PENERAPAN PROSES POISSON NON-HOMOGEN UNTUK MENENTUKAN DISTRIBUSI PROBABILITAS KEDATANGAN NASABAH DI BNI BANJARBARU

PENERAPAN PROSES POISSON NON-HOMOGEN UNTUK MENENTUKAN DISTRIBUSI PROBABILITAS KEDATANGAN NASABAH DI BNI BANJARBARU Mida Yanti1, Nur Salam1, Dewi Anggraini1

Abstract: Poisson process is a special event of the process of counting (counting prosses) where the time intervals between each increasing value are independent and exponentially distributed. Poisson process can be divided into two types: homogenous poisson process and non-homogeneous poisson process. If the exponential distribution has the same parameter value, then it is called a homogeneous poisson process, if not then, the process is called a non-homogeneous poisson. The implementation of nonhomogeneous poisson process can be used to solve the customers arrivals problems of BNI Banjarbaru. The purpose of this research is to apply non-homogeneous poisson process on the customers arrivals at BNI Banjarbaru, determine the probability distribution of customers arrivals at BNI Banjarbaru, describes the process of customers arrivals at BNI Banjarbaru graphically. The research method is a literature study with an acquisition data at BNI Banjarbaru using purposive sampling method. The procedures of this research are studying the problem of non-homogeneous poisson, collecting and recording data of customers arrivals at the BNI Banjarbaru, analyzing data, determining the probability distribution of customers arrivals at BNI Banjarbaru, describing the arrivals processes of customers in the form of graphs, and interpretating the result. The result shows that the probability distribution of customers arrivals at BNI Banjarbaru is: k m ( t )]  m ( t )[ P [ N ( t )  k ]  e , with the most probability of arrivals is on Monday in the first k !

week of 2 November 2009 between 08.00 - 12.00 wita. Keywords: Poisson process, a non-homogeneous poisson process, probability distribution

PENDAHULUAN

proses poisson homogen, jika tidak

Proses poisson merupakan suatu

maka dinamakan proses poisson non-

kejadian khusus dari proses hitung (counting

prosses)

selang-

Proses poisson non-homogen

selang waktu antar kenaikan nilai saling

merupakan proses poisson dengan rate

bebas

yang tergantung pada waktu. Secara

dan

dimana

homogen (Hadianti,2006).

semuanya

berdistribusi

eksponensial. Proses poisson ini terbagi

spesifik

dalam dua tipe yaitu proses poisson

peluang tidak ada kedatangan pada

homogen dan proses poisson non-

kondisi awal adalah 1 dan peluang n

homogen.

distribusi–distribusi

kedatangan pada kondisi awal adalah 0.

mempunyai

nilai

Proses ini mempunyai independent

parameter yang sama maka dinamakan

increment atau waktu antar kejadian

eksponensial

Jika itu

1

Program Studi Matematika, FMIPA UNLAM

77

dapat

didefinisikan

bahwa

78 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 12 No. 1, Februari 2015 (77 – 85) saling bebas. Definisi

proses poisson

nasabah di BNI Banjarbaru, bagaimana

non-homogen ini identik dengan proses

menentukan

poisson homogen, kecuali disini adalah

waktu kedatangan nasabah terbanyak di

fungsi dari waktu (Haryono,1995). Pada

BNI

penerapannya, proses poisson non-

menggambarkan proses kedatangan

homogen ini bisa digunakan untuk

nasabah di BNI Banjarbaru secara

menyelesaikan suatu persoalan yang

grafik. Tujuan dari penelitian ini adalah

sering terjadi di kehidupan sehari–hari

menerapkan

diantaranya pada kedatangan nasabah

homogen

pada

di suatu bank tertentu.

nasabah

di

Bank merupakan salah satu

distribusi

Banjarbaru,

dan

proses

menentukan

probabilitas

bagaimana

poisson

proses BNI

distribusi

non-

kedatangan Banjarbaru, probabilitas

tempat pelayanan yang mempunyai arti

waktu kedatangan nasabah terbanyak di

penting dalam masyarakat. Bagi pihak

BNI Banjarbaru, dan menggambarkan

bank, kepuasan pelanggan merupakan

proses kedatangan nasabah di BNI

suatu

Banjarbaru secara grafik.

hal

penting

diperhatikan.

yang

Namun,

harus

banyaknya

nasabah yang datang bersamaan pada hari

dan

jam

tertentu

akan

METODE PENELITIAN Lokasi yang digunakan untuk

mengakibatkan terjadinya antrian yang

penelitian

cukup

nasabah

Banjarbaru. Waktu penelitian dari 2

merasa tidak kondusif bahkan merasa

November 2009 sampai dengan 26

cukup dirugikan dengan waktu antrian

November 2009.

panjang

sehingga

ini

adalah

bank

BNI

yang cukup lama. Oleh sebab itu, dalam suatu

bank

perlu

kedatangan

diketahui

Data Penelitian

terbanyak

Populasi dalam penelitian ini

dapat

adalah semua nasabah yang datang ke

mengantisipasi agar tidak terjadi antrian

BNI Banjarbaru dari 2 November 2009

panjang

menyebabkan

sampai dengan 26 November 2009.

menurunnya tingkat kepuasan nasabah

Sampel penelitian diambil dengan teknik

terhadap pelayanan di dalam bank

purposive

tersebut.

pengambilan

sehingga

pihak

bank

yang

Rumusan

penelitian

ini

menerapkan homogen

nasabah

waktu

masalah

adalah proses

pada

bagaimana

poisson

proses

dalam

non-

kedatangan

nasabah

sampling

dengan

sampel yang

adalah

datang

kriteria data untuk

mendapatkan pelayanan pada antrian A (teller).

Yanti, M., dkk. Penerapan Proses Poisson Non-Homogen …79

Prosedur Penelitian

Pada

tabel

2,

interval

waktu

di

Prosedur penelitian ini meliputi:

asumsikan dari 0 sampai 8 dimana hal

(1) Mempelajari masalah proses poisson

tersebut mewakili interval waktu dari

non-homogen. (2) Pengambilan dan

pukul 08.00 wita sampai 16.00 wita

pencatatan data kedatangan nasabah di

pada

BNI Banjarbaru. (3) Analisa data berupa

Kemudian, dengan mensubstitusikan

menghitung dan menentukan distribusi

ekspektasi atau mean value function

probabilitas kedatangan nasabah di BNI

yang ditunjukkan pada tabel tersebut

Banjarbaru. (4) Menggambarkan proses

maka didapatkan persamaan berikut.

kedatangan

HASIL DAN PEMBAHASAN

[m(t )]k P[ N (t )  k ]  e k! k [ 400 43( t 6 )] 400  43(t  6) e k!

Laju Kedatangan Nasabah Perjam

Dengan cara yang sama, didapatkan

nasabah

dalam

bentuk

grafik dan (5) Interpretasi hasil.

kondisi

yang

sebenarnya.

m ( t )

Berdasarkan data yang diperoleh

distribusi probabilitas untuk masing–

maka dapat ditentukan laju kedatangan

masing mean dari kedatangan nasabah

nasabah perjam yang ditunjukkan pada

dimana

tabel 1. Tabel 1 menunjukkan bahwa laju

terbesar berada pada interval waktu

kedatangan nasabah perjam pada pagi

antara 0 sampai 4 atau pada pukul

hari berkisar antara 40 sampai 80

08.00–12.00

wita

nasabah, pada siang dan pada sore hari

interval

sampai

berkisar antara 40 sampai 50 nasabah.

probabilitasnya

Sehingga dapat dikatakan bahwa laju

mendekati

kedatangan nasabah perjam mempunyai

probabilitas kedatangan nasabah yang

jumlah rata–rata yang hampir sama dari

terbesar adalah pada pagi hari.

distribusi

4

nol.

probabilitas

sedangkan 8

sangat

yang

pada

distribusi kecil

Sehingga

dan

distribusi

hari ke hari. Grafik Kedatangan Nasabah Jika

Distribusi Probabilitas Dengan

mengintegralkan

kedatangan

nasabah

ditunjukkan

pada

didapatkan

perjam

tabel

ekspektasi

1,

laju

kedatangan

ditinjau

dari

rata–rata

nasabah

perjam,

maka

yang

diperoleh gambar 1, gambar 2 dan

maka

gambar 3, yaitu grafik laju kedatangan

(mean)

nasabah perjam pada pagi hari, siang

kedatangan nasabah seperti tabel 2.

hari dan sore hari.

80 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 12 No. 1, Februari 2015 (77 – 85) Gambar Grafik Kedatangan Nasabah Mean StDev N

Frequency

5

57.58 11.11 19

2

kedatangan

menunjukkan antara

sampai

nasabah

3

kedatangan nasabah terbanyak berada

2

pada

1

menunjukkan laju kedatangan antara 35 40

50 60 70 Laju Kedatangan Perjam

angka

dengan

54

4

0

perjam,

40

laju

46,

dan

frekuensi

Gambar

3

sampai 50 nasabah perjam, dengan

80

Gambar 1. Grafik laju kedatangan nasabah perjam pada pagi hari

frekuensi terbanyak

kedatangan berada

nasabah

pada

angka

45

sampai 50. Grafik Kedatangan Nasabah Mean StDev N

Frequency

5

Berdasarkan

45.37 3.370 19

ketiga

gambar

4

tersebut, maka disimpulkan bahwa pada

3

pagi hari angka kedatangan nasabah

2

lebih tinggi jika dibandingkan dengan

1

angka kedatangan nasabah pada siang

0

40

44 48 Laju Kedatangan Perjam

52

hari ataupun sore hari dan dari data yang

Gambar 2. Grafik laju kedatangan nasabah perjam pada siang hari

diperoleh terlihat bahwa kedatangan nasabah pada hari senin lebih tinggi jika dibandingkan hari–hari yang lain. Jika

Grafik Kedatangan Nasabah Mean StDev N

Frequency

5

45.84 3.962 19

dibandingkan

jumlah

kedatangan

4

nasabah dari minggu pertama sampai

3

minggu keempat dapat dikatakan bahwa

2

angka kedatangan nasabah pada minggu

1

0

pertama lebih tinggi dibandingkan dengan 35

40 45 Laju Kedatangan Perjam

50

55

Gambar 3. Grafik laju kedatangan nasabah perjam pada sore hari

minggu kedua, ketiga, ataupun keempat. Berdasarkan

uraian

di

atas

dapat

disimpulkan bahwa angka kedatangan nasabah tertinggi yaitu pada hari senin di

Gambar 1 menunjukkan bahwa

minggu pertama antara pukul 08.00

rata–rata kedatangan nasabah perjam

sampai 12.00 wita.Secara keseluruhan

pada pagi hari berkisar antara 40

data

sampai 75 nasabah perjam, dengan

ditunjukkan oleh gambar 4, yaitu grafik

frekuensi

laju

kedatangan

nasabah

terbanyak berada pada angka 70.

kedatangan

kedatangan

November 2009.

nasabah

nasabah

perjam

pada

Yanti, M., dkk. Penerapan Proses Poisson Non-Homogen …81

Grafik Kedatangan Nasabah 0.99

Variable Pagi Hari Siang Hari Sore Hari

0.95 0.9

Probability

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05

0.01

30

40

50 60 Jumlah Kedatangan Nasabah

70

80

Gambar 4. Grafik laju kedatangan nasabah pada November 2009

Berdasarkan gambar 4 dapat ditunjukkan nasabah

bahwa

tertinggi

kedatangan

pada

pagi

hari

berada pada angka 77 dan angka

Nopember 2009 adalah pada hari Senin di minggu pertama bulan Nopember yaitu pada tanggal 2 Nopember 2009 pukul 08.00 – 12.00 wita.

kedatangan terendah adalah 40, pada siang hari kedatangan tertinggi berada pada angka 54 dan angka kedatangan terendah adalah 40, sedangkan pada sore

hari

kedatangan

nasabah

DAFTAR PUSTAKA Ghahramani, S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastic Processes 3 rd Edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.

tertinggi berada pada angka 51 dan angka kedatangan terendah adalah 35. Sehingga dapat terlihat bahwa laju kedatangan nasabah tertinggi adalah pada pagi hari.

Haryono.1995. Proses Stokastik Terapan. Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya.

KESIMPULAN Kesimpulan dari penelitian ini adalah bahwa proses poisson nonhomogen dapat diterapkan pada proses kedatangan nasabah di BNI Banjarbaru dan distribusi probabilitas kedatangan nasabah

terbanyak

Hadianti, R. 2006. Kapita Selekta Matematika Terapan I (Teori Antrian). Institut Teknologi Bandung. Bandung.

pada

bulan

Ross,

S.M. 2003. Introduction to Probability Models. Academic Press, USA.

Surjadi, P.A. 1990. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Institut Teknologi Bandung. Bandung.

82 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 12 No. 1, Februari 2015 (77 – 85) Lampiran Tabel 1. Laju kedatangan nasabah perjam No

1

2

3

Hari Senin

Selasa

Rabu

Tanggal 02 Nopember 2009

03 Nopember 2009

04 Nopember 2009

4

Kamis

05 Nopember 2009

5

Jum'at

06 Nopember 2009

6

7

8

9

10

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jum'at

09 Nopember 2009

10 Nopember 2009

11 Nopember 2009

12 Nopember 2009

13 Nopember 2009

11

Senin

16 Nopember 2009

12

Selasa

17 Nopember 2009

13

Rabu

18 Nopember 2009

Rate Kedatangan (Nasabah/Jam) 77 ,  

  t  46 ,

 43 ,  70 ,     t  42 ,  39 , 60 ,     t  43 ,  48 ,  70 ,     t  46 ,  47 , 70 ,     t  48 ,  45 ,  69 ,     t  45 ,  49 , 55 ,     t  42 ,  44 ,  50 ,     t  48 ,  48 , 

0t4 4t6 6t 8

0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

40 ,     t  45 ,  46 ,  53 ,     t  49 ,  42 ,

0t4 4t6 6t8

68 ,     t  47 ,  49 , 62 ,     t  44 ,  46 ,  , 48    t  49 ,  45 , 

0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

Yanti, M., dkk. Penerapan Proses Poisson Non-Homogen …83

14

15

16

17

18

19

Kamis

Jum'at

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

19 Nopember 2009

20 Nopember 2009

23 Nopember 2009

24 Nopember 2009

25 Nopember 2009

26 Nopember 2009

45 ,     t  41 ,  48 ,  39 ,     t  44 ,  47 ,  49 ,     t  43 ,  49 , 57 ,     t  40 ,  35 ,  51 ,     t  46 ,  50 ,  61 ,     t  54 ,  51 , 

0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

0t4 4t6 6t8 0t4 4t6 6t8

84 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 12 No. 1, Februari 2015 (77 – 85) Tabel 2. Ekspektasi kedatangan nasabah No

Hari

Tanggal

1

Senin

02 Nopember 2009

2

Selasa

03 Nopember 2009

3

Rabu

04 Nopember 2009

4

Kamis

05 Nopember 2009

5

Jum'at

06 Nopember 2009

6

Senin

09 Nopember 2009

7

Selasa

10 Nopember 2009

8

9

10

11

12

Rabu

Kamis

Jum'at

Senin

Selasa

Ekspektasi Kedatangan Nasabah 77 t , 0  t 4    m t  308  46 ( t  4 ), 4  t  6   400  43 ( t 6 ),6  t 8  70 t , 0  t 4    m t  280  42 ( t 4 ),4  t 6   364  39 ( t  6 ), 6  t  8  60 t , 0  t 4    m t  240  43 ( t 4 ),4  t 6   326  48 ( t  6 ), 6  t  8  70 t , 0  t 4    m t  280  46 ( t  4 ), 4  t  6   372  47 ( t 6 ),6  t 8  70 t , 0  t 4    m t  280  448 ( t  4 ), 4  t  6   376  45 ( t 6 ),6  t 8  69 t , 0  t 4    m t  276  45 ( t 4 ),4  t 6   366  49 ( t  6 ), 6  t  8  55 t , 0  t 4    m t  220  42 ( t 4 ),4  t 6   304  44 ( t  6 ), 6  t  8 

11 Nopember 2009

50 t , 0  t 4    m t  200  448 ( t 4 ), 4  t 6   296  48 ( t  6 ), 6  t  8 

12 Nopember 2009

40 t , 0  t 4    m t  160  45 ( t 4 ), 4  t 6   250  46 ( t  6 ), 6  t  8 

13 Nopember 2009

53 t , 0  t 4    m t  212  49 ( t  4 ), 4  t  6   301  42 ( t 6 ),6  t 8 

16 Nopember 2009

68 t , 0  t 4    m t  272  47 ( t  4 ), 4  t  6   366  49 ( t 6 ),6  t 8 

17 Nopember 2009

62 t , 0  t 4    m t  248  44 ( t  4 ), 4  t  6   336  46 ( t 6 ),6  t 8 

13

Rabu

18 Nopember 2009

14

Kamis

19 Nopember 2009

48 t , 0  t 4    m t  192  49 ( t 4 ), 4  t 6   290  45 ( t 6 ),6  t 8  45 t , 0  t 4    m t  180  41 ( t  4 ), 4  t  6   262  48 ( t 6 ),6  t 8 

Yanti, M., dkk. Penerapan Proses Poisson Non-Homogen …85

15

Jum'at

20 Nopember 2009

16

Senin

23 Nopember 2009

17

Selasa

24 Nopember 2009

18

Rabu

25 Nopember 2009

19

Kamis

26 Nopember 2009

39 t , 0  t 4    m t  156  44 ( t 4 ), 4  t 6   244  47 ( t  6 ), 6  t  8  49 t , 0  t 4    m t  196  43 ( t  4 ), 4  t  6   282  49 ( t 6 ),6  t 8  57 t , 0  t 4    m t  228  40 ( t  4 ), 4  t  6   308  35 ( t 6 ),6  t 8  51 t , 0  t 4    m t  204  46 ( t 4 ),4  t 6   296  50 ( t  6 ), 6  t  8  61 t , 0  t 4    m t  244  54 ( t 4 ),4  t 6   352  51 ( t  6 ), 6  t  8 