Pendahuluan Teori Ensembel dan Ensembel Mikrokanik. Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7

Pendahuluan Teori Ensembel dan Ensembel Mikrokanik

Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7

Ruang Fasa Klasik (Classical Phase Space) • Model : Gas dalam volum V sejumlah N partikel klasik yang terbedakan. • Satu keadaan dari sistem ini dikarakterisasi oleh 1 buah koordinat di ruang fasa yang berdimensi 6N yaitu : (q1,..,qN, p1,…,pN) dengan qk adalah posisi partikel ke-k dan pk: momentum partikel ke-k. Titik ini disebut juga titik fasa (phase point) • Ruang fasa  terdiri dari 6 koordinat (x,y,z, Px,Py,Pz), setiap keadaan 1 partikel diwakili oleh 1 titik. • Ruang yg berdimensi 6N, dengan koordinat di atas disebut ruang fasa (Γ). Sketsa gambar berikut ini menunjukkan hubungan ruang fasa  dan Γ dalam menggambarkan 1 sistem N partikel yang sama:

Ruang Fasa  dan  P1,…,pN

(Px, py, pz)

1 sistem N partikel

1 partikel 1 sistem N partikel saat t tertentu 1 sistem N partikel

Simbolik Ruang Fasa 

r(x,y,z)

r1,…,rN Simbolik Ruang Fasa Γ

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian) Dinamika sistem N partikel dinyatakan oleh koordinat posisi sebanyak 3N q={q1,…,qN} dan momentum p={p1,p2,…pN}, dengan qk, pk : koordinat vektor posisi dan momentum partikel ke –k.

Misal hamiltonian sistem diberikan oleh : H= H(p1,p2,…pN, q1,q2,…qN,), maka persamaan gerak sistem diberikan oleh (perkomponen): p j  

H q j

q j  

H q j

j  1,..,3 N

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian) • Spefisikasi keadaan 1 sistem N partikel ini akan diberikan oleh 3N+3N koordinat posisi dan momentum {q,p}. • Tiap titik di ruang fasa Γ mewakili satu keadaan system pada suatu saat t. • Evolusi sistem N-partikel ini akan berupa trayektori di ruang fasa Γ. Jika sistem bersifat konservatif (kekekalan energi), maka berlaku H(q,p)= E= konstan.

Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan • Misal gas dengan keadaan makroskopik tertentu (misal P,V,T tertentu) akan terkait dengan sejumlah sangat besar keadaan mikroskopik {q,p} yang semuanya terkait dengan keadaan makroskopik yang sama tsb.

• Kumpulan dari sistem-sistem dengan keadaan makroskopik yang sama ini disebut sebagai ENSEMBEL. • Dalam limit thermodinamika (N--> , N/V : berhingga}, maka kumpulan titik-titik di ruang fasa tsb dapat didekati sebagai kontinuum.

Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan • Sehingga jumlah total keadaan mikroskopik di ruang fasa tsb, akan diberikan oleh volume sbb:  (q, p, t )d 3 N qd 3 N p : jumlah seluruh keadaan mikroskopik sistem yang berada di dalam volum d3Np d3Nq. • Dengan fungsi ρ= ρ(q,p,t) disebut fungsi rapat keadaan yg menyatakan jumlah keadaan mikroskopik per satuan volum di ruang fasa. • Sehingga deskripsi lengkap evolusi sistem diberikan oleh evolusi fungsi ρ(p,q,t).

Kecepatan Evolusi Titik-titik Fasa Di ruang fasa, titik-titik fasa {q,p} akan bergerak dengan kecepatan yang diberikan oleh vektor kecepatan:

v  {q , p } • Gerak titik ini di Γ akan terbatas dalam volume di Γ sebab TOTAL ENERGI dan momentum sistem sudah tertentu dan terbatas. • Tinjau sekumpulan (ensembel) titik-titik representasi sistem yang terkait dengan makroskopik yang sama di ruang Γ. • Sejalan dengan t, titik-titik tsb akan bergerak (mengalir), pergerakan ini digambarkan oleh evolusi dari fungsi kerapatan ρ(q,p,t).

Rata-rata Ensembel • Dengan mengetahui ρ ini dapat dihitung rata-rata dari suatu besaran f tertentu (rata-rata ensembel):  f 



f (q, p)  (q, p, t )d 3 N qd 3 N p 3N 3N  ( q , p , t ) d q d p 

• Integral tsb prinsipnya dilakukan di seluruh ruang fasa 6N-D, akan tetapi secara efektif, hanya perlu dilakukan dimana ρ≠0 saja. • Suatu ensembel disebut stasioner kalau nilai ρ bukan fungsi waktu (t) secara eksplisit, yaitu jika  0 t

• • Untuk ensembel stasioner, maka nilai rata-rata ensembelnya juga tidak bergantung waktu, jadi independent dari waktu.

Teorema Liouville: Pergerakan Titik Representasi Tinjau suatu elemen volume dω dengan luas permukaan σ di ruang fasa Γ.   (p, q, t )d  t 

d  d qd p 3N

3N

n v

ω

dσ σ

Adalah Laju (rate) penambahan jumlah titik dalam elemen volum ω

Sedangkan laju netto arus titik-titik yang menembus keluar permuakaan batas σ:

  (p, q, t ) v  nˆ d

Persamaan Kontinuitas/Liouville Menurut teorema Divergensi Gauss maka :

 v  nˆ d     ( v)d

 q k p k    ( v )       q  p k 1  k k  3N

Dengan divergensi ruas kanan adalah:

Karena titik-titik representasi dlm ruang fasa kekal (tidak ada sumber atau sumur), maka berlaku hukum kekekalan jumlah titik representasi, sehingga:  Atau:

     (  v )   d  0   t 

d      ( v)d  t  

Pers. Ini harus berlaku tak peduli berapapun ukuran ω, sehingga mestilah:    ( v )  0 Pers. Kontinutas/Liouville: t

Teorema Liouville Jadi mestilah:

 3 N  q k p k     0 t k 1  q k p k 

3N   q p   3 N      q k  p k      k  k   0 t k 1  q k p k  p k  k 1  q k

Tetapi suku terakhir =0, sebab berlaku : p k H 2H p k     q k p k p k q k

q k p k  0 Sehingga: q k p k

q k H 2H q k    p k q k q k p k  2H  2H   0   q  p  q  p  p k 1  k k k k k  3N

atau Sedang suku kedua dapat dituliskan sbg:

   H  H q k  p k   qk pk qk pk pk qk

Teorema Liouville  d  3 N        qk  pk   0 t k 1  q k p k  dt

Berarti pers kontinutas menjadi: Atau dapat dituliskan sbg:

d    { , H }  0 dt t

Telah dipakai definisi Poisson Bracket : 3 N   H  H  { , H }       q  p  p  q k 1  k k k k  Berarti secara umum karena dρ/dt=0, maka jumlah titik kekal dan aliran titik tsb seperti fluida incompressible. Jikalau ensembel stasioner atau dalam Kesetimbangan maka akibatnya:

 0 t

atau

      q  p   k k0 p k  k 1  q k 3N

{ρ,H}=0

Postulate : Equal Apriori Probability Solusi dari kondisi stasioner ini adalah (1) jika: ρ independent dari q dan p! kons tan (q, p)   lainnya  0

 (q, p)  

Dengan ω adalah daerah dimana titik-titik fasa (microstate) memenuhi syarat batas persoalannya (macrostate yg sama) Nilai fungsi rapat keadaan ρ = konstan, artinya sembarang nilai (q,p) punya peluang nilai sama untuk muncul! Asal di dalam volume ω yg memenuhi syarat batas!

Postulate : Equal Apriori Probability Prinsip Equal Apriori Probability: Setiap keadaan mikroskopik (microstate) yg berkenaan dengan keadaan makroskopik (macrostate) yang sama (syarat batas), memiliki peluang yang sama untuk muncul atau terpilih. Akibatnya nilai rata-rata besaran f(q,p) diberikan oleh:  f

 

f (q, p)  (q, p, t )d 3 N qd 3 N p



Ensembel mikrokanonik

Ensembel Mikrokanonik C (q, p)    (q, p)    0 lainnya

2.   Hypershell

H (q, p)   / 2  E

3.   Hypervolumel H (q, p)  E

contoh: 

1.   Hypersurface H (q, p)  E

3N 3N   (q, p, t )d qd p  C

H  E  / 2

3N 3N  d qd p

H  E  / 2

  volume Hypershell

 f   rata-rata ensembel f = rata-rata thd waktu  f  =  rata-rata thd waktu f  2 perata2an ini independen = rata-rata waktu f dari 1 anggota ensembel untuk t lama sekali

= f terukur

Ensembel Mikrokanonik Jika 0  volume (fundamental) yg berisi 1 keadaan microstate, maka banyak keadaan untuk “volume” ω adalah:  

0

Kaitan mekanika statistik dengan thermodinamika diberikan oleh definisi entropi :

S  k ln 

Mengapa S=k ln Ω • Secara termodinamika, kesetimbangan termal terjadi jika temperatur sistem sama (T1=T2). • Bagaimana hal ini dipahami di Mekanika Statistik? • Definisikan Ω (N,V,E)= banyak microstate terkait dengan macrostate dengan nilai besaran (N,V,E) tertentu. • Tinjau 2 buah sistem makroskopik 1 dan 2 yg dipisah dinding diathermal. Gabungan sistem 1+2 terisolasi. • Asumsi N2, N1, • N1, N2 : masing-masing konstan E E1 2 V2 • V1, V2 : masing-masing konstan V1 • E0= E1+E2= konstan

Kesetimbangan Thermal Dalam Mekanika Statistik • Banyak keadaan sistem-1 : Ω1 (N1 ,V1 ,E1) • Banyak keadaan sistem-2 : Ω2 (N2 ,V2 ,E2) • Banyak keadaan sistem 1+2, dimana energi sistem 1: E1 dan sistem 2: E2 adalah: Ω (E1,E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E0-E1) • Kesetimbangan tercapai jika nilai E1 memaksimalkan Ω (E1,E2) • Saat kesetimbangan berarti : dΩ/dE1 =0  E1

 E1  E *1

1 ( E1 )  2 ( E2 )  2 ( E2 )  E1 E  E* E1 E 1

1

1 ( E1 )  0 2  E *2

Syarat Kesetimbangan Thermal  E1

 E1  E *1

1 ( E1 )  2 ( E2 )  2 ( E2 )  E1 E  E* E2 E 1

1

2  E *2

E2 1 ( E1 )  0 E1

• Karena E0=E1+E2, maka saat kesetimbangan thermal : 1 ( E1 )  2 ( E2 )  2 ( E2 )  E1 E  E* E2 E 1

1

1 ( E1 ) 2  E *2

1 1 ( E1 ) 1  2 ( E2 )  1 ( E1 ) E1 E  E*  2 ( E1 ) E2 E 1

1

 ln 1 ( E1 )  ln  2 ( E2 )  E1 E2 E  E* E 1

1

2  E *2

2  E *2

Kesetimbangan Thermal Dalam Mekanika Statistik • Bandingkan dengan kesetimbangan thermal menurut thermodinamika, yaitu T1= T2, dan S E

N ,V

1  T

• Maka ln Ω sebanding dengan S (entropi thermodinamika). Planck mengusulkan : S  k ln ( E )

• Dengan k: konstanta Boltzmann.

Kesetimbangan Thermal Dalam Mekanika Statistik • Dalam limit thermodinamika, formulasi yang ekivalen dari bentuk diatas adalah : S  k ln ( E ) S  k ln  ( E )

• Γ(E) : banyak keadaan dengan H < E • ρ(E) : density of states (dΩ/dE) atau rapat keadaan

Berapa Besar Fundamental Volume ω0? Tinjau kasus Osilator harmonis 1D. 1 2 p2 Hamiltonian sistem 1 partikel : H (q, p)  kq  2

2m

k q0 m q (t )  A cos(t   0 ) q 

Persamaan geraknya : Dengan solusi umum : 1

1

Energi total osilator E : E  kA2  m 2 A2 k  m 2 2 2 Persamaan trayektori di ruang fasa (q,p) untuk H=E=konstan  Permukaan 2 2 2

2

q p H E  E 2 / k 2m

q2 p2  1 2 E / k 2mE

q p  1 2 2 E / m 2mE

Persamaan Ellips

Berapa Besar Fundamental Volume ω0? p

• “Volume” (Luas) ellips di ruang fasa

2mE

2 E / m 2

A   2mE 2 E / m 2  

q

2E



• Luas kulit ellips dengan energi antara E-1/2 dan E-1/2: A

 dqdp 

E 1 / 2   H  E 1 / 2 

2



( E  1 / 2)  ( E  1 / 2)  2 

• Menurut Mekanika Kuantum, energy 1 Osilator Harmonis : En= (n+1/2)ћω

Menghitung Banyak Keadaan (semi klasik) • Jadi jarak antara 2 energi berdekatan E= ћω • Berarti nilai  terkecil :  = ћω • Luas terkecil di ruang fasa yang berisi 1 status keadaan: A 

2



h

• “Volume” fundamental di ruang fasa yg berisi 1 status keadaan:ω0=h • Hal ini berlaku umum, (px)terkecil berisi 1 status keadaan = h • Sehingga secara umum: untuk N partikel dalam V banyak status keadaan Ω: 



h3 N

Banyak Keadaan Ensembel Mikrokanonik • Jadi banyak status keadaan untuk ensembel mikrokanonik : 1 3N 3N 3N 3N   ( q , p , t ) d qd p  d qd p   3N h H  E  / 2 H  E  / 2 • Batasan Volume di ruang fasa di atas dapat diganti menjadi : hypersurface atau hypervolume

Strategi Menerapkan Ensembel Mikrokanonik 1. Dapatkan Hamiltonian sistem yang terisolasi 2. Tentukan “volume” di ruang fasa yg dipakai (alternative): H= E= konstan = hypersurface E-/2 < H < E+/2 : hypershell H < E = konstan : hypervolume 3. Hitung banyak keadaan microstate terkait: Ω, atau ρ atau Γ 4. Pakai definisi entropi S = k ln Ω, atau k ln ρ atau k ln Γ

Strategi Menerapkan Ensembel Mikrokanonik 5. Pecahkan persamaan U = fungs (S,V) dengan U=E= energi system 6. Pakai hubungan-hubungan Thermodinamika, misalnya:  U  T    S  V

 U   S  P     T     S  V  S  U

7. Pergunakan berbagai hubungan thermodinamika yg lain untuk mendapatkan berbagai besaran thermodinamika yg dikehendaki, misalnya

Strategi Menerapkan Ensembel Mikrokanonik A = U – TS G = U+PV – TS  U  CV     T V

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V Hamiltonian Partikel tunggal bebas : Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:

H

p x2  p y2  p z2

1 V 3 3 1    (q, p, t )d qd p  3  d q d p  3  h V h H E ( p 2  p 2  p 2 )  2 mE 3

2m

 dp dp dp

3

x

y

z

Integralnya = volume bola dalam ruang momentum dengan jari-jari, p2=2mE

x

4 V p  p 3 3

Sehingga banyak keadaannya :

1 ( p ) 

Atau dalam variabel energi :

1 ( E ) 

y

z

( p x2  p 2y  p z2 )  2 mE

p 2  2mE

4Vp 3 3h 3 4V (2mE ) 3 / 2 3h 3

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V Density of state (rapat keadaan, thd energi: d1 ( E ) 2V (2m) 3 / 2 E 1/ 2 g ( E )dE   dE 3 dE h

Dengan cara serupa akan kita turunkan untuk N partikel bebas dalam ruang volume V.

Gas Ideal dalam Volume V Hamiltonian N partikel bebas dalam volume V : 1 N 2 2 2 H p  p  p  ix iy iz 2m i 1

Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:  N    (q, p, t )d 3 N qd 3 N p  H E

VN N  3 h

 dp

1x

1 d 3N q 3N  h V

 pix2  piy2  piz2  2 mE

dp1 y dp1z  dp Nx dp Ny dp Nz

 pix2  piy2  piz2  2 mE

3 d  p 

Gas Ideal dalam Volume V Integralnya = volume hypersphere dalam ruang momentum dengan jari-jari, R2=2mE, sehingga volum hypersphere-nya adalah : V3 N ( R) 

 3N / 2 R3N 3N (  1) 2

 V3 N ( E ) 

 3 N / 2 (2mE ) 3 N / 2 (

3N  1) 2

Dengan Γ(x) : fungsi gamma! Jadi banyak keadaan dalam hypervolume dengan H <=E: N

3N / 2 (2mE ) 3 N / 2 V   3 N ( E )   3  3N h  (  1) 2

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Definisi entropi diberikan oleh Entropi S : S= k ln Ω Untuk N besar dapat dipakai aproksimasi Stirling : ln x!  xlnx - x     3 N / 2      V  3N    N ln 3   S ( E , V )  k ln  3 N ( E )  k ln ln(2mE ) h  2   ( 3 N  1)      2      3 N / 2  3N 3N 3N 3N 3N 3N  ln ln   ln( )! ln   ln( )  3 N 2 2 2 2 2  (  1)  2  2  

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Sehingga entropi dapat diaproksimasi sbb:   4mE 3 / 2  3 Nk S ( E , V )  Nk ln V  2    2   3h N   Untuk menurunkan berbagai perilaku thermodinamika, tuliskan E sebagai fungsi E:  3h 2  N  2S   2 / 3 exp U  E ( S , V )    1  3 Nk   4m  V 2U  U  T     S V 3 Nk

Temperature T: atau Persamaan keadaan diperoleh dari : 2U NkT  U  P       V 3 V V  S

U

3 NkT 2

Paradox Gibbs Telah diturunkan entropi Gas Ideal is:   4mE 3 / 2  3 Nk S ( E , V )  Nk ln V  2    2   3h N  

Untuk gas ideal monoatomik telah diperoleh bahwa: 3 E  U  NkT 2 Sehingga S dapat ditulis ulang sbb:

S ( E , V )  Nk ln(Vu 3 / 2 )  Ns0 3 u (T )  kT 2

3k   4m  s0  1  ln 2  2   3h 

Paradox Gibbs • Sekarang, tinjau sebuah volume V yang disekat 2, masing V1 berisi N1 dan V2 berisi N2, sehingga V=V1+V2, N=N1+N2. • Misal kedua gas memiliki massa dan temperature yg sama. • Kemudian kedua gas tersebut diperbolehkan bercampur! Tentu suku u(T) tetap sama setelah pencampuran.

Pertanyaan : berapa perubahan entropi yang terjadi akibat pencampuran ini ?

Paradox Gibbs Entropi sistem mula-mula Si = S1+S2

Si  N1k ln(V1u

3/ 2

)  N1s0  N 2 k ln(V2u

3/ 2

)  N 2 s0

Entropi sistem setelah pencampuran: Sf

S f  Nk ln(Vu 3 / 2 )  Ns0  ( N1  N 2 )k ln((V1  V2 )u 3 / 2 )  ( N1  N 2 ) s0 Perubahan entropinya : S

S  S f  Si

S  Nk ln(V )  N1k ln(V1 )  N 2 k ln(V2 ) V V S  N1k ln( )  N 2 k ln( ) V1 V2

Karena V>V1 V>V2, maka S>0

Paradox Gibbs • Padahal kedua volum mengandung gas dengan temperatur sama dan massa sama (sejenis), • maka ketika dicampur tak ada alasan entropinya bertambah! • Bayangkan berapa entropinya jika partisi ruang V, banyak? • Entropi jadi tak terdefinisikan! (Kenapa?) Solusi Gibbs: Menghitung jumlah status keadaan salah, mestinya dibagi N! (tanpa ada penjelasan alasannya!) Buktikan hal ini tidak mempengaruhi fungsi-fungsi thermodinamika yang diperoleh dan mampu menjelaskan perubahan entropinya!

Prinsip Ekipartisi Umum Ada hubungan umum yang menarik antara temperatur, energi rata-rata sistem dan derajat kebebasannya. Misalkan Xi : pi atau qi dg i=1….,3N. Hitung nilai rata-rata (Xi H/ Xj ) dengan H: hamiltonian sistem. 𝜕𝐻 1 𝜕𝐻 >= 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 Γ 𝐸 𝜕𝑥𝑗 𝐸<𝐻<𝐸+𝑑𝐸 𝑑𝐸 𝜕 𝜕𝐻 = 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 Γ 𝐸 𝜕𝐸 𝐻<𝐸 𝜕𝑥𝑗 < 𝑥𝑖

Telah dipakai beberapa notasi dan sifat: dp dq  d3Npd3Nq

Prinsip Ekipartisi Umum Jika Σ 𝐸 = maka

𝐻<𝐸

𝑑𝑝𝑑𝑞𝑓

𝜕Σ 𝐸 Σ E + dE − Σ E = Γ 𝐸 = 𝜔 𝐸 𝑑𝐸 = ( )𝑑𝐸 𝜕𝐸 Γ 𝐸 =

= 𝐸<𝐻<𝐸+𝑑𝐸

− 𝐻<𝐸+𝑑𝐸

𝐻<𝐸

Selanjutnya mengingat E/ xi=0, maka:

𝜕𝐻 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 = 𝜕𝑥𝑗 𝐻<𝐸

𝜕(𝐻 − 𝐸) 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝐻<𝐸

Prinsip Ekipartisi Umum Kemudian memakai hubungan product rule: 𝜕𝑥𝑖 (𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥𝑖 𝜕 (𝐻 − 𝐸) = 𝐻 − 𝐸 + 𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗

𝜕 (𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥𝑖 (𝐻 − 𝐸) 𝑥𝑖 = − 𝛿𝑖𝑗 𝐻 − 𝐸 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 Maka: 𝜕𝐻 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 = 𝜕𝑥 𝑗 𝐻<𝐸

𝜕𝑥𝑖 (𝐻 − 𝐸) 𝑑𝑝𝑑𝑞 − 𝛿𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝐻<𝐸

𝑑𝑝𝑑𝑞(𝐻 − 𝐸) 𝐻<𝐸

Suku pertama ruas kanan =0 (sebab menjadi intergal permukaan, dan dipermukaan tsb H=E)

Prinsip Ekipartisi Umum Substitusikan semua hasil diperoleh: 𝜕𝐻 < 𝑥𝑖 > 𝜕𝑥𝑗 𝛿𝑖𝑗 𝜕 = 𝜔 𝐸 𝜕𝐸 • =

𝛿𝑖𝑗

𝜕Σ 𝐸 /𝜕(𝐸)

𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑝𝑑𝑞 𝐻 − 𝐸 = 𝜔 𝐸 𝐻<𝐸

Σ 𝐸 =

• Jadi : < 𝑥𝑖

𝜕𝐻 𝜕𝑥𝑗

𝛿𝑖𝑗

𝜕ln(Σ 𝐸 )/𝜕(𝐸)

=

𝛿𝑖𝑗 𝑘

𝜕𝑆/𝜕𝐸

𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑝𝑑𝑞 = Σ 𝐸 𝜔 𝐸 𝐻<𝐸

= 𝑘𝑇𝛿𝑖𝑗

> = 𝑘𝑇𝛿𝑖𝑗

Hasil ini dikenal dengan nama: Generalized Equipartition Theorem.

Prinsip Ekipartisi Umum Hasil-hasil khusus:

a. i=j dan xi=pi maka < 𝑝𝑖 b. i=j dan xi=qi maka <

𝜕𝐻 𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐻 𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑖

> = 𝑘𝑇 atau < 𝑝𝑖 𝑞𝑖 > = 𝑘𝑇

> = 𝑘𝑇 atau < 𝑞𝑖 𝑝𝑖 > = −𝑘𝑇

Banyak Hamiltonian sistem yg dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dari posisi dan momentum: 𝐻 = Σ𝑖 𝐴𝑖 𝑝𝑖2 + Σ𝑖 𝐵𝑖 𝑞𝑖2 Dengan Ai dan Bi konstanta. Jelas bahwa : 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝐴𝑖 𝑝𝑖 + 𝐵𝑖 𝑞𝑖 = 2𝐻 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑞𝑖 𝑖

Prinsip Ekipartisi Umum Maka berarti : 1 𝜕𝐻 𝜕𝐻 1 < 𝐻 > = Σ𝑖 < 𝑝𝑖 > +< 𝑞𝑖 > = 𝑓𝑘𝑇 2 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑞𝑖 2 Sebab tiap suku <…> yg tak NOL menyumbang kT. Jadi setiap derajat kebebasan sistem menyumbang ½ kT kepada energi rata-rata sistem.

Prinsip ini dikenal dengan nama theorema Ekipartisi energi. Note: Secara umum 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 adalah pasangan variable konjugat kanonik.

Prinsip Ekipartisi Umum • Berdasarkan prinsip ini maka kapasitas kalor sistem CV adalah (kf/2). • Jadi kapasitas kalor sebanding dengan derajat kebebasan sistem.

• Paradox prinsip ekipartisi klasik. Dalam Fisika klasik, setiap sistem memiliki derajat kebebasan tak hingga sebab benda dapat dibagi secara terus menerus tak terbatas ad infinitum. • Ini membawa konsekuensi kapasitas kalor sistem apapun juga menjadi tak hingga.

Prinsip Ekipartisi Umum • Pemecahan hal ini terletak di konsep Fisika kuantum. • Dalam mekanika kuantum derajat kebebasan sistem hanya muncul jika tersedia cukup energi untuk mengeksitasinya. • Sehingga formula prinsip ekipartisi hanya valid jikalau temperatur cukup tinggi sehingga derajat kebebasannya memang berwujud.