Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal dalam Superkonduktor Tipe II

Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal dalam Superkonduktor Tipe II Hari Wisodo1,2 , Pekik Nurwantoro1 , Agung Bambang Setio Utomo1 1 2

Jurusan Fisika FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia Jurusan Fisika FMIPA UM, Malang, Indonesia, E-mail: wisodo [email protected]

Intisari : Telah berhasil disimulasikan gerakan vortex tunggal dalam superkonduktor tipe II di bawah pengaruh rapat arus eksternal melalui persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) pada κ = 5. Diskretisasi persamaan TDGL menggunakan skema beda hingga standar. Simulasi dilakukan bagi superkonduktor 2D persegi 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada bidang xy yang terletak dalam medan ˆ Pada keadaan setimbang, superkonduktor dialiri rapat arus eksternal Jex = 0, 5ˆi untuk H = −1, 85k. memberikan gaya F = 2Bz (y)Jex,xˆj pada vortex tunggal agar bergerak ke arah y dengan kecepatan v = E/Bz (y)ˆj. Keadaan ini menyebabkan vortex mengalir dari daerah medan magnet tinggi menuju daerah dengan medan magnet yang lebih rendah. Aliran vortex tersebut melepaskan energi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan listrik sepanjang lebar bahan.

Kata kunci : persamaan TDGL, arus eksternal, aliran vortex

1

PENDAHULUAN

ajikan dalam bentuk variabel ternormalisasi. Normalisasi setiap variabel ditunjukkan pada Tabel 1. Tanda aksen (. . .0 ) setiap variabel pada tabel tersebut menunjukkan bahwa variabel bersangkutan adalah variabel ternormalisasi. Untuk alasan kepraktisan, dalam penulisannya tanda aksen ini tidak dicantumkan.

Simulasi numerik masalah superkonduktor tipe II berdasarkan model Ginzburg Landau telah banyak dilakukan [1, 2, 3, 4]. Penelitian banyak dilakukan untuk superkonduktor tipe II mengingat bahan ini memiliki aplikasi yang luas dan memiliki unjuk kerja yang tinggi menurut tanggap bahan terhadap medan magnet eksternal. Selain itu, terdapat beberapa pemicu terhadap tingginya minat penelitian dalam bidang ini. Pertama adalah penemuan bahan superkonduktor suhu tinggi oleh Bednorz dan Muller. Kedua adalah perkembangan teknologi nano yang sangat pesat sehingga fabrikasi bahan-bahan berskala nanometer dapat terwujud. Pergerakan vortex dalam superkondktor mesoskopik memiliki peluang untuk dimanfatkan sebagai gerbang logika dasar [5]. Karena itu, diperlukan kajian yang mendalam tentang gerakan vortex akibat adanya rapat arus eksternal dalam bahan. Dalam makalah ini, semua variabel dis-

2

PERSAMAAN TDGL

Persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) ternormalisasi dibawah transformasi tera dengan tera potensial listrik nol adalah
∂Ψ = (∇ − iA)2 Ψ + 1 − |Ψ|2 Ψ, (1) ∂t κ2 ∇ × ∇ × A = Js + Jn + Jex (2) dengan Js = (∇S − A) |Ψ|2 ∂A Jn = − ∂t κ2 ∇ × Hex = Jex . 1

(3) (4) (5)

Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal . . .

2

Tabel 1: Normalisasi variabel yang disajikan dalam satuan MKS

No.

Variabel

Normalisasi

1

Posisi

2

Operator Nabla

r = ξ(T )r0 1 ∇= ∇0 ξ(T )

3

Waktu

4

Parameter Order

ξ 2 (T ) 0 t D Ψ = Ψ0 (T )Ψ0

5

Potensial Vektor Magnet

A = µ0 Hc2 (T )ξ(T )A0

6

Induksi Magnet

B = µ0 Hc2 (T )B0

7

Rapat Arus Super

Js =

Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 s

8

Rapat Arus Normal

Jn =

Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 n

9

Rapat Arus Eksternal

Jex =

10

Medan Magnet Eksternal

H = Hc2 (T )H0

11

Magnetisasi

M = Hc2 (T )M0

12

Konduktivitas Normal

σ=

t=

Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 ex

1 σ0 µ0 Dκ2

Syarat batas bagi Ψ untuk superkonduktor yang berbatasan dengan bahan isolator atau vakum adalah (∇ − iA)|n Ψ = 0.

(6)

Syarat batas bagi A bergantung pada keadaan sistem yang dikaji. Tinjau bahan superkonduktor tipe II persegi dua dimensi berukuran Lx × Ly yang dialiri rapat arus eksternal konstan Jex = Jex,xˆi, Gambar 1. Rapat arus ini menginduksikan medan Hex = Hex,z kˆ di sisi atas dan Hex = −Hex,z kˆ di sisi bawah yang sesuai dengan hukum Amp`ere. Kaitan antara kekuatan induksi magnet dan besar rapat arus eksternal tersebut adalah [6] Hex,z =

Jex,x Ly . 2κ2

(7)

Sekarang tinjau superkonduktor dua dimensi pada bidang xy yang terletak dalam ˆ tanpa ada Jex . Untuk medan H = −Hz k Hz > Hc2 , vortex akan memasuki bahan dan

Gambar 1: Superkonduktor dua dimensi dialiri rapat arus eksternal konstan.

mengatur dirinya untuk mencapai keadaan setimbang. Jika dalam keadaan ini pada bahan dialiri Jex , lihat Gambar 2, resultan medan di sisi atas, Hu , dan di sisi bawah, Hd , menjadi   Jex,x Ly ˆ Hu = − Hz − k, (8) 2κ2   Jex,x Ly ˆ k. (9) Hd = − Hz + 2κ2

3

Hari W., Pekik N., Agung B.S.U.

Gambar 2: Superkonduktor dalam medan H yang dialiri Jex .

Dari kedua persamaan ini tampak bahwa sisi bawah adalah daerah medan magnet tinggi sedangkan sisi atas adalah daerah medan magnet yang lebih rendah. Syarat batas bagi A di sisi-sisi superkonduktor sebelum dialiri arus eksternal adalah B = ∇ × A = H.

(10)

Setelah dialiri arus eksternal syarat batas bagi A untuk sisi atas dan bawah adalah B = ∇ × A = Hu , B = ∇ × A = Hd

(11) (12)

sedangkan untuk sisi kiri dan kanan tetap menggunakan persamaan (10). 3

METODE

Parameter benahan Ψi,j , potensial vektor listrik Ai,j = (Ax;i,j , Ay;i,j , 0), induksi magnet Bi,j = (0, 0, Bz;i,j ), dengan Bz;i,j = (∇ × A)z = (∂x Ay;i,j − ∂y Ax;i,j ), serta variabel penghubung Uµ;i,j = exp(−iκhµ Aµ ; i, j)(µ = x, y) didefnisikan di titik-titik grid komputasi persegi, r = (i, j), seperti ditunjukkan pada Gambar 3 [4]. Variabel penghubung diperkenalkan untuk menjaga invariansi tera di bawah diskretisasi. Diskretisasi persamaan (1) dan (2) menggunakan skema diskretisasi beda hingga standar dengan evolusi waktunya didekati dengan

Gambar 3: (a) Grid komputasi sistem yang ditinjau. (b) Titik-titik evaluasi untuk Ψ( ), Ux dan Ax (2), Uy dan Ay (#), dan Bz;i,j (×) dalam sel grid satuan dengan luas S = hx hy dan keliling l = l1 + l2 + l3 + l4 .

metode Euler. Hasilnya adalah  n ∂Ψi,j n+1 n Ψi,j = Ψi,j + ∆t + (O∆t2 )(13) ∂t n  ∂Ax;i,j n+1 n + (O∆t2 )(14) Ax;i,j = Ax;i,j + ∆t ∂t  n ∂Ay;i,j n+1 n Ay;i,j = Ay;i,j + ∆t + (O∆t2 ).(15) ∂t dengan suku dalam tanda kurung ruas kanan ketiga persamaan ini ditunjukkan pada persamaan (16), (17), dan (18). Hasil perhitungan persamaan (13), (14), dan (15) merepresentasikan keadaan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2 tanpa ada Jex . Ketika superkonduktor dialiri Jex = Jex,xˆi, pada persamaan (17) ditambahkan Jex,x . Simulasi dilakukan bagi superkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) dengan κ = 5. Superkonduktor ukuran ini dapat menghasilkan vortex tunggal [7]. Dipilih Nx = Ny = 64 yang menghasilkan hx = hy = 0, 046875. Batas secara teoritik untuk dt adalah dt < h2 /2κ2 [1]. Karena itu dipilih dt =

Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal . . .

 ∗ Ux;i−1,j Ψi−1,j − 2Ψi,j + Ux;i,j Ψx;i+1,j ∂Ψi,j = ∂t h2x  ∗
Uy;i,j−1 Ψi,j−1 − 2Ψi,j + Uy;i,j Ψy;i,j+1 2 + + 1 − |Ψi,j | Ψi,j h2y
= Ux;i,j Ψ∗i,j Ψi+1,j ∂Ax;i,j = ∂t hx   Ay;i+1,j − Ay;i,j − Ay;i+1,j−1 + Ay;i,j−1 Ax;i,j+1 − 2Ax;i,j + Ax;i,j−1 2 − −κ hx hy h2y
= Uy;i,j Ψ∗i,j Ψi,j+1 ∂Ay;i,j = ∂t hy   Ax;i,j+1 − Ax;i,j − Ax;i−1,j+1 + Ax;i−1,j Ay;i+1,j − 2Ay;i,j + Ay;i−1,j 2 −κ − hx hy h2x

0, 00002 untuk menjamin kestabilan perhitungan. Berdasarkan kurva magetisasi pada Gambar 4 ditetapkan Hz = 1, 85 yang lebih besar dari Hc1 . Setiap nilai −Mz (t) pada Hz tertentu pada kurva tersebut dihitung dengan rumus −Mz (t) = Hz − hBz;i,j i dePNx PNy Bz;i,j (t) , Bz;i,j = ngan hBz;i,j i = j=1 i=1 Nx Ny Ay;i+1,j − Ay;i,j Ax;i,j+1 − Ax;i,j − sampai t = hx hy 100 karena pada t ini superkonduktor telah mencapai keadaan setimbang. Setelah tercapai keadaan setimbang, jumlah vortex yang masuk dihitung dengan persamaan [8] Nv =

1 2π

! N x −1 X

tan−1

i=2 Ny −1

+

X

tan−1

= Ψ∗i,2 Ψi+1,2


!

< Ψ∗i,2 Ψi+1,2




= Ψ∗2,j Ψ2,j+1


!


< Ψ∗2,j Ψ2,j+1    ∗ N −1 x = Ψ Ψ X i,Ny i+1,Ny  − tan−1   ∗ < Ψi,Ny Ψi+1,Ny i=2
! Ny −1 ∗ X = Ψ Ψ N ,j+1 x Nx ,j
.(19) − tan−1 ∗ < Ψ Ψ N ,j+1 x N ,j x j=2 j=2

Aliran vortex tunggal diperoleh dengan langkah sebagai berikut. Menggunakan input seperti ditunjukkan pada paragraf di atas, hitung persamaan (13), (14), dan (15) sampai t = 100 yang mana supekonduktor telah mencapai keadaan setimbang. Pada t > 100

−Mz /Hc2 (T )

4

(16)

(17)

(18)

Nv /Φ0

H/Hc2 (T ) Gambar 4: Kurva magnetisasi (sumbu y kiri) dan jumlah vortex (sumbu y kanan) bagi superkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada κ = 5.

masukkan Jex pada persamaan (17). Pada keadaan ini syarat batas bagi A berbeda dengan keadaan pada t ≤ 100. 4

DINAMIKA VORTEX MENUJU KEADAAN SETIMBANG

Dinamika vortex tunggal ketika menuju keadaan setimbang dideskripsikan pada Gambar 5 dan 6. Awalnya, energi bebas menurun drastis sampai t = 20 yang kemudian melambat sampai t = 45. Keadaan ini berulang pada waktu berikutnya. Energi bebas menurun dengan cepat antara t = 45 dan t = 55 kemudian melambat sampai akhirnya mencapai keadaan setimbang pada t = 60.

5

Hari W., Pekik N., Agung B.S.U.

Perilaku magnetisasi bahan sama seperti energi bebas sampai t = 45, Gambar 5.b., yaitu ketika vortex telah mulai masuk ke dalam bahan, Gambar 5.c. Pada interval waktu antara t = 45 dan t = 60 magnetisasi justru bertambah sampai akhirnya mencapai nilai setimbangnya pada 0, 00175. Keadaan ini dapat dipahami melalui perilaku vortexnya, Gambar 6. Vortex berusaha masuk dengan cepat dari keempat sisi bahan sampai t = 20. Setelah itu vortex mengalami perlambatan dengan kuat. Pergerakan vortex untuk masuk akhirnya tertahan. Sebagian vortex yang telah masuk dari sisi kiri, kanan, dan atas secara berangsur-angsur keluar dari bahan untuk berpindah masuk dari sisi bawah. Sebagian vortex yang telah masuk dari sisi atas meninggalkan bahan lebih cepat dari vortex di sisi kanan dan kiri, t = 35, 42. Akhirnya vortex dalam keadaan meta stabil berhasil masuk dari sisi bawah pada t = 42. Setelah itu vortex mengatur dirinya untuk mencapai keadaan setimbangnya. Gambar 7 menunjukkan keadaan vortex tunggal pada keadaan setimbang. 5

ALIRAN VORTEX

Aliran vortex dalam superkondutor karena adanya rapat arus eksternal ditunjukkan pada Gambar 8. Tampak bahwa vortex mengalir dari daerah medan maget tinggi menuju daerah medan magnet rendah. Kedaan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Dalam keadaan setimbang induksi magnet dalam bahan sama dengan medan magnet luar, Bz = Hz . Jika rapat arus homogen dilewatkan pada bahan dalam arah x, persamaan (5) memberikan κ2

∂Bz = Jex;x . ∂y

(20)

Artiya induksi magnet Bz (y) bervariasi dalam rentang Bz0 + ∆Bz dan Bz0 . Arus totalnya diberikan oleh I = κ2 ∆Bz . Energi bebas Ginzburg-Landau dapat dituliskan sebagai [1, 9, 10] Z 1 E= fn − |Ψ|2 + |Ψ|4 + |(∇ − iA) Ψ|2 2 V +κ2 (∇ × A − H)2 dv.(21)

Suku terakhir pada persamaan ini adalah sumbangan dari rapat energi medan. Karena itu, rapat energi Bz adalah κ2 Bz2 (y). Gradien dari rapat energi ini menghasilkan rapat gaya Lorentz atau tekanan magnet:
∂Bz (y) ∂ κ2 Bz2 (y) = 2κ2 Bz (y) (22) Fy = ∂y ∂y yang dapat diungkapkan dalam bentuk rapat arus eksternal menjadi Fy (y) = 2Bz (y)Jex;x .

(23)

Gaya inilah yang mendorong vortex bergerak ke arah y. Karena itu, vortex masuk ke dalam bahan dari sisi bawah, bergerak melintasi bahan, dan meninggalkan bahan dari sisi atas. Dengan cara inilah fluks magnet bergerak dari daerah medan magnet tinggi menuju daerah dengan medan magnet yang lebih rendah. Penjelasan serupa telah digunakan T. Winiecki untuk menjelaskan aliran banyak vortex dalam superkonduktor [11]. Disipasi dalam superkonduktor tipe II terkait dengan gerak vortex. Karena rapat energi diberikan oleh kuadrat kekuatan induksi magnet, transport ini melepaskan energi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan sepanjang lebar bahan. Kerapatan lokal vortex sebanding dengan medan magnet lokal, Bz (y). Karena itu, kecepatan vortex terkait dengan medan lokal adalah vy (y) = α/Bz (y). Koefisien α dapat dikaitkan dengan energi yang terlepas dari induksi magnet relaksasi menjadi energi listrik, −∆E = V I∆t, dengan V = ELy adalah tegangan sepanjang bahan dan Ly adalah lebar bahan. Diketahui fluks magnet yang masuk dan meninggalkan superkonduktor sebesar ΦB = vy (y)∆tBz (y). Energi disipasi total per satuan waktu ∆t dalam bentuk fluks magnet ini adalah ∆E = ΦB ILy yang dapat diungkapkan menjadi  α 2 2 κ B0 ∆E = Ly ∆t B0 α − κ2 (B0 + ∆Bz )2 ) (24) B0 + ∆Bz Dibawah asumsi paling sederhana bahwa medan listrik tidak bergantung pada y (tidak ada muatan lokal) diperoleh kecepatan vortex vy =

E Bz (y)

(25)

Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal . . . Analisis di atas juga berlaku jika |Bz0 | < |∆Bz |, dengan kata lain, jika Bz (y) = 0 pada suatu garis. Dalam kasus ini, vortex berlawanan tanda masuk dari kedua sisi bahan dan menganihilasi dimana Bz (y) = 0. 6

KESIMPULAN

Aliran vortex tunggal dapat dihasilkan dengan cara mengaliri superkonduktor keadaan setimbang pada bidang xy dalam medan ˆ dengan rapat arus eksternal H = −Hz k ˆ Jex = Jex,x i untuk memberikan gaya F = 2Bz (y)Jex,xˆj pada vortex tunggal agar bergerak ke arah y dengan kecepatan v = E/Bz (y)ˆj. Keadaan ini menyebabkan vortex mengalir dari daerah medan magnet tinggi menuju daerah dengan medan magnet yang lebih rendah. Aliran vortex tersebut melepaskan energi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan listrik sepanjang lebar bahan. PUSTAKA [1] T. Winiecki dan C. S. Adams, 2002, A Fast Semi-Implicit Finite-Difference Method for the TDGL Equations, Journal of Computational Physics, 179, hlm. 127139 [2] Hernandes 2002 Hern´andes , A. D., Dom´ınguez D., 2002, Surface Barrier in Mesoscopic Type I and Type II Superconductors, Physical Review B, Vol. 65, No. 144529, hal. 1 - 12. [3] Crabtree G. W., Gunter D. O., Kaper H. G., Koshelev A. E. Leaf G. K., dan Vinokur V. M., 1999, Numerical Simulations of Driven Vortex Systems, Preprint ANL/MCS-P764-0699, Argonne National Laboratory, Argonne, III, 1999 [4] Gropp, W. D., Kaper, H. G., Leaf, G. K., Levine D. M., Palumbo M. dan Vinokur V. M., 1996, Numerical Simulation of Vortex Dynamics in Type-II Superconductors, Journal of Computational Physics, 123, hal. 254-266.

6

[5] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U, 2010, Disain Arus Vortex sebagai Gerbang Logika Dasar, Makalah dalam Seminar Fisika Nasional FMIPA UGM [6] M. Machida, H. Kaburaki, 1994, Numerical Simulation of Flux-Pinning Dynamics for a Defect in a Type-II Superconductor, Physical Review B, 50, hlm. 1286-1289 [7] P.N. Lisboa-Filho, A.L. Malvezzi, E. Sardella, 2008, Minimum size for the occurrence of vortex matter in a square mesoscopic superconductor, Physica B 403 (2008) 14941496 [8] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U, 2009, Kajian Dinamika Vortex dalam Supekonduktor Mesoskopik, Makalah dalam Seminar Hasil Penelitian Staf dan Mahasiswa S3 FMIPA UGM [9] D. R. Tilley dan J. Tilley, 1990, Superfluidity and Superconductivity, Bristol: IOP Publishing Ltd, hlm. 295, 299 [10] Waldram, J. R., 1996, Superconductivity of Metais adn Cuprates, Intitute of Physics, London, hlm. 43 [11] T. Winiecki, 2001, Numerical Studies of Superfluids and Superconductors, Disertasi tidak dipublikasikan, hlm. 87 - 88.

7

Hari W., Pekik N., Agung B.S.U.

gs − fn µ0 Hc2 (T )

(a)

(a) t = 0, 1

(b) t = 20

(c) t = 35

(d) t = 42

(e) t = 45

(f) t = 48

t/(ξ 2 (T )/D)

−M/Hc2 (T )

(b)

t/(ξ 2 (T )/D)

Nv /Φ0

(g) t = 50

(b)

t/(ξ 2 (T )/D)

Gambar 5: Kurva rapat energi bebas (a), magnetisasi (b), dan jumlah vortex sebagai fungsi waktu.

(h) t = 100

Gambar 6: Perilaku vortex tunggal untuk mencapai keadaan setimbang dalam bahan superkonduktif ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada H = 1, 85Hc2 (T ) dan κ = 5.

Pengaruh Rapat Arus Eksternal terhadap Gerakan Vortex Tunggal . . .

y/ξ(T )

(a)

y/ξ(T )

(b)

|Ψ(x)|2

(c)

(a) t = 100, 5

(b) t = 101, 0

(c) t = 101, 4

(d) t = 102, 1

(e) t = 102, 5

(f) t = 102, 9

8

Bz (x)

Gambar 8: Arus vortex tunggal dalam superkonduktor 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada κ = 5, H = 1, 85Hc2 (T ), dan Jex,x = 0, 00005.

x/ξ(T ) Gambar 7: Keadaan vortex tunggal setimbang dalam superkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada H = 1, 85Hc2 (T ) dan κ = 5 saat t = 100ξ 2 (T )/D. (a) Kontur |Ψ(r)|2 , (b) kontur induksi magnet, dan (c) sayatan kedua kontur di y = 1, 5ξ(T ).