PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL I Wayan Puja Astawa SMKN 1 Abang, Kab. Karangasem, Bali
Abstract. The ability to expand and generalize is one of the most important facilities a teacher can help a student develop. In this articles, the familiar application of Pascal’s triangle to determine the coefficients of a binomial expansion ( + ) is develoved by the use of “Pascal’s pyramid” to consider the coefficients of a trinomial expansion (a + b + c)n, kwartonomial expansion (a + b + c + d)n, untill polinomial expansion. Whereas a binomial expansion can be represented by a readily visible triangle, trinomial expansion, kwartonomial expansion until polinomial expansion are represented by the more complex pyramid. There is a unique relationships between Pascal’s triangle and Pascal’s pyramid. The general formula of (a + b)n called binomial theorem also could be used to determine the formula of trinomial expansion, kwartonomial expansion, until polinomial expansion. Keyword. binomial’s polynomial, trinomial,
teorem,
kwartonomial,
1. Pendahuluan Pada tahun 1963 Blaise Pascal menerbitkan buku yang berjudul Traité du Triangle Arithmétique dan di dalamnya terdapat susunan bilangan yang kemudian dikenal dengan segitiga Pascal. Meski dikenal dengan nama Pascal, ternyata segitiga Pascal telah dikenal di Cina sebelum tahun 1300 seperti oleh Al-Karaji (953 – 1029), Omar Khayyam (1048 – 1131), Jia Xian (1010 – 1070) dan Ying Hui (1238 – 1290). Segitiga Pascal merupakan koefisienkoefisien binomial atau bentuk aljabar bersuku dua yang tersusun dalam bentuk segitiga. Koefisien (a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 …
pascal's
pascal's
pyramid,
binomial dapat dinyatakan dengan menggunakan kombinasi dan aljabar. Dengan kombinasi, koefisien n binomial dilambangkan dengan . r n Bentuk menyatakan banyak cara r membuat himpunan bagian dengan r elemen dari suatu himpunan dengan n elemen. Secara aljabar, koefisien binomial merupakan koefisien suku a b pada ekspansi bentuk aljabar dua suku (a + b) untuk n bilangan cacah. Dimulai dengan 1. Setiap baris berikutnya mulai dan berakhir dengan 1. Bilangan lainnya diperoleh dengan menambahkan dua suku terdekat dari baris di atasnya.
0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4
…
triangle,
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …
1
Sebagai contoh, untuk menentukan (a + b) gunakan koefesien-koefesien pada baris ke-5 sehingga: 4 4 4 (a + b) = a + a b+ a b + 0 1 2 4 4 ab + b atau (a + b) = 1a + 3 4 4a b + 6a b + 4ab + 1b . Dengan menggunakan notasi sigma, ekspansi binomial (a + b) dapat dituliskan dalam bentuk: n n ( a b ) n a n r b r r0 r
..... (1)
dimana a, b bilangan real, n bilangan n cacah dan koefesien binomial dari r suku ke-r + 1. Dalam pembelajaran matematika, kemampuan untuk menjabarkan dan membuat generalisasi sangat penting bagi guru dalam membantu siswa mengembangkan kemampuan matematik. Penerapan segitiga Pascal untuk menentukan ekspansi (a + b) sudah dipelajari sejak pendidikan menengah. Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana kalau suku bentuk aljabar tersebut ditambah? Misalnya (a + b + c)n, (a + b + c + d)n, dan seterusnya sampai bentuk aljabar n buah suku. Dalam konteks ini, segitiga Pascal masih bisa digunakan walaupun harus melalui beberapa tahapan operasi aljabar. Oleh karena itu, pada artikel ini akan diselidiki susunan koefesien-koefesien dan rumus dari ekspansi trinomial (a + b + c)n.
2. Metoda Penulisan Artikel ini merupakan hasil kajian pustaka/hasil pemikiran dalam upaya untuk menggali dan mengembangkan pengetahuan matematika yang sudah ada. Hasil pengembangan ini diharapkan dapat memperkaya teori/materi matematika, yang nantinya dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang muncul baik dalam matematika maupun dalam ilmu
lainnya yang memerlukan bantuan matematika.
3. Hasil dan Pembahasan a. Piramida Pascal Segitiga pascal merupakan susunan bilangan-bilangan yang merupakan koefesien-koefesien binomial dari ekspansi dua suku, misalnya sukusukunya a dan b. Bagaimana jika terdiri dari 3 suku yaitu a, b dan c atau (a + b + c)n. Untuk itu akan dicoba menguraikan (a + b + c)n untuk pangkat n kecil dengan menggunakan formula segitiga pascal, sebagai berikut. Untuk n = 0, 1, 2, 3 dan 4 berturutturut diperoleh (a + b + c)0 = 1, (a + b + c)1 = a + b + c, (a + b + c)2 = 1a2 + 2ab + 2ac + 1b2 + 2bc + 1c2, (a + b + c)3 = 1a3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 6abc + 3ac2 + 1b3 + 3b2c + 3bc2 + 1c3, (a + b + c)4 = 1a4 + 4a3b + 4a3c + 6a2b2 + 12a2bc + 6a2c2 + 4ab3 + 12ab2c + 12abc2 + 4ac3 + 1b4 + 4b3c + 6b2c2 + 4bc3 + 1c4. Dari contoh uraian di atas, terlihat bahwa jumlah suku-suku dari uraian (a + b + c)n dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, … berturut-turut adalah 1, 3, 6, 10, 15, … yang merupakan bilangan segitiga. Ekspansi pertama: (a + b + c)0 mempunyai koefesien tunggal yaitu 1. Ekspansi kedua: (a + b + c)1 mempunyai koefesien: 1a + 1b + 1c yang diwakili oleh segitiga lapis pertama dengan angka-angka hanya pada titik-titik sudutnya. 1 1 1 Ekspansi ketiga: (a + b + c)2 mempunyai koefesien: 1a2 + 2ab + 2ac + 1b2 + 2bc + 1c2 yang dapat disusun dalam segitiga lapis kedua, yaitu 1 2 2 1 2 1
2
Ekspansi keempat: (a + b + c)3 mempunyai koefesien: 1a3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 6abc + 3ac2 + 1b3 + 3b2c + 3bc2 + 1c3 yang dapat disusun dalam segitiga lapis ketiga, yaitu 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 Ekspansi kelima: (a + b + c)4 mempunyai koefesien: 1a4 + 4a3b + 4a3c + 6a2b2 + 12a2bc + 6a2c2 + 4ab3 + 12ab2c + 12abc2 + 4ac3 + 1b4 + 4b3c + 6b2c2 + 4bc3 + 1c4 yang dapat disusun dalam segitiga lapis keempat, yaitu
1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 Jadi susunan koefesien-koefesien dari ekspansi trinomial (a + b + c)n membentuk lapisan segitiga dimana angka pada setiap sisinya sama dan merupakan koefesien-koefesien dari ekspansi (a + b)n serta bilangan pada setiap titik sudutnya 1. Jika masingmasing titik sudut lapisan segitiga tersebut dihubungkan maka akan berbentuk “piramida” seperti ditunjukkan gambar 1.
(a + b + c)0
1
1
1 1 1
1 1
1
1 (a + b + c)1
1
1
(a + b + c)2
1
1 1
1
(a + b + c)4
1
1
2 1 2 1 3 3 3 3 6 1 1 3 3 1 4 4 6 1 6 4 1 2 1 4 4 2 6 2 4 1 1
(a + b + c)3
1
1 2
dan seterusnya Gambar 1. Piramida Pascal untuk Ekspansi Trinomial Konstruksi bilangan-bilangan di atas merupakan pengembangan dari segitiga pascal, sehingga konstruksi koefesien-koefesien dari uraian (a + b + c)n tersebut dikenal dengan Piramida Pascal (Posamentier, 1990: 432). 1) Hubungan antara Segitiga Pascal dan Piramida Pascal Di dalam piramida Pascal tampak bahwa bilangan-bilangan pada setiap sisi segitiga merupakan bilanganbilangan baris bersesuaian dari segitiga Pascal. Misalnya bilanganbilangan pada tiap sisi dari (a + b +
c)3 adalah 1 3 3 1 sama dengan bilangan-bilangan baris ke-5 dalam segitiga pascal. Hubungan ini merupakan petunjuk untuk menentukan metode dalam menurunkan piramida pascal, yaitu sebagai berikut. Misalkan bilangan-bilangan pada setiap sisi dari ekspansi trinomial (a + b + c)n diwakili oleh bilanganbilangan pada baris yang bersesuaian dari segitiga Pascal. Buatlah segitiga Pascal sampai bilangan baris ke-n+1. Kemudian kalikanlah bilanganbilangan tiap baris dari segitiga Pascal dengan bilangan-bilangan
3
pada baris terakhir secara berurutan. Hasil ini menunjukkan koefesienkoefesien dari ekspansi trinomial yang dicari. Sebagai contoh, menentukan koefesien dari (a + b + c)4.
Bilangan-bilangan pada sisi tepi dari (a + b + c)4 adalah 1 4 6 4 1. Bilangan ini merupakan bilangan baris ke-5 dari segitiga Pascal yang merupakan koefesien dari ekspansi (a + b)4.
Tabel 1. Menentukan koefesien dari (a + b + c)4 bilangan baris ke-5 dari segitiga Pascal 1× 4× 6× 4× 1×
Segitiga Pascal sampai baris ke-5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
2) Penerapan Piramida Pascal Untuk Ekspansi Trinomial ( + + )
Koefesien dari ekspansi (a + b + c)4 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1
2. Bilangan-bilangan pada setiap baris merupakan koefesienkoefesien dari perkalian antara variabel a dengan pangkat turun 1 tingkat dari baris sebelumnya dan variabel lain dengan pangkat naik 1 tingkat dari baris sebelumnya sehingga derajat tiap suku sama dengan n. 3. Dalam 1 baris pangkat a tetap sedangkan pangkat b turun 1 tingkat dari kiri ke kanan dan pangkat c naik 1 tingkat. Perhatikan aturan segitiga pada gambar 2!
Langkah-langkah menguraikan (a + b + c)n adalah: 1) menentukan susunan koefesien-koefesien (segitiga) menggunakan piramida pascal dan 2) menggunakan koefesien-koefesien itu untuk menentukan ekspansi dari (a + b + c)n menurut suku-sukunya, dengan aturan sebagai berikut. 1. Bilangan baris ke-1 dari segitiga adalah koefesien dari a dengan pangkat tertinggi dari ekspansi (a + b + c)n. (anb0c0)
a↓,b|,c↑
a↓,b↑,c| Keterangan: a↓,b↓,c↓ : pangkat (a,b,c) turun a|,b|,c| : pangkat (a,b,c) tetap a↑,b↑,c↑ : pangkat (a,b,c) naik
a|,b↓,c↑
(a0b0cn)
(a0bnc0)
Gambar 2. Ilustrasi Aturan Penggunaan Piramida Pascal 3) Rumus Umum dari Trinomial ( + + )
Ekspansi
Sebelum membahas rumus umum untuk ekspansi (a + b + c)n, akan
4
diuraikan kembali mengenai piramida Pascal yang dikembangkan dari segitiga Pascal. Dengan
menggunakan notasi kombinasi maka segitiga Pascal dapat dituliskan sebagai berikut.
0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2
…………………….. r r r r r … … 2 j r 2 r 1 r …………………………………….
r 0 n 0
r 1
n 1
n n n n … … 2 r n 2 n 1
Susunan koefesien-koefesien dari ekspansi trinomial (a + b + c)n pada n × 0 n × 1
2 0
…
… n × n
r 1
r r 1
r r
……………………………………. n 0
n 1
n n n n … … 2 r n 2 n 1
n 1
n 2 n-2 2 2 [ a b + 2 0 1 2 n r an-2bc + an-2c2] + … + [ an-r 2 r 0
1
+ an–1c] + 1
r r + an-r br-1 c + an-r br-2 c2 + … 1 2 r r + an-r br-j cj + … + an-r cr] + … + j r
br
2 2
r r r … … 2 j r 2
(a + b + c)n = [ an] + [ an0 0 1 0 1b
2 1
…………………….. r 0
Dengan menggunakan aturan tersebut, maka formula umum untuk ekspansi (a + b + c)n dapat ditentukan sebagai berikut. n 0
piramida Pascal diperoleh dengan cara sebagai berikut.
0 0 1 1 0 1
n × 2 n × r
n n
n n
n n 1 n 1 [ a bn-1 + a bn-2c + n 1 0 1 n 1 n 1 n-1 n abcn-2 + ac ] + … + n 2 n 1 n n n n [ bn + bn-1c + bn-2c2 + … + 0 1 2 n n-1 n bc + cn] n 1 n
Bentuk umum suku-suku dari ekspansi (a + b + c)n yang koefesienkoefesiennya baris ke-r+1 adalah:
5
n n 1 n 1 a bn n 1 j 0 j n n bn - j cj j 0 j
n r n-r r r r [ a b + an-r br-1 c + an-r r 0 1 2 r r br-2 c2 + … + an-r br-j cj + … + an j r n r r
n 0
n
… + r
=
n 1 1
n
n n r r an - r br - j cj r 0 r j0 j
Jadi rumus umum dari ekspansi trinomial (a + b + c) adalah seperti ditunjukkan rumus 2.
n 2 2 cj + an – 2 b2 – j cj + 2 j 0 j r r an - r br - j cj + … + j 0 j
n
n r r
n
(a + b + c)n = an - r br - j cj r 0 r j0 j
(a + b + c)n = [ an] + 0 0 1 j 0 j an – 1 b 1 – j
n
cj + n
atau
cr] atau an – r br – j cj r j 0 j Dengan demikian ekspansi (a + b + c)n dapat ditulis secara singkat sebagai berikut. r
- j - 1
r
r
(a + b + c)n = an - r br - j cj r 0 r j0 j
.... (2) b. Piramida Pascal untuk Ekspansi (a + b + c + d)n Pada pembahasan sebelumnya, terlihat bahwa segitiga pascal dapat dikembangkan dalam menentukan konfigurasi koefesien-koefesien dari ekspansi (a + b + c)n yang dikenal Piramida Pascal. Selanjutnya, apakah metode tersebut dapat dikembangkan untuk ekspansi polinomial (a + b + c + d)n, (a + b + c + d + e)n dan seterusnya. Oleh karena itu, akan diselidiki dulu formula dari ekspansi (a + b + c + d)n sebagai berikut. Pertama, ekspansi (a + b + c + d)0 menghasilkan koefesien tunggal yaitu 1 Kedua, ekspansi (a + b + c + d)1 memiliki koefesien-koefesien : 1a + 1b + 1c + 1d yang diwakili oleh piramida dengan elemen 1 pada tiap titik sudutnya.
1
1
1
1
Ketiga, ekspansi (a + b + c + d)2 memiliki koefesien-koefesien : 1a2 +
2ab + 2ac + 2ad + b2 + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2 yang diwakili oleh piramida dengan konfigurasi sebagai berikut.
1 2 1
2
2
2
1 2 1 2
Terlihat bahwa koefesien-koefesien pada tiap rusuk sama, yaitu 1 2 1 yang merupakan baris ke-3 dari segitiga pascal dan koefesienkoefesien pada tiap bidang piramida juga sama: 1 2 2 1 2 1 yang merupakan bilangan segitiga baris ke-3 dari piramida pascal. Langkah-langkah menentukan konfigurasi koefesien dari ekspansi (a + b + c + d)n, pada dasarnya sama dengan langkah-langkah menentukan konfigurasi koefesien dari ekspansi trinomial.
6
Contoh ekspansi (a + b + c + d)4 1. Koefesien-koefesien tiap rusuk piramida unit untuk ekspansi (a + b + c + d)4 adalah 1 4 6 4 1 yang merupakan baris ke-5 dari segitiga pascal. 2. Piramida unit untuk ekspansi (a + b + c + d)4 dibentuk dari piramida pascal untuk ekspansi (a + b + c)n dengan koefesienkoefesien pada segitiga alas adalah koefesien dari ekspansi (a + b + c)4, yaitu:
1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 3. Kalikanlah koefesien-koefesien pada tiap segitiga unit dari piramida pascal secara berturutan dengan: 1 4 6 4 1 sehingga diperoleh piramida unit untuk ekspansi (a + b + c)4. Hubungan antara segitiga Pascal dan piramida Pascal ditunjukkan oleh gambar 3.
1x
1x 1 1x 2x 1 1x 1
1x 4x 6x 4x 1x 1
1
x1x
1
1
1x
1x 3x 3x 1x
1
1
1
1
x4x
1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 4 6 4
1
x4x
1
x1x
1
2 1 2 1 3 3 3 3 6 1 1 3 3 1 4 4 6 6 12 4 4 12 12 4 6 4
x6x
1
1 2
1
1
Cara II
4
Cara I 4
4
12 6 12 12 4 12 6 6 24 4 4 12 12 1 4 4 6 6 12 4 1 12 12 4 6 4 6
1
6
12
1
Gambar 3. Menentukan Koefesien dari ekspansi (a + b + c + d)4
7
1) Aturan Penggunaan Piramida Pascal untuk Ekspansi (a + b + c + d)n .
dengan pangkat n-r dan variabel b dengan pangkat r, sedangkan koefesien pada baris ke-2 dari lapis ke-r adalah koefesienkoefesien dari perkalian antara variabel a dengan pangkat tetap (n-r) dari suku sebelumnya dan variabel b dengan pangkat turun 1 tingkat dari sebelumnya serta variabel c dengan pangkat naik 1 tingkat dari sebelumnya.
Aturan dari penggunaan piramida pascal untuk ekspansi (a + b + c + d)n dapat diuraikan sebagai berikut. a) Bilangan pertama (puncak piramida) adalah koefesien dari a dengan pangkat tertinggi, yaitu n, b) Bilangan-bilangan pada lapis ke-2 adalah koefesien-koefesien dari perkalian antara a dengan pangkat turun 1 tingkat dari lapis sebelumnya dan variabel lain b, c dan d sedemikian sehingga derajat tiap suku = n (pangkat a + pangkat b + pangkat c + pangkat d = n), c) Pada segitiga lapis ke-r, bilangan pertama (puncak) dari segitiga lapis ke-r adalah koefesienkoefesien dari perkalian antara a
Catatan: - Dalam 1 baris pangkat a tetap dan pangkat b tetap dari suku sebelumnya, pangkat c turun serta pangkat d naik 1 tingkat dari suku sebelumnya sedemikian sehingga derajat tiap suku = n - dalam 1 lapis pangkat dari a sama.
anb0c0d0
a|,b↓ c|,d↑
a|,b↓ c↑,d| an-rbrc0d0
a|,b| c↓,d↑ an-rbrc0d0
an-rb0c0dr a0bnc0d0
a0b0cnd0
a0b0c0dn
a↓,b↑ a↓,b| a↓,b| | | c ,d c|,d↑ c↑,d| Gambar 4. Aturan untuk Menentukan Ekspansi (a + b + c + d)n 2) Formula Umum dari Ekspansi (a + b + c + d)n. Untuk menentukan formula umum dari ekspansi (a + b + c + d)n akan ditinjau kembali proses yang diuraikan sebelumnya, yaitu 1)
menentukan konfigurasi koefesienkoefesiennya dan 2) menggunakan koefesien-koefesien tersebut untuk ekspansi (a + b + c + d)n. Dengan menggunakan kombinasi maka konfigurasi koefesien-koefesien dari
8
ekspansi (a + b + c + d)n dapat ditulis sebagai berikut. n 0
0 0
× 2 0 2 × 2
n 1
2 2 0 × 1 2 2
n 2
r r 0 1 r 2 r j
n × r
r r
n n
2 0
r 1
j 1
j 0 r 2
n n
j 2
2 0
× n 0
r 0 n 1
r 1
j m
1 0
n 2
2 2
n 0 0 n a ] + 0 1 1 b + ( an–1c + 1 0
(a + b + c + d)n = [ 0 0
0 n-1 a 0 n 2 0 2 d) + [ an-2b2 + 2 0 0 1 1 1 2 2 ( an-2bc + an – 2 bd) + ( an0 1 2 0
1 0
2 1
j j j - 1 j r r r - 2 r - 1
r r
2 2 r r r - 2 r - 1
r j n r
2c 2
2 2
j j - 2
0 0
r 2
Dengan menggunakan aturan tersebut maka formula umum dari ekspansi (a + b + c + d)n dapat dirumuskan sebagai berikut.
n 1 [ 1 0 1 n - 1 a 1
0 0 1 0 2 1
r j
n n 0 1n 2 n r
1 0
1 0
0 1 0 1 2 0 2 0 1 0
× r 0
1 0
0 0 0 0
r r
n n - 2
2
n n - 1
n n
2
+ an-2cd + an-2 d2)] + … + 1 2
n r 0 n-r r r 1 [ a b + ( an-r br-1 c r 0 0 1 0 1 r 2 + an-r br-1 d ) + ( an-r br-2 c2 1 2 0 2
2
+ an-r br-2 cd + an-r br-2 d2 ) + 1 2 r
… + ( j 1
j
d + 2
j n-r r-j j j n-r r-j j – a b c + a b c 0 1 j an-r br-j cj – 2 d2 + … + m
9
j
1 n-r r-1 a b d ) + 1 2 n-r r-2 a b cd + 1
an-r br-j c an-r br-j cj – m dm + … + j 1 j
r
r
dj – 1 + an-r br-j dj ) + … + ( j r 0 r
r
r j
an-r cr + an-r cr – 1 d + an-r cr – 2 1 2
2
j n-r r-j j – 2 2 j + a b c d + … + an-r br-j 2 m j n-r r-j a b c dj – 1 + cj – m dm + … + j 1 j n-r r-j j r r a b d ) + … + ( an-r cr + j r 0 r n-r r – 1 r a c d + an-r cr – 2 d2 + … 1 2 r r n-r a c dr + an-r cr – j dj + … + j r 1
2
+ ( bn-2c2 + bn-2cd + bn2 0 1 2 2d 2
cr
n r
r
) + … + ( bn – r cr + bn – r r 0 1
–1
r
r
d + bn – r cr – 2 d2 + … + bn 2 j
–1
Atau n
Suku-suku pada segitiga ke-r = r r r j j an – r br – j cj – m dm j 0 j m 0 m r r j j n = an – r br – j cj – m dm j 0 j m 0 m r
n n + cn – r dr + … + dn )] r n
Bentuk umum suku-suku dengan koefesien-koefesien pada segitiga lapis ke-r dari piramida Pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Karena r bergerak dari 0 n maka rumus umum untuk ekpansi (a + b + c + d)n seperti ditunjukkan rumus 3.
n Suku-suku pada segitiga ke-r = [ r r 0 n-r r r 1 a b + ( an-r br-1 c + 0 0 1 0
n
r
+ an-r dr )] r
r n – r cr – j d j + … + b n - r d r ) + ( r n n n n n – 1 n n – 2 2 c + c d + c d +… 0 1 2
n
j
+ ( an-r br-j cj + an-r br-j cj – 1 d j 0 1
r r d2 + … + an-r cr – j dj + … + j r 1 r n an-r c dr – 1 + an-r dr )] + … + [ r n n 0 n n 1 n-1 1 b + ( b c + bn-1d ) 0 0 1 0 1 n 2
r 2 n-r r-2 2 ( a b c + 2 0 2 n-r r-2 2 a b d ) + … 2
r
r
j
j
(a + b + c + d)n = = an – r br – j cj – m dm r 0 r j 0 j m 0 m …. (3) c. Piramida Pascal untuk Ekspansi (a + b + c + d + e)n Bentuk geometri dari konfigurasi koefesien-koefesien dari ekspansi 5 suku dapat dilihat pada lampiran, yang merupakan pengembangan dari segitiga pascal juga. Dengan demikian konfigurasi koefesienkoefesien dari ekspansi dengan 3
suku, 4 suku, dan 5 suku atau lebih dapat diwakili oleh bilanganbilangan yang membentuk piramida pascal. Dengan berpedoman pada formula umum dari ekspansi 3 suku, dan 4 suku maka formula/rumus umum dari ekspansi 5 suku dapat ditulis seperti ditunjukkan rumus 4.
10
n
r
n
j
r
j
m
m
(a + b + c + d + e)n = an – r br – j cj – m dm – s es r 0 r j 0 j m 0 m s 0 s …. (4) d. Ekspansi Polinomial ( +⋯+ )
+
+
Dengan mengacu pada metode yang telah diuraikan sebelumnya, maka rumus umum untuk ekspansi polynomial dengan k suku yang berbeda dapat ditentukan. Misalkan suku-suku tersebut: a1, a2, a3, … , ak dengan k bilangan asli, n bilangan cacah, maka rumus umum dari ekspansi polinomial ditunjukkan oleh rumus 5. (a1+a2+a3+…+ak)n = n a 1n r1 r1 0 r1 n
r1 r 1 r r a 2 1 2 r r2 0 2
ri
ri ri ri 1 … a i ri 1 0 ri 1 rk 1 r k 1 a k 1rk 1 rk a k rk r rk 0 k
…. (5)
untuk i = 1, 2, 3, … , k-1, k bilangan asli dan n bilangan cacah
3. Simpulan dan Saran Berdasarkan uraian pada pembahasan, maka bentuk umum dari ekspansi polynomial dapat disederhanakan sebagai berikut.
r2
r2 r r a 3 2 3 … r3 0 r3
Tabel 2. Rangkuman Hasil Pengembangan Banyak suku 2
Bentuk ekspansi (a + b)n
3
(a+b+c)n
4
(a+b+c+d)n
5
(a+b+c+d+e)n
… k
… (a1+a2+a3+…+ a k) n
Bentuk Geometris Segitiga Pascal (lampiran 1) Piramida Pascal (lampiran 2) Piramida Pascal 1 derivatif (lampiran 3) Piramida Pascal 2 derivatif (lampiran 4) … Piramida Pascal (k-3) derivatif
Formula/Rumus umum n n an-k bk k 0 k n n r r an – r br – j cj r 0 r j 0 j n n r r an – r br – j r 0 r j 0 j j j cj – m dm m 0 m j j n n r r an – r br – j cj – m r 0 r j 0 j m 0 m
m dm – s es s 0 s m
n n nr a 1 1 r1 0 r1
r2
… r1 r 1 r r a 2 1 2 r r2 0 2
r2 r r a 3 2 3 … r3 0 r3
ri
ri ri ri 1 … a i ri 1 0 ri 1
rk 1
rk 1 a k 1rk 1 rk a k rk r rk 0 k
11
DAFTAR PUSTAKA Naga, Dali S. 1980. Berhitung Sejarah dan Pengembangannya. Jakarta: PT Gramedia. Posamentier, Alfred S. dan Jay Stepelmen. 1990. Teaching Secondary School Mathematics Techniques and Enrichment Units Third Edition. Merril Publishing Company Columbus.
Tentang Penulis: I Wayan Puja Astawa. Lahir di Selumbung tanggal 16 Januari 1981. Pendidikan yang pernah ditempuh S1 Pendidikan Matematika IKIP Negeri Singaraja dan S2 Pendidikan matematika di Pascasarjana Undiksha Singaraja. Bertugas di SMK Negeri 1 Abang, Karangasem, Bali sejak tahun 2003 sampai sekarang. Aktif sebagai ketua MGMP Matematika Kabupaten Karangasem.
12
Piramida Pascal untuk Ekspansi (a + b)n 1
n=0
1
n=1
n=2
1
n=3
n=4
1
1
4
1
1
2
3
1
3
6
4
1
13
Piramida Pascal untuk Ekspansi (a + b + c)n 1
n=0
1 1
n=1
n=2
2
1
1
1
2
2
1
1 3 n=3
3
1
6
3
3 3 1
3
1 4 6 4 n=4
1
12
12 4
4 6 12
6
4 4
1
14
Piramida Pascal 1 Derevatif untuk Ekspansi (a + b + c + d)n 1
n=0
1 1 1
n=1
1 1 2
2
n=2
2
1
2
1
2
2
1
1 3 3
3
6
3
3 6
6
3
1 3 n=3
6
3
1
3 3
3
1
3 1 4 4
12
6
4
6 12
12
6
4 12 12 4
24
12
12 12 4
12
1 4 6 4 n=4
1
12
12 4
4 6 12
6
4 4
1
15
Piramida Pascal 2 Derevatif untuk Ekspansi (a + b + c + d + e)n 1
n=0
1 1 1 1
n=1
1 1 2 2
2
2 1 2
2 n=2
2
2
1
1
2
2
1
1 3 3 3
3 3 6
6
6 6
3
3 6 1
6
3
3 3
3 6
3 3 n=3
6 1 6
3
1
3
6
3
3 3
3
1
3 1 4 4 4
4 6 12
12
12 12
6
6 12 4
12
6
12 12
12 12 24
12
12 12 1
24 4 24
24
12
12 12
12
1
12 1 4
4
4 6 12
6
12 12
4
12 4 6
4 n=4
1
12 4 24
6
12 12
12
4
12
1
12 4
12
4 6 12
6
4 4
1
16
