira, Alexandar and G. Hitchcock, 2009.“A Primer for Mathematics Competitions”, OxfordUniv.Press, London. Ruminta,2009. “Matriks Persamaan Linier dan Program Linier”, Bandung : Rekayasa Sains
9
= 5.832 ( x + y ) 4
= 5.832 ( * +x +* +x y + * +x y +* +x y +* +x y
4 5
* +x y +
* +x3y6 +* +x2y7 +* +xy8 + * +y9 ) = 5.832 x9 + 52.488 x8y + 209.952 x7y2 + 489.888 x6y3 + 734.832 x5y4 + 734.832 x4y5 + 489.888 x3y6 + 209.952 x2y7 + 52.488 xy8 + 5.832 y9
Sehingga koofisien – koofisien hasil perkalian dari pemangkatan dua suku dua tersebut dapat dilihat pada baris ke – 9 dari segitiga pascal yang dibentuk oleh angka 5.832. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisis yang dikemukakan pada pembahasan makalah ini, maka dapat disimpulkan bahwa segitiga pascal merupakan dasar dari teorema binomial yang terdapat dalam konsep teori bilangan.Selain itu, setiap bilangan riel (R) memiliki begitu banyakbilangan pembentuk segitiga pascal yang dapat membuktikan kebenaran dari bilangan real (R) yang dimaksud.Untuk itu, pengembangan pola bilangan segitiga pascal sangatlah membantu dan dapat meningkatkan pengetahuan kita dalam menyelesaikan persoalan matematika yang berkaitan dengan pemangkatan suku dua.
DAFTAR PUSTAKA Burton, David. M. 2010. “Elementary of Number Theory”.Allyn and Bacon, Inc. London. Hasan, Iqbal. 2002. PokokpokokMateriStatistikaMatematika 2 (StatistikInferensif). Jakarta :PT BumiAngkasa..
586
