PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
……..katakanlah: "Ya Tuhanku, tambahkanlah kepadaku ilmu pengetahuan." (Q.S AtAt-Thahaa:114)
FOR MY BELOVED PARENTS…….
RINGKASAN IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO. Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable). Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi objektif dalam data. Simulasi dengan berbagai proporsi pencilan menunjukkan M-GREG memiliki nilai Relative Root Mean Square Error (RRMSE) yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG pada data yang mengandung pencilan. Aplikasi pada data riil dilakukan dengan menduga pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor. Nilai RRMSE M-GREG lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, baik pada penarikan contoh acak sederhana maupun penarikan contoh acak gerombol 2 tahap. RRMSE yang lebih kecil dalam pendugaan M-GREG menunjukkan behwa metode ini mampu memperbaiki presisi dan akurasi LS-GREG dalam pendugaan pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul Skripsi Nama NRP
: Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil : Ika Widyawati : G14104004
Menyetujui : Pembimbing I,
Pembimbing II,
Anang Kurnia, M.Si NIP. 132158749
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS NIP. 131878950
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131578806
Tanggal Lulus :
PRAKATA Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil. Selesainya karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Anang Kurnia, M.Si. dan Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS selaku pembimbing yang selalu memberikan arahan, saran dan kesabarannya dalam membimbing penulis. 2. Orangtua yang telah mencurahkan segala kasih sayangnya kepada penulis. Kakak penulis, Semoga tenang di sisi Allah SWT. 3. Keluarga besar Niti Redjo dan Amat Djuki atas kasih sayang dan dukungan kepada penulis. 4. Seluruh dosen Departemen Statistika FMIPA IPB atas ilmu yang diajarkan dan seluruh staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat, Pak Edi, Pak Iyan, Mang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama belajar di Statistika IPB. 5. Kak Rahayu Wulandari atas bantuannya kepada penulis. 6. Ratih Nokowati , teman praktik lapang dan satu bimbingan, atas segala kesabarannya. 7. Rekan-rekan di Statistic Centre atas dukungan, keceriaan dan semangatnya. Semoga kita dapat terus berjuang bersama. 8. Teman, sahabat dan saudara seperjuangan penulis, Statistika 41. Terima kasih atas kebersamaan dan kenangan yang indah selama 4 tahun. 9. Teman-teman Salatiga atas dukungannya kepada penulis. 10. Rekan-rekan kamar 324 dan 326, Baitussalam, Ananda Putri 2 (dan The-X ananda) atas keceriaan dan kebersamaannya. 11. Kakak-kakak kelas STK 40 dan adik-adik STK 42, 43 dan 44. 12. Teman-teman Rohis STK 41dan KAMMUS, terima kasih atas persaudaraannya. 13. A. Z. Surya Buana, Kak Asih, Neng Ani, Mala, Wita dan Keluarga, Teh Rina, Ami, Wiwik, Ufi, Iin dan keluarga, Agung dan Ardila atas jasanya kepada penulis. 14. Teman teman SAE’rs (Iren, Ranur, Agus, Rere), terima kasih atas diskusinya. 15. Teman-teman yang telah direpotkan menjadi seksi sibuk dalam kolokium dan seminar penulis. 16. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam pembuatan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, Agustus 2008
Ika Widyawati
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Salatiga pada tanggal 07 Oktober 1986 sebagai putri tunggal dari pasangan Wagimin dan Sunarti. Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Ledok 5 Salatiga pada tahun 1998, studi penulis dilanjutkan di SLTP Negeri 1 Salatiga yang ditamatkan pada tahun 2001. Tahun 2004 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Salatiga, dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa di Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif sebagai pengurus Himpunan Profesi Departemen Statistika Gamma Sigma Beta (GSB) pada 2 periode (2005-2007), KAMMUS (2006-2007), SERUM G (2006-2007) dan Decision Centre (2006-2007). Penulis juga aktif sebagai staf Sains BEM FMIPA periode 2007-2008 dan sebagai Pembantu I Sekretaris Jenderal IHMSI periode 2006-2008. Penulis pernah menjadi asisten praktikum Metode Statistika dan Analisis Data Kategorik, pengajar Kalkulus di lembaga bimbingan belajar Eksakta, dan pernah menjadi pengajar Metode Statistika di MSC. Penulis juga menjadi tenaga pengajar dan analisis data di Lembaga Bimbingan Belajar dan Olah Data Statistics Centre. Pada tahun 2005, penulis mendapatkan penghargaan sebagai mahasiswa berprestasi FMIPA pada Tingkat Persiapan Bersama. Praktik Lapang dilakukan penulis di Balai Penelitian Tanaman Sayuran (BALITSA) Jawa Barat pada bulan Januari-Maret 2008.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. vii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. vii PENDAHULUAN Latar Belakang .................................................................................................................... 1 Tujuan ................................................................................................................................. 1 TINJAUAN PUSTAKA Small Area Estimation (SAE) .............................................................................................. Direct Estimator .................................................................................................................. Regresi Kekar (Robust Regression) ..................................................................................... Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) .........................................................................
1 1 2 3
BAHAN DAN METODE Bahan .................................................................................................................................. 3 Metode ................................................................................................................................ 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Simulasi ................................................................................................................... Aplikasi pada Data Riil ....................................................................................................... Eksplorasi Data ............................................................................................................ Perbandingan antara LS-GREG dengan M-GREG .......................................................
4 6 6 7
SIMPULAN ............................................................................................................................... 8 SARAN ....................................................................................................................................... 8 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 8 LAMPIRAN................................................................................................................................ 9
DAFTAR TABEL Halaman 1 Statistik pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor ...................................................... 6 2 Sisaan terstandardisasi dari data pencilan ............................................................................ 6
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Fungsi
ρ (.) dan Ψ (.) dari penduga Huber M .................................................................... 3
2 Fungsi pembobot dari penduga Huber M .............................................................................. 3 3 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data yang tidak mengandung pencilan ............................................................................................................................... 4 4 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 2,5% ....................................................................................................................... 5 5 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 5 % ......................................................................................................................... 5 6 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 10 % ....................................................................................................................... 5 7 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 20 % ....................................................................................................................... 5 8 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data pada setiap proporsi pencilan ................................................................................................................................. 6 9 Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor................................... 6 10 Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi ...................................................................... 6 11 Perbandingan RRMSE LS-GREG dengan M-GREG............................................................ 7 12 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG ................................................ 7 13 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS................................................. 7
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG ........................................................................ 10 2 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 0 %................................ 11
3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5 %............................. 11 4 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 5 %................................ 12 5 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 10 % ............................. 12 6 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 20 %.............................. 13 7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita ................ 13 8 Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor............................................................ 14 9 Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor...................... 15 10 Penduga Ragam GREG PCAS dan GREG PCAG ................................................................ 16
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Latar Belakang Otonomi daerah di Indonesia membuat pemerintah daerah memiliki wewenang lebih dalam mengatur dan memajukan daerahnya. Wewenang dan upaya dalam meningkatkan kemajuan daerah memerlukan informasi yang akurat mengenai daerah itu sendiri. Salah satu sumber informasi yang dapat digunakan adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS). Statistik yang dihasilkan SUSENAS sebagai salah satu sumber informasi daerah pada skala desa/ kelurahan memiliki presisi rendah. Hal ini disebabkan karena pendugaan dilakukan dengan objek survei berukuran kecil. Metode khusus yang dikembangkan untuk meningkatkan presisi pendugaan pada area kecil disebut Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE). Salah satu metode pendugaan yang ada dalam SAE adalah General Regression (GREG). Metode GREG termasuk dalam design based estimator. Karakteristik metode ini adalah menggunakan metode kuadrat terkecil dalam menduga koefisien regresinya. Metode klasik ini sangat tergantung pada asumsi yang seringkali tidak dipenuhi dalam praktiknya dimana data sering diasumsikan menyebar normal. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali memiliki performa yang rendah. Berdasarkan penelitian Wulandari (2008), perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan regresi kekar (Robust Regression) sebagai dugaan koefisien regresinya. Regresi kekar diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Regresi kekar mempunyai banyak metode yang telah dikembangkan. Penduga kekar yang dikaji dalam skripsi ini adalah penduga Huber M (Huber M Estimator). Penduga M (M-Estimator) merupakan penduga yang meminimumkan fungsi objektif dalam data. Metode ini banyak digunakan dalam praktiknya dibandingkan metode lainnya.
Small Area Estimation (SAE) Suatu area disebut kecil apabila contoh yang diambil dari area tersebut tidak mencukupi untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasil dugaan yang akurat (Rao 2003). Metode SAE mengatasi masalah tersebut dengan memberikan pendugaan yang sesuai dari suatu peubah yang dikaji pada area tertentu yang contohnya tidak cukup bagus untuk memberikan pendugaan langsung dengan presisi yang memuaskan (Best et al. 2007).
Tujuan 1. Membandingkan antara GREG penduga Huber M dan GREG metode kuadrat terkecil pada data yang mengandung pencilan. 2. Menerapkan metode GREG pada SAE dengan metode Huber M sebagai penduga koefisien regresinya.
y i = X iT β + ε i ................................(2)
Direct Estimator Penduga langsung (direct estimator) merupakan penduga berbasis rancangan (design based estimator) dan hanya dapat digunakan jika semua area dalam suatu populasi digunakan sebagai contoh. Bentuk dari penduganya adalah sebagai berikut :
Yˆi DIRECT =
1 ∑ wijk
j , k∈s i
dengan bobot
∑w
j , k∈s i
ijk
yijk ......(1)
wijk merupakan kebalikan
(inverse) dari peluang pengambilan contoh yaitu
wijk =
1 ∑ p(s)
dan
notasi
i
{ j , k∈si }
merupakan indeks untuk setiap area kecil. Notasi j merupakan indeks untuk setiap blok sensus dan notasi k merupakan indeks untuk setiap rumah tangga. Salah satu penduga berbasis rancangan adalah General Regression estimator (Rao 2003). GREG merupakan metode pendugaan parameter yang memungkinkan untuk menggunakan beberapa informasi tambahan dan dirancang untuk meningkatkan presisi dan akurasi dengan menggunakan informasi tambahan xi yang berkorelasi dengan yi. Metode ini dapat digunakan untuk menduga total populasi, nilai tengah populasi ataupun proporsi populasi. Metode GREG pada penelitian ini didasarkan atas model linier, yaitu : Metode GREG termasuk dalam kelompok pendugaan berbasis rancangan karena pada metode ini tidak dapat menduga area yang tidak tersurvei. Model GREG adalah sebagai berikut :
1 Yˆi GREG = Nˆ ij
1 wijk yijk + Xi − ∑ ˆ N j∈ s i ij
T
wijk x ijk βˆ ∑ j ∈s i
= Yˆi DIRECT + ( X i − Xˆ i ) T βˆ …….…(3) dengan : -
X i = (X i ,1 ,..., X i , p ) adalah vektor dari T
nilai tengah p populasi -
-
Nˆ ij =
wijk =
∑w
j , k ∈si
ijk
1 ∑ p(s)
{ j , k∈si }
-
-
1 Xˆ i = ˆ N ij
∑w j∈si
1 Yˆi DIRECT = Nˆ
ijk
∑w
ij j∈si
-
βˆ
x ijk = Yˆi ( x ) .........(4)
ijk
xijk
= Yˆi ( y ) ..(5)
merupakan penduga koefisien dengan metode kuadrat terkecil. penduga Huber M (M-GREG) menduga koefisien regresi pada dengan metode Huber M.
disebabkan karena lebih mudah dipahami, dan lebih aman dibandingkan metode kuadrat terkecil. Penduga M meminimumkan fungsi deviasi antara pengamatan dengan dugaan (fungsi objektif), yang lebih umum jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Kasus khusus dalam penduga M adalah rataan dan median. Penduga M untuk paramater lokasi µ berdasarkan generalisasi dari prinsip kuadrat terkecil (Bartnett & Lewis 1994). Andaikan, dalam model dasar, dengan contoh berasal dari peubah acak kontinu dengan sebaran kumulatif F(x) dan fungsi kepekatan f(x). Prinsip untuk menduga µ dari Tr = Tr(x1,...,xr) dipilih untuk meminimumkan r
∑ ρ(x j =1
− Tr ) .............................(6)
j
atau dengan menyelesaikan persamaan r
regresi GREG berarti GREG
Regresi Kekar (Robust Regression) Prosedur statistik yang bersifat kekar ditujukan untuk mengakomodasi adanya keanehan data dan sekaligus meniadakan pengaruhnya terhadap analisis tanpa terlebih dahulu mengadakan identifikasi data yang aneh. Prosedur ini lebih bersifat otomatis dalam menanggulangi keanehan data (Aunuddin 1989). Pencilan dalam sekumpulan data hasil pengamatan adalah sebuah pengamatan yang muncul dan nilainya tidak konsisten dengan nilai data yang lainnya (Bartnett & Lewis 1994). Menurut Aunuddin (1989), pencilan dapat dilihat sebagai pengamatan dengan sisaan yang cukup besar (mutlak standardized residual >2). Dua hal yang diperlukan dalam penduga kekar adalah resisten dan efisien. Suatu penduga dikatakan resisten terhadap pencilan jika sebagian kecil dari contoh tidak dapat memberikan efek yang terlalu besar terhadap pendugaan. Penduga memiliki efisiensi yang baik pada berbagai sebaran jika ragamnya mendekati ragam minimum untuk setiap sebaran. Beberapa pendekatan telah dikembangkan pada regresi kekar, yaitu dengan penduga R (R-estimators), penduga L (L-estimators) dan penduga M (M estimators). Penduga M lebih sering mendominasi pada praktiknya
∑ Ψ( x j =1
j
− Tr ) = 0 ...................(7)
dimana ρ (. ) = - log f(. )
Ψ ( x, θ ) = (∂ / ∂θ ) ρ ( x; θ )
∑w ∀j
Tr =
j
xj
∑w ∀j
j
Untuk memperoleh regresi penduga M diperoleh dengan meminimumkan a
a
j =1
j =1
∑ ρ ( y j − ∑ x j β ) .........................(8) dengan menurunkan persamaan (8) maka diperoleh persamaan a
a
∑ Ψ( y − ∑ x β j
j =1
j =1
j
) x j = 0 ...........(9)
j=1,...,a Penduga M pada prinsipnya mendefinisikan pada masalah pemilihan fungsi Ψ yang memenuhi prinsip efisiensi dan kekekaran. Efisiensi pada fungsi F berarti mendapatkan masalah lokasi dengan mengambil Ψ proporsional dari loglikelihood yang dijelaskan oleh kepekatan
− ( f ' / f )( x) . Kekekaran diperoleh dengan memilih Ψ yang sesuai F: Ψ (x)
=
dan dibatasi, untuk mengurangi pengaruh dari proporsi kecil pengamatan. Kedua prinsip tersebut dapat terjadi jika fungsi Ψ adalah fungsi terbatasi dan kontinu.
Penduga Huber M adalah salah satu penduga M yang diperkenalkan oleh Huber pada tahun 1964. Fungsi ρ (.) dan Ψ (.) dari penduga Huber M adalah x 2 / 2 , |x| ≤ k ρ (x) = k | x | − k 2 / 2 , |x| > k ..............(10) atau -k, x<-k
Ψk (x) =
x, − k ≤ x ≤ k
+k , +k< x ………….……(11) dengan nilai k yang besar menandakan pada suatu pendugaan yang efisien. Nilai k tuning constant, yang ketika nilainya semakin kecil menghasilkan dugaan yang lebih tahan terhadap pencilan namun menghasilkan efisiensi yang lebih rendah ketika sisaan mempunyai sebaran normal. Fungsi ρ (.) dan Ψ (.) dari penduga Huber M digambarkan (Maronna et al 2006)
sebagai
berikut
algoritma pendugaan Huber M di software SAS 9.1. Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) Algoritma dasar untuk menghitung regresi penduga M adalah IRLS. Dugaan IRLS didapatkan dari prosedur iterasi. Dalam setiap iterasi, bobot untuk pengamatan digunakan dalam menduga persamaan regresi. Bobot tersebut diperoleh dari menerapkan fungsi pembobot penduga M untuk setiap sisaan. Bobot awal berdasarkan sisaan awal dari inisialisasi pendugaan (SAS 9.1 Help and Documentation). Terminologi IRLS berdasarkan Staudte dan Sheater (1990) sebagai berikut :
B 0 dari β . j ( j) 2. Hitung sisaan r = Y − XB pada 1. Pilih inisialisasi
setiap dugaan ke-j kemudian hitung bobot yang akan digunakan untuk pendugaan selanjutnya. 3. Gunakan bobot yang diperoleh pada tahap ( j +1)
2 untuk mendapatkan B sampai tidak lebih dari akurasi yang diinginkan.
BAHAN DAN METODE Penelitian ini menggunakan data simulasi dan aplikasi. Simulasi dilakukan dengan cara: 1. Membangkitkan data X populasi sebanyak 36. 2. Membangkitkan data xij sebanyak 576, Gambar 1
Fungsi
ρ (.)
dan
Ψ (.) dari
penduga Huber M. Penduga Huber M juga mempunyai fungsi bobot. Fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 2.
dengan
X populasi sebanyak 36.
vi sebanyak 36. 4. Membangkitkan data eij sebanyak 576.
3. Membangkitkan data
5. Menghitung nilai
Yij dengan cara.
Yij = xij β + vi + eij
Gambar 2
Fungsi pembobot dari penduga Huber M.
Penghitungan pendugaan Huber M menggunakan berbagai algoritma, salah satunya adalah Iterative Reweighted Least Squares. Algoritma ini yang menjadi dasar
β ditetapkan sebesar 2,5. 6. Menduga Yi. 7. Memberikan proporsi pencilan pada Yi , yaitu tanpa pencilan, pencilan 2,5%, pencilan 5%, pencilan 10%, pencilan 20%. Simulasi tersebut dilanjutkan dengan kajian analisis sebagai berikut : 1. Meregresikan antara Yi dengan X populasidengan metode kuadrat terkecil. dengan 2. Meregresikan antara Yi X populasidengan metode penduga Huber M. 3. Menghitung YGREG dengan dugaan β metode kuadrat terkecil.
diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut:
MSE (Yˆi ) × 100% Yˆ
RRMSE (Yˆi ) =
i
Selisih RRMSE = RRMSELS – RRMSEM Software yang digunakan adalah SAS 9.1, Minitab 14, dan Microsoft Office Excel 2003.
HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Simulasi Simulasi dilakukan dengan proporsi pencilan yang berbeda-beda, yaitu pada proporsi 0% (tanpa pencilan), 2,5%, 5%, 10% dan proporsi pencilan 20%. Pencilan dilakukan pada data-data ekstrim dengan menambah atau mengurangi data Yi dengan 3 kali standar deviasi dari data Yij . Simulasi tanpa ada pencilan menunjukkan bahwa LS-GREG memiliki RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan M-GREG, meskipun bedanya tidak terlalu jauh. Kedua metode memiliki nilai RRMSE yang hampir sama ketika diterapkan pada metode GREG untuk pendugaan area kecil. Grafik RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG dapat dilihat pada Gambar 3. RRMSE Tanpa Pencilan 16 14 12
RRMSE
4. Menghitung YGREG dengan dugaan β metode penduga Huber M. 5. Menghitung nilai Relative Root Mean Squared Error (RRMSE) dugaan pada tahap 3 dan 4, kemudian membandingkan hasilnya. Tahap-tahap di atas diulang sampai 30 kali kemudian menghitung rataan RRMSE dari GREG kuadrat terkecil (LS-GREG) dan MGREG. Data aplikasi yang digunakan adalah data PODES (Potensi Desa) 2006 dan SUSENAS (Survei Sosial Ekonomi Nasional) 2005. Data PODES adalah data yang berurusan dengan wilayah/tata ruang dengan basis desa atau kelurahan, sedangkan data SUSENAS adalah data berbasis rumah tangga yang diselenggarakan tahunan (Badan Pusat Statistik). Data SUSENAS berisi tentang informasi demografi dan sosio-ekonomi rumah tangga. Peubah yang diamati ialah pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor. Peubah pendukung atau peubah penjelas luas lantai, dipilih sesuai dengan penelitian Wulandari (2008). Peubah yang di amati dan peubah pendukung diperoleh dari data SUSENAS, sedangkan data jumlah keluarga dan jumlah blok sensus diperoleh dari data PODES. Peubah penjelas populasinya adalah luas pemukiman. Metode penarikan contoh yang dilakukan SUSENAS pada level desa adalah dengan menentukan terlebih dahulu blok sensus kemudian menentukan rumah tangga dalam blok sensus yang terpilih. Tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah : 1. Menduga pengeluaran per kapita dengan penduga langsung (Direct Estimators). 2. Eksplorasi data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor. dengan menggunakan 3. Menduga β metode kuadrat terkecil dan menduga pengeluaran per kapita masing-masing desa/kelurahan dengan menggunakan LSGREG untuk metode penarikan contoh acak sederhana (PCAS) dan penarikan contoh acak gerombol dua tahap (PCAG). 4. Menduga β dengan menggunakan metode penduga Huber M dan menduga pengeluaran per kapita masing-masing desa/kelurahan dengan menggunakan metode GREG. 5. Membandingkan antara penduga tahap 3 dan penduga GREG tahap 4 dengan melihat nilai Relative Root Mean Squared Error (RRMSE) dan selisihnya yang
10 8 6 4 2 0 1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
area kecil LS
Gambar 3
Huber
Perbandingan RRMSE antara LSGREG dan M-GREG pada data yang tidak mengandung pencilan.
Simulasi proporsi pencilan 2,5% menunjukkan bahwa penggunaan M-GREG dalam GREG menghasilkan nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan LSGREG. Nilai RRMSE LS-GREG pada proporsi pencilan 2,5% lebih besar dibandingkan dengan nilai RRMSE LSGREG pada data yang tidak mengandung pencilan. Pada proporsi pencilan 2,5%, selisih RRMSE kedua metode sudah cukup terlihat. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 2,5% dapat dilihat pada Gambar 4.
naik dengan naiknya proporsi pencilan, RRMSE dari M-GREG cenderung cukup stabil. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 10% dapat dilihat pada Gambar 6.
RRMSE Pencilan 2,5% 16 14
RRMSE
12 10 8 6
RRMSE Pencilan 20%
4 2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
LS
Gambar 4
Huber
Perbandingan RRMSE antara LS GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 2,5%.
RRMSE
area kecil
16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33 35
area kecil
Simulasi proporsi pencilan 5% menunjukkan bahwa M-GREG dalam GREG menghasilkan nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan LS-GREG. Perbedaan nilai RRMSE antara M-GREG pada proporsi pencilan 5% dengan LS-GREG terlihat jelas. Selisih nilai RRMSE kedua metode cukup jauh. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 5% dapat dilihat pada Gambar 5. RRMSE Pencilan 5%
RRMSE
16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29 31
33 35
Area Kecil
LS
Gambar 5
Huber
Perbandingan RRMSE antara LSGREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 5%.
RRMSE
RRMSE Pencilan 10% 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29 31
33 35
area kecil LS
Huber
Gambar 6 Perbandingan RRMSE antara LSGREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 10%.
LS-GREG pada simulasi proporsi pencilan 10% . Simulasi ini memperlihatkan kekekaran Huber M dalam mengatasi adanya pencilan. Ketika nilai RRMSE pada LS-GREG semakin
LS
Gambar 7
Huber
Perbandingan RRMSE antara LSGREG dan M-GREG pada data dengan proporsi pencilan 20%.
Proporsi pencilan 20% membuat nilai RRMSE baik untuk LS-GREG maupun MGREG menjadi naik. Akan tetapi, penggunaan regresi kekar Huber M dalam GREG menghasilkan nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan LS-GREG, karena kenaikan RRMSE pada M-GREG lebih kecil dibandingkan kenaikan LS-GREG. Nilai RRMSE LS-GREG pada proporsi pencilan 20% paling besar dibandingkan dengan nilai RRMSE LS-GREG pada semua kemungkinan proporsi pencilan. Nilai RRMSE dari MGREG pada proporsi pencilan 20% juga paling tinggi dibandingkan RRMSE M-GREG yang lain. Nilai RRMSE kedua metode pada proporsi pencilan 20% dapat dilihat pada Gambar 7. Pengaruh proporsi pencilan pada nilai RRMSE GREG disajikan pada Gambar 8. Gambar ini memperlihatkan penampilan keseluruhan dari GREG dengan Huber M dan LS-GREG, pada semua kemungkinan proporsi pencilan. RRMSE dari kedua metode pada data tanpa pencilan nilainya hampir sama, tetapi RRMSE LS-GREG lebih kecil dibanding GREG Huber M. Pada data yang mengandung pencilan, RRMSE M-GREG terlihat lebih kecil. Selisih nilai RRMSE terbesar terdapat pada data yang mengandung proporsi pencilan 10%. Selisih nilai RRMSE semakin besar dengan semakin besarnya proporsi pencilan. Tetapi pada proporsi pencilan 20%, selisih RRMSE dari kedua metode mengecil kembali. M-GREG cukup stabil hingga proporsi pencilan 10%, tetapi setelah itu nilai RRMSE M-GREG mulai membesar. Nilai RRMSE LS-GREG semakin membesar dengan naiknya proporsi pencilan.
Pencilan yang semakin jauh dari pola sebaran data akan menyebabkan semakin lebarnya selisih RRMSE antara LS-GREG dan MGREG. Hal ini terjadi karena RRMSE LSGREG akan semakin besar pada saat terdapat pencilan yang semakin jauh dari pola sebaran data.
Tabel 2 menunjukkan adanya sisaan terstandardisasi (standardized residual) yang cukup besar atau lebih dari |2|. Sisaan tersebut didapat dari hasil regresi antara pengeluaran per kapita dengan luas pemukiman, yaitu kelurahan Kebonkelapa dan Pabaton. Kelurahan Pabaton mempunyai sisaan terstandardisasi sebesar 2,83 sedangkan Kelurahan Kebonkelapa sisaan standardisasinya sebesar 2,58. Boxplot of Pengeluaran Per Kapita 1100000
Gambar 8 Perbandingan RRMSE antara LS GREG dan M-GREG pada setiap proporsi pencilan.
Pengeluaran Per Kapita
1000000 900000 800000 700000 600000 500000 400000 300000 200000
Aplikasi pada Data Riil Eksplorasi data Tabel 1 berisi statistik yang menggambarkan pengeluaran per kapita masyarakat Kota bogor berdasarkan dugaan langsung. Pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor mempunyai rataan sebesar Rp. 333.210,-, dengan koefisien keragaman yang cukup besar yaitu 49,81%. Pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor yang paling besar adalah pengeluaran per kapita masyarakat Kelurahan Pabaton, yaitu sebesar Rp. 1.135.393,-.
Sisaan terstandardisasi dari data pencilan. Standardized Kelurahan Residual Pabaton 2,82816 Kebon Kelapa 2,57802
Boxplot dari Galat Terstandardisasi
kapita
Statistik
Nilai
Minimum
Rp. 162.406,-
Maksimum
Rp. 1.135.393,-
Median
Rp. 313.731,-
Rata-rata
Rp. 333.210,-
Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
Tabel 2
3
2 Galat Terstandardisasi
Tabel 1 Statistik pengeluaran per masyarakat di Kota Bogor.
Gambar 9
1
0
-1
-2
Koefisien Keragaman
49,81
Diagram kotak garis (Gambar 9) menunjukkan bahwa terdapat 2 pencilan pada pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor. Pencilan pertama merupakan kelurahan Kebonkelapa yang masyarakatnya memiliki pengeluaran per kapita sebesar Rp.593.462,-. Pencilan yang cukup jauh dari kumpulan data yang ada ialah pengeluaran per kapita masyarakat kelurahan Pabaton dengan nilai Rp. 1.135.393,-.
Gambar 10
Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi.
Gambar 10 memperlihatkan diagram kotak garis dari sisaan terstandardisasi. Gambar ini memperlihatkan adanya tiga pencilan yaitu Kelurahan Pabaton, Kebon Kelapa dan Kelurahan Katulampa. Aunuddin (1989) menuliskan bahwa yang termasuk pencilan adalah pengamatan dengan mutlak dari sisaan terstandardisasi lebih dari 2, sehingga Kelurahan Katulampa tidak termasuk dalam pencilan regresi. Seber (1977, dalam
Perbandingan antara LS-GREG dengan M -GREG Metode GREG dalam menduga area kecil menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter β. Penelitian Wulandari (2008) menggunakan dua pendekatan, yaitu Penarikan Contoh Acak Sederhana (PCAS) dan Penarikan Contoh Acak Gerombol 2 tahap (PCAG). Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor terdapat pencilan yang menyebabkan metode kuadrat terkecil kurang baik digunakan. Pendekatan metode lain yang digunakan untuk menduga parameter β adalah penduga M (Huber M Regression). Pembandingan kedua metode ini pada GREG dilakukan dengan membandingkan RRMSE dan melihat selisih RRMSE kedua metode.
nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG meski selisihnya tidak terlalu besar. Gambar 12 menunjukkan perbedaan nilai RRMSE yang lebih jelas dengan melihat selisih nilai RRMSE dari LS-GREG PCAG dengan M-GREG PCAG. Selisih RRMSE antara LS-GREG PCAG dengan M-GREG PCAG terlihat besar pada Kelurahan Kencana, dengan nilai -0,45775. Hal ini berarti kelurahan Kencana memiliki nilai RRMSE LS-GREG PCAG yang lebih kecil dibandingkan nilai RRMSE M-GREG PCAG. Selisih RRMSE PCAG (LS-Huber) 0,5
S elisih RRM S E
Aunuddin) memberikan patokan yang lebih besar bahwa yang termasuk pencilan adalah pengamatan dengan sisaan terstandardisasi lebih besar dari |3|. Jika mengacu pada kedua sumber tersebut, maka 2 pencilan yang ada, yaitu kelurahan Pabaton dan Kebon Kelapa, merupakan pencilan yang nilainya tidak terlalu besar.
0,3 0,1 -0,1 1
3
5
80 70
RRMSE (%)
60 50 40
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Kelurahan Selisih RRMSE (LS-Huber)
Gambar 12
Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG.
Selisih RRMSE (LS-Huber) PCAS 2
Selisih RRMSE
Variable LS-GREG PC AS LS-GREG PC AG M-GREG PC A S M-GREG PC A G
9
-0,5
RRMSE Pengeluaran Per Kapita Masyarakat di Kota Bogor 90
7
-0,3
1 0 -1
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21
23 25 27 29 31 33
35
-2 -3
30 -4
20
Kelurahan
10
Selisih RRMSE PCAS
0 4
8
Gambar 11
12
16 20 Kelurahan
24
28
32
36
Perbandingan RRMSE LSGREG dengan M-GREG.
Gambar 11 menunjukkan nilai RRMSE dari LS-GREG dan M-GREG. Metode MGREG mempunyai nilai RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LSGREG untuk kedua penarikan contoh. Perbedaan nilai RRMSE sangat besar di antara kedua penarikan contoh, baik antara LS-GREG PCAG dengan LS-GREG PCAS, maupun antara M-GREG PCAG dengan MGREG PCAS. Beberapa kelurahan memiliki nilai RRMSE LS-GREG yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE M-GREG. Kelurahan tersebut antara lain kelurahan Pabaton, Kedungwaringin, Menteng, Kedungbadak, Kayu Manis, dan Kelurahan Kencana. Nilai RRMSE M-GREG memiliki
Gambar 13
Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS.
Gambar 13 memperlihatkan perbedaan nilai RRMSE dari LS-GREG PCAS dengan M-GREG PCAS. Kelurahan Kencana memiliki selisih RRMSE antara LS-GREG PCAS dengan M-GREG PCAS yang cukup besar yaitu -3,1363, seperti pada PCAG. Selisih nilai RRMSE pada PCAS lebih besar dibandingkan dengan selisih RRMSE pada PCAG. Selisih RRMSE bertanda positif menunjukkan metode M-GREG memiliki RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG. Meskipun selisih RRMSE antara kedua metode ini relatif kecil untuk kedua metode penarikan contoh, tetapi cukup memperlihatkan metode penduga Huber M dapat mengatasi adanya pencilan.
SIMPULAN Kajian simulasi memperlihatkan bahwa M-GREG lebih baik dibandingkan LS-GREG pada data yang mengandung pencilan berdasarkan RRMSE. LS-GREG sebaiknya digunakan pada data yang tidak mengandung pencilan karena kesederhanaan dalam perhitungan dan mempunyai RRMSE yang relatif sama dengan M-GREG. Selisih RRMSE antara kedua metode cukup besar pada proporsi pencilan 10%. M-GREG pada kasus pengeluaran per kapita di Kota Bogor memiliki RRMSE yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LSGREG, meskipun selisihnya relatif kecil. Selisih RRMSE yang kecil dapat disebabkan oleh data pencilan yang relatif tidak berpengaruh terhadap pendugaan β.
SARAN Perlu pengkajian lebih lanjut mengenai tingkat kestabilan dari M-GREG, yaitu proporsi pencilan yang menyebabkan performa M-GREG mengalami penurunan dan proporsi pencilan ketika LS-GREG dengan M-GREG memiliki performa yang sama. Pengkajian mengenai pengaruh pencilan pada peubah pendukung terhadap dugaan GREG juga menarik untuk dilakukan.
DAFTAR PUSTAKA Andrews et al.1972. Robust Estimates of Location: Survey and Advances. Princeton University Press. Aunuddin. 1989. Analisis Data. Institut Pertanian Bogor. Bartnett, V. & T. Lewis. 1994. Outliers in Statistical Data. Third Edition. Chichester: John Willey and Sons. Best, N., S. Richardson & V. Gomez-Rubio. 2007. A Comparison of Methods for Small Area Estimation. Journal. Bunke, H. & O. Bunke. 1989. Non linear Regression, Functional Relation and Robust Method: Statistical Method Of Model Building. Volume 2.Berlin: John Willey and Sons.
Hoaglin, D.C, F. Mosteller, & J.W. Tukey. 1983. Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. New York: John Willey and Sons. Huber, P.J. 1996. Robust Statistical Procedures.Second Edition. Philadelpia: Society For Industrial And Applied Mathematics. Maronna et al. 2006. Robust Statistics: Theory and Method. Chichester: John Willey and Sons. Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New York : John Willey and Sons. Staudte, R.G. & S.J. Sheather. 1990. Robust Estimation and Testing. Canada: John Willey and Sons. Sagitra, M.A. 2001. How Robust Are Robust Regression Methods Really With Respect To Outliers and Influential Point? [skripsi]. FMIPA IPB. Wulandari, R. 2008. Penerapan Metode General Regression Dalam Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Masyarakat Kota Bogor [skripsi]. FMIPA IPB.
9
LAMPIRAN
10
Lampiran 1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG. Id Area
Tanpa Pencilan LS
Pencilan 2,5%
Huber
LS
Huber
Pencilan 5% LS
Huber
Pencilan 10%
Pencilan 20%
LS
LS
Huber
Huber
1
6,01
6,04
7,11
6,47
8,55
6,49
11,38
6,76
11,71
9,69
2
6,3
6,31
7,05
6,33
8,63
6,36
10,75
6,51
11,21
9,31
3
6,16
6,17
6,88
6,15
8,57
6,5
10,78
6,59
13,34
11,35
4
5,96
5,96
6,52
5,95
7,71
5,91
9,64
6,09
11,69
9,63
5
6,33
6,33
7,95
7,45
9,17
7,06
12,38
7,66
12,82
11,06
6
5,91
5,91
6,55
5,9
8,57
6,31
12,14
7,3
12,55
10,93
7
6,33
6,34
6,83
6,33
7,94
6,2
10,84
6,75
11,78
10,21
8
6,29
6,29
6,95
6,24
8,62
6,65
10,96
6,73
12,29
10,64
9
6,01
6,03
6,95
5,99
8,49
6,1
11,81
7,23
10,6
9
10
6
6,01
8,41
7,08
11,76
8,02
13,3
7,46
16,02
14,48
11
5,9
5,91
6,43
5,92
8,54
6,52
11,08
6,84
11,15
9,81
12
6,5
6,5
8,16
7,08
8,85
6,52
12,51
7,5
14,07
11,74
13
5,68
5,69
6,58
5,68
8,34
5,71
12,82
6,96
12,55
10,39
14
5,98
6,01
7,4
6,54
8,88
6,6
12,93
7,54
13,9
12,14
15
6,11
6,13
6,84
6,14
8,02
6,1
10,32
6,34
12,31
10,59
16
6,63
6,67
8,03
7,25
9,32
7,31
11,97
7,51
14,59
12,93
17
5,93
5,94
6,68
5,92
7,87
6,03
12,34
7,41
12,2
10,34
18
6,21
6,21
6,8
6,2
7,98
6,18
10,39
6,47
10,34
8,96
19
5,36
5,36
6,34
5,59
7,84
5,66
11,42
6,36
12,21
10,56
20
5,48
5,5
6,09
5,5
7,45
5,56
11,25
6,3
11,72
9,74
21
6,03
6,04
6,86
6,04
8,3
6,02
11,13
6,43
11,25
9,42
22
6,06
6,07
6,98
6,1
8,68
6,26
11,15
6,54
12,41
9,7
23
5,77
5,8
6,73
5,98
8,32
6,23
11,22
6,72
11,55
9,77
24
5,79
5,82
6,72
5,85
9,17
6,83
11,3
7,01
11,82
10,11
25
6,21
6,22
10,52
9,34
13,35
10,07
15,16
9,35
16,27
13,26
26
6,13
6,15
6,92
6,17
7,98
6,16
11,66
7,13
11,51
9,74
27
5,71
5,73
6,6
6,01
7,31
5,61
9,75
5,88
10,96
9,44
28
6,23
6,25
6,72
6,21
7,92
6,19
11,45
6,99
11,34
9,84
29
6,12
6,12
6,89
6,16
8,04
6,12
10,72
6,47
11,21
9,55
30
5,72
5,73
6,49
5,83
7,57
5,88
9,37
5,83
11,72
10,36
31
5,58
5,57
6,16
5,47
7,4
5,49
10,88
6,36
11,11
9,82
32
5,73
5,75
6,06
5,74
7,44
5,96
9,43
6,05
9,84
8,56
33
5,71
5,73
6,9
6,09
8,23
6,14
10,4
6,41
11,63
10,38
34
5,97
5,98
6,48
5,91
8,3
6,41
11,43
6,82
11,2
9,79
35
5,76
5,77
6,72
5,94
8,05
5,92
10,77
6,13
10,24
8,77
36
6,23
6,25
7,16
6,26
8,62
6,35
10,88
6,51
11,1
9,32
11
Lampiran 2 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 0 %.
RRMSE Tanpa Pencilan 6,75
6,50
Data
6,25
6,00
5,75
5,50
LS
Variable LS Huber
Mean 5,9957 6,0078
SE Mean 0,0468 0,0470
Huber
StDev 0,2808 0,2822
Variance 0,0788 0,0796
CoefVar 4,68 4,70
Median 6,0042 6,0186
Lampiran 3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5%. RRMSE Pencilan 2,5% 11
10
Data
9
8
7
6
5 LS
Variable LS Huber
Mean 6,985 6,245
SE Mean 0,135 0,116
Huber
StDev 0,809 0,698
Variance 0,655 0,487
CoefVar 11,59 11,17
Median 6,835 6,090
12
Lampiran 4 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 5 %. RRMSE Pencilan 5% 14 13 12
Data
11 10 9 8 7 6 5 LS
Variable LS Huber
Mean 8,495 6,373
Huber
SE Mean 0,190 0,134
StDev 1,138 0,805
Variance 1,294 0,647
CoefVar 13,39 12,62
Median 8,311 6,193
Lampiran 5 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 10 %. RRMSE Pencilan 10% 15,0
Data
12,5
10,0
7,5
5,0 LS
Variable LS Huber
Mean 11,325 6,804
SE Mean 0,191 0,110
Huber
StDev 1,147 0,659
Variance 1,315 0,434
CoefVar 10,13 9,68
Median 11,186 6,728
Lampiran 6 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 20 %.
13
RRMSE Pencilan 20% 17 16 15
Data
14 13 12 11 10 9 8 LS
Variable LS Huber
Mean 12,061 10,315
Huber
SE Mean 0,239 0,213
StDev 1,436 1,276
Variance 2,062 1,628
CoefVar 11,90 12,37
Median 11,712 9,829
Lampiran 7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita. Yvs Xpopulasi 1100 1000 Yperkapita/1000
900 800 700 600 500 400 300 200 50
75
100
125 X
150
175
200
225
Lampiran 8 Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor.
14
Y
x
X
PAMOYANAN
Nama Desa
170791
70,0000
130,6858
GENTENG
182730
88,8750
111,6786
HARJASARI
223460
77,5000
102,6806
CIPAKU
210153
83,4375
121,9487
BATUTULIS
363204
40,9375
56,3540
EMPANG
383120
35,8125
39,2502
CIKARET
315169
49,1875
108,5796
SINDANGRASA
387938
122,8125
174,6821
KATULAMPA
162406
47,8125
189,3923
BARANANGSIANG
267890
80,3125
178,8025
SUKASARI
237197
31,5625
69,2250
BANTARJATI
267890
80,3125
124,9490
TEGALGUNDIL
331109
61,6875
157,9899
TANAHBARU
390992
53,2500
171,1806
CIMAHPAR
213313
69,4375
203,3388
CIBULUH
359151
72,5000
134,5829
KEDUNGHALANG
443976
169,6667
165,8716
CIPARIGI
224661
67,5000
157,9365
BABAKANPASAR
232711
25,5625
65,6350
TEGALLEGA
273747
47,6250
85,9166
1135393
191,6250
88,9967
KEBONKELAPA
593462
61,5000
47,3263
PASIRMULYA
321191
62,5000
199,0891
PASIRJAYA
246303
37,0625
148,9885
GUNUNGBATU
353346
67,1250
114,2352
MENTENG
313731
114,7500
176,5049
CILENDEK BARAT
375531
107,1250
153,3861
SINDANGBARANG
427145
98,3125
172,8639
SITUGEDE
311550
59,3125
152,0295
PABATON
SEMPLAK
373888
60,7500
76,3179
KEDUNGWARINGIN
244109
99,8125
74,7402
KEDUNGJAYA
335310
65,6875
60,9940
KEBONPEDES
278218
45,1875
62,1076
KEDUNGBADAK
411120
98,8750
70,3488
KAYUMANIS
300458
106,7500
81,4120
KENCANA
216987
123,1250
79,2228
15
Lampiran 9
Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor (dalam ribu rupiah). Penduga GREG (dalam ribuan) PCAS
Nama Desa
Y
PCAG
RRMSE
Y
Huber PCAS RRMSE
Y
RRMSE
Huber PCAG Y
RRMSE
PAMOYANAN
303,3951
12,5659
303,3951
1,7414
310,4711
12,3455
310,4711
1,7108
GENTENG
232,5578
18,6552
232,5578
3,4204
235,2167
18,2943
235,2167
3,3543
HARJASARI
278,4819
13,4998
278,4819
2,0001
281,4179
13,3372
281,4179
1,9761
CIPAKU
294,3040
24,3643
294,3040
2,9473
298,7945
23,9197
298,7945
2,8935
BATUTULIS
396,8911
53,2211
396,8911
7,6488
398,6886
52,9098
398,6886
7,6041
EMPANG
390,6319
37,3756
390,6319
2,6061
391,0328
37,2733
391,0328
2,5990
CIKARET
444,9470
22,3859
444,9470
2,5633
451,8722
22,0129
451,8722
2,5206
SINDANGRASA
501,2782
13,7802
501,2782
1,5607
507,3262
13,8230
507,3262
1,5655
KATULAMPA
471,7720
7,0075
471,7720
0,6683
488,2803
6,7210
488,2803
0,6410
BARANANGSIANG
483,1004
25,1915
483,1004
2,5230
494,5843
24,5990
494,5843
2,4637
SUKASARI
319,4932
17,2469
319,4932
2,4405
323,8846
16,9855
323,8846
2,4035
BANTARJATI
365,4253
33,2954
365,4253
3,4253
370,6299
32,8178
370,6299
3,3762
TEGALGUNDIL
541,5390
43,6084
541,5390
4,0955
552,7678
42,6510
552,7678
4,0055
TANAHBARU
648,6819
17,7609
648,6819
1,9839
662,4326
17,3643
662,4326
1,9396
CIMAHPAR
505,9010
15,1354
505,9010
1,9497
521,5139
14,7203
521,5139
1,8962
CIBULUH
494,8088
21,3102
494,8088
2,9669
502,0477
21,1054
502,0477
2,9384
KEDUNGHALANG
430,4144
54,7125
430,4144
6,1261
429,9719
54,1460
429,9719
6,0627
CIPARIGI
422,2737
26,6299
422,2737
3,0713
432,8186
25,9211
432,8186
2,9895
BABAKANPASAR
320,2731
19,2042
320,2731
2,7744
324,9456
18,8598
324,9456
2,7247
TEGALLEGA
357,4175
32,5206
357,4175
4,0619
361,8823
31,9235
361,8823
3,9874
PABATON
919,5011
40,6216
919,5011
9,7218
914,4674
40,7217
914,4674
9,7458
KEBONKELAPA
562,4908
30,8878
562,4908
3,9681
560,8382
30,8751
560,8382
3,9665
PASIRMULYA
619,6523
9,7745
619,6523
1,9463
635,5786
9,5066
635,5786
1,8930
PASIRJAYA
490,8723
15,4471
490,8723
1,7734
503,9229
15,0389
503,9229
1,7265
GUNUNGBATU
456,2867
10,6154
456,2867
1,1382
461,7798
10,4150
461,7798
1,1167
MENTENG
448,6713
25,5402
448,6713
2,3956
455,8720
25,8603
455,8720
2,4256
CILENDEK BARAT
476,6160
21,6109
476,6160
2,1483
482,0100
21,2806
482,0100
2,1155
SINDANGBARANG
590,0477
29,5638
590,0477
3,7238
598,7404
29,0357
598,7404
3,6573
SITUGEDE
514,1453
20,2471
514,1453
2,9870
524,9561
19,7876
524,9561
2,9192
SEMPLAK
407,9056
18,9305
407,9056
3,4817
409,7208
18,7404
409,7208
3,4467
KEDUNGWARINGIN
189,3238
60,7266
189,3238
7,0145
186,4004
62,0451
186,4004
7,1668
KEDUNGJAYA
325,0538
38,7974
325,0538
5,9579
324,5065
38,7092
324,5065
5,9444
KEBONPEDES
315,1898
25,2328
315,1898
2,5562
317,1627
25,0381
317,1627
2,5365
KEDUNGBADAK
225,8563
37,4996
225,8563
7,0982
222,5301
37,8947
222,5301
7,1769
KAYUMANIS
245,0920
47,0947
245,0920
6,3333
242,1376
47,5912
242,1376
6,4001
KENCANA
121,0565
77,6857
121,0565
11,3383
115,9375
80,8220
115,9375
11,7960
16
Lampiran 10 Penduga ragam GREG PCAS dan GREG PCAG. Ragam dari GREG PCAS :
(
)
m mi . eˆ − eˆi 1 Var (YˆGREG ) = (1 − i . )∑ i.k mi . M i . i =1 mi. − 1 Ragam dari GREG PCAG :
(
2
)
2
n i ni eˆij − eˆi Ni Var (YˆGREG ) = ( 1 − )∑ + N i j =1 n i − 1 ni M i2. ni M i2. Ni
mengacu pada Wulandari (2008).
M ij2 M ij − mij ∑∑ M j =1 k =1 m ij ij ni
mij
(
eˆijk − eˆij m −1 ij
)
2
