PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA CAS DI PERGURUAN TINGGI. Bambang Priyo Darminto. Abstrak

PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA “CAS” DI PERGURUAN TINGGI Bambang Priyo Darminto Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak Pengetahuan matematika dan komputer mempunyai keterkaitan satu dengan lainnya. Teknologi komputer berkembang pesat berkat dukunagn matematika dan sebaliknya, pengetahuan matematika dapat dikembang melalui pemberdayaan tekonologi komputer. Karena itu, saat ini telah dikembangkan berbagai model pembelajaran matematika yang memberdayakan komputer. Computer Algebra Sistems (CAS) merupakan suatu model pembelajaran berbasis komputer di perguruan tinggi. Model ini dikembangkan pertama kali oleh Joel Hillel dan diterapkan dalam mata kuliah aljabar linier. Model pembelajaran ini memuat tiga aktivitas pokok yaitu surprises, clarifications, dan investigations. Aktivitas CAS bersifat pedagogis artinya proses pembelajaran yang dilaksanakan dapat menimbulkan suatu kondisi psikologis yang membuat mahasiswa senang, tertarik dan tidak frustasi. Aktivitas pembelajaran ini dimulai dari materi yang sederhana menuju ke hal-hal yang lebih kompleks. Meskipun memerlukan perangkat keras dan perangkat lunak yang cukup mahal, namun model pembelajaran ini terbukti sangat efektif dan dapat meningkatkan pemahaman konsep matematik yang dalam bagi mahasiswa. Dalam sebuah contoh pembelajaran, CAS terbukti dapat membantu mahasiswa dalam melakukan perhitungan rumit dan memanipulasi matriks yang berordo besar untuk memecahkan soal sistem persamaan linear. Kata kunci : CAS, pembelajaran berbasis komputer Pendahuluan Perkembangan teknologi yang

faatkan hasil rekayasa ini dalam

sangat pesat cukup menantang

berbagai

dunia pendidikan untuk meman-

untuk

kegiatan meningkatkan

pendidikan kualitas

46 Bambang Priyo Darminto: Penerapan Model Pembelajaran “CAS” di Perguruan Tinggi

proses dan hasil pembelajaran.

Bermacam-macam model pembe-

Selain itu, National Council of

lajaran telah diuji coba melalui

Teacher of Mathematics (NCTM)

penelitian yang dilakukan oleh

(2000),

para pakar pendidikan matematika.

Standards

dalam Principles and Mathe-

Penerapan

bahwa

matematika ini tidak hanya sebatas

teknologi elektronika, seperti kal-

pada sekolah menengah tetapi juga

kulator dan komputer, merupakan

dilakukan di perguruan tinggi.

alat bantu yang esensial untuk

Adapun model

meningkatkan

belajar,

sedang banyak didesain oleh para

mengajar, dan melakukan aktivitas

pakar pendidikan adalah menga-

matematika. Media elektronik ini

itkan antara pengetahuan matema-

diakui sangat membantu maha-

tika dan pemberdayaan teknologi

siswa dalam menangkap konsep

komputer.

matics,

for

School

menyatakan

kegiatan

dan images dari gagasan-gagasan matematika. Oleh karena itu perlu dikembangkan

model

pembel-

ajaran berbasis komputer guna memfasilitasi mahasiswa dalam mempelajari matematika.

model

pembelajaran

yang saat ini

Pengetahuan matematika dan teknologi komputer mempunyai keterkaitan satu sama lain. Teknologi komputer dapat berkembang pesat berkat dukungan matematika, dan sebaliknya pengetahuan mate-

Untuk rangka meningkatkan

matika dapat ditingkatkan melalui

pemahaman konsep-konsep mate-

bantuan komputer. Oleh karena itu,

matika, para ahli pendidikan mela-

saat ini telah banyak dikem-

kukan berbagai cara, satu di

bangkan

antaranya

adalah

ajaran matematika dengan mem-

berbagai

model-model

belajaran ke dalam

menerapkan pemkegiatan

aktivitas pembelajaran di sekolah.

model-model

pembel-

berdayakan komputer. Salah satu model

pembelajaran

yang

menggunakan alat bantu komputer

Bambang Priyo Darminto: Penerapan Model Pembelajaran “CAS” di Perguruan Tinggi

47

adalah Computer Algebra Sistems

dapat dijalankan dalam PC. Oleh

disingkat CAS.

karena itu, sampai akhir tahun 1970-an CAS menjadi alat bantu

Model Pembelajaran Computer

pendidikan yang sangat baik, khu-

Algebra Sistems (CAS)

susnya dalam proses pembelajaran

Computer

Algebra

Sistems

(CAS) dikembangkan oleh Joel Hillel kira-kira 52 tahun yang lalu ketika

pemrograman

komputer

mulai memperkenalkan simbolsimbol yang dipakai dalam matematika. Model pembelajaran ini menitikberatkan pada

pembel-

ajaran di perguruan tinggi dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Linier.

Perkembangan

selan-

jutnya, CAS digunakan sebagai

dan pengajaran matematika. Sebagai contoh, Wilf menyajikan suatu program yang disebut “muMATH” yaitu suatu program yang merupakan salah satu bagian penggunaan CAS pada PC. Meskipun saat itu muMATH masih sangat sederhana (belum dilengkapi dengan fasilitas program grafik), Wilf mampu mengubah

proses

pembelajaran

kalkulus yang saat itu dikatakan tradisional. Kira-kira tahun 1980 terjadi

alat bantu dalam memecahkan perhi-

perdebatan dalam bidang pendi-

tungan fisika, matematika, kimia,

dikan di perguruan tinggi, tentang

dan lain-lainnya sehingga penggu-

penggunaan

naannya semakin luas.

sikap pro dan kontra di kampus

masalah

khusus

seperti

Seiring dengan perkembangan

teknologi

komputer

dari

mainframe ke personal computer (PC), saat ini CAS telah memiliki kemampuan yang tinggi sehingga

yang

CAS.

meragukan

(outcomes)

Muncullah hasil

belajar

mahasiswa

yang

pengajaran dan pembelajarannya menggunakan

CAS.

Para

matematika menyangsikan apakah para

dosen

telah

professional


ahli

dalam menggunakan CAS sebagai

membuat pemodelan, membantu

alat bantu pendidikan. Namun

membentuk konsep tentang ide

demikian, akhirnya CAS menjadi

dasar limit, garis singgung, atau

terkenal karena memang dapat

untuk

memecahkan

digunakan sebagai instruktor da-

dalam

persamaan

lam beberapa tujuan pembelajaran

Demikian

yang berbeda, dan penggunaan

linear,

CAS ternyata dapat mengurangi

mahasiswa memiliki pengalaman

beban pekerjaan dosen. Saat ini

yang sulit terhadap aspek-aspek

CAS juga digunakan sebagai alat

yang

bantu dalam penilaian sederhana,

pokok

pengaturan jadwal kegiatan (dosen,

linear. Pada umumnya, mereka

mahasiswa, perkuliahan), penga-

sering bingung oleh bertemunya

turan peralatan laboratorium, dan

deskripsi

lain-lain. Jadi, jelaslah bahwa CAS

(konsep abstraksi, geometri, dan

telah banyak dipakai dalam dunia

aljabar) dan selanjutnya bagai-

pendidikan

mana hubungan dari ketiga hal

sebagai

alat

bantu

pengajaran dan pembelajaran. Banyak contoh dan ide yang berhubungan dengan penggunaan CAS dalam pengajaran dan pembelajaran di perguruan tinggi. Hal ini tidak mengherankan karena saat ini CAS telah dapat diekploitasi penuh untuk pengajaran kalkulus dan persamaan diferensial. Dalam hal ini CAS dapat digunakan untuk membantu

mahasiswa

dalam

pula

karena

diferensial.

dalam pada

terdapat

dalam

pokok

aljabar

umumnya

dalam

bahasan

tiga

persoalan

struktur aljabar

bahasan

tersebut dapat diketahui. Berkembangnya CAS sebagai alat bantu, ternyata dapat digunakan untuk memanipulasi

matriks

sehingga

dapat digunakan untuk membantu memecahkan

sistem

persamaan

linear. Prototipe Pembelajaran CAS Ada 3 aktivitas CAS dalam contoh pembelajaran aljabar linear di semester 1 dan 2. Pada awal


49

perkuliahan, sebagian besar maha-

hasilan komputer dalam operasi

siswa belum familier menggu-

tersebut. Mereka mulai mengenal

nakan

tentang operasi perkaliam matriks.

CAS

karena

belum

memahami cara pengoperasiannya

Kemudian

dan

memasukkan matriks yang lain

belum

memahami

“basic

Aktivitas ini dimulai dengan matriks A dan melihat keberhasilan komputer dalam melakukan operasi perkalian. Aktivitas ini merupakan satu dari sekumpulan aktivitas CAS yang mempunyai tujuan utama adalah membuat pembelayang

“menarik”

“mengherankan”.

atau

Mula-mula,

pembelajaran menyajikan A2 = 0, dan meminta mahasiswa untuk menjawabnya. keyakinan,

Dengan sebagian

penuh besar

menjawab A=0. Dalam aktivitas mahasiswa

pengetahuannya

mendasarkan pada

A2

diperoleh

Aktivitas (1) : Surprises

ini

diminta

(bukan matriks Nol) sehingga akan

syntax”.

jaran

mahasiswa

bilangan

real. Kemudian mahasiswa diminta mengoperasikan komputer dengan mengalikan bermacam-macam matriks, namun ordonya masih tetap 2X2. Mereka mengamati keber-

=

A.

Setelah

diperoleh matriks yang memenuhi persamaan tersebut, kemudian baru didefinisikan bahwa matriks

disebut matriks idempotent atau nilpotent.

Akhirnya,

aktivitas

dilanjutkan dengan persoalan lain, misalnya A5 = 0 ? Kadang-kadang mahasiswa dalam melakukan

komputasi

sudah

merasa yakin bahwa mereka tidak mempunyai

kesalahan.

Namun

dengan bermacam-macam komputasi

matriks

berbeda

yang

dan

ukurannya

besar,

mereka

memahami bahwa komputer tidak berhasil mengerjakannya. Aktivitas ini akan memberi wawasan yang

luas

kepada

mahasiswa

tentang sifat dan perilaku matriks. Akhirnya, mahasiswa secara cepat berpikir melalui pengalamannya


itu

sehingga pada akhirnya memahami

bebasan berpikir saat mengguna-

tentang

kan CAS. Dengan

bagaimana

ciri-ciri

memahami

perkalian matriks.

berbagai jawaban hasil operasi

Mereka sekarang memahami raha-

matriks tersebut, mahasiswa dapat

sia perkalian matriks.

memahami arti perkalian matriks

Aktivitas (2) : Clarifications

mxn sehingga diperoleh suatu

Tujuan dari aktivitas ini adalah

penyelesaian.

klarifikasi (menjelaskan, mengu-

Aktivitas (3) : Investigation

raikan). Aktivitas ini dimulai me-

Tujuan aktivitas ini adalah inves-

mecahkan sistem persamaan linear

tigasi (melakukan pemeriksaan).

A.X = B dengan cara mereduksi

Aktivitas ini merupakan poses

elemen-elemen pada persamaan ke

pembelajaran aljabar linear tingkat

dalam kurung sebagai matriks.

lanjut, misalnya menugasi maha-

Semua mahasiswa diminta meng-

siswa untuk bekerja dalam ruang

gunakan CAS untuk hal tersebut,

eigenvectors yang sama, misalnya

dan memulainya dengan menyele-

vektor-vektor yang dapat diganti

saikan sistem persamaan non-

dengan

trivial. Mahasiswa menggunakan

matriks (A-l). Notasi yang men-

CAS untuk membentuk operasi

dasari eigenvectors adalah ide

baris pada koefisien matriks A.

sederhana

Dengan bermacam-macam matriks

matriks pada vektor. Sekali lagi,

yang dioperasikan, maka ditentu-

bahwa mahasiswa biasanya memi-

kan

sehingga

liki sedikit pengalaman dan perha-

diperoleh penyesaian X0, X1, X2,

tian dalam bermain iterasi terhadap

…dst untuk matriks A0, A1, A2,

beberapa vektor istimewa, misal-

….dst. Dalam aktivitas ini maha-

nya Ak.v=v atau Ak.v=0; untuk

siswa

mengklarifikasi

sebarang k  1. Mahasiswa dapat

hasil operasi dasar dan diberi ke-

memperoleh akses notasi ini mela-

penyelesaiannya

berusaha

beberapa

dari

tansformasi

proses


iterasi

51

lui aktivitas yang dapat dikate-

“kesuksesan”

gorikan sebagai investigasi. Seba-

dalam pelaksanaan pembelajaran

gaimana aktivitas (1) dan (2),

CAS

maka ide dasar proses pembel-

ketika pembelajaran dalam CAS

ajaran

dilaporkan

ini

dengan

adalah

permainan

menggunakan

matriks,

secara

atau

“kesalahan”

lengkap.

berhasil,

mengevaluasi

apakah

Namun,

kita

akan

rumusan

mereduksi, melihat hasil kompu-

yang telah ditentukan tersebut

tasi beberapa operasi matriks yang

sudah menunjukkan hal-hal yang

dimulai dari yang paling sederhana

penting. Hal ini tampak jelas pada

menuju ke hal-hal yang lebih

contoh permasalahan di atas. Di

kompleks.

sisi lain, ketika terdapat “kesalahan”

Tantangan penggunaan CAS

meminta apakah suatu konteks

Suatu tantangan yang sering kita dengar dalam penggunaan CAS

pada

bidang

yang dilaporkan, kita akan

telah sesuai dengan tujuan dalam penggunaan CAS.

pendidikan

adalah bagaimana dapat mem-

Aktivitas CAS bersifat peda-

buktikan bahwa pengajaran dan

gogis

pembelajaran, dapat menunjukkan peningkatan kedua-duanya.

Perhatikan aktivitas clarificati-

Na-

ons di mana orang menginginkan

mun, tanpa suatu konteks yang

hasil-hasil dari mengoperasikan

mempertimbangkan beberapa per-

matriks 2x2 dan

tanyaan seperti : kepada siapa,

mahasiswa yang belajar aljabar

untuk tujuan apa, dan bagaimana,

linier tradisional. Hasil tersebut

peningkatan

diperoleh dari aktivitas mahasiswa

tersebut

mungkin

tidaklah terlalu jelas. Ketika

suatu

2x3 keseluruh

yang bekerja pada sistem yang pen-

sama dan lebih besar. Tetapi, jika

didikan telah ditetapkan dalam

seseorang mulai bekerja, katakan

pikiran,

dengan sistem matriks 7x10, tentu

mungkin

tujuan tidak

ada


memerlukan banyak waktu. Atau

peroleh satu jawaban. Sebagai con-

mungkin dapat menimbulkan suatu

toh, operasi dasar matriks tanpa

kondisi psikologis yang membuat

harus mengerti urutan cara penger-

mahasiswa frustasi karena banyak

jaannya. Hal ini sama dengan sese-

kekeliruan yang sifatnya sepele.

orang yang bekerja pada papan

Akhirnya mahasiwa mengganggap

tulis yang hanya menghapus suatu

bahwa kegiatan ini tidak produktif.

matriks dan menggantikan dengan

Oleh karena itu, aktivitas hendak-

yang lain. Aktivitas ini dapat dila-

nya dimulai dari hal-hal yang

kukan

sederhana sambil dapat memper-

mahasiswa memahami tugasnya.

lancar pengoperasian komputer.

Cara bekerja ini tidak melihat

Suatu langkah yang mengantarkan

langkah-langkah dalam proses kal-

penggunaan CAS, dipilihlah suatu

kulasi. Aktivitas ini telah menga-

aktivitas awal yang berkaitan de-

rahkan mahasiswa dalam mema-

ngan aspek sintaks (tata cara

hami

penulisan) yang benar. Mahasiswa

Dalam beberapa hal, mahasiswa

jangan langsung diminta bekerja

boleh mengajukan usul, meminta

dengan matriks besar. Perlu diingat

bagaimana proses dilakukan, mela-

bahwa sintaks pasti akan diguna-

kukan

perhitungan-perhitungan

kan terus, sehingga perlu dipahami

tertentu,

mempelajari

terlebih dulu. Sehubungan dengan

perintah dasar yang sangat ber-

hal tersebut, perlu disediakan wak-

manfaat

tu khusus untuk melakukan ak-

komputer.

berulang-ulang

konsep

operasi

untuk

sahingga

matriks.

beberapa

menggunakan

tivitas yang berhubungan dengan hal tersebut. Beberapa gaya pembelajaran dengan CAS yang efisien dan cepat jika hanya bertujuan mem-

Menggambarkan

suatu

kon-

teks pembelajaran Ketepatan suatu evaluasi terhadap

setiap

aktivitas


CAS 53

dapat dirasakan jika ada sebuah

perlu menulis tetapi melakukan

artikulasi

konteks

observasi, diskusi, dan memper-

digunakan.

oleh saran-saran dari instruktur.

dari

pembelajaran

suatu yang

Kita dapat melihat dua macam

Hal

skenario yang berbeda berikut ini

aktivitas CAS merupakan suatu

untuk diimplementasikan dalam

kegiatan yang berbeda, kontinyu

kegiatan

Dalam

dan menghasilkan beberapa catat-

skenario pertama, setelah proses

an-catatan tertentu dari kegiatan

pembelajaran

suatu

pembelajaran mahasiswa. Kegiat-

konteks yang ditentukan selesai

an ini ternyata memiliki aspek

dibicarakan di kelas, sebagian

yang bervariasi. Dalam skenario

mahasiswa seperti biasanya diberi

ini memuat hal-hal yang berkaitan

tugas

dengan

pembelajaran. terhadap

pekerjaan

rumah

(jika

ini

menunjukkan

pemakaian

bahwa

“instruktur”

mahasiswa mempunyai komputer)

secara

luas,

atau di laboratorium komputer.

dalam

kelas

Dengan waktu yang bebas tugas

terutama dalam mempersiapkan

dikerjakan

persentasi dari contoh-contoh yang

di

rumah

masing-

penggunaan tampak

CAS

“hidup”

telah dikerjakan, mahasiswa diberi

masing. Skenario yang kedua, yaitu

kebebasan secara luas terhadap

setelah proses pembelajaran ter-

sekumpulan perintah-perintah CAS

hadap suatu konteks selesai diba-

dan bagian-bagian program CAS

has di kelas, sebagian mahasiswa

dapat

melakukan aktivitasnya melalui

pengetahuan secara fungsional dari

CAS

CAS

di

laboratorium.

Setelah

berjalan

dengan

merupakan

bagian

baik, dari

melaksanakan, langkah selanjut-

keseluruhan asesmen mahasiswa,

nya mendiskusikan secara bersa-

dan CAS dapat digunakan oleh

ma,

mahasiswa

dan mempresentasikan. Di

laboratorium

mahasiswa

tidak

selama

beberapa universitas,

ujian.

pemilihan


Di

model

ini

bergantung

masih pada

terbatas

pilihan

yang

disukai seseorang seperti gaya instruktur,

komitmen

penggunaan teknologi, dan sikap umum

pembelajaran

matematika.

terhadap

TGS DIKERJAKAN DI LAB KOMPUTER (DLM KEL.KECIL)

KONTEKS PEMBELAJARAN

terhadap

DISKUSI/ PRESENTASI

ASSESMEN

Model Pembelajaran CAS pokok persoalan di kelas (baik

Proses Observasi Dreyfus dan Hillel (1998)

kepada mahasiswa yang menyele-

melakukan pengamatan dan seka-

saikan dengan CAS atau tidak).

ligus menganalisis secara detail

Sesudah

pembelajaran CAS di laborato-

instruktur (yang telah ditunjuk)

rium. Dalam proses pembelajaran-

mendemonstrasikan Maple untuk

nya,

Maple.

menjelaskan tentang bagaimana

Pengamatan ditujukan pada seke-

menyelesaikan berbagai masalah

lompok mahasiswa (tiap kelompok

kepada mahasiswa yang diambil

terdiri atas 4 mahasiswa) yang

sebagai

bekerja di

untuk seluruh mahasiswa yaitu

ia

menggunakan

memecahkan

laboratorium

secara

sampel.

Sebuah titik”

topik

tentang

“perkalian

memuat

orthonormal

titik”. Kegiatan ini merupakan

proyeksi

pada

kuliah kedua pada Aljabar Linear

pendekatan “least square” pada

yang menggunakan Maple. Sebe-

interval [a,b] (di sini perkalian titik

lum mahasiswa melakukan kegi-

didefinisikan oleh:

tentang

“perkalian

teratur

yang

menyangkut

masalah

untuk

itu,

absis,

yang bases, dengan

atan praktikum, ia mengemukakan Bambang Priyo Darminto: Penerapan Model Pembelajaran “CAS” di Perguruan Tinggi

55

dapat menemukan solusi melalui

b

(f.g =



f ( x).g ( x)dx )

kreatifitasnya dan hal itu memung-

a

dan pendekatan “least square”

kinkan mahasiswa untuk menemu-

dengan fungsi polinomial kuadrat.

kan beberapa miskonsepsi. Hal ini

Mahasiswa bekerja di labo-

terbukti bahwa mahasiswa mene-

ratorium secara sungguh-sungguh

mukan solusi yang memuat antara

dalam melaksanakan tugas untuk

lain :

menemukan solusinya, yaitu mene-

a. Pendekatan

memiliki

hasil

mukan jarak terdekat antara kurva

yang baik pada interval [0,1]

x3 dan kurva x2 melalui pendekatan

dan sekitarnya. Ini berarti

kuadrat

dalam

bahwa jarak terpendek antara

interval [a,b]. Dengan melakukan

kurva x3 dan x2 terletak pada

berulangkali, tugas yang diberikan

interval [0,1].

“least

square”

instruktur menjadi agak terbiasa.

b. Pendekatan memberikan bebe-

Penggunaan Maple secara sederha-

rapa nilai yang sama terhadap

na dapat digambarkan sebagai kal-

fungsi x3 dan x2. Kurva x3 dan

kulator, sehingga memungkinkan

x2

mereka

sama antara x = 0 sampai 1.

melakukan

pendekatan

melalui beberapa kali pengujian, kemudian

menampilkan

mempunyai nilai yang

c. Bentuk kurva x3 dan x2 hampir sama pada interval [0,1]

grafik

terhadap fungsi yang diberikan (ini

Berdasarkan observasi ter-

merupakan sebuah masalah yang

hadap aktivitas mahasiswa di atas,

dipecahkan

kegiatan

nampaknya penerapan CAS ini

seperti “permainan” dalam Aljabar

berhasil. Dalam aktifitas tersebut

Linear).

ini

nampak ada beberapa faktor yang

dengan

teman

dapat meningkatkan kualitas pem-

Dalam

proses

belajaran,

melalui

Hasil

didiskusikan kelompoknya.

investigasi

pembelajaran tersebut, mahasiswa

dan

meningkatkan

konsentrasi,

keterampilan


logika

manipulatif,

mengembangkan

dan x2 dengan pende-katan “least

konsep. Dengan kata lain, Maple

square” pada interval

telah memainkan peranan yang

mereka

penting dalam sesi ini. Memang,

pendekatan yang jelek yang dibe-

untuk sebuah masalah baru, maha-

rikan oleh grafik. Analisis ini juga

siswa memerlukan sejumlah sub-

menunjukkan

stansi diwaktu permulaan pembel-

secara kritis dapat mengurangi

ajaran agar dapat secara tepat

miskonsepsi mahasiswa. Sesi ini

mengurutkan

akan

dapat membantu mahasiswa untuk

Kenyataan

mengetahui tentang peranan yang

menunjukkan bahwa tugas yang

mendasari interval, mereka me-

dibebankan telah dipahami maha-

ngira bahwa pendekatan kuadratik

siswa. Keberhasilan mahasiswa ini

memperoleh

didukung oleh penggunaan Maple

interval [-3,3]. Jadi, dalam hal ini

yang cukup jelas dan menge-

CAS

sampingkan hal-hal yang tidak

sebuah alat bantu investigasi.

mereka

apa

kerjakan.

yang

relevan dalam proses penyelesaian.

[-3,3],

dikecewakan

dapat

bahwa

hasil

oleh

observer

baik

berfungsi

pada sebagai

Pada awalnya investigasi

Dreyfus dan Hillel menyarankan

mahasiswa

bahwa secara implisit kegiatan ini

namun

mendiskusikan hasil animasi sejak

menunjukkan adanya keragukan.

mahasiswa melihat layar kom-

Kesulitan tersebut hanya beberapa

puter. Analisis sesi ini jelas telah

saat yaitu sebelum mahasiswa

mendemonstrasikan Maple yang

mampu mengurutkan data penye-

digunakan untuk menyelesaikan

lesaian masalahnya. Penelitian ini

permasalahan (yaitu menyelesai-

merekomendasikan bahwa CAS

kan

dapat

persamaan

kuadrat

dan

menemui

kesulitan,

akhirnya mereka

“bekerja”

atau

tidak

“tidak”

menampilkan grafik). Saat mereka

ditunjukkan oleh proses dinamis

secara bebas memban-dingkan x3

terhadap

hasil

dari

beberapa


57

interaksi

mahasiswa,

komputer,

tugas, dan instruktur atau dosen. Setiap

macam

interaksi

menjadi

sumber

masukan

dan

umpan balik.

dapat

MATRIKS PEMBELAJARAN CAS AKTIVITAS Aktivitas 1 : Suprises

MATERI PEMBELAJARAN Mengamati hasil komputasi : A2 = 0 ; A5 =0 A2 = A A2 nxn = Bnxn A2 mxn = ? ;mn

PROSES PEMBELAJARAN

Mahasiswa mengoperasikan komputer dengan memberi input matriks, dan mengamati hasil komputasi : 1) Matriks Nol 2) Matriks Identitas 3) Matriks Idempoten 4) Matriks ordo m x n Aktivitas 2 : Mengamati Dengan input matriks B (konstan) dan Clarifications hasil komputasi sebarang matriks A0, : A1 ,A2, A3 ... akan Penyelesai diperoleh an penyelesai-an hasil psrsamaan komputasi X0, X1, linear : X2,X3 ... A.X = B Aktivitas 3 : Mengamati Memeriksa hasil komputasi terhadap Investigations hasil komputasi proses iterasi ope: rasi perkalian antara k A .v = 0 ; matriks dan vektor sehingga dapat diav0& mati hasil komputasi k 1 1 k A .v = v ; yang dipe-roleh A , 2 3 k A , A , ..., A

KEMAMPUAN YANG DIPEROLEH MAHASISWA 1) Analogi konsep bilangan real pada matriks 2) Menemukan dan mendefinisikan ma-triks nol, identitas, idempoten 3) Memahami sifat operasi perkalian matriks 4) Mengidentifikasi bentuk-bentuk dan ukuran matriks 1) Meningkatkan penalaran dengan cara menguraikan/menjelaskan hasil-hasil komputasi yang diperoleh melalui pengamatannya 2) Meningkatkan kebebasan berkreasi dan mengungkapkan ide/gagasannya 1) Meningkatkan penalaran dan analisis melalui pemeriksaan hasil komputasi dari proses iterasi yang dikerjakan komputer 2) Meningkatkan pemahaman hubungan antara matriks dan


v0& k 0 V : vektor

Prinsip-prinsip CAS dalam Pembelajaran Matematika Komputer

banyak

ditawarkan

vektor 3) Mengkomunikasikan dan mendeskripsi kan pemahaman terhadap hasil-hasil komputasi yang diperoleh dalam setiap aktivitas para guru masih menggunakan teknik mengajar yang menggunakan “pensil dan kertas”

berbagai

Dengan melihat perkem-

bidang. Tidak seperti teknologi

bangan teknologi komputer yang

lainnya, ia bukan single purpose,

makin pesat, maka saat ini dirasa

tetapi banyak digunakan dalam

perlu adanya pergeseran cara-cara

berbagai hal dan berbagai bidang.

pembelajaran tradisional ke pem-

Dalam bidang pendidikan, peng-

belajaran modern. Hal ini perlu di-

gunaan komputer sangat baik da-

lakukan karena komputer me-

lam

mang

sebagai

tools

dalam

membantu

memecahkan

memiliki

kemampuan

masalah,

khususnya

sebagai alat bantu pembelajaran

perhitungan

matematik

yang lebih baik dibanding “pensil

(McArthur, 1996). Sebagian besar

dan kertas”. Untuk memulai hal ini

perangkat lunak komputer dalam

kita berusaha menemukan prinsip-

bidang pendidikan ditujukan untuk

prinsip baru dalam pembelajaran.

meningkatkan kualitas hasil pem-

McArthur

belajaran. Namun demikian, dalam

beberapa

kenyataanya masih banyak pro-

pembelajaran berbasis komputer

gram komputer yang memiliki

antara

“nilai pendidikan” belum digu-

bagaimana menunjukkan kemam-

nakan secara efektif sebagai media

puan menggunakan dan mendesain

pembelajaran.

pembelajaran dengan komputer.

berbagai dalam

Pada

umumnya,

(1996) prinsip

lain

mengajukan baru

memuat


dalam tentang

59

Makalah ini menjelaskan tentang

memproses aktivitas sehingga di-

bagaimana komputer sebagai alat

ketahui dapat memberi kontribusi

bantu praktis yang secara interaktif

pada

dapat mengembangkan keteram-

kognitif. Brown (Hillel,2001) telah

pilan kognitif yang lebih kom-

mencatat tentang pentingnya suatu

pleks. Hal lain yang perlu diper-

perangkat lunak untuk mening-

hatikan

katkan

dalam

penggunaan

pembelajaran

proses

ketrampilan

kognitif

dari

komputer sebagai media pembel-

pemakai komputer, dan Shavelson

ajaran adalah janganlah proses

(Hillel, 2001) dalam penelitiannya

penerapannya terlalu rumit, namun

telah mencatat adanya kontribusi

berkemampuan

skills

tinggi,

memuat

terhadap

peningkatan

proses dan struktur yang jelas

keterampilan

sehingga

pembelajaran matematika.

dapat

meningkatkan

keterampilan kognitif. Proses yang sederhana

akan

memudahkan

kognitif

dalam

Dalam lingkup psikologi kognitif, Anderson (Hillel, 2001)

penggunaan komputer dan lebih

menyampaikan

praktis.

artificial

teori

tentang

intelligence

pada

Pembelajaran melalui prak-

learning-by-doing, yaitu tentang

tek dengan alat bantu komputer

bagaimana siswa berpikir melalui

merupakan sebuah

kegiatan praktek. Teori

cara untuk

masih

meningkatkan keterampilan kog-

dikembangkan terus untuk menjadi

nitif. Alat bantu pembelajaran

teori pembelajaran yang baik. Kita

tidak hanya sekedar didesain untuk

tidak boleh menunggu sampai teori

membantu praktek sesuatu namun

melakukan

kegiatan

tersebut lengkap, namun harus

sebagaimana

sebagai

mulai sekarang bahwa pembela-

berarti,

jaran

yang ia

pemerolehan

kurang

akan

memfasilitasi

informasi

untuk

dengan

komputer

dilakukan. Pemahaman bersama yang masih sederhana tentang


perlu

pembelajaran

melalui

kegiatan

uraikan

sesuatu,

dan

(3)

in-

praktek telah mulai muncul di

vestigations, yaitu suatu aktivitas

mana mana. Pemikiran sekarang

yang

masih sederhana dan didasarkan

terhadap suatu solusi atau tugas

pada

yang telah diselesaikan. Proses

common-sense

tentang

melakukan

pemeriksaan

pembelajaan CAS telah menun-

learning through practice.

jukkan bukti bahwa dapat mePenutup

ningkatkan aktivitas, kreatifitas,

Komputer banyak ditawar-

dan kemampuan kognitif.

kan sebagai tools dalam berbagai bidang. Dalam proses pembelajar-

Daftar Pustaka

an di perguruan tinggi, komputer sangat berperan untuk membantu meningkatkan

berbagai

macam

kemampuan mahasiswa.

Salah

satu model pembelajaran berbasis komputer

dalam

mata

kuliah

Pengantar Aljabar Linier yang dikembangkan Joel Hillel disebut Computer Algebra Sistems (CAS). CAS memiliki tiga aktivitas yaitu

Hillel, Joel (2001). The Teaching and Learning of Mathematics at University Level : Computer Algebra Sistems in the Learning and Teaching of Algebra Linear. McArthur, David (1996). Developing Computer Tools to Support Performing and Learning Complex Cognitif. Kumpulan Makalah Pengajaran Matematika I.

(1) suprisses, suatu aktivitas yang mempunyai tujuan utama adalah membuat

pembelajaran

lebih

“menarik” atau “mengherankan” dan memberi wawasan yang luas

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM

kepada mahasiswa, (2) clarifications, suatu aktivitas untuk klarifikasi, menjelaskan, atau mengBambang Priyo Darminto: Penerapan Model Pembelajaran “CAS” di Perguruan Tinggi

61

PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA CAS DI PERGURUAN TINGGI. Bambang Priyo Darminto. Abstrak

Recommend Documents