Banyaknya penelpon di waktu sibuk (jam kerja)
Operator telepon terbatas
Penelpon menunggu dilayani Teori yang menyangkut studi matematis dari antrianantrian
A.K. Erlang tahun 1910 Proses antrian Sistem antrian Teori Antrian
Keadaan sistem
Analisis
Teori Antrian
Ukuran Performansi
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian
Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem
Panjang antrian rata-rata
Probabilitas sistem pelayanan akan kososng
Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem
Kedatangan Sistem Antrian
Karakteristik/ komponen Disiplin antrian
Fasilitas pelayanan
Pola kedatangan Pola waktu pelayanan Desain fasilitas pelayanan Disiplin antrian Ukuran antrian Sumber input Perilaku pelanggan
Pola kedatangan
Deterministik
Probabilistik Waktu antar kedatangan pelanggan yang berurutan
Deterministik Pola waktu pelayanan Probabilistik
Waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.
Seri Desain fasilitas pelayanan
Paralel
Gabungan
1
2
3
1
4
FCFS (First Come First Served)
LCFS (Last Come First Served) Disiplin antrian SIRO (Service in Random Order)
Service Priority
Kapasitas antrian/ kapasitas tempat mengantri
Terbatas Ukuran antrian Tidak terbatas
Terbatas Sumber input Tidak terbatas
Jockeying Reneging
Balking
Perilaku pelanggan
Pelayan 1
Pelayan 2
1
1
2
2
3 4
Balking
5 Jockeying
6 7
Reneging
Contoh Antrian
Distribusi probabilitas Poisson paling sering digunakan bila kedatangan didistribusikan secara random. Distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah variabel random mempengaruhi kedatangan. Bila pola kedatangan individu mengikuti distribusi poisson maka waktu antar kedatangan adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial.
HUBUNGAN DISTRIBUSI POISSON DAN EKSPONENSIAL Sistem antrian yang dipelajari disini yaitu banyaknya kedatangan dan kepergian (selesainya pelayanan) selama interval waktu tertentu dinyatakan dalam kondisi sebagai berikut: Kondisi 1 Probabilitas terjadinya kegiatan antara waktu t sampai t+h hanya bergantung pada kejadian yang terjadi selama selang h saja (banyaknya kejadian sebelum waktu ke-t tidak akan mempengaruhi kejadian selama selang waktu h) Kondisi 2 Probabilitas bahwa dalam selang waktu h yang sangat kecil akan terjadi suatu event yaitu positif dan ≤ 1 Kondisi 3 Paling banyak satu kejadian yang bisa terjadi selama selang waktu h yang sangat kecil
Pn(t)Probabilitas akan terjadi n event dalam waktu t maka (untuk n =0): Kondisi 1
P0 (t + h) = P0 (t ).P0 (h)
Kondisi 2
0 < P0 ( h ) ≤ 1
Event
dipenuhi jika P0 ( t ) = e − α t ; t ≥ 0
α = konstan positif
kedatangan
α = laju kedatangan
kepergian
α = laju kepergian
per satuan waktu
untuk h → 0 maka (αh) 2 (αh) 3 P0 (h) = e = 1 − αh + − + ..." (deret McLaurin)" 2! 3! P0 (h) ≅ 1 − αh −αh
Kondisi 3
P1 ( h ) = 1 − P0 ( h ) ≅ α h
Misal :f (t ) = pdf dari interval waktu antara 2 event yang ∞ berurutan, t ≥0 F (t ) = fungsi densitas kumulatif dari t F(t) = ∫ f (x)dx 0
Jika T = interval waktu sejak terjadinya event berakhir maka P {waktu antar 2 event ≥ T} = P { tidak ada event yang terjadi selama T } −αT atau P{t ≥ T } = P0 (T ) = e ∞
Jadi,
∫
f (t ) dt = e −αT ⇒
T
∫
−αT f (t ) dt = 1 − e −αT ⇒ P(t < T ) = 1 − e
−∞
T
P(t < T) = F(T) =1− e−αT ⇒ f (T) =
f (T ) = αe−αT ;T > 0 E(T ) =
1
α
d F(T) dt
distribusi eksponensial untuk waktu antar 2 kejadian
satuan waktu
rata – rata interval waktu antar 2 kejadian
Contoh Soal (Distribusi Kedatangan & Kepergian) Sebuah mesin selalu memiliki unit cadangan untuk digunakan sebagai pengganti jika terjadi kerusakan. Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu adalah ekponensial dengan mean 10 jam. Kerusakan terjadi dengan laju 0.1 kejadian perjam, berapakah probabilitas kerusakan terjadi dalam 5 jam ?
Pn(t)=Probabilitas terdapat n (n > 0) kedatangan selama interval waktu t maka untuk h > 0 dan h →0 berlaku : terdapat n kedatangan selama waktu t , dan terdapat 0 kedatangan selama waktu h, Pn (t + h) = P atau terdapat (n-1) kedatangan selama waktu t , dan terdapat 1 kedatangan selama waktu h
(λ t ) n e − λ t Pn (t ) = n!
Mean = λt Variansi = λt
n =0,1,2,…
Distribusi dari “banyaknya kedatangan selama interval waktu t “
λ = laju kedatangan
Distribusi waktu antar kedatangan ~ Eksponensial dengan mean 1/λ
Proses Kepergian (Selesainya Pelayanan) ASUMSI
SISTEM
LAJU KEPERGIAN (µ)
tidak ada obyek baru yang masuk dalam sistem
N OBJEK (PELANGGAN)
n OBJEK (PELANGGA N)
Misal, q n (t ) probabilitas terjadi n kepergian selama waktu t. Untuk h 0, maka terdapat kepergian).
Untuk h > 0, maka kepergian).
q 0 (h) = e
− µh
≅ 1 − µh
q 1 (h) = 1 − q 0 (h) ≅ µh
(tidak
(terdapat 1
q
(t + h ) ≅
N
q '
q
n
0
q '
q
0
(t ) = − µ q
(t + h ) ≅ (t ) =
(t ) + q
N − 1
N
(t + h ) ≅ q
n
q '
q
(t ) =
N
q
n n
q
− µ q
N
− 1
(t ) µ
( t )( 1 − µ h ) + q (t ) + q
0 0
(t ) µ h
n −1
(t ) µ
( t )( 1 − µ h ) (t )
n −1
(t ) µ h
Diperoleh, (µt)n e q (t ) = n n!
− µt
N −1 q (t ) = 1 − ∑ q (t ) N n n = 0
Waktu pelayanan ~ Distribusi Eksponensial dengan mean 1/μ.
CONTOH KASUS (PROSES KEPERGIAN).
p
5
(t ) =
( 3 t )15 − 5 e − 3 t ( 15 − 5 )!
Hari ke-t 1
2
3
4
5
6
µt
3
6
9
12
15
18
P5(t)
0.0008 0.0413
0.1186
0.1048
0.0486 0.015
probabilitas tertinggi untuk pemesanan ulang terhadap barang
p
(t) = p (t) + p (t) + p (t) + p (t) + p (t) + p (t) n ≤5 0 1 2 3 4 5 = 1 − [p (t) + ....... + p (t)] 6 15 15 (3t) (15 − n) e ( − 3t) = 1− ∑ (15 − n)! n =6 Hari ke-t 1
2
3
4
5
6
µt
3
6
9
12
15
18
Pn≤5(t)
0.0012
0.0839
0.4126
0.7576
0.9303
0.9847
probabilitas monoton naik seiring dengan pemesanan pada hari ke-t.
15 Ε[n | t = 6] = ∑ np (6) n n =0 =0 n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pn(6) .792 .0655 .0509 .0368 .0245 .015 .0083 .0042 .0018 .0007 .0002 .0001
Pn(6) ≅ 0 , untuk n = 12, 13, 14, 15. Ε[n | t = 6] = 0.5537
Notasi Kendall untuk merinci suatu ciri dari antrian adalah (a/b/c) : (d/e/f), dimana: a : distribusi kedatangan b : distribusi kepergian (selesainya pelayanan) c : banyaknya fasilitas pelayanan d : disiplin antrian e : banyaknya pengantri maksimal yang diizinkan berada dalam sistem pelayanan (yang antri dan yang sedang dilayani) f : ukuran sumber input
Model Antrian untuk a dan b biasanya digunakan notasi sebagai berikut: M : jika distribusi kedatangan dan kepergian Poisson D : waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan diketahui dengan pasti (deterministik) Ek : distribusi waktu antar kedatangan dan pelayanan Erlang atau Gamma GI: jika distribusi kedatangan General Independent untuk d digunakan notasi: GD: jika digunakan disiplin antrian Dalam pembahasan ini akan dijelaskan model– model dengan distribusi kedatangan dan kepergiannya berdistribusi Poisson dan disiplin antriannya GD.
MODEL ANTRIAN Ukuran Performansi Pn → Ls → Ws → Wq → Lq ∞
∑
nPn n =o
Ls / λ
λWq
W s -1/λ ᴥ λ Laju kedatangan
ᴥPn adalah probabilitas terdapat n objek yang berada dalam sistem ᴥ Ls adalah ekspektasi banyaknya objek (pengantri) dalam sistem ᴥ Ws adalah ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (dalam antrian + dalam pelayanan) ᴥ Wq adalah ekspektasi waktu menunggu dalam antrian ᴥ Lq adalah ekspektasi banyaknya objek (pengantri) dalam antrian (tidak termasuk yang sedang dilayani
(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) Model Antrian (M / M / 1) : ( GD / N / ∞)
(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) Distribusi Poisson
1 pelayanan
Laju kedatangan λ
General disiplin
Laju kepergian μ
λ ρ= µ
ρ Ls = 1−ρ rata-rata banyaknya objek dalam sistem 2
Lq =
Tidak ada batasan sumber input
ρ
1−ρ
rata-rata banyaknya objek dalam antrian
Tidak ada batasan kapasitas sistem pelayanan
1 Ws = µ(1− ρ) rata-rata waktu menunggu dalam sistem
Wq =
ρ
µ(1−ρ)
rata-rata waktu menunggu dalam antrian
(M / M / 1) : ( GD / N / ∞) ,
Batas maksimal N → panjang maksimal N-1
λeff ,
laju kedatangan dari objek yang bisa bergabung dalam antrian
λeff < λ Pn =
LS =
1− ρ n ρ N +1 1 − ρ
1 N +1
ρ ≠1 ρ =1
n = 0 ,1, 2 ,..., N
ρ {1 − ( N + 1) ρ N + N ρ N + 1 } (1 − ρ )( 1 − ρ N + 1 ) N 2
ρ =1
ρ ≠1
P [ terdapat 1 kedatangan yang tidak bisa masuk antrian karena penuh ] =PN
P{n > N } = 1 − PN
Jadi,
λeff = λ(1− PN ) Lq Lq Wq = = λeff λ(1− PN ) λeff λ(1− PN ) LS = Lq + = Lq + µ µ LS LS 1 = WS =Wq + = µ λ(1− PN ) λeff λeff = µ(LS − Lq ) = λ(1− PN )
Contoh Soal Sebuah salon mempekerjakan satu orang sebagai tukang potong rambut. Pada hari sabtu pelanggan yang datang cukup membuat sibuk pegawainya. Kedatangan pelanggan berdistribusi poisson dengan tingkat rata-rata kedatangan 5 pelanggan per jam. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit per pelanggan. Jika ruang tunggu salon hanya tersedia 4 kursi tunggu, berapa lama waktu tunggu dalam sistem?
Penyelesaian: pelanggan per menit atau
pelanggan per jam
maka
Dalam satu jam-nya, rata-rata pelanggan yang membatalkan antriannya pelanggan per jam. karena penuh adalah Rata-rata waktu tunggu sampai mobil selesai dicuci
Jadi,
jam
