1
PENENTUAN TARIF OPTIMAL DENGAN KENDALA INDIVIDU RASIONAL DAN KESESUAIAN INSENTIF PADA PERUSAHAAN TELEKOMUNIKASI
Oleh : TUBAGUS MUJAHIDIN FURQON G54102043
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
2
PENENTUAN TARIF OPTIMAL DENGAN KENDALA INDIVIDU RASIONAL DAN KESESUAIAN INSENTIF PADA PERUSAHAAN TELEKOMUNIKASI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : TUBAGUS MUJAHIDIN FURQON G54102043
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
3
RINGKASAN TUBAGUS MUJAHIDIN FURQON. Penentuan Tarif Optimal Dengan Kendala Individu Rasional dan Kesesuaian Insentif Pada Perusahaan Telekomunikasi. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan EFFENDI SYAHRIL. Ada dua perusahaan telekomunikasi yaitu perusahaan A dan perusahaan B. Masing-masing perusahaan memproduksi satu produk yang sama tetapi berbeda kualitas. Kualitas produk perusahaan B lebih baik dibandingkan kualitas produk perusahaan A sehingga harga produk perusahaan B lebih tinggi daripada harga produk perusahaan A. Pilihan konsumen untuk membeli produk pada suatu perusahaan hanya ditentukan oleh pendapatan konsumen dan harga produk perusahaan tersebut. Perusahaan A menawarkan tarif T (q ) kepada konsumen. Kemudian jika konsumen tersebut membeli produk perusahaan A sebanyak q(θ , γ ) unit dan membayar sebesar T (q(θ , γ )) maka surplus bersih perusahaan A akan maksimum. Profit perusahaan A yang diperoleh pada saat konsumen membayar sebesar T (q(θ , γ )) yaitu θ
∫
Π = [T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ )] f (θ )dθ θ
Perusahaan memaksimumkan profit tersebut dengan bergantung pada dua kendala yaitu kendala individu rasional dan kendala kesesuaian insentif. Kendala individu rasional menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan tinggi dan konsumen dengan pendapatan rendah berkeinginan membeli produk perusahaan A. Kendala kesesuaian insentif menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produk pada perusahaan A dan konsumen dengan pendapatan tinggi merasa bangga membeli produk pada perusahaan B sehingga terbentuk tarif tak linier yang optimal.
4
Judul Nama NIM
: Penentuan tarif optimal dengan kendala individu rasional dan kesesuaian insentif pada perusahaan telekomunikasi : Tubagus Mujahidin Furqon : G54102043
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, MS. NIP. 131 842 409
Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. NIP. 131 804 163
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
5
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 22 Oktober 1984 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara. Ayah bernama Tubagus Zaenal Muttaqin dan Ibu bernama Erneny. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri 01 Lagoa Jakarta. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 30 Jakarta tahun 1996 dan lulus tahun 1999. Selanjutnya ke jenjang Sekolah Menengah Umum Negeri 110 Jakarta tahun 1999 sampai 2002. Selepas SMU, tepatnya tahun 2002 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Matematika Dasar. Dan juga penulis sempat menjadi anggota aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika IPB sebagai anggota departemen Sosial kemasyarakatan pada tahun 2002 dan anggota departemen Kaderisasi pada tahun 2004.
6
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT. Yang selalu memberikan rahmat dan karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya sampai akhir jaman. Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang secara langsung ataupun tidak langsung berkontribusi besar dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua (ibu dan ayah) yang selalu memberikan kasih sayang, semangat dan doa. Ibu Retno Budiarti dan Bpk Effendi Syahril yang telah membimbing dan mengarahkan selama penulisan karya ilmiah ini. Bapak I.G. Putu Purnaba untuk masukanmasukan yang bermanfaat. Kosan biru (Santo, Lingga, Indra, Reza, Bawon) dan kosan villa merah (Abay, Kafi, Rismanto, Sanggam) yang telah memberi semangat. Yoanita atas kritik dan sarannya. Kosan Algebra ( Rodih, Rian, Dwicandra, Indra, Jayadin, Azis, Yusuf) yang telah memberikan keceriaan. Seluruh Dosen Matematika IPB yang telah bersusah payah memberikan ilmunya kepada kami. Staf TU Matematika IPB yang senantiasa mengurusi administrasi kami. Matematika angkatan 39 atas persahabatan yang teramat indah selama empat tahun terakhir. Serta seluruh pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Desember 2006 Tubagus Mujahidin Furqon
7
DAFTAR ISI Halaman RINGKASAN ................................................................................................................ RIWAYAT HIDUP ........................................................................................................ PRAKATA ..................................................................................................................... PENDAHULUAN .......................................................................................................... 1.1. Latar Belakang ............................................................................................... 1.2. Tujuan penulisan ............................................................................................ 1.3. Metode dan Sistematika Penulisan ................................................................... LANDASAN TEORI ..................................................................................................... 2.1 Bundles dan Kondisi Single Crossing ............................................................ 2.2 Diferensiasi Vertikal dan Diferensiasi Horisontal .......................................... 2.3 Diskriminasi Harga .......................................................................................... 2.4 Tarif dan Tarif Dua Bagian ............................................................................... 2.5 Harga Tak Linier ............................................................................................... 2.6 Adverse Selection .............................................................................................. 2.7 Surplus Konsumen, Surplus Produsen, dan Profit............................................. 2.8 Utilitas Konsumen dan Fungsi Utilitas ............................................................. 2.9 Kontrol Optimum ............................................................................................. 2.10 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan .................................. 2.11 Pengali Lagrange .............................................................................................. 2.12 Fungsi Convex dan Fungsi Concave.................................................................. 2.13 Maksimum dari Argumen.................................................................................. 2.14 Sebaran Seragam ............................................................................................... 2.15 Nilai Harapan .................................................................................................... 2.16 Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan ............................................................. FORMULASI MASALAH .............................................................................................. PEMBAHASAN ............................................................................................................... 4.1 Kendala Individu Rasional .............................................................................. 4.2 Kendala Kesesuaian Insentif ........................................................................... 4.3 Pemberian Jaminan ......................................................................................... SIMPULAN ..................................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... LAMPIRAN ...................................................................................................................
ii iv v 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 8 8 9 11 11 12 14 15 16 18
8
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Globalisasi yang didorong oleh kemajuan pesat dibidang teknologi telekomunikasi menyebabkan semakin derasnya arus informasi. Teknologi telekomunikasi dan informasi kini telah menjadi alat yang sangat efektif untuk mengubah efisiensi dan efektifitas interaksi manusia. Saat ini, teknologi telekomunikasi dan informasi tidak hanya menjadi instrumen peningkatan efektifitas dan efisiensi bisnis tetapi juga telah menjadi area bisnis yang banyak diperebutkan pelaku usaha karena potensinya yang luar biasa. Seiring dengan kemajuan teknologi telekomunikasi tersebut telah meningkatkan permintaan akan layanan telekomunikasi. Misalkan nama perusahaan telekomunikasi tersebut yaitu perusahaan A dan perusahaan B. Masing-masing perusahaan memproduksi satu produk yang sama tetapi berbeda kualitas. Kualitas produk perusahaan B lebih baik daripada kualitas produk perusahaan A. Sehingga harga produk perusahaan B lebih tinggi daripada harga produk perusahaan A. Adanya perbedaan kualitas produk menyebabkan perbedaan keinginan membeli produk. Keinginan konsumen untuk membeli produk kualitas baik menandakan keinginan membayar yang lebih tinggi. Konsumen dengan pendapatan tinggi mempunyai keinginan membayar lebih tinggi daripada konsumen dengan pendapatan rendah. Ketika perusahaan A memproduksi sejumlah q produk dan konsumen membeli produknya. Maka pembelian sejumlah q produk perusahaan A tersebut akan mengoptimalkan utilitas konsumen dengan pendapatan rendah. Sedangkan konsumen dengan pendapatan tinggi menyadari bahwa utilitasnya akan optimal jika konsumen tersebut membeli
sejumlah q produk perusahaan B. Oleh karena itu, sekelompok konsumen dengan pendapatan tinggi cenderung akan membeli produk pada perusahaan B dan sekelompok konsumen dengan pendapatan rendah cenderung akan membeli produk pada perusahaan A. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah menentukan tarif berbeda yang optimal dengan kendala individu rasional dan kesesuaian insentif. 1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dan materi karya ilmiah ini diambil dari “Price Discrimination and Three part Tariffs in a Duopoly” tahun 2000 oleh S. Jensen. Karya ilmiah ini terdiri dari lima bagian. Bagian pertama menjelaskan latar belakang masalah, tujuan, dan sistematika penulisan. Pada sub bagian latar belakang dijelaskan mengenai dua perusahaan telekomunikasi yang memproduksi satu produk yang sama tetapi berbeda kualitas. Akibatnya harga produk masing-masing perusahaan tersebut berbeda. Bagian kedua menyajikan beberapa aspek teoritis yang akan digunakan dalam pembahasan. Bagian ketiga menyajikan formulasi masalah dalam bentuk matematis untuk lebih memperjelas pokok permasalahan dalam sub bagian latar belakang. Sedangkan untuk pengoptimuman profit perusahaan beserta kendala-kendala dari fungsi objektif akan disajikan pada bagian keempat. Bagian kelima menyajikan simpulan tentang hasil yang telah diperoleh dari pembahasan sebelumnya.
II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas beberapa aspek teoritis yang digunakan dalam pembahasan karya ilmiah. 2.1 Bundles dan Kondisi Single Crossing Menurut Tirole, J. (1990). Dalam suatu pasar, beberapa produk yang dihasilkan oleh perusahaan memiliki karakter yang berbeda antara produk satu dengan produk yang lain.
Dengan kata lain, produk perusahaan tersebut terdiferensiasi oleh beberapa karakter. Oleh karena itu, suatu produk dapat dinyatakan sebagai suatu bundles. Bundles adalah kumpulan karakter yang berisi kualitas, lokasi, waktu, ketersediaan, informasi tentang keberadaan dan kualitas. Setiap konsumen mempunyai penilaian atas variabel tersebut misalkan terhadap variabel kualitas dan lokasi.
9
Harga produk dijadikan signal yang menyatakan kualitas produk. Sehingga produk kualitas baik mempunyai harga yang lebih tinggi daripada produk kualitas biasa. Masingmasing konsumen dengan latar belakang pendapatan berbeda membutuhkan produk tersebut. Perbedaan latar belakang pendapatan menyebabkan perbedaan keinginan membayar produk. Konsumen dengan pendapatan tinggi mempunyai keinginan membayar lebih tinggi dibandingkan konsumen dengan pendapatan rendah. Sehingga konsumen dengan pendapatan tinggi cenderung akan memilih bundles yang tinggi. Menurut Armstrong, M. (1996). Kondisi yang memungkinkan konsumen dengan pendapatan tinggi memilih bundles yang tinggi disebut kondisi Single Crossing.
2.2 Diferensiasi Vertikal dan Diferensiasi Horisontal Diferensiasi vertikal terjadi karena perusahaan memproduksi beberapa produk dengan karakter berbeda. Pada diferensiasi produk secara vertikal, setiap konsumen mengetahui karakter produk yang dihasilkan oleh perusahaan, contohnya layanan yang diberikan oleh perusahaan. Misalkan PT Indosat memproduksi kartu mentari dan matriks. Mentari merupakan produk celullar berupa kartu sim pra bayar yang memiliki fitur dan fasilitas lengkap yang disesuaikan dengan kebutuhan pelanggan. Spesifikasi mentari adalah GSM 900/1800, sim card 8 kb, 16 kb, dan 32 kb. Matriks merupakan layanan produk celullar berupa kartu sim pasca bayar dengan spesifikasi dan fitur yang lebih canggih sehingga dapat memberikan sambungan lebih cepat, liputan lebih luas serta kualitas signal maupun suara yang lebih jernih dengan sinyal kuat. Spesifikasi matriks adalah GSM 900/1800/1900 dan sim card 64 kb. [Indosat, 2006] Pada diferensiasi secara horisontal, pilihan yang optimal bergantung pada kekhususan konsumen, contohnya lokasi. Misalkan diasumsikan hanya ada dua toko yang menjual produk telekomunikasi yang sama bentuk fisiknya contoh kartu perdana. Kedua toko tersebut dihubungkan oleh suatu jalan. Konsumen akan lebih senang membeli kartu perdana pada toko terdekat. Karena konsumen tersebut hanya mengeluarkan sedikit biaya transportasi dibandingkan konsumen membeli produk pada toko yang lebih jauh. Semakin jauh jarak konsumen
dari toko telekomunikasi berarti semakin besar biaya transportasi yang dikeluarkan. Pada diferensiasi secara horisontal hanya memperhatikan lokasi konsumen tanpa memperhatikan layanan yang diberikan oleh kartu perdana tersebut. 2.3 Diskriminasi Harga Diskriminasi harga adalah menjual dua unit output yang sama bentuk fisiknya dengan harga berbeda kepada konsumen yang sama atau konsumen yang berbeda. Diskriminasi harga tidak terjadi jika produk yang berbeda dijual kepada konsumen yang berbeda. Diskriminasi harga juga tidak terjadi jika perbedaaan dalam harga mencerminkan perbedaan dalam biaya pelayanan. Diskriminasi harga terdiri dari tiga jenis, yaitu: 1. Menurut Nicholson, W. (2002). Diskriminasi harga derajat satu atau diskriminasi sempurna adalah perusahaan menjual masing-masing unit produknya pada harga tertinggi yang dapat diperoleh. Atau dengan kata lain, diskriminasi sempurna adalah mengambil semua surplus konsumen yang tersedia dipasar. Surplus konsumen yang tersedia dipasar tersebut akan ditransfer menjadi laba perusahaan. Perusahaan mengetahui banyak tentang masing-masing konsumen sehingga dapat mengetahui berapa yang dapat dibayar oleh mereka. Diskriminasi sempurna digunakan dalam pemodelan karya ilmiah ini. Modelnya dinyatakan ketika perusahaan A dan perusahaan B yang menjual masing-masing unit produknya kepada konsumen dengan pendapatan rendah dan konsumen dengan pendapatan tinggi. 2. Menurut Tirole, J. (1990). Pada diskriminasi harga derajat dua, perusahaan mengamati beberapa signal yang berhubungan dengan kesukaan konsumen terhadap suatu produk misalkan lokasi, pelayanan, kualitas. Kemudian perusahaan menggunakan signal tersebut untuk membedakan harga produknya. Diskriminasi harga derajat dua digunakan dalam pemodelan karya ilmiah ini. Modelnya dinyatakan ketika perusahaan A yang memproduksi suatu produk dengan kualitas biasa dan perusahaan B yang memproduksi produk dengan kualitas lebih baik. 3. Menurut Nicholson, W. (2002). Diskriminasi harga derajat tiga adalah
10
strategi pemisahan pasar dengan membagi konsumen potensialnya menjadi dua atau lebih kategori dan menetapkan harga yang berbeda untuk tiap-tiap kategori. Diskriminasi harga derajat tiga tidak digunakan dalam model karya ilmiah ini.
atau jasa yang memberikan tingkat kepuasan yang sama. Pada tarif dua bagian yang optimal konsumen dengan tipe θ 1 memilih bundles B1 dan konsumen dengan tipe θ 2 memilih bundles B 2 . [perhatikan gambar 1]
2.5 Harga Tak Linier 2.4 Tarif dan Tarif Dua Bagian Tarif atau daftar harga adalah jumlah uang T yang dibayarkan oleh konsumen akibat mengkonsumsi sejumlah produk q. Tarif linier hanya dipengaruhi oleh satu harga atau T (q ) = pq . Tarif tak linier berhubungan dengan tarif dua bagian atau T (q ) = A + pq . A adalah biaya tetap dan p adalah harga marjinal.
Dalam sub bab 2.4 dinyatakan bahwa perusahaan menawarkan bundles {T , q} kepada konsumen. Jika konsumen tersebut membeli sejumlah q unit dan membayar sebesar T maka konsumen akan menerima utilitas sebesar θV (q ) − T (q ) . V (q ) adalah keinginan konsumen membayar sejumlah q produk. V (q ) direpresentasikan sebagai fungsi utilitas. θ adalah parameter harga produk yang dikonsumsi oleh konsumen. Ada dua mekanisme penentuan nilai θ , yaitu 1. Nilai θ ditentukan atas dua nilai. Misalkan nilai θ 1 menyatakan harga produk yang dikonsumsi oleh konsumen dengan permintaan rendah dan nilai θ 2 menyatakan harga produk yang dikonsumsi oleh konsumen dengan permintaan tinggi. 2. Nilai θ ditentukan sebagai suatu nilai kontinu yang berada dalam interval [θ , θ ] . Nilai
Gambar 1 Dengan permintaan konsumen yang heterogen dan diasumsikan perusahaan mengetahui kesukaan masing-masing konsumen maka perusahaan menawarkan bundles yang berisi harga dan kuantitas kepada konsumen. Pada tarif dua bagian ditawarkan pilihan bundles {T , q} yang terletak pada suatu garis lurus. Misalkan ada dua jenis konsumen yaitu konsumen dengan parameter θ 1 berada dengan lokasi λ dan konsumen dengan parameter θ 2 berada dengan lokasi 1 − λ . Diasumsikan bahwa θ 2> θ 1 dan perusahaan memproduksi saat biaya marjinal c < θ 1 < θ 2 . Karena θ 2> θ 1 maka konsumen dengan tipe θ 2 mempunyai kurva indiferens yang lebih curam daripada konsumen dengan tipe θ 1 ketika kurva berpotongan. Kurva indiferens adalah kurva yang menunjukkan seluruh kombinasi produk
θ
terdistribusi secara
seragam pada kelompok konsumen menurut fungsi kepekatan f (θ ) . Mekanisme kedua digunakan dalam pembahasan karya ilmiah ini. Untuk mekanisme pertama, perusahaan menawarkan dua bundles yaitu (q1 , T1 ) kepada konsumen tipe θ 1 yang berada dengan lokasi λ dan (q 2 , T2 ) kepada konsumen tipe θ 2 dengan lokasi 1 − λ . Diasumsikan perusahaan memberikan pelayanan kepada kedua konsumen tersebut. Maka profit perusahaan adalah Π = λ (T1 − cq1 ) + (1 − λ )(T2 − cq 2 )
Perusahaan memaksimumkan profit tersebut dengan bergantung pada dua kendala yaitu kendala individu rasional dan kesesuaian insentif. Kendala pertama atau kendala individu rasional menyatakan bahwa
11
konsumen berkeinginan untuk membeli produk perusahaan. Sehingga surplus bersih konsumen dengan permintaan rendah yaitu
θ 1V (q1 ) − T1 ≥ 0 Jika kondisi ini dipenuhi maka konsumen dengan permintaan tinggi juga berkeinginan untuk membeli produk tersebut. Karena konsumen tersebut dapat membeli q1 dengan harga T1 dan mendapatkan surplus sebesar θ 2V (q1 ) − T1 > 0 . Kendala kedua atau kendala kesesuaian insentif menyatakan bahwa konsumen dengan permintaan tinggi seharusnya tidak berkeinginan untuk membeli bundles rendah (q1 , T1 ) atau produk yang kurang berkualitas. Maksudnya konsumen tersebut merasa bangga membeli bundles tinggi (q 2 , T2 ) atau produk berkualitas. Maka kendala kesesuaian insentif adalah
θ 2V (q 2 ) − T2 ≥ θ 2V (q1 ) − T1 Kendala individu rasional disebut mengikat kebawah artinya konsumen dengan penilaian rendah terhadap produk cenderung untuk tidak membeli produk. Pada kasus tersebut perusahaan menghadapi kendala individu rasional yang mengikat kebawah. Sedangkan kendala individu rasional disebut mengikat keatas apabila diasumsikan ada produk substitusi yang dijual secara bersaing pada biaya marjinal c~ dengan c~ ≥ kc . Pada kasus tersebut perusahaan menghadapi kendala individu rasional yang mengikat keatas. Untuk mekanisme kedua, diasumsikan bahwa parameter θ terdistribusi pada sekelompok konsumen menurut fungsi kepekatan f (θ ) . Dengan fungsi sebaran kumulatif F (θ ) pada interval [θ , θ ] . Perusahaan menawarkan tarif tak linier T (q ) . Selanjutnya, konsumen dengan parameter θ membeli q (θ ) unit dan membayar T (q (θ )) . Maka profit perusahaan adalah θ
∫
Π = [T (q(θ )) − cq(θ )] f (θ )dθ
untuk membeli produk perusahaan. Untuk setiap nilai θ maka berlaku
θV (q(θ )) − T (q(θ )) ≥ 0
2.1
Kendala individu rasional 2.1 juga berlaku untuk konsumen dengan permintaan yang rendah ( θ ), artinya
θV (q(θ )) − T (q(θ )) ≥ 0
2.2
Surplus konsumen dengan permintaan tinggi ( θ ) tidak akan negatif karena konsumen tersebut dapat memilih bundles yang dikonsumsi konsumen dengan permintaan rendah ( θ ). Sehingga utilitasnya adalah
θV (q(θ )) − T (q(θ )) ≥ (θ − θ )V (q(θ )) ≥ 0 Kendala kesesuaian insentif menyatakan bahwa konsumen dengan permintaan tinggi seharusnya tidak berkeinginan untuk membeli bundles rendah atau produk yang kurang berkualitas. Maksudnya konsumen tersebut merasa bangga membeli bundles tinggi atau produk berkualitas. Maka kendala kesesuaian insentif adalah
θV (q(θ )) − T (q(θ )) ≥ θV (q(θ )) − T (q(θ ))
2.6 Adverse Selection Perusahaan menghadapi konsumen dengan pandangan berbeda. Oleh karena itu, perusahaan berkeinginan untuk mempelajari kekhususan konsumen. Perusahaan akan membebankan harga tinggi untuk konsumen dengan keinginan membayar yang tinggi dan harga rendah untuk konsumen dengan keinginan membayar yang rendah terhadap produk perusahaan. Keinginan membeli yang tinggi biasanya menandakan keinginan untuk membayar produk yang lebih tinggi. Hal ini memungkinkan adanya tarif tak linier.
2.7 Surplus Konsumen, Surplus Produsen, dan Profit
θ
Perusahaan memaksimumkan profit tersebut dengan bergantung pada dua kendala yaitu kendala individu rasional dan kesesuaian insentif. Kendala individu rasional menyatakan bahwa konsumen berkeinginan
Surplus bersih atau utilitas perusahaan adalah perbedaan antara total utilitas konsumen dengan biaya produksi. Surplus bersih akan maksimum ketika harga sama dengan biaya marjinal.
12
konsumen. Maka fungsi utilitasnya secara umum dapat didefinisikan yaitu ⎛ ⎜ ⎛ n u = u⎜ q 0 , ⎜ qi ρ ⎜ ⎜ ⎝ i =1 ⎜ ⎝
∑
1
⎞ρ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
[Tirole, J. 1990]
Gambar 2 Surplus produsen atau profit adalah tambahan nilai lebih yang diterima oleh produsen dari suatu produk yang melebihi biaya karena memproduksi produk itu atau daerah diantara kurva marjinal cost dan garis mendatar pada saat harga p 0 (gambar 2). Surplus konsumen adalah tambahan nilai yang diterima individu dari mengkonsumsi suatu produk dibandingkan dengan harga yang mereka bayar atau daerah antara kurva permintaan dan garis mendatar pada tingkat harga p 0 (gambar 2). 2.8 Utilitas Konsumen dan Fungsi Utilitas Utilitas konsumen adalah keinginan konsumen untuk membayar suatu produk perusahaan. Keinginan konsumen membayar produk dipengaruhi oleh penilaian konsumen terhadap produk tersebut. Konsumen dengan penilaian v akan membeli produk perusahaan, jika dan hanya jika harga produk p tidak melebihi penilaiannya atau v ≥ p. Utilitas konsumen diekspresikan dengan mata uang. Fungsi utilitas didefinisikan sebagai fungsi kuantitas (q) dari berbagai jenis produk. Pada model diferensiasi secara vertikal, perusahaan memproduksi beberapa jenis produk. Jenis produk yang pertama diproduksi oleh perusahaan disebut produk sektor pertama. Sedangkan jenis ke n produk yang berikutnya diproduksi oleh perusahaan disebut produk sektor kedua. Fungsi utilitas yang merepresentasikan kelompok konsumen bergantung pada dua argumen yaitu q 0 dan q i . Argumen q 0 adalah sejumlah produk sektor pertama yang dikonsumsi oleh konsumen. Argumen {q i }in=1 adalah sejumlah
n produk sektor kedua yang dikonsumsi oleh
Contoh : Suatu perusahaan memproduksi beberapa jenis produk. Produk yang pertama dihasilkan adalah produk jenis 0 dengan harga p 0 rupiah. Kemudian perusahaan tersebut memproduksi beberapa produk dengan jenis berbeda yaitu jenis 1 dengan harga p1 rupiah, jenis 2 dengan harga p 2 rupiah, jenis 3 dengan harga p 3 rupiah, jenis 4 dengan harga p 4 rupiah, jenis 5 dengan harga p 5 rupiah, jenis 6 dengan harga p 6 rupiah, dan jenis 7 dengan harga p 7 rupiah. Masing-masing produk tersebut memiliki karakter yang berbeda atau produk perusahaan tersebut terdifferensiasi secara vertikal. Sekelompok konsumen membeli setiap jenis produk perusahaan, yaitu sebanyak q 0 unit, q 1 unit, q 2 unit, q 3 unit, q 4 unit, q 5 unit, q 6 unit, q 7 unit. Maka fungsi utilitas konsumen tersebut adalah u (q1 , q 2 ,........, q 7 ) = p 0 q 0 + p1 q1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 .......... + p 7 q 7
atau dapat ditulis 7
u (q1 , q 2 ,........, q 7 ) = p 0 q 0 +
∑pq
i i
i =1
Dengan menggunakan bantuan software Mathlab akan diperlihatkan grafik fungsi utilitas konsumen. Dengan memberikan sembarang nilai kuantitas (q ) dari berbagai jenis produk yang dikonsumsi oleh konsumen misalkan nilai q 0 = 2 unit, q 1 = 5 unit, q 2 = 8 unit, q 3 = 11 unit, q 4 = 14 unit, q 5 = 17 unit, q 6 = 20 unit, q 7 = 23 unit. Sedangkan harga produk p 0 = Rp 500, harga p1 = Rp 1000, harga p 2 = Rp 2000, harga p 3 = Rp 3000, harga p 4 = Rp 4000, harga p 5 = Rp 5000, harga p 6 = Rp 6000, dan harga p 7 = Rp 7000.
13
Kemudian masukkan nilai-nilai tersebut kedalam fungsi utilitas u (q1 , q 2 ,........, q 7 ) . Maka diperoleh grafik fungsi utilitas yaitu
dengan x& = dx / dt . Misalkan diketahui keadaan system pada waktu t 0 = 0 , x(0) = x0 ∈ R . Jika dipilih peubah kontrol
u (t ) ∈ R yang terdefinisi untuk t ≥ 0 maka diperoleh persamaan diferensial orde satu dengan peubah tak tentu x(t ) . Karena x0 diberikan, maka (2.3) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap kontrol yang u dilambangkan dengan xu (t ) . Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, maka berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol u (t )
dan responnya, keadaan x(t ) dihubungkan dengan fungsi Gambar 3 T
Berdasarkan gambar 3, dapat disimpulkan bahwa fungsi utilitas merupakan fungsi concave.
2.9 Kontrol Optimum Teori kontrol optimum berkembang pesat pada tahun 50-an, dengan adanya penemuan dua metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu pemrograman dinamik (dynamic programming) oleh Bellman (1957) dan prinsip maksimum (maksimum principle) oleh Pontryagin (1962). Perhatikan suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Pada waktu t , sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state) tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variabel) x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t ) atau dalam bentuk vektor x(t) ∈ R . Dengan nilai t yang berbeda, vektor x (t ) menempati posisi yang berbeda ruang R . Dalam pembahasan ini persediaan teknologi adalah peubah keadaan (state variabel) x(t ) yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada bilangan fungsi kontrol/peubah kontrol yaitu u (t ) yang mempengaruhi proses. Dinamika sistem dapat dinyatakan secara sistematik melalui persamaan diferensial : x& = f (x (t ), u (t ), t )
(2.3 )
J (u ) =
∫f
0
(x(t ), u (t ), t )dt
(2.4)
t0
dengan f 0 fungsi tertentu yang diberikan. T tidak harus fixed (ditentukan) dan x(T ) mempunyai kondisi tertentu. Diantara semua fungsi/peubah kontrol yang diperoleh ditentukan salah satu sehingga J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Untuk lebih jelas, perhatikan definisi 1 dibawah ini. Definisi 1
(Definisi Masalah Kontrol Optimum)
Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol u * (t ) di antara fungsi admissible u (t ) ∈ U yang membawa sistem dari keadaan awal x0 kepada keadaan akhir atau terminal xT yang memenuhi kondisi akhir/terminal, melalui sistem x& (t ) = f (x(t ), u (t ), t ) sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah untuk memaksimumkan fungsional. max J [u (t )] =
u (t )∈U
T
∫f
t0
0
(x(t ), u (t ), t )dt
14
dengan kendala
1. 2.
x&(t ) = f (x(t ), u(t ), t ) , x(t0 ) = x0 , x(t) ∈Rn
Diantara semua fungsi peubah kontrol u (t ) ∈ U dipilih satu yaitu u * (t ) yang menyebabkan J mencapai nilai maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum [Seirstad dan Sydsaeter, 1987].
λ i merupakan konstanta
p(t ) kontinu dan memenuhi: (a) x& (t ) = f (x(t ), u (t ), t ) (b) p& = − Hˆ x
3.
(c) Hˆ u = 0 (d) ψ = 0 Hˆ x, u * , p, µ , t ≥ Hˆ (x, u , p, µ , t )
(
)
semua
(
u (t ) *
)
yang
untuk
memenuhi
ψ x, u , t = 0 . 2.10 Masalah Kontrol Optimum dengan Kendala Persamaan
Masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif J . max J [u (t )] =
T
∫f
0
(x(t ), u (t ), t )dt
t0
dengan kendala x&i (t ) = f (x(t ), u(t ), t ) , (1 ≤ i ≤ n)
ψ i ( x, u , t ) = 0 , ( 1 ≤ i ≤ q ≤ n ) T
I i (x ) ≡ φ i (x, u , t )dt − l i = 0 , ( 1 ≤ i ≤ m )
∫ 0
dengan l i = konstanta untuk ( i = 1,2,....., m ), f 0 , f i dan φ i diasumsikan fungsi well behaved. Masalah tersebut merupakan masalah kendala isoperimetrik dan kendala titik. Didefinisikan fungsi y i , yaitu
*
2.11 Pengali Lagrange
Masalah pengoptimuman (maksimum atau minimum) fungsi objektif dalam kehidupan nyata selalu bergantung pada beberapa kendala. Untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan beberapa kendala maka digunakan pengali Lagrange. Kuhn dan Tucker memperluas pengertian tersebut menjadi masalah optimisasi dengan kendala yang berupa persamaan dan pertidaksamaan. Misalkan pada kasus memaksimumkan fungsi objektif f (x ) terhadap kendala h(x ) dan g (x ) . Berdasarkan pengertian Kuhn dan Tucker maka masalah memaksimumkan f (x ) tersebut dapat juga ditulis, maksimumkan : f (x ) dengan kendala : h j (x ) = 0 , g j (x ) ≥ 0 ,
t
y i ≡ φ i (x, u , t )dt , ( 1 ≤ i ≤ m )
∫
j = 1,2,...., m j = m + 1,....., p
Teorema 1 (Pengali Lagrange)
0
y i (0 ) = 0, y i (T ) = l i , y& i (t ) = φ i (x, u, t ) .
Dengan demikian, kendala isoperimetrik sudah ditransfer menjadi kendala dalam bentuk persamaan diferensial. Selanjutnya, trayektori optimal harus memenuhi kendala titik ψ i (x, u , t ) = 0 . Didefinisikan fungsi Hamilton Hˆ yaitu
terturunkan. Maka ada sepasang vektor µ * dan λ* sehingga x* , µ * , dan λ* memenuhi hubungan berikut : (a) h j (x ) = 0 ,
j = 1,2,...., m
(b) g j (x ) ≥ 0
(c) µ j [ g j (x )] = 0
Hˆ = f 0 (x, u , t ) + pf (x, u , t ) + λφ (x, u, t )
(d) µ j ≥ 0
+ µψ (x, u, t )
Jika u * (t ) memaksimumkan J terdapat p(t ) , λ dan µ sehingga :
Jika x* adalah solusi dari kasus tersebut. Serta fungsi f (x ) , h j (x ) , dan g j (x ) adalah
(e) L(x, µ , λ ) = maka
∂f ( x) + ∂xk
m
⎡ ∂h j ( x) ⎤ ⎥− ∂xk ⎦
∑ λ ⎢⎣ j
j =1
15
p
∑
j = m +1
⎡ ∂g j ( x) ⎤ ⎥ =0, ⎣ ∂xk ⎦ k = 1,2,..., N
µj⎢
Persamaan (a), (b), (c), (d), dan (e) merupakan syarat perlu untuk solusi optimal pada kasus tersebut. [Ravindran, A., Philips, D.T. dan Solberg, J.J., 1987] 2.12 Fungsi Convex dan Concave Definisi 2.12.1 (Fungsi Convex )
Misalkan I adalah selang di R , maka f : I → R dikatakan fungsi convex jika untuk semua x, y ∈ I dan α ∈ [0,1] f (αx + (1−α) y) ≤ αf (x) + (1−α) f ( y)
(2.5)
jika pertidaksamaan (2.5) berlaku untuk semua x ≠ y dan α ∈ [0,1] , maka f dikatakan strictly convex. [Pecaric, J. E., Proschan, F. dan Tong, Y.L., 1992] Definisi 2.12.2 (Fungsi Concave)
Misalkan I adalah selang di R , maka f : I → R dikatakan fungsi concave jika untuk semua x, y ∈ I dan α ∈ [0,1]
f (αx + (1−α) y) ≥ αf (x) + (1−α) f ( y)
(2.6)
jika pertidaksamaan (2.6) berlaku untuk semua x ≠ y dan α ∈ [0,1] , maka f dikatakan strictly concave. [Pecaric, J. E., Proschan, F. dan Tong , Y.L., 1992] 2.13 Maksimum dari Argumen
Dalam matematika, argmax merupakan kepanjangan untuk maksimum dari argumen. Dengan kata lain, argmax adalah nilai argumen dimana nilai ekspresi yang diberikan mencapai nilai maksimumnya. Atau dapat dituliskan, arg max f (x ) ∈ {x ∀y : ( y ≠ x ⇒ f ( y ) < f ( x))} x
Persamaan tersebut akan terdefinisi jika nilai maksimum yang dicapai hanya disebabkan oleh satu nilai. Misalkan nilai tunggalnya
adalah x0 . Maka nilai x yang menyebabkan f (x ) mencapai maksimum adalah x0 atau dapat dituliskan x 0 = arg max f ( x ) . x
Contoh: arg max x (10 – x ) = 5 x
Karena nilai maksimum dari x (10 – x ) adalah 25, yang tercapai ketika x = 5. Dalam masalah memaksimumkan nilai suatu fungsi f (x ) yang dipengaruhi oleh banyak nilai x, maka argmax menyatakan suatu nilai tertentu sebagai solusi. [Wikipedia, 2006] 2.14 Sebaran Seragam
Misalkan X adalah peubah acak yang terdistribusi secara seragam pada interval [a, b] . Maka fungsi kepekatan f (x ) adalah f (x ) =
1 , b−a
a≤ x≤b.
Sedangkan f (x ) akan bernilai nol jika nilai x berada diluar interval tersebut. [Hogg, R.V. dan Craig, A.T., 1995] 2.15 Nilai Harapan
Misalkan X adalah peubah acak yang mempunyai fungsi kepekatan f (x ) . Sehingga nilai harapan dari X adalah E(X ) =
∞
∫ x f (x)dx
−∞
Nilai harapan merupakan rataan dari nilai peubah acak. Nilai harapan X dinotasikan dengan E ( X ) . [Hogg, R.V. dan Craig, A.T., 1995] 2.16 Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Definisi 2.16.1 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi F X : R → [ 0 ,1] yang diberikan oleh F X ( x ) = P ( X ≤ x ) . Misalkan ( adalah gugus kemungkinan nilai dari suatu peubah acak X , maka sifatsifat fungsi sebaran adalah 1
0 ≤ F ( x) ≤ 1 .
16
2 3 4
5
F ( x ) adalah fungsi tak turun. F ( y ) = 0 untuk y yang kurang dari nilai terkecil dalam ( . F ( z ) = 1 untuk setiap z yang lebih besar atau sama dengan nilai terbesar dalam ( . Jika X adalah peubah acak diskret, maka F ( x ) adalah fungsi tangga
Definisi 2.16.2 (Fungsi Kepekatan)
Fungsi kepekatan dari peubah acak diskret X adalah fungsi P : R → [ 0 ,1] yang diberikan oleh PX ( x ) = P ( X = x ) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
dan besarnya loncatan pada x ∈ ( menyatakan peluang PX (x) = P(X = x) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
III FORMULASI MASALAH Diasumsikan ada dua perusahaan tele komunikasi yaitu perusahaan A dan perusahaan B. Kedua perusahaan berada pada suatu garis lurus yang berjarak antara nol sampai satu. Perusahaan A berada pada titik nol dan perusahaan B berada pada titik satu. Masing-masing perusahaan memproduksi satu produk yang sama bentuk fisiknya tetapi berbeda kualitas. Kualitas produk perusahaan B lebih baik daripada kualitas produk perusahaan A. Harga produk perusahaan B lebih tinggi dibandingkan harga produk perusahaan A. Pilihan konsumen untuk membeli produk suatu perusahaan ditentukan oleh pendapatan konsumen dan harga produk perusahaan tersebut. Produk telekomunikasi dibutuhkan oleh setiap individu mulai dari konsumen dengan pendapatan rendah sampai konsumen dengan pendapatan tinggi. Karena harga produk perusahaan A lebih rendah daripada produk perusahaan B maka produk perusahaan A dapat dikonsumsi oleh semua individu tersebut. Sedangkan produk perusahaan B hanya sebagian individu yang dapat mengkonsumsinya, yaitu konsumen dengan pendapatan tinggi. Oleh karena itu, harga produk perusahaan A yang diperhatikan dalam karya ilmiah ini. Utilitas konsumen bergantung pada tiga hal yaitu jumlah produk ( q ), kualitas ( θ ), dan lokasi konsumen ( γ ). Kualitas ( θ ) dinyatakan dengan parameter harga karena harga sebagai signal yang menyatakan kualitas. Diasumsikan bahwa parameter θ terdistribusi secara seragam pada kelompok konsumen menurut fungsi kepekatan f (θ ) pada interval
[θ , θ ]
dimana
0 ≤θ <θ .
Karena f (θ ) terdistribusi secara seragam maka f (θ ) adalah fungsi konstan. Perusahaan A menawarkan tarif T (q ) kepada konsumen. Jika konsumen dengan parameter θ membeli produk perusahaan A sebanyak q(θ , γ ) unit dan membayar sebesar T (q(θ , γ )) maka surplus bersih perusahaan A akan maksimum akibat penjualan sejumlah produk tersebut. Jika konsumen tidak membeli produk maka surplus bersih perusahaan A adalah nol. Surplus bersih tersebut menyatakan konsumen dengan utilitas tertentu mengkonsumsi sejumlah q produk dan membayarkan sebesar T (q ) kepada perusahaan A. Utilitas tersebut dipengaruhi oleh pendapatan konsumen. Konsumen yang berada pada lokasi γ berarti berada pada perusahaan A dan konsumen yang berada pada lokasi 1 − γ berarti berada pada perusahaan B. Utilitas konsumen yang membeli produk perusahaan A adalah u (q, θ , γ ) dan utilitas konsumen yang membeli produk perusahaan B adalah u (q, θ ,1 − γ ) . Surplus bersih perusahaan A ( U a (θ , γ ) ) saat konsumen membeli produk sebanyak q(θ , γ ) unit dapat didefinisikan yaitu
U a (θ , γ ) ≡ maxq{u(q,θ , γ ) − T (q)}
(1)
Sedangkan q(θ , γ ) yang memaksimumkan u (q, θ , γ ) − T (q ) adalah q(θ , γ ) = arg max(u (q, θ , γ ) − T (q )) (2) q
Bukti : [Lihat lampiran 1]
17
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh U a (θ , γ ) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − T (q(θ , γ ))
(3)
Dari persamaan (3) diperoleh T (q(θ , γ )) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − U a (θ , γ )
(4)
Profit perusahaan A yang diperoleh ketika konsumen membayar sebesar T (q(θ , γ )) yaitu θ
∫
Π = [T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ )] f (θ )dθ
(5)
θ
Bukti : [Lihat lampiran 2]
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (5) maka diperoleh θ
Π=
∫ [u(q, θ , γ ) − cq − U ]f (θ )dθ θ a
(6)
Perusahaan A berkeinginan memaksimumkan profit tersebut sehingga fungsi objektifnya yaitu θ
max q ≥0
∫θ [u(q, θ , γ ) − cq − U ]f (θ )dθ a
(7)
Perusahaan memaksimumkan profit tersebut dengan bergantung pada dua kendala yaitu kendala individu rasional dan kendala kesesuaian insentif. Kendala pertama atau kendala individu rasional menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan tinggi dan konsumen dengan pendapatan rendah berkeinginan untuk membeli produk perusahaan A. Oleh karena itu, surplus bersih perusahaan A tidak akan negatif yaitu U a (θ , γ ) ≥ 0 .Untuk memaksimumkan surplus bersih perusahaan A yang bergantung pada parameter θ adalah sama dengan menurunkan secara parsial surplus bersih perusahaan A ( U a (θ , γ ) ) terhadap parameter θ . Maka diperoleh suatu persamaan diferensial yaitu ∂U a (θ , γ ) = uθ (q, θ , γ ) . Persamaan tersebut ∂θ menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produk pada perusahaan A dan konsumen dengan pendapatan tinggi merasa bangga membeli produk pada perusahaan B. Kendala
kedua atau kesesuaian insentif dinyatakan oleh persamaan tersebut. Ketika terjadi diskriminasi sempurna, akibatnya konsumen dengan pendapatan rendah yang mempunyai utilitas sebesar u (q a , θ , γ ) hanya mampu membeli produk yang dihasilkan oleh perusahaan A (c qa ). Kemudian perusahaan A mentransfer surplus konsumen tersebut sebesar u (q a , θ , γ ) − cq a menjadi surplus bersih perusahaan, yaitu
U a (θ , γ ) = u ( q a (θ , γ ), θ , γ ) − cq a (θ , γ ) > 0 Sedangkan konsumen dengan pendapatan tinggi yang mempunyai utilitas sebesar u (q b , θ , γ ) selain mampu membeli produk perusahaan B juga mampu membeli produk yang dihasilkan oleh perusahaan A (c qa ). Kemudian perusahaan B mentransfer surplus konsumen tersebut sebesar u (q b , θ , γ ) − cq a menjadi surplus bersih perusahaan, yaitu U b (θ ,1 − γ ) =
u(qb (θ ,1 − γ ),θ ,1 − γ ) − cqa (θ ,1 − γ ) > 0 Kedua produk perusahaan merupakan produk substitusi. Jika konsumen membeli suatu produk perusahaan dan produk tersebut rusak sebelum jangka waktu tertentu maka konsumen akan menderita kerugian. Oleh karena itu, perusahaan akan memberikan jaminan penuh terhadap produknya agar konsumen merasa aman membeli produk tersebut. Karena perusahaan akan mengganti produk yang rusak dengan produk yang baru. Adanya jaminan penuh menyebabkan harga produk tersebut lebih tinggi. Karena pemberian jaminan penuh dijadikan parameter untuk menilai kualitas suatu produk. Perusahaan A menghadapi kendala pemberian jaminan ketika konsumen yang membeli produknya mengaharapkan jaminan penuh dari perusahaan A. Sebelumnya diketahui bahwa harga produk perusahaan A lebih rendah daripada harga produk perusahaan B. Oleh karena itu, harapan konsumen tersebut termasuk kendala yang dihadapi perusahaan A ketika memaksimumkan profitnya. Untuk dapat mendukung berhasilnya pengoptimuman maka digunakan beberapa asumsi utama yang harus dipenuhi, yaitu :
18
Fungsi utilitas sedikitnya terturunkan tiga kali dan strictly concave terhadap q . Asumsi tentang fungsi utilitas u ( q , θ , γ ) dan u ( q , θ ,1 − γ ) adalah (a) u (0, θ ,⋅) = 0 (b) limq→0 uq (q,θ ,⋅) = ∞ (c) lim q →∞ u q (q,θ ,⋅) = 0 (d) uθ (⋅) > 0 (e) uqθ (⋅) > 0
(f) uθθ (⋅) ≤ 0 (g) u γ ( q , θ , γ ) < 0 (h) u γ ( q , θ ,1 − γ ) > 0
Untuk menyederhanakan permasalahan maka digunakan beberapa asumsi yang harus dipenuhi. Asumsi (a) menyatakan bahwa utilitas konsumen bergantung pada jumlah produk (q), kualitas produk ( θ ), dan lokasi konsumen ( γ ). Utilitas konsumen bernilai nol jika konsumen tidak mengkonsumsi sejumlah produk ( q sama dengan nol ). Asumsi (b) menyatakan bahwa jumlah produk yang diproduksi perusahaan harus sesuai dengan kebutuhan sekelompok konsumen. Jika produk yang diproduksi perusahaan terlalu sedikit ( q → 0 ), maka utilitas konsumen tersebut akan besar (tak hingga). Dengan kata lain, hanya sedikit konsumen yang mengkonsumsi produk tersebut. Akibatnya konsumen lain yang jumlahnya lebih banyak akan merasa sangat puas jika memiliki produk tersebut. Utilitas konsumen menggambarkan kepuasan dari sekelompok konsumen. Asumsi (c) menyatakan bahwa jumlah produk yang diproduksi perusahaan harus sesuai dengan kebutuhan sekelompok konsumen. Jika produk yang diproduksi perusahaan terlalu banyak ( q → ∞ ), maka utilitas konsumen tersebut akan kecil (nol). Dengan kata lain, sebagian besar konsumen telah banyak yang mengkonsumsi produk tersebut. Akibatnya sebagian besar konsumen akan merasa bosan jika memiliki produk tersebut. Asumsi (a) sampai (c) menjamin adanya solusi tunggal
atas pilihan konsumen mengkonsumsi sejumlah produk perusahaan. Jika asumsi (a) sampai (c) tidak dipenuhi maka pembelian produk perusahaan sejumlah q unit oleh sekelompok konsumen tidak menghasilkan solusi tunggal. Dibawah kondisi single crossing maka asumsi (d) menyatakan bahwa kurva indiferens konsumen dengan tipe berbeda berpotongan satu sama lain (lihat gambar 1), artinya konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produk perusahaan A dan konsumen dengan pendapatan tinggi merasa bangga membeli produk perusahaan B. Jika asumsi (d) tidak dipenuhi maka kendala kesesuaian insentif tidak ada. Pada asumsi (e) menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan tinggi memiliki keinginan membeli produk yang lebih tinggi daripada konsumen dengan pendapatan rendah. Keinginan membeli produk yang tinggi menandakan keinginan membayar yang lebih besar. Konsumen dengan pendapatan tinggi memiliki keinginan membayar yang lebih besar daripada konsumen dengan pendapatan rendah. Jika asumsi (e) tidak dipenuhi maka tarif tak linier tidak ada. Pada asumsi (f) menyatakan bahwa turunan orde kedua terhadap parameter θ diperlukan untuk menentukan jumlah q(θ , γ ) unit yang optimal kepada konsumen. Jika asumsi (f) tidak dipenuhi maka pembelian produk perusahaan sejumlah q(θ , γ ) unit oleh konsumen tidak akan memaksimumkan surplus bersih perusahaan. Asumsi (g) menyatakan jika konsumen membeli produk perusahaan A maka utilitasnya menurun karena lokasi tersebut. Sedangkan asumsi (h) menyatakan bahwa jika konsumen membeli produk perusahaan B maka utilitasnya meningkat karena lokasi tersebut. Asumsi (g) dan (h) memperlihatkan bahwa produk terdiferensiasi secara horisontal.
IV PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas mengenai kendala yang mendukung pembahasan dalam tulisan ini. Kendala tersebut disarikan dari jurnal [Jensen , 2000].
4.1 Kendala Individu Rasional
Perusahaan A menghadapi beberapa kendala saat memaksimumkan profit salah satunya adalah konsumen tidak berkeinginan
19
membeli produk telekomunikasi. Oleh karena itu, diasumsikan produk telekomunikasi sangat dibutuhkan konsumen. Sehingga kendala pertama individu rasional menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan tinggi dan konsumen dengan pendapatan rendah berkeinginan membeli produk perusahaan A. Akibatnya surplus bersih ketika konsumen membeli produk perusahaan A sebanyak q(θ , γ ) unit dan membayar sebesar T (q(θ , γ )) yaitu U a (θ , γ ) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − T (q(θ , γ )) ≥ 0 (8)
Ketika terjadi diskriminasi sempurna maka konsumen dengan pendapatan tinggi yang mempunyai utilitas sebesar u (q b , θ , γ ) selain mampu membeli produk perusahaan B juga mampu membeli produk yang dihasilkan oleh perusahaan A (c qa ). Konsumen dengan pendapatan tinggi memiliki utilitas yang strictly positif karena konsumen tersebut selain mampu membeli produk perusahaan B juga mampu membeli produk perusahaan A. Pernyataaan tersebut dituliskan dalam bentuk persamaan yaitu U b (θ ,1 − γ ) = u(qb (θ ,1 − γ ),θ ,1 − γ ) − cqa (θ ,1 − γ ) > 0
(9)
u (q(θ , γ ), θ , γ ) − T (q(θ , γ )) ≥ u(qb (θ ,1 − γ ),θ ,1 − γ ) − cqa (θ ,1 − γ ) > 0
atau dapat ditulis (10)
Kedua persamaan kendala individu rasional tersebut dituliskan dalam satu persamaan yaitu U a (θ , γ ) ≥ max{ U b (θ ,1 − γ ), 0}
Perusahaan A saat memaksimumkan profitnya juga menghadapi kendala yaitu perasaan kecewa konsumen yang membeli produk perusahaan A. Hal ini disebabkan kualitas produk perusahaan A yang rendah. Oleh karena itu, perusahaan A cenderung untuk mengurangi surplus bersihnya agar konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produknya. Sehingga kendala kesesuaian insentif menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produk pada perusahaan A dan konsumen dengan pendapatan tinggi merasa bangga membeli produk pada perusahaan B. Ketika konsumen membeli produk maka surplus bersih perusahaan A adalah U a (θ , γ ) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − t (θ , γ )
(( )
) ( )
≥ u q θ , γ ,θ , γ − t θ , γ
(11)
Didefinisikan bahwa
(
) (( )
) ( )
U a θ ,θ , γ = u q θ , γ ,θ , γ − t θ , γ
Persamaan (11) dapat ditulis
Jika diasumsikan tidak ada pembelian produk secara lanjutan artinya konsumen dengan pendapatan tinggi tidak berkeinginan lagi membeli produk perusahaan A. Maka kendala kedua individu rasional menyatakan bahwa surplus bersih perusahaan A lebih besar akibat konsumen dengan pendapatan rendah membeli produknya. Pernyataaan tersebut dituliskan dalam persamaan yaitu
U a (θ , γ ) ≥ U b (θ ,1 − γ )
4.2 Kendala Kesesuaian Insentif
U a (θ , γ ) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − t (θ , γ )
{( ( )
) ( )}
(12)
= max u q θ , γ , θ , γ − t θ , γ θ
Perusahaan A ingin memaksimumkan profit dengan bergantung pada kendala individu rasional dan kendala kesesuaian insentif yaitu θ
Max [t (θ , γ ) − cq(θ , γ )]f (θ )dθ
∫
(13)
θ
dengan kendala a)
∂U a (θ , γ ) = uθ (q(θ , γ ), θ , γ ) ∂θ
b)
U a (θ , γ ) = 0
c)
U a (θ , γ ) ≥ U b (θ ,1 − γ )
d)
∀θ ∈ [θ , θ ]
Kendala (a) merupakan kendala kesesuaian insentif sedangkan kendala (b) dan (c) merupakan kendala individu rasional. Masalah kontrol optimum tersebut diselesaikan dengan
20
mentransformasikannya menjadi dengan kendala persamaan yaitu
e)
+ λ (θ )uθ ( q, θ , γ ) + µ (θ )[U a − U b ] dimana
L = L(θ , q, U a , λ , µ ) = H (θ , q, γ , U a , λ ) + µ[U a − U b ]
µ (θ )
dan
λ (θ )
adalah
a*
pengali Lagrange. Jika U memaksimumkan fungsi objektif maka terdapat q > 0 sehingga diperoleh a)
∂L =0 ∂q
(14)
([uq (q, θ , γ ) − c] f (θ ) + λ (θ )uθq (q, θ , γ )) = 0 b)
∫ λ ' (θ )dθ = λ (θ )− λ (θ ) i
+
i
−
(18)
θi −
L = [u (q, θ , γ ) − U a − cq] f (θ )
Variabel biaya
θi +
masalah
∂L
=0 ∂U a ∂L ⇔ = (− f (θ ) + µ (θ ) ) ∂U a ∂L ⇔ = −( f (θ ) − µ (θ )) ∂U a
(15)
∂λ (θ ) ∂L =− = f (θ ) − µ (θ ) ∂θ ∂U a
(
)
⎛ ∂ ⎞ = β⎜ U a −U b ⎟ = β ≥ 0 a ⎝ ∂U ⎠
Karena asumsi menyatakan bahwa fungsi utilitas adalah kontinu dan strictly concave, sehingga Hamilton H (θ , q, U a* (θ , γ ), λ (θ )) adalah strictly concave pada q(θ , γ ) dan U a (θ , γ ) . Maka U a* (θ , γ ) dan q(θ , γ ) merupakan solusi yang optimum atau dapat juga dinyatakan bahwa ( q(θ , γ ) , U a* (θ , γ ) ) adalah pasangan solusi yang dapat diterima fungsi objektif pada persamaan (13). Dibawah kondisi single crossing dan dengan mengasumsikan suatu fungsi u (q, θ ,⋅) : uqθ (⋅) > 0 . Asumsi tersebut
memungkinkan perusahaan menawarkan tarif tak linier T (q(θ , γ )) kepada konsumen dengan pendapatan rendah dan konsumen dengan pendapatan tinggi. Ketika perusahaan A menawarkan produk sebanyak q(θ , γ ) dengan tarif sebesar T (q(θ , γ )) kepada sekelompok konsumen. Maka pembelian produk sebanyak q(θ , γ ) yang berhubungan dengan utilitas konsumen adalah kontinu dan memenuhi θ
U a* (θ , γ ) = uθ (q(s, γ ), s, γ )ds + U b (θ , γ )
∫
θ
c)
∂L =0 ∂λ ∂L ⇔ = uθ ( q, θ , γ ) ∂λ ⇔
µ (θ )[U a − U b ] = 0 µ > 0 ⇔ U a − U b = 0 atau µ = 0 ⇔ U a −U b > 0 , b µ ≥ 0 ⇔ [U a − U ] ≥ 0
∫ θ
(19)
Dari persamaan (4) dapat disimpulkan bahwa perusahaan A cenderung untuk mengurangi U a (θ , γ ) . Untuk mengetahui profit yang diperoleh perusahaan A ketika sekelompok konsumen membeli sebanyak q(θ , γ ) maka substitusi persamaan (19) ke persamaan (6) diperoleh
∂U a (θ , γ ) = uθ (q, θ , γ ) ∂θ
∂U a (θ , γ ) ∂L = = uθ (q, θ , γ ) ∂θ ∂λ
d)
θ
= uθ (q(s, γ ), s, γ )ds
(16)
(17) θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Π = ⎜ u (q, θ , γ ) − cq − uθ (q(s, γ ), s, γ )ds ⎟ ⎜ ⎟ θ ⎝ θ ⎠ θ
∫
f (θ )dθ
∫
21
θ
Π=
∫θ {[u(q(θ , γ ), θ , γ ) − cq(θ , γ )]f (θ ) − uθ (q(θ , γ ), θ , γ )[1 − F (θ )]}dθ
(20)
Dari persamaan (20) akan diperoleh Π = [u (q(θ , γ ), θ , γ ) − cq(θ , γ )] f (θ ) − uθ (q(θ , γ ), θ , γ )[1 − F (θ )]
(21)
d Π = 0 . Oleh Agar Π maksimum, maka dq karena itu, diferensialkan persamaan (21) terhadap q sehingga diperoleh u q (q, θ , γ ) = c +
1 − F (θ ) uθq (q, θ , γ ) f (θ )
(22)
Diketahui bahwa surplus bersih perusahaan A yaitu U a (θ , γ ) = u (q(θ , γ ), θ , γ ) − T (q(θ , γ )) . Diasumsikan bahwa q(θ , γ ) adalah tak turun dan T (q(θ , γ )) terdiferensiasi pada setiap θ maka diperoleh u q (q(θ , γ ), θ , γ ) − T ' (q(θ , γ )) = 0
(23)
Misalkan T ' (q ) ≡ p(q ) . Dari persamaan (23) diperoleh T ' (q (θ , γ )) = u q (q, θ , γ )
(24)
Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (22) maka diperoleh daftar harga tak linier yaitu p(q ) = c +
1 − F (θ ) uθq (q, θ , γ ) f (θ )
perusahaan akan mengganti produk yang rusak dengan produk yang baru. Adanya jaminan penuh menyebabkan harga produk tersebut lebih tinggi. Karena pemberian jaminan penuh dijadikan parameter untuk menilai kualitas suatu produk. Pemberian jaminan penuh menandakan kualitas produk yang tinggi. Oleh karena itu, pemberian jaminan penuh cenderung untuk menarik konsumen dengan pendapatan tinggi. Surplus bersih perusahaan A jika konsumen membeli produk sebanyak q(θ , γ ) yaitu
(25)
U a (θ , γ ) = u (q (θ , γ ), θ , γ ) − T (q (θ , γ ))
Dari persamaan (25) akan diperoleh p − c 1 − F (θ ) = p f (θ ) Diasumsikan bahwa tingkat resiko (Η ) atau layanan pemberian jaminan yaitu Η=
f (θ ) 1 − F (θ )
Tingkat resiko (Η ) meningkat seiring dengan harga ( θ ). Maksudnya produk dengan jaminan penuh lebih disukai konsumen (produk B) daripada produk tidak dengan jaminan penuh (produk A). Kendala pemberian jaminan menyatakan harapan konsumen untuk mendapatkan pemberian jaminan ketika membeli produk perusahaan A. Sebelumnya diketahui bahwa harga produk perusahaan A lebih rendah dibandingkan produk perusahaan B. Oleh karena itu, harapan konsumen tersebut termasuk kendala yang dihadapi perusahaan A saat memaksimumkan profitnya. Kendala pemberian jaminan dinyatakan oleh suatu persamaan yaitu R (θ , γ ) = U a (θ , γ ) − U b (θ ,1 − γ ) ≥ 0
4.3 Pemberian Jaminan
Jika konsumen membeli suatu produk perusahaan dan produk tersebut rusak sebelum jangka waktu tertentu maka konsumen akan menderita kerugian. Oleh karena itu, perusahaan akan memberikan jaminan penuh terhadap produknya agar konsumen merasa aman membeli produk tersebut. Karena
(26)
(27)
Jika R(θ , γ ) terdiferensiasi terhadap θ dan q(θ , γ ) kontinu maka kendala individu rasional disebut mengikat. Ketika konsumen dengan pendapatan rendah tidak membeli produk perusahaan B maka surplus bersihnya adalah U b (θ ,1 − γ ) = 0 . Maka surplus bersih perusahaan B ketika diskriminasi sempurna tidak akan negatif yaitu
22
R = (u (q, θ , γ ) − T (q )) − (u (q b , θ ,1 − γ ) − cq b )
U b (θ ,1 − γ ) ≡ u (q b , θ ,1 − γ ) − cq b − U b (θ ,1 − γ ) ≥ 0
(28)
Perubahan harga produk suatu perusahaan sebanding dengan pemberian jaminan penuh. Hal ini direpresentasikan oleh persamaan ∂R ≥ 0 . Substitusikan persamaan (3) dan ∂θ persamaan (28) ke persamaan (27), maka diperoleh
∂R ∂ (u (q, θ , γ ) − T (q )) = ∂θ ∂θ ∂ − (u(q b , θ ,1 − γ ) − cq b ) ≥ 0 ∂θ ∂R = uθ (q, θ , γ ) − uθ (q b (θ ,1 − γ ), θ ,1 − γ ) ≥ 0 . ∂θ
V SIMPULAN Perusahaan A menawarkan tarif T (q ) kepada konsumen. Jika konsumen dengan parameter θ membeli produk perusahaan A sebanyak q(θ , γ ) unit dan membayar sebesar T (q(θ , γ )) maka surplus bersih perusahaan A akan maksimum akibat penjualan produk tersebut. Profit perusahaan A yang diperoleh pada saat konsumen membayar sebesar T (q(θ , γ )) yaitu θ
∫ θ
Π = [T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ )] f (θ )dθ
Perusahaan memaksimumkan profit tersebut dengan bergantung pada dua kendala yaitu kendala individu rasional dan kendala kesesuaian insentif. Kendala individu rasional menyatakan bahwa seluruh konsumen berkeinginan untuk membeli produk perusahaan A. Oleh karena itu, surplus bersih perusahaan A tidak akan negatif yaitu U a (θ , γ ) ≥ 0 . Kendala kedua atau kesesuaian insentif dapat dinyatakan oleh persamaan ∂U a (θ , γ ) diferensial, yaitu = u θ ( q, θ , γ ) . ∂θ Persamaan tersebut menyatakan bahwa konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produk pada perusahaan A dan konsumen dengan pendapatan tinggi merasa bangga membeli produk pada perusahaan B. Ketika perusahaan A menawarkan produk sebanyak q(θ , γ ) dengan tarif sebesar T (q(θ , γ )) kepada sekelompok konsumen. Maka pembelian sebanyak q(θ , γ ) unit yang berhubungan dengan utilitas konsumen adalah
θ
U a* (θ , γ ) = uθ (q(s, γ ), s, γ )ds
∫
θ
Perusahaan A cenderung mengurangi surplus bersihnya agar konsumen dengan pendapatan rendah merasa senang membeli produknya. Sehingga diperoleh profit perusahaan A yaitu θ ⎛ θ ⎞ ⎟ ⎜ Π = ⎜ u (q, θ , γ ) − cq − uθ (q(s, γ ), s, γ )ds ⎟ ⎟ ⎜ θ ⎝ θ ⎠
∫
∫
f (θ )dθ θ
Π=
∫ {[u(q(θ , γ ), θ , γ ) − cq(θ , γ )]f (θ )
θ
− uθ (q(θ , γ ), θ , γ )[1 − F (θ )]}dθ
maka diperoleh daftar harga tak linier yaitu p(q ) = T ' (q ) = c +
1 − F (θ ) uθq (q, θ , γ ) f (θ )
Harga produk yang dibayar oleh konsumen bergantung pada kualitas produk dan pemberian jaminan.
23
VI DAFTAR PUSTAKA Armstrong, M. 1996. Multi product Non linear Pricing. Econometrica 64(1): 51 – 75. Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. New Jersey: Prentice Hall. Indosat, 2006. Cellular. http://www.indosat.com/Content. asp?mid=217. [21 Desember 2006] Jensen, S. 2001. Price Discrimination and Three Part Tariffs in a Duopoly. Norwegian School of Economics, Bussiness Administration, Telenor Research and Development. Discussion paper [maret 2000]. Laffont, J. J. dan Tirole, J. 1986. Using Cost Observation to Regulate Firms. Journal of political Economy 94(3) : 615 – 641. Nicholson, W. 2002. Mikro Intermediate. Jakarta: Erlangga.
Ekonomi
Pecaric, J.E. Pronschan, F. dan Tong, Y.L. 1992. Convex Function, Partial Ordering, and Statistical Applications. Academic Press. New York. Ravindran, A. Philips, D.T. dan Solberg, J.J. 1987. Operations Research Principles and Practice. John wiley & Sons. Singapura. Rochet, J.C. dan Chone, P. 1998. Ironing , Sweeping , and Multidimensional Screening. Econometrica 66(4) : 783 – 826. Spence, A.M. 1980. Multi product Quantity Dependent Prices and Profitability Constraints. Review of economic studies 47: 821 – 842. Tirole, J. 1990. The Theory of Industrial Organization. The United States of America: Hamilton Printing. Tu, P.N.V. 1994. Dynamical System : an Introduction with Application in Economic and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag. Berlin. Tu, P.N.V. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with
Economics and Management Applicatiors. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag. Berlin. Wikipedia. 2006. Arg max. http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_max. [21Desember 2006]
24
LAMPIRAN
25
Lampiran 1
Diketahui perusahaan A memproduksi sejumlah q produk. Kemudian perusahaan A menawarkan sejumlah produk tersebut kepada sekelompok konsumen. Jika konsumen membeli produk sebanyak q(θ , γ ) unit yang disediakan perusahaan A maka surplus bersih perusahaan A ( U a (θ , γ ) ) adalah U a (θ , γ ) ≡ maxq{u(q,θ , γ ) − T (q)}
(1)
Makna persamaan max q {u (q, θ , γ ) − T (q )} adalah nilai maksimum fungsi u (q, θ , γ ) − T (q ) dari suatu nilai q tertentu. Karena perusahaan A memproduksi sejumlah q produk maka sekelompok konsumen merasa senang dan membeli sejumlah q produk yang dihasilkan perusahaan A tersebut. Sehingga surplus bersih perusahaan A maksimum akibat sejumlah q produknya dibeli oleh sekelompok konsumen tersebut. Berdasarkan pada pengertian maksimum dari argumen ( pada sub bab 2.13 ) maka q tertentu yang memaksimumkan u (q, θ , γ ) − T (q ) dapat dituliskan dengan argmax, yaitu q(θ , γ ) = arg max(u (q, θ , γ ) − T (q )) . q
26
Lampiran 2
Diketahui parameter θ tersebar secara seragam menurut fungsi kepekatan f (θ ) pada interval Perusahaan A menawarkan tarif T (q ) kepada konsumen. Jika konsumen dengan parameter θ membeli produk perusahaan A sebanyak q(θ , γ ) unit dan membayar sebesar T (q(θ , γ )) maka profit yang diperoleh perusahaan adalah tarif yang dibayarkan oleh konsumen dikurangi biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi sejumlah produk tersebut (berdasarkan pengertian profit pada sub bab 2.7). Dengan kata lain, profit perusahaan A adalah T (q ) − cq . [θ , θ ] .
Dalam karya ilmiah ini, profit perusahaan bergantung pada parameter θ . Karena diketahui bahwa parameter θ mempunyai nilai yang bervariasi yaitu θ < θ 1 < θ 2 < θ 3 < ........... < θ . Maka profit perusahaan juga bervariasi. Ilustrasi
nilai profit untuk θ < θ 1 < θ 2 < ........... < θ adalah : Untuk harga θ 1 maka profit yang diperoleh perusahaan adalah T (q(θ 1 , γ )) − cq(θ 1 , γ ) . Untuk harga θ 2 maka profit yang diperoleh perusahaan adalah T (q (θ 2 , γ )) − cq(θ 2 , γ ) . Untuk harga θ 3 maka profit yang diperoleh perusahaan adalah T (q (θ 3 , γ )) − cq(θ 3 , γ ) . Dan seterusnya.
Karena nilai profit bervariasi maka harus dicari nilai harapannya (nilai rata-rata). Berdasarkan pengertian nilai harapan pada sub bab 2.15, maka nilai harapan dari T (q (θ , γ )) − cq(θ , γ ) adalah θ
E [T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ )] = T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ ) f (θ )dθ
∫
θ
Nilai harapan tersebut merupakan rata-rata dari nilai profit yang bervariasi. Profit dilambangkan θ
∫
dengan simbol Π . Maka profit perusahaan A adalah Π = [T (q(θ , γ )) − cq(θ , γ )] f (θ )dθ . θ
