Pengantar Analisis Fungsional
Pengantar
Diktat atau Hand-out AnalisisFungsional ini ditulis atas inisatif jurusan dengan harapan agar mahasiswa lebih mudah memahami materi-materi perkuliahaan yang diadakan/diselenggarakan oleh jurusan. Muatan diktat ini disesuaikan dengan silabus yang telah disusun oleh jurusan. Karena Analisis Fungsional merupakan ramuaan antara Ruang Metrik dan Aljabar Linear dan kerap kali waktu perkulihan Ruang Metrik bersamaan dengan waktu perkulihan Analisis Fungsional, maka sebagai awal perkulihan dimulai dengan BAB 1, Ruang Metrik, yang memberikan dengan singkat pengertian-pengertian dasar Ruang Metrik terutama yang akan diperlukan untuk pembahasan materi-materi selanutnya. Bab 2, Ruang bernorma, memuat pengertian dasar dan sifatsifat ruang Banach, fungsi dan fungsioal linear kontinu, dan ruang lp. Bab 3, Ruang Hilbert. Di dalam bab ini, selain selain membahas sifat-sifat dasar dibahas pula basis ortonormal dan kom plemen ortogonal. Bab 4, Operator dan operator pendamping, memuat pembahasan ( fungsi linear dan kontinu ), Teorema Riesz-Frechet dan operator pendamping ( adjoint operator ). Bab 5, Operator pada ruang Hilbert dan nilai sejati, memuat bahasan tentang operator-operator khusus, vektor sejati, dan nilai sejati. Sengaja, tidak semua teorema-teorema yang sederhana di dalam diktat/hand-out ini dibuktikan, dimaksud untuk latihan mahasiswa. Soal-soal/latihan pun tak diberikan. Soal dan latihan akan diberikan bersama dengan perkuliahan.
Penyusun :
Soeparna Darmawijaya
0
BAB 1 RUANG METRIK
Materi dasar untuk mempelajari/memahami Analisis Fungsional adalah Ruang Vektor dan Ruang Metrik. Oleh karena itu, bab pertama ini menyajikan sepintas lalu mengenai materi-materi pokok Ruang Metrik untuk mngingat kembali bagi mahasiswa yang telah mengambil Analisis Real II dan untuk modal dasar bagi mahasiswa yang belum mengambil matakuliah itu. Oleh karena itu teorema-terema di dalam bab ini sebagian besar tanpa bukti. Sebenarnya ruang metrik merupakaan abstraksi ruang Rn. Tepatnya, jika diketahui himpunan X ≠ ∅ , padanya didefinisikan jarak ( metric ). Jadi definisi ruang metrik sebagai berikut.
1.1 Definisi dan sifat-sifat dasar Untuk selanjtnya, R menotasikan system bilangan real dan C menotasika system bilangan komplex. Khusunya, perlu diingat bahwa R dan C merupakan lapangan ( field ). Definisi 1.1.1 ; Diketahui himpunan X ≠ ∅. Fungsi d : X x X → R yang memenuhi syarat-syarat : (i) (ii) (iii)
d(x,y) ≥ 0 untuk setiap x, y 𝜖 𝑋, d(x,y) = 0 jika dan hanya jika x = y, d(x,y) = d(y,x), dan d(x,y) = d(y,z) + d(y,z) untuk setiap x, y, z 𝜖 𝑋.
disebut metrik ( metric ) atau jarak pada X. Himpunan X yang diperlengkapi dengan suatu metrik d dituliskan dngan (X,d) atau singkat ditulis dengan X saja disebut ruang metrik ( metric space ). Anggota ruang metrik disebut titik ( point ) dan bilangan d(x,y) disebut jarak antara titik x dan titik y. Mudah difahami bahwa jika (X,d) ruang metrik dan Y ⊂ X, maka (Y,d) juga ruang metrik yang disebut ruang-bagian. Contoh 1.1 1. R merupakan ruang metrik terhadap metrik d(x,y) = |x – y| untuk setiap x, y 𝜖 R. 1
2. Rn merupakan ruang metrik terhadap metrik: (a) 𝑑∞ (𝑥̅ ,𝑦̅) = maks{ |xk – yk| : 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 } , (b) dp(𝑥̅ ,𝑦̅) = {∑𝑛𝑘=1 |𝑥k – yk|p}1/p ( 1≤ p < ∞ ) untuk setiap 𝑥̅ = (x1 ,x2 , . . . ,xn), 𝑦̅ = (y1 ,y2 , . . . . ,yn) 𝜖 Rn. 3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada [a,b] merupakan 𝑏
ruang metrik terhadap metric : (a) d(f,g) = ∫𝑎 |f(x) – g(x)|dx, (b) 𝑑∞ (f,g) = sup{ |(x) – g(x)| : x 𝜖 [a,b] } untuk setiap f, g 𝜖 C(a,b). Konsep dasar hubungan titik dengan himpunan di dalam suatu ruang metrik adalah pengertian persekitaran. Definisi 1.1.2 : Jika (X,d) suatu ruang metrik dan x 𝜖 X, maka yang disebut persekitaran titik x dengan jari-jari 𝜹 > 0 adalah himpunan 𝑵𝜹 (x) = { y 𝝐 X : d(x,y) < 𝜹 }. Selanjutnya, jika A ⊂ X, maka x disebut titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada 𝛿 > 0 sehingga 𝑵𝜹 (x) ⊂ A. (ii) x disebut titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan Ac. (iii) x disebut titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap 𝑁𝛿 (x) benar bahwa \ 𝑵𝜹 (x) ∩ A – { x } ≠ ∅. (iv) x disebut titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap 𝑁𝛿 (x) benar bahwa 𝑵𝜹 (x) ∩ A ≠ ∅ dan 𝑵𝜹 (x) ∩ Ac ≠ ∅. (v) x disebut titik-terasing ( singular point ) himpunan A jika ada 𝛿 > 0 sehingga 𝑵𝜹 (x) ∩ A = { x }. Mudah difahami bahwa setiap titik-dalam suatu himpunan merupakan titik-limit himpunan itu. Terdapat dua kemungkinan, titik-batas suatu himpunan mungkin titik-limit atau mungkin titik-terasing himpunan itu. Titik-limit suatu himpunan belum tentu menjadi anggota himpunan itu. Jika titik-limit suatu himpunan bukan anggota himpunan itu tentu titk-limit itu merupakan titik-batas. Titik-batas suatu himpunan merupakan titik-batas himpunan komplemennya. (i)
1.2 Jenis-jenis himpunan Jenis-jenis himpunan di dalam suatu ruang metriadalah sebagai berikut. Definisi 1.2.1 : Diketahui (X,d) ruang metrik. (i)
U ⊂ X disebut himpunan terbuka ( open set ) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam.
2
(iii) (iv) (v) (vi) (vii)
F ⊂ X disebut himpunan tertutup ( closed set ) jika Fc merupakan himpunan terbuka. Ao = int(A) menotasikan koleksi semua titik-dalam himpunan A ⊂ X. ext(A) menotasikan koleksi semua titik-luar himpunan A ⊂ X. A’ menotasikan koleksi semua titik-limit himpunan A ⊂ X. 𝜕(𝐴) menotasikan koleksi semua titik-batas himpunan A ⊂ X. 𝑐𝑙(𝐴) menotasikan himpunan tertutup terkecil yang memuat A ⊂ 𝑋.
(viii)
𝐴 = A ∪ A’
(ii)
Teorema 1.2.2 : 𝜏, yaitu koleksi semua hmpunan terbuka di dalam setiap ruang metrik X mempunyai sifat-sifat : (i) (ii) (iii)
X, ∅ 𝜖 𝜏 . U, V 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜏 . 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃𝑈𝜖𝜎 𝑈 𝜖 𝜏 .
Bukti : (i): Setiap x 𝜖 X berakibat 𝑁𝛿 (𝑥) ⊂ X ; jadi terbukti bahwa X 𝜖𝜏 . Kalimat “Setiap x 𝜖 ∅ berakibat 𝑁𝛿 (𝑥) ⊂ ∅ “ bernilai benar (T) ; jadi terbukti pula bahwa ∅ 𝜖 𝜏. (ii) Jika U ∩ V = ∅ bukti selesai. Jika tidak demikian dan karena U dan V dua himpunan terbuka, tentu ada x 𝜖 𝑈 ∩ 𝑉 yang berarti x 𝜖 𝑈 dan x 𝜖 𝑉. Jadi ada bilangan real 𝛿 > 0 dan 𝜂 > 0 sehingga 𝑁𝛿 (x) ⊂ U dan 𝑁𝜂 (x) ⊂ V. Dipilih bilangan positif 𝜌 = min{𝛿, 𝜂}. Diperoleh 𝑁𝜌 (x) ⊂ 𝑁𝛿 (x) ⊂ U dan 𝑁𝜌 (x) ⊂ 𝑁𝜂 (x) ⊂ V yang berarti 𝑁𝜌 (x) ⊂ 𝑈 ∩ 𝑉 dan oleh karena itu U ∩ V 𝜖𝜏.
∎
Perlu mendapat perhatian bahwa di dalam setiap ruang metrik persekitaran merupakan himpunan terbuka. Teorema di bawah ini ekuivalen dengan Teorem 1.2.2 di atas. Teorema 1.2.3 : 𝜅, yaitu koleksi semua hmpunan tertutup di dalam setiap ruang metrik X mempunyai sifat-sifat : (i)
X, ∅ 𝜖 𝜅 .
(ii)
F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ 𝐺 𝜖 𝜅.
(iii)
(𝑖𝑖𝑖) 𝜋 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂𝐹𝜖𝜋 𝐹 𝜖 𝜅 .
Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. Teorema 1.2.4 : Diketahui (X,d} ruang metrik dan A ⊂ X. Pernyataanpernyataan di bawah in benar. (i) int(A) himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A. (ii) int(int(A)) himpunan terbuka
3
Teorema 1.2.5 : Diketahui (X,d} ruang metric dan A ⊂ X. Pernyataanpernyataan di bawah in benar. (i) A – 𝜕(𝐴) himpunan terbuka. (ii) A ∪ 𝜕(𝐴) himpunan tertutup. Bukti : Cukup dibuktikan yang (i) : Diambil sebarang x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) . Jadi, x 𝜖 A dan x bukan titik-batas jika dan hanya jika 𝜖 A dan ada 𝑁𝛿 (x) sehingga 𝑁𝛿 (x) ∩ A = ∅ dan 𝑁𝛿 (x) ∩ Ac = ∅. yang berakibat ada 𝑁𝛿 (x) sehingga 𝑁𝛿 (x) ⊂ A dan 𝑁𝛿 (x) ∩ Ac = ∅. Kenyataan ini berarti x titik-dalam himpunan A – 𝜕(𝐴). Jadi terbukti bahwa A – 𝜕(𝐴) merupakan himpunan terbuka.
∎
Teorema 1.2.6 : Diketahui (X,d} ruang metrik dan A ⊂ X. Pernyataanpernyataan di bawah in benar. (i) 𝐴 = A ∪ A’ himpunan tertutup. 𝐴 = cl(A). A tertutup jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 A dan 𝑁𝛿 (x) benar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ A ≠ ∅ . Bukti : (i) : Membuktikan bahwa A ∪ A’ himpunan tertutup ekuivalen ekui(ii) (iii)
valen dengan membuktikan bahwa komplemennya yaitu himpunanan Ac ∩ (A’)c merupakan hmpunan terbuka. Untuk itu cukup membuktikan sebarang x 𝜖 Ac ∩ (A’)c merupakan titik-dalamnya. x 𝜖 Ac ∩ (A’)c ⟺ x 𝜖 Ac dan x bukan titik-limit himpunan A ⟺ x 𝜖 Ac dan ada 𝑁𝛿 (x) sehingga 𝑁𝛿 (x) ∩ A – { x } = ∅, x bukan titik-limit himpunan A ⟺ ada 𝑁𝛿 (x) sehingga 𝑁𝛿 (x) ⊂ Ac dan x 𝜖 (A’)c ⟺ x titikdalam himpunan Ac ∩ (A’)c. (ii) : Karena telah terbukti bahwa 𝐴 = A ∪ A’ himpunan tertutup, memuat A, dan cl(A) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A, maka cl(A) ⊂ A ∪ A’. Selanjutnya, x 𝜖 A ∪ A’ ⟺ x 𝜖 A atau x 𝜖 A’ ⟺ x 𝜖 A atau atau untuk setiap 𝑁𝛿 (x) bebar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ A – { x } ≠ ∅ ⟹ x 𝜖 cl(A) atau untuk setiap 𝑁𝛿 (x) bebar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ cl(A) – { x } ≠ ∅ ⟺ x 𝜖 cl(A) ∪ (𝜖 cl(A))’ = 𝜖 cl(A). Jadi tebukti 𝐴 = cl(A). (iii) : A tertutup jika dan hanya jika A = cl(A) jika dan hanya jika x 𝜖 A dan 𝑁𝛿 (x) benar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ A≠ ∅.
∎
1.3 Barisan, limit fungsi, dan fungsi kontinu Definisi 1,3,1 : (i) : Barisan { xn } di dalam ruang metrik (X,d) dikatakan konvergen ( convergent ) jika ada k 𝜖 X sehingga untuk setiap bilangan real 4
𝜀 > 0 ada bilangan asli no shingga jika n ≥ no benar bahwa d(xn ,k) < 𝜀. Jika demikian, ditulis singkat dengan 𝐥𝐢𝐦 𝒅(xn ,k) = 0
𝒏→∞
atau
𝐥𝐢𝐦 𝒙n = k .
𝒏→∞
(ii) Barisan { xn } di dalam ruang metrik (X,d) disebut barisan Cauchy ( Cauchy sequence ) jika setiap bilangan real 𝜀 > 0 ada bilangan asli no shingga jika m, n ≥ no benar bahwa d(xm ,xn) < 𝜀. Teorema 1.3.2 : Setiap barisan yang konvergen merupakan barisan Cauchy. Sebaliknya tak benar. Ruang metrik yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut ruang metrik yang lengkap ( complete ) Contoh 1.3 1
1. Di dalam ruang metrik C(0,1) terhadap metrik d1(f,g) = ∫0 | f(x) – g(x)|dx tidak lengkap sebab ada barisan Cauchy { fn }, dengan fn(x) = nx untuk 0 ≤ x 1
1
< 𝑛 dan fn(x) = 1 untuk 𝑛 ≤ x ≤ 1, yang tak konvergen. 2. Ruang metrik C(0,1) terhadap metrik d(f,g) = sup{ |f(x) – g(x)| : x 𝜖 [0.1] } merupakan ruang metrik yang lengkap. Teorema 1.3.4 : (X,d) ruang metrik dan A ⊂ X. x 𝜖 X titik-limit himpunan A jika dan jika terdapat barisan { xn } ⊂ A yang konvergen ke x. Definisi 1.3.5 : (X,d), (Y,d1) dua ruang metrik, f : X → Y, dan a 𝜖 X. (i)
f(x) dikatakan berlimit ( konvergen ) ke suatu k 𝜖 Y untuk x → a, ditulis singkat dengan 𝐥𝐢𝐦 𝒇(x) = k , 𝒙→𝒂
(ii)
jika untuk sebarang bilangan real 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk stiap x 𝜖 X dengan d(x,a) < 𝛿 berakibat d1(f(x),k) < 𝜀 . Fungsi f dikatakan kontinu di a jika 𝐥𝐢𝐦 𝒇(x) = f(a) . 𝒙→𝒂
Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ X jika f kontinu di setiap titik anggota A. Yang dimaksud dengan fungsi f ; X → Y kontinu adalah fungsi f kontinu pada X. Teorema 1.3.6 : (X,d), (Y,d1) dua ruang metrik, f : X → Y, dan a 𝜖 X. f(x) dikatakan konvergen ke k 𝜖 Y untuk x → a jika dan hanya jika untuk setiap ba5
risan { xn } yang onvergen ke a berakibat barisan { f(xn) } konvergen ke k. Teorema 1.3.7 : Diketahui (X,d), (Y,d1) dua ruang metric dan f : X → Y,Tiga pernyataan di bawah ini ekuivaleen. (i) f kontinu. (ii) Jika V ⊂Y himpunan terbuka maka 𝑓 −1 (V) ⊂ X himpunan terbuka. (iii) Jika F ⊂Y himpunan tertutup maka 𝑓 −1 (F) ⊂ X himpunan tertutup. Definisi 1.3.8 : Dua ruang metrik X dan Y dikatakan homeomorphik ( homeomorphic) jika ada fungsi bijektif f dari X ke Y yang kontinu dan fungsi inversenya juga kontinu. Teorema 1.3.9 : Jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang metrik X ke ruang metrik Y, maka tiga pernytaan di bawah ini equivalen : (i) 𝑓 −1 : Y → X kontinu. (ii) 𝑆𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑈 ⊂ X himpunan terbuka berakibat f(U) ⊂ Y himpunan terbuka. (iii) 𝑆𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑈 ⊂ X himpunan tertutup berakibat f(U) ⊂ Y himpunan tertutup. Akibat 1.3.10 : Jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang metrik X ke ruang metrik Y dan memenuhi (i), (ii), atau (iii) Theorem 1.3.9, maka maka X dan Y homeomorphik.
1.4 Kekompakan ( Compactness ) Diketahui X ≠ ∅. ∆ ⊂ 2X disebut liput ( cover ) himpunan X jika X ⊂ ∑𝑨𝝐∆ 𝑨. Jika ada 𝜎 ⊂ ∆ yang masih meliput X maka 𝜎 disebut liput-bagian ( sub( cover ). Jika X ruang metrik dan ∆ liput X yang setiap anggotanya himpunan terbuka maka ∆ disebut liput terbuka ( open cover ). Jika ada 𝜎 ⊂ ∆ yang masih meliput X maka 𝜎 disebut liput-bagian ( sub-cover ). Definisi 1.4.1 : Ruang metrik X dikatakan kompak ( compact ) jika setiap liput terbukanya mempunyai liput-bagian yang banyak anggotanya hingga. Teorema : Jika X ruang metrik yang kompak maka setiap himpunan tertutup di dalamnya kompak. Teorema 1.4.2 : Diketahui dua ruang metrik X dan Y. Jika X kompak dan fungsi f : X → Y kontinu maka f(X) kompak.
6
BAB 2 RUANG BERNORMA
Yang dimaksud dengan ruang linear adalah ruang vektor atas lapangan R ( sistem bilaangan real ) atau atas lapangan C ( system bilangan complex ). Ruang bernorma dapat dipandang sebagai perpaduan antara ruang linear dan ruang metrik. Tepatnya, sebagai termuat di dalam definisi di bawah ini.
2.1 : Definisi dan sifat-sifat dasar Definisi 2.1.1 : Jika X ruang linear maka fungsi || . || : X → R yang memenuhi sifat-sifat : (i) (ii) (iii)
|| x || ≥ 0 untuk setiap x 𝜖 X; || x || = 0 jika dan hanya jika x = 𝜃 ( 𝜃 notasi vektor nol ), || 𝛼x || = |𝛼|.|| x || untuk setiap skalar 𝛼 dan x 𝜖 X; || x + y || ≤ || x || + || y || untuk setiap x, y 𝜖 X
disebut norma ( norm ) pada X dan bilangan nonnegatif || x || disebut norma vektot x (norm of x ). Ruang linear X yang diperlengkapi dengan norma || . || disebut ruang bernorma ( normed space ) dan dinotasikan dengan (X,|| . ||) atau dengan X saja asalkan normanya telah diketahui. Ruang bernorma (X,|| . || disebut aljabar benorma ( normed algebra ) jika X merupakan aljabar dan memenuhi sifat (iv)
|| x.y || ≤ || x ||.|| y ||
untuk setiap x, y 𝜖 X.
Contoh 2.1 1. Jelas bahwa R merupakan ruang linear atas lapangan R ( dirinya sendiri ). R merupakan ruang bernorma norma nilai mutlak . Jadi || x || = | x | untuk setiap x 𝜖 R. R juga aljabar bernorma.
7
C juga merupakan ruang linear atas lapangan C atau R. C merupakan ruang bernorma dengan norma modulus, Jadi || z || = | z | = || x + iy || = √𝑥 2 + 𝑦 2 . C juga aljabar bernorma. 2. Rn dan Cn merupakan ruang linear berturut-turut atas lapangan R dan C . Rn dan Cn merupakan ruang bernorma dengan bermacammacam norma ; antara lain : (a) || 𝑥 ∥∞ = maks{ | xk | : 1≤ k≤ n }, (b) || 𝑥 ||2 = ∑𝑛𝑘=1 | xk |2}1/2 untuk setiap 𝑥 = (x1 ,x2 , . . . . ,xn) 𝜖 Rn ( Cn ). Rn dan Cn juga merupakan aljabar bernorma. 3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada [a,b], merupakaan ruang linear terhadap lapangan R. C(a,b) merupakan ruang bernorma terhadap norma : 𝑏
(a) || f ||1 = ∫𝑎 | f(x) |dx
(b) || f || = sup{ | f(x) | : x 𝜖 [a,b] }.
4. 𝒮 menotasikan koleksi semua barisan bilangan. Dibentuk koleksikolesi bagian sebagai berikut. (i) 𝑙∞ = { 𝑥 = { xk } 𝜖 𝒮 : sup{ | xk | : k ≥ 1 } < ∞ }. 𝑙∞ merupakan ruang bernorma terhadap norma || 𝑥 ∥∞ = ||{ xk }∥∞ = sup{ | xk | : k ≥ 1 } untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑙∞ . (ii)
Untuk 1 ≤ p < ∞, p l p = { 𝑥 = { xk } 𝜖 𝒮 : ∑∞ 𝑘=1 |xk| < ∞ }
lp merupakan ruang bernorma terhadap norma p 1/p || 𝑥 ||p = || {xk } ||p = {∑∞ untuk setiap 𝑥 𝜖 lp . 𝑘=1 |xk| }
Contoh nomor 4 akan dibahas tersediri pada bagian 3( tiga ) bab ini. Teorema 2.1.2 : Setiap ruang bernorma (X,|| ||) merupakan ruang metrik (X,d) dengan metrik d(x,y) = || x – y ||. untuk setiap x, y 𝜖 X. Bukti : Diambil sebarang x, y, z 𝜖 X. Diperoleh : (a) d(x,y) = || x – y|| ≥ 0 dan d(x,y) = || x – y || = 0 ⟺ x – y = 𝜃 ⟺ x = y. (b) d(x,y) = || x – y || = || -(y – x) || = || y – x || = d(y,x). (c) d(x,y) = || x – y || = || (x – z) + (z – y)|| ≤ || x – z || + || z – y || 8
= d(x,z) + d(z-y). Bukti selesai.
∎
Berdasarkan Teorema 2.1.2 di atas maka semua definisi, semua pemngertian, semua teorema , dan sifat-sifat yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bertnorma Teorema 2.1.3 : Jika (X,|| ||) merupakan ruang bernorma, maka untuk setiap a 𝜖 X fungsi ta : X → X dengan rumus ta(x) = a + x
untuk setiap x 𝜖 X
merupakan homeomorphisma. Bukti : Jelas bahwa ta fungsi injektif, sebab jika ada ta(x) = ta(y) yaitu a + x = a + y berakibat x = y. ta surjektif sebab untuk setiap z 𝜖 X diperoleh tn-1(z) = (-a) + z 𝜖 X . Jadi, ta bijektif. Diambil sebarang himpunan terbuka U ⊂ X ; diperoleh ta-1(U) = -a + U dan ta(U) = a + U terbuka, sebab jika x titik-dalam himpunan U, berarti ada 𝑁𝛿 (x) ⊂ U, berakibat a +𝑁𝛿 (x) = a + { y 𝜖 X : d(x,y) = ||x – y|| < 𝛿 } = = { a +y 𝜖 X : ||x – y|| < 𝛿 } = { y 𝜖 X : ||(a+x) – y|| < 𝛿 } = 𝑁𝛿 (a+x) ⊂ a+U yang berarti a+U himpunan terbuka. Menurut Teorema 1.3.9 dan Akibat 1.3.10, terbukti bahwa ta merupakan homeomorphisma.
∎
Di dalam ruang bernorma (X,|| ||), sistem persekitaran titik 𝜃, yaitu koleksi semua persekitaran titik 𝜃, disebut sistem persekitaran fundamental ( system of fundamental neughborhood ) dan dinotasikan dengan {U}. Berdasarkan Teorema 2.1.3 di atas dan memfaatkan sistem persekitaran fundamental, diperoleh {x+U} merupakan sistem persekitaran titik x dan sebagai . contoh aplikasinya sebagai berikut. Contoh 2.1 Diketahui ruang linear bernorma (X,|| ||) , x 𝜖 X dan A ⊂ X. 1.
x titik-dalam himpunan A jika ada U 𝜖 {U} sehingga x + U ⊂ A.
2.
x titik-limit himpunan A jika ada U 𝜖 {U} sehingga x (x + U) ∩ A – { x } 9
≠∅.
Teorema 2.1.4 : Diketehui (X,|| ||) ruang bernorma (i) (ii) (iii)
Jika U ⊂ X himpunan terbuka, maka untuk setiap S ⊂ X benar bahwa S + U himpunan terbuka. Jika F ⊂ X himpunan tertutup, maka untuk setiap himpunan hingga S ⊂ X benar bahwa S + F himpunan tertutup. Untuk sebarang himpunan A ⊂ X benar bahwa cl(A) = 𝐴 = ⋂𝑈𝜖{𝑈}(A + U) .
Bukti : (i) dan (ii) mudah membuktikannya. Tinggal membuktikan (iii) Dambil sebarang x 𝜖 cl(A). Karena cl(A) himpunan tertutup, x 𝜖 cl(A) jika dan hanya jika (x + U) ∩ cl(A) ≠ ∅ untuk setiap U 𝜖 {U} jika dan hanya jika x 𝜖 A + U untuk setiap U 𝜖 {U} jika dan hanya jika x 𝜖 ⋂𝑈𝜖{𝑈}(A + U) . ∎ Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. Teorema 2.1.5 : Diketahui ruang bernorma (X,|| ||), Jika { xn ], { yn } ⊂ X berturut-turut konvergen ke x dan y dan 𝛼 sebarang scalar, maka (i) 𝛼{ xn } konvergen ke 𝛼x, (ii) { xn + yn } konvergen ke x + y, (iii) { ||xn|| } konvergen ke ||x||. Jika { xn ] dan { yn } barisan Cauchy maka 𝛼{ xn } dan { xn + yn } barisan Cauchy. Karena ruang bernorma nerupakan ruang metric, maka barisan Cauchy di dalam ruang bernorma belum tentu konvregen. Definisi 2.1.5 : Ruang bernorma yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut ruang Banach ( Banach space ). Aljabar bernorma yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut aljabar Banach ( Banach algebra ). Contoh 2.1 1. Telah diketahui bahwa C(0,1) merupakan ruang bernorma terhadap norma 1
|| f || = ∫0 |f(x)|dx tetapi C(0,1) bukan ruang Banach, sebab barisan { fn } di 1
1
dalam C(0,1) dengan fn(x) = nx untuk 0 ≤ x < 𝑛 dan fn(x) = 1 untuk 𝑛 ≤ x ≤ 1 tidak konvergen ; lim 𝑓 n(x) = f(x) = 1 untuk 0 < x ≤ 1 dan 𝑛→∞
lim 𝑓 n(0) = f(0) = 0 ( f bukan anggota C(0,1) ).
𝑛→∞
2. Tetapi C(0,1) merupakan ruang Banach terhadap norma ||f||= sup{ |f(x)| : x 𝜖 [0,1], sebab jika diambil sebarang barisaan Caucy { fn } di dalam C(0,1) 10
diperoleh sebagai berikut. Karena { fn } barisan Cauchy maka untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 berakibat || fm(x) – fn(x) | < 𝜀 untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Hal ini berarti { fn(x) } merupakan barisan Cauchy bilangan untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Jadi barisan { fn(x) } konvergen, katakan, ke suatu bilangan f(x) untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Oleh karena itu untuk sebarang bilaangan 𝜖 > 0 dan x 𝜖 [0,1] ada bilangan asli nx sehing -ga jika n ≥ nx benar bahwa | fn(x) – f(x) | < 𝜀/4 . fn kontinu di x 𝜖 [0,1] , jadi ada bilangan real 𝛿 x > 0 sehingga jika y 𝜖 [0,1] dan |x – y| < 𝛿 x benar bahwa | fn(x) – fn(y) | < 𝜀/4 . Berdasarkan dua ketidaksamaan terakhir diperoleh, untuk n ≥ maks{nn ,ny} | f(x) – f(y) | ≤ | f(x) – fn(x) | + | fn(x) - fn(y) | + | fn(y) – f(y) | < 𝜀/4 + 𝜀/4 + 𝜀/4 < 𝜀. atau terbukti f kontinu pada [0,1] dan oleh kareana itu barisaan Cauchy { fn }konvergen ke fungsi f 𝜖 C(0,1). ∎ Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. \
Teorema 2.1.6 : Jika Y merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang Banach X, maka Y lengkap ( ruang Banach bagian ) Deret ∑∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 di dalam ruang bernorma (X,|| ||) dikatakan konvergen ke suatu x 𝜖 X, seperti di dalam sistem bilangan real R, jika barisan jumlah parsialnya juga konvergen ke x. Deret bilangan ∑∞ 𝑘=1 ||𝑥𝑘 || disebut deret mutlaknya. Di dalam ruang bernorma tak ada jaminan bahwa jika deret mutlak suatu deret konvergen deretnya sendiri konvergen. Jika itu terjadi diperoleh teorema di bawaah ini. Teorema 2.1.7 : Ruang bernorma (X,|| ||) merupakan ruang Banach jika dan hanya jika setiap deret mutlak konvergen berakibat deretnya sendiri konvergen. Bukti : Syarat perlu : Diketahui X ruang Banach dan dan sebarang deret mutlak ∑∞ 𝑘=1 ||xk|| konvergen. Jadi untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bialngan asli no Sehingga jika bilangan asli k ≥ no benar bahwa ∑∞ 𝑘≥𝑛𝑜 ||xk|| < 𝜀. Hal ini berakibat ∞ || ∑∞ 𝑘≥𝑛𝑜 𝑥 k || ≤ ∑𝑘≥𝑛𝑜 ||xk|| < 𝜀.
yang berarti ∑∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 konvergen. Syarat cukup : Diambil sebarang barisan Cauchy {un} di dalam X. Jadi untuk setiap bilangan asli kada bilangan asli nksehingga un-
11
tuk setiap asli m, n ≥ nk benar bahwa || um - un || <
1 2𝑘
,
khususnya
|| 𝑢𝑛𝑘+1 - 𝑢𝑛𝑘 || <
1 2𝑘
.
Dibentuk : v1 = 𝑢𝑛1 , v2 = 𝑢𝑛2 - 𝑢𝑛1 , v3 = 𝑢𝑛3 - 𝑢𝑛2 , . . . . , vk = 𝑢𝑛𝑘+1 - 𝑢𝑛𝑘 Diperoleh : ∑∞ 𝑘=1 ∥ 𝑣𝑘 || = ||𝑢𝑛1 || + ||𝑢𝑛2 - 𝑢𝑛1 || + ||𝑢𝑛3 - 𝑢𝑛2 || + . . . . 1
1
2
22
< ||𝑢𝑛1 || + +
+
1 23
+....
konvergen. Jadi, menurut hipotesis, deret ∑∞ 𝑘=1 𝑣𝑘 konvergen atau barisan parsialnya yaitu deret Cauchy {un} konvergen yang berarti X lengkap ( X ruang ∎
Banach ).
2.2 Fungsi linear kontinu Telah diketahui bawwa ruang bernorma merupaakan ruang metrik . Jadi pengertian fungsi kontinu telah diketahui. Tetapi ruang bernorma juga meupakan ruang linear maka diperoleh trorema di bawah ini, Teorema 2.2.1 : Jika (X,|| ||) dan (Y,|| ||) dua ruang bernorma dan fungsi T : X → Y fungsi linear maka pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen. (i) (ii) (iii) (iv) (v)
T kontinu. T kontinu di suatu x 𝜖 X. T kontinu di 𝜃. { ||T(x)|| : x 𝜖 X dengan ||x|| ≤ 1 } himpunan terbatas. Terdapat bilangan M ≥ 0 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔a || T(x) || ≤ M.||x|| untuk setiap x 𝜖 X.
Bukti : (i) ⟹ (ii) : Cukup jelas. (ii) ⟹ (iii) : Diambil sebarang barisan { xn } di dalam X yang konvergen ke 𝜃. Cukup jelas bahwa barisan {xn + x} konvergen ke x. Karena T kontinu di x maka barisan {T(xn + x) = {T(xn)} + T(x) konvergen ke T(x) = 𝜃 + T(x) ( 𝜃 vektor nol di dalam Y ) ; jadi {T(xn)} konvergen ke 𝜃 = T(𝜃) atau terbukti bahwa T kontinu di θ. (iii) ⟹ (iv) : Diambil sebarang x 𝜖 X dengan 1
||x|| ≤ 1 dan dibentuk yn = 𝑛x. Diperoleh barisaan { yn } konvergen ke 𝜃 dan karena T kontinu di 𝜃 diperoleh 1
{T(yn) } = { 𝑛 T(x) } konvergen ke T(𝜃) = 𝜃 yang berarti ada bilangan M ≥ 0 sehingga T(x) ≤ M untuk setiap x 𝜖 X dengan ||x|| ≤ 1 atau { ||T(x)|| : x 𝜖 X dengan 12
||x|| ≤ 1 } himpunan terbatas. (iv) ⟹ (v) : Jika x 𝜖 X dan x ≠ 𝜃 maka y =
𝑥 ||𝑥|| 𝑥
dengan ||y|| ≤ 1. Jadi, menurut hipotesis, ada bilaangan M ≥ 0 sehingga ||T(||𝑥|| )|| = ||T(y)||≤ M atau ||T(x)|| ≤ M.||x||. Jika x = 𝜃 dan kaarena T linear diperoleh ||T(𝜃)|| = ||𝜃|| ≤ M. ||𝜃|| = 0. (v) ⟹ (i) : Menurut (v), ada bilangan M ≥ 0 sehingga untuk setiap x, y 𝜖 X benar bahwa ||T(x) – T(y)|| = ||T(x – y)|| ≤ M.||x – y||. Jsdi, jika diambil bilangan real 𝜀 > 0 diperoleh ||T(x) – T(y)|| < 𝜀 asalkan ||x – y|| < 𝛿 dengan 1
𝛿 < 𝑀+1 𝜀. Dengan kata lain terbukti bahwa T kontinu (seragaam ) pada X. ∎ Jika X dan Y dua ruang bernorma, L(X,Y) menotasikan koleksi semua fungsi linear dari X ke Y, Lc(X,Y) menotasikan koleksi semua fungsi linear kontinu dari X ke Y, dan X* = Lc(X,F) menotasikan koleksi semua fungsional linear kontinu pada X yaitu semua fungsi linear kontinu dari X ke lapangan F ( F = R atau F = C ). X* biasa disebut ruang dual ( dual space of ) X. Mudah difahami bahwa L(X,Y), Lc(X.Y), dan X* masing-masing ruang linear dan Lc(X,Y) ⊂ L(X,Y). Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.2.1 (iv) dan (v) di atas akan dikonstruksikan suatu norma pada Lc(X,Y). Teorema 2.2.2 : Jika T 𝜖 Lc(X,Y), maka 𝛼 = 𝛽 dengan 𝛼 = sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 }
dan
𝛽 = inf{ M ≥ 0 : || T(x)| ≤|M.||x|| dan x 𝜖 X }. Bukti : Diambil sebarang 𝑥 𝜖 X. diperoleh : 𝑥
||T(x)|| ≤ 𝛽||x|| ⟹ 𝛼 = 𝛽 jika ||x|| ≤ 1. Jika ||x|| > 1 diperoleh T(||𝑥|| ) ≤ 𝛽 ⟹ 𝛼 ≤ 𝛽. 𝑥
𝑥
Sebaliknya, karena ||||𝑥|||| ≤ 1 diperoleh ||T(||𝑥|| )|| ≤ 𝛼 atau ||T{x)|| ≤ 𝛼.||x|| yang berarti ≤ 𝛼. Jadi terbukti 𝛼 = 𝛽.
∎
Berdasarkan Teorema 2.2.1 dan kenyataaan ||T|| = 𝛼 = 𝛽 maka fungsi linear kontinu juga disebut fungsi linear terbatas atau operator. Teorema 2.2.3 : Lc(X,Y) merupakan ruang bernorma terhadap norma ||T|| = 𝛼 = 𝛽 untuk setiap T 𝜖 Lc(X,Y). Bukti : Lc(X,Y) sungguh merupakan ruang linear, sebab untuk stiap S, T 𝜖 Lc(X,Y) dan scalar 𝛼 dan 𝛽 jelas bahwa 𝛼𝑆 + 𝛽𝑇 𝜖 Lc(X,Y). Selajutnya, juga jelas bahwa (i) ||T|| = sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1} ≥ 0 dan ||T|| 0 jika dan hanya jika T(x)|| = 0 jika dan hanya jika T = O ( O fungsi nol, fungsi linear kontinu ). 13
(ii) ||𝛼T|| = sup{ ||T(𝛼x)|| : 𝛼x 𝜖 X dan ||𝛼x|| ≤ 1} = sup{|𝛼| ||T(x)|| : 𝛼x 𝜖 X dan ||𝛼x|| ≤ 1} (iii)
= |𝛼|. sup{ ||𝑇(𝑥)||: 𝑥 𝜖 𝑋 dan ||𝑥|| ≤ 1 } = |𝛼|.||T||. ||S + T|| = sup{ ||(S + T)(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 } ≤ sup{ ||S(x)|| + ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 } ≤ sup{ ||𝑆(𝑥)|| ∶ 𝑥 𝜖 𝑋 dan ||𝑥|| ≤ 1 } + sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 } = ||S|| + ||T||. ∎
Dengan kata lain terbukti bahwa (Lc(X,Y),|| ||) ruang bernorma.
Teorema 2.2.4 : Jika Y ruang Banach maka Lc(X,Y) ruang Banach. Bukti : Telah tebukti ( Teorema 2.2.3 ) bahwa Lc(X,Y) merupakan ruang bernorma. Tinggal membutikan bahwa ruang bernorma Lc(X,Y) lengkap. Diambil sebarang barisan Cauchy {Tn} di dalam Lc(X,Y), Jadi, unyuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 dan x 𝜖 𝑋 terdapat bilangan asli no sehingga jika m, n ≥ no benar bahwa 𝜀
||Tm – Tn|| <
||𝑥||+1
.
Kenyataan ini berakibat ||Tm(x) – Tn(x)|| = ||(Tm – Tn)(x)|| ≤ ||Tm – Tn||.||x|| <
𝜀 ||𝑥||+1
||x|| < 𝜀.,
Dengan kata lain, untuk setiap x 𝜖 𝑋, {Tn(x)} merupakan barisan Cauchy di dalam ruang Banach. Jadi ada T(x) 𝜖 Y sehingga lim 𝑇𝑛 (x) = T(x).
𝑛→∞
Cukup mudah dilihat baahwa T merupakan fungsi dari X ke Y. T linear, sebab untuk setiap x, y 𝜖 𝑋 dan scalar α dan 𝛽 benar bahwa T(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 ) = lim 𝑇𝑛 (𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = lim{ 𝛼.Tn(x) + 𝛽.Tn(y)} 𝑛→∞
𝑛→
= 𝛼.T(x) + 𝛽.T(y). T kontinu ( terbatas ), sebab untuk sebarang x 𝜖 𝑋 benar bahwa ||T(x)|| = lim || 𝑇𝑛 (x)|| ≤ lim || 𝑇𝑛 ||.||x|| = ||T||.||x|| . 𝑛→∞
𝑛→∞|
Dengan demikian terbukti bahwa barisan Cauchy {Tn} di dalam Lc(X,Y} konvergen ke T 𝜖 Lc(X,Y)atauterbukti bahwa Lc(X,Y} lengkap ( ruang Banach ). ∎ Akibat 2.2.5 : Untuk sebarang ruaang bernorma X maka X* ruang Banach.
14
2.3 Ruang barisan lp ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) Pada Contoh 2.1 nomor 4 telah diperkenalkan bahwa 𝒮 adalah koleksi semua barisan bilangan. Akan diperlihatkan bahwa : 𝒍∞ = {𝒙 = {xk} : sup{|xk|, k≥1} < ∞} merupakan ruang bernorma terhadap norma ||𝒙 ∥∞ = ||{xk}∥∞ = sup{ |xk| : k ≥ 1} untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑙∞ . p (ii) lp = {𝒙 = {xk} : ∑∞ 𝒌=𝟏 |xk| < ∞ }, dengan 1≤p<∞, merupakan ruang bernorma terhadap norma p 1/p ||𝒙||p = ||{xk}||p = {∑∞ 𝒌=𝟏 |xk| } untuk setiap 𝑥 𝜖 lp . Untuk keperluaan tersebut diperlukan lemma di bawah ini . (i)
Lemma 2.3.1 : ( Lemma Young ) 1
1
Jika 1 < p, q < ∞ dan 𝑝 + 𝑞 = 1, maka untuk setiap dua bilangan u dan v benar bahwa
|u.v| ≤ 1
1
𝑝
𝑞
|𝒖|𝒑 𝒑
+
|𝒗|𝒒 𝒒
.
Bukti : + = 1 ⟺ p + q = pq ⟺ p = q(p - 1) ⟺ q = p(q – 1). Oleh karena itu jika diambil y = xp-1 diperoleh x = yq-1 Lihat gambar di samping : |u|.|v| ≤ luas I + luas II. Oleh kaarena itu |𝑢|
|𝑣|
|u|.|v| ≤ ∫0 𝑥 𝑝−1dx + ∫0 𝑦 𝑞−1dy =
|𝑢|𝑝 𝑝
+
|𝑣|𝑞 𝑞
.
Bukti selesai. ∎ Teorema 2.3.2 : ( Ketidaksamaan Holder ) (i) Untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 dan 𝑦 = {yk} 𝜖 𝑙∞ benar bahwa ∞ | ∑∞ 𝒌=𝟏 𝒙𝒌 𝒚𝒌 | ≤ ∑𝒌=𝟏 |𝒙𝒌 𝒚𝒌 | ≤ ||𝒙||1.||𝒚 ∥∞ . (ii) Jika 1 < p, q < ∞ dan
1 𝑝
1
+ 𝑞 = 1 maka untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 lp dan 𝑦 ={yk}
𝜖 lq benar bahwa ∞ | ∑∞ 𝒌=𝟏 𝒙𝒌 𝒚𝒌 | ≤ ∑𝒌=𝟏 |𝒙𝒌 𝒚𝒌 | ≤ ||𝒙||p.||𝒚||q . ∞ Bukti : (i) : Cukup jelas bahwa ∑∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 𝑦𝑘 | ≤ ∑𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 |. Selanjutnya, ∞ ∑∞ 𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 | ≤ ∑𝒌=𝟏|𝒙𝒌 |. sup{|yk; : k≥ 1} = ||𝒙||1.||𝒚 ∥∞ . ∞ ∞ (ii) Cukup jelas bahwa ∑∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 𝑦𝑘 | ≤ ∑𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 |. Membuktikan ∑𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 |
15
≤ ||𝑥||p.||𝑦||q ekuivalen dengan membuktikan ∑∞ 𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 | / ||𝑥||p.||𝑦||q ≤ 1. ∞ ∑∞ 𝑘=1 |𝑥𝑘 𝑦𝑘 | / ||𝑥||p.||𝑦||q = ∑𝑘=1 |xk|/||𝑥||p.|yk|/||𝑦||q 1
1
p q ≤ ∑∞ 𝑘=1{ 𝑝(|xk|/||𝑥||p) + 𝑞 (yk|/||𝑦||q) ≤ 1.
∎
Bukti selesai.
Teorema 2.3.3 : ( Ketidaksamaan Minskoski ) Jika 1 ≤ p ≤ ∞ dan 𝑥 = {xk}, 𝑦 = {yk} 𝜖 lp maka ||𝒙 + 𝒚||p ≤ ||𝒙||p + ||𝒚||p . Bukti : Jika p = 1 diperoleh ∞ ∞ ∞ ||𝑥 + 𝑦||1 = ∑∞ 𝑘=1 |xk + yk| ≤ ∑𝑘=1{|xk| + |yk|} = ∑𝑘=1 |xk| + ∑𝑘=1 |yk| = ||𝑥||1 + ||𝑦||1
Jika p = ∞ diperoleh ||𝑥 + 𝑦 ∥∞ = sup{|xk + yk| : k≥ 1} ≤ sup{|xk| + |yk| : k≥ 1}≤ sup{|xk| : k≥ 1} + ≤ sup{|yk| : k≥ 1} = ||𝑥 ∥∞ + ||𝑦 ∥∞ . Jika 1 < p < ∞ diperoleh |xk + yk|p = |xk + yk|.|xk + yk|p-1 ≤ {|xk |+ |yk|}.|xk + yk|p-1 = |xk |.|xk + yk|p-1 + |yk|.|xk + yk|p-1 dan dijumlah untuk semua k diperoleh ∞ p p-1 p-1 ∑∞ + ∑∞ 𝑘=1 |xk + yk| = ∑𝑘=1 |xk |.|xk + yk| 𝑘=1 |yk|.|xk + yk| (p-1)q 1/q (p-1)q 1/q ≤ ||𝑥||p.∑∞ } + ||𝑦||p.∑∞ } 𝑘=1{|xk + yk| 𝑘=1{|xk + yk| p 1/q = {||𝑥||p + ||𝑦||p}.∑∞ 𝑘=1{|xk + yk| }
atau p 1/p ||𝑥 + 𝑦||p = {∑∞ ≤ ||𝑥||p + ||𝑦||p . 𝑘=1 |xk + yk| }
Bukti selesai.
∎
Teorema 2.3.4 : (𝑙∞ ,|| ∥∞ ) dan (lp,|| ||p) ruang Banach. Bukti : 𝑥 = {xk} 𝜖 𝑙∞ ( lp ) jika dan hanya jika sup{|xk| : k≥1} < ∞ ( ∑∞ 𝑘=1 |xk| < ∞) Oleh karena itu untuk setiap : 𝑥 = {xk}, 𝑦 = {yk} 𝜖 𝑙∞ ( lp ) dan skalar 𝛼 diperoleh ∞ sup{|𝛼xk| : k≥1} = |𝛼|sup{|𝑥𝑘| ∶ 𝑘 ≥ 1} < ∞ ( ∑∞ 𝑘=1 | 𝛼xk| = |𝛼| ∑𝑘=1 |xk| < ∞)
yang 𝛼𝑥 𝜖 𝑙∞ ( lp ). Langsung, menurut Teorema 2.3.2, diperoleh 𝑥 + 𝑦 𝜖 𝑙∞ ( lp ). Jadi terbukti 𝑙∞ ( lp ) ruang linear. Karena ||𝑥 ∥∞ = sup{|xk| : k≥1} ≥ 0 ( ||𝑥||p = 1/p {∑∞ ≥ 0 ), ||𝑥 ∥∞ = 0 ( ||𝑥||p = 0 ) jika dan hanya jika xk = 0 untuk setiap k 𝑘=1 |xk|}
jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑜, ||𝛼𝑥 ∥∞ = |𝛼|.||𝑥 ∥∞ ( ||𝛼𝑥||p = |𝛼|.||𝑥||p _, dan menurut 16
Teorema 2.3.2 diperoleh ||𝑥 + 𝑦||p ≤ ||𝑥||p + ||𝑦||p untuk 1 ≤ p ≤ ∞ dapat disimpulkan bahwa (𝑙∞ ,|| ∥∞ ) dan (lp,|| ||p) merupakan ruang bernorma. 𝑛
Sekaraang diambil sebarang barisan Cauchy {𝑥 } = {{𝑥𝑘𝑛 }} di dalam 𝑙∞ ( lp ). Jadi, untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga jika m, n ≥ no benar bahwa 𝑚
𝑛
||𝑥 - 𝑥 ∥∞ < 𝜀
𝑚
𝑛
( ||𝑥 - 𝑥 ||p < 𝜀 ).
Hal ini berakibat | 𝑥𝑘𝑚 - 𝑥𝑘𝑛 | < 𝜀 untuk setiap k yang berarti {𝑥𝑘𝑛 } merupakan barisan Cauchy bilangan untuk setiap k. Jadi untuk setiap k ada bilangan xk se𝑛
lim 𝑥𝑘𝑛 = xk yang berarti lim 𝑥 = {xk} = 𝑥 atau
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
||𝑥 - 𝑥 ∥∞ = lim ∥ 𝑥 − 𝑥 ∥∞ < 𝜀 (||𝑥 - 𝑥 ∥𝑝 = lim ∥ 𝑥 − 𝑥 ∥𝑝 < 𝜀 ) 𝑚→∞
𝑚→∞
dan oleh karena itu 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
||𝑥 ∥∞ ≤ ||𝑥 - 𝑥 ∥∞ + ||𝑥 ∥∞ < ∞ ( ||𝑥 ∥𝑝 ≤ ||𝑥 - 𝑥 ∥𝑝 + ||𝑥 ∥𝑝 < ∞ ) . 𝑛
Jadi daapat disimpulkan bahwa barisan Cauchy {𝑥 } = {{𝑥𝑘𝑛 }} konvergen 𝑥 𝜖 𝑙∞ ( lp ) atau terbukti bahwa (𝑙∞ ,|| ∥∞ ) dan (lp,|| ||p) ruang Banach.
∎
Perlu diingatbahwa jika X ruang bernorma maka X* = Lc(X,F), yaitu koleksi semua fungsioanal linear terbatas pada X, disebut ruang dual ruang bernorma X. Dua teorema di bawah ini akan menyajikan ruang dual ruang Banach 𝑙1 dan ruang Banach lp ( 1 < p < ∞ ). Teorema 2.3.5 : (l1)* = 𝑙∞ . Bukti : Untuk setiap 𝑧 𝜖 𝑙∞ dibentuk fungsional 𝑇𝑧 pada ruang Banach l1 dengan rumus 𝑇𝑧 (𝑥) = ∑∞ 𝑘=1 𝑥 k𝑧̅k untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 . 𝑇𝑧 linear, sebab untuk setiap 𝑥 , 𝑦 𝜖 l1 dan skalar 𝛼 diperoleh ∞ 𝑇𝑧 (𝛼𝑥) = ∑∞ 𝑘=1 𝑥 𝛼 k𝑧̅k = 𝛼 ∑𝑘=1 𝑥 k𝑧̅k = 𝛼𝑇𝑧 (𝑥)
dan
∞ ∞ 𝑇𝑧 (𝑥 + 𝑦) = ∑∞ 𝑘=1(𝑥k+ yk)𝑧𝑘 = ∑𝑘=1 𝑥 k𝑧̅k + ∑𝑘=1 𝑦k𝑧̅k = 𝑇𝑧 (𝑥) + 𝑇𝑧 (𝑦) .
𝑇𝑧 terbatas, sebab ∞ | 𝑇𝑧 (𝑥) | = | ∑∞ 𝑘=1 𝑥 k𝑧̅k | ≤ ∑𝑘=1 |𝑥 k𝑧̅k| ≤ ||𝑧 ∥∞ .||𝑥||1 .
Karena setiap 𝑧 𝜖 𝑙∞ merepresentasikan fungsional linear kontinu 𝑇𝑧 pada X maka dapat ditulis 𝑙∞ ⊂ (l1)* . Sebaliknya , diambil sebarang S 𝜖 (l1)*. Jadi S merupakan funsional linrat terbatas pada l1 yang berarti untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 diperoleh 17
| S(𝑥) | ≤ ||S||.||𝑥||. Jika S = O bukti selesai. Jika tidak, diambil sebarang 𝑧 𝜖 𝑙∞ dan 𝑧 ≠ 𝑜 dan 𝑧
dibentuk 𝑦 = ||𝑆|| . Oleh karena itu dapat diidentifikasi S = 𝑇𝑢 dengan 𝑢 = 𝑧 ||𝑦||
𝜖 𝑙∞ yang berarti setiap S 𝜖 (l1)* dapat disajikan dengan suatu elemen di dalam
𝑙∞ ; jadi (l1)* ⊂ 𝑙∞ dan bukti selesai.
∎
Teorema 2.3.6 : Jika p > 1, maka (lp)* = lq dengan
1
1
𝑝
+𝑞=1.
Bukti : Untuk setiap 𝑧 - {zk} 𝜖 lq dibentuk fungsional 𝑇𝑧 pada lp dengan rumus 𝑇𝑧 (𝑥) = ∑∞ 𝑘=1 𝑥 k𝑧𝑘 untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 lp . 𝑇𝑧 merupakan linear, sebab untuk setiap scalar 𝛼 dan 𝑥, 𝑦 𝜖 lp benar bahwa ∞ 𝑇𝑧 (𝛼𝑥) = ∑∞ 𝑘=1 𝛼𝑥 k𝑧𝑘 = 𝛼. ∑𝑘=1 𝑥 k𝑧𝑘 = 𝛼. 𝑇𝑧 (𝑥 )
dan
∞ ∞ 𝑇𝑧 (𝑥 + 𝑦) = ∑∞ 𝑘=1)𝑥k + yk)𝑧𝑘 = ∑𝑘=1 𝑥 k𝑧𝑘 + ∑𝑘=1 𝑦k𝑧𝑘 = 𝑇𝑧 (𝑥) + 𝑇𝑧 (𝑦).
𝑇𝑧 terbatas, sebab berdasarkan Teorema 2.3,2 diperoleh | 𝑇𝑧 (𝑥) | = | ∑∞ 𝑘=1 𝑥 k𝑧𝑘 | ≤ ||𝑧||q.||𝑥||p. Jadi, berdasarkan hasil tersebut , setiap 𝑧 - {zk} 𝜖 lq membangkitkan fungsional linear kontinu 𝑇𝑧 pada lp , dapat ditulis lq ⊂ (lp)*. Sebaliknya, diambil sebarang S 𝜖 (lp)*. Jika S = O, cukup jelas bahw O = 𝑇𝑜 . Jika 𝑧
tidak demikian, diambil 𝑧 ≠ 𝑜 𝜖 lq dan dibentuk 𝑦 = ||𝑆|| atau S = 𝑇𝑢 dengan 𝑢 = 𝑧 ||𝑦||
. Jadi, jelas bahwa setiap S 𝜖 (lp)* menentukan 𝑢 𝜖 lq yang berarti (lp)* ⊂.lq
dan bukti selesai.
∎
18
BAB 3 RUANG HILBERT
Telah diketahui bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Di dalam bab ini akan dibangun struktur yang lebih khusus yaitu ruang pre-Hilbert ( ruang Hilbert ), Ruang ini merupakan ruang bernorma.
3.1 Ruang pre-Hilbert dan sifat-sifat sederhananya Definisi 3.1.1 : Diketahui H ruang linear. Fungsi < , > : HxH → F disebut inner-product, dot-product, atau scalar-product jika mempunyai sifat-sifat : (i) <x,y> = < 𝑦, 𝑥 > untuk setiap x, y 𝜖 H, (ii) <𝛼x,y> = 𝛼<x,y> untuk setiap x, y 𝜖 H dan skalar 𝛼, (iii) <x + y,z> = <x,z> + <x,z> untuk setiap x, y, z 𝜖 H, dan (iv) <x,x> > 0 jika dan hanya jika x > 𝜃 ( 𝜃 vektor nol ). Ruang linear H yang diperlengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert atau ruang inner-product. Contoh 3.1 (a) 1. Rn dan Cn msing-masing merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product <𝑥,𝑦> = ∑𝑛𝑘=1 𝑥k𝑦k untuk setiap 𝑥 = (x1 ,x2 , . . . . ,xn), 𝑦 = (y1 ,y2 , . . . . ,yn) 𝜖 Rn ( Cn ). 2. l2 merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product <𝑥,𝑦> = ∑∞ 𝑘=1 𝛼 k𝛽 k untuk setiap 𝑥 = {𝛼𝑘 }, 𝑦 = {𝛽𝑘 } 𝜖 l2 . 3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu ( bernilai real atau kompleks ) pada selang tertutup [a,b] merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inne-product 𝑏
= ∫𝑎 𝑓(x)𝑔(x)dx untuk setiap f, g 𝜖 C(a,b). Dengan memanipulasi Definisi 3.1.1 tak sukar membuktikan teorema di bawah ini. Teorema 3.1.2 : Pada seiap ruang per-Hilbert H benar bahwa : (i) <x,𝛼𝑦 > = 𝛼<x,y> untuk setiap x, y 𝜖 H dan skalar 𝛼. (ii) <x,y + z> = <x,y> + <x,z> untuk setiap x, y, z 𝜖 H, (iii) <x – y,z> = <x,z> - dan <x,y – z> = <x,y> - <x,z>
19
untuk setiap x, y, z 𝜖 H, untuk setiap x, y 𝜖 H, jika dan hanya jika x = 𝜃, untuk setiap z 𝜖 H ⟹ x = y.
(iv) <x,𝜃> = <𝜃,y> = 0 (v) <x,x> = 0 (vi) <x,z> =
Menurut Definisi 3.1.1 (iv) dan Teorema 3.1.2 (v) diperoleh untuk setiap x anggota ruang pre-Hikbert H benar bahwa <x,x> ≥ 0. Oleh karena itu dapat diangkat definisi sebagai berikut. Definisi 3.1.3 : H ruang pre-Hilbert. (i) Untuk setiap x 𝜖 H, bilangan non negative ||x|| = √< 𝑥, 𝑥 > disebut norma ( norm ) vector x. (ii) Diketahui x, y 𝜖 H dua vector tak nol. x dikatakan tegak lurus ( orthogonal ), ditulis dengan x ⊥ 𝒚, jika <x,y> = 0 Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. Teorema 3.1 4 : H ruang pre-Hilbert. Pernyataan-pernyataan di bawaah ini benar. (i) ||x|| ≥ 0 untuk setiap x 𝜖 H, ||x|| = 0 jika dan hanya jika x = 𝜃. (ii) ||𝛼x|| = |𝛼|.||x|| untuk setiap x 𝜖 H dan skalar 𝛼. Teorema 3.1.5 : Jika x1 ,x2 ,x3 , . . . . ,xn vektor-vektor di dalam ruang pre-Hilbert H saling tegak lurus, maka (i) || ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒙𝒌 ||2 = ∑𝒏𝒌=𝟏 ∥ 𝒙𝒌 ||2. (ii) x1 ,x2 ,x3 , . . . . ,xn bebas linear. (iii) Jika suatu x 𝜖 H tegak lurus xk untuk setiap k, maka x tegak lurus setiap kombinasi linearnya. Bukti : (i) : || ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 ||2 = < ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 , ∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 > = ∑𝒏𝒊=𝟏 ∑𝒏𝒋=𝟏 <xi ,xj> = ∑𝑛𝑖=1 <xi ,xi> = ∑𝑛𝑘=1 ∥ 𝑥𝑘 ||2. (ii) Jika ada skalar 𝛼1 ,𝛼2 , . . . . ,𝛼𝑛 sehingga 𝛼1 x1 + 𝛼2 x2 + . . . + 𝛼𝑛 xn = 𝜃 diperoleh, inner-product dengan xi , <𝛼1 x1 + 𝛼2 x2 + . . . + 𝛼𝑛 xn ,xi > = <𝜃,xi> ⟹ 𝛼𝑖 <xi ,xi> = 𝜃 ⟹ 𝛼𝑖 = 0 untuk setiap i . Jadi terbukti x1 ,x2 ,x3 , . . . . ,xn bebas linear. (iii) Karena <x,xk> = 0 untuk setiap k, maka diperoleh <x, 𝛼1 x1 + 𝛼2 x2 + . . . + 𝛼𝑛 xn> = 0 20
untuk sebarang 𝛼𝑖 ( i = 1, 2, . . . . , n ).
∎
Teorema 3.1.6 : ( Hukum parallelogram ) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang pre-Hilbert H, maka ||x + y||2 + ||x – y||2 = 2||x||2 + 2||y||2 . Bukti : ||x + y||2 + ||x – y||2 = <x+ y,x + y> + <x – y,x – y> = ||x||2 + <x,y> + + ||y||2 = ||x||2 - <x,y> - + ||y||2 = 2||x||2 + 2||y||2 .∎ Teorema 3.1.7 : ( Identitas polarisasi ) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang pre-Hilbert H, maka 4<x,y> = ||x + y||2 - ||x – y||2 + i||x + iy||2 – i||x – iy||2 . Bukti : A = ||x + y||2 - ||x – y||2 = ||x||2 + <x,y> + + ||y||2 – {||x||2 - <x,y> - + ||y||2} = 2<x,y> + 2 . B = i||x + iy||2 – i||x – iy||2 = i||x||2 + <x,y> - + i||y||2 - {i||x||2 - <x,y> -2 + + i||y||2} = 2<x,y> - 2 . Jadi : A + B = 4<x,y> = ||x + y||2 - ||x – y||2 + i||x + iy||2 – i||x – iy||2 .
∎
Pada ruang pre-Hilbert juga ada Ketidaksaan Holder dalam bentuk inner-product. Kegunaan ketidaksamaan ini adalah untuk menunjukkan bahwa ruang pre-Hilbert juag merupakan ruang bernorma, Teorema 3.1.8 : ( Ketidaksamaan Holder ) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang pre-Hilbert H, maka |<x,y>| ≤ ||x||.||y|| . Bukti : Jika x atau y vektor nol terjadi kesamaan. Jika x dan y linear, jadi y = 𝛼x untuk suatu skalar 𝛼, kesamaan juga terjadi, karena |<x,𝛼x>| = |𝛼|.<x,x> = ||x|.|x|. Dalam keadaan y ≠ 𝛼x untk setiap skalar 𝛼,membuktikan 𝑦
|<x,y>| ≤ ||x||.||y|| ekuivalen dengan membuktikan |<x,z>| ≤ ||x|| dengan z = ||𝑦|| . Jelas bahwa x - 𝛽z ≠ 𝜃 unutuk setiap skalar 𝛽. Jadl, 0 < ||x – 𝛽z||2 = ||x||2 - 𝛽<x,z> - 𝛽 < 𝑥, 𝑧 > + |𝛽|2 = ||x||2 - <x.z>.< 𝑥, 𝑧 > + {<x,z> - 𝛽}.{< 𝑥, 𝑧 > - 𝛽}. Khususnya, untuk 𝛽 = < 𝑥, 𝑧 > diperoleh 0 < ||x||2 - <x.z>.< 𝑥, 𝑧 > = ||x||2 - |<x,z>\2
atau
|<x,z>| < ||x|| .
∎
21
Contoh 3.1 (b) 1. Telah di ketahui bahwa l2 merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product <𝑥,𝑦> = ∑∞ 𝑘=1 𝛼 k𝛽𝑘 untuk setiap 𝑥 = {𝛼𝑘 } dan 𝑦 = {𝛽𝑘 } di dalam l2. Jadi menurut Teorema 3.1.8 tersebut diperoleh| ∞ ∞ 2 1/2 2 1/2 <𝑥,𝑦> | = | ∑∞ . 𝑘=1 𝛼 k𝛽𝑘 | ≤ ||𝑥||2.||𝑦||2 = {∑𝑘=1 | 𝛼𝑘 | } .{ ∑𝑘=1 | 𝛽𝑘 | }
Teorema 3.1.9 : Setiap ruang pre-Hilbert merupakaan ruang bernorma. Bukti : Diambil sebarang dua vector x dan y di dalam ruang pre-Hilbert H sebaraang skalar 𝛼. Telah diperoleh, Teorema 3.1.4, (i) ||x|| ≥ 0 dan ||x|| = 0 jika dan hanya jika x = 𝜃 . (ii) ||𝛼x|| = |𝛼|.||x||. (iii) Tinggal memperlihatkan ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. ||x + y||2 = <x + y,x + y> = ||x||2 + <x,y> + + ||y||2 ≤ ||x||2 + |<x,y>| +|| + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2.||x||.||y|| + ||y||2 = {||x|| + ||y||}2 . Jadi terbukti bahwa ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
∎
Catatan penting : Karena Setiap ruang Pre-Hilbert merupakan ruang bernorma, maka setiap pengertian, setiap sifat, setiap lemma, dan setiap teorema yang berlaku/benar pada ruang bernoma berlaku pula pada ruang pre-Hilbert. Definisi 3.1.10 : Ruang Hilbert adalah ruang pre-Hilbert, sebagai ruang bernorma, yang lengkap. Conton 3.1 (c) 1. Menurut Contoh 3.1 (b) nomor 1, l2 merupakan ruang pre-Hilbert dan karena l2, sebagai ruang bernorma, lengkap, maka l2 merupakan ruang Hilbert.
3.2 Basis ortonormal Teorema 3.2.1 : Diketahui barisan {xk} dan barisan {yk} di dalam ruang preHilbert H, x, y 𝜖 H dan 𝛼 sebarang skalar. (i) Jika {xk} konvergen ke x dan {yk} konvergen ke y, maka {𝛼xk} konvergen ke 𝛼x, {xk + yk} konvergen ke x + y, dan {<xk ,yk>} konvergen ke <x,y>. (ii) Jika {xk} dan {yk} barisan Cauchy, maka {<xk ,yk>} dan { ||xk|| } barisan Cauchy dan oleh karena itu konvergen. Bukti ; Jika {xk} barisan Cauchy, maka {xk} terbatas, sebab untuk bilangan real 1 ada bilangan asli N sehingga jika k, l ≥ N bear bahwa
22
||xk – xl|| < 1 yang berakibat ||xN|| - 1 < ||xk|\ < ||xN|| + 1 untuk k ≥ N’ Dengan mengambil bilangan M = maks{ ||x1||, ||x2||, . . . ,||xN-1||, ||xN|| + 1 } ||xk|| ≤ M untuk setiap k yang berarti {xk} terbatas. Berdasarkan hasil tersebut dengan mudah bagian (ii) dan bagian (i0 yang terakhir. ∎ Definisi 3.2.2 : Barisan {xk} di dalam suatu ruang pre-Hilbaert H disebut barisan ortogonal ( orthogonal sequence ) jika xk ⊥ xl untuk setiap k ≠ l. Jadi, berdasarkan Teorema 3.1.5, jika {xk} barisan ortogonal maka {xk} bebas linear. Barisan orthogonal {xk} disebut barisan ortonormal ( orthonormal sequence ) jika ||xk|| = 1 untuk setiap k . Mudah difahami bahwa setiap barisan ortogonal dapat dibawa ke barissan ortonormal. Contoh 3.2 (a) 1. Barisan { 1, sin 𝑥, cos 𝑥, sin 2𝑥, cos 2𝑥, . . . . } merupakan barisan orthogonal 𝜋
pada [−𝜋, 𝜋] terhadap inner-product = ∫−𝜋 𝑓(x)g(x)dx di dalam ruang pre-Hilbert koleksi semua fungsi yang terintegral pada [-𝜋, 𝜋] sebab 𝜋
∫−𝜋 sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥dx
untuk setiap m dan n. 𝜋 𝜋 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 = 𝑛 𝜋 𝜋 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 = 𝑛 ∫−𝜋 sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 dx = { ∫−𝜋cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 { 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ≠ 𝑛 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ≠ 𝑛 2. Berdasarkan Contoh nomor 1 di atas diperoleh {
1 √2𝜋
,
sin 𝑥 √𝜋
,
cos 𝑥 √𝜋
,
sin 2𝑥 √𝜋
,
cos 2𝑥 √𝜋
, . . . . } merupakan barisan ortonormal pada 𝜋
[-𝜋, 𝜋] terhadap inner-product = ∫−𝜋 𝑓(x)g(x)dx. 3. Barisan {ek}, dengan ek merupakan barisan dengan unsur ke-k sama dengan 1 sedangkan unsur-unsur lainnya sama dengan 0, merupakan barisan ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert lp . Teorema 3.2.3 : Jika {zk} barisan bebas linear di dalam tuang pre-Hilbert H, maka ada barisan ortonormal {xk} sehingga [{zk}] = [{xk}] ( mrmbangkitkan ruangbagian yang sama ). Teorema 3.2.4 : ( Kesamaan dan ketidaksamaan Bessel ) Jika {xk} barisan ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert H, maka untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa ∞ 2 2 2 (i) ||x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk>xk || = ||x|| – ∑𝑘−1 |<x,xk | , 2 (ii) ||x||2 ≥ ∑∞ 𝑘−1 |<x,xk>| . Bukti : Karena {xk} barisan ortonormal, maka <xi ,xj> = 0 untuk setiap i ≠ 𝑗 dan <xi ,xi> = 1 untuk setiap i . Oleh karena itu untuk setiap x 𝜖 H diperoleh : 23
∞ ∞ 2 (i) ||x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk>xk || = < x - ∑𝑘=1 <x,xk>xk , x - ∑𝑘=1 <x,xk>xk > 2 = ||x||2 – ∑∞ 𝑘−1 |<x,xk | . 2 (ii) Akibat (i) : ||x||2 ≥ ∑∞ 𝑘−1 |<x,xk>| .
Definisi 3.2.5 : Barisan ortonormal {xk} di dalam ruang pre-Hilbert H disebut basis ortonormal (orthonormal basis ) jika untuk setiap x 𝜖 H ada barisan bilangan {𝛼𝑘 } sehingga x = ∑∞ 𝒌=𝟏 𝜶𝒌 xk . Contoh 3.2 (b) 1. Barisan {ek} di dalam l2 dengan ek berupa barisan yang unsur ke-k sama dengan 1 sedankan unsur lainnya sama dengan 0 meupakan basis ortonormal di ruang bernorma l2 . 2. {
1 √2𝜋
,
sin 𝑥 √𝜋
,
cos 𝑥 √ 𝜋
,
sin 2𝑥 √𝜋
,
cos 2𝑥 √𝜋
, . . . . } merupakan basis ortonormal di dalam
ruang pre-Hilbert C(-𝜋, 𝜋). Teorema 3.2.6 : Jika ruang pre-Hilbert H mempunyai basis ortonormal, maka H merupakan ruang Hilbert dan homeomorphik dengan l2 . Bukti : Katakan {xk} basis ortonormal ruang pre-Hilbert H. Jadi, seiap x 𝜖 H ada barisan bilangan {𝛼𝑘 } sehingga x = ∑∞ 𝑘=1 𝛼𝑘 xk yang berakibat ∞ ∞ 2 ||x||2 = <x,x> = <∑∞ < ∞ 𝑘=1 𝛼𝑘 xk , ∑𝑘=1 𝛼𝑘 xk > = ∑𝑘=1 | 𝛼 k|
Kenyataan ini mengatakan setiap x 𝜖 H menentukan dengan tunggal {𝛼𝑘 } 𝜖 l2 . Sebaliknya, diambil sebarang {𝛼𝑘 } 𝜖 l2 . Jelas vector xn = ∑𝑛𝑘=1 𝛼𝑘 xk 𝜖 H untuk 2 setiap n, Karena barisan { <xn ,xn> } = { ∑𝑛𝑘=1 | 𝛼𝑘 |2 } konvergen ke ∑∞ 𝑘=1 | 𝛼 k| <
∞, maka barisan {xn} konvergen x 𝜖 H dengan x = ∑∞ 𝑘=1 𝛼𝑘 xk 𝜖 H. Jadi fungsi A dari H ke l2 dengan rumus A(x) = A(∑∞ 𝑘=1 𝛼𝑘 xk) = {𝛼𝑘 } 𝜖 l2 merupakan fungsi bijektif. Lebih lanjut, Karena untuk sebarang himpunan tertutup G ⊂ l2 bearkibat 𝐴−1 (G) ⊂ H tertutup dan, sebaliknya, untuk sebarang himpunan tertutup F ⊂ H berakibat A(F) ⊂ l2 tertutup, maka A merupakan homeomophisma yang berarti terbukti bahwa H dan l2 homeomorphik.
∎
Definsi 3.2.7 : H ruang pre-Hilbert. S ⊂ H dikatakan total jika x 𝜖 H sehingga <x,s> = 0 untuk setiap s 𝜖 S berakobat x = 𝜃.
24
Teorema 3.2.8 : Diketahui {xk} barisan ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert H. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen. (i) {xk} total. (ii) {xk} basis ortonormal. 2 (iii) ||x||2 = ∑∞ untuk setiap x 𝜖 H. 𝑘=1 |<x,xk>| Bukti : (i) ⟹ (ii) : Diambil sebarang x 𝜖 H. Jika x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk ⊥ xi untuk setiap i ∞ berakibat x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk = 𝜃 yang berarti x = ∑𝑘=1 <x,xk> xk .
Jika x linear terhadap suatu xi, diperoleh < x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk ,xi > = <x,xi - <x,xi = 𝜃 ∞ yang berakibat x – ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk = 𝜃 yang berarti x = ∑𝑘=1 <x,xk> xk .
Berdasarkan kenyataan tesebut, dapat disimpulkan bahwa {xk} basis ortonormal. (ii) ⟹ (iii) : Karena {xk} basis ortonormal maka untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa x = ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk yang berakibat ∞ ∞ 2 ||x||2 = <x.x> = <∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk , ∑𝑘=1 <x,xk> xk > = ∑𝑘=1 |<x,xk>| .
(iii) ⟹ (ii) : Berdasarkan kesamaan terakhir dapat ditarik kesimpulan bahwa x = ∑∞ 𝑘=1 <x,xk> xk untuk setiap x 𝜖 H. (ii) ⟹ (i) Setiap basis tentu merupakan himpuanan total. ∎ Definisi 3.2.9 : Ruang Hilbert H dikatakan separabel ( separable ) jika H mempunyai barisan ( hingga atau tak hingga ) yang total. Ruang Hilbert yang mempunyai basis disebut ruang Hilbert klasik ( classical Hilbert space ). Teorema 3.2.10 : Jika H ruang Hilbert, maka dua pernyataan di bawah ini ekuivalen. (i) H separable. (ii) H mempunyai basis ortonormal. Bukti : (ii) ⟹ (i) : Cukup jelas, menurut Teorema 3.2.8. (i) ⟹ (ii) : Karena ruang Hilbert H separable maka H memuat barisan {zk yang total. Oleh karena itu tentu ada barisan bagian {zki} ⊂ {zk} yang bebas linear sehingga [{zki}] = [{zk }]. Ber= dasarkan Teorema 3.2.3, terdapat barisan ortonomal {xk} sehingga [{zki}] = [{xk}]. Karena {xk} total, menurut Teorema 3.2.8, {xk} merupakan basis ruang Hilbert H. ∎ Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya.
25
Teorema 3.2.10 : Jika K merupakan ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H, maka K lengkap ( ruang Hilbert bagian ).
3.3 Komplemen ortogonal Definisi 3.3.1 : Jika H ruang pre-Hilbert dan A ⊂ H, himpunan 𝑨⊥ = { x 𝝐 H : x ⊥ a dan a 𝝐 A } disebut himpunan komplemen orogonal ( orthogonal complement set ) himpunan A. Teorema 3.3.2 : : Jika H ruang pre-Hilbert dan A ⊂ H, maka 𝐴⊥ merupakan ruang-bagian tertutup. Bukti : Karena untuk setiap x, y 𝜖 𝐴⊥ dan scalar 𝛼, 𝛽 benar bahwa <𝛼𝑥 + 𝛽𝑦,a> = 𝛼<x,a> + 𝛽 = 0 untuk setiap a 𝜖 A, maka 𝐴⊥ ruang linear. 𝐴⊥ ruang pre-Hilbert sebab inner-product < , > berlaku pula pada 𝐴⊥ . Diambil z sebarang titik- limit himpunan 𝐴⊥ dan sebarang barisan {xk} di dalam 𝐴⊥ yang konvergen ke z ( lim 𝑥𝑘 = z ). Karena 𝑘→∞
untuk setiap a 𝜖 A diperoleh = lim < 𝑥𝑘 ,a> 0, maka z 𝜖𝐴⊥ . Jadi 𝑘→∞
terbukti 𝐴⊥ tertutup.
∎
Teorema 3.3.3 : Jika A dan B dua himpunan di dalam ruang pre-Hilbert H, maka pernyataan-pernyataan di bawah ini bear. (i) A ⊂ 𝐴⊥⊥ . (ii) A ⊂ B ⟹ 𝐵 ⊥ ⊂ 𝐴⊥ . (iii) 𝐴⊥⊥⊥ = 𝐴⊥ . Bukti : (i) : Setiap a 𝜖 A pasti a 𝜖 𝐴⊥⊥, sebab a tegak lurus dengan setiap anggota 𝐴⊥ . (ii) : Karena setiap x 𝜖 𝐵 ⊥ tegak lurus setiap anggota B, maka x tegak lurus setiap anggota A yang berarti x 𝜖 𝐴⊥ . Jadi terbukti 𝐵 ⊥ ⊂ 𝐴⊥ .(iii) : Karena A ⊂ 𝐴⊥⊥. berdasarkan (ii) diperoleh 𝐴⊥⊥⊥ ⊂ 𝐴⊥ . Berdasarkan (i) diperoleh 𝐴⊥ ⊂ 𝐴⊥⊥⊥ . Jadi terbukti 𝐴⊥⊥⊥ = 𝐴⊥ .
∎
Teorema di bawah ini tak sukar mebuktikannya. Teorema 3.3.4 : A ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H jika dan hanya jika A lengkap ( ruang Hibert bagian ) Sebelum melanjutkan pembicaraan, perlu mengingat kembali beberapa hal di bawah ini. Jika X ruang linear dan U, V merupakan ruang bagiannya, maka U + V = { u + v ; u 𝜖 U dan v 𝜖 V }
26
merupakan ruang linear ( ruang-bagian ) pula. Tetapi penyajian z 𝜖 U + V tak terjamin ketunggalannya. Agar penyajian itu tunggal haruslah U ∩ V = {𝜃}. Oleh karena itu, untuk selanjutnya dituliskan dengan U⨁V yang dimaksudkan adalah U + V dengan U dan V ruang-bagian dan U ∩ 𝑉 = {𝜃}. Teorema 3.3.5 : Jika U dan V dua ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H serta U ∩ 𝑉 = {𝜃}, maka U ⨁ V ruang bagian tertutup. Bukti : Cukup jelas bahwa U ⨁ V ruang pre-Hilbert. Diambil sebrang z titik-limit himpunan U ⨁ V ; jadi ada barisan {zk} ⊂ U ⨁ Vyang konvergen ke z. Karena zk 𝜖 U ⨁ V maka secara tunggal zk = uk + vk dengan uk 𝜖U dan vk 𝜖 V. Lebih lanjut, karena z = lim 𝑧𝑘 = lim(uk + vk ) = u + v 𝑘→∞
→∞
untuk suatu u 𝜖 U dan v 𝜖 V. Jadi z 𝜖 U ⨁ V , dengan kata lain terbukti U ⨁ V tertutup atau ruang Hilbert bagian., menurut Teorema 3.2.10.
∎
Akibat 3.3.6 : Jika U ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H, maka U ⨁𝑈 ⊥ merupakan ruang-bagian tertutup ( ruang Hilnert bagian ). Theorema 3.3.7 : Jika V ruang-bagian berdimenssi hingga di dalam ruang-preHilbert H, maka (i) V ruang-bagian yang lengkap. (ii) H = V ⨁ 𝑉 ⊥ . (iii) V = 𝑉 ⊥⊥ . Bukti : (i) : Karena V ruang-bagian berdimensi hingga tentu V lengkap dan tertutup. (ii) : Karena V berdimensi, katakana berdimensi n, hingga tentu V mempunyai basis ortonormal {x1 ,x2 , . . . . ,xn }. Sekarang diambil sebarang x 𝜖 H dan dibentuk vektor y = ∑𝑛𝑘=1 <x, xk>xk . Jelas bahwa y 𝜖 V . Vektor z = x – y tegak lurus setiap xx karena = <x,xk> - = <x,xk> - <x,xk> = 0. Jadi z 𝜖 𝑉 ⊥ atau x = y + z dengan y 𝜖 V dan z 𝜖 𝑉 ⊥ yang berarti terbukti H = V ⨁ 𝑉 ⊥ . (iii) : Berdasarkan hasil tersebut diperoleh H = 𝐻 ⊥⊥ = 𝑉 ⊥⊥ ⨁ 𝑉 ⊥⊥⊥ yang berarti V = 𝑉 ⊥⊥ . dan 𝑉 ⊥⊥⊥ = 𝑉 ⊥ .
∎
Berdasarkan Teorema 3.3.7 ruang Hilbert H dapat ditulis H = V ⨁ 𝑉 ⊥.dengan syarat V ruang-bagian berdimensi hingga. Bagaimana jika syarat itu diperingan yaitu jika V berupa ruang-bagian yang lengkap saja. Ternyata syarat yersebut 27
masih memungkinkan. Untuk memperlihatkan hal tersebut perlu pengertian kekonvexan suatu himpunan. Himpunan A di dalam ruang pre-Hilbert dikqtakan konvex ( convex ) jika untuk setiap x, y 𝜖 A berakibat 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼𝑦) 𝜖 A untuk setiap 𝛼 𝜖 [0,1] . Jelas bahwa jika A merupakan ruang-bagian maka A konvex. Teorema 3.3.8 : ( Titik terdekat ) Jika A himpunan-bagian yang konvex dan lengkap di dalam ruang pre-Hilbert H, maka untuk setiap x 𝜖 H terdapat dengan tunggal a 𝜖 A sehingga d(x,a) = ||x - a|| = bbt{ ||x – y|| ; y 𝜖 A } . Bukti : Jika x 𝜖 A jelas bahwa a = x. Jika tidak demikian, tentu ada barisan {yk} di dalam A sehingga turun monoton {||x – yk||} yang terbatas ke bawah, jadi konvergen : lim ||x - yk|| = 𝛿 ≥ bbt{ ||x – y|| ; y 𝜖 A }.
𝑘→∞
Karena A konvex maka
1
ym + 2
1 2
yn 𝜖 A dan menggunakan Hukum Paralelloram
diperoleh, untuk m.n → ∞, ||(ym –x) + (x - yn)||2 + ||(ym –x) - (x - yn)||2 = 2||(ym –x)||2 + 2||(x - yn)||2 A atau
||ym – yn||2 = 2||(ym –x)||2 + 2||(x - yn)||2 - ||(ym –x) - (x - yn)||2 1
= 2||(ym –x)||2 + 2||(x - yn)||2 – 4||2(ym + yn) – x||2 → 2𝛿 2 + 2𝛿 2 - 4𝛿 2 = 0 Dengan kataa lain, diperoleh {yk} barisan Cauchy di dalam A yang lengkap ; jadi ada a 𝜖 A sehingga {yk} konvergen ke a .Jadi terbakti ada a 𝜖 A yang tunggal sehingga d(x,a) = ||x - a|| = lim ∥x – yk||. 𝑘→∞
∎
Berdasarkan Teorema 3.3.8 dapat dikembangkan Teoream 3.3.7 menjadi teorema di bawah ini. Teorema 3.3.9 : Jika V ruang-bagian yang lengkap di dalam ruang pre-Hilbert H, maka : H = V ⨁ 𝑽⊥ dan V = 𝑽⊥⊥ . Bukti : Berdasarkan Teorema 3.3.8, untuk setiap x 𝜖 H terdapat dengan tunggal a 𝜖 𝑉 sehingga d(x,a) = ||x – a|| - bbt{ ||x – y|| : y 𝜖 V }. Jika z = x – a diperoleh x = a + z. Tinggal memperlihatka z 𝜖 𝑉 ⊥ . Diambil sebarang y 𝜖 V dan skalar 𝛼. Diperoleh 0 ≤ ||z – 𝛼𝑦||2 = ||z||2 - 𝛼 - 𝛼 + |𝛼|2 28
= ||z||2 - |||2 + { - 𝛼}{ - 𝛼} untuk sebarang bilangan 𝛼. Khususnya, untuk 𝛼 = 𝛼o = diperoleh 0 ≤ ||z – 𝛼𝑜 𝑦||2 = ||z||2 - |𝛼 o|2 .
(i) Sementara itu
z – 𝛼 oy = (x – a) - 𝛼 oy = x – (𝑎 + 𝛼 oy) Karena (𝑎 + 𝛼 oy) 𝜖 V diperoleh (ii)
||z - 𝛼𝑜 y|| = || x – (𝑎 + 𝛼 oy)|| ≥ ||x – a|| = ||z|| .
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa = 𝛼𝑜 = 0 yang berarti z tegak lurus setiap y 𝜖 V dan z 𝜖 𝑉 ⊥ ( x = a + z ). Jadi terbukti bahwa H = V ⨁ 𝑉 ⊥ . bukti bahwa V = 𝑉 ⊥⊥ seperti bukti Teorema 3.3.7.
∎
Akibat 3.3.10 : Jika V merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert H, maka H = V ⨁ 𝑽⊥ dan V = 𝑽⊥⊥ . Definisi 3.3.11 : Jika V merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert H, maka setiap x 𝜖 H dapat ditulis secara tunggal x = y + z dengan z 𝜖 𝑉 ⊥ . Fungsi P : P(x) = P(y + z) = y disebut fungsi projeksi ortogonal ( orthogonal projection ) pada V. Teorema 3.3.12 : Jika V merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert H dan P fungsi projeksi ortogonal pada V,maka (i) P linear dan kontinu. (ii) = <x ,P(y)> untuk setiap x ,y 𝜖 H. (iii) P(x) = x untuk setiap x 𝜖 V. (iv) P(y) = 𝜃 untuk setiap y 𝜖 𝑉 ⊥ . (v) P(P(x)) = P(x) untuk setiap x 𝜖 H. (vi) = ||P(x)||2 ≤ ||x||2 untuk setiap x 𝜖 H. Bukti : Karena V merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang abilbert H, menurut Akibat 3.3.10, diperoleh H = V ⨁ 𝑽⊥ . Jadi setiap x, y 𝜖 H dapat ditulis secara tunggal x = x1 + x2 , y = y1 + y2 dengan xx , y1 𝜖 V dan x2 ,y2 𝜖 𝑉 ⊥ . Oleh karena itu diperoleh : (i) P(x + y) = P((x1 + y1) + (x2 + y2)) = x1 + y1 = P(x) + P(y) dan P(𝛼x) = P(𝛼x1 + 𝛼y1) = 𝛼x1 = 𝛼P(x) untuk setiap skalar 𝛼. Jadi terbukti P linear. Selanjutnya, 29
||P(x)||2 = ||x1||2 ≤ ||x1||2 + ||y1||2 = ||x1 + y1||2 = 1.||x||2 atau ||P(x)|| ≤ 1.||x||, Jadi terbukti P kontinu. (ii) = <x1 ,y1 + y2> = <x1 ,y1> = <x1 + x2 ,P(y)> = <x ,P(y)> . (iii), (iv), dan (v) merupakan akibat langsung dari definisi projeksi orthogonal. (vii)
= <x1 , x1 + x2> = <x1 , x1 > ||x1||2 = ||P(x)||2 ≤ ||x1||2 + ||x2||2 = ||x||2 .
Catatan : Dengan PV dimaksud adalah fungsi projeksi ortogonal pada ruangbagian V di dalam ruang pre-Hilbert H.
30
BAB 4 OPERATOR DAN OPERATOR PENDAMPING
Karena setiap ruang pre-Hilbert merupakan ruang bernorma, maka setiap pengertian, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang berlaku pada ruang bernorma berlaku pula pada ruang pre-Hilbert, khususnya tentang fungsi linear kontinu. Jadi, jika H dan K dua ruang pre-Hilbert dan T fungsi linear dari H ke K, maka lima pernyataan di bawaah ini ekuivalen : (i) T kontinu. (ii) T kontinu di suatu titik 𝑥 𝜖 H. (iii) T kontinu di 𝜃. (iv) {||T(x)|| : x 𝜖 H dan ||x|| ≤ 1} terbatas. (v) Ada bilangan M ≥ 0 sehingga untuk setiap 𝑥 𝜖 H benar bahwa ||T(x)|| ≤ M||x||. Berdasarkan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen tersebut diperoleh T linear dan kontinu jika dan hanya jika T linear dan ||T(x)|| ≤ ||T||.||x|| untuk setiap 𝑥 𝜖 H dengan ||T|| = sup{||T(x)|| : x 𝜖 H dan ||x|| ≤ 1} – inf {M ≥ 0 : ||T(x)|| ≤ M.||x|| dan x 𝜖 H }. ||T|| disebut norma T. Selanjutnya, Lc(H,K), yaitu koleksi semua fungsi linear kontinu dari ruang pre-Hilbert H ke ruang pre-Hilbert K, merupakan ruang bernorma. Lc(H,K) ruang Banach jika K ruang Hilbert, sebagai contoh projeksi ortogonal P yang tersebut di dalam Teorema 3.3.12 di atas merupakan anggota ruang Banach Lc(H. Berdasarkan kenyataan itu diperoleh H* = Lc(H,F) ( ruang dual H ), yaitu koleksi semua fungsional linear kontinu pada ruang pre-Hilbert H, merupakan ruang Banach. Selanjutnya, untuk menyingkat, fungsi linear kontinu disebut operator. Operator pada H yang dimaksud adalah operator dari H ke H, fungsional linear kontinu pada H yang dimaksud adalah fungsi linear kontinu dari H ke F lapangannya ).
4.1 Teorema Riesz-Frechet Teorema 4.1.1 : Diketahui ruang pre-Hilbert H. Untuk setiap y 𝜖 H didefinisikan Ty : H → F dengan rumus
31
Ty(x) = <x,y>
untuk setiap x 𝝐 H,
maka (i) (ii) (iii) (iv)
Ty merupakan fungsional linear kontinu pada H. Ty+z = Ty + Tz untuk setiap y, z 𝝐 H. 𝑻𝜶𝒚 = 𝜶Ty untuk setiap y 𝝐 H dan scalar 𝜶. ||Ty|| = ||y|| untuksetiap y 𝝐 H.
Bukti : (i) dan (iv) : Untuk setiap x, z 𝜖 H dan skalar 𝛼 diperoleh : Ty(𝛼x) = <𝛼x,y> = 𝛼<x,y> = 𝛼Ty(x)
dan
Ty(x + z) = >x + z,y> = <x,y> + = Ty(x) + Ty(z) ; jadi Ty linear. Lebih lanjut, |Ty(x)| = |<x,y>| ≤ ||y||.||x||. Dengan demikian terbukti bahwa Ty linear kontinu dan ||Ty|| = ||y|| . (iii) dan(iii) : Ty+z(x) = <x,y+z> = <x,y> + <x,z> = Ty(x) + Tz(x) = (Ty + Tz)(x) yang berarti Ty+z = Ty + Tz . Derdasarkan kenyataan 𝑇𝛼𝑦 (x) = <x,𝛼y> = 𝛼<x,y> = 𝛼Ty(x) dapat disimpulkan bahwa 𝑇𝛼𝑦 = 𝛼Ty .
∎
Akibat 4.1.2 : Jika H ruang pre-Hilbert, maka H ⊂ H*. Bukti : Berdasarkan Teorema 4.1.1, setiap y 𝜖 H mengidentifikan dengan tunggal fungsional linear kontinu pada H ; jadi H ⊂ H*.
∎
Teorema 4.1.3 : ( Teorema Riesz-Frechet ) Untuk setiap fungsional linear kontinu T pada ruang Hilbert H terdapat y 𝜖 H dengan tunggal sehingga T(x) = <x,y> untuk seyiap x 𝜖 H. Bukti : Sebut N sebagai ruang-nol ( null space ) fungsional linear kontinu T. Jika N = H diambil y = 𝜃, sebab untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa T(x) = <x,y> = <x,𝜃 > = 0. Jika N ≠ H, karena N merupakan ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H maka H = N ⨁ 𝑁 ⊥ , N = 𝑁 ⊥⊥ dan N ∩ 𝑁 ⊥ = { 𝜃 }. Jadi ada z 𝜖 𝑁 ⊥ dan z ≠ 𝜃. Dengan mengambil sebaraang x 𝜖 H diperoleh x – T(x)z 𝜖 N. Oleh Karena itu < x – T(x),z> = <x,z> - T(x) = 0 atau 1
T(x) = <x,y> dengan y = ||𝑧||2 z . Bukti selesai .
∎
32
Akibat 4.1.4 : Jika H ruang Hilbert, maka H* = H. Bukti : Teorema 4.1.3 mengatakan H* ⊂ H dan Akibat 4.1.2 mengatakan H ⊂ H*. Jadi H* = H.
∎
Jika H ruang pre-Hilbert, Teorema 4.1.3 mengatakan setiap y 𝜖 H menentukan suatu fungsional linear kontinu y* pada H dengan rumus y*(x) = <x,y>
untuk setiap x 𝝐 H.
Berdasarkan kenyataan tersebut diperoleh teorema di bawah ini. Teorema 4.1.5 : Jika H ruang pre-Hilbert, fungsi : x → x** dari H ke H** dengan rumus : x**(x*) = x*(x) mempunyai sifat-sifat : (i) (x + y)** = x** + y** untuk setiap x, y 𝝐 H, (ii) (𝜶x)** = 𝜶.x** untuk setiap x 𝝐 H dan scalar 𝜶, (iii) ||x**|| = ||x|| untuk setiap x 𝝐 H. (iv) Lebih lanjut, x**(y*) = y*(x) = <x,y> untuk setiap x, y 𝜖 H.
4.2 Operator pendamping Jika H dan K dua ruang Hilbert, maka ruang dualnya berturut-turut adalah H* dan K* merupakan ruang Banach, bukan merupakan ruang Hilbert lagi. Lebih lanjut, menurut Teorema 4.1.4 Lc(H,K) dan Lc(K*,H*) = Lc(K,H) juga merupakan ruang Banach lagi. Jika T 𝜖 Lc(H,K) dan T* 𝜖 Lc(K,H), maka T(x) 𝜖 K untuk setiap x 𝜖 H dan T*(y) 𝜖 H untuk setiap y 𝜖 K. Jadi diperoleh bilangan-bilangan
dan
<x, T*(y)>
Definisi 4.2.1 : H dan K dua ruang Hilbert. T* 𝜖 Lc(K,H) disebut operator pendamping ( adjoint operator ) operator T 𝜖 Lc(H,K), jika = <x, T*(y)> untuk setiap x 𝜖 H dan y 𝜖 K. Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. Teorema 4,2,2 : Jika S, T 𝜖 Lc(H,K) dan 𝛼 sebarang skalar, maka (i) (S + T)* = S* + T*, (ii) (𝜶S)* = 𝜶S*, (iii) = < y,T(x)> untuk setiap x 𝝐 H dan y 𝝐 K, (iv) (S*)* = S, (v) ||S*S|| = ||SS*|| = ||S||2 , (vi) S*S = O jika dan hanya jika S = O. 33
Teorema 4.2.3 ; H, K, L masing-masing ruang Hilbert. Jika S 𝜖 Lc(H,K) dan T 𝜖 Lc(K,L), maka (TS)* = S*.T* . Bukti : Diambil sebarang x 𝜖 H dan z 𝜖 L. Diperoleh <x,(TS)*z> = = <Sx,T*z> = <x,S*T*z> yang berarti (TS)* = S*.T*.
∎
Teorema 4.2.4 : H dan K ruang Hilbert, U ⊂ H dan V ⊂ K masing-masing ruangbagian tertutup. Jika ada T 𝜖 Lc(H,K) sehingga T(U) ⊂ V, maka T*(𝑉 ⊥ ) ⊂ 𝑈 ⊥ . Bukti : Karena V ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert K, maka K = V ⨁ 𝑉 ⊥ . Tinggal membuktikan bahwa untuk sebarang z 𝜖 𝑉 ⊥ benar bahwa T*(z) 𝜖 𝑈 ⊥ atau T*(z) tegak lurus setiap u 𝜖 U. Memang benar bahwa = = 0 sebab T(u) 𝜖 V, menurut hipotesisnya.
∎
Berdasarkan Teorema 4.2.4 di atas dapat dibuktikan teorema di bawah ini. Teorema 4.2.5 : H dan K masing-masing ruang Hilbert. Jika T 𝜖 Lc(H,K), maka (i) { x 𝝐 H : T(x) = 𝜽 } = {T*(K)}⊥ . (ii) { x 𝝐 H : T(x) = 𝜽 }⊥ = 𝑻∗ (𝑲) . (iii) { y 𝝐 K : T*(y) = 𝜽 } = {T(H)}⊥ . (iv) { y 𝝐 K : T*(y) = 𝜽 }⊥ = 𝑻(𝑯) . Bukti : U = { x 𝜖 H : T(x) = 𝜃 } dan V = { y 𝜖 K : T*(y) = 𝜃 } masing-masing merupakan ruang-bagian yang tertutup ; oleh karena itu H = U ⨁ 𝑈 ⊥ dan K = V ⨁ 𝑉⊥ . (a) Karena T(U) ⊂ { 𝜃 }, berdasarkan Teorema 4.2.4, diperoleh T*({ 𝜃 }⊥ ) ⊂ 𝑈 ⊥ atau T*(K) ⊂ 𝑈 ⊥ atau U ⊂ {T*(K)}⊥ . (b) Sekarang, diambil S = H dan I = T(H) ; jadi diperoleh T(S) ⊂ I yang berakibat T*(𝐼 ⊥ ) ⊂ 𝑆 ⊥ . Karena 𝑆 ⊥ = 𝐻 ⊥ = { 𝜃 } diperoleh T*(𝐼 ⊥) = { 𝜃 }, {T(H)}⊥ ⊂ V . Dengan mengganti peran T menjadi T* diperoleh (c) T(H) ⊂ 𝑉 ⊥ atau V ⊂ {T(H)}⊥ dan (d) {T*(K)}⊥ ⊂ U. Dari (a), U ⊂ {T*(K)}⊥ , dengan mengkombinasikan dengan (c), diperoleh (i) U = {T*(K)}⊥ Dari (i), 𝑈 ⊥ = {T*(K)}⊥⊥ , diperoleh (ii) 𝑈 ⊥ = {𝑇 ∗ (𝐾) } . (iii) dan (iv) diperoleh dari (i) dan (ii) dengan mengganti peran T* dengan T.∎ 34
BAB 5 OPERATOR PADA RUANG HILBERT DAN VEKTOR SEJATI
5.1 Pendahuluan Operator T pada ruang Hilbert H yaitu fungsi linear kontinu dari H ke H. Perlu diingat pula bahwa operator pendampingnya yaitu T* juga merupakan oerator pada H karena H* = H. Oleh karena itu jika S dan T operator pada H maka untuk setiap x,y 𝜖 H dan skalar 𝛼 benar bahwa : (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)
= <x,T*y>, (S + T)* = S* + T*, (𝜶T)* = 𝜶T*, (ST)* = T*.S*, T** + T, ||T*|| = ||T||, ||T*T|| = ||T||2 , T*T = O jika daan hanya jika T = O.
Definisi 5.1.1 : Dua operator S dan T pada ruang Hilbert H di katakan sama dan dituliskan dengan S = T jika <Sx,y> = untuk setiap x, y 𝜖 H. Berdasarkan definisi tersebut dipeoleh S=T
⟺
S* = T*
Terdapat beberapa jenis operator pada ruang Hilbert H yang akan dibicarakan di dalam bab ini, Operator T pada ruang Hilbert H disebut (i) (ii) (iii) (iv) (v)
operator isometrik ( isometric operator ) jika T*T = I , operator uniter ( unitary operator ) jika T*t = TT* = I , operator mandiri ( self adjoint operator ) jika T* = T , operator projeksi ( projection operator ) jikaT* = T and TT = T Operator normal ( normal operator ) jika T*T = TT* .
Di bawah ini contoh operator normal pada ruang Hilbert klasik H . Teorema 5.1.2 : Diketahui ruang Hilbert H dengan basis ortonormal {xk}. Jika {𝜇𝑘 } barisan bilangan terbatas, maka terdapat operator T pada H sehingga : (i) T(xk) = 𝝁𝒌 xk untuk stiap k, ∞ (ii) T(x) = T(∑∞ untuk setiap x 𝝐 H, 𝒌=𝟏 <x,xk>xk) = ∑𝒌=𝟏 <x.xk>𝝁kxk 35
(iii) (iv) (v) (vi)
||T|| = M dengan M = sup{ |𝝁k| : k ≥ 1 }, T*(xk) = 𝝁kxk untuk setiap k, ∞ T*(x) = T*(∑∞ 𝒌=𝟏 <x,xk>xk) = ∑𝒌=𝟏 <x.xk>𝝁kxk T*T = TT* .
untuk setiap x 𝝐 H,
∞ 2 Bukti : Untuk setiap x 𝜖 H diperoleh x = ∑∞ 𝑘=1 <x,xk>xk dan ∑𝑘=1 | <x,xk>| < ∞; ∞ 2 2 2 jadi ∑∞ 𝑘=1 | <x.xk>𝜇 k| ≤ M . ∑𝑘=1 | <x,xk>| < ∞ dan menurut Teorema 3.2.6
deret ∑∞ 𝑘=1 <x.xk>𝜇 kxk konvergen. Oleh karena itu didefinisikan fungsi T dari H ke H dengan rumus ∞ T(x) = T(∑∞ 𝑘=1 <x,xk>xk) = ∑𝑘=1 <x.xk>𝜇 kxk untuk setiap x 𝜖 H,
Mudah difahami bahwa T linear. T terbatas/kontinu sebab ∞ 2 2 ||T(x)||2 = ||∑∞ 𝑘=1 <x.xk>𝜇 kxk || = ∑𝑘=1 | <x.xk>𝜇 k| 2 2 2 ≤ M2. ∑∞ 𝑘=1 | <x,xk>| = M .||x|| .
Dengan kata lain diperoleh T merupakan operator pada H ( (ii) terbukti ) dan ||T|| ≤ M. Cukup jelas pula bahwa T(xk) = 𝜇 kxk ( (i) terbukti ) dan ||T||.1 ≥|| T(xk)|| = ||𝜇 kxk|| ≥ M dan dengan demikian terbukti (iii) ( ||T|| = M ). Selanjutnnya, karena <xk ,T*xk> = = <𝜇 kxk ,xk> = <xk ,𝜇 kxk> maka T*xk = 𝜇xk ( (iv) terbukti ) dan, oleh karena T* operator pada H diperoleh, untuk setiap x 𝜖 H, ∞ ∞ T*(x) = T*(∑∞ 𝑘=1 <x,xk>xk) = ∑𝑘=1 <x,xk>T*(xk) = ∑𝑘=1 <x.xk>𝜇 kxk
Dengan kata lain (v) terbukti. Sekali lagi, T*Txk = |𝜇 k|2xk = TT*xk dengan kata lain T*T = TT* , (vi) terbukti.
∎
Teorema di atas menunjukkan adanya operator normal T pada H.
5.2 Jenis-jenis operator pada ruang Hilbert A. Operator isometrik Teorema 5.2.1 : T operator pada H. Pernyaan-pernyataan di bawah ini ekuivalen. (i) T isometrik. (ii) ||Tx|| = ||x|| untuk setiap x 𝝐 H. (iii) = <x,y> untuk setiap x,y 𝝐 H. Bukti : (i) ⟹ (iii) ⟹ (ii) : T isometrik jika dan hanya jika T*T = I jika dan hanya jika untuk setiap x,y 𝜖 H benar bahwa <x,y> = = = , khususnya ||x||2 = <x,x> = = ||Tx||2 . (ii) ⟹ (i) : ||Tx||2 = ||x||2 jika dan hanya jika = <x,x> jika dan hanya jika = untuk setiap x 𝜖 H yang berarti T*T = I ( T isometrik ).
∎ 36
Teorema 5.2.2 : Jika T operator isometric pada ruang Hilbert H maka T(H) merupakan ruang-bagian yang tertutup. Bukti : Diambil sebarang x 𝜖 H sebagai titik-limit ruang-bagian T(H), Jadi ada barisan {yk} di dalam T(H) yang kovergen ke x, lim 𝑦k = x. Oleh karena itu 𝑘→∞
diperoleh <x,x> = lim = lim < 𝑇yk ,Tyk> = =
𝑘→∞
yang berarti ||Tx|| = ||x|| atau terbukti x 𝜖 T(H).
∎
Contoh 5.2 (a) H ruang Hilbert klasik dengan basis ortonormal {xk}. T operator pada H sehingga Txk = xk+1 . Telah diketahui bahwa untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa ∞ 2 2 x = ∑∞ 𝑘=1 < 𝑥 ,xk>xk dan ||x|| = ∑𝑘=1 |<x,xk>| .
Oleh karena itu ∞ ∞ 2 2 Tx = T{∑∞ 𝑘=1 < 𝑥 ,xk>xk} = ∑𝑘=1 < 𝑥 ,xk>xk+1 dan ||Tx|| = ∑𝑘=1 |<x,xk>| .
Jadi ||Tx|| = ||x|| atau T merupakan operator isometrik. B. Operator Uniter Perlu diingat bahwa jika T operator pada suatu ruang Hilbert, maka T** = T. Teorema 5,2.3 : Jika T suatu operator pada ruang Hilbert H, maka pernyataanpernyataan di bawah ini ekuivalen. (i) T operator uniter. (ii) T* operator uniter. (iii) T dan T* operator isometrik. (iv) T operator isometrk dan T* injektif. (v) T operator isometric dan surjektif. (vi) T bijektif dan 𝑻−𝟏 = T* . Bukti : Bahwa (i), (ii), dan (iii) ekuivalen cukup jelas. (iii) → (iv) : Setiap operator isometric merupakan fungsi injektif. (iv) ⟹ (v) : T* injektif dan karena T*(H) tertutup, menutut Teorema 5.2.2, maka T* surjektif. (v) ⟹ (vi) : Karenaa T surjektif dan injektif, maka T bijektif. Karena T*T = I maka 𝑇 −1 = T*. (vi) ⟹ (i) :
Karena T merupakan operator ( fungsi linear dan kontinu ), T bijektif, T*= 𝑇 −1 juga merupakan operator, dan 𝑇 −1 .T = I maka 𝑇 −1 fungsi linear kontinu dan T. 𝑇 −1 = I .
∎
37
Contoh 5.2 (b) Berdasarkan Teorema 5.1.2, jika {𝜇 k} barisan bilangan dengan |𝜇 k| = 1, jika T operator pada ruang Hilbert H dengan T(xk) = 𝜇 kxk ( {xk} basis ortonormal pada H ) diperoleh T*Txk = TT*xk = |𝜇 k|2xk = Ixk . Jadi T merupakan operator uniter. C. Operator mandiri T operator mandiri ( self adjoit ) pada ruang ruang Hilbert H jika T* = T. Teorema 5.2.4 : Diketahui T operator pada ruang Hilbert H. Empat pernyataaan di bawah ini ekuivalen. (i) (ii) (iii) (iv)
T operator mandiri. = <x,Ty> = <x,Tx> bilangan real
untuk setiap x, y 𝝐 H. untuk setiap x 𝝐 H. untuk setiap x 𝝐 H.
Bukti : T operator mandiri pada ruang Hilbert H ⟺ T* = T ⟺ = <x,T*y> = <x,Ty> untuk setiap x, y 𝜖 H ⟹ = <x,Tx> = < 𝑇𝑥, 𝑥 > bilangan real untuk setiap x 𝜖 H ⟺ = < 𝑇𝑥, 𝑥 > = <x,Tx> ⟺ T oprator mandiri.
∎
Teorema 5.2.5 : Diketahui S dan T operator pada ruang Hilbert H dan 𝛼 sebarang bilangan real. (i) Jika S dan T operator mandiri maka S + T dan 𝜶𝑻 operator mandiri. (ii) TT* dan T + T* operator mandiri. (iii) Jika S dan T operator mandiri, maka ST operator mandiri jika dan hanya jika ST = TS. Bukti : (i) : Karena S dan T operator mandiri, maka untuk setiap x, y 𝜖 H benar bahwa <Sx,y> = <x,Sy> dan = <x,Ty>. Kenyataan ini berakibat : <(S + T)x,y> = <Sx + Tx,y> = <Sx,y> + = x,Sy> + <x,Ty> = <x,St + Ty> = <x,(S + T)y yang berarti S + T operator mandiri , dan <𝛼Tx,y> = 𝛼 = 𝛼<x,Ty> = <x,𝛼Ty> yang berarti 𝛼T operator mandiri. (ii) Untuk setiap x, y 𝜖 H diperoleh = = <x,T*Ty> <(T + T*)x,y> = = + = <x,T*y> + <x,Ty> = <x,T*y + Ty> = <x,(T + T*)y>
38
yang berarti T*T dan T + T* operator mandiri. (iii) Untuk setiap x, y 𝜖 H diperoleh <STx,y> = <x,T*S*y> = <x,TSy> = <x,STy> yang berarti ST operator mandiri.
∎
Contoh 5.2 (c) Jika T operator pada ruang Hilbert berbasis ortonormal {xk} sehingga Txk = 𝜇 kxk dengan {𝜇 k} barisan bilangan real yang terbatas, maka T operator mandiri. Teorema 5.2.6 : Jika T sebarang operator pada ruang Hilbert H, maka ada dua operator mandiri A dan B sehingga T = A + iB, yaitu 𝟏
A = 𝟐(T + T*) dan
𝟏
B = 𝟐𝒊(T – T*) .
Bukti : Mudah dilihat bahwa T = A + iB . A dan B dua operator mandiri, sebab 1
1
1
𝑖
1
2
2
2𝑖
2
2𝑖
A* = (T + T*)* = (T* + T) = A dan B* = (T – T*)* = (T* – T) =
(T – T*) = B
D. Operator projeksi Telah diketaui, jika V ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H maka H = V ⨁ 𝑉⊥ . Jika P operator pada H sehingga T(H) = V, maka disebut P disebut operator projeksi pada V. Teorema 3.3.12 telah menyebutkan bahwa jika P operator projeksi pada V maka (i) P linear dan kontinu. (ii) = <x ,P(y)> untuk setiap x ,y 𝝐 H. (iii) P(x) = x untuk setiap x 𝝐 V. (iv) P(y) = 𝜽 untuk setiap y 𝝐 𝑽⊥ . (v) P(P(x)) = P(x) untuk setiap x 𝝐 H. = ||P(x)||2 ≤ ||x||2 untuk setiap x 𝝐 H . Lebih lanjut, berdasarkan (ii) dan (v) diperoleh : Teorema 5.2.7 : P operator Pada ruang Hilbert H jika dan hanya jika P* = P = P2 . Bukti : Berdasarkan (ii) dan (v) diperoleh P* = P = P2 . Sebaliknya, karena P = P2 , diambil V = { x 𝜖 H : Px = 𝜃 }. Karena V merupakan ruang-bagian yang tertutup, maka H = V ⨁
𝑉 ⊥ . Kenyataan ini beakibat (i) sampai dengan (v).
∎
E. Opreator normal Teorema 5.2.8 : Diketahui T operator pada ruang Hilbert H. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen. 39
(i) T operator normal. (ii) T* operator normal (iii) ||T*x|| = ||Tx|| untk setiap x 𝝐 H. Bukti : (i) ⟺ (ii) : Cukup jelas karena T** = T dan T*T = TT* . (i) ⟺ (iii) : Untuk setiap x 𝜖 H diperoleh ||T*x|| = ||Tx|| ⟺ ||T*x||2 = ||Tx||2 ⟺ = ⟺ = ⟺ TT* = T*T . Bukti selesai.
∎
5.3 Vektor sejati dan nilai sejati Definisi 5.3.1 : Diketahui T operator pada suatu ruang Hilbert H. Jika ada x 𝜖 H dan x ≠ 𝜃 sehingga Tx = 𝝁x untuk suatu scalar 𝜇 maka x disebut vektor sejati ( proper vector, Eigen vector ) operator T dan 𝜇 disebut nilai sejati ( proper value, Eigen value ) opretor T . Contoh 5.3 1. Jika T = 𝜇I maka setiap vector x 𝜖 H dan x ≠ 𝜃 merupakan vektor sejati operator T dengan nilai sejatinya 𝜇 . 2. T - 𝜇I . Setiap x 𝜖 N = { u 𝜖 H : (T – 𝜇I)u = 𝜃 } merupakan vektor sejati operarator T dengan 𝜇 sebagai nilai sejatinya . Teorema 5.3.2 : T operator pada ruang Hilbert H. (i) Jika 𝜇 nilai Eigen operator T maka |𝜇| ≤ ||T|| . (ii) Jika T operator mandiri dengan 𝜇 nilai Eigen-nya, maka 𝜇 bilangan real. (iii) Jika T operator isometrik dengan 𝜇 nilai Eigen-nya, maka |𝜇| = 1. Bukti : (i) : Karena 𝜇 nilai Eigen operator T maka ada vektor tidak nol x 𝜖 H sehingga Tx = 𝜇x. Olek karena itu |𝜇|.||x|| = ||𝜇x|| = ||Tx|| ≤ ||T||.||x|| yang berarti 𝜇| ≤ ||T|| . (ii) : Karena T* = T dan 𝜇 nilai Eigen operator maka ada vektor tidak nol x 𝜖 H sehinnga T*x = Tx = 𝜇x. Oleh karena itu 𝜇<x,x> = <𝜇x,x> = = <x,Tx> = <x,𝜇x> = 𝜇<x,x> yang berarti 𝜇 = 𝜇 atau 𝜇 bilangan real. (iii) : Jika T operator isometrik dengan 𝜇 nilai Eigen-nya, maka ada vektor tidak nol x 𝜖 H sehingga Tx = 𝜇x dan ||Tx|| = ||x||. Oleh karena itu |𝜇|.||x|| = || 𝜇x|| = ||Tx|| yang berarti |𝜇| = 1. ∎ 40
Ruang-bagian sejati Definisi 5.3.3 : Diketahui operator T pada ruang Hilbert H dan scalar 𝜇. Ruangnol operator T-𝜇I : 𝑵𝑻−𝝁𝑰 = NT(𝝁) = { x 𝝐 H : Tx = 𝝁𝒙 } isebut ruang-𝝁 operator T .
Berdasarkan definisi tersebut, ruang-𝜇 operator T merupakan ruang bagian tertutup yang sekaligus merupakan koleksi semua vecktor sejati operator T dengan nilai Eigen 𝜇. Teorema 5.3.4 : Jika S dan T oprator pada ruang Hilbert H dan ST = Ts, maka S(NT(𝜇)) ⊂ NT(𝜇) . Bukti : Diambil sebarang x 𝜖 NT(𝜇) ; jadi Tx = 𝜇x. Oleh karena itu TSx = STx = S(𝜇𝑥) = 𝜇Sx yang mengatakan Sx 𝜖 NT(𝜇) . ∎ Berdasarkan Teorema 5.3.4 diperoleh teorema di bawah ini. Teorema 5.3,5 : Jika T operator normal pda ruang Hilbert H maka : (i) (ii) (iii)
T*(NT(𝜇)) ⊂ NT(𝜇) . NT(𝜇) = 𝑁𝑇∗ (𝜇) . NT(𝜇) ⊥ NT(𝜆) untuk setiap 𝜇 ≠ 𝜆 .
Bukti : (i) : Karena T*T = TT*, menurut Teorem 5.3.4, T*(NT(𝜇)) ⊂ NT(𝜇) . (ii) x 𝜖 NT(𝜇) jika dan hanya jika Tx = 𝜇x = 𝜇̿ x = T*x jika dan hanya jika x 𝜖 NT*(𝜇). (iii) Diambil sebarang x 𝜖 NT(𝜇) dan y 𝜖 NT(𝜆) . Diperoleh = <x,T*y> ⟺ <𝜇x,y> = < x,𝜆y> ⟺ 𝜇<x.y> = 𝜆<x,y> ⟺ (𝜇 – 𝜆)<x,y> = 0 ⟹ <x,y> = 0 or x ⊥ y .
∎
5.4 Operator kompak Perlu diingat bahwa setiap barisan yang terbatas di dalam suatu ruang Hilbert H belum tentu convergen, tetapi setiap barisan konvergen mesti yerbatas. Definisi 5.4.1 : Operator T dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dikatakan kompak ( compact ) jika setiap barisan vector {xn} di dalam H yang terbatas memuat barisan-bagian {xnk} sehingga barisan {Txnk} yang konvergen. Contoh 5.4 : Setiap fungsional linear kontinu T pada ruang Hilbert merupakan operator kompak dari H ke F { lapangannya ). Buktinya sebagai berikut. T fungsional linear kontinu pada H jika dan hanya jika ada y 𝜖 H sehingga T(x) = <x,y> untuk setiap x 𝜖 H. Sekaraang diambil sebarang barisan terbatas {xn} di dalam H. 41
Diperoleh barisan bilangan terbatas {T(xn)} = {<xn ,y>}. Oleh karena itu ada barisan bagian {T(xnk)} = {<xnk ,y>} yang konvergen. Bukti selesai. ∎ Dua teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya. Teorema 5.4.2 : Jika S dan T dua operator kompak dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dan 𝛼 sebarang skalar, maka 𝛼T dan S+ T juga merupakan operator kompak. Bukti : Diambil sebarang barisan terbatas {xn } di dalam H.{𝛼xn} merupakan barisan terbatas. Karena T kompak maka ada barisan bagian {xnk} ⊂ {xn} sehingga {Txnk} konvergen yang berakibat {𝛼Txnk} = 𝛼{{Txnk} konvergen yang berarti 𝛼T kompak. Selanjutnya, karena {xnk} terbatas dan S kompak, maka ada barisan bagian {xnk(i)} ⊂ {xnk} sehingga {Sxnk(i)} konvergen ; juga barisan {Txnk(i)} konvergen. Jadi {(S + T)xnk(i)} = {Sxnk(i)} + {Txnk(i)} konvergen yang berarti terbukti bahwa S + T merupakan operator kompak.
∎
Teorema 5.4.3 : Jika S dan T merupakan operator kompak pada ruang Hilbert H, maka ST dan TS merupakan operator kompak. Bukti : Diambil sebarang barisan {xn} terbatas. Karena T kompak untuksingkatnya dianggap {Txn} konvergen. Karena S kompak maka ada barisan-bagian {xnk} sehingga {Sxnk} konvergen. Kenyataan ini berakibat {TSxnk} konvergen yang berarti TS merupakan operator kompak. Bukti bahwa operator ST kompak sejalan.
∎
Definisi 5.4.4 : Operator T dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dikatakan berdimensi hingga ( finite dimentianol ) jika T(H) merupakan ruang-bagian yang berdimensi hingga. Teorema 5.4.5 : Setiap operator berdimensi hingga merupakan operator kompak. Bukti : Karena ruang-bagian tertutup T(H) ⊂ K berdimensi hingga maka T(H) mempunyai basis ortonormal {e1 ,e2 , . . . ,em }. Jadi setiap x 𝜖 H diperoleh T(x) = ∑𝑚 𝑘=1 ek dan
2 ||T(x)||2 = ∑𝑚 𝑘=1 || .
Diambil sebarang barisan terbatas {xn} di dalam H ; untuk mudahnya dianggap ||xn|| ≤ 1 dan diperoleh barisan { T(xn)} = {∑𝑚 𝑘=1 ek }. Karena untuk setiap n diperoleh barisan bilangan terbatas {} yang memuat barisan bagian yang konvergen, maka { T(xn)} memuat barisan bagian yang konvergen.
∎ 42
Teorema 5.4.6 : H dan K ruang Hilbert dan Tn 𝜖 Lc(H,K) kompak untuk setiap n. Jika {Tn} konververgen ke suatu T 𝜖 Lc(H,K) maka T kompak. Bukti : Diambil sebarang barisan terbatas {xk} di dalam H , unyuk sederhananya dianggap ||xk|| ≤ 1 untuk setiap k. Tn kompak, maka ada barisan bagian {𝑥𝑘𝑛 } ⊂ {𝑥𝑘𝑛−1 ⊂ {xk} sehingga {Tn(𝑥𝑘𝑛 } konvergen. Secara diagonalisasi diperoleh barisan bagian {𝑥𝑛𝑛 } sehingga {Tn(𝑥𝑛𝑛 )} konvergen, jadi {Tn(𝑥𝑛𝑛 )} barisan Cauchy di dalam K. Sementara itu diketahui {Tn} konvergen ke T. Jadi untuk sebarang bilangaan real 𝜀 > 0 dapat dipilih bilangan asli no sehingga jika bilangan asli m, n ≥ no diperoleh 𝑚 ||Tn(𝑥𝑛𝑛 ) – Tm(𝑥𝑚 )|| < 𝜀
dan
||Tn – T|| < 𝜀 .
Jadi untuk m, n ≥ no diperoleh 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ||T(𝑥𝑚 ) - T(𝑥𝑛𝑛 )|| ≤ ||T(𝑥𝑚 ) – Tn(𝑥𝑚 )|| + || Tn(𝑥𝑚 ) - Tn(𝑥𝑛𝑛 )|| + || Tn(𝑥𝑛𝑛 ) - T(𝑥𝑛𝑛 )||
< 𝜖 + 𝜖 + 𝜖 = 6𝜀 yang berarti {Tn(𝑥𝑛𝑛 } merupakan baisan Cauchy di dalam ruang Hilbert K; jadi {Tn(𝑥𝑛𝑛 } konvergen atau terbukti bahwa T operator kompak.
∎
43
DAFTAR PUSTAKA Berberian, S.K. ,(1961), “Introduction to Hilbert Spaces”, Oxford University Press, New York. Brezis, H. ,(1987), “Analyse Functionnelle”, Masson, Paris. Conway, C.B., (1990), “A Course in Functional Analysis”, Second Edition, Springer Verlag, New York, Hildelberg, Berlin. Weidmann, J., (1976), “Linear operatot in Hilbert Spaces”, Springer Verlag, New York, Hildelberg, Berlin.
44
