PENERAPAN METODE PEMULUSAN KERNEL PADA PENDUGAAN AREA KECIL (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2005)
RENITA SUKMA MAYASARI
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009
RINGKASAN RENITA SUKMA MAYASARI. Penerapan Metode Pemulusan Kernel pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Kota Bogor Tahun 2005). Dibimbing oleh INDAHWATI dan UTAMI DYAH SYAFITRI. Pendugaan area kecil umumnya menggunakan pemodelan parametrik untuk menghubungkan statistik area kecil dengan peubah-peubah pendukungnya. Namun pemodelan parametrik kurang fleksibel untuk pola hubungan yang tidak linier. Dalam penelitian ini diterapkan pemodelan nonparametrik yaitu metode pemulusan Kernel untuk menghubungkan statistik area kecil yang bersifat kontinu dengan peubah-peubah pendukungnya. Dari hasil pendugaan pengeluaran per kapita pada beberapa desa di Kota Bogor dengan metode pemulusan Kernel diperoleh nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan nilai RRMSE penduga langsung. Hal ini menunjukkan bahwa pendugaan tidak langsung dengan metode pemulusan Kernel dapat memperbaiki hasil dari pendugaan langsung. Hasil tersebut juga memperlihatkan bahwa pendugaan area kecil (small area estimation) baik digunakan untuk pendugaan parameter pada level desa/kelurahan yang memiliki ukuran contoh kecil dengan nilai keragaman yang besar. Kata Kunci: Pendugaan area kecil, pendugaan langsung, pemulusan Kernel, RRMSE
PENERAPAN METODE PEMULUSAN KERNEL PADA PENDUGAAN AREA KECIL (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2005)
RENITA SUKMA MAYASARI
Skripsi sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009
Judul Skripsi Nama NRP
: Penerapan Metode Pemulusan Kernel pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran per Kapita Kota Bogor Tahun 2005) : Renita Sukma Mayasari : G14104028
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Indahwati, M.Si NIP. 131 909 223
Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si NIP. 132 311 922
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
PRAKATA Alhamdulilah, segala puji penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas karunia dan kasih sayang-Nya sehingga dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada suri tauladan kita, Rasulullah Muhammad SAW, keluarganya, serta para sahabat. Terima kasih yang sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah memberikan segala bantuan sehingga tulisan ini bisa terselesaikan, antara lain : 1. Ibu Ir. Indahwati, M.Si dan Ibu Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si sebagai pembimbing yang telah sangat banyak membantu dalam penelitian ini. 2. Bapak Farit Mochamad Afendi, S.Si, M.Si selaku penguji luar yang telah memberikan banyak masukan dan koreksi yang sangat berarti pada penelitian ini. 3. Ibu, Bapak, dan Adikku Rio atas do’a, materi, semangat dan kasih sayang yang tak pernah berhenti mengalir buat Penulis. 4. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS beserta seluruh staf pengajar Departemen Statistika yang telah memberikan berbagai bekal ilmu sehingga Penulis dapat menyelesaikan studi dan karya ilmiah ini. 5. Bu Mar, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat , Mang Sudin, Mang Dur, Mang Herman, Pak Edi, Pak Iyan yang telah membantu segala keperluan yang menyangkut penyelesaian karya ilmiah ini. 6. Ratih Nurmasari (teman satu PS ku), terima kasih sahabat untuk diskusi, bantuan, dan kesabaranmu selama ini. 7. Geng SAE’rs : Agustina, Ika, Irene, Noko, Kak Ari, Kak Wahyu atas semua diskusi tentang small area estimation. 8. Semua pihak yang telah memberikan dorongan dan motivasi untuk menyelesaikan penelitian ini. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis memohon maaf yang sebesar-besarnya. Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat pada semua pihak yang membacanya.
Bogor, Januari 2009
Renita Sukma Mayasari
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Wonogiri pada tanggal 2 September 1986 sebagai putri pertama dari dua bersaudara pasangan Bapak Maryoto dan Ibu Surip Utami. Tahun 1998 penulis lulus dari Sekolah Dasar Negeri Larangan Utara 01 dan tahun 2001 penulis lulus dari Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 3 Tangerang. Pada tahun 2004 penulis lulus dari Sekolah Menengah Atas Negeri 90 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis aktif sebagai pengurus dan kepanitiaan di Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta diantaranya sebagai staf Departemen Eksternal pada tahun 2004/2005, sebagai staf Departemen Kesekretariatan pada tahun 2005/2006, dan sebagai Bendahara Umum pada tahun 2006/2007. Penulis juga sempat aktif dalam kepengurusan Keluarga Mahasiswa Muslim Statistika (KAMMUS) sebagai Kadep Dankom tahun 2005/2006. Penulis pernah menjadi petugas Supervisor Pelaporan Quick Count Pilkada DKI Jakarta pada tahun 2007. Penulis melaksanakan Praktik Lapang di Balai Penelitian Tanaman Tembakau dan Tanaman Serat (Balittas), Malang pada bulan Februari-Maret 2008. Tahun 2008 penulis menjadi pemakalah dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika di Universitas Negeri Yogyakarta.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL................................................................................................................ viii DAFTAR GAMBAR ...........................................................................................................
viii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................
viii
PENDAHULUAN................................................................................................................ Latar Belakang .............................................................................................................. Tujuan ...........................................................................................................................
1 1 1
TINJAUAN PUSTAKA....................................................................................................... Pengeluaran per Kapita ................................................................................................. Pendugaan Area Kecil................................................................................................... Model Area Kecil.......................................................................................................... Metode Pemulusan Kernel ............................................................................................ Pendekatan Jackknife ....................................................................................................
1 1 1 1 2 3
BAHAN DAN METODE .................................................................................................... Bahan ............................................................................................................................ Metode ..........................................................................................................................
3 3 3
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................................ Eksplorasi Data ............................................................................................................. Pendugaan Langsung .................................................................................................... Pendugaan dengan Pemulusan Kernel ..........................................................................
4 4 4 4
KESIMPULAN ....................................................................................................................
6
SARAN ................................................................................................................................
6
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................
6
viii
DAFTAR TABEL 1.
Halaman Perbandingan Statistik MSE ......................................................................................... 5
DAFTAR GAMBAR 1. 2. 3. 4. 5.
Halaman Diagram pencar persentase jumlah surat miskin dan pengeluaran per kapita ............... 4 Hasil pemulusan dengan metode Kernel ....................................................................... 5 Perbandingan nilai dugaan penduga langsung dan penduga Kernel ............................. 5 Diagram kotak garis nilai MSE..................................................................................... 5 Perbandingan nilai RRMSE penduga langsung dan penduga Kernel............................. 5
DAFTAR LAMPIRAN 1. 2. 3. 4. 5.
Halaman Pendugaan langsung pengeluaran per kapita beserta nilai Di ........................................ 7 Pendugaan tidak langsung dengan metode pemulusan Kernel...................................... 8 Pendugaan pengeluaran per kapita dengan pendugaan langsung dan pendugaan pemulusan Kernel dengan pendekatan jackknife beserta nilai RRMSE(%) .................. 9 Makro pendugaan fungsi Kernel................................................................................... 10 Program Jackknife......................................................................................................... 11
1
PENDAHULUAN Latar Belakang Statistik area kecil (small area statistics) sangat diminati dalam berbagai bidang pada saat ini. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasiinformasi pada area kecil, misalnya pada lingkup kota/kabupaten, kecamatan, ataupun desa/kelurahan. Informasi tersebut menjadi sangat penting dengan berkembangnya era otonomi daerah di Indonesia karena dapat digunakan sebagai acuan untuk menyusun sistem perencanaan, pemantauan, dan kebijakan pemerintah lainnya tanpa harus mengeluarkan biaya yang besar untuk mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus dikembangkan untuk menduga statistik area kecil ini adalah pendugaan area kecil (small area estimation). Istilah small area menunjukkan suatu subpopulasi dimana penduga langsungnya tidak dapat menghasilkan ketepatan yang cukup. Penduga langsung merupakan penduga yang diperoleh dari data yang berasal dari dalam area itu sendiri. Pendugaan secara langsung (direct pada area kecil akan estimation) menghasilkan nilai ragam yang besar jika contoh yang diambil berasal dari data survey yang dirancang untuk skala besar/nasional. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung (indirect estimation) dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung dalam menduga parameter. Peubah-peubah pendukung tersebut berupa informasi dari daerah lain yang serupa, survei terdahulu pada area yang sama, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang ingin diduga. Beberapa prosedur pendugaan area tidak langsung digunakan untuk mendapatkan ketepatan itu. Pendugaan area kecil umumnya menggunakan pemodelan parametrik untuk menghubungkan statistik area kecil dengan peubah-peubah pendukungnya. Namun pemodelan parametrik kurang fleksibel untuk pola hubungan yang tidak linier, sehingga beberapa peneliti mencoba menggunakan pemodelan nonparametrik untuk mengatasi masalah ini, diantaranya Mukhopadhyay dan Maiti yang mengkaji tentang metode Kernel (2004) dan local polynomial regression (2006) untuk pendugaan area kecil, serta Opsomer et al (2004) yang mengkaji metode nonparametrik penalized spline untuk pendugaan area kecil.
Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung dilakukan dengan membandingkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Square Error) penduga langsung dengan nilai RRMSE penduga tidak langsung. Pendugaan tidak langsung untuk area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk menduga pengeluaran per kapita pada beberapa desa di Kota Bogor tahun 2005. Metode yang digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita tersebut adalah metode pemulusan Kernel dengan pendekatan jackknife untuk menghitung MSE. Tujuan Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah 1. Menduga pengeluaran per kapita kota Bogor tahun 2005 dengan metode pemulusan Kernel 2. Membandingkan pendugaan pemulusan Kernel dengan pendugaan langsung.
TINJAUAN PUSTAKA Pengeluaran Per Kapita Pengeluaran per kapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS 2008). Pengertian rumah tangga sendiri adalah sekelompok orang yang mendiami sebagian atau seluruh bangunan fisik dan biasanya tinggal bersama serta makan dari satu dapur. Pendugaan Area Kecil Istilah area kecil (small area) biasanya menandakan suatu area geografis kecil, seperti suatu daerah kabupaten/kota, kecamatan, maupun kelurahan/desa. Area kecil ini juga dapat diartikan sebagai bagian dari wilayah populasi (small domain) baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang lainnya.Pendugaan area kecil merupakan pendugaan parameter suatu area yang lebih kecil dengan memanfaatkan informasi dari luar, dari dalam area itu sendiri, dan dari luar survei (Rao 2003). Model Area Kecil Model dasar dalam pengembangan pendugaan area kecil didasarkan pada bentuk model linier campuran (linear mixed model) yaitu : y = X + Zu + e ...................................(1) dengan y merupakan vektor yang berisi pengamatan yang disurvei, X adalah matriks berukuran nxp dari peubah penjelas sebagai
2
pengaruh tetap, merupakan vektor koefisien peubah penjelas pada matriks X, dan Z matriks berukuran nxq yang merepresentasikan struktur dari pengaruh acak u, dan e adalah vektor error (Rao 2003). Ada dua model dasar pendugaan area kecil yaitu basic area level model dan basic unit level model (Rao 2003). a. Basic area level model yaitu model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i , ..., xpi)T dengan xi adalah suatu vektor, i adalah banyaknya area dan p adalah banyaknya peubah pendukung, dan parameter yang akan diduga i, diasumsikan mempunyai hubungan dengan xi. Data pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: i = xiT + ui, i=1,..., n ...........................(2) dengan merupakan vektor koefisien regresi untuk data pendukung xi dan ui ~ N(0, 2u), sebagai pengaruh acak yang diasumsikan normal dan ui adalah konstanta. Parameter i, dapat diketahui dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi telah tersedia yaitu : yi = i + ei , i=1, ..., n .............................(3) dengan ei ~ N(0, 2ei) dan 2ei diketahui. Pada akhirnya model (2) dan (3) digabungkan dan menghasilkan model gabungan : yi = xiT + ui+ ei, i=1, ..., n ................(4) Model (4) merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (general linear mixed model). b. Basic unit level model yaitu suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misal xij = (xij1, ..., xijp)T, sehingga dapat dibangun suatu model regresi tersarang yij = xijT + ui +eij, i=1, ..., n dan j=1, ..., Ni, dimana j adalah banyaknya rumah tangga pada area ke-i dengan ui ~ N(0, 2v) dan ei ~ N(0, 2ei) . Penelitian ini menggunakan model basic area level model karena data pendukungnya hanya ada untuk level area tertentu yaitu pada level desa. Metode Pemulusan Kernel Pemulusan Kernel adalah suatu tehnik pemulusan dalam statistika nonparametrik untuk menduga pola hubungan yang sesungguhnya pada data. Pendugaan area kecil yang menggunakan basic area level model
pada persamaan (3) dengan satu peubah penjelas dapat dinyatakan sebagai ....................................(5) i 0 1 xi u i dimana ei ~N(0, Di) dan u i ~N(0, 2u). Jika hubungan antara penduga langsung dengan variabel penjelas tidak linier maka persamaan (6) dapat didekati dengan : i m xi u i ........................................(6) dimana i = 1, 2, ..., n menunjukkan jumlah area kecil, m(xi) adalah fungsi pemulusan yang menggambarkan hubungan yang sesungguhnya antara x dan y pada area ke-i, i adalah parameter pada area ke-i, dan u i adalah pengaruh acak dari area ke-i. Untuk menduga m(xi) dapat digunakan penduga Kernel Nadaraya-Watson yaitu :
mˆ h
K x x y K x x h
i
i
i
h
i
…………........…..(7)
i
dimana Kh(.) adalah fungsi Kernel dengan lebar jendela h. Hasil pemulusan yang diperoleh dari metode pemulusan Kernel sangat bergantung dari lebar jendela (h) yang digunakan. Semakin besar lebar jendela yang digunakan, kurva pemulusan yang diperoleh akan semakin mulus, yang menunjukkan bahwa bias pendugaan semakin besar dan ragamnya semakin kecil. Sebaliknya, jika lebar jendela diperkecil, kurva pemulusan akan semakin bergelombang mengikuti data dan mengakibatkan bias yang semakin kecil serta ragam yang besar (Silverman 1986). Bentuk dari Kh(.) adalah : 1 u K h u K ……………………........(8) h h dengan syarat K(.) : i) Simetrik ii) Kontinu dan terhingga iii)
K u du 1 x
Penduga (7) linier pada yi dan dapat dituliskan menjadi : 1 n mˆ h x i 1Whi x y i ........................ (9), n K h x x i dimana W x hi
1 ni K h x xi
Dari cara di atas dapat diperlihatkan bahwa penduga terbaik dari nilai area kecil i dapat dituliskan menjadi : ~ E i y i i i y i 1 i mˆ h xi .....(10)
dimana i
2 u2 dan u diketahui. 2 u Di
3
Sedangkan
untuk
u2
tidak
diketahui,
penduga untuk i adalah :
ˆi ˆi y i 1 ˆi mˆ h xi ..................(11)
ˆ . dimana ˆi 2 ˆ u Di 2 u
u2
digunakan untuk mengukur keragaman antar area. Penduga dari
u2
dirumuskan dengan :
1 n ˆ x max 0, Whi x yi mˆ xi 2 D n 1 i 1 ...................................................................(12) 2 u
MSE dari
mse ˆi
ˆ
ˆi
dapat diduga dari :
D ˆ u2 2 1 ˆ msemˆ h xi 2 D 2 D ˆ u2
3
D mse ˆ u2 ...................................................................(13) 2 u
dimana
(ˆi ( u ) )
menghapus
Di digunakan untuk mengukur keragaman sampling error pada masing-masing area sedangkan
n 1 m ˆ M 2i ( i ( u ) ) (ˆi ) n u 1
Nilai mse ˆ u pada persamaan (13) tidak ada rumus jadinya, sehingga dalam penelitian ini digunakan pendekatan jackknife untuk 2
menduga MSE ( ˆi ). Terdapat berbagai macam fungsi pemulusan Kernel yang umum digunakan. Pemulusan Kernel yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi Kernel Gaussian atau Normal. Persamaan matematis fungsi Kernel Gaussian adalah sebagai berikut: 1 1 exp( x 2 ), x ..........(14) K ( x) 2 2 Pendekatan Jackknife Pendekatan jackknife diperkenalkan oleh Tukey pada tahun 1958 dan kemudian berkembang menjadi suatu metode yang dapat digunakan untuk mengoreksi bias suatu penduga (Kurnia dan Notodiputro 2006). Pendekatan jackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana. Tahapantahapan untuk menghitung nilai MSEJ adalah sebagai berikut: (a)hitung nilai M1i dengan rumus:
n 1 m 2 2 M1i g1i (sv2 ) g1i (sv(u) ) g1i (sv ) n u 1
nilai g1i(s2v(-u)) diperoleh dengan menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data g1i(sv2) dan u = 1, 2, . . . ,n. (b)hitung nilai M2i dengan rumus:
diperoleh
pengamatan
2
dengan
ke-u
pada
himpunan data ˆi . (c)hitung nilai MSE dengan rumus sebagai berikut:
MSE J (ˆi ) M 1i M 2 i
BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SUSENAS 2005 dengan informasi data berbasis rumah tangga serta PODES 2005 sebagai sumber data peubah pendukung untuk pengamatan yang digunakan pada level desa. Data tersebut juga dipakai oleh Lestari (2008) dan Wardani (2008). Peubah respon yang diamati dan menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita rumah tangga pada 37 desa di kota Bogor. Peubah pendukung yang diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu persentase jumlah surat miskin yang dikeluarkan desa. Pemilihan peubah pendukung ini dikarenakan ingin mencari hubugan yang tidak linier, sehingga dicari nilai korelasi yang kecil. Metode Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah: 1. Memilih peubah pendukung X yang mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita. 2. Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing desa secara langsung (direct estimation) dengan rumus sebagai berikut :
yi
pi ...........................................(15) qi
Dimana: yi = pengeluaran per kapita desa ke-i pi = total pengeluaran rumah tangga sebulan di desa ke-i qi = banyaknya anggota rumah tangga di desa ke-i i = 1, 2, ..., 37
4
4. 5.
Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing desa dengan metode pemulusan Kernel. Menghitung MSE untuk masing-masing pendugaan Membandingkan nilai RRMSE pendugaan langsung dengan nilai RRMSE pendugaan pemulusan dengan perhitungan RRMSE sebagai berikut :
RRMSE ˆi
MSE ˆi x100% ˆ i
. Software yang digunakan pada penelitian ini adalah Minitab 14, S-Plus 2000, SAS 9.1, dan Microsoft Excel 2003.
HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Eksplorasi hubungan antar peubah dilakukan dengan menggunakan diagram pencar antara pengeluaran per kapita (y) dengan persentase jumlah surat miskin yang dikeluarkan desa (x). Gambar 1a adalah diagram pencar untuk data seutuhnya, sedangkan Gambar 1b adalah diagram pencar untuk data tanpa pencilan. Nilai x yang digunakan berada pada selang 0 - 4 %. Dari Gambar 1a terlihat ada kecenderungan bahwa pengeluaran per kapita berbanding terbalik dengan persentase jumlah surat miskin yang dikeluarkan. Semakin besar pengeluaran per kapita, persentase jumlah surat miskin yang dikeluarkan semakin kecil. Namun hubungan liniernya agaknya lemah seperti ditunjukkan oleh nilai korelasi pearson sebesar -0,038. Diduga lemahnya hubungan ini karena ada nilai pencilan, yaitu desa Pabaton dengan pengeluaran per kapita sebesar Rp 1.604.853,00. Pada Gambar 1b yang pencilannya telah dihilangkan terlihat bahwa hubungan dan nilai korelasi pearsonnya menjadi positif yaitu sebesar 0,090. Hal ini dapat mengakibatkan hubungan antara pengeluaran per kapita dengan persentase jumlah surat miskin yang dikeluarkan desa menjadi tidak sesuai dengan logika yang ada. Oleh karena itu dalam penelitian ini akan dicoba memodelkan hubungan tersebut secara nonparametrik dengan harapan pendekatan tersebut dapat mengikuti pola hubungan seperti ditunjukkan oleh data secara apa adanya.
X 1600000
1600000
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
1400000
1400000
1200000
1200000
1000000
1000000
Y
3.
800000
800000
600000
600000
400000
400000
200000
200000
0 0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0
X
Gambar 1a
Gambar 1b
Gambar 1 Diagram pencar persentase jumlah surat miskin dan pengeluaran per kapita. Pendugaan Langsung Hasil yang didapatkan dari pendugaan langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai simpangan bakunya. Jumlah desa yang diamati adalah 37 desa yang ada di Kota Bogor. Nilai ragam sampling error (Di) yang menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang merupakan rasio antara ragam di dalam area dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil pendugaan langsung dan nilai ragam Di dapat dilihat di Lampiran 1. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa desa di kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga untuk masing-masing desa, kecuali desa Kedung Halang sebanyak 15 rumah tangga dan desa Kedung Badak sebanyak 32 rumah tangga. Jumlah tersebut termasuk kecil untuk merepresentasikan seluruh rumah tangga pada masing-masing desa sehingga ragam hasil dugaannya besar. Pendugaan dengan Pemulusan Kernel Hasil pemulusan yang diperoleh dari metode pemulusan Kernel sangat bergantung dari lebar jendela (h) yang digunakan. Lebar jendela untuk pemulusan Kernel ini diperoleh sebesar 0,0006. Nilai dugaan m(x) dari pemulusan diperoleh dengan menggunakan software S-Plus 2000. Secara visual hasil dari pemulusan dapat dilihat pada Gambar 2 , sedangkan nilai dugaan m(x) dapat dilihat pada Lampiran 2.
5
pemulusan Kernel-jackknife terdapat pada Tabel 1. 150
50
0 0.00
0.01
0.02 X
0.03
0.04
Gambar 2 Hasil pemulusan dengan metode Kernel Pendugaan parameter area kecil ( ˆi ) dengan metode pemulusan Kernel diperoleh dari persamaan (11) dan hasilnya dapat dilihat pada Lampiran 2. Secara umum hasil pendugaan dengan pemulusan Kernel lebih besar dari pendugaan langsung, tetapi ada beberapa desa yang nilai penduga langsungnya lebih besar yaitu desa Batu Tulis, Empang, Bantar Jati, Tegal Gundil, Tanah Baru, Cibuluh, Kedung Halang, Pabaton, Kebon Kelapa, Gunung Batu, Cilendek Barat, Sindang Barang, Semplak, dan Kedung Badak. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3. 180 160 140 120 100 80
penduga langsung penduga Kernel
60 40
Bt T Em ls pa n Bt g r Tg Jat lG i un Tn d il h Ba ru Ci b K ulu d. H h al an Pa g K bato bn n K el ap G ng a .B Cl atu nd k B Sn r t dg B Se rg m K plak d. Ba da k
20 0
Gambar 3 Perbandingan nilai dugaan penduga langsung dan penduga Kernel Nilai D untuk mencari penduga dari
pada persamaan (12) diperoleh dari nilai ragam gabungan dibagi dengan n (sgab2/n), diperoleh nilai D sebesar 39,268, sehingga berdasarkan persamaan (12) diperoleh nilai 2 u
dugaan bagi u adalah sebesar 21,585 dengan asumsi ragam sampling error (Di) antar desa homogen. Nilai MSE untuk metode pemulusan Kernel diperoleh menggunakan pendekatan jackknife. Software yang digunakan adalah SAS 9.1 dengan prosedur proc IML. Hasil perbandingan pendugaan langsung dan tidak langsung pada pengeluaran per kapita beberapa desa di Kota Bogor beserta nilai MSE nya dapat dilihat pada Lampiran 3. Perbandingan beberapa statistik untuk MSE dari hasil pendugaan langsung dan MSE
Tabel 1 Perbandingan statistik MSE. Penduga Kerneljackknife Statistik MSE langsung rataan 37.3 8.958 Q1 5.92 4.624 median 13.2 8.197 Q3 37.2 13.646 Minimum 0.784 0.757 Maksimum 348.1 20.325 JAK 347.3 19.568 Boxplot of MSE_L, MSE_J 400
300
Data
Y
100
200
100
0 MSE_L
MSE_J
Gambar 4 Diagram Kotak Garis nilai MSE Dari Tabel 1 dan Gambar 4 tampak bahwa nilai dugaan MSE dengan metode pemulusan Kernel-jackknife secara umum lebih kecil dibandingkan nilai dugaan MSE hasil pendugaan langsung, hal ini dapat terlihat juga dari memadatnya diagram kotak garis untuk MSE pemulusan Kernel-jackknife pada nilai-nilai yang kecil. Pada diagram kotak garis pada Gambar 4 terlihat bahwa sudah tidak ada lagi pencilan setelah dilakukan pemulusan Kernel karena Kernel Gaussian hanya resisten terhadap x tidak terhadap y maka pencilan tersebut dapat direduksi. Pada MSE penduga langsung daerah-daerah yang termasuk pencilan adalah desa Kedung Halang, Pabaton, dan Sindang Barang. perbandingan RRMSE
2
30 25 20 15 10 5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 penduga langsung
Gambar
5
penduga Kernel
Perbandingan nilai RRMSE penduga langsung dan penduga Kernel
6
Hasil evaluasi pendugaan langsung dan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE keduanya. Gambar 5 dan Lampiran 3 secara umum menunjukkan nilai RRMSE metode pemulusan Kernel untuk pengeluaran per kapita beberapa desa di Kota Bogor lebih kecil daripada nilai RRMSE pendugaan langsung. Keterangan daerah untuk Gambar 5 dapat dilihat pada Lampiran 3. Hal ini menunjukkan bahwa pendugaan tidak langsung dengan metode pemulusan kernel dapat memperbaiki hasil dari pendugaan langsung. Hasil tersebut juga memperlihatkan bahwa pendugaan area kecil (small area estimation) baik digunakan untuk pendugaan parameter pada level desa/kelurahan yang memiliki ukuran contoh kecil dengan nilai keragaman yang besar.
KESIMPULAN Dalam penelitian ini pendugaan tidak langsung dengan menggunakan metode pemulusan Kernel dapat memperbaiki hasil dari pendugaan langsung seperti ditunjukkan oleh nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan RRMSE pendugaan langsung, sehingga metode pemulusan Kernel mempunyai harapan untuk dikembangkan sebagai alternatif pendugaan area kecil untuk mengatasi masalah pola hubungan antara statistik area kecil dan peubah pendukung yang tidak linier.
SARAN Penelitian tentang pemulusan Kernel ini masih dapat dikembangkan, diantaranya adalah dengan menggunakan variasi lebar jendela sehingga didapatkan lebar jendela yang paling optimum.
DAFTAR PUSTAKA [BPS]. Badan Pusat Statistik. 2008. http://www.bps.go.id/glossary/2008. [12 Nopember 2008] Kurnia A, Notodiputro KA. 2006. Penerapan Metode Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil. Forum Statistika dan Komputasi, April 2006, Vol. 11 No.1, p:12-16. Mukhopadhyay P, Maiti T. 2004. Two Stage Non-Parametric Approach for Small Area Estimation. Proceedings of ASA Section on Survey Research Methods: 4058-4065.
Mukhopadhyay Polynomial Estimation. on Survey 3452.
P, Maiti T. 2006. Local Regression for Small Area Proceedings of ASA Section Research Methods: 3447-
Opsomer et al. 2004. Nonparametric Small Area Estimation Using Penalized Spline Regression. Proceedings of ASA Section on Survey Research Methods:1-8. Rao JNK. 2003. Small Area Estimation. New Jersey: John Wiley &Sons, Inc. Silverman BW. 1986. Density Estimation For Statistics and Data Analysis. London:Chapman and Hall. Syafitri UD. 2000. Pemodelan Sebaran Paparan Gamma di Reaktor Serbaguna G.A Siwabessy dengan Fungsi Kepekatan Peluang Kernel [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Yunita A. 2008. Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003) [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
7
Lampiran 1 Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (xRp. 10.000,00) beserta nilai Di Kode Desa 3271010002 Pamoyanan 3271010004 Genteng 3271010008 Harjasari 3271010011 Cipaku 3271010013 Batu Tulis 3271010015 Empang 3271010016 Cikaret 3271020002 Sindang Rasa 3271020004 Katulampa 3271020005 Baranang Siang 3271020006 Sukasari 3271030001 Bantar jati 3271030002 Tegal Gundil 3271030003 Tanah Baru 3271030004 Cimahpar 3271030006 Cibuluh 3271030007 Kedung Halang 3271030008 Ciparigi 3271040003 Babakan Pasar 3271040004 Tegal Lega 3271040007 Pabaton 3271040010 Kebon Kelapa 3271050001 Pasir Mulya 3271050003 Pasir Jaya 3271050004 Gunung Batu 3271050006 Menteng 3271050008 Cilendek Barat 3271050009 Sindang Barang 3271050012 Situgede 3271050014 Semplak 3271060001 Kedung Waringin 3271060002 Kedung Jaya 3271060003 Kebon Pedes 3271060005 Kedung Badak 3271060008 Cibadak 3271060009 Kayu Manis 3271060011 Kencana *) stdev = ragam di dalam area (si2)
n 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 32 16 16 16
Y 18.3632 20.7841 22.6618 23.6735 45.3536 40.6404 35.7589 42.0702 17.8106 30.673 30.6155 30.673 36.9802 44.84 25.4101 39.8739 54.8728 24.8663 36.5351 30.6965 160.4853 72.4294 40.1122 27.0578 39.2413 36.4357 39.3071 75.3777 33.5765 43.3293 27.6136 36.2728 30.1871 53.7855 37.7285 29.9903 24.2673
Stdev* 4.4541 6.9332 3.5421 8.5576 34.8502 12.1264 11.3313 14.5301 3.7028 16.933 25.1206 16.933 23.6434 19.0056 10.6161 19.5216 38.106 11.7647 28.9822 14.5414 69.618 31.0214 14.176 8.8773 8.1163 15.1337 7.0811 74.6316 12.7911 16.0169 10.5194 19.1667 8.4324 38.5595 27.5298 13.7546 11.5466
Di 1.2400 3.0044 0.7842 4.5770 75.9086 9.1906 8.0250 13.1954 0.8570 17.9206 39.4405 17.9206 34.9383 22.5760 7.0440 23.8184 96.8047 8.6506 52.4980 13.2159 302.9174 60.1458 23.3425 4.9254 4.1172 14.3145 3.1339 348.1180 10.2259 16.0340 6.9162 22.9602 4.4442 46.4636 44.2117 11.8243 8.3329
8
Lampiran 2 Pendugaan tidak langsung dengan metode pemulusan Kernel (xRp. 10.000,00) Kode
Desa
n
Y
mˆ x
Di
ˆker nel
3271010002 3271010004 3271010008 3271010011 3271010013 3271010015 3271010016 3271020002 3271020004 3271020005 3271020006 3271030001 3271030002 3271030003 3271030004 3271030006 3271030007 3271030008 3271040003 3271040004 3271040007 3271040010 3271050001 3271050003 3271050004 3271050006 3271050008 3271050009 3271050012 3271050014 3271060001 3271060002 3271060003 3271060005 3271060008 3271060009 3271060011
Pamoyanan Genteng Harjasari Cipaku Batu Tulis Empang Cikaret Sindang Rasa Katulampa Baranang Siang Sukasari Bantar jati Tegal Gundil Tanah Baru Cimahpar Cibuluh Kedung Halang Ciparigi Babakan Pasar Tegal Lega Pabaton Kebon Kelapa Pasir Mulya Pasir Jaya Gunung Batu Menteng Cilendek Barat Sindang Barang Situgede Semplak Kedung Waringin Kedung Jaya Kebon Pedes Kedung Badak Cibadak Kayu Manis Kencana
16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 32 16 16 16
18.3632 20.7841 22.6618 23.6735 45.3536 40.6404 35.7589 42.0702 17.8106 30.6730 30.6155 30.6730 36.9802 44.8400 25.4101 39.8739 54.8728 24.8663 36.5351 30.6965 160.4853 72.4294 40.1122 27.0578 39.2413 36.4357 39.3071 75.3777 33.5765 43.3293 27.6136 36.2728 30.1871 53.7855 37.7285 29.9903 24.2673
38.8802 23.1840 29.1986 30.2051 34.8971 34.0069 39.8598 42.0702 31.0268 30.6730 30.6155 28.2006 24.9726 39.3917 31.6417 29.0096 39.7895 24.8663 41.2898 36.7535 85.7719 72.4269 40.7144 39.0604 36.4339 40.1763 30.6155 72.4296 33.5765 39.5948 39.8441 42.0508 36.4922 31.9403 37.7285 30.6214 25.4503
1.2400 3.0044 0.7842 4.5770 75.9086 9.1906 8.0250 13.1954 0.8570 17.9206 39.4405 17.9206 34.9383 22.5760 7.0440 23.8184 96.8047 8.6506 52.4980 13.2159 302.9174 60.1458 13.3973 4.9254 4.1172 14.3145 3.1339 348.1180 10.2259 16.0340 6.9162 22.9602 4.4442 46.4636 50.5261 11.8243 8.3329
19.4778 21.0773 22.8909 24.8162 37.2122 38.6595 36.8703 42.0702 18.3153 30.6730 30.6155 29.5515 29.5581 42.0547 26.9433 34.1746 42.5395 24.8663 39.9045 32.9967 90.7399 72.4275 40.3428 29.2877 38.7916 37.9272 38.2052 72.6017 33.5765 41.7376 30.5815 39.2510 31.2636 38.8696 37.7285 30.2137 24.5968
9
Lampiran 3 Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan pendugaan pemulusan Kernel dengan pendekatan jackknife beserta nilai RRMSE(%) Kode
Desa
3271010002 3271010004 3271010008 3271010011 3271010013 3271010015 3271010016 3271020002 3271020004 3271020005 3271020006 3271030001 3271030002 3271030003 3271030004 3271030006 3271030007 3271030008 3271040003 3271040004 3271040007 3271040010 3271050001 3271050003 3271050004 3271050006 3271050008 3271050009 3271050012 3271050014 3271060001 3271060002 3271060003 3271060005 3271060008 3271060009 3271060011
Pamoyanan Genteng Harjasari Cipaku Batu Tulis Empang Cikaret Sindang Rasa Katulampa Baranang Siang Sukasari Bantar Jati Tegal Gundil Tanah Baru Cimahpar Cibuluh Kedung Halang Ciparigi Babakan Pasar Tegal Lega Pabaton Kebon Kelapa Pasir Mulya Pasir Jaya Gunung Batu Menteng Cilendek Barat Sindang Barang Situgede Semplak Kedung Waringin Kedung Jaya Kebon Pedes Kedung Badak Cibadak Kayu Manis Kencana
Pendugaan Langsung Theta_hat MSE RRMSE 18.3632 20.7841 22.6618 23.6735 45.3536 40.6404 35.7589 42.0702 17.8106 30.6730 30.6155 30.6730 36.9802 44.8400 25.4101 39.8739 54.8728 24.8663 36.5351 30.6965 160.4853 72.4294 40.1122 27.0578 39.2413 36.4357 39.3071 75.3777 33.5765 43.3293 27.6136 36.2728 30.1871 53.7855 37.7285 29.9903 24.2673
1.2400 3.0044 0.7842 4.5770 75.9086 9.1906 8.0250 13.1954 0.8570 17.9206 39.4405 17.9206 34.9383 22.5760 7.0440 23.8184 96.8047 8.6506 52.4980 13.2159 302.9174 60.1458 13.3973 4.9254 4.1172 14.3145 3.1339 348.1180 10.2259 16.0340 6.9162 22.9602 4.4442 46.4636 50.5261 11.8243 8.3329
6.0639 8.3396 3.9076 9.0371 19.2103 7.4596 7.9220 8.6345 5.1976 13.8013 20.5131 13.8013 15.9839 10.5964 10.4449 12.2396 17.9305 11.8280 19.8317 11.8429 10.8449 10.7075 9.1250 8.2022 5.1708 10.3839 4.5037 24.7526 9.5239 9.2414 9.5238 13.2101 6.9835 12.6733 18.8403 11.4659 11.8953
Kernel-Jackknife Theta_hat MSE RRMSE 19.4778 21.0773 22.8909 24.8162 37.2122 38.6595 36.8703 42.0702 18.3153 30.6730 30.6155 29.5515 29.5581 42.0547 26.9433 34.1746 42.5395 24.8663 39.9045 32.9967 90.7399 72.4275 40.3428 29.2877 38.7916 37.9272 38.2052 72.6017 33.5765 41.7376 30.5815 39.2510 31.2636 38.8696 37.7285 30.2137 24.5968
1.1726 2.6373 0.7567 3.7763 16.8061 6.4460 5.8500 8.1892 0.8242 9.7914 13.9503 9.7914 13.3422 11.0347 5.3108 11.3234 17.6496 6.1756 15.2959 8.1971 20.1492 15.8844 8.2665 4.0103 3.4577 8.6068 2.7366 20.3248 6.9387 9.2000 5.2379 11.1257 3.6854 14.7382 15.1240 7.6394 6.0120
5.5595 7.7049 3.8001 7.8306 11.0166 6.5673 6.5600 6.8021 4.9569 10.2015 12.1997 10.5887 12.3577 7.8989 8.5532 9.8466 9.8759 9.9937 9.8009 8.6768 4.9469 5.5028 7.1268 6.8376 4.7935 7.7351 4.3299 6.2096 7.8452 7.2672 7.4837 8.4979 6.1405 9.8767 10.3077 9.1480 9.9685
10
Lampiran 4 Makro pendugaan fungsi Kernel * let k99 = 0.0006 let k1=count(c1) let k3=min(c1) let k4=max(c1) let k5=(k4-k3)/k1 let k6=1 let c2=1 let c3=1 let c4=1 let k7=k3 exec 'gauss1.txt' k1 end gauss1 noecho let c2=(c1-k7)/k99 let c2=c2*c2 let c3=exp(-0.5*c2)/sqrt(6.28) let k10=sum(c3)/k1 let c4 = c3/k10 end
*merupakan makro revisi dari makro Syafitri (2000)
11
Lampiran 5 Program Jackknife proc iml; use jackknife; read all; m = 37; y = y; theta_duga = theta_duga; xi = { 0.006496608, 0.014794889, 0.001833101, 0.012711111, . . . 0.030825529, 0.01513337, 0.014291764}; g1 = (A#Di)/(A+Di); s = (A + Di); sum1 = 0; sum2 = 0; do u=1 to m; do r=1 to m; if r=1 then j=(2:m); if (1
